1 ponto e segmento de reta1

7/28/2019 1 Ponto e Segmento de Reta1

1/13

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Ponto e segmento de reta - 1

1

PONTO E SEGMENTO DE RETA

Neste captulo aborda-se essencialmente o Ponto, elemento geomtrico

mais simples. Resultado da unio de dois pontos, aborda-se tambm o

Segmento de Reta. Com esses elementos so explicados alguns aspetos

cruciais que ajudaro a compreender as Retas e os Planos, assim como

outras figuras geomtricas tratadas nos diferentes captulos.

Sumrio:

2. Os planos de projeo

3. Os planos bissetores

4. As projees do ponto

5. As duas coordenadas do ponto

6. O alfabeto do ponto

7. Pontos simtricos

8. A projeo lateral do ponto

9. As trs coordenadas do ponto

10. Os segmentos de reta no espao

11. As projees dos segmentos de reta

12. A projeo lateral dos segmentos de reta

13. Exerccios


2/13


Os planos de projeo

A Geometria Descritiva um sistema didrico, ou seja, um sistema que utiliza dois planos de proje-

o. Um deles vertical e designa-se por Plano Frontal de Projeo (PFP), ou o(fi zero); o outro

horizontal e designa-se por Plano Horizontal de Projeo (PHP), ou o (niu zero). Esses planos cru-

zam-se numa reta que se designa por eixo x.

O eixo x divide os planos de projeo em semiplanos: no Plano Frontal de Projeo existe o Semi-

plano Frontal Superior (SFS) e o Semiplano Frontal Inferior (SFI); no Plano Horizontal de Projeo

existe o Semiplano Horizontal Anterior (SHA) e o Semiplano Horizontal Posterior (SHP).

Os planos de projeo dividem o espao em quatro pores, designadas por diedros: I., II., III. e

IV..

PHPo

PFPo

x

Os planos de projeo em perspetiva

Esta perspetiva mostra os planos de projeo, ossemiplanos, o eixo x e os diedros. este o sistemabsico utilizado em Geometria Descritiva. Normal-mente representa-se nesta posio, supondo oobservador situado no I. diedro, esquerda.

II. Diedro I. Diedro

III. Diedro IV. Diedro

II. Diedro

I. Diedro

III. Diedro

IV. Diedro

o

oSHP

SHA

SFI

SFS

SHASHP

SFI

SFS

Os planos de projeo vistos de lado

Representados de lado, os planos de projeoficam reduzidos a duas retas e o eixo x reduzido aum ponto. Normalmente representa-se nesta posi-o, com o I. diedro em cima, direita, supondoque o observador se encontra do lado esquerdo.

x


3/13


Os planos bissetores

Alm dos planos de projeo, existem tambm os planos bissetores. Os planos bissetores dividem

os diedros em espaos iguais, chamados octantes. Ou seja, devido presena dos planos bisseto-

res, cada diedro fica dividido em dois octantes. O 1/3 o plano que divide a meio os diedros I e III; o

2/4divide os diedros II e IV. Estes planos no so utilizados como planos de projeo.

o

o

x

Os diedros e os octantes

vistos de lado

Nesta imagem mostra-se como se distri-buem os diedros e os octantes ao longo doespao. Cada diedro contm dois octantes.A contagem, de uns e de outros, faz-se doSemiplano Horizontal Anterior para cima.

2/41/3

1/32/4

o

o1 Oct.

2 Oct.3 Oct.

4 Oct.

5 Oct.

6 Oct. 7 Oct.

8 Oct.

I. DiedroII. Diedro

III. Diedro IV. Diedro

Os planos bissetores e os

planos de projeo em perspetiva

Os planos bissetores dividem os diedros emespaos iguais, chamados octantes. Como sepode verificar, planos de projeo e planosbissetores cruzam-se no eixo x.Chama-se 1/3ao bissetor dos diedros mparese 2/4 ao bissetor dos diedros pares.


4/13


5/13


As duas coordenadas do ponto

Para representar pontos (e as outras figuras geomtricas) consideram-se trs coordenadas: abcissa,

afastamento e cota. Aqui explica-se em que consistem o afastamento e a cota. A abcissa explica-

da mais adiante, em As trs coordenadas de um ponto.

Por vezes, para representar pontos (e outras figuras) nem sempre se utilizam as trs coordenadas,

bastando trabalhar apenas com afastamentos e cotas, como sucede aqui.

As medidas das coordenadas so dadas em centmetros.

Projees dos pontos dados

Os pontos dados pelas suas coordenadas esto representados nos planos de projeo vistos de lado, na pri-meira imagem; nesta esto representados pelas suas projees. Como se pode verificar, cotas positivas e afas-

tamentos negativos originam projees para cima do eixo x; afastamentos positivos e cotas negativas originamprojees para baixo do eixo x.

S

RT

U

V

X

Y

Z

o

o

afastamentos negativos afastamentos positivos

cotas positivas

cotas negativas

Coordenadas dospontos representados:

R(1,5;2)

S(0;1)

T(-1,5;1,5)

U(-3;0)

V(-2;-1)

X(0;-2)

Y(1;-1,5)

Z(2,5;0)

O primeiro valor correspondeao afastamento, o segundo cota, separados por ponto evrgula.

x

R2

R1

S2

S1

T2T1

U1

U2

V1

V2

X2

X1

Y2

Y1

Z1

Z2

cotas +

afast. -

afast. +

cotas -


6/13


O alfabeto do ponto

O alfabeto do ponto o conjunto de todas as posies genricas que os pontos podem ter em rela-

o aos planos de projeo.

A2

A1

B2

B1

C2

C1

D2

D1

E2

E1

F2F1

G1

G2

H1

H2

I1

I2

K1

K2

J1

J2

L1

L2

M1

M2

N2N1

O2

O1

P2

P1

Q2Q1x

Posies genricas dos pontos representadas nas projees

Os pontos A, B e C tm a projeo frontal para cima do eixo x e a horizontal para baixo, esses pontos situam-seno I. diedro; os pontos E, F e G tm ambas as projees para cima do eixo x, situam-se no II. diedro; os pon-tos I, J e K tm a projeo frontal para baixo do eixo x e a horizontal para cima, situam-se no III. diedro; ospontos M, N e O tm ambas as projees para baixo do eixo x, situam-se no IV. diedro. Os pontos D, H, L e Ptm uma projeo no eixo x, situam-se nos planos de projeo; os pontos B, F, J e N tm projees com medi-das iguais (em valores absolutos), situam-se nos planos bissetores; o ponto Q situa-se no eixo x.

Posies genricas

dos pontos vistas de lado

Os pontos representados na ima-gem ao lado so os mesmos que se

apresentam em projees na ima-gem de cima. Aqui pode-se obser-var com mais clareza os diedros,octantes e planos onde se situam.As coordenadas destes pontos so:

A(3;1) B(2;2) C(1;3)

D(0;4) E(-1;3) F(-2;2)

G(-3;1) H(-4,0) I(-3;-1)

J(-2;-2) K(-1;-3) L(0;-4)

M(1;-3) N(2;-2) O(3;-1)

P(4;0) Q(0;0)

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

N

O

PQ

2/4 1/3

o

o


7/13


Pontos simtricos

A determinao de pontos simtricos importante para exercitar a marcao de pontos e para

melhor trabalhar com as coordenadas e conhecer o sistema de planos utilizado nesta disciplina.

Toma-se um ponto como referncia e determinam-se os seus simtricos em relao aos planos de

projeo, aos planos bissetores e ao eixo x.

Determinao de pontos simtricos

Os pontos de referncia utilizados nestaimagem so os seguintes:

A(1;3) P(-4;2)

Os simtricos de A so:

B(1;-3) - simtrico em relao ao PHPC(-1;3) - simtrico em relao ao PFPD(3;1) - simtrico em relao ao 1/3E(-3;-1) - simtrico em relao ao 2/4F(-1;-3) - simtrico em relao ao eixo x

Os simtricos de P so:

Q(-4;-2) - simtrico em relao ao PHPR(4;2) - simtrico em relao ao PFPS(-2;4) - simtrico em relao ao 2/4T(2;-4) - simtrico em relao ao 1/3U(4;-2) - simtrico em relao ao eixo x

As coordenadas dos pontos simtricosmantm os valores absolutos dos do pon-

to de referncia.

D

A

U

C

T

P

S

E

Q

F

R

B

2/41/3

o

o

A2

B2

C2

D2

E2

F2

A1 B1

C1

D1

E1

F1

Projees dos pontos representados na imagem anterior

Aqui esto representados os pontos de referncia, A e P, e os seus simtricos em relao aos planos de proje-o, aos planos bissetores e ao eixo x, de acordo com a vista de lado, que se observa na imagem anterior.

P1

P2

Q1

Q2

R1

R2 S1

S2

T1

T2 U1

U2

x


8/13


PHP o

PFP o

x

P2

P1

P

PLP o

z

y

P3

A projeo lateral do ponto

Alm das projees frontal e horizontal, por vezes h necessidade de recorrer a uma terceira proje-

o que se designa por projeo lateral, muito til nalguns captulos.

A projeo lateral obtm-se no plano lateral de projeo (PLP), ou o (pi zero), que corresponde ao

plano da abcissa nula, perpendicular aos outros dois planos de projeo. Esse plano, ao cruzar-se

com os outros, d origem aos eixos y e z. O eixo y resulta do cruzamento com o PHP, o eixo z do

cruzamento com o PFP.

As trs projees de um ponto

em perspetiva

O ponto P projetado no PHP em P1, noPFP em P2 e no PLP em P3. Depois defeitas as projees, os planos rebatemconforme mostram as setas. O primeirorebatimento a considerar o do PHP, sdepois de faz o rebatimento do PLP. Doprimeiro rebatimento resulta a coincidn-cia dos eixos y e z.

x

yz

P2

P1

P3A projeo lateral de um ponto

A projeo lateral obtm-se com linhasde chamada paralelas ao eixo x e comuma rotao feita com o compasso colo-cado no ponto de cruzamento dos eixos.A rotao do compasso faz-se sempreno sentido inverso ao dos ponteiros dorelgio. O ponto P corresponde ao queest representado em perspetiva; o pon-to R encontra-se no segundo diedro e oS no quarto, no estando representadosna imagem anterior.

R1

R2R3

S1

S2 S3


9/13


As trs coordenadas do ponto

Muitas das vezes necessrio utilizar tambm, alm do afastamento e da cota, a abcissa. O plano

de referncia para a abcissa o plano lateral de projeo, ou o. esquerda desse plano as abcis-

sas tm valores positivos, direita tm valores negativos. Nas projees a reta yz que serve de

referncia para a marcao das abcissas.

Quando so dadas as trs coordenadas de um ponto isso no significa que se tem de representar

as trs projees. O valor da abcissa serve para situar o ponto ao longo do eixo x, esquerda ou

direita de yz, ou de um ponto de referncia marcado no eixo x.

x

yz

Coordenadas dos pontos representados:

A(5;3;1) B(2;-1;4) C(-2,5;2;2) D(-1;-3;-3) E(4;0;2)

F(0;2;1,5) G(-4;-1;0) H(3;3;-1) I(-5;-2;2) J(6;-3;-1)

O primeiro valor corresponde abcissa, o segundo ao afastamento,o terceiro cota.

cotas +

afast. -

afast. +

cotas -

abcissas -abcissas +

A1

A2 B1

B2

C1

C2

D1

D2

G2

G1

E2

E1

H1

H2

I1I2

J1

J2

F1

F2


10/13


o

o

x

P2

P1

P

o

z

y

P3

Os segmentos de reta no espao

A unio de dois pontos d origem a um segmento de reta. Aqui mostram-se as duas e as trs proje-

es de um segmento de reta no espao, em perspetiva. Nas pginas seguintes mostram-se seg-

mentos de reta em vrias posies, quer em duas quer em trs projees.

As trs projeesdo segmento de reta

Para obter a projeo lateral de um seg-mento de reta basta unir as projeeslaterais dos seus extremos. Consoante aposio do segmento de reta, assimser o aspeto da sua projeo lateral.Exemplifica-se aqui com um segmentode reta de perfil.

o

o

x

A

A2

A1

B

B2

B1

As duas projeesdo segmento de reta

Para obter as projees do segmento dereta basta unir as projees dos seusextremos. Obviamente, o segmentopode ter diferentes posies em relaoaos planos de projeo, o que leva aque as suas projees apresentemaspetos diferentes.Aqui exemplifica-se com um segmentode reta oblquo.

P3

Q3

Q

Q2

Q1


11/13


As projees dos segmentos de reta

Os segmentos de reta podem ter sete posies genricas. Essas posies equivalem s da reta, a

estudar no captulo Alfabeto da Reta.

Segmentos de reta paralelos aos planos de projeo

O segmento de reta [AB] paralelo a ambos os planos de projeo; essa posio designa-se por fronto-horizontal. O segmento [CD] paralelo ao PHP e oblquo ao PFP; designa-se por horizontal. O segmento [EF] paralelo ao PFP e oblquo ao PHP; a sua posio frontal.

x

C2 D2

C1

D1

E2

F2

E1 F1

A2 B2

A1 B1

x

I2J2

I1

J1

G2

H2

G2H2

Segmentos de reta perpendicularesaos planos de projeo

Estes segmentos de reta tambm so parale-

los a um plano de projeo, mas aquilo queaqui se salienta a sua relao de perpendi-cularidade com os planos de projeo. O pri-meiro segmento perpendicular ao PHP edesigna-se por vertical; o segundo perpendi-cular ao PFP, sendo de topo.De notar a coincidncia que acontece numadas projees dos extremos dos segmentos.

K2

K1

L1

x

L2

Segmentos de reta oblquosaos planos de projeo

Estes segmentos de reta so ambos obl-quos aos planos de projeo. O [KL] tambm oblquo ao eixo x; designa-se poroblquo. O [MN] tambm perpendicularao eixo x; a sua posio de perfil.

N2

M2

N1

M1


12/13


A projeo lateral dos segmentos de reta

Aqui mostram-se as projees laterais de alguns segmentos de reta, alm das projees principais.

Para as obter basta unir as projees laterais dos extremos desses segmentos.

Segmentos de reta oblquos ao plano lateral de projeo

Aqui mostra-se como se obtm a projeo lateral de um segmento de reta oblquo e de outro horizontal. O pro-cesso o mesmo para qualquer segmento de reta.

x

C2 D2

C1

D1

x

G2

H2

G1H1

K2

K1

L1

L2

N2

M2

M1

N1

Segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeo

Normalmente com segmentos de reta paralelos ao plano lateral de projeo que h interesse em saber da

sua projeo lateral, sobretudo em exerccios do captulo Distncias. Aqui mostra-se um segmento de reta verti-cal e outro de perfil.

x

x

yzyz

yz yz

G3

H3

M3

N3

L3

K3

D3C3


13/13


Ponto e segmento de reta Exerccios

Pontos em dupla projeo

1. Representar, em dupla projeo, os pontos:

A(3;1) F(-3;3) J(2;-2)B(2;4) G(4;-1) K(-1;2)C(0;3) H(0;-3) L(-4;0)D(2;0) I(-2;-3) M(0;0)E, do 1/3, com -1cm de abcissa

2. Representar, em dupla projeo, os pontos:

N(3;1;2) S(-5;2;0) W(-3;0;0)O(1;3;1) T(2;2;-2) X(3;3;4)P(5;-2;4) U(-6;4;-1) Y(-4;1;2)Q(-2;0;3) V(6;0;-3) Z(0;-2;3)

R, do 2/4, com -4cm de abcissa e -5 de cota

Pontos em tripla projeo

3. Representar, em tripla projeo, os pontos:

A(3;2;4) C(2;-4;3) E(1;1;0)B(5;3;-1) D(6;0;5) F(4;0;0)

4. Representar, em tripla projeo, os pontos:

G(4;2;-2) I(-3;1;-3) K(0;5;0)H(2;-3;3) J(-5;-1;4)

Pontos simtricos

5. Determinar os pontos simtricos dos seguintespontos, em relao aos planos de projeo:

A(4;2) B(3;-1) C(-2;2)

6. Determinar os pontos simtricos dos seguintespontos, em relao aos planos bissetores:

D(3;1) E(-3;4) F(-2;-2)

7. Determinar os pontos simtricos dos seguintespontos, em relao aos planos de projeo, aos

planos bissetores e ao eixo x:F(2;-4) H(-1;-3)

Segmentos de reta em dupla projeo

8. Representar, em dupla projeo, os segmentosde reta [AB] e [CD] cujos extremos so:

A(8;2;2) C(2;1;2)B(4;4;0) D(-3;4;-2)

9. Representar, em dupla projeo, os segmentosde reta [EF] e [GH] cujos extremos so:

E(6;0;0) G(0;1-1)F(2;-2;5) H(-4;0;3)

10. Representar, em dupla projeo, os seguintessegmentos de reta:

[IJ], vertical, com 3cm de tamanho,sendo I(4;3;2) o ponto de menor cota.

[KL], de topo, com 4cm de tamanho,tendo L(-3;0;3) menor afastamento.


[MN], fronto-horizontal com 3cm de tamanho,sendo N(2;1;2) o ponto mais direita.

[OP], de perfil cujos extremos so O(-3;1;4)

e P(5;1).


[QR], horizontal com 4cm de tamanho,fazendo 30ae, estando R(2;0;2) direita de Q.

[ST], frontal, estando S(-1;-3;2) esquerdade T, que tem -5cm de abcissa e 1cm deafastamento.

13. Representar, em dupla projeo, os seguintes

segmentos de reta:[UV], conhecendo V(2;4;2), e sabendo que Utem 1cm de afastamento e 6cm de cotae se situa no PHP.

[WX], conhecendo W(-2;-1;4) e X(4;2) esabendo que a projeo frontal dosegmento faz 30ad.

Segmentos de reta em tripla projeo

14. Representar, em tripla projeo, o segmento dereta de perfil com 3cm de afastamento, cujos extre-mos so A(2;5) e B(4;1).

15. Representar, em tripla projeo, o segmento dereta cujos extremos so C(3;4;1) e D(0;2;5).

16. Representar, em tripla projeo, o segmento dereta de perfil cujos extremos so E(4;3;5) e F(-2;1).

17. Representar, em tripla projeo, o segmento dereta cujos extremos so G(3;3;5) e H(-2;3;2).

18. Representar, em tripla projeo, o segmento dereta cujos extremos so I(-4;2;1) e J(-4;5;4)

19. Representar, em tripla projeo, o segmento de

reta cujos extremos so K(-3;3;1) e L(-3;3;5).

1 ponto e segmento de reta1

Documents