1 matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/medziaga/konspektai/algebrageometrija/... · gretimais...

21
1 MATRICOS 1 1 Matricos 1.1 Pagrindiniai apibr˙ ežimai matrica – skaiˇ ci ˛ u lentel˙ e – eiluˇ ci ˛ u skaiˇ cius – stulpeli ˛ u skaiˇ cius – matricos elementas – elemento indeksai pavyzdys , , , , , , , . 1.1.1 Transponuota matrica transponavimo operacija pavyzdys – matrica eilut˙ e – matrica stulpelis ,

Upload: hoangkhuong

Post on 31-Dec-2018

225 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

1 MATRICOS 1

1 Matricos

1.1 Pagrindiniai apibrežimai���� ����� ���� ������� ����� ����� ������� �� �� �� ������������� ������� �������! " ��#%$ & �(')

matrica – skaiciu lentele* – eiluciu skaicius+ – stulpeliu skaicius��#%$ – matricos elementas,.-�/– elemento indeksai

pavyzdys0 1 2 34 �� 5 376* � 2, + � 1

, ����� � 1, ���� � 2

, �98 1 � 3, ����� � 4 �� , ����� � 5 , ����: � 3

.

1.1.1 Transponuota matrica

transponavimo operacija; �< = ��#%$ & �(') - ;?> �! " �@$A# = �')�pavyzdys0 1 2 34 �� 5 376 > � �� 1 4 ��2 53 3 ��* � 8 – matrica eilute B ���C���CDEDED��� �F+ � 8 – matrica stulpelis

���� ������DEDED���� ���

BGIHKJ F > � �� GH J�� ,

�� GH J�� > � BLGIHMJ FB ; > F > � ;

Page 2: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

1 MATRICOS 2

1.1.2 Kvadratine matrica* � + – kvadratine matrica ( + -tosios eiles)����������� ���� �� ����� � � ���� ����� ����� �� ����� � � ���� �� �� �� �� ���� � ��� ���� � ��� � �� �� � ��� � ���� � ��� �� � �� �� �� �� �� � � �� �

� ���������� - ����� - �� - �� – kvadratines matricos pagrindine istrižaine���� - ����� � � - �� - �� � – kvadratines matricos šalutine istrižaine

;- kvadratine ir

; > � ;– simetrine matrica;0 8 22 176 – simetrine matrica;�� 8 2 �4 2 1 �4 � 4 � 3 �� – antisimetrine matrica ��# $ � 4 � $ # -���� � ��� ,��� /

.

1.2 Operacijos su matricomis

1.2.1 Matricu sudetis

Matricu; � & ��#%$ = �(') ir � � & � # $ " � ') sudetis

;�� � � & ��#%$ � � #%$ " � ') 0 1 2 34 �� 5 376 � 0 8 � 8�� � 2 6 � 0 � � 83 5 � � 276Matricu sudeties savybes:komutatyvumas

;�� � � � � ;asociatyvumas B ;�� � F ��� � ;�� B�� ��� FNeutralusis elementas – nuline matrica � �

����3 3 DEDED 33 3 DEDED 3DEDED DEDED DEDED DEDED3 3 DEDED 3

�����;�� � � � � ; � ; -�� ;

Page 3: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

1 MATRICOS 3

1.2.2 Matricos daugyba iš skaiciaus� D ; �< & � ��#%$ & �(') � D 0 1 2 34 �� 5 3 6 � 0 8 � 8 3 34�� � � 5 3 6asociatyvumas

� D B�� ; F � B � � F�D ;distributyvumas:1)

� B ;�� � F � � ;�� � �2) B � � � F ; � � ;�� � ;Matricu skirtumas:

; 4 � � ;�� B 4 8@F�D �1.2.3 Matricu sandauga�� ����� ���� DEDED ���� ����� ����� DEDED ���� ����������� DEDED����

�� D �� � ��� � �� DEDED � ���� ��� � ��� DEDED � ���� )� �� � DEDED � �

�� � & �� #%$ & � ' �� #%$ � ���� � ��# � � � $ -�, � 8 - 2 - �� - * - / � 8 - 2 - �� - +0 8 2 1

� � � 6 D �� � �8 3 8 8� 8 ��� �0 8 D � � 2 D�8 3 � 1 D � 8 D � � 2 D�8�8 � 1 D�8 �� D � � � D�8 3 � � D � � D � � � D�8�8 � � D�8 �76 � 0 1 8 � 18 2 � 8 � � 6

Neutralusis elementas – vienetine matrica� � � 0 8 33 8 6 ,� : � �� 8 3 33 8 33 3 8

��� �< = �� #%$ & �') - � #%$ ��� #%$ � � 8 - kai

, � /3 -kai

,��� /� #%$ – Kronekerio simbolis; D � � � D ; � ; - � ;

– n-tosios eiles kvadratine matrica

Matricu daugyba nera komutatyvi: bendru atveju; D � �� � D ; :0 8 22 1 6 D 0 1 22 1 6 � 0 � �8 2 8 1 6 - 0 1 22 176 D 0 8 22 1 6 � 0 � 8 2

� 8 1 6

Page 4: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 4

Matricu daugybos asociatyvumas:; B�� D � F � B ; D � F�D � ,; � � ; D ; DEDED ;

� ��� �� � kartu

distributyvumas:1) B ;�� � F�D � � ; � � � �2); D B�� ��� F � ; � � ; �

Sandaugos transponuota matrica B ; D � F > � � > D ;?> .

2 Determinantai

2.1 Antrosios ir treciosios eiles determinantai

2.1.1 Antrosios eiles determinantas����

����� ��������� ����� ���� � �����.����� 4 ���� �����

����

2 1� � �

��� � 2 D � 4 1 D � � 8 � 4 8 2 � 2

2.1.2 Treciosios eiles determinantas������

���������� ���:����������� ����:��:�����:�� ��:�:������������ ����� ��:�: � ���� ����: ��:�� � ���: �����.��:�� 4 ���: ����� ��:�� 4 ���� �����.��:�: 4 �����.����: ��:��

Page 5: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 5

������

8 2 13 � �� � �

������� 8?D � D � � 2 D � D � � 1 D 3 D � 4 1 D � D � 4 2 D 3 D � 4 8 D � D � �1�2 � � 3 � 3 4 � 3 4 3 4 ��2 � 3

2.2 Perstatos

Persatata vadinama aibes � 8 - 2 - �� - +�� bijekcija�

(abipus vienareikšmis atvaizdis)i save. T.y. perstata galima apibrežti lentele

� � 0 8 2 DEDED +� B 8@F � B 2 F DEDED � B + F 6Cia

� B / F�� � 8 - 2 - �� - +�� . Ta pacia perstata�

galima užrašyti +�� skirtingais budais,sukeitus vietomis lenteles stulpelius0 8 2 1 �2 1 � 8 6 � 0 2 8 � 11 2 8 �76 � 0 2 � 8 11 8 2 �76Kai pirmoje lenteles eiluteje yra kelinys 8 - 2 - �� - + lentele yra vadinamas keitiniostandartine išraiška.

2.2.1 Perstatu transpozicijos

Dvieju perstatu B � B 8EF - � B 2 F - �� - � B + F�F elementu� B , F ir

� B / F sukeitimas vietomisvadinamas ju transpozicija. Bet kuri kelini B / � -�/ � - �� -�/ �F galima gauti iš betkurio kito tu paciu elementu � 8 - 2 - �� - +�� kelinio B , � - , � - �� - , �F , atlikus baigtiniskaiciu transpoziciju. Pavyzdžiui,B 8 - 2 - 1 - � - � F�� B � - 2 - 1 - � - 8@F� B � - � - 1 - 2 - 8@F

Page 6: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 6

2.2.2 Keliniu inversijos

Skaiciai� B , F ir

� B / F sudaro kelinio B � B 8@F - � B 2 F - �� - � B + F.F inversija (netvarka), jei� B , F�� � B / F ir,�� /

.

Pavyzdžiui, kelinio B 8 - 2 - 1 - � - � F inversija sudaro skaiciai 5 ir 4. Kitu inversiju šiskelinys neturi. Kelinys B 8 - 1 - � - 2 - � F turi tris inversijas: (3,2), (5,2), (5,4).

Kelinys, turintis lygini (nelygini) inversiju skaiciu, vadinamas lyginiu (nelyginiu).

Teiginys. Atlikus viena kelinio transpozija, iš lyginio kelinio gausime nelygini iratvirkšciai.Irodymas. Kai skaiciai

,ir/

yra gretimi, sukeitus juos vietomis gausime arbapanaikinsime viena inversija. Taigi šiuo atveju teiginys yra teisingas. Tarkime,kad turime B �� -�,�-�� � -�� � - �� -�� � -�/�- �� F . Tada atliekant

2�� � 8 transpoziciju tik sugretimais elementais, gausime kelini B �� -�/�-�� � -�� � - �� -�� � -�,�- �� F . Kadangi

2� � 8yra nelyginis skaicius, kelinio lyginumas pasikeis.

PavyzdysB 8 - 1 - � - 2 - � F�� B 8 - 1 - � - � - 2 F . Buvo trys inversijos, dabar yra keturios:(3,2), (5,2), (5,4), (4,2).

Iš + elementu � 8 - 2 - �� - +�� galima sudaryti �� lyginiu ir tiek pat nelyginiu keliniu.

2.2.3 Perstatu lyginumas

Keitinys vadinamas lyginiu (nelyginiu), kai jo eiluciu inversiju suma yra lygine(nelygine).

Perstatos

0 8 2 1 �2 1 � 8 6 pirmoji eilute inversiju neturi, o antroji – turi tris (2,1),

(3,1), (4,1). Taigi ši perstata yra nelygine:3 � 1 � 1

. Ta pati perstata, užrašyta

tokiu budu

0 2 8 � 11 2 8 � 6 irgi yra nelygine:2 � 1 � �

. Jei ji išreikšta taip0 2 � 8 11 8 2 �76 , eiluciu inversiju suma yra1 � 2 � �

.

Perstatos�

eiluciu inversiju suma žymesime � B � F .

Page 7: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 7

2.3 � -tosios eiles determinantai+ -tosios eiles kvadratines matricos; �< = ��#%$ = �') determinantu (žymesime

����� ;arba ; ) vadinamas skaicius

� � �� $ � $�� �� � � � $���� B 4 8@F�� � $ � $�� �� � � � $���� ���=$ ����$ � DEDED��� $ �

Sandaugos ���=$A����$�� DEDED.�� $�� yra vadinamos determinanto nariais.

Kai + � 8 turime tik viena keitini

0 88 6 , kurio antroji eilute inversiju neturi.

Todel����� B �����.F � B 4 8@F�� ����� � ����� . T. y. skaiciaus determinantas yra pats skaicius.

Kai + � 2turime du skirtingus keitinius

0 8 28 2 6 ,

0 8 22 8 6 ir determinanto����

����� ��������� ����� ���� nariai �����.����� , ���� ����� ieina i suma su pliusu ir minusu atitinkamai.

Ketvirtosios eiles determinantas

��������

���������� ���: ���������������� ����: �������:�����:�� ��:�: ��:����� ����� � ��� : �������������

turi� � � 2 �

narius ���=$� ����$�� ��:�$�� ���$�� ; iš ju 12 ieina i suma su ženklu (�

) ir tiek pat –su B 4 F . Pavyzdžiui, narys � �: ����� ��:��.��� � imamas su ženklu "pliusas": B 4 8@F � � :�� � � ��� ��� �B 4 8@F � � 8 .

2.3.1 Determinantu savybes

1.����� ;?> � ����� ;

Pastaba. Visos determinanto savybes, kurios galioja eilutems, galioja ir stulpeliams.

2. Tarkime, kad kvadratine matrica � gauta iš kvadratines matricos;

, sukeitusvietomis dvi jos eilutes. Tada

����� � � 4 ����� ;, t. y. šie du determinantai skiriasi

tik ženklu.Išvada. Determinantas, turintis dvi vienodas eilutes, lygus nuliui. (Turime ; �4 ; �� ; )� 3

).

Page 8: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 8

3.

����������

����� ���� �� ���� �� �� �� ��� ��#&� � ��# � �� � ��# �� �� �� ���� � �� �� �� �� � ����������

� �����������

����� ���� �� ���� �� ����� ����#&� ��# � �� ��# �� ����� ���� )� �� �� �� �� � ����������

Išvada. Determinantas, turintis dvi proporcingas eilutes, lygus nuliui.

4.

����������

����� ���� �� ���� �� �� �� ��� � � �#&� � � � ���#&� � � � �# � � � � ���# � ���� � � �# � � � ���# �� �� �� ���� � �� �� �� �� � ����������

�����������

����� ���� ��<���� �� �� �� ��� � � �#&� � � � �# � ���� � � �# �� �� �� ���� )� �� �� �� �� � ����������

�����������

����� ���� ��!���� �� �� �� ��� � ���#&� � � ���# � �� � � ���# �� �� �� ���� )� �� �� �� �� � ����������

Išvada. Determinantas nesikeicia, jei prie vienos jo eilutes prideti kita jo eilute.

2.3.2 Determinanto minorai ir adjunktai

Tarkime, kad 8 � , � � , � � DEDED � , � � + ir 8 � / � � / � � DEDED � / � � + .Pasirinksime

� B 8 � � � + F�+ -tosios eiles determinanto eiluciu, � - , � - �� - , � ir

�stulpeliu:

/ � -�/ � - �� -�/ � . Šiu eiluciu ir stulpeliu sankirtoje gausime�-tosios eiles

determinanta, kuri vadinsime minoru ir žymesime

� � � B , � - , � - �� - , ��� / � -�/ � - �� -�/ ��F ���������

��# =$ ��# =$�� DEDED ��# "$����# � $ ��# � $�� DEDED ��# � $��DEDED DEDED DEDED DEDED��# � $���# � $�� DEDED���# � $ ���������

Pavyzdys

determinanto ; � ������

8 4 8 23 1 �� � �

������minorai

� B 8 - 2 ��8 - 2 F � ����

8 4 83 1 ���� ,� B 8 - 2 � 2 - 1 F � �

���

4 8 21 ����� ,� B 2 - 1 ��8 - 2 F � �

���

3 1� �

����

Išbraukus kvadratines matricos; , � - , � - �� -�, � eilutes bei

/ � -�/ � - �� -�/ � stulpelius,

Page 9: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 9

gausime + 4 �-tosios eiles kvadratine matrica. Jos determinanta vadinsime mi-

noro�

papildomuoju minoru ir žymesime��� � ��� B , � - , � - �� - , � � / � -�/ � - �� -�/ �EF .

Determinanto ; minoro� B , � -�, � - �� - , ��� / � -�/ � - �� -�/ ��F adjunktu vadinsime san-

dauga ;�� � B 4 8@F # �� # ��� � � � # � � $ �� $ ��� � � � $�� � � B , � - , � - �� - , � � / � -�/ � - �� -�/ �EFdeterminanto ; � �

�����

8 4 8 23 1 �� � �

������minoro

� B 8 - 2 ��8 - 2 F � ����

8 4 83 1 ����

papildomasis minoras� � B 8 - 2 ��8 - 2 F � � , adjunktas

;� � B 4 8@F � � � � � � � � � � .Teorema. Kiekvienos determinanto ; sandaugos;�� D � B , � -�, � - �� - , � � / � -�/ � - �� -�/ �EF ženklas sutampa su to pacio nario� #� $� � #� � $ � DEDED.� #� ��� � $ ��� � ��# =$���# � $�� DEDED ��# � $ � ženklu.Laplaso teorema. Jei pasirinkti

�determinanto eiluciu ir sudaryti visus gali-

mus�-tosios eiles minorus

� B , � - , � - �� - , ��� / � -�/ � - �� -�/ ��F , tai����)$��)$�� ������� �)$����� ;� � B , � - , � - �� - , � � / � -�/ � - �� -�/ ��F � ����� ;determinanto ; � �

�����

8 4 8 23 1 �� � �

������� 2�� � B 4 2 3 F � 3 4 2�� 4 3 4 1�3 � 4 � 3

antrosios bei treciosios eiluciu minorai bei adjunktai yra� B 2 - 1 ��8 - 2 F � �

���

3 1� �

���� � 4 8 2 , ; B 2 - 1 ��8 - 2 F � B 4 8EF � � : � � � � 2 � 2

,

� B 2 - 1 ��8 - 1 F � ����

3 �� �

���� � 4 2 3 , ; B 2 - 1 ��8 - 1 F � B 4 8EF � � : � � � : B 4 8@F � 8 ,

� B 2 - 1 � 2 - 1 F � ����

1 �� �

���� � 4 � ,

; B 2 - 1 � 2 - 1 F � B 4 8@F � � : � � � : 8 � 8 .Taigi

; B 2 - 1 ��8 - 2 F � B 2 - 1 ��8 - 2 F � ; B 2 - 1 ��8 - 1 F � B 2 - 1 ��8 - 1 F � ; B 2 - 1 � 2 - 1 F � B 2 - 1 � 2 - 1 F �2 D B 4 8 2 F � 8(D B 4 2 3 F � 8?D B 4 � F � 4 �)32.3.3 Determinanto skleidimo formules

Paimkime Laplaso teoremoje� � 8 . Tai reiškia pasirinkti kuria nors viena eilute

(arba sulpeli). Minorai� B , � / F sutampa su determinanto elementais � #%$ . Ju ad-

junktus žymesime; #%$ . Iš Laplaso teoremos gauname

����� ; � � $ � � ��#%$ ; #%$ � � # � � ��# $ ; #%$

Page 10: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 10

Šios formules yra vadinamos determinanto skleidiniais,-tosios eilutes ir

/-tojo

stulpelio elementais.

Pastaba. Jei determinanto skleidimo formuleje paimti kurio nors stulpelio (eilutes)elementus ir kito sulpelio (eilutes) adjunktus, suma bus lygi nuliui.Irodymas. Sudarykime toki determinanta

; $ ���������

����� DEDED ����� $ � � � � ����� $ � � DEDED ���� ����� DEDED ����� $ � � � � ����� $ � � DEDED ���� DEDED DEDED DEDED DEDED DEDED DEDED�� )� DEDED �� � $ � � � �� �� $ � � DEDED��� � ��������

Šis determinantas yra lygus ; $ � �# � � � # ; # $ . Paimkime vietoje elementu � � - � � - �� - � �-tojo stulpelio (

� �� /elementus. Šis determinantas tures du vienodus stulpelius

ir todel jis lygus nuliui. Taigi � $ � � ��# $ ; ��$ � 3 -�,��� � - � # � � ��#%$ ; # � � 3 - / �� �

2.3.4 Determinantu skaiciavimas

1. Skleidimo formules taikymas������

8 4 8 23 1 �� � �

�������8 D B 4 8@F � � � D ���� 1 �

� ������ B 4 8EF D B 4 8@F � � � D ���� 3 �

� ������ 2 D B 4 8@F � � : D ���� 3 1

� ����� �4 � 4 2 3 4 2�� � 4 � 3

2. Deteminanto savybiu taikymasAtimkime iš determinanto antrojo stulpelio pirmaji stulpeli, padauginta iš

2:

� � ������

8 4 8 22 � �� � �

������� �

�����

8 4 1 22 3 �� 3 �

������

Dabar skeidžiame determinanta antrojo stulpelio elementais:� � B 4 1 F�D B 4 8EF � � � ���� 2 �

� ����� � 1 B 8 � 4 2)3 F � 4 8 2

Page 11: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 11

3. Laplaso teoremos taikymas

Iš determinanto� �

��������

3 4 8 3 34 2 4 2 3 38 2 2 �1 � 8 4 1��������

pirmuju dvieju eiluciu elementu ga-

lima sudaryti tik viena nelygu nuliui minora� � �

���

3 4 84 2 4 2 ���� � 4 2 Taigi

� � � D ;� � 4 2 B 4 8@F � � � � � � � ���� 2 �8 4 1 ���� � 4 2 D B 4 � 4 � F � 2 3

2.4 Atvirkštine matrica

Apibrežimas. Atvirkštine kvadratinei matricai;

vadiname tokia matrica; � � , kad; D ; � � � ; � � D ; � �

Kvadratine matrica gali tureti tik viena atvirkštine matrica.Irodymas. Tarkime, kad

; �kita atvirkštine matrica. Tada

; � � ; � � � ; � B ; ; � � F �B ; � ; F ; � � � � ; � � � ; � � .Tarkime, kad

����� ; �< ; �� 3. Tada

; � � � 8 ; ����; ��� ; ��� DEDED ; �; �� ; ��� DEDED ; ��DEDED DEDED DEDED DEDED; �� ; �� DEDED ;

� ���Cia

; #%$ matricos;

elementu adjunktai. Jie surašyti taip, kaip transponuotos ma-tricos elementai.Irodymas išplaukia is Laplaso teoremos.

Jei����� ; � 3

atvirkštine matrica; � � neegzistuoja.

Lema.����� B ; � F � ����� ; ����� �

Irodymas. Tarkime, kad����� ; � 3

ir; � � egzistuoja. Tada

����� � � 8 ������ ; ����� ; � � � 3ir gavome prieštara.

Raskime atvirkštine matrica matricai

�� 8 2 33 8 83 8 1 ��

Page 12: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

2 DETERMINANTAI 12

������

8 2 33 8 83 8 1 ������� 2 -

; ��� � B 4 8EF � � � ���� 8 88 1 ���� � 2 - ; ��� � B 4 8@F � � � ���� 2 38 1 �

��� � 4 � - ; :�� � B 4 8@F : � � ���� 2 38 8 �

��� � 2 -

; �� � B 4 8EF � � � ���� 3 83 1 ���� � 3 - ; ��� � B 4 8@F � � � ���� 8 33 1 �

��� � 1 - ; :�� � B 4 8@F : � � ���� 8 33 8 �

��� � 4 8 -; �: � B 4 8EF � � : ���� 3 83 8 �

��� � 3 - ; ��: � B 4 8@F � � : ���� 8 23 8 �

��� � 4 8 - ; :�: � B 4 8@F : � : ���� 8 23 8 �

��� � 8 -

; � � � ��� � � � �

� � � � �

� ��� � �� �

� � �� � �� � �

� ���� � �� �

� � �� � �� � �

� � �� � �

���� � �� �� ���� ���� :� � ���� � �� ���� � �� 8 4 1 83 :� 4 ��3 4 �� ��

��2.4.1 Matricines lygtys;�� � � ,

� � ;?> � ,� ; � � ,

� � � ; >Išspreskime matricines lygtis;�� � 0 8 24 2 1 6 , �

; � 0 8 24 2 176 , kai; � 0 8 22 3 6 .; � � � 0�3 ���� 4 �� 6 ,

� � ; � � 0 8 24 2 1 6 � 0 4 8 :�8 �� 6 ,

� � 0 8 24 2 1 6 ; � � � 0 8 3:� 4��� 6

Page 13: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 13

3 Tiesiniu lygciu sistemos

3.1 Apibrežimai

Tiesiniu (pirmosios eiles) algebriniu * lygciu sistema su + nežinomaisiais � � , � � ,�� , � ����� ��������� � � � ���� � � � DEDED � ���� � � � � -����� � � � ����� � � � DEDED � ���� � � � � -DEDED�DEDED DEDED DEDED DEDED�DEDED�DEDED DEDED DEDED��� � � � � ��� � � � � DEDED � ��� �� � � � �

sistemos matrica; �

���� ����� ���� DEDED ���� ����� ����� DEDED ���� DEDED DEDED DEDED DEDED����������� DEDED���� ����� -

nežinomuju matrica stulpelis (vektorius)� �

���� � �� �DEDED�

����� , dešines puses koeficentu

vektorius (matrica stulpelis) � ����� � �� �DEDED

� � ���

sistemos matricinis pavidalas; � � �

sistema sistemasuderintoji nesuderintoji

turi bent viena sprendini neturi ne vieno sprendiniosistema sistema

apibrežtoji neapibrežtojituri lygiai turi daugiau,

viena sprendini kaip vienasprendini

(visada be galo daug)

3.2 Sistema su kvadratine matrica+ � * ,; �< = ��#%$ " �') , � � ����� ; �! ; .

Page 14: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 14

3.2.1 Atvirkštines matricos metodas����� ; �� 3

,;�� � � ,

� � ; � � �Sistema turi vieninteli sprendini (apibrežta), kadangi atvirkštine matrica yra vien-intele.� � ��� � 2

� 4 � � 30 8 88 4 8 6 D 0 �� 6 � 0 23 6 ,

; � 0 8 88 4 8 6 ,� � 0 �

� 6 , � � 0 23 6; � � � 0 �� ���� 4 �� 6 ,� � 0 �

� 6 � 0 �� ���� 4 �� 6 D 0 23 6 � 0 88 6Taigi � � 8 , � � 8 .3.2.2 Kramerio formules

� � ; � � � � �� � �

��������� ���� � ; � � � � ���� � ; � � � �DEDED ���� � ; � � �

���������� , � $ � � �� � � � ��� � � � ����� � � � � � ����� �

� $ �

����� ���� DEDED ����� $ � � � � ����� $ � � DEDED ���� ����� ����� DEDED ����� $ � � � � ����� $ � � DEDED ���� DEDED DEDED�DEDED DEDED DEDED DEDED DEDED DEDED�� � �� �� DEDED��� � $ � � � �� �� $ � � DEDED��� �

���� � � � ��� � ��� � 2

� 4 � � 3; � 0 8 88 4 8 6 ,� � 4 2 , � � � �

���

2 83 4 8 ���� � 4 2 , � � �

� � � �� � � 8� � � �

���

8 28 3 ���� � 4 2 , � � � �

� � � �� � � 8

Page 15: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 15

3.3 Sistemos elementarieji pertvarkiai

Ekvivalencios sistemos – sistemos su tais paciais kintamaisiais ir turincios taspacias sprendiniu aibes.

� � ��� � 2� 4 � � 3��

����� ����� ��� � 2� 4 � � 32 � � 2

( sudetos lygtys )2 � � 2( iš pirmosios lygties atimta antroji )

1) lygciu keitimas vietomis;2) lygties abieju pusiu dauginimas iš nelygaus nuliui skaiciaus;3) lygties keitimas jos bei kitos lygties suma.

Elementariais pertvarkiais gaunama ekvivalenti sistema.

3.4 Gauso metodas

Trapecine sistema����� � � � ���� � � � DEDED � ����� � � � DEDED � ���� � � � ������ � � � DEDED � ����� � � � DEDED � ���� � � � �DEDED�DEDED DEDED�DEDED DEDED�DEDED�DEDED DEDED�DEDED DEDED DEDED DEDED����� � � � DEDED � ���� � � � �3 � � � � �DEDED3 � � �Bet kuri tiesiniu lygciu sistema yra ekvivelenti tam tikrai trapecinei sistemai.

Page 16: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 16

Kai� � * � + turime trapecines sistemos atskira atveji – trikampine sistema����� � � � ���� � � � ���: � :�DEDED�DEDED � ����� � � � � ������ � � � ���: � :�DEDED�DEDED � ����� � � � � �DEDED�DEDED DEDED�DEDED�DEDED DEDED�DEDED DEDED��� � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � ������ � � � � �

Tarkime, kad ����� �� 3. Tada iš paskutines lygties gauname � � � ����

���. Jei��� � ��� � � � � � � � �� 3

iš priešpaskutines lygties randame � � � � � � � � � � � � � � �������

��

� �� ir t. t.

(Gauso metodo atvirkštine eiga). Taigi kai visi pagrindines istrižaines koeficientai��# # �� 3, sistema turi vieninteli sprendini (apibrežtoji).

Tarkime, kad ����� � 3. Jei � � �� 3

sistema neturi sprendiniu (nesuderintoji).Taigi jei trapecineje sistemoje bent vienas koeficientas � � � � , � � � � , DEDED , � � nelygusnuliui, sistema yra nesuderinta.Tarkime, kad ����� � � � � 3

. Tai atitinka trapecine sistema su lygtimis��� � ��� � � � � � � � � ��� � ��� � � � � � � � � ir3 � � � .

Tokia sistema gali tureti be galo daug sprendiniu (arba visai ju neturi, jei � � � ��� � � � ���� � ��� � � 3ir � � � � �� 3

).Gauso metodo ideja – elementariais pervarkiais suvesti sistema prie trikampines(trapecines).Gauso metodo pirmas žingsnis ( � ��� �� 3

, priešingu atveju galima sukeisti vietomislygtis (matricos eilutes)).���� ����� ���� DEDED ���� ����� ����� DEDED ���� DEDED DEDED DEDED DEDED����������� DEDED ���

����� �

���� ����� ���� DEDED ���� 3 � � ��� DEDED � � �� DEDED DEDED DEDED DEDED3 � ���� DEDED � �� �����

� � ��$ � ����$ 4 ���=$ � � � , � � :�$ � ��:�$ 4 ���=$ � ��

� , DEDED , � �� $ � ��� $ 4 ���=$ � � .

Gauso metodo antrame žingsnyje nagrinejame matrica

�� � � ��� DEDED � � �� DEDED DEDED DEDED� �� � DEDED � �� �� , kuri

turi viena eilute mažiau. Taigi po * žingsniu gausime trapecine (trikampine)matrica.

Page 17: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 17

3.5 Matricos rangas

Sudarykime visus matricos; � �� ����� DEDED ���� DEDED DEDED DEDED��� � DEDED ���

�� �-tosios eiles minorus

� � � � B , � -�, � - DEDED - , � � / � -�/ � - DEDED -�/ � F ���������

��# =$� ��# =$�� DEDED���# =$���# � $ ��# � $ � DEDED���# � $�DEDED DEDED DEDED DEDED��#

�$ ��#

�$ � DEDED���#

�$�

��������

. Pastebekime,

kad� ������� � * - +�� . Nagrinesime visus nenlygius nuliui minorus

� � �� 3. Did-

žiausias skaicius�

(minoro eile) yra vadinamas matricos rangu:

rang; � �����

��� � �

Matrica; � �� 8 2 1 �

� � � �� 8 3 8�8 8 2�� turi keturis treciosios eiles minorus. Jie visi

yra lygus nuliui:

������

8 2 1� � �� 8 3 8 8

������� 3

,

������

8 2 �� � �� 8 3 8 2

������� 3

,

������

8 1 �� � �� 8�8 8 2

������� 3

,

������

2 1 �� � �8 3 8�8 8 2

������� 3

. Todel rang; � 1

. Matrica;

turi� �� � :� � 2 �

antrosios

eiles minorus. Kadangi ne visi jie yra lygus nuliui (pavyzdžiui,� B 8 - 8 ��8 - 8@F ��

���

8 2� �

���� � 4 � �� 3

), rang; � 2

.

Matricos;

ir � , gaunamos viena iš kitos elementariaisiais pertvarkiais, yra vadi-namos ekvivalenciomis. Žymime

; � � .Ekvivalenciuju matricu rangai yra lygus.Irodymas. Jei rang

;tai egzistuoja matricos

; �-tosios� B , � - , � - DEDED - , � � / � -�/ � - DEDED -�/ � F �� 3

, o visi� � 8 -osios (ir aukštesnes) eiles mi-

norai lygus nuliui. Kadangi bet kuris matricos minoras, atliekant elementariuspertvarkius lieka lygus (arba nelygus, jei toks buvo) nuliui, tai rang � � �

.

Pastebekime, kad visus elementarius pervarkius galima atlikti ne tik su matricoseilutemis (tai atitinka tiesiniu lygciu sistemos pertvarkius), bet ir su stulpelius(kadangi determinantas nesikeicia transponuojant matrica). Dar pastebekime, kadgalima šalinti matricos nulines eilutes bei stulpelius.

Page 18: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 18

Bet kuri matrica; -

rang; � �

yra ekvivalenti� 4�� � , � eiles vienetinei matricai:; � � � .; � �� 8 2 1 �

� � � �� 8 3 8 8 8 2�� �

�� 8 2 1 �� � � �� � � �

�� �

�� 8 2 1 �8 8 8 83 3 3 3 �� �0 8 2 1 �8 8 8 8 6 �

0 8 8 2 18 3 3 376 �

0 8 8 8 88 8 3 3 6 �0 8 8 3 38 3 3 3 6 �

0 8 88 3 6 �

0 3 88 3 6 �

0 8 33 8 63.6 Bazinio minoro metodas

Tarkime, kad tiesiniu lygciu sistemos����� ��������� � � � ���� � � � DEDED � ���� � � � � -����� � � � ����� � � � DEDED � ���� � � � � -DEDED�DEDED DEDED DEDED DEDED�DEDED�DEDED DEDED DEDED��� � � � � ��� � � � � DEDED � ��� �� � � � �

matricos; � " ��#%$ & �(') rang

; � �. Tai reiškia, kad egzistuoja

�-tosios eiles

minoras� � �� 3

. (Ši minora vadiname baziniu). Tarkime, kad� B 8 - 2 - �� -�� ��8 - 2 - �� -�� F �� 3. (Priešingu atveju galima sukeisti vietomis siste-

mos lygtis bei pakeisti kintamuju � � , � � , DEDED , � numerius. Jei� � * – siste-

moje yra lygciu, kurios gali buti eliminuotos (pašalintos) elementariais pertvarki-ais. Todel paliekame sistemoje

�lygciu. (Veliau parodysime, kad tai padaryti

visada galima, jei sistema yra suderintoji). Jei + � �turime sistema su kvadratine

matrica ir����� ; �� 3

. Tokia sistema turi vieninteli sprendini, kuri galima rastiKramerio metodu. Išnagrinekime atveji, kai + � �

ir perrašykime sistema taip:����� ��������� � � � ���� � � � DEDED � ����� � � � � � 4 ����� � � � � � � � 4 DEDED ���� � -����� � � � ����� � � � DEDED � ����� � � � � � 4 ����� � � � � � � � 4 DEDED ���� � -DEDED DEDED�DEDED DEDED�DEDED�DEDED DEDED�DEDED DEDED DEDED�DEDED�DEDED DEDED����� � � � ����� � � � DEDED � ������ � � � � � 4 ��� � � � � � � � � 4 DEDED����� �

Kintamuosius � � � � , � � � � , DEDED , � vadiname laisvaisias, o � � , � � , DEDED , � � – bazini-ais. Taigi baziniu kintamuju yra

� � rang;

, o laisvuju kintamuju yra + 4 �.

Page 19: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 19

Pažymekime � $ � � $ 4 �� � � � � �@$ � � � . Kadangi� � �� 3

, sistema sprendžiame,

taikydami Kramerio formules

� $ � 8� �

������

����� DEDED � � DEDED ��# �DEDED DEDED DEDED DEDED DEDED����� DEDED � � DEDED������������

- / � 8 - 2 - �� - � Skleisdami šiuos determinantus

/-tojo stulpelio elementais, gauname bendrojo

sprendinio formules:

� $ � J �$ � J � � �$ � � � � � DEDED � J $ � - / � 8 - 2 - �� - � Cia J #$ - , � � � 8 - � � 2 - �� - + – prikalauso tik nuo koeficientu � # $ , o J �$ dar ir nuo

� � , � � , DEDED , � � . Kai laisvieji kintamieji � � � � , DEDED , � igyja konkrecias reikšmes,gauname sistemos atskiraji sprendini. Taigi kai bent vienas koeficientas J #$ �� 3sistema turi be galo daug sprendiniu.� � ��� ��� 4�� � 2 -

� 4 � 4 � � � � 3� � ��� � 2 4 � � � -

� 4 � � � 4��� �

����

2 4 ��� � 8� 4�� 4 8 �

���

����

8 88 4 8 ����

� 8� �

����

8 2 4 � � �8 � 4�� ����

����

8 88 4 8 ����

� 8 4 � � �Bendrasis sprendinys

���� ��

� ��������� 88 4 G � HG H

� ��� ;

atskirieji sprendiniai

���� 8833����� ,

���� 83 83����� ,

���� 823 8����� .

Page 20: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 20

3.7 Homogogenine lygciu sistema � $ � � ��#%$ � $ � 3 - , � 8 - 2 - �� - * Homogenine sistema visada suderinta (turi nulini (trivialu) sprendini).� � rang

;, bendrasis sprendinys� $ � � � � �$ � � � � � � � � �$ � � � � � DEDED � � $ ,

/ � 8 - 2 - �� - � .Fundamentalioji sprendiniu sistema������������������

� � � ��� � � �� 3DEDED� � � �� 833DEDED33

�������������������-������������������

� � � ��� � � �� 3DEDED� � � �� 3 83DEDED33

�������������������-������������������

� � � :�� � � :� 3DEDED� � � :� 33 8DEDED33

�������������������- DEDED -

������������������

� � ��� � �� 3DEDED� � �� 333DEDED83

�������������������-������������������

� �� �3DEDED� �333DEDED3 8

�������������������Pažymeje šiuos atskiruosius sprendinius

� � , � � , DEDED , � � � , bet kuri homogeninessistemos sprendini galime užrašyti taipB � � � � DEDED � �F > � � � � � ��� � � � � DEDED ��� � � � � � ,� $ – konstantos. Taigi homogenine sistema turi vieninteli nulini sprendini tada irtik tada, kai rang

; � + .

3.8 Kronekerio ir Kapelio teorema � $ � � ��#%$ � $ � � # - , � 8 - 2 - �� - * Sistemos matrica

; �! = ��#%$ = �(') , išplestoji matrica B ; � F ����� ����� DEDED ���� � ������ DEDED ���� � �DEDED DEDED DEDED DEDED����� DEDED����� � �

� ��� .

Teorema. Tiesiniu lygciu sistema yra suderinta tada ir tik tada, kai rang; �

rang B ; � F .

Page 21: 1 Matricos - inga.vgtu.ltinga.vgtu.lt/~akrl/Medziaga/Konspektai/AlgebraGeometrija/... · gretimais elementais, gausime kelin˙ ˛i B -/ -- - , - F. Kadangi 2 8 yra nelyginis skaiˇcius,

3 TIESINIU LYGCIU SISTEMOS 21

Sistema yra apibrežta, kai rang; � + .

Bendrojo sprendinio strukturaNehomogenines Homogenines Nehomogenines

lygties lygties lygtiesbendrasis = bendrasis + atskirasis

sprendinys sprendinys sprendinys