1 mecanicafluidosii introducao mec2345
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Mecanica dos FluidosTRANSCRIPT
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MEC2345Mecnica dos Fluidos IIMecnica dos Fluidos II
20132013 2220132013--2 2 Departamento de Engenharia Mecnica
Angela Ourivio Nieckelesala 163- L ramal 1182 e-mail: [email protected]
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O que um Fluido? um material em m estado tal q e se deforma contin amente q andoum estado tal que se deforma continuamente quando
sujeito a ao de cargas anisotrpicas (tenses cisalhantes), por menor que seja a carga.
Slidos oferecem resistncia a deformao. Apresentam deformao finita quando submetidos a esforos cisalhantes
Slido: equilbrio esttico Lquido: equilbrio dinmico = deformao = taxa de deformao
T i lh t F/ A G Fluidos Newtonianos:
q q q
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Tenso cisalhante: = F/ A = G G = mdulo de elasticidade
Lei de Newton: = = d u / dy = viscosidade (propriedade do fluido)
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Aplicaes Previses metereolgicas:
Furaco Tornado
Estruturas e prdios Gerao de eletricidade Estruturas e prdios Gerao de eletricidade(barragens)
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CAplicaesCarros
Avies Barcos
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Esportes:
bioengenharia :
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Resfriamento de tcomponentes
eletrnicos:
Poluio (atmosfrica/hdrica)
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Quais so os Fenmenos de TTransporte?
Dinmica dos fluidos: transporte de quantidade de Dinmica dos fluidos: transporte de quantidade de movimento
Transferncia de calor: transporte de energiaTransferncia de massa: transporte de massa de
espcies qumicas
Observao:1. Freqentemente ocorrem simultaneamente2 As equaes bsicas so muito semelhantes e as2. As equaes bsicas so muito semelhantes e as
ferramentas matemticas para resolver problemas so similares, porque os mecanismos moleculares so diretamente relacionados.
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Equaes de Conservao da Mecnica
Conservao de massa
Conservao de quantidade movimento linearConservao de quantidade movimento linear
(2. Lei de Newton)
Conservao de quantidade de movimento angular
Conservao de energia (1. Lei da termodinmica)
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Mecnica dos Fluidos utiliza experincias j ntamente com tcnicas analticas e comp tacionais najuntamente com tcnicas analticas e computacionais na resoluo dos problemas. Resolver um problema normalmente implica na determinao de campos de velocidade. Da obtm-se campos de presso, foras, etc.
Experimentos so normalmente caros e demorados. PorExperimentos so normalmente caros e demorados. Por esta razo devem ser minimizados usando-se, sempre que possvel, solues analticas ou computacionais.
Solues analticas nem sempre so possveis. Da a necessidade de simplificaes. necessrio ter um bom senso educado para cortar termos fazer hiptese etcsenso educado para cortar termos, fazer hiptese, etc.
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Propriedades dos Fluidos Matria formada por molculas em movimento, colidindo. As
propriedades de matrias esto relacionadas com o comportamento molecular
Presso (P): resultante da coliso das molculas com as paredes do recipiente
PaN
reaForaP
2
Densidade (): relaciona-se com a ocupao da matria
mrea 2
3mkgm
Volume especfico (): relaciona-se com a ocupao da matria
kgm1
m
3
ocupao da matria
Densidade relativa (d): razo entre a densidade d b i d id d d
d
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da substncia e a densidade da gua (adimensional)
O2H
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Fluidos Lquidos: fora coesiva entre molculas forte Lquidos: fora coesiva entre molculas forte.
Possui superfcie livre
Gases: fora coesiva entre molculas fraca.Ocupa todo recipiente.
Temperatura (T): uma medida da energia cintica das molculas Medida relativa T (oC oF) ou absoluta T (K R)molculas. Medida relativa T (oC, oF) ou absoluta T (K, R) Igualdade de temperatura equilbrio trmico
Viscosidade absoluta(): razo entre a tenso cisalhante() e a taxa de deformao ( )
12 Viscosidade cinemtica ()
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Para entender o comportamento da matria seria necessrio considerar cada molcula, conhecendo a hi t i d d l id d l d dhistria de cada uma, velocidade, acelerao e modos de iterao. Isto invivel sem um tratamento estatstico, devido ao elevado nmero de molculas.
Na maioria das aplicaes da engenharia, desejamos estudar uma quantidade de volume de fluido contendo um grande nmero de molculas hiptese do contnuo: admite-se que osnmero de molculas hiptese do contnuo: admite se que os fluidos so meios contnuos, esquecendo-se da sua estrutura molecular.
Para demonstrar o conceito do contnuo, considere a propriedade densidade:
m/
Molecular Continuo ex: densidade: (x,y,z,t) = lim m/
dd*
13d
d*
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A hiptese do contnuo falha quando as dimenses envolvidas forem da ordem do caminho mdio livre entre colises moleculares: Distncia mdia entre colises de molculas do ar nas CNTP:
1 6 x 10-5 cm 1, 6 x 10 cm ex. arraste em satlites. A Teoria cintica dos gases trata desta rea.
Conceito do contnuo est associado com o conceito de fcampo, i.e., todas as grandezas so definidas no espao e
no tempo: Ex: V(r,t); P(r,t); etc. O vetor posio r pode ser escrito em diferentes sistemas de p p
coordenadas: Cartesiano: Cilndrico:
zyx ezeyexr r
zr ezerr )(r Cilndrico:
Esfrico: zr )(
),(r rerr No importa qual a partcula que est no ponto
em um determinado instante de tempo mas sim
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em um determinado instante de tempo, mas sim em que condies a partcula que passar pelo ponto naquele instante possui.
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Sistema versus Volume de Controle Sistema
massa constante Volume de controle
regio fixa do espao
Fronteira do sistema
Fronteira do volume de controle
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Tcnicas Bsicas de Anlise Formulao Integral: equaes de conservao so
aplicadas a um volume de controle finito menor esforo; resultados globais menor esforo; resultados globais. tima ferramenta quando se deseja valores mdios e globais. No fornece detalhes do escoamento.
l f d t i d b bj t exemplo: fora de arraste agindo sobre um objeto
Formulao Diferencial: equaes de conservao so Formulao Diferencial: equaes de conservao so aplicadas a um volume de controle infinitesimal
maior esforo; resultados pontuais.solues detalhadas porm complicadas solues detalhadas, porm complicadas
exemplo: distribuio de presso ao longo da superfcie de um objeto
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Mtodo Lagrangeano versus EulerianoMt d L i A d Mtodo Lagrangiano: As equaes de conservao so aplicadas a um sistema arbitrrio, o qual pode ser infinitesimal ou finito. A varivel fsica descrita para um determinada partcula A varivel independente um rtulo da partcula, como por
exemplo a coordenada da partcula em um determinadoexemplo, a coordenada da partcula em um determinado instante de tempo: a posio da partcula P em t = 0
Esta funo descreve como a funo da partcula P varia com o tempo
Pr
),( trP
partcula P varia com o tempo Ex: policial seguindo carro
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Mtodo Lagrangeano versus Euleriano
Mtodo Euleriano: As equaes de conservao so Mtodo Euleriano: As equaes de conservao so aplicadas a um volume de controle arbitrrio, o qual pode ser infinitesimal ou finito A varivel fsica descrita em relao a um ponto do espao Para cada instante t, a partcula em uma partcula
diferenter
a posio da partcula P em t Esta funo descreve a funo na posio
da partcula P em funo do tempo
r
),( tr da partcula P em funo do tempo
Ex: controlador de trfego
Vamos utilizar a formulaoVamos utilizar a formulao Euleriana, juntamente com o conceito de campo, i.e., todas as propriedades so definidas
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em funo de sua localizao no espao e no tempo
-
),,,( tzyx Descrio Euleriana Derivada total de uma grandeza (presso, temperatura,
velocidade, etc) descreve como a grandeza varia segundo o movimento (= como varia com o tempo para uma determinada partcula(= como varia com o tempo para uma determinada partcula
tdzd
ztddy
ytddx
xtddt
ttdd
wvu
particula tdztdytdxtdttd
D
ocomvariaodetaxaocomvariaodetaxa
wz
vy
uxttD
D
)(.)(
convectivavariaopartculadamovaodevidotempoocomvariaodetaxa
fixaposiotempoocomvariaodetaxa
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Vetor Velocidade:
iii
iizyx eueueueueueweveuV 332211
Produto escalar entre vetores:
iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA
Operador gradiente:
iiijjijijijjii BABAeeBAeBeABA
ii x
ex
ex
ex
e
3
32
21
1grad
Operador Divergente:ijj AAA
20ii
iji
jji
i
jjj
ii xx
eex
Aex
eAA div
-
DD Derivada Material
Deseja-se medir variao da presso com o tempo, em trs situaes diferentes:
ii x
uttD
DouVttD
D
j p p ,
1 - Estao Metereolgica p=p(t) dpdtpt
2 - Avio com velocidade V u i v j w ka a a a
Va
dpdt
pt
dtdt
px
dxdt
py
dydt
pz
dzdt
pt
px u
py v
pz wa a a
3 - Balo sem propulso, se deslocando com a velocidade do ar, do fluido, com velocidade
V u i v j w k
21
dpdt
pt
dtdt
px
dxdt
py
dydt
pz
dzdt
pt
px u
py v
pz w
pt V p
D pD t
-
Fluidos em Movimento O escoamento dos fluidos determinado a partir do
conhecimento da velocidade em cada ponto do escoamento isto a partir do campo das diversas
Tipos de Campos:
escoamento, isto , a partir do campo das diversas grandezas relevantes.
Tipos de Campos: Campo escalar:
massa especfica: (r ,t); temperatura: T(r ,t); presso p(r ,t)
Campo vetorial: velocidade: V(r ,t); acelerao: a(r ,t); fora F(r ,t) velocidade: V(r ,t); acelerao: a(r ,t); fora F(r ,t)
Campo Tensorial: t ( t) di t d l id d V( t)
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tenso: (r ,t); gradiente de velocidade: V(r ,t); taxa de deformao D(r ,t)
-
Tipos de Escoamento Regime permanente:
V = V(r ); isto ( ) / t = 0
Regime transiente: V=V(r ,t) Caso geral: ( ) / t 0
Escoamento uniforme: a velocidade a mesma em qualquer ponto do escoamento
Escoamento no uniforme: a velocidade varia de ponto para ponto do escoamento
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varia de ponto para ponto do escoamento
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Dimenso Uni-dimensional: v depende somente de uma Uni-dimensional: v depende somente de uma
coordenada espacial
Bi-dimensional: v depende somente de duas coordenadas espaciais
Tri-dimensional: v depende das trs coordenadas espaciais, caso geral.
-
Fluido perfeito, sem viscosidade: Fluido perfeito, sem viscosidade: 0 ( )0
Fluido viscoso : 0
Caracterizao dos Fluidos quanto ao seu comportamento sob esforos normais compressivos: Compressveis: quando h variao aprecivel de volumes Compressveis: quando h variao aprecivel de volumes
devido compresso. Gases em geral se comportam assim. constante (M>0,3), onde M= V/c o nmero de Mach; c = velocidade do somMach; c = velocidade do som
Incompressveis: quando a variao do volume pequena para grandes compresses. A maioria dos lquidos se
t d t f t t25
comporta desta forma. constante
-
Regime de Escoamento:
Escoamento laminar: movimento regular
Escoamento Turbulento: aparecem turbilhes no escoamento, causando um movimento de mistura. O turbilhamento provoca um regime no permanente Porm o tempo caracterstico depermanente. Porm o tempo caracterstico de flutuao turbulenta < < escala de tempo que define o regime permanente ou transiente
Se o escoamento laminar, eventuais perturbaes sero amortecidas e desaparecero a o tec das e desapa ece o(Fig. a). Durante a transio, picos espordicos de turbulncia surgiro (Fig. b). Durante o regime turbulento o escoamento
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regime turbulento, o escoamento flutuar continuamente (Fig. c).
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Experincia de ReynoldsLaminar:filamento de corante no se misturase mistura
Turbulento: o corante mistura rapidamenterapidamente
O escoamento turbulento ocorre a altas velocidades Aocorre a altas velocidades. A transio caracterizada pelo no. de Reynolds
DVRe
Reynolds altos esc turbulento27
Reynolds altos esc. turbulento Reynolds baixo esc. laminar
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Vetor tenso O vetor tenso tn a fora de contato por
unidade de rea que um material dentro de (t) faz no material fora de (t).
A dependncia de t em n pode ser obtida atravs de um
de (t) faz no material fora de (t). Hiptese de Cauchy: tn = tn (n)
A dependncia de tn em n pode ser obtida atravs de um balano de foras em um tetraedro com a altura h 0.
00 )e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxn dAdAdAdAF
Da 3. Lei de Newton
zzyyxxn
ntez
ento
ntzzyyxx tt;tt;tt ey
28
ento netetetn)e(nt)e(nt)e(ntt zzyyxxzzyyxxn ex
-
Tensor tenso o tensor tenso: yyxx etetet o tensor tenso: Note que:
zzyyxx etetet
]t[ee]t[ee]t[eet
]t[ee]t[ee]t[eet xzzxyyxxxx
ez tz
Ento substituindo as tenses nos planos perpendiculares]t[ee]t[ee]t[eet
]t[ee]t[ee]t[eet
zzzzyyzxxz
yzzyyyyxxyey
ex
Ento substituindo as tenses nos planos perpendiculares as direes x, y e z, tem-se
]t[eee]t[eee]t[eee xzzxxyyxxxxx e
]t[eee]t[eee]t[eee
]t[eee]t[eee]t[eee
zzzzzyyzzxxz
yzzyyyyyyxxy
yy
tzt-x
ty
ez
yy
yzyyyxxzxyxxtetetetetete
t-ztx
t-y ey
ex A matriz
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zzzyzx
yzyyyxtetete
x
-
Tensor tenso Definindo etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx Definindo o tensor tenso :
xzxyxx
etc;te;te;te xzxzxyxyxxxx
Substituindo as tenses nos planos perpendiculares as
zzzyzx
yzyyyx
Substituindo as tenses nos planos perpendiculares as direes x, y e z, tem-se
yyy
1 subscrito indica a superfciedo cubo na qual a tenso atua
yxyzxydo cubo na qual a tenso atua,
enquanto que o 2 ndice indica a direo da tenso
xx
xxz
zx
zy
30
z
zz zx
-
Fluido em repouso:Compresso isotrpica:
I PPP
PP
100010001
000000
I t i id tid d
P 10000y
I a matriz identidade, que tambm pode ser representada pelo Pzz
Pyy
operador delta de kronecker Pxx Pxx
x
zji
jiseij
0
1
31
Pyy Pzz jise 0
-
Fluido em movimento:S t di i l P d t tSurge uma tenso adicional: P onde o tensor extra-tenso (tenso de tenses viscosas)
xzxyxx
zzzyzx
zyyyyx
y
yyyy P y
zzzyzx
yxyx yzyz
xyxy xxxx P
xP
xzxz
yy
zxzx
zyzy
32
z
zzzz P zxzx
-
Gradiente de Velocidade: vE d d t iEm coordenadas cartesianas: dr = ex dx + ey dy + ez dz e v = ex u + ey v + ez w
d d
xw
xv
xu
x
d v = d r v
wvuyw
yv
yuwvu
yVV
grad
zzzz
vvvzu
yu
xu
V T)(grad
;
010
001I ij
33
zw
yw
xw
zyx 100j
-
Taxa de Deformao: D
21
21
TT VVVVV )()(
evorticidaddeformao
detaxa
1Taxa de deformao
TVV )(D 21
11
vwvvuzu
xw
yu
xv
xu
1121
21
D
Diagonal: taxa de deformao linear do elemento de fluido
wwvwu
zyyxy11
22D elemento de fluido
Fora da diagonal: taxa d d f l
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zyzxz 22 de deformao angular
do elemento de fluido
-
Taxa de deformao angular:tdtd
=du t=(u/y)yt
yx
yx
Duv
ytdu
xtdv
2
li
tantan
=dv t
u (y)
yxy
tyx Dyxt
20
lim =(v/x)xtv (x)
Taxa de deformao linear:xx x
tdu u (y)=dv t =(v/y)yt
( )
xxxx
txx Dx
ut
x
0lim =du t=(u/x)xt
v (y)
u (x)Taxa de deformao volumtrica:
35
Vzw
yv
xu
zzyyxx
-
Vorticidade: W 11 TT
evorticidaddeformao
detaxa21
21
TT VVVVV )()(
Vorticidade
deformao
TVV )(W 21
02
1210
zu
xw
yu
xv
0
00
210
21
xy
xz
yz
zv
yw
xv
yu
y
W
0021
21 xy
yw
zv
xw
zu
36
x, y e z so taxas de rotao mdias (velocidades angulares) = ex x+ ey y+ ez z vetor vorticidade
-
Taxa de rotao:tdtd 11
yx
yx
Wvu
ytdu
xtdv
1
21
21
li
tantan
zyxy
tyx Wxyt
20lim
=du t=(u/y)ytu (y)
=-dv tv (x)
dv t=-(v/x)xt
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-
VVa tV
tDVD
Acelerao:acelerao aceleraolocal temporal convectiva
ueuVVD kkk
kki
kkik
ukk
kkj
ijiktu
kkj
jiiteu
tV
tDVD
euu
ueueea
eux
ueeux
eeuVVa
k
kkk
)()(
iki
ikiktkk x
uux
eueea
kajaiaakwjviuV zyx ,Em coordenadas cartesianas:
zu
yu
xu
tu
tu
tDuD
x wvuuVa
y ej
ej ei
zv
yv
xv
tv
tv
tDvD
y wvuvVa
y j iei
x
38zw
yw
xw
tw
tw
tDwD
z wvuwVa
-
VVa tV
tDVD
Acelerao:
ik
kiik
kiktu
kk xe
uuxu
eueea k
Em coordenadas cilndricas:
iiy er
e e er
zzrr
zzrreaeaeaaeueueuV
,
2
r
x
r
uuuuuVa z
uzr
ur
urt
urt
utD
uDr
rrrrrr2
ruu
uuuuVa rzu
zru
ru
rtu
tu
tDuD
uuuuuuD
39
zu
zru
ru
rtu
ztu
tDuD
zzzzzzz uuuuVa
-
Exerccio. Um corpo com rotao de corpo rgido, possui vetorvelocidade angular w = ez. Determine o tensor taxa dedeformao angular e linear.
O vetor velocidade v = r e ux = v ex ; uy = v ey ; uz = v ez =0sabe-se queex = er cos - e sin logo ux = - r sen = - yey = er sen + e cos logo uy = + r cos = xy r g y
0021
yzxzxy xv
yu ;
2 xy
00
zzyyxxz
wyv
xu ;v
y
O resultado indica tensor extra-tenso nulo para um fluido com rotao de corpo rgido
40
p g
-
Exerccio: Considere o escoamento unidimensional, permanente, incompressvel, atravs do duto plano e convergente mostrado. O p , p gcampo de velocidade dado porDetermine o componente x da acelerao de uma partcula movendo-se no campo de escoamento.
iLxVV
)]/([ 11
p
y
V VVa t
VtDVD
zzyyxx eaeaeaa
X2=L
xV
regime permanente: 0tV
0 zyxx aaeaa ;1-D:X1=0
0zyxx aaeaa ;1-D:
xu
xzu
yu
xu
tDuD
x uawvuuVa
LV
LxVax 11 1
41
-
Lei de Newton de viscosidadeO t t i l t d d f dO tensor extra proporcional a taxa de deformao do
elemento de fluido (deformao linear, angular e taxa de compresso ou expanso):p p )
ID V
322
onde Viscosidade:
TVV )(D
21
: primeiro coeficiente de viscosidade molecular, viscosidade absoluta ou viscosidade dinmica
2/3 : segundo coeficiente de viscosidade 2/3 : segundo coeficiente de viscosidade : para escoamento de fluido incompressvel
: viscosidade global
42
em geral para escoamentos compressveis, com exceo de escoamento com ondas de choque e exploses
-
Viscosidade Absoluta relacionada com a transferncia de quantidade de relacionada com a transferncia de quantidade de movimento a nvel molecular
U id d P k /( ) P( i ) /( )Unidades: Pa s = kg/(ms); P(poise)= g/(cm s)
gases: variao da viscosidade com a temperatura gpequena
Para gases com baixa densidade, pode-se mostrar que
onde V a velocidade caracterstica das molculas, e o caminho mdio livre entre colises A viscosidade
V
o caminho mdio livre entre colises. A viscosidade cresce com a temperatura
Lquidos: em geral viscosidade decresce com o aumento
T
43
Lquidos: em geral viscosidade decresce com o aumento da temperatura )/(exp TBA
-
Validade da Lei de Newton para viscosidade
Materiais que obedecem a Lei de Newton da viscosidade so chamados de fluidos Newtonianos
G li i l d i hGases, gua, glicerina, querosene, leo de cozinha, etc.
Lquidos com micro estruturas complexas no obedecem a Lquidos com micro-estruturas complexas no obedecem a Lei de Newton da viscosidade e so chamados de fluidos no-Newtonianos
Solues polimtricas, cristais lquidos, emulses, suspenses, etc.
44
-
Viscosidade de suspenses e emulses suspenso: um sistema com duas fases, onde a fase contnua lquida e a fase dispersa slida
emulso: um sistema com duas fases, onde ambas as fases contnua e dispersa so lquidas
Espuma: um sistema com duas fases, onde a fase contnua lquida e a fase dispersa gasosa
Em alguns processos possvel considerar que emulses e suspenses so fluidos Newtonianos, com uma viscosidade efetiva ef, a qual depende da frao de volume da fase, definida como
dispersafasedavolume
45
totalvolumedispersafasedavolume
-
Fluidos No-Newtonianos: Modelos Newtonianos GeneralizadosNewtonianos Generalizados
D)( 2 D 2Newtoniano: Newtoniano Generalizado: 1 1Taxa de
Fluido Power-Law:
Tv)(vD 21 D:D
21Taxa de deformao: magnitude de D:
1 nm )( Fluido Power Law: Fluido de Bingham e Herschel-Bulkley : s existe escoamento se a tenso for superior a tenso limite ( =yield stress)
m )(
)()()( Tse oo
escoamento se a tenso for superior a tenso limite (o yield stress). Para o fluido de Bingham, n=1
1 nm )(
Fluido de Carreau:
)( Tse o 02121 /)(])([
no
46
o o: viscosidade para taxa de cisalhamento nula: viscosidade para taxa de cisalhamento infinita
: parmetro com unidade de tempo
-
Exerccio. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,estacionrias, separadas pela distncia 2 h. O escoamento ocorre devido adif d A d d did ti d li h d t ddiferena de presso. A coordenada y medida a partir da linha de centro doespao entre elas. O campo de velocidade dado por u = umax [ 1- (y/h)2].Avalie as taxas de deformao linear e angular. Determine a tensocisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expresso para ap y y p pvorticidade, . Determine o local onde a vorticidade mxima.
v = u ex u= umax [ 1- (y/h)2] ; v = w = 0
021
2
yzxzxyh
yuxv
yu ;maxdeformao angular:
00 wvu 00 zzyyxxzyx ;vdeformao linear:
2h
yuxyxy max tenso cisalhante 2h
yh
uhyxy
max)( ny
47
y x
hu
hyxymax)(
y x
n
-
Exerccio. Considere o escoamento entre duas placas paralelas,estacionrias, separadas pela distncia 2 h. O escoamento ocorre devido adif d A d d did ti d li h d t ddiferena de presso. A coordenada y medida a partir da linha de centro doespao entre elas. O campo de velocidade dado por u = umax [ 1- (y/h)2].Avalie as taxas de deformao linear e angular. Determine a tensocisalhante na placa em y = h e y = - h. Obtenha uma expresso para ap y y p pvorticidade, . Determine o local onde a vorticidade mxima.
= ex x+ ey y+ ez zvorticidade
021
2
yxzh
yuyu
xv ;max
x x y y z z
2 2 hyx
mxima nas paredes: em y=h e y=-h p y y
48