1 magnettechnik für teilchenbeschleuniger grundlagen der magnetostatik maxwellgleichungen...
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Magnettechnik für Teilchenbeschleuniger
Grundlagen der Magnetostatik• Maxwellgleichungen• Koordinatensystem im Beschleuniger• Potentialfunktion• Laplacegleichung• Berechnung von Magnetfeldern
Quadrupolemagnete
Vektorpotential
Stromverteilung für Supraleitende Magnete• cos-teta Stomverteilung
2
Magnetostatik
Magnetische Induktion oder Magnetische Flussdichte - gemessen in Tesla – vielfach auch mit Magnetfeld bezeichnet
]m/A[H
]m
sV[ oder ]Tesla[ 2
BB
AmVs
104 mit 700
HB
Magnetfeld gemessen in A/m
Im Vakuum sind magnetische Induktion und Magnetfeld gleichwertig:
In einem isotropen Material mit der Permeabilität gilt :
HB
0
Im allgemeinen ist etwa 1, doch für ferromagnetische Materialien ist in der Grössenordung von einigen tausend.
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Maxwellgleichungen
tik)Magnetosta der tz(Grundgese
0 Gesetz ches4.Maxwells
hteLadungsdic mC mit
tik)Elektrosta der tz(Grundgese
Gesetz ches3.Maxwells
sgesetz)(Induktion
t Gesetz ches2.Maxwells
ung Verschiebchedielektris mC und eStromdichtmAj mit
tj :Gesetz esMaxwellsch 1.
3el
el
22
BdivB
DdivD
BErotE
D
DHrotH
]/[
]/[]/[
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Maxwellgleichungen im Vakuum
Es wird für das Vakuum angenommmen:
• kein elektrischer Strom (keine Leiter für Elektronen)
• keine Magnetisierung (kein magnetisches Material)
• keine dielektrische Verschiebung
und daher gilt:
EHrotH
t
0
0 BdivB
0M
1.Maxwellsches Gesetz
2.Maxwellsches Gesetz
3. Maxwellsches Gesetz
4. Maxwellsches Gesetz
0j
BErotE
t
0 EdivE
ED
0
HB
0
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Maxwellgleichungen für Magnetostatik - zeitlich konstant
j
HrotH
0 BdivB
1. Maxwellsches Gesetz
2. Maxwellsches Gesetz
(Induktionsgesetz)
3. Maxwellsches Gesetz
(Grundgesetz der Elektrostatik)
4. Maxwellsches Gesetz
(Grundgesetz der Magnetostatik)
0 ErotE
eld DivD
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Maxwellgleichungen für Magnetostatik im Vakuum
0 HrotH
0 BdivB
aus dem 1. Maxwellsches Gesetz
0 B
aus dem 4. Maxwellsches Gesetz
j
HrotH
Ausserdem gilt mit : HB
0
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Magnetfeld in den Koordinaten des Beschleunigers
)dy
ddx
d,
dxd
dzd
,dz
d
dyd
(
))z,y,x(),z,y,x(),z,y,x(()z,y,x(
:gilt nsystemKoordinate - zy,x, Im
xyzxy
zyx
BBBBBBB
BBBBB
z
z
x
s
vB
F
0)ds
ddx
d,
dxd
dzd
,dz
dds
d(
))z,s,x(),z,s,x(),z,s,x(()z,s,x(
:gilt gerBeschleuni den für nsystemKoordinate- sz,x, Im
xszxsz
szx
BBBBBBB
BBBBB
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Quadrupole: Fokussierung nur in einer Ebene
0rot BB
Annahme im 2-dimensionalem Fall:
0 :gilt da 0 sz BBBB x ),,(
0)0,dz
ddx
d,0( xz BB
B
und daher:
dzd
dxd xz BB
z
x
z-Komponente des Quadrupolemagnetfeld auf der x-Achse
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Teilchenablenkung für Quadrupolmagneten
Annahme: Teilchen mit positiver Ladung läuft in s-Richtung
z
x
zconst)z(
xconst)x(
x
z
B
B
x
z
s
x
s
z
Sicht von oben
Sicht entlangder Teilchenbahn
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Berechnung des Magnetfeldes
0 gilt es denn , :sich ergibt damit
0 :fliesst Strom kein woBereich Im
H
HrotH
z)(x,dzd
)z,x( ,z)(x,dxd
)z,x( und z)(x,
:sich ergibt Richtung-s in Komponente ohne Magnetfeld ein Für
z HHx
dzd
,dsd
,dxd
Potential skalares ein ist s)z,(x,
zs HHHx
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Laplacegleichung
dzd
,dsd
,dxd
für Potential skalares ein ist s)z,(x,
zs HHH
H
x
2
2
2
2
2
22
2
z
)z,s,x(
s
)z,s,x(
x
)z,s,x()z,s,x(
0)z,s,x(
:ichungLaplacegle die folgt 0 :gilt ausserdem da
BdivB
)z,s,x(
:Potentials skalaren des Gradient der ist d.h. ,definieren für Potential
skalares ein sich lässt Vakuum) (im mit 0
B
BB
HB
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Berechnung des Magnetfeldes für einen Eisenmagneten
Satz von Stokes:
Gegeben: • vektorieller Ortsfunktion, wie z.B. • geschlossener Weg, der eine Fläche begrenzt
0dd)( :folgt daraus sHAHrot
Dann gilt für Bereiche, in denen kein Strom fliesst:
)z,y,x(H
0 HrotH
0d sH
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Skalares Potential ist konstant entlang der Eisenoberfläche
0 :folgt daraus lll
:folgt 1 und :Bedingung der Mit
parallelLLE
ELE
HHHH
HH
E
E
An der Grenzfläche zwischen Luft und Eisen gibt es keine Feldkomponente tangential entlang des Eisens.
Entsprechend der elektrischen Ladungen auf einer Metallplatte: es gibt keine Potentialdifferenz, und keine Feldkomponente entlang der leitenden
Platte.
Eisen
Luft oder Vakuum
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Berechnung des Feldverlaufs (2-dimensional)
0)z,x( :ichungLaplacegle
)z,x( :Magnetfeld für Gleichung2
B
:bekannt ist Achse-x der entlang (x,z) fFeldverlau Der :Ansatz zB
Beispiel:Quadrupolfeld
z
x
Funktion unbekannte eine ist )zf(
)zf()x(G(x,z) z zB
xg mit xg)x(Gz
zB
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Berechnung des Feldverlaufs (2-dimensional)
22
z2
2z
2
2z
2
2
2
2
22
zx
)x(G21
dzzx
)x(G)zf( :folgt daraus
0z
)z(fz
x
)x(G
z
)z,x(
x
)z,x()z,x(
:folgt ichungLaplacegle der Aus
z)z,x(
(x,z) :sowie x
)z,x((x,z) :nKomponente die und
zx
)x(G61
z)x(G)z,x(:folgt Daraus
zx
32
z2
z
BB
)zf()x(G(x,z) :Annahme der mit z zB
dz(x,z))z,x(
:folgt leichungPotentialg der Aus
zB dz)zf(z)x(Gdz)]zf()x([G zz
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Quadrupolmagnet
Beispiel: Quadrupolmagnete zur Fokussierung von Teilchen haben ein linear ansteigendes Feld Bz(x) entlang der x-Achse:
Hyperbeln sind x
z(x) Wert einen für iallinienÄquipotent
zxg)z,x(
xg(x,z) und zg(x,z)
)z,x(z
(x,z) und )z,x(x
(x,z)
00
zx
zx
BB
BB
Beispiel:Quadrupolfeld
z
x
zxgdz)zf(z)x(G)z,x(
xg(x,z)
0)z(f
zx
)x(G21
dzzx
)x(G)zf(
xg mit xg)x(G
z
22
z2
2z
2
z
z
z
B
B
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Feld eines Leiters in s-Richtung im Zentrum vom (x,z)
haben) zu Dimension keine Funktion-ln der in
um Konstante als nur dient es heraus, a fällt Ableitung der (beiar
ln2
I mit
)0,,0()z,s,x( )0,dz
ddx
d,0(
:sich ergibt Fall lendimensiona-2 den Für
0
xz
s
s
A
AABB
AB
r
z
x
r2I
:mit Kreise chekonzentris hat
Leiter flossenenstromdurch einen um Magnetfeld Das
0
B
jBB
0 und 0 :gilt ausserdem
)z,s,x()s,z,x(
:ableiten ntialVektorpote dem aus sich lässt
AB
B
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Feld eines Leiters in s-Richtung
z
x
Leiter mit Strom in s-Richtung
Raumpunkt P
a
r
Strahlachse
R
Θ
z
x
s
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Feld eines Leiters in s-Richtung
)](ncos[ar
n1
2I
),r( und
)](ncos[ar
n1
21
alnRln :sich ergibt nz
z)(1ln Mit
)])(iexp[ar
1ln(21
)])(iexp[ar
1ln(21
(a)lnRln
:sLogarithmu der davon
))](iexp[ar
1())](iexp[ar
1(aR
:man erhält ))ixexp()ix(exp(21
cos(x) :von Hilfe mit
))cos(ar
2a
r1(a)cos(ra2raR
n
1n
0s
n
1n1n
n
2
22222
A
20
Strom entlang eines leitenden Zylinders
a
d
)]mcos(),m[sin(ar
a2I
)r
,r1
()r,(
)mcos(ar
m1
2I
),r(
:inatenPolarkoord von Hilfe mit sich ergibt Daraus
m00ss
m00
s
AAAB
A
1,2,3...m mit d)mcos(I)dI(
:eilungWinkelvert - der mit
Strom ein fliesst Zylinder dem Auf
0
d)mcos()](ncos[
ar
n1
2I
),r(
:nIntegratio und ntialVektorpote das in Einsetzen
2
0
n
1n
00sA
21
Erzeugung von Dipol und Quadrupolfeldern
)(Dipolfeld a2
I)x( :folgt
ilungStromverte förmige-cos d.h. ,1m Für
xa2
I)x( und 0
:damit und 0 ist Dafür et.ausgerechn )x( wird0z für
:Achse-x der entlang fFeldverlau
00
1mm
00x
z
z
z
B
BB
B
xa2
I)x( :folgt
ilungStromverte förmige-cos*2 d.h. ,2m Für
200
zB
+
+-
-