Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

1. ( α ο 2) Η υ α υ α υ υ Ising π

α απ φ α ( )NJ JQ e eβ β−= + .

(α) α φ α π α ( /S N ) α α ( /C N ) α spin υ α

α α T α πα α υ J.

( ) α απ π α αφ α α α α α /S N α /C N α

α J>0.

2. ( α ο 2.5) Α α π υ α Landau αφ α Helmholtz υ α

π υ πα υ α π -α α α α 2 4( )2 4

c

a bF T T η ηΔ ≈ − + , , , ca b T

α , (α) α αφ π α SΔ α αφ α UΔ , ( ) α

απ π α αφ α α α SΔ α UΔ απ α α

π cT α ( ) α α α α π / 3 cb a T= , α υπ

πα υ υ α υ α π α α 1 0.95 cT T= ,

2 cT T= α 3 1.2 cT T= .

3. ( α ο 2.5) Έ α α απ α απ α π α α π 1 α

α α π υ Η. Η α α υ αυ π π α ,0Hσ

Hσ− . Α υ α α α , (α) α υπ υ π α

α υ υ α ( ) α απ π φ α ( ) α α

υ α α , ( ) α π α α π α

α α α π Η.

4. ( α ο 2) α αφ π φ α α π α υ α (

α α ) α α α π P. α απ α α α π φ α π

π φ α υ αφ . Η α π φ α υ α bE− , ( 0bE > ). Θ

α π φ α α υ π φ α α α α . Υπ

υ ( α α α π φ α ) υ α π φ α υ αφ υ

α α α π P.

5. ( α ο 1) Θ α α υ α π α φ .

α υ α φυ 1g υ α φυ 2g . Α απ

π α α υ α π α α υ α αυ

α α α α α α 1:1 α α α α 0T α υπ π

αφ υ α α α .

-23 1 -5 11.38066 10 JK 8.617 10Bk eVK− −= × = × , 346.626 10 Jsh −= × , ln ! lnN N N N−

F E TS= − , 2

1

V

F FS

T kT β∂ ∂⎛ ⎞= − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ , 2

V

V V V

S E EC T k

T Tβ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , T

FP

V

∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ,

3N N

idQ V−= Λ , ( ) 122

h

mkTπΛ =

Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

4. ( α ο 2) α αφ π φ α α π α υ α (

α α ) α α α π P. α απ α α α π φ α π

π φ α υ αφ . Η α π φ α υ α bE− , ( 0bE > ). Θ

α π φ α α υ π φ α α α α . Υπ

υ ( α α α π φ α ) υ α π φ α υ αφ υ

α α α π P.

Γ α π α

( )(3 ) 3

(3 ) 3 3

3

(3 ) 3 3(3 )

1

!

1ln ln ln

!

1 ln

1 ln ln

d N N

id

d N N

id

dd id

Ar

Q VN

F kT V kT N V N N NN

NNkT

V

F N NkT kT kT

N V Vμ

−

− −

= Λ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − Λ = − Λ − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠⎛ ⎞Λ= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ Λ Λ= − = − − = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

(1)

Γ α α π φ α. Έ n α π φ α

(2 ) 2

2(2 ) 2

(2 ) 2 2(2 )

1

!

1ln 1 ln

!

1 ln ln

b

b

b

b b

nEd n n

id

nEd n n

id E

dd id

Ar E E

Q A en

nF kT A e nkT

n Ae

F n nkT kT kT

n Ae Ae

β

ββ

β βμ

−

−

= Λ⎛ ⎞Λ⎛ ⎞= − Λ = − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ Λ Λ= − = − + = −⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

(2)

Σ π α

3 2

(2 ) (3 ) b b

b

PV NkTE Ed d

Ar Ar E

N n n Ne P e

V Ae A V kT

β ββμ μ =Λ Λ Λ= ⇒ = ⇒ = Λ = (3)

α α υπ ( ) 122

h

mkTπΛ = υ

( ) ( ) 3/2

1 32 2

1

2

b bE En hP e PT e

A m kT

β βπ

−= ∝ (4)

π υ

( )(3 )(3 )

3

2 2 2

1 1 1 ddbArb bAr

EE En Ne e e e

A V

β μβμβ β − −−Λ= = =Λ Λ Λ (5)

Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

5. ( α ο 1) Θ α α υ α π α φ .

α υ α φυ 1g υ α φυ 2g . Α απ π α α

υ α π α α υ α αυ α α α

α α α 1:1 α α α α 0T υπ π αφ υ α α α .

( )( )

1 1

2 1

1

1 2

2

1 111 1 2

1 122 1 2

( )1 1 1

2 2 2

Nq g e q e g g e

N

Nq g e q e g g e

N

N g e ge

N g e g

βε βε βδε

βε βε βδε

βε β ε εβε

− −− − −

− −− − −

− − −−

= = += = += =

(6)

Σ 0T υ

1 2 0( )/11 2 0 2 1 2 1 0 2 1

2

1 ( ) / ln( / ) ln( / )kTg

e kT g g kT g gg

ε ε ε ε ε ε− − = ⇒ − − = ⇒ − = (7)

Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

2. ( α ο 2.5) Α α π υ α Landau αφ α Helmholtz υ α

π υ πα υ α π -α α α α 2 4( )2 4

c

a bF T T η ηΔ ≈ − + , , , ca b T

α , (α) α αφ π α SΔ α αφ α UΔ , ( ) α

απ π α αφ α α α SΔ α UΔ απ α α

π cT α ( ) α α α α π / 3 cb a T= , α υπ

πα υ υ α υ α π α α 1 0.95 cT T= ,

2 cT T= α 3 1.2 cT T= .

(α) Η α υ α υ α π α α υ α .

Έ α α α α α π π α : / 0F η∂Δ ∂ = . Η υ αυ

α α πα α υ ( )Tη . Έ υ

3

0

/ 0 ( )

( )

c

c

F a T T b

aT T

b

ηη η η

η

=∂Δ ∂ = ⇒ − + ⇒

= ± − −

φα ( )c

aT T

bη = ± − − υ φυ α φ ( ) 0c

aT T

b− − < α

cT T< υ , 0a b > .

Συ π α 0T T> υ α 0η = α cT T< α π π α α π α( )

απ α πα α αυ ( ) π υ α

α . Έ υ

2 2 2

2 2 2

2 2 22 2 2

( 0) 0

( ( ) ( ) ( ) ( ) 02 4 4

( ( ) ( ) ( ) ( ) 02 4 4

c c c c

c c c c

F

a a a aF T T T T T T T T

b b b b

a a a aF T T T T T T T T

b b b b

ηηη

Δ = =Δ = − − = − − + − = − − <Δ = − − − = − − + − = − − <

α α α cT T< ( )c

aT T

bη = ± − − α α

α απ 0η = α α υ α α.

Έ υ υ π

22

0

( )4

c

c c

T T

F aT T T T

b

≥⎧⎪Δ = ⎨− − <⎪⎩

α

0

( )( )

c

c c

T T

T aT T T T

b

η≥⎧⎪= ⎨± − − <⎪⎩

(Α)

Έ υ

Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

2

0

( )2

c

c c

T TF

S aT T T T T

b

≥⎧∂Δ ⎪Δ = − = ⎨∂ − <⎪⎩

α

( )

2 22

2 22 2

0

( ) ( )4 2

0 0

( ) 2 ( )4 4

c

c c c

c c

c c c c c

T T

U F T S a aT T T T T T T

b b

T T T T

a aT T T T T T T T T T T

b b

≥⎧⎪Δ = Δ + Δ = ⎨− − + − <⎪⎩≥ ≥⎧ ⎧⎪ ⎪= =⎨ ⎨− − + < − <⎪ ⎪⎩ ⎩

( ) Απ (Α) υ

(0.95 ) (0.95 ) 0.1 0.05 / 3 0.129cc c c

aTaT T T

b bη = − − = = ,

( ) 0cTη = α

(1.1 ) 0cTη = α ώς cT T>

Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

3. ( α ο 2.5) Έ α α απ α απ α π α α π 1 α

α α π υ Η. Η α α υ αυ π π α ,0Hσ

Hσ− . Α υ α α α , (α) α υπ υ π α

α υ υ α ( ) α απ π φ α ( ) α α

υ α α , ( ) α π α α π α

α α α π Η.

α α

( )i

α

( )iε

φυ

( )ig

Σπ ( )iσ

1 Hσ− 1 σ+

2 0 1 0

3 Hσ 1 σ−

(α) Η α υ π υ α υ

1H Hq e eβσ βσ−= + +

φ α π α α α υ

( )1N

N H HQ q e eβσ βσ−= = + +

Γ υ

( ) Γ υ

1 0

1 1

H H H H

H H H H

F e e e ekT

N H e e e e

βσ βσ βσ βσβσ βσ βσ βσ

βσ βσσ σ− −− −

∂ + − −= − = =∂ + + + +

Η α α π π α υπ π απ

3

1

0 ( )1

H H H H

i i H Hi

e e e ep

q q e e

βσ βσ βσ βσβσ βσσ σ σ σ σ− −

−=−= = + + + − = + +∑

Γ α α υ φ α ( )Tσ υπ υ α π π α π υ α

α α .

Ό α 1β >> (π α α ) υ

1

10

1 0

H

H

e

e

βσβ ββσσ σ σ−≈ ⎯⎯⎯→+ +

Ό α 1β << (π υ α ) υ

( ) ( )( ) ( )

21 1 1 2 2

1 1 1 3 3

H H H H

H H kT

β βσ βσ βσ σσ σ σβσ βσ+ − −≈ ≈ =+ + + −

α α α α φ α α α .

Σ α Μηχα , Ε ε α Ι υ υ, 26/06/ 2 0 1 0

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

σ

σ

T0

Σ α Μηχα , Ε ε α Σεπ ε βρ υ, 30/08/2010

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

1. ( α ο 2.5) Θ α α απ N α α π α α α α α.

Κ α απ αυ α π π α: 0 α ε , α φυ 1 α 2 α α.

Έ /E N α α α α N →∞ . (α) α α υ α

π α /E N α α α π υ α υπ υ α π α; α

α α α υ α π α; ( ) Υπ π α α α

/S N υ α π α. α α π α α α α

α π α α π υ α ; ( ) Σ π α α α α π π α α

α α 50% α α α α

α π π α ε ;

2. ( α ο 2.5) Θ π υ α υ π π α υ α α υ ,

π α φ υ , α α υ , υ . (Αυ

π α π π α π αφ DNA). Κ α απ υ

υ υ π α α α α 0ε > α 0. Θ

π α υ α α απ α ( α ) α α

π α α π π π υ α α υ α α .

Να α α υ α α α α α π α υ α α α υπ

(α) υ π υ υ α

( ) π α υ α α α υ α π υ π M

α υ υ N α α π α α α T ; α ;

( ) α α α υ α υ 10N = , α α / BT kε= . Κα

π α α αυ α α;

3. ( α ο 2.5) Η υ α υ α υ υ Ising π

α απ φ α ( )2 2 2cosh( ) sinh ( )N

J J JQ e B e B eβ β ββμ βμ −= + + .

(α) Να φ α π α ( /S N ) α α ( ( )/ / /T

M N F B N= − ∂ ∂ ) α spin

υ α α α T , πα α υ J α α υ π υ. ( ) Να απ π α α α α α α α /S N α /M N α

α J>0 α π π (i) B=0, (ii) B Jμ .

4. ( α ο 2.5) Α α π υ α Landau αφ α Helmholtz υ α

π υ πα υ α π -α α α α 2 4

2 4( )cF a T T aη ηΔ ≈ − + , 2 4, , ca a T

α , α αφ π α SΔ α αφ α UΔ . Να

απ π α α α α α πα α υ η α αφ

FΔ α UΔ απ α α π cT .

-23 1 -5 11.38066 10 JK 8.617 10Bk eVK− −= × = × , 346.626 10 Jsh −= × , ln ! lnN N N N−

F E TS= − , 2

1

V

F FS

T kT β∂ ∂⎛ ⎞= − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ , 2

V

V V V

S E EC T k

T Tβ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , T

FP

V

∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ,

3N N

idQ V−= Λ , ( ) 122

h

mkTπΛ = , 1

0

1

1

NNi

i

xx

x

+

=−= −∑

Σ α Μηχα , Ε ε α Σεπ ε βρ υ, 30/08/2010

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

3. ( α ο 2.5) Η υ α υ α υ υ Ising π

α απ φ α ( )2 2 2cosh( ) sinh ( )N

J J JQ e B e B eβ β ββμ βμ −= + + .

(α) Να φ α π α ( /S N ) α α ( ( )/ / /T

M N F B N= − ∂ ∂ ) α spin

υ α α α T , πα α υ J α α υ π υ. ( ) Να απ π α α α α α α α /S N α /M N α

α J>0 α π π (i) B=0, (ii) B Jμ .

Έ υ

( )( )( )

2 2 2

2 4

( , )

ln ln cosh( ) sinh ( )

ln cosh( ) sinh ( )

J J J

J J

B

q B T

F Q N e B e B e

Fk T e B B e

N

β β β

β β

β βμ βμβμ βμ

−

−

= − = − + + ⇒= − + + (3.1)

Θ α

( )2 4( , ) cosh( ) sinh ( )J Jq B T e B B eβ ββμ βμ −= + + (3.2)

Έχουμε

ln ( , )//

1 ( , )ln ( , )

( , )

B

B B

k T q B TF NS N

T T

q B Tk q B T k T

q B T T

∂∂= − =∂ ∂∂= + ∂

(3.3)

α

( ) ln ( , )/ ( / ) / BT

q B TM N F N B k T

B

∂= − ∂ ∂ = ∂ (3.4)

Γ α υπ πα α π υ φα α α α

2

( , ) ( , ) ( , )

( , ) 1 ( , )

J

J

J

J

B

q B T e q B T B q B T

T T e T B

J q B T q B Te B

k T e T B

ββ

ββ

βμβμβμ βμ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂= +∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂⎛ ⎞= − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

(3.5)

Κα

2 4

2 4

( , ) 2sinh( ) cosh( )sinh

2 sinh ( )

cosh( )sinh 1

sinh ( )

J

J

J

J

q B T B Be B

B B e

Be B

B e

ββ

ββ

βμ βμβμ βμ βμ βμβμβμ βμ βμ

−

−

⎛ ⎞∂ ⎜ ⎟= +⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠⎛ ⎞⎜ ⎟= +⎜ ⎟+⎝ ⎠

(3.6)

Έ υ

Σ α Μηχα , Ε ε α Σεπ ε βρ υ, 30/08/2010

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

( )( )

52 4

2 4

42 4

2 4

( , ) 4cosh( ) sinh ( )

2 sinh ( )

cosh( ) sinh ( ) 2sinh ( )

JJ J

J J

JJ

J

q B T eB B e e

e B e

eB B e

B e

ββ ββ β

βββ

βμ βμ βμβμ βμ βμ

−−−

−−−

∂ −= + + +∂ += + + − +

(3.7)

2 4

( , ) 1 ( , ) cosh( )sinh( ) 1

sinh ( )

J

J

q B T q B T Be B

B B B e

ββ

βμβμβμ βμ βμ −⎛ ⎞∂ ∂ ⎜ ⎟= = +⎜ ⎟∂ ∂ +⎝ ⎠

(3.8)

Συ π

1 ( , )( , ) / ln ( , )

( , )

1 ( , ) ( , )ln ( , )

( , )

B

J

B J

q B TS B T N k q B T T

q B T T

q B T q B Tk q B T J e B

q B T e B

βββ βμ βμ

⎛ ⎞∂= +⎜ ⎟∂⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞∂ ∂⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

(3.9)

Όπ υ πα α απ (3.7) α (3.8).

Ό α 0B =

( )( )

4

4

4

( 0, ) 1

( 0, ) 21

J J J J

JJ J J J J

J J

q B T e e e e

q B T ee e e e e

e e

β β β β

ββ β β β ββ β

− −

−− −−

= = + = +∂ = −= + + = −∂ +

(3.10)

π

( )0

/ lnJ J

J J

B J JB

e eS N k e e J

e e

β ββ ββ ββ −−

−=⎛ ⎞−= + +⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.11)

Κα απ . (3.4) α (3.6) υ

/ 0M N = (3.12)

Γ α α J α 0β → (π υ α ) υ / ln 2BS N k→ α α β →∞

π α α / 0S N →

Ό α B Jμ

/ BS Nk

ln 2

Σ α Μηχα , Ε ε α Σεπ ε βρ υ, 30/08/2010

ΡΚ Ω 2,5 ώ ε

Κα π τυχ α

( )( )( )

2 4

2

( , ) cosh( ) sinh ( )

cosh( ) sinh ( )

cosh( ) sinh( )

J J

J

J

J B

q B T e B B e

e B B

e B B

e e

β β

β

ββ βμ

βμ βμβμ βμβμ βμ

−= + +≈ += +=

(3.13)

( ) 1B

F Jk T B J B

N Bβμ β μ μ

⎛ ⎞= − + = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ (3.14)

π π π π υ π υ π α α π α 0 α α

α π υ π α α π α π π α α α α α

α α π α π α α π υ π , /M N μ= . Κα π

π π π υ α π α α απ α α.

Σ α Μηχα , Π υχ α Ε α η Φεβρ υαρ υ, 21/02/ 2 0 1 1

ΑΡΚ ΑΝ Α Ω Ν2,5Νώ ε

Καλ Ν πιτυχ α

1. (Βαθμοί 2.5) Θ ω ού ια ο ια ή α ι ή α σί α ο οι ώ οι ί ο ς σ έο αι α ύ ο ς χ ι ό σ ό. Κάθ σ ός ο ί α β ίσ αι σ ύο α ασ άσ ις: σ θ ιώ , έ ια

0ε αι

ή ος 0l , ή σ ι έ έ ια

1ε αι ή ος 1l . Η α άσ ασ σ ο οία β ίσ αι έ ας χαίος

σ ός α ά αι α ό α άσ ασ ω ο οί ω . Α α σί α α ο ί αι α ό M έ οιο ς σ ούς ο ο ίσ ως σ ά σ ω M ,

0 1,ε ε , 0 1,l l αι ς

θ ο ασίας T : Α σ ά σ ι ισ ού αι ύθ έ ια ιας α σί ας.

ο έσο ή ος α ό ά ο σ ά ο α όσ ασ ς α σί ας ως σ ά σ ς θ ο ασίας. χ ιάσ ά σ σ έ α όχ ι ο άφ α.

οια θ ο ασία ο ήθος ω σ ώ σ θ ιώ α άσ ασ ί αι ίσο ο ήθος ω σ ώ σ ι έ α άσ ασ ;

2. (Βαθμοί 2.5 Έσ ω ό ι ο α ά α Landau ς ιαφο άς ύθ ς έ ιας ια σύσ α ο α ο σιά ι άβασ ά ς-α α ίας ί αι 42

0 )( ηη bTTaF +−=∆ , ό ο η ί αι α ά ος ά ς, Τ θ ο ασία αι a, b, T0 θ ι ές α ά οι, α ά ς ς θ ο ασίας. Α ό ι α α ι ή έ ο σ σ ή α ος ω ί ο ό ι θ ο ασια ή ά σ ς α α έ ο ά ς ί αι ς ο φής

* 1/2(1 / )A T Tη = − ια *T T< αι 0 ια *

T T> , αθώς αι ό ι αβο ή ς θ οχω ι ό ας α ά

α ο ή . σ θ ο ασία *T ) έχ ι ι ή Δ.

Α. Να ο ο ισθού θ ο ασία α ο ής φάσ ς αι οι σ σ ές ,a b ο α α ύ α ος ς

ύθ ς έ ιας σ α ήσ ι ω ι α α ι ώ ο έ ω A , Δ αι *T .

Β. Να ο ο ισθ ί, σ α ήσ ι ω ι α α ι ώ ο έ ω , θ ο ασια ή ά σ ς αβο ής ς ο ίας ΔS(Τ .

3. (Βαθμοί 2.5) α πα α υ υ υ Einstein α υπ α υ α έ Μ αυ πα α υπ α α α α υ υ υ α υ

α α α α π α α π υ α έ π α απ α α α π φ αέ

4. (Βαθμοί 2.5) Θ α α απ α (4) spin 1/ 2 α π α α υφ α υέ π α π υ π υ υ υ α ( , )

i ju i j Js s= − ( 0J >

α 1/ 2s = ± , υ Ising)έ Κα α υ α α α α υ υ α , α α φυ υ έ π α) υ π α ) α / 200BJ k K=

υπ α α α υ υ α α α 100T K= .

-23 1 -5 11.38066 10 JK 8.617 10Bk eVK

− −= × =× , 346.626 10 Jsh−= × , ln ! lnN N N N−

F E TS= − , 2

1

V

F FS

T kT β∂ ∂ =− = ∂ ∂ , 2

V

V V V

S E EC T k

T Tβ β

∂ ∂ ∂ = = = − ∂ ∂ ∂ , T

FP

V

∂ = − ∂ ,

3N N

idQ V

−= Λ , ( )122

h

mkTπΛ = , 1

0

1

1

NNi

i

xx

x

+

=−= −∑

Σ α Μηχα , Π υχ α Ε α η Φεβρ υαρ υ, 21/02/ 2 0 1 1

ΑΡΚ ΑΝ Α Ω Ν2,5Νώ ε

Καλ Ν πιτυχ α

1. (Βαθμοί 2.5 Θ ω ού ια ο ια ή α ι ή α σί α ο οι ώ οι ί ο ς σ έο αι α ύ ο ς χ ι ό σ ό. Κάθ σ ός ο ί α β ίσ αι σ ύο α ασ άσ ις: σ θ ιώ , έ ια

0ε αι

ή ος 0l , ή σ ι έ έ ια

1ε αι ή ος 1l . Η α άσ ασ σ ο οία β ίσ αι έ ας χαίος

σ ός α ά αι α ό α άσ ασ ω ο οί ω . Α α σί α α ο ί αι α ό M έ οιο ς σ ούς ο ο ίσ ως σ ά σ ω M ,

0 1,ε ε , 0 1,l l αι ς

θ ο ασίας T : Α σ ά σ ι ισ ού αι ύθ έ ια ιας α σί ας.

ο έσο ή ος α ό ά ο σ ά ο α όσ ασ ς α σί ας ως σ ά σ ς θ ο ασίας. χ ιάσ ά σ σ έ α όχ ι ο άφ α.

οια θ ο ασία ο ήθος ω σ ώ σ θ ιώ α άσ ασ ί αι ίσο ο ήθος ω σ ώ σ ι έ α άσ ασ ;

Έ υ α α α α φυ π

) Η υ π α υ α α NQ q= ,

( )0 0 1 01 ( )1q e e e e

βε βε β ε εβε− − − −−= + = + (0.1)

Κα

( )( )( )

1 0

1 0

( )

0

( )

0

ln ln 1

ln 1

F Q M e

F M MkT e

β ε ε

β ε εβ βε

ε− −

− −=− = − + ⇒

= − + (0.2)

)

0 1 0 10 1

0 1 0 1

( ) ( )

0 1 1 00 1 0( ) ( )

1 ( / )

1 1

l l e l l ee eL M l M l l M Ml

q q e e

β ε ε β ε εβε βεβ ε ε β ε ε− − − −− −

− − − − + += = + = = + +

Γ) Γ α α υ α αυ α π π

0 1

1 0( )

0 1 1e e

p p eq q

βε βε β ε ε− − − −= ⇒ = ⇒ =

Η υ α α υ φ 0 1ε ε≠ α π α α 0β → α T →∞ π υ α

α α α α α α α έ

2. (Βαθμοί 2.5 Έσ ω ό ι ο α ά α Landau ς ιαφο άς ύθ ς έ ιας ια σύσ α ο

α ο σιά ι άβασ ά ς-α α ίας ί αι 42

0 )( ηη bTTaF +−=∆ , ό ο η ί αι α ά ος ά ς, Τ θ ο ασία αι a, b, T0 θ ι ές α ά οι, α ά ς ς θ ο ασίας. Α ό ι α α ι ή έ ο σ σ ή α ος ω ί ο ό ι θ ο ασια ή ά σ ς α α έ ο ά ς ί αι ς ο φής

* 1/2(1 / )A T Tη = − ια *T T< αι 0 ια *

T T> , αθώς αι ό ι αβο ή ς θ οχω ι ό ας α ά

α ο ή . σ θ ο ασία *T ) έχ ι ι ή Δ.

Α. Να ο ο ισθού θ ο ασία α ο ής φάσ ς αι οι σ σ ές ,a b ο α α ύ α ος ς

ύθ ς έ ιας σ α ήσ ι ω ι α α ι ώ ο έ ω A , Δ αι *T .

Β. Να ο ο ισθ ί, σ α ήσ ι ω ι α α ι ώ ο έ ω , θ ο ασια ή ά σ ς αβο ής ς ο ίας ΔS(Τ .

υ α π α υ / 0F η∂∆ ∂ = π

0

0 02 0 0

0 0

( ) (1 / )2 2

0 0

aTaT T T T T T T T

b b

T T T T

η − − ≤ − ≤ == > > (0.3)

0T α α α π φ έ π α α υ

Σ α Μηχα , Π υχ α Ε α η Φεβρ υαρ υ, 21/02/ 2 0 1 1

ΑΡΚ ΑΝ Α Ω Ν2,5Νώ ε

Καλ Ν πιτυχ α

* 1/2 2 2 *(1 / ) (1 / )A T T A T Tη η= − ⇒ = − (0.4)

υ α υ *

0T T= α

*

2

2

aTA

b= (0.5)

. Η α α α α

2 2 22 2 2

0 0 0 0 02

0 0

( ) ( ) ( )( ) 2 4 4

0 0

a a aT T b T T T T T T T T

F T b b b

T T T T

− − + − ≤ − − ≤ ∆ = = > > (0.6)

π υ

2

0 0

0

( )( ) 2

0

aT T T TF

S T bT

T T

− <∂∆ ∆ =− = ∂ > (0.7)

Κα

2

0

0

2

0

V

aT T TS

C T bT

T T

≤∂∆ ∆ = = ∂ > (0.8)

Έ υ

2

* *( )2

V

aC T T

b∆ = ∆⇒ = ∆ (0.9)

π . (0.5) α (0.9) υ

2 2

*2 * *

2 4

/

2 2 2

A a a A

aTA T b T

b bA A

= ∆⇒ = ∆∆ ∆= = ⇒ = (0.10)

Κα απ . (0.7) πα υ

* * * *

*

**

( ) (1 / )( )

00

T T T T T T T TS T T

T TT T

∆ − ≤ −∆ − ≤∆ = = > > (0.11)

4. (Βαθμοί 2.5) Θ α α απ α (4) spin 1/ 2 α π α α υφ

α υέ π α π υ π υ υ υ α ( , )i j

u i j Js s= − ( 0J >

α 1/ 2s = ± , υ Ising)έ Κα α υ α α α α υ υ α , α α φυ υ έ π α) υ π α ) α / 200BJ k K=

υπ α α α υ υ α α α 100T K= .

Κα α α Ε α Ε φυ + + + +− − − −

2

2

+− 4 (1 / 4)J− 2

Σ α Μηχα , Π υχ α Ε α η Φεβρ υαρ υ, 21/02/ 2 0 1 1

ΑΡΚ ΑΝ Α Ω Ν2,5Νώ ε

Καλ Ν πιτυχ α

− + + ++ − + ++ + − ++ + + −+ − − −− + − −− − + −− − − +

1

1

1

1

1

1

1

1

++++−−−−

0 8

− − + ++ − − ++ + − −− + + −

0

0

0

0

0 4

+ − + −− + − +

0

0 4 (1 / 4)J 2

υ π ( ) 2 12 2i

i

J J

iq g e e eβε β β

εε − −= = + +∑

Η α α ί

Κα α

( )2 0 12 ( )2( )

2

i

i

J J

i i

J J

e J e J eE g

q q

e eJ

q

βε β β

εβ β

ε ε − −

−

− + × + +==−=

∑ (0.12)

Γ α / 200B

J k K= α 100T K= υ 2Jβ = π

2 22 12 2 27.049q e e−= + + = α

2 2

-5

2 2400 8.617 10 eV 0.092eV

2 12 2

e eE

e e

−−

−= × × × =− + +

Εξε ά εις Σ α ής Μηχαν ής, 22/06/2011

ά ε α 2,5ώ ε ------ Κα π τυχ α

1.Έ α υ α υ π υ απ α απ N α π α α spin 1 α

α π υ α . Η α π υ π α υ π α α H Hσ , 0, Hσ− π υ σ

α π π α . α α π α

α α . π (α) υ π υ υ α α α υ υ α , ( ) α α υ α α α α α

α α π υ α π α α . (2 )

T

2. Θ α α απ α π α

α , α

π υ M , α υ

υ π π α π φ α.

α υπ πα (π α υ υ υ) α υ α α

α απ π φ α παφ

(π φ α) α π φ

0ε− < α . α απ α α α

α υπ α α α υ α α π φ π φ α α

π υ α π φ . Ο α φυ α απ α α α 0 10g = , 1 2g =

2 3= π φα α πυ α π α υ α α α α

α υ α α π α υ : (α) α υπ υ π υ α

α 1= . Αg g

0 1 2 3

N

α υ α α T , ( ) π α α α α π α π φ

α α α ; ( ) υπ α α (α

α α ) α υπ απ α υ υ υ απ π φ α υ

α α . (2.5 ).

T

3. Εφα υ α α α α υπ υ π

υ υ υ 2. Γ α α α α α α 308V Kθ =400T =

. π α

α α π α π α α α α (1 ) K

4. α π υ α Landau α α α απ πα α α

α α α α

2 4

0

1 1( )

2 4CF a T T M bM MHγΔ = − + −

π υ 0 , ,a b γ πα α α α , α α Curie, CT M

α ( «πα » υ α απ α ) α φα υ α

π υ π υ π π α υ α υ α α . (α) α

π υ υ α

H

M

/

α H α α απ π α α υ απ Η α

α α α α α α . ( ) α φ α υ α φ υ

π α 0

( ) ( )HT M Hχ →= ∂ ∂ α α απ π α α υ απ

α α π α απ πα α α α α α . (2.5 )

5. Η υ α απ Ising α α απ spin α α υ α (i =

1, 2, … N) π υ α α π α α α , 1s = ± , α α π υ

υ α . α (α) α α spin (( NJ JQ e eβ β−= + ) /E N ) υ υ α α ( )

π α ( ) υ α α βJ α α απ π α α α α (2.0 ) /S N

-23 1 -5 11.38066 10 JK 8.617 10Bk eVK− −= × = × , 346.626 10 Jsh −= ×

F E TS= − , 2

1

V

F FS

T kT β∂ ∂⎛ ⎞= − =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ , 2

V

V V V

S E EC T k

T Tβ β

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , T

FP

V

∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ,

3N N

idQ V−= Λ , ( )122

h

mkTπΛ = , 1

0

1

1

NNj

j

xx

x

+

=−= −∑ ,

0

( )N

N i

n

Na b a b

n

−=⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∑ N i

. Επ ή ης ω ώ

Ε δ ή Π υχ α ή Σ α ής Μηχαν ής, 1 6 / 1 1 / 2 0 1 1

ά ε α 2,5ώ ε ------ Κα π τυχ α

1. α πα α υ υ υ Einstein α υπ α υ α έ Μ αυ πα α υπ α α α α υ υ υ α υ α α

Τ α α π α α π υ α έ Απ α απ α α α π φ α. (2.5Μ)

2. Θ α α απ α π α α , α

π υ M , α υ υ π π α π φ αέ

α υπ πα (π α υ υ υ) α υ α α

α απ π φ α παφ (π φ α) α π φ 0ε− < α .

α απ α υπ α α α έ α φυ α απ α α α

0 10g = , 1 2g = α

2 3 4 1g g g= = = έ Α π φα α πυ α π α υ

α α α α α υ α α π α υ μ (α) α υπ υ π υ α N α υ α α T , ( ) π α α α α π

α π φ α α α T ; ( ) υπ α α (α α α ) α υπ απ α υ υ υ απ

π φ α υ α α έ (β.5Μ)έ

3. Έ α π υ α Landau αφ α α α π υ πα υ α -

α α α α 2 4

0( )F a T T bη η∆ = − + , π υ η α πα , Τ α α α a,b,T0 α έ

(i) α α πα υ υ α α 1 0/ 0.8T T = ,

2 0/ 1T T = α 3 0/ 1.1T T = ; .

(ii) π α α αφ π α ΔS α αφ α ΔCV.. (βέηΜ)

4. Έ α α απ α (ζ) spin 1/ 2 α π α α υφ π υ α αέ π α π υ υ υ υ α ( , )

i ju i j Js s= − ( 0J > α 1/ 2s = ± , υ Ising)έ Κα α

υ α α α α υ υ α , α α φυ υ ( π α αφ α α)έ π α) υ π α ) α / 200

BJ k K= υπ

α α α υ υ α α α 100T K= . (2.5Μ)

-23 1 -5 11.38066 10 JK 8.617 10Bk eVK

− −= × =× , 346.626 10 Jsh−= ×

F E TS= − , 2

1

V

F FS

T kT β∂ ∂ =− = ∂ ∂ , 2

V

V V V

S E EC T k

T Tβ β

∂ ∂ ∂ = = = − ∂ ∂ ∂ , T

FP

V

∂ = − ∂ ,

3N N

idQ V−= Λ , ( )1

22

h

mkTπΛ = , 1

0

1

1

NNj

j

xx

x

+

=−= −∑ ,

0

( )N

N i N i

n

Na b a b

n

−= + = ∑

0

1

3 4 2