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Numerical Methods

數值方法

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What isNumerical Methods?

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Terms

• Algorithm– A step by step procedure that produce a

solution for a particular problem

• Numerical Methods– An algorithm for solving a problem whose

solution consists of one or more numerical values. Most numerical methods give answers that are only approximate to the desired true solution

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Terms

• Numerical Solution– numerical form; can obtain solution values at

only pre-selected position of the problem domain

• Analytical Solution– close (symbolic) form; can obtain solution

values at any position of the problem domain

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Tools ?

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Ready ?

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　　根據牛頓第二運動定律，物體動量的時變率等於施加於物體的外力。其數學表示式，或者是數學模型如下

　　其中 F是施於物體的淨力（ N, 或者是 kg m/s2）， m

為物體的質量 (kg)以及 a是物體的加速度 (m/s2)。　　可將第二運動定律寫成如 (1.1)式的形式

其中 a是表示系統行為的應變數， F是強制函數， m是參數。注意，在這個簡單的例子中沒有自變數，因為我們還沒有探討時間或空間中加速度的變化。

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　　其他物理現象的數學模型很可能更為複雜，複雜到無法求出精確的解，或者是需要利用其他複雜的數學技巧才能求得出解。我們以牛頓第二運動定律決定在地表附近自由落體的終端速度 (terminal velocity)來當作一個例子。加速度可以表示成速度的時變率

(1.4)

其中是速度（公尺 /秒）。　　當物體自由落下，則淨力包含兩部分：由重力造成的往下拉力 FD，由空氣阻力造成的往上推力 FU（如圖 1.1），

(1.5)

(1.6)

其中 g是重力加速度 (9.81 m/s2)。　　根據流體力學

(1.7)

其中 cd是比例常數 (proportionality constant)，叫做阻力係數 (drag coefficient)(kg/m)。　　淨力則是往下和往上的力的總和。因此，綜合 (1.4)式到 (1.7)式，我們可以得到

(1.8)

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　　因為這是一個微分方程式，你知道可利用微積分求出速度對於時間的函數的解析解 (analytical solution)或者是精確解 (exact solution)。在接下來的本書內容中，我們將說明另一種求解的方式。我們將會發展一套以電腦為導向的數值解或者是近似解。　　除了介紹如何使用電腦求解特殊的問題之外，要說明(a)什麼是數值方法以及 (b)數值方法在求解工程或科學問題中所扮演的角色。

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　　 (1.8)式是一個將自由落體加速度和所受作用力關連起來的數學模型。 (1.8)式是一個微分方程式 (differential equation)，因為式中包含了我們關注並且想要預測的變數變化率 (dυ/dt)。但這個解很難使用簡單的代數運算求得。我們需要微積分，才能算出正確的解或解析解。如果參與者起始時為靜止（ υ = 0當 t = 0），微積分求解(1.8)式，我們得到

(1.9)

其中 tanh是

(1.10)

　　注意 (1.9)式為 (1.1)式的一般形式，其中 υ(t)是應變數， t是自變數， cd和 m是參數， g是強制函數。

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　　 (1.9)式稱為解析解 (analytical solution)或者是閉式解 (closed-for

m solution)，因為此解答剛好滿足原始的微分方程式。不幸的，有很多數學模型根本就沒有辦法確實地算出來。在這樣的情況下，我們只能採用數值方法去求得精確解的近似值。

　　而數值方法 (numerical methods)就是將數學問題重新列式，使之能利用算術運算來求解。

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　　我們藉由圖 1.3說明， (1.8)式中速度對時間的變化率可以近似成：

(1.11)

其中 Δυ 和 Δt是速度和時間在一小段區間之內的差分， υ(ti)則是在起始時間 ti

的速度，而 υ(ti + 1)則是在下一個時刻 ti + 1的速度。注意 dυ/dt ≅ Δυ/Δt這個近似在 t有限小的情況下是成立的。因為微積分曾經教過我們

(1.11)式則表示反向的程序。

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　　數值方法。其本質，就是將各種數學運算，轉換成可應用於數位電腦的簡單算術與邏輯運算。數值方法涵蓋的主要範圍：

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