1-nÚmeros complexos 1 a 20
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Este livro trata fundamentalmente do comportamento de circuitoselétricos em corrente alternada, cujos dispositivos básicos são: resistor,indutor e capacitor.
A resolução de circuitos elétricos consiste basicamente no cálculode correntes, tensões e potências.
Para tanto, necessitamos de instrumentos matemáticos quetomem. possível a melhor compreensão deste assunto.
Sendo assim, primeiramente estudaremos a teoria do númerocomplexo, que será o instrumento matemático vital para a resolução decircuitos em corrente alternada e, em seguida, estudaremos o diagramafasorial, que será importante para a análise e visualização dos fenômenoselétricos em corrente alternada.
o conceito de número complexo ou número imaginário foiintroduzido com o intuito de se poder representar raízes quadradas denúmeros negativos, cujos resultados não fazem parte do conjunto dosnúmeros reais.
Números Complexos 1
Exemplos:
I ..pi ; .J7j ; .J-I0
Consideremos a seguinte definição:
Denomina-se unidade imaginária o número j, tal que:
Desta forma, é possível representar a raiz quadrada de um númeronegativo através do número imaginário da seguinte forma:
h=Jr;.=jJ;.
Exemplos:
1) ..pi =Jr4 = jJ4 = j2
2) .J7j =~ =jJ9 =j3
3) .J-I0 = ~j2 . 10 = jM
Da definição de unidade imaginária, j2 = -1, pode-se deduzirtambém que:
. j3 = j2.j =(-I).j =-j
. j4 =j2.j2 =(-1).(-1) =1
. j5 = j2.j2.j = (-I).(-I).j =j
. j6 = l.j2 .j2= (-1).(-1).(-1)= -1
. e assim por diante.
2
Um número complexo possui três fonnas diferentes de representação:
. Fonna Cartesiana
. Fonna Polar
. Fonna Trigonométrica
Cada uma destas formas 'pode ser utilizada dependendo dasoperações matemáticas envolvidas nos cálculos, como será visto maisadiante.
Forma Cartesiana
Genericamente, todo número complexo z pode ser representadona forma cartesiana por:
Onde: . a e b são números reais
. j representa a unidade imaginária
O plano cartesiano utilizado para representar um númerocomplexo z é fonnado por um eixo real (abcissa), onde se localiza aquantidade a, e um eixo imaginário (ordenada), onde se localiza aquantidade b, como mostra a figura 1.1.
EixoImaginário
(1m)
b
z(a,b)IIII
Eixo Real (R)a
Figura 1.1 - Plano Cartesiano para Números Complexos
Números Complexos 3
Exemplos:
Representar os números complexos a seguir no plano cartesiano:
. Zl =4+j4 . zs=-5
. z2=7 (não tem parte imaginária) . z6=-4-j3
. z3=j3 (não tem parte real) . z7=-j4
. z4=-3+j2 . zg=4-j3
No plano cartesiano, estes números ficam representados daseguinte forma:
Zs
1m
4 'Zt
3 zJ :
z 2 :
I II 1 II ~
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 -Ri -1 iI II -2 II I
3 4Z6 Zs
-4 Z7
-7 -6 -5
Forma Polar
Seja o número complexo z = a + jb representado no planocartesiano, como mostra a figura 1.2.
1m
a RO
Figura 1.2 -Forma Polar do Número Complexo
4
Na forma polar, o segmento de reta oz = Z representao módulodo número complexoz e <I>(letragrega fi)representa o argumento (ânguloou fase) de z, tomando-se como referência a parte positivado eixo real.
Assim, a forma polar de se representar um número complexoé a seguinte:
OBSERVAÇÕES:. De uma forma geral, um número complexo genérico é
representado por uma letra minúscula (z), sendo o seumóduIo representado por uma letra maiúscula (Z),salvoalgumas exceções. Isto ocorre porque, como será vistomais adiante, os números complexos servem para
. representar grandezas que variam em função do tempo,sendo esta a representação usual. Nas exceções, comotambém será visto mais adiante, tanto o número complexoquanto seu módulosão representados por letrasmaiúsculas.
Alguns autores representam o número complexo desta
forma: Z=Z~
.
Conversão entre Graus e Radianos
o ângulo <I>pode ser dado em graus (O)ou em radianos (rd).A conversão de uma unidade para outra é feita por uma simples regra de
três, tomando-se como referência que 1trd corresponde a 180°.
Exemplos:
Converter 45° para radianos e 1t/6 rd para graus.
1t ~ 180°
<I>(rd)~ 45°
1t ~ 180
1t/ 6 ~ <1>(°)
45 . 1t - 1trd<I>= 180 - 4
(1t/6) . 180 = 30°<1>= 1t
Números Complexos 5
Transformação da Forma Cartesiana para Polar
Para a transformação da forma cartesiana para a polar, valemas expressões:
Dependendo do quadrante em que está localizadoo segmento oz ,o cálculodo ângulo cI>precisa ser corrigidopara que o seu valortenha comoreferência sempre a parte positiva do eixo real.
Exemplos:
1) Segmento oz no 2Q quadrante:
2cI>'= arctg- = 340
3
Logo:
cI>= 180-cI>' = 180-34 = 1460
1m
z
R-3
-L-
8
l'
2) Segmento oz no 3Q quadrante:
2<1>'= arctg- = 3403
Logo:
<I>= 180+<1>'= 180+34 = 2140 ou
<I>= <1>'-180 = 34 -180 = -14601m
R
z
- 23) Segmento oz no 4Qquadrante <1>'= arctg- = 3403
Logo:
<I>= 360 - <1>'= 360 - 34 = 3260 ou
<I>= -<1>'= -3401m
3 R
z
Números Complexos 7
Sabendo-se as expressões do módulo e da fase de um númerocomplexo, e orientando-se pelo plano cartesiano para a devida correçãoda fase, pode-se fazer a transformação da forma cartesiana para apoIar.
Exemplos:
Transformar os números complexos a seguir, da forma cartesianapara a polar, representando-os no plano cartesiano:
a) Z1 = 4 + j4 1m
4
21 = .J42 +42 =4../24
<1>1 =arctg- =45°4
:. Z1= 4../2 145° o 4 R
b) Z2= 7 (não tem parte imaginária)
22 =7
<1>2= 0°
:. Z2= 7 ~
1m
c) Z3 =j3 (não tem parte real) O
23 =3
<1>3= 90°
:. Z3= 3 I 90°
Poderíamos representar,
também, por: z3 =3 I - 270°-J-
8
Z2 .R.7
Imt Z33
1\3.RO
R
26 = ~(-4)2 + (-3)2 = 5
<1>6 = arctg ~ ==370
logo, <1>6= 180+ 37 = 2170
:.26 = 5 12170 Z6
g) 27 = -j41m
o
27 =4
<1>7 = 2700 ou <1>7= -900
:. 27 = 4 12700 ou 27 = 4 1-900
Rcil7
~
-4. Z7
w
Números Complexos 9
1-
d) 24 = -3+ j21m
24 = (-3)2 + 22 = J13== 3,62
<1>4 = arctg3 ==340Z4
logo, <1>4= 180 - 34 = 1460
:.24 = 3,6 11460
i10'
R-3
e) 25 = -51m
25 =5
<1>5 = 1800:. 25 = 5 11800 Z5 Z5 .. I ' R
-5
f) 26 = -4 - j3
l'
h) Z8 =4-j31m
o 4
RZ8 = J42 +(-3)2 = 5
<1>8= arctg ~ ==37°
logo, <1>8= 360 - 37 = 323°
:. z8 = 5 1323° ou z8 = 5
Zg
1-37°
Transformação da Forma Polar para Cartesiana
Da figura 1.3, obtêm-se, por trigonometria, as expressões de a e b:
Figura1.3 -Forma Trigonométrica do Número Complexo
Estas expressões podem ser utilizadas para a transformação daforma polar para a cartesiana.
Portanto, um número complexo pode também ser representadona forma trigonométrica, como segue:
10
a =Z.cos<l> e b = Z.sen<l>
1m
b_m.-7:'Z.sencjl
O, Z.coscjl a R
Exemplos:
Transformar os números complexos a seguir,da forma polar paraa cartesianà, representando-os no plano cartesiano:
a) 21 =10 I 60°
a = 10.cos600= 10 . 0,5 = 5
b = 10.sen600= 10 . 0,866 = 8,66
:.21 = 5 + j8,66
1m
o R
b) 22 = 20 1120°
a = 20.cos120° = 20.(-0,5) = -10b = 20.sen 120°= 20 . 0,866 = 17,32
:.22 =-10+j17,32
1m
R
c) 23 = 50 1-30°1m
43,40O1"""- J I. -30" I RI
-25~-__5~_~Z:3
1m
O R
a = 50.cos(-300) = 50 . 0,866 = 43,30
b = 50.sen(-300) = 50.(-0,5) = -25
:. 23 = 43,30 - j25
d) 24 = 100 1180°
-t-
a = 100. cos180° = 100.(-1) = -100
b = 100.sen1800= 100.(0) = O-100
:.24 = -100 z,-- 100
Números Complexos 11
1m l'
e) Z5 = 6 I - 90°
a = 6.cos(-900) = 6.(0) = Ob = 6.sen(-900) = 6.(-1) =-6
:.z5 =-j6
f) Z6= 20 I 240°
a = 20.cos2400= 20.(-0,5) = -10b = 20.sen2400= 20.(-0,866) = -17,32
:. Z6= -10 - j17,32 -~oIIII
!/20JI---f -1732~ '
R
g) Z7 =30 I 45°1m
a = 30.cos45°= 30 . 0,707 = 21,21
b = 30.sen45°= 30 . 0,707 = 21,21
:. Z7 = 21,21 + j21,21
21,21 i- -- - - - -;fZ,
21;21 Ro
12
o....R
-90"r
6
-6. Zs
1m
As quatro operações matemáticas básicaspodem ser realizadascom números complexos de forma bastante simples, conforme veremos aseguir.
Soma e Subtração
Para somar ou subtrair dois números complexos, utiliza-se aforma cartesiana, somando-se ou subtraindo-se as partes real e imagináriacorrespondentes.
Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos:
ZI = aI + jb1 e Z2 =a2 + jb2
as operações soma zl + z2 e subtração zl -z2 podem ser realizadasconforme segue:
Exemplos:
Considere os seguintes números complexos:
ZI =10+ jl0
Obter:
Z2 =5+ j4 Z3 = -5+ j15 Z4= -10 - j20
a) ZI +z2 = (10 +5)+ j(10 +4) = 15 + j14
b) Z3 + Z4 = [-5 + (-10)] + j[15 + (-20)] =-15 - j5
zl +z4 =[10+(-10)]+j[10+(-20)]=-jl0c)-L-
Números Complexos 13
l'
d) Z2 +Z3 = [5+(-5)]+ j(4+15) = j19
e) Zl - Z2 = (10 - 5) + j[10 - 4) = 5 + j6
f) Z2-Zl = (5-10)+ j[4-10) = -5- j6
Z3- Z4 = [-5 - (-10)J + j[15 - (-20)J =5 + j35g)
h) Z4 - z3 =[-10 - (-5)] + j(-20 -15) = -5 - j35
Z2 -Z3 = [5- (-5)] + j(4-15) = 10 - jlli)
j) Z3- z2 = (-5 - 5) + j(15- 4) = -10 + jll
Multiplicação e Divisão
Para multiplicar ou dividir dois números complexos, utiliza-sea forma polar da seguinte maneira:
Multiplicação: Multiplicam-se os módulos e somam-se osargumentos (ângulos).
Divisão: Dividem-se os módulos e subtraem-se os argumentos(ângulos).
Assim, considerando-se os seguintes números complexos genéricos:
Zl =21 ~ Z2 =22l...!Le
as operações multiplicação zl.z2 e divisão z/z2 podem ser realizadasconforme segue:
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Exemplos:
Considere os seguintes números complexos:
ZI = 4 + j4 = 4J21 45° Z2 = 5 + j8,66 = 10 1 60°
Z3 =-j4=41-9oo=4 1270° z4 =-5+j8,66 =10 1120°
Obter:
a) zl,z2 = 4J21 45° . 10 I 60° =>
zl,z2 = 4J2 . 10 145°+60° = 56,6 1105°
b) z2.z3=loI6O° .41-900 =10.41600-900 =40 1-300
ou
z2.z3 = 10 1600 . 4 I 2700 = 10 . 41 600+2700 = 40 13300
c) Z3'Z4= 4 1-900 . 10 11200 = 4. 10 1 -900+1200 = 40 1300
d) zl.z4 = 4J2 145° . 10 1120° = 40J2 1165°
4J2 145° = 4J2 145°-60° = 0,4J2 1-15°e) ZIIz2 = 10 160° 10
- 10~ =~ 1600-45°=1,25J21135°f) z2 1 z3 - 4J2145° 4J2
4J21 45° = 4J2 145°-(-90°)=J2 1135°g) zl/z3=~ 4
4 ~ - ~ 1-90°-60° = 0,4 1-150°h) z3 1 z2 = 10 160° - 10
-t-
Números Complexos 15
É possível, também, realizar as operações de multiplicação e divisãousando a forma cartesiana, porém o processo é um pouco mais trabalhoso.
Multiplicação: Aplica-se a propriedade distributiva e somam-seas partes reais e imaginárias resultantes.
Exemplo:
Usando a forma cartesiana, realizar a operação zl.z2' conformeo item (a) do exemplo anterior, e comparar os resultados:
ZI.Z2 =(4 + j4).(5 + j8,66) ~
zl.z2 =(4.5) + (4.j8,66) + (j4.5) + (j4.j8,66) ~
zl.z2 = 20 + j34,64 + j20 + j234,64 ~
zl.z2 = 20 + j54,64-34,64 = -14,64+ j54,64
Convertendo o resultado para a forma polar, tem-se:
21.22 = ~(-14,64)2 +(54,64)2 = 56,6
"', - 54,64 - 75°'t' - arctg1464 =,logo, cp= 180 - 75 = 105° e, portanto, zl.z2 = 56,6 1105°
Para realizar a operação de divisão entre dois números complexosna forma cartesiana, é necessário utilizar o conceito de conjugado.
18
1-
i) 10 1120° = 10 1120°-60° = 1 160°z4 /z2 = 10 160° 10
10 1120° = 10 1120°-(-90°)= 2,51 210°j)z4 /z3 = 4 1-90° 4
Conjugado de um Número Complexo
Dado um número complexo genérico z = a + jb ou z =I~_j), oseu conjugado z* é definido como:
bt' ~zIIII
RIaIII
-b+- - - - - - - z*
Figura 1.4 - Conjugado de um Número Complexo
A multiplicação de um número complexo pelo seu conjugado tema qualidade de eliminar a parte imaginária do mesmo, pois:
z.z* = (a + jb).(a - jb) = a2 + b2 (resultado somente com parte real)
Desta forma, a divisão entre dois números complexos na formacartesiana pode ser realizada como segue:
Divisão: Acha-se o conjugado (z*) do denominador, multiplica-
o pelo numerador e pelo denominador, e realizam-se, em seguida, asoperações necessárias para simplificar o resultado.
Exemplo:
Usando a forma cartesiana, realizar a operação z4/z2' conformeo item (i) do exemplo visto anteriormente, e comparar os resultados:
z / z = (-5 + j8,66).(5 - j8,66) = -25 + j43,3 + j43,3 + 75 ~4 2 (5 + j8,66).(5 - j8,66) 52 + 8,662
/ = 50+ j86,6 = 0,5+ jO,866 = 1 1600z4 z2 100
Números Complexos 17
Representação dos Números Complexos
1.1 - Converter os números complexos a seguir, para a formapolar:
1.2 - Converter os números complexos a seguir, para a formacartesiana:
Operações com Números Complexos
1.3 - Dados os números complexos 21' 22' 23 e 24' efetuar asseguintes operações, deixando as respostas na formacartesiana:
18
a) 21 =20 - jl0 e) 25 =5
b) 22 =10 + j15 f) 26 = -15
c) 23 = -50 + j30 g) 27 = j25
d) 24 = -6 - j12 h) 28 =-j9
a) 21 =50 I 30° e) 25 = 45 1- 90°
b) 22 = 100 1150° f) 26 = 220
c) 23 = 10 1- 30° g) 27 =3,56I 45°
d) 24 = 251 90° h) 28 = 67 1180°
ZI =40 - jl00 Z2 =50 I 30° Z3 =5 + j8,66 Z4= -20 - j40
1.4 - Efetuar as operações dos itens (g), (h), (i)e m do ExercícioProposto 1.3 usando a forma cartesiana.
Números Complexos 19
a) ZI +z2 f) Z3 - Z4
b) zl +z4 g) z
c) Z2 +z4 h) z1,z3
d) zl -z2 i) z4 / zl
e) z2 -z3 j) ZI,(z2 +z3)z4
20