1 mathesis società italiana di scienze matematiche e fisiche sezione di lanciano-ortona 24 febbraio...
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MATHESIS
Società Italiana di Scienze Matematiche e Fisiche
Sezione di Lanciano-Ortona
24 febbraio 2010
Ferdinando Casolaro - Università del Sannio
“I risultati di Eulero per le applicazioni della didattica di oggi”
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Strutture differenziali
Un insieme D in cui siano definite due operazioni binarie (+ e ) costituisce una struttura D(+, ), che è detta struttura differenziale, se in D è definita un’operazione unaria tale che:
1)
2)
3)
,dxd
Ddxdf
Df
;DgDfdx
dg
dx
dfgf
dx
d ,,)(
DgDfdx
dfg
dx
dgfgf
dx
d ,,)(
3
Strutture differenziali
,
L’insieme costituito da tutti gli
elementi tali che
viene chiamato Campo delle costanti di D.
L’insieme D delle funzioni razionali è una struttura struttura differenziale.differenziale.
Dc
DK
0dx
dc
4
Strutture differenziali
L’insieme:))((lg' xRDD
con R(x) funzione razionale, è una struttura differenziale, in quanto risulta:
')(
)(')(lg D
xR
xRxR
dx
d
L’insieme )('' )(xseDD
con S(x) funzione razionale è un campo differenziale in quanto risulta:
'')(')()( Dxseedxd xsxs
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Teorema di LiouvilleF. Casolaro “Decisione per integrali indefiniti” – Atti del Convegno
nazionale Mathesis – Cattolica 1991 (pag. 68-86)F. Casolaro – “Il problema dell’integrazione indefinita” – Ratio
Mathematica n. 4 – 1992 (pag. 29-38)
)lg,,( xexf x
xex x lg,, )(xg
fdx
dg
)lg,,(0 xexh x )lg,,(1 xexh x )lg,,( xexh xi
,...,...,, 21 cicc
Sia una funzione razionale degli elementi
; se esiste una funzione tale che:
, allora esistono degli elementi:
, ,…
e delle costanti complesse tali che:
,…,
)(ln)lg,,(0 iii
x hcxexhg
0h xex x lg,, ihcon funzione razionale di , funzioni irriducibili
sul campo complesso.
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Applicazioni del Teorema di Liouville alle funzioni razionali
La derivata di una funzione razionale è ancora una funzione razionale:
)()( RDxR
)()(
)()(')()(')('
)(
)()(
2RD
xq
xpxqxqxpxR
xq
xpxR
Non vale il viceversa.
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2° TEOREMA DI LIOUVILLE
Sia )(
)()(
xq
xpxR
una funzione razionale e sia p il grado di q(x). Se si conoscono le p radici (reali o complesse) di q(x),
l’integrale:
dxxR )(
è esprimibile mediante funzioni elementari e si ha:
i
ii hcxhdxxR ln)()( 0
0h ih
Cci
con funzione razionale; polinomio irriducibile su C;
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Esempi di funzioni non integrabili per via elementare
dxxn1 con n>2
dxxex
dxex2
dxxxex
lg
dxx
ex 2)1
1( dxtgxx
dxxlg1
dxesenx dxxxe dxxex 22
dxxtgx
dxxsenx
dxx31 dxearctgx
dxsenx
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L’integrale non è esprimibile mediante
funzioni elementari.
Dim. Se l’integrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari, dovrebbe esistere una funzione g(x),
tale che:
Per il 2° Teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere del tipo:
xcexhdxxe xx
ln),( (1)
in cui compare un solo addendo logaritmico in quanto il denominatore presenta l’unico fattore irriducibile x.
dxx
ex
x
e
dx
dgexRDxg
xx :),()(
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Algoritmo parallelo di Risch:
Derivando ambo i membri della (1), si ha:
xc
dxdh
xex cioè:
dxdh
xcex
La funzione ),( xexh , di cui ipotizziamo l’esistenza,
per cui si può
deve essere una combinazione lineare finita di x ed
esprimere nel seguente modo:
...),( 25
243210 xxxx eaxaxeaeaxaaexh
xe
11
da cui, derivando:
...2 43321 xaxeaeaeaadxdh xxx
...),( 25
243210 xxxx eaxaxeaeaxaaexh
Si sostituisce tale sviluppo nell’equazione differenziale (2):
...2 24
23321 xaexaxeaxeaxace xxxx
dxdh
xcex (2)
Tale identità non può mai essere verificata perché il termine della sola compare al primo membro con coefficiente 1, ma non nel secondo. Contraddizione che dimostra la non
esistenza della funzione verificante la (1).
xe
),( xexh
12
L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari.
dxex2
Dim. Se l’integrale si potesse esprimere mediante funzioni elementari dovrebbe esistere una funzione g(x) tale che:
2xedxdg
Per il teorema di Liouville, g(x) dovrebbe essere tale che:
cexhdxe xx ),(22
(1)
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Algoritmo parallelo di Risch:
...),( 243210
222 xaxeaeaxaaexh xxx
...222),(' 42
33212222
xaexaeaxeaaexh xxxx
),('22 xx exhe
2.
1.
3. Derivando la (1): si ha:
(2)
4. Si sostituisce ),('2xexh nella (2):
...222 42
33212222
xaexaeaxeaae xxxx
13322
aeae xx
002 32
32
aexa x
cexhdxe xx ),(22
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Le funzioni goniometriche attraverso Eulero
iee
senzizìz
2
2
zz eesenhz
2cos
iziz eez
2cosh
zz eez
)( iziz
iziz
eei
eetgz
zz
zz
ee
eetghz
)1ln(1 2 ixxi
arcsenx )1ln( 2xxsettsenhx
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Le funzioni goniometriche attraverso Eulero
)1ln(1
arccos 2 xxi
x
)1ln(1 2 ixxi
arcsenx )1ln( 2 xxsettsenhx
)1ln(2
)1ln(21
1ln2
ixi
ixi
ixixi
arctgx
)1ln(21
)1ln(21
11
ln21
xxxx
setttghx
)1ln(cosh 2 xxxsett
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L’integrale non è esprimibile
mediante funzioni elementari dxxsenx
Dim. Dalle relazione di Eulero:
iee
senxixix
2
si ha:
xdx
idx
ixe
dxix
edx
iee
xdx
xsenx ixixixix
21
221
)2
(1 22
Ponendo:
2ix=t, dti
dx2
1 , risulta: x
idtte
idxxsenx t
ln21
2
dove dttet
non è esprimibile mediante funzioni elementari.
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L’integrale non è esprimibile mediante funzioni elementari
i
eex
ixix
2cos
dxedxedxee
dxx ixixixix 2222
2
1
2
1
2cos 2
Dim. Dalle relazione di Eulero:
si ha:
dxx2cos
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A
BS
D
C
T
A
B
S
T
s
Q
P
A
BS
T
D
C
Q
P
Proiezione della finestra sul pavimento la mattina
Proiezione della finestra sul pavimento alcune ore dopo
Sovrapposizione delle proiezioni: la trasformazione sul piano del pavimento, che
muta ABCD in ABPQ, è
l’omologia
Omologia
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Analogie tra funzioni definite su figure omologicheConsideriamo la circonferenza , e l’iperbole
equilatera di equazione
[F. Casolaro – F. Eugeni – Ratio Mathematica II (1996) pag. 23-33]; [F. Casolaro – L- Cirillo – Atti congresso naz. Mathesis – Verona 1996: pag. 309-318]
122 yx
122 yx
P
122 yx
20
2cos
22
ii ee
x
Indicato con φ la misura dell’arco AP, il punto P ha coordinate:
x = cos φ y = sen φ
L’area del settore circolare OAP è data da:
σ = ½ φ∙r = ½ φ,
cioè: φ = 2 σ ∙
1a) Le coordinate di un punto P della circonferenza sono definite come funzioni del doppio dell’area del settore
circolare OAP individuato dal punto O origine degli assi, dal punto P considerato sulla circonferenza, e dal punto A
origine degli archi.
2cos
22
ii ee
x
i
eeseny
ii
2
22
21
L’area del settore iperbolico OAQ è data da:
σ = ½ α,
cioè: α = 2 σ ∙
1b) Le coordinate di un punto Q dell’iperbole equilatera sono definite come funzioni del doppio dell’area del settore iperbolico
OAQ individuato dal punto O origine degli assi, dal punto Q considerato sull’iperbole e dal punto A intersezione dell’iperbole
con l’asse delle ascisse.
Indicato con φ la misura del settore iperbolico OAQ, il punto Q ha coordinate:
x = cosh φ y = senh φ
2cos
22
ee
x2
22
eeseny
22
Trasformazioni che conservano la normaIl modulo | z | di un vettore , ovvero la norma, è:
Chiamiamo prodotto circolare (o interno) di due numeri complessi z1 e z2 di componenti rispettivamente (a1, b1) e (a2, b2) il
numero:
z1×z2 = a1b1 + a2, b2
In tale modo l’angolo di due vettori ovvero di due numeri complessi z1 e z2 ha un coseno dato da:
z
222222 babiaibaibaz 2222bazz
21
21coszz
zz
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Trasformazioni che conservano la normaI numeri complessi di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto
“esponenziale complesso” o “circolare” definito ponendo
Le due Trasformazioni:
rappresentano, rispettivamente, i movimenti diretti e i movimenti inversi del piano. Infatti:
cioè:
cioè:
seniei cos
ZeZ i' ZeZ i'
yixseniZeyixZ i )(cos'''
cos)cos(' ysenxìsenyxZ
cos)cos(' ysenxìsenyxZ
yixseniZeyixZ i )(cos'''
cos'
cos'
ysenxy
ysenxx
cos'
cos'
ysenxy
ysenxx
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Pertanto, le due trasformazioni conservano la norma, in quanto, da:
risulta:
Immediatamente si vede che, in tali trasformazioni, si conserva l’angolo tra i due vettori. Infatti, indicati rispettivamente con gli angoli formati
dai due vettori e dai loro complessi coniugati, da:
risulta:
ZZ '
21
21coszz
zz
cos)cos(' ysenxìsenyxZ
cos)cos(' ysenxìsenyxZ
212121212121 ))(( ZZyyxxyyxxZZ
ZZ
21
21'coszz
zz
'coscos
' e
21
21coszz
zz
25
L’esponenziale iperbolico
Posto , tutte le relazioni ottenute sulle funzioni circolari, le ritroviamo sulle funzioni iperboliche. Infatti, la norma del numero
iperbolico w = a+ib (con ) è data da:
che, con , rappresenta la norma del vettore unitario, in quanto verifica la relazione fondamentale delle funzioni
iperboliche:
I numeri iperbolici (o bireali) di norma unitaria sono costituiti dal cosiddetto “esponenziale bireale” o “iperbolico” definito ponendo
12 i
senhba ;cosh
12 i2222baww 2222
baww
1cos 22 seni
senhiE i cosh
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Trasformazioni (iperboliche) che conservano la norma
Come per il caso circolare, le due trasformazioni
conservano la norma e conservano i settori iperbolici. Infatti, con passaggi analoghi a quelli fatti sulle funzioni circolari,
si ha:
da cui, si evince che:
WEW i'WEW i'
yixsenhiZEyixW i )(cosh'''
cosh'
cosh'
ysenhxy
ysenhxx
yixsenhiWEyixW i )(cosh'''
cosh)cosh(' ysenhxìsenhyxW
cosh)cosh(' ysenhxìsenhyxW
cosh'
cosh'
ysenhxy
ysenhxx
WW '
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Prodotto interno e coseno iperbolico
In analogia al caso circolare, definiamo prodotto interno (iperbolico) di due numeri iperbolici W e W’,la grandezza:
Da: risulta:
cioè:
da cui si evince che W e W’ individuano due semirette caratterizzanti il settore iperbolico ϑ di coseno iperbolico:
Allora, la trasformazione conserva la norma iperbolica e il prodotto iperbolico.
''''',',' 2 yyxxyyixxyxyxWW
cosh'
cosh'
ysenhxy
ysenhxx
coshcoshcosh''' 2222 yxysenhxysenhxyxyyxxWW
cosh'' 22 yxyyxx
222
21
21 ',',''cosh
W
yyxx
yx
yyxx
WW
WW
WEW i'