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Lógica Proposicional
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Lógica Proposicional Até agora estudamos a Lógica de
maneira informal. A Lógica formal é o estudo de formas
de argumento, isto é, regras abstratas de raciocínio comum em vários argumentos.
Iniciaremos nosso estudo formal com a Lógica Proposicional. Abordaremos a sintaxe e a semântica seguindo o seguinte roteiro de estudo:
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Lógica Proposicional(Roteiro de Estudo) Sintaxe: (Cap 3 - Livro do J. Nolt)
Linguagem da Lógica Proposicional Formas de Argumento Formalização
Regras de Inferência Não-Hipotéticas Hipotéticas Derivadas
Sistema Formal Semântica: (Cap 2 - Livro do Chang e Lee)
Semântica dos operadores e interpretação Satisfatibilidade, validade e consequência
lógica Método de prova: Tabela Verdade Formas Normais
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Formas de Argumento Exemplos:1 . Hoje é segunda-feira ou sexta-feira. . Hoje não é segunda-feira. Hoje é sexta-feira.
2 . Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou.
. Não foi Rembrandt quem a pintou. Michelângelo pintou a Mona Lisa.
3 . Ele é menor de 18 anos ou é um irresponsável.
. Ele não é menor de 18 anos. Ele é um irresponsável.
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Formas de Argumento Os 3 argumentos são da seguinte forma:
. P ou Q
. Não é o caso que P Q
As letras P e Q representam sentenças declarativas: (símbolos sentenciais).P pode representar: Hoje é segunda-feira.Q pode representar: Hoje é terça-feira.
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Formas de Argumento
Com essa representação, a forma anterior representa o argumento 1 do exemplo.
Os argumentos 1, 2 e 3 são variantes gramaticais ou instâncias da forma:. P ou Q. Não é o caso que P Q
Esta forma de argumento (ou regra) é conhecida como silogismo disjuntivo.
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Formas de Argumento A lógica trata de formas de argumentos
consistindo de letras sentenciais combinadas com as expressões: Não é o caso que E Ou Se ... então Se e somente se
Estas expressões são chamadas de operadores ou conectivos lógicos.
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Formas de Argumento
Conectivo Não é o caso que
Essa expressão prefixa uma sentença para formar uma nova sentença a qual chamamos a negação da primeira.Exemplo: A sentença
'Não é o caso que ele é fumante‘ é a negação da sentença 'Ele é fumante'.
Variações gramaticais da negação: ´Ele é não-fumante’, ´Ele não é fumante’ e ´Ele não fuma’.
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Formas de Argumento
Conectivo E Uma composição constituindo-se de
duas sentenças ligadas por 'e' chama-se conjunção.
Exemplo: Chove e faz calor
A conjunção também pode ser expressa por palavras como: 'mas', 'todavia', 'embora', 'contudo', ...
”Chove mas faz calor”
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Formas de Argumento
Conectivo Ou Um enunciado composto
consistindo de duas sentenças ligadas por 'ou' chama-se disjunção.
Exemplo: Chove ou faz calor
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Enunciados do tipo se... então ...
chamam-se condicionais.
O enunciado subsequente ao 'se' chama-se o antecedente e o subsequente ao 'então' chama-se o conseqüente.
Forma do condicional:Se antecedente então consequenteEx: ‘Se sinto frio então visto o casaco '.
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Se antecedente então consequente
O antecedente é condição suficiente para ocorrência do consequente
O consequente é condição necessária para ocorrência do antecedente
Exemplo: Se é Juiz então é advogado
o fato de ser juiz é suficiente para ser advogado
para alguém ser juiz é necessário que seja advogado, mas não é o suficiente
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Exemplo: Que condições são
necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?
Se aluno foi aprovado então assistiu aula,é estudioso, fez muitos exercícios de lógicatem um bom método de estudo
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Exemplo: Que condições são
necessárias para um aluno ser aprovado em lógica?
Se aluno foi aprovado então assistiu aula,é estudioso, fez muitos exercícios de lógicatem um bom método de estudo
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Exemplo:
‘O fogo é uma condição necessária para a fumaça´ ou‘Se houver fumaça haverá fogo’
Exemplo:‘Se chover então molha a rua´ é suficiente chover para você deduzir que a
rua fica molhada o fato da rua ficar molhada não garante que
choveu
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Uma condicional também pode ser
expressa na ordem inversa.
‘Visto o casaco se sentir frio‘
mantém a semântica de
‘ Se sentir frio, visto o casaco’‘ Se sentir frio então visto o casaco’
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Variações gramaticais da condicional:
(P e Q sentenças quaisquer) Se P então Q P implica em Q; P, logo Q P só se Q; P somente se Q P apenas se Q; P só quando Q Q se P ; Q segue de P P é condição suficiente para Q Q é condição necessária para P
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Variações gramaticais da condicional:
Exemplo: Se chove então molha a rua. Chover implica em molhar a rua. Chove somente se molha a rua Se chove, logo molha a rua Molha a rua, se chove Chover é condição suficiente para molhar a
rua Molhar a rua é condição necessária para
chover
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Os advérbios só, somente e apenas tem significados
diferentes dependendo do local em que aparecem na sentença. Representam uma implicação e o conseqüente sempre aparece depois do advérbio
Sentença SignificadoJoão ama apenas Maria Se João ama alguma coisa,
essa coisa é MariaApenas João ama Maria Se alguma coisa ama Maria,
essa coisa é JoãoJoão apenas ama Maria Se João tem alguma relação
com Maria, essa relação é amor
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Formas de Argumento
Conectivo Se ... então Exercício. Identifique antecedente e
conseqüente das seguintes proposições:
1. Se a chuva continuar o rio vai transbordar.2. Maria vende o carro, se comprar a casa. 3. Maria vende o carro só se comprar a casa.4. Os abacates só estão maduros quando estão
escuros e macios.
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Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se
Os enunciados formados com a expressão ...se e somente se... são chamados bicondicionais.
Um bicondicional pode ser considerado como uma conjunção de dois condicionais.
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Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se P se e somente se Q P se Q e P somente se Q Se Q então P e P somente se Q Se Q então P e Se P então Q Se P então Q e Se Q então P
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Formas de Argumento
Conectivo Se e somente seExemplo:
'T é um triângulo se e somente se T é um polígono de três lados.‘
Equivale:T é um triângulo se T é um polígono de três lados; e T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados.
Que equivale:Se T é um polígono de três lados então T é um triângulo; e se T é um triângulo então T é um polígono de três lados.
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Formas de Argumento
Conectivo Se e somente se
'T é um triângulo somente se T é um polígono de três lados'.
equivale a:
'Se T é um triângulo então T é um polígono de 3 lados'.
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Formas de Argumento
Formalização Para facilitar o reconhecimento e a
comparação de formas de argumento, cada operador lógico é representado por um símbolo especial: Não é o caso que: ~ ou ┐ E: ^ ou & Ou: v Se ... então: Se e somente se:
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Formas de Argumento
Formalização O Silogismo disjuntivo é simbolizado:
. P v Q
. ~P Q
Ou assim,
{ P v Q , ~P} ├ Q
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Formas de Argumento
Formalização
{ P v Q , ~P} ├ Q
o traço de asserção (afirmação), ├ ,significa dizer que Q é deduzido (provado) apenas dos enunciados (premissas) P v Q e ~P.
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Formas de Argumento Formalização
A linguagem consistindo das letras sentenciais e dos operadores lógicos juntamente com as regras a serem empregadas chama-se a Lógica Proposicional ou Cálculo Proposicional.
O objetivo fundamental do Cálculo /Lógica:Mostrar a Validade de certas formas de argumento.
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Formas de Argumento Formalização
Uma forma de argumento é válida se todas as suas instâncias são válidas.
Uma forma de argumento é inválida se pelo menos uma de suas instâncias é inválida.
Uma instância de uma forma de argumento (um argumento particular) é válida somente quando é impossível que a sua conclusão seja falsa enquanto suas premissas são verdadeiras. Caso contrário ela é inválida.
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Formas de Argumento Formalização
Mesmo para uma forma de argumento válida, nem todas as instâncias são corretas. Exemplo:
O argumento da Monalisa (exemplo 2) tem a forma válida mas é incorreto‘ Rembrandt pintou a Mona Lisa ou Michelângelo a pintou’ é uma premissa Falsa.
O Silogismo disjuntivo é uma forma de argumento válida, pois para qualquer instância ocorre que: se as suas premissas forem verdadeiras, a sua conclusão será verdadeira.
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Formas de Argumento Formalização
Observe a seguinte forma de argumento: . Se P então Q. . Q. P
Ou: {P Q, Q} |-- P
Essa forma é inválida, pois a seguinte instância é notoriamente inválida:
Se você está dançando na Lua então você está vivo.Você está vivo.Você está dançando na Lua.
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Formas de Argumento Formalização
Exemplo de formalização: Simbolize o argumento que segue.
A proposta de auxílio está no correio. Se os árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão. Portanto, eles a analisarão porque se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira.
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Solução: 1[A proposta de auxílio está no correio]. 2[Se os
árbitros a receberem até Sexta-feira, eles a analisarão]. Portanto, 3[eles a analisarão] porque 4[se a proposta estiver no correio, eles a receberão até Sexta-feira]. (C,S,A)
C: A proposta de auxílio está no correio.S: Os árbitros recebem a proposta até Sexta-feira.A: Os árbitros analisarão a proposta.
{C, SA, CS} |-- A 1 + 2 + 4
3
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Fórmula bem formada – wff – well-formed formula Qualquer letra sentencial é uma wff.
Se Φ é uma wff, então ~Φ também o é.
Se Φ e Ψ são wff, então (Φ &Ψ), (Φ v Ψ), (Φ Ψ), (Φ Ψ) também o são.
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Exercícios:1) Quais das expressões seguintes
são fórmulas (wff's) e quais não são:
a) ~~~Rb) (~R)c) PQd) ~(PQ)e) ~(~P ^ ~Q)
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Exercícios:2) Formalize os seguintes argumentos usando as
letras sentenciais indicadas. Utilize os indicadores de inferência para facilitar.
a) Se Deus existe, então a vida tem significado. Deus existe. Portanto, a vida tem significado.
c) Como hoje não é Quinta-feira, deve ser Sexta-feira. Hoje é Quinta-feira ou Sexta-feira.
d) Hoje é um fim de semana se somente se hoje é Sábado ou Domingo. Portanto, hoje é um fim de semana, desde que hoje é Sábado.
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Exercícios:d) "Hoje é quarta-feira ou sexta-
feira. Mas não pode ser quarta-feira, pois o consultório do médico estava aberto esta manhã, e aquele consultório está sempre fechado às quartas. Portanto, hoje deve ser sexta-feira."
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Exercícios:Q: hoje é quarta-feiraX: hoje é sexta-feiraC: consultório aberto
{Q v X, (C ^(Q -> ~C))} |- X