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Primo appello di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiTema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo com-plesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamentequante sono:
2z4 = iz2 |z| .
2. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggiin modo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
(4√x4 + 3x− 5− x
ex2+3
x2−1 − e
).
3. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log(log2
(1 + 3x2
))a. Calcolare f ′ (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su
(1,+∞) e quindi invertibile in tale intervallo.b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e
g′ (log 2).
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insiemedi definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.
f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .
1
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n
(e−
1n2 − cos2 1
n
)
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 3
0
e−x |x− 2| dx.
7. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos3 x
(sinx+ 2)2 dx.
2
Primo appello di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiTema n◦2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo comp-lesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendoesplicitamente quante sono:
3z4 + 8
4√3 + iz4
= −2i.
2. Stima all’infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica dif (x) per x → ±∞; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in casoaffermativo determinandolo.
f (x) = x log
(3x+ 5
2x− 1
).
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi inmodo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
arctan(x3)− π
21x − arctan
1x
.
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insiemedi definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.
f (x) = ex log2|x|.
3
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
3n + n10√n!
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 2
√2
√x2 − 2x
dx.
7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale gener-alizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.
a.
∫ 1
0
f (x) dx; b.
∫ +∞
1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
f (x) =log (1 + x)
x5/2sinx.
4
Primo appello di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo com-plesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamentequante sono:
2z4 = iz2 |z| .Poniamo z = ρeiϑ e riscriviamo l’equazione nella forma
2ρ4ei4ϑ = eiπ2 ρ2e−2iϑρ
2ρ4ei4ϑ = ρ3ei(π2−2ϑ)
da cui {2ρ4 = ρ3
4ϑ = π2 − 2ϑ+ 2kπ{
ρ = 0, ρ = 12
ϑ = π12 +
kπ3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Perciò le soluzioni sono 7 in tutto:
zk =1
2ei(
π12+
kπ3 ), con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
z6 = 0.
2. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggiin modo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
(4√x4 + 3x− 5− x
ex2+3
x2−1 − e
).
4√x4 + 3x− 5− x = x
(4
√1 +
3
x3− 5
x4− 1)
poiché per x→ +∞(3x3 −
5x4
)→ 0,
∼ x(1
4
(3
x3− 5
x4
))∼ x1
4
3
x3=
3
4x2.
ex2+3
x2−1 − e = e
(ex2+3
x2−1−1 − 1)
5
poiché per x→ +∞(x2+3x2−1 − 1
)→ 0,
∼ e(x2 + 3
x2 − 1 − 1)= e
(4
x2 − 1
)∼ 4e
x2,
quindi
f (x) ∼34x2
4ex2
=3
16e,
e questo è il limite cercato.
3. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log(log2
(1 + 3x2
))a. Calcolare f ′ (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su
(1,+∞) e quindi invertibile in tale intervallo.b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e
g′ (log 2).
f ′ (x) = log(log2
(1 + 3x2
))+
x
log2 (1 + 3x2)
6x
log 2 (1 + 3x2)
= log(log2
(1 + 3x2
))+
6x2
(log 2) (1 + 3x2) log2 (1 + 3x2)> 0
per ogni x > 1 perché:
log(log2
(1 + 3x2
))> 0 perché
log2(1 + 3x2
)> 1 perché
1 + 3x2 > 2 perché
3x2 > 3
inoltre 6x2 > 0, (log 2)(1 + 3x2
)> 0 e log2
(1 + 3x2
)> 0 perché è > 1.
f (1) = log (log2 (4)) = log (2) ,
quindi
g (log 2) = 1
g′ (log 2) =1
f ′ (1)=
1
log (log2 (4)) +6
(log 2)(4) log2(4)
=1
log 2 + 34 log 2
=4 log 2
4 (log 2)2+ 3
.
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insieme
6
di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.
f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .
Definita per x 6= −1.Per x→ −1±,
f (x) ∼ e 1x+1 →
{+∞0+
x = −1 asintoto verticale da destra, punto d’arresto a tangente orizzontale(perché f si annulla con velocità esponenziale) da sinistra.Per x→ ±∞,
f (x) ∼ 5 |x| → +∞con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui.
f (x)− 5 |x| = (5 |x| − 4) e 1x+1 − 5 |x| = 5 |x|
(e
1x+1 − 1
)− 4e 1
x+1 .
−4e 1x+1 → −4 per x→ ±∞
5 |x|(e
1x+1 − 1
)∼ 5 |x| 1
x+ 1∼ 5 |x| 1
x= ±5 per x→ ±∞
Quindi per x→ ±∞
f (x)− 5 |x| → ±5− 4 ={
1−9
e la funzione ha gli asintoti obliqui:
y = 5x+ 1 per x→ +∞y = −5x− 9 per x→ −∞.
Calcoliamo, per x 6= 0,
f ′ (x) = e1x+1
(− 1
(x+ 1)2 (5 |x| − 4) + 5 sgn (x)
)=
e1x+1
(x+ 1)2
(− (5 |x| − 4) + 5 (x+ 1)2 sgn (x)
)
=
e
1x+1
(x+1)2
(−5x+ 4 + 5 (x+ 1)2
)per x > 0
e1x+1
(x+1)2
(5x+ 4− 5 (x+ 1)2
)per x < 0
=
e
1x+1
(x+1)2
(5x2 + 5x+ 9
)per x > 0
e1x+1
(x+1)2
(−5x2 − 5x− 1
)per x < 0
Per x > 0f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 9 ≥ 0 sempre.
7
La funzione è sempre crescente per x > 0.Per x < 0
f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 1 ≤ 0−5−
√5
10< x <
−5 +√5
10
quindi x = −5−√5
10 è punto di minimo relativo, x = −5+√5
10 è punto di massimorelativo.
f ′ (0+) = 9e;f ′ (0−) = −e, quindi x = 0 è punto angoloso, e punto di minimo relativo.f (x) = 0 per |x| = 4
5 , x = ±45 . Grafico qualitativo:
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n
(e−
1n2 − cos2 1
n
)
e−1n2 = 1− 1
n2+1
2
1
n4+ o
(1
n4
)(cos
1
n
)2=
(1− 1
2n2+
1
4!n4+ o
(1
n4
))2= 1− 1
n2+
1
4n4+
2
4!n4+ o
(1
n4
)n
(e−
1n2 − cos2 1
n
)= n
(1− 1
n2+1
2
1
n4+ o
(1
n4
)−(1− 1
n2+
1
4n4+
2
4!n4+ o
(1
n4
)))= n · 1
n4
(1
2− 14− 1
12+ o (1)
)∼ 1
6n3
8
quindi la serie è a termini almeno definitivamente positivi, e per confronto as-intotico con la serie armonica generalizzata convergente
∑16n3 , converge.
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 3
0
e−x |x− 2| dx.
∫ 3
0
e−x |x− 2| dx =∫ 2
0
e−x (2− x) dx+∫ 3
2
e−x (x− 2) dx.∫e−xg′(x− 2)
f
dx = −e−x (x− 2) +∫e−xdx = −e−x (x− 2)− e−x + c
= e−x (1− x) + c∫ 3
0
e−x |x− 2| dx =[e−x (x− 1)
]20+[e−x (1− x)
]32
= e−2 + 1− 2e−3 + e−2
= 1 + 2e−2 − 2e−3.
7. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos3 x
(sinx+ 2)2 dx
∫cos3 x
(sinx+ 2)2 dx =
∫1− sin2 x(sinx+ 2)
2 cosxdx =
[sinx = t; cosxdx = dt]
=
∫1− t2
(t+ 2)2 dt =
∫ (−1 + 4t+ 5
t2 + 4t+ 4
)dt
= −t+ 2∫
2t+ 4
t2 + 4t+ 4dt− 3
∫1
(t+ 2)2 dt
= −t+ 2 log (t+ 2)2 + 3
t+ 2+ c
= −t+ 4 log |t+ 2|+ 3
t+ 2+ c
= − (sinx+ 2) + 4 log (sinx+ 2) + 3
sinx+ 2+ c.
9
Primo appello di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦2
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo comp-lesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendoesplicitamente quante sono:
3z4 + 8
4√3 + iz4
= −2i.
Risolviamo prima in z4:
3z4 + 8 = −2i(4√3 + iz4
)z4 (3− 2) = −8− i8
√3
z4 = −8− i8√3
da cui
z =4
√−8− i8
√3
e poiché ∣∣∣−8− i8√3∣∣∣ = 16−8− i8
√3 = 16
(−12− i√3
2
)
arg
(−12− i√3
2
)=4
3π
si ha:
z =4√16
(cos
(π
3+2kπ
4
)+ i sin
(π
3+2kπ
4
))= 2
(cos
(π
3+kπ
2
)+ i sin
(π
3+kπ
2
))
10
con k = 0, 1, 2, 3, e le soluzioni sono 4 in tutto:
z0 = 2
(1
2+ i
√3
2
)= 1 + i
√3
z1 = 2
(−√3
2+ i1
2
)= −√3 + i
z2 = 2
(−12− i√3
2
)= −1− i
√3
z3 = 2
(√3
2− i12
)=√3− i.
2. Stima all’infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica dif (x) per x → ±∞; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in casoaffermativo determinandolo.
f (x) = x log
(3x+ 5
2x− 1
).
Per x→ ±∞ è
f (x) ∼ x log(3
2
)→ ±∞
con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo.[f (x)− x log
(3
2
)]= x
(log
(3x+ 5
2x− 1
)− log
(3
2
))= x log
[(3x+ 5
2x− 1
)2
3
]e poiché
[(3x+52x−1
)23
]→ 1 per x→ ±∞,
∼ x[6x+ 10
6x− 3 − 1]= x
(13
6x− 3
)∼ x 13
6x=13
6
perciò esiste l’asintoto obliquo di equazione
y = x log
(3
2
)+13
6.
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi inmodo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
arctan(x3)− π
21x − arctan
1x
.
11
limx→+∞
(arctan
(x3)− π
2
)1x − arctan
1x
=
[0
0
]Applico De L’Hospital:
limx→+∞
3x2
1+x6
− 1x2 +
1x2
11+ 1
x2
=
[0
0
],
ma:
3x2
1 + x6∼ 3x
2
x6=3
x4
− 1x2+1
x21
1 + 1x2
= − 1x2+
1
x2 + 1=
−1x2 (x2 + 1)
∼ − 1x4
quindi3x2
1+x6
− 1x2 +
1x2
11+ 1
x2
∼3x4
− 1x4
= −3,
e questo è il limite cercato.
4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insiemedi definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.
f (x) = ex log2|x|.
Definita per x 6= 0. f (x) > 0 per ogni x.Per x→ 0, x log2 |x| → 0 e f (x)→ 1. Quindi f è prolungabile con continuità
ponendo f (0) = 1.
Per x→ ±∞, x log2 |x| → ±∞ e f (x)→{+∞ con crescita sopralineare (senza asintoto obliquo)0+
y = 0 asintoto orizzontale per x→ −∞.Per x 6= 0 calcoliamo
f ′ (x) = ex log2|x|(log2 |x|+ x2 log |x|
x
)= ex log
2|x| (log2 |x|+ 2 log |x|) ≥ 0 perlog |x| ≥ 0, log |x| ≤ −2|x| ≥ 1, |x| ≤ e−2
perciò:x = −1 punto di massimo relativox = −e−2 punto di minimo relativox = e−2 punto di massimo relativo
12
x = 1 punto di minimo relativo.Per x→ 0±,
f ′ (x) ∼(log2 |x|+ 2 log |x|
)∼ log2 |x| → +∞,
quindi x = 0 è punto di flesso a tangente verticale, ascendente.Grafico qualitativo:
5. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
3n + n10√n!
Serie a termini positivi,
an =3n + n10√
n!∼ 3n√
n!≡ bn.
Studio la convergenza di∑∞n=1 bn col criterio del rapporto.
bn+1bn
=3n+1√(n+ 1)!
·√n!
3n=
3√n+ 1
→ 0,
quindi∑∞n=1 bn converge per il criterio del rapporto, e
∑∞n=1 an converge per il
criterio del confronto asintotico.
6. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 2
√2
√x2 − 2x
dx
13
∫ 2
√2
√x2 − 2x
dx =
∫ 2
√2
√x2 − 2x2
xdx =[√x2 − 2 = t;x2 − 2 = t2;xdx = tdt
]=
∫ √20
t
2 + t2tdt =
∫ √20
(1− 2
t2 + 2
)dt
=
[t− 2√
2arctan
(t√2
)]√20
=√2(1− π
4
)Oppure ∫ 2
√2
√x2 − 2x
dx =[x =√2Ch t; dx =
√2 Sh tdt
]=
∫ SettCh√2
0
√2 Sh t√2Ch t
√2 Sh tdt
=√2
∫ SettCh√2
0
Sh2 t
1 + Sh2 tCh tdt
= [Sh t = u; Ch tdt = du]
=√2
∫ 1
0
u2
1 + u2du =
√2
∫ 1
0
(1− 1
1 + u2
)du
=√2 [u− arctanu]10 =
√2(1− π
4
).
7. Discutere la convergenza o meno del seguente integrale gener-alizzato, giustificando le proprie affermazioni in base ai criteri studiati.
a.
∫ 1
0
f (x) dx; b.
∫ +∞
1
f (x) dx, dove (in entrambi i casi)
f (x) =log (1 + x)
x5/2sinx.
La funzione f è continua in (0,+∞), illimitata in 0, positiva in (0, 1) ma disegno variabile in (1,+∞) .a. f è integrabile in [ε, 1] per ogni ε > 0 in quanto continua. Per x→ 0+ è
f (x) ∼ x
x5/2· x = 1
x1/2,
integrabile in 0 perché 1/2 < 1. Per il criterio del confronto asintotico, l’integralein a converge.
14
b. f è integrabile in [1, k] per ogni k > 0 in quanto continua.
|f (x)| ≤ log (1 + x)x5/2
≤ 1
x2definitivamente,
e poiché 1x2 è integrabile a +∞ in quanto 2 > 1, per il criterio del confronto f
è assolutamente integrabile, e quindi integrabile.
15
Recupero 1◦ compitino di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiTema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso,
scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono:
2z4 = iz2 |z| .
16
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, a par-
tire dal grafico noto della funzione Shx, applicando esclusivamente successive operazioni sulgrafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Riportare anche i vari grafici
“di passaggio” utilizzati per costruire il grafico della funzione, mettendo ben in evidenza il
grafico di f (x). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione(ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) =∣∣∣|arcsin (x+ 1)| − π
4
∣∣∣ .
3. Limiti di funzioni.Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modochiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
(4√x4 + 3x− 5− x
ex2+3
x2−1 − e
).
17
4. Stima all’infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x)per x → ±∞; stabilire quindi se fpossiede un asintoto obliquo, in caso affermativodeterminandolo.
f (x) = x log
(3x+ 5
2x− 1
).
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il grafico qualitativo della seguentefunzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando op-
portunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di definizione, e
la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a
tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’infinito.
f (x) = arctan
(x
x3 − 1
)log |x| .
18
◦
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log(log2
(1 + 3x2
))a. Calcolare f ′ (x)e dimostrare che f (x)è strettamente monotona su (1,+∞)e quindi
invertibile in tale intervallo.
b. Detta gla funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2)e g′ (log 2).
19
Recupero 1◦ compitino di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
7
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo com-plesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamentequante sono:
2z4 = iz2 |z| .
Poniamo z = ρeiϑ e riscriviamo l’equazione nella forma
2ρ4ei4ϑ = eiπ2 ρ2e−2iϑρ
2ρ4ei4ϑ = ρ3ei(π2−2ϑ)
da cui {2ρ4 = ρ3
4ϑ = π2 − 2ϑ+ 2kπ{
ρ = 0, ρ = 12
ϑ = π12 +
kπ3 , k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Perciò le soluzioni sono 7 in tutto:
zk =1
2ei(
π12+
kπ3 ), con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5
z6 = 0.
2. Operazioni sui grafici. Tracciare il grafico della seguente funzione, apartire dal grafico noto della funzione Shx, applicando esclusivamente successiveoperazioni sul grafico (traslazione, dilatazione, riflessione, valore assoluto). Ri-portare anche i vari grafici “di passaggio”utilizzati per costruire il grafico dellafunzione, mettendo ben in evidenza il grafico di f (x). Segnare sugli assi ascissao ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione congli assi, di max./min, ecc.)
f (x) =∣∣∣|arcsin (x+ 1)| − π
4
∣∣∣ .
20
arcsinx arcsin (x+ 1) |arcsin (x+ 1)|
|arcsin (x+ 1)| − π4
∣∣|arcsin (x+ 1)| − π4
∣∣3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi
in modo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
(4√x4 + 3x− 5− x
ex2+3
x2−1 − e
).
4√x4 + 3x− 5− x = x
(4
√1 +
3
x3− 5
x4− 1)
poiché per x→ +∞(3x3 −
5x4
)→ 0,
∼ x(1
4
(3
x3− 5
x4
))∼ x1
4
3
x3=
3
4x2.
ex2+3
x2−1 − e = e
(ex2+3
x2−1−1 − 1)
21
poiché per x→ +∞(x2+3x2−1 − 1
)→ 0,
∼ e(x2 + 3
x2 − 1 − 1)= e
(4
x2 − 1
)∼ 4e
x2,
quindi
f (x) ∼34x2
4ex2
=3
16e,
e questo è il limite cercato.
4. Stima all’infinito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica dif (x) per x → ±∞; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in casoaffermativo determinandolo.
f (x) = x log
(3x+ 5
2x− 1
).
Per x→ ±∞ è
f (x) ∼ x log(3
2
)→ ±∞
con crescita lineare, perciò cerco eventuale asintoto obliquo.[f (x)− x log
(3
2
)]= x
(log
(3x+ 5
2x− 1
)− log
(3
2
))= x log
[(3x+ 5
2x− 1
)2
3
]e poiché
[(3x+52x−1
)23
]→ 1 per x→ ±∞,
∼ x[6x+ 10
6x− 3 − 1]= x
(13
6x− 3
)∼ x 13
6x=13
6
perciò esiste l’asintoto obliquo di equazione
y = x log
(3
2
)+13
6.
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il grafico qualitativo della seguentefunzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando op-
portunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di definizione, e
la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel grafico eventuali punti notevoli (a
tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’infinito.
f (x) = arctan
(x
x3 − 1
)log |x| .
22
Definita per x 6= 0, x 6= 1.Per x→ 0±,
f (x) ∼(
x
x3 − 1
)log |x| ∼ −x log |x| → 0±,
quindi x = 0 è punto di discontinuità eliminabile, f (0) = 0.D’altro canto la funzione −x log |x| tende a zero più lentamente di x, ossia
con tangente verticale:x = 0 è punto di flesso a tangente verticale.Per x→ 1±,
f (x) ∼ arctan(
x
x3 − 1
)(x− 1) ∼ ±π
2(x− 1) ,
quindi x = 1 è punto angoloso e di minimo relativo.f (x) = 0 per x = ±1, 0.Per x→ −1,
f (x) ∼ arctan(1
2
)(−x− 1) ,
che si annulla linearmente (il punto è regolare).Per x→ ±∞,
f (x) ∼(
x
x3 − 1
)log |x| ∼ log |x|
x2→ 0+.
y = 0 asintoto orizzontale per x→ ±∞.Grafico qualitativo:
23
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = x log(log2
(1 + 3x2
))a. Calcolare f ′ (x) e dimostrare che f (x) è strettamente monotona su
(1,+∞) e quindi invertibile in tale intervallo.b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g (log 2) e
g′ (log 2).
f ′ (x) = log(log2
(1 + 3x2
))+
x
log2 (1 + 3x2)
6x
log 2 (1 + 3x2)
= log(log2
(1 + 3x2
))+
6x2
(log 2) (1 + 3x2) log2 (1 + 3x2)> 0
per ogni x > 1 perché:
log(log2
(1 + 3x2
))> 0 perché
log2(1 + 3x2
)> 1 perché
1 + 3x2 > 2 perché
3x2 > 3
inoltre 6x2 > 0, (log 2)(1 + 3x2
)> 0 e log2
(1 + 3x2
)> 0 perché è > 1.
f (1) = log (log2 (4)) = log (2) ,
quindi
g (log 2) = 1
g′ (log 2) =1
f ′ (1)=
1
log (log2 (4)) +6
(log 2)(4) log2(4)
=1
log 2 + 34 log 2
=4 log 2
4 (log 2)2+ 3
.
24
Recupero 2◦ compitino di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiTema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n◦di matricola)_______________________________n◦d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolo differen-ziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo a base quadrata, sia lillato della base e hl’altezza. Tra tutti i parallelepipedi di questo tipo aventi diagonale dfissata,determinare quello di volume massimo. Ossia: calcolare in funzione di di valori di l, hper cuitale volume è massimo. Fare una figura per impostare il problema. [NB. Diagonale del paral-
lelepipedo è ogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamente
contenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha 4 diagonali, tutte di uguale lunghezza].
25
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insiemedi definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.
f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .
26
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi inmodo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
arctan(x3)− π
21x − arctan
1x
.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n
(e−
1n2 − cos2 1
n
)
27
5. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 3
0
e−x |x− 2| dx.
6. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos3 x
(sinx+ 2)2 dx
28
Recupero 2◦ compitino di Analisi Matematica 1Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. BramantiSvolgimento Tema n◦1
Es. Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Problemi di massimo e minimo. Impostare e risolvere col calcolodifferenziale il seguente problema di massimo. Si consideri un parallelepipedo abase quadrata, sia l il lato della base e h l’altezza. Tra tutti i parallelepipedi diquesto tipo aventi diagonale d fissata, determinare quello di volume massimo.Ossia: calcolare in funzione di d i valori di l, h per cui tale volume è massimo.Fare una figura per impostare il problema. [NB. Diagonale del parallelepipedo èogni segmento che unisce due vertici del parallelepipedo senza essere interamentecontenuto su una sua faccia; il parallelepipedo ha 4 diagonali, tutte di ugualelunghezza].
Per Pitagora si ha:h2 + l2 + l2 = d2
dove d è la diagonale fissata. Il volume del parallelepipedo è
V = l2h
perciò ricaviamo
l2 =d2 − h22
così che dobbiamo massimizzare
V (h) =d2 − h22
h =1
2
(d2h− h3
)per 0 < h < d.
Calcoliamo
V ′ (h) =1
2
(d2 − 3h2
)≥ 0 per
h2 ≤ d2
3, h ≤ d√
3
Il volume è massimo per
h =d√3,
l =
√d2 − h22
=
√d2 − d2
3
2=
d√3.
29
Perciò il volume è massimo quando il parallelepipedo è un cubo.
2. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico.E’richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell’insiemedi definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, deter-minazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di nonderivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare inaltro modo la concavità plausibile.
f (x) = (5 |x| − 4) e 1x+1 .
Definita per x 6= −1.Per x→ −1±,
f (x) ∼ e 1x+1 →
{+∞0+
x = −1 asintoto verticale da destra, punto d’arresto a tangente orizzontale(perché f si annulla con velocità esponenziale) da sinistra.Per x→ ±∞,
f (x) ∼ 5 |x| → +∞con crescita lineare. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui.
f (x)− 5 |x| = (5 |x| − 4) e 1x+1 − 5 |x| = 5 |x|
(e
1x+1 − 1
)− 4e 1
x+1 .
−4e 1x+1 → −4 per x→ ±∞
5 |x|(e
1x+1 − 1
)∼ 5 |x| 1
x+ 1∼ 5 |x| 1
x= ±5 per x→ ±∞
Quindi per x→ ±∞
f (x)− 5 |x| → ±5− 4 ={
1−9
e la funzione ha gli asintoti obliqui:
y = 5x+ 1 per x→ +∞y = −5x− 9 per x→ −∞.
Calcoliamo, per x 6= 0,
f ′ (x) = e1x+1
(− 1
(x+ 1)2 (5 |x| − 4) + 5 sgn (x)
)=
e1x+1
(x+ 1)2
(− (5 |x| − 4) + 5 (x+ 1)2 sgn (x)
)
=
e
1x+1
(x+1)2
(−5x+ 4 + 5 (x+ 1)2
)per x > 0
e1x+1
(x+1)2
(5x+ 4− 5 (x+ 1)2
)per x < 0
=
e
1x+1
(x+1)2
(5x2 + 5x+ 9
)per x > 0
e1x+1
(x+1)2
(−5x2 − 5x− 1
)per x < 0
30
Per x > 0f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 9 ≥ 0 sempre.
La funzione è sempre crescente per x > 0.Per x < 0
f ′ (x) ≥ 0 per 5x2 + 5x+ 1 ≤ 0−5−
√5
10< x <
−5 +√5
10
quindi x = −5−√5
10 è punto di minimo relativo, x = −5+√5
10 è punto di massimorelativo.
f ′ (0+) = 9e;f ′ (0−) = −e, quindi x = 0 è punto angoloso, e punto di minimo relativo.f (x) = 0 per |x| = 4
5 , x = ±45 . Grafico qualitativo:
3. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi inmodo chiaro e giustificandoli brevemente:
limx→+∞
arctan(x3)− π
21x − arctan
1x
.
limx→+∞
(arctan
(x3)− π
2
)1x − arctan
1x
=
[0
0
]Applico De L’Hospital:
limx→+∞
3x2
1+x6
− 1x2 +
1x2
11+ 1
x2
=
[0
0
],
31
ma:
3x2
1 + x6∼ 3x
2
x6=3
x4
− 1x2+1
x21
1 + 1x2
= − 1x2+
1
x2 + 1=
−1x2 (x2 + 1)
∼ − 1x4
quindi3x2
1+x6
− 1x2 +
1x2
11+ 1
x2
∼3x4
− 1x4
= −3,
e questo è il limite cercato.
4. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustifi-cando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati.
∞∑n=1
n
(e−
1n2 − cos2 1
n
)
e−1n2 = 1− 1
n2+1
2
1
n4+ o
(1
n4
)(cos
1
n
)2=
(1− 1
2n2+
1
4!n4+ o
(1
n4
))2= 1− 1
n2+
1
4n4+
2
4!n4+ o
(1
n4
)n
(e−
1n2 − cos2 1
n
)= n
(1− 1
n2+1
2
1
n4+ o
(1
n4
)−(1− 1
n2+
1
4n4+
2
4!n4+ o
(1
n4
)))= n · 1
n4
(1
2− 14− 1
12+ o (1)
)∼ 1
6n3
quindi la serie è a termini almeno definitivamente positivi, e per confronto as-intotico con la serie armonica generalizzata convergente
∑16n3 , converge.
32
5. Calcolare il seguente integrale definito:∫ 3
0
e−x |x− 2| dx.
∫ 3
0
e−x |x− 2| dx =∫ 2
0
e−x (2− x) dx+∫ 3
2
e−x (x− 2) dx.∫e−xg′(x− 2)
f
dx = −e−x (x− 2) +∫e−xdx = −e−x (x− 2)− e−x + c
= e−x (1− x) + c∫ 3
0
e−x |x− 2| dx =[e−x (x− 1)
]20+[e−x (1− x)
]32
= e−2 + 1− 2e−3 + e−2
= 1 + 2e−2 − 2e−3.
6. Calcolare il seguente integrale indefinito:∫cos3 x
(sinx+ 2)2 dx
∫cos3 x
(sinx+ 2)2 dx =
∫1− sin2 x(sinx+ 2)
2 cosxdx =
[sinx = t; cosxdx = dt]
=
∫1− t2
(t+ 2)2 dt =
∫ (−1 + 4t+ 5
t2 + 4t+ 4
)dt
= −t+ 2∫
2t+ 4
t2 + 4t+ 4dt− 3
∫1
(t+ 2)2 dt
= −t+ 2 log (t+ 2)2 + 3
t+ 2+ c
= −t+ 4 log |t+ 2|+ 3
t+ 2+ c
= − (sinx+ 2) + 4 log (sinx+ 2) + 3
sinx+ 2+ c.
33