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1. NÚMEROS ENTEROS

El conjunto de números enteros está formado por losnúmeros naturales, sus opuestos (negativos) y el cero.

La necesidad de representar el dinero adeudado, latemperatura bajo cero, profundidades con respecto alnivel del mar, … nos obligan a ampliar el concepto denúmeros naturales, introduciendo el concepto denúmeros enteros

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Los números enteros se dividen en tres partes:

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REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS

1. En una recta horizontal , se toma un punto cualquiera que serepresenta como cero.

2. A su derecha y a distancias iguales se van señalando losnúmeros positivos: 1, 2, 3, …

3. A la izquierda del cero y a distancias iguales se van señalandolos números negativos: - 1, -2, - 3 , ….

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Los números enteros están ordenados.

De dos números representados gráficamente, es mayor el que estásituado más a la derecha y menor el situado más a la izquierda

5 > 3 ---- 5 es mayor que 3

- 5 < - 3 ---- - 5 es menor que -3

**CRITERIOS PARA ORDENAR LOS NÚMEROS ENTEROS

1. Todo número negativo es menor que cero

- 7 < 0

5

2. Todo número positivo es mayor que cero

5 > 0

3. De dos enteros negativos es mayor el que está más próximoal cero

-3 < - 1

4. De dos enteros positivos es mayor el que está más alejadodel cero

7 > 3

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2. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO ENTERO.

El valor absoluto de un número entero es la distancia (enunidades) que lo separa del cero en la recta numércia. Es porlo tanto, un número positivo.

En la práctica se escribe entre dos barras y resulta el mismonúmero sin su signo.

Valor absoluto de 6 = 6 = 6 (distancia entre el 6 y el 0 = 6)

Valor absoluto de – 6 = - 6 = 6 (distancia entre – 6 y 0 = 6)

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A partir del valor absoluto podemos comparar números enteros:

• Si comparamos dos enteros positivos será mayor el que tengamayor valor absoluto:

+ 6 = 6

+ 8 = 8

• Si comparamos dos enteros negativos será mayor el que tengamenor valor absoluto:

- 6 = 6

- 8 = 8

8

Así 8 > 6

Así – 6 > - 8

3. OPUESTO DE UN NÚMERO ENTERO

El opuesto de un número entero es su simétrico respecto delcero.

Esto quiere decir que un número y su opuesto están a la mismadistancia del cero. El opuesto de un número entero, por lotanto, es el mismo número pero con distinto signo.

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Op ( + b) = - b Op ( - b) = + b

Por ejemplo:

Op ( - 12) = + 12 Op ( + 12) = - 12

4. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS

**SUMA Y RESTA DE NÚMEROS ENTEROS

Si los sumandos son del mismo signo:

3 + 11 = 14

- 3 – 11 = - 14

Se suman y se pone el mismo signo.

Si los sumandos tienen distinto signo:

3 – 11 = - 8

- 3 + 11 = 8

Se restan y se pone el signo del número mayor.

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**SUMA Y RESTA DE MÁS DE DOS NÚMEROS ENTEROS

Calculemos 3 – 8 + 6 – 4

3 – 8 + 6 – 4

- 5 + 6 – 4

1 – 4

- 3

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**REGLA DE LOS SIGNOS PARA LA SUMA Y LA RESTA

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** MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

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2. Multiplicamos los números.

1. Multiplicamos los signos.• Al resultado hay que ponerle el signo

+ si ambos números tienen igualsigno.

• Hay que ponerle el signo – si ambosnúmeros tienen diferente signo.

Por ejemplo,(+ 9 ) . (+ 2) = + 18(+ 9 ) . ( - 2) = - 18

** DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS

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1. Dividimos los signos.• Al resultado hay que ponerle el signo + si

ambos números tienen el mismo signo.• Al resultado hay que ponerle el signo – si

ambos números tienen signo diferente.

2. Dividimos los números.

Por ejemplo,(- 40) : (- 8) = 5

(- 40) : (+ 8) = - 5

**MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS ENTEROS.REGLAS DE SIGNOS.

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5. FACTOR COMÚN.

Sean a, b y c tres números enteros:

FACTOR COMÚN

a . b + a . c = a . (b + c)

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Factor Común : a Se extrae el factor común a que divide a cada sumando yel resultado se coloca entre paréntesis.

a . b + a . c a . ( b + c)a . b / a = b ; a . c /a = c.

Por ejemplo,[(- 4) . (- 5)] + [(- 4) . (+ 2)] =

(- 4) . [(- 5) + (+ 2)]

6. POTENCIAS Y RAÍCES DE NÚMEROS ENTEROS

Potencias de números positivos

Una potencia de base positiva es siempre un númeroentero

(+ 2) ² = 2 . 2 = 4

(+ 4) ² = 4 . 4 = 16

Potencias de números negativos

Una potencia de base negativa tendrá un resultadopositivo o negativo dependiendo del exponente.

Si el exponente es par POSITIVO

Si el exponente es impar NEGATIVO

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RAÍZ CUADRADA DE UN NÚMERO ENTERO

+ 9 + 3, ya que 3² = 3 . 3 = 9

- 3, ya que (- 3)² = (- 3) . (- 3) = 9

+ 12 No tiene solución entera

- 9 No existe, ya que el cuadrado de unnúmero nunca es negativo

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7. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES

En las operaciones los números enteros suelen presentarse entreparéntesis. Debemos conocer las reglas para realizar lasoperaciones correctamente

Operaciones combinadas

1. Paréntesis y corchetes.

2. Potencias y raíces.

3. Multiplicación y división, según aparecen, de izquierda aderecha.

4. La suma y la resta, según aparecen de izquierda a derecha.

3 . (3 – 5) = 3 . (- 2) = - 6

35 + 7 . (6 – 11) = 35 + 7 . (- 5) = 35 – 35 = 0

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