1 les écritures fractionnaires …. du cycle iii au collège
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1
Les écritures fractionnaires
…. du cycle III au collège
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Utilisation des écritures fractionnaires
Pour coder le résultat d'une mesure (en cycle 3)
Pour écrire un quotient (en 6e)
Pour exprimer une proportion (en 5e et si nécessaire en 6e )
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Les différents sens des écritures fractionnaires
L’aspect fraction d’une grandeur unité
L’aspect quotient Nombre Opérateur
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La fraction est liée au partage,au fractionnement d'une grandeur.
Les fractions d’une grandeur unité au cycle 3
Le partage des longueurs peut se faire : par pliage à l’aide d’un réseau de droites
parallèles équidistantes.
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5
Le « guide-âne »
Partage en 5
Partage en 3
13
15
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6
73 c’est 7 fois le tiers de l’unité ou 7 fois
13
73 = 7
13 = 2 +
13
Les fractions d’une grandeur unité
au cycle 3
unité
73
13
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Dénominateurs simples 2, 3, 4, 5 ( et 8, 16, 9,…).
Fractions inférieures ou supérieures à l’unité
Les fractions d’une grandeur unité
au cycle 3
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L’écriture fractionnaire d’un nombre au cycle 3
Pour donner du sens aux nombres décimaux
7,36 = 7 + 310 +
6100
2 + 110 s’écrit 2,1
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9
Pour préparer l’approche du nombre :
52
25
12
5,02
1•Un demi
•Encadrer une fraction simple par deux entiers consécutifs
•
L’écriture fractionnaire d’un nombre au cycle 3
:
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10
L’écriture fractionnaire d’un nombre en sixième
le produit de ab par b est égal à a
Trois idées fondamentales b 0
le quotient ab est un nombre
le nombre ab peut être approché, si
nécessaire par des nombres décimaux
•
•
•
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11
7 fois le tiers de 1 est égale au tiers de 7
Obstacle
13
1
7
713
73
Fraction d’une grandeur unité et nombre
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Difficultés
73 désigne un nombre et non un calcul à effectuer
73 est le résultat de la division de 7 par 3
L’écriture fractionnaire d’un nombre en sixième
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L’écriture fractionnaire d’un nombre en sixième
Comment introduire le nombre deux tiers en sixième ?
On souhaite partager un segment de longueur 2 cm en 3 morceaux de même longueur. Quelle est la longueur d’un morceau?
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14
2
3
2
3
2
3
2
3
1
3
1
1 1
Comment introduire le nombre deux tiers?
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73
73
3
7
3
7
3
7
7
1
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5 73 de l’aire du disque = 5 7 tiers de l’aire du disque
= (57) tiers de l’aire du disque = 35 tiers de l’aire du
disque = 353 de l’aire du disque
Introduction du produit d’un nombre entier par un quotient de nombres entiers
Les fractions d’une grandeur unité
en sixième
5 73 =
353
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Masse 7 kg 12 kgPrix 16,25 € ?
127
127
Masse 4 kg 12 kgPrix 15 € ?
3
3
L’écriture fractionnaire en tant qu’opérateur
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Comment prendre les 23 de 7 ?
On prend le tiers de 7 (on divise 7 par 3).
On obtient 73.
On multiplie ce nombre par 2.
On obtient 273.
On a : 273 = 27
13 = 2
137 =
237
L’écriture fractionnaire en tant qu’opérateur
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19
23
34
calcul de 23
34
Une introduction possible du produit de deux nombres en écriture fractionnaire
Les fractions d’une grandeur unité en cinquième
23
34 =
612
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Utilisation des quotients au cycle central
Justification du calcul du produit de deux nombres écrits sous forme fractionnaire
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Utilisation des quotients au cycle central
a = 13 et b =
17
Que vaut ab ? On traduit l’énoncé : 3a =1 et 7b =1 Pour faire apparaître ab l’idée est de calculer (3a)(7b). D’après les deux égalités précédentes : (3a)(7b) = 1 Dans un produit de plusieurs nombres on peut supprimer les parenthèses et changer l’ordre des facteurs. On obtient : (3a)(7b) = 21(ab) On a donc : 21(ab) = 1
Par définition du quotient ab =1
21
Conclusion : 13
17 =
121
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Utilisation des quotients au cycle central
Calcul de 23
47
On sait que 23 = 2
13 et
47 = 4
17
23
47 = 2
134
17
Dans un produit on peut changer l’ordre des facteurs. On obtient : 23
47 = 24
131
7 = 81
21 = 8
21
Conclusion : 23
47 =
821
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Fraction d’une grandeur unité et nombre
32
de l’aire
32
de la longueur
Le nombre
32
sur la droite graduée
23
Voici les obstacles qu’un élève de collège doit franchir :
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Quelles peuvent-être les représentations d’une écriture fractionnaire pour un élève de sixième ?