1 multivariable i: un exemple applicatif michellod yvan dr. müllhaupt philippe mer denis gillet...
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Multivariable I: un exemple applicatif
Michellod YvanDr. Müllhaupt PhilippeMER Denis Gillet
11.2005
Introduction au problème & Modélisation
En collaboration avec:-ESO-Observatoire de Genève
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Introduction
• Introduction au problème
• La solution proposée
• Modélisation et équations d’états
• Commande à priori
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Introduction
Site:Chili, Paranal
VLTI:Very Large TelescopeInterferometer
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Introduction
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Introduction
PerturbationsAtmosphérique
Compensationavec une ligne àRetard différentielle
Active Trackingd’une référence stochastique
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Cahier des charges
Spécifications
• Course complète > 60mm
• Bande passante > 200 Hz
• Précision ~1nm
• Mode de résonance mécanique > 150 Hz
• Dissipation maximum < 5W
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Solution existante
• Bande passante élevée etGrande précision (de l’ordre du nanomètre):– > Actuateur piézoélectrique
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Rappel: l’effet piézoélectrique
• Actuateur:– Un matériau se déforme sous l’action d’un
champs électrique extérieur
• Capteur:– Un matériau génère un champs électrique sous
l’effet d’une contrainte mécanique externe
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L’effet piézoélectrique
Déformationcontrôlée
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Le piézo: actuateur idéal?
• Non
– > Course limitée … (typiquement <30 um)
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Autre solution (suite)
• Précision et grande course– > Moteur classique
• Choix: – NEMA 17, moteur pas à pas avec vis de
transmission de précision (Ultra motion)
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Le moteur classique (suite)
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Le moteur classique (suite)
• Mais– Précision dynamique en tracking, trop limitée– Bande passante trop limitée
…
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Solution adoptée
• Combinaison des deux actionneurs pour contrôler efficacement la sortie– Piézo pour la vitesse et la précision– Moteur pour la course complète
• Guidage mécanique par un système à lamespour coupler les deux étages
• Système multivariable
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Solution adoptée
QuickTime™ and aTIFF (LZW) decompressor
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dOPD
LCUs
Front-endElectronics
LCUs
TranslationStage
OpticsMetrology
Main Actuator
Piezo
VacuumSystem
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Définition
• Un système est dit suractionné s’il possède un nombre plus grand d’actionneurs indépendants que de degrés de liberté
• Notre application:– 1 degré de liberté pour 2 actionneurs
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Le prototype
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Système complet
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Modèle du moteur
• Il s’agit d’un moteur synchrone à aimant permanent.
• On contrôle la tension des phases du moteur, groupées 2 par 2 en parallèle.
• Le problème du frottement sec, ainsi que du jeu dans la transmission sont négligés.
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Equations d’état
Les 2 tensions de contrôle ua et ub, ne sont pas indépendantes:elles doivent être en quadrature (90°).
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Equations d’état (suite)
• Simplification du modèle:Approximation du 2ième ordre
€
˙ ̇ y (t) + 2ξωo ˙ y (t) + ωo2y(t) = ωo
2α (t)
⎧ ⎨ ⎩
x1 = y
x2 = ˙ y ⇒
˙ x 1 = x2
˙ x 2 = −ωo2x1 − 2ξωox2 + ωo
2α
⎧ ⎨ ⎩
AT =0 1
−ωo2 −2ξωo
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟, BT =
0
ωo2
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟, CT = 1 0( )
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Modèle du piézo
• Le piézoélectrique peut être modélisé, en première approximation, comme un circuit électrique RC.
• Dont la tension sur la capacité est proportionnel au mouvement réalisé.
R
CU
i
uc
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Modèle du piézo
€
K1z = uc
Cduc
dt= i
U = uc + Ri
⎧
⎨ ⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
⇒
x3 = z
˙ x 3 = −z
RCx3 +
U
K1RC
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
AP = −z
RC ⎛ ⎝
⎞ ⎠, BP =
1
K1RC
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟, CP = 1( )
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Modèle d’état global
€
A =AT 0
0 AP
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟, B =
BT 0
0 BP
⎛ ⎝ ⎜
⎞ ⎠ ⎟, C = CT CP( )
€
A =
0 1 0
−ωo2 −2ξωo 0
0 0 −1
RC
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
, B =
0 0
ωo2 0
01
K1RC
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟
, C = 1 0 1( )
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Modèle d’état global
€
˙ x (t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t)
⎧ ⎨ ⎩
Représentationcontinue
Représentationdiscrète
€
x(kh + h) = Φx(kh) + Γu(kh)
y(kh) = Cx(kh)
⎧ ⎨ ⎩
DA D
A
u(kh) y(kh)
u(t)y(t)
€
Φ =eAh Γ = eAndnB0
h
∫
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Modèle d’état global
€
Φ =eAh Γ = eAndnB0
h
∫1) Calcul exact à l’aide d’un logiciel adéquat (Mathematica)
€
Φ =eAh = L−1[(sI − A)−1] Mathematica Simplify[InverseLaplaceTransform[Inverse[sI - A], s, kh]]
MatrixExp[A*h] Ou plus simplement
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Modèle d’état global
2) Théorème de Cayley-Hamilton
Valeurs propres de A:
€
λ1 = −ωoξ − ωo ξ 2 −1 = −ωoξ − iωo 1− ξ 2
λ 2 = −ωoξ + ωo ξ 2 −1 = −ωoξ + iωo 1− ξ 2
λ 3 = −1
RC
⎧
⎨
⎪ ⎪
⎩ ⎪ ⎪
€
eAh = p0I + p1Ah + p2A2h2
eλ 1h = p0 + p1λ1h + p2λ 12h2
eλ 2h = p0 + p1λ 2h + p2λ 22h2
eλ 3h = p0 + p1λ 3h + p2λ 32h2
⎧
⎨ ⎪
⎩ ⎪
⇒
p0
p1
p2
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟=
1 λ1h λ 12h2
1 λ 2h λ 22h2
1 λ 3h λ 32h2
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
−1ehλ 1
ehλ 2
ehλ 3
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
Coefficients du polynômeP(A):
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Modèle d’état global discret
Evaluation numérique via Matlab
€
ωo ≈ 2π (100)
ξ ≈ 0.1
RC ≈1
300h = 1/5000 = 0.0002
K1 = 1/3
⎧
⎨
⎪ ⎪ ⎪
⎩
⎪ ⎪ ⎪
avecΦ = exp m(Ah)
Γ = inv(A)(Φ − I)B
⎧ ⎨ ⎩
A =
0 1 0
-3.9478e5 -125.664 0
0 0 −300
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
B =
0 0
3.9478e5 0
0 900
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
Φ =
0.9922 0.0002 0
-77.768 0.9674 0
0 0 0.9418
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
Γ =
0.0078 0
77.768 0
0 0.1747
⎛
⎝
⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟
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Comparaison: Continu/Discret
• Dans Matlab: définition du modèle d’étatsà partir de ces matrices
• Continu:
• Discret:
• Représentation du diagramme de Bode en amplitude: bodemag(Mc, Md)
€
Mc = ss(A,B,C,D)
Md = ss(Φ,Γ,C,D,h)
⎧ ⎨ ⎩
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Comparaison: Continu/Discret
Matlab:Md=c2d(Mc,h)
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Commande a priori
• Maintenant que le système a été modélisé
• Elaboration d’une commande en « feed forward »– En boucle ouverte
Sans utilisation de capteur– Basée entièrement sur le modèle de
connaissance
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Commande a priori
• Moteur
• Piézo
Approximation statique
€
α ≈γzT
€
U ≈ Kzp
€
yout = zp + zT
yout ≈α (t)
γ+
U(t)
K
Résultat:Rampe du moteur
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A suivre
• Commande en boucle fermée– Schéma de contrôle suractionné– Observateur– Réglage découplé: PID– Réglage d’état
Intéressé? -> Projets de semestre
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FIN