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Propagation d’épidémie la Rougeole à l'Unil-EPFL
Superviseur : Micha HerschEtudiants : Bruno Pais & Didier Languetin
29 mai 2009
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Objectifs
Etudier le modèle simple SIR
Appliquer et Interprèter le modèle SIR sur un casd’épidémie actuel :
Epidémie de la Rougeole à l'Unil-EPFL
Adapter ce modèle à notre cas particulier afin d’évaluer:
- les risques encourus- efficacité de la campagne de vaccination
L’épidémie
L’épidémie, qu’est-ceexactement?
Une épidémie signifieune augmentation rapide
de l’incidence d’unepathologie en un lieu et sur un momentdonné.
Nombre de jours
Nom
bre
de p
ers
onnes
infe
ctées
0 20 40 60 80 100 120
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Nombre de personnes infectées présentes sur le campus à un temps
donné
Intérêts du modèle SIR
Le modèle SIR permet de :
• Visualiser graphiquement la propagation d’une maladie au sein d’un espace clos et son évolution.
• D'évaluer et prévoir les risques d'épidémie, sa durée ainsi que son pic d'activité.
Le modèle simple SIR
Le système dynamique
•S(t): nombre de personnes saines susceptibles de contracter la maladie.
• I(t): nombres de personnes infectées.
•R(t): nombre de personnes immunisées ou décédées.
Le modèle simple SIR
Le système dynamique:
dS/dt = -r ·S(t) ·I(t)
dI/dt = r ·S(t) ·I(t) - a ·I(t)
dR/dt = a ·I(t)
Les paramètres:
r : taux de contagion(vitesse de transmission)
a : taux de guérison
Perfectionnement du modèle
Nous avons améliorer le modèle de manière à prendre
en considération:
•le flux des personnes qui se déplacent entre les sites de UNIL-EPFL
•La campagne de vaccination (du lundi 23 mars au vendredi 11 avril soit 19 jours)
Le modèle amélioré
Le flux de personnes entre les 2 sites :
s = flux de personnes qui transitent entre les 2 sites
Le modèle amélioré
Le système dynamique (dans le cas où on se trouve à l'Unil) :
dS/dt = -r ·S(t) ·I(t) + s · (SEPFL(t)-S(t)) – u · v · S(t)
dI/dt = r ·S(t) ·I(t) - a ·I(t) + s · (IEPFL(t)-I(t))
dR/dt = a ·I(t) + s · (REPFL(t)-R(t)) + u · v · S(t)
Les paramètres:
r : taux de contagion a : taux de mise en quarantaines : flux de personnes qui transitent
entre les 2 sitesu : 95% d'efficacité du vaccinv : taux de personnes vaccinées par
jour
Le modèle amélioré
Données acquises
Données fournies par le médecin cantonal
Méthodologie
Choix :1. Espace clos, divisé en 2 sites avec flux
2. Intervalle de temps = 7semaines
3. Une semaine = 7 jours de cours
4. Un dose suffit pour être vacciné
5. Période d'incubation nulle
6. 5-6 jours pour être mis en quarantaine
7. Uniquement les 10% initialement non vaccinées sont pris en compte dans notre modèle
8. s = Flux (Unil -> EPFL) = Flux (EPFL -> Unil)
9. Mise en quarantaine = guérison, donc :
a = taux de guérison = taux de mise en quarantaine
Méthodologie
Conditions initiales :1. Durée de la campagne 19 jours à partir de la 3ème semaine
2. Nombre de personnes non-vaccinées S(t) :
S(t=0) = 2500 dont : 1400 (Unil)
1100 (EPFL)
3. Nombre de personnes infectées I(t) et immunisées R(t) :
I(t=0) = 2 et R(t=0) = 0
4. Nombre total de personnes vaccinées = 1500
5. Nombre total d'infectés = 49
Optimisation des paramètres
Calcul de a:
Une personne contagieuse sera détectée et misequarantaine en moyenne 5-6 jours après infection.
Le taux de guérison a est donc de 2/11 (approximation)
Recherche de r et s avec a fixé:
On recherche les valeurs les plus proches de la réalité à l’aide de la formule suivante:
(nEPFL – 37)² + (nUNIL -12)²
soit le plus petit possible
Optimisation des paramètres
41.2610.020000.000215
43.7720.020000.000214
39.690.020000.000216
39.1280.020000.000217
39.6470.020000.000218
63.2250.020000.000221
146.650.020000.000200
67.8210.020000.000210
58.0660.020000.000220
186.990.020000.000230
572.520.020000.000240
2997.10.020000.000260
1407.80.020000.000250
Coût(s)(r)
1.1040.008200.000232958
12.5670.012000.000217
11.9950.011000.000217
14.2620.009000.000217
12.490.010000.000217
19.0410.015000.000217
32.3340.018500.000217
35.4460.019200.000217
35.8990.019300.000217
36.3540.019400.000217
37.2710.019600.000217
36.8120.019500.000217
41.4870.020500.000217
48.780.022000.000217
43.8860.021000.000217
Coût(s)(r)
Formule d'optimisation des paramètres :
Paramètres de la vaccination
Les paramètres u et v de la vaccination:
Soient à t = 18, S(0) = 2500 et S(18) = 1000, on a :
dS/d(t) = - v · S(t) v = -log(S(t)/2500)/t
tel que : v = 0.050905
et : u = efficacité du vaccin = 95%
Dynamique des populationsDynamique sans vaccin Dynamique avec vaccin
jours
Nom
bre
de p
ers
onnes
Nom
bre
de p
ers
onnes
jours 0 20 40 60 80 100 120 0 20 40 60 80 100 120
2500
2000
1500
1000
500
0
2500
2000
1500
1000
500
0
S(t)
I(t)R(t)
I(t)
S(t)
R(t)
Effet de la vaccination
semaines semainesNom
bre
de p
ers
onnes
infe
ctées
chaque
jour
Dynamique avec vaccin Dynamique sans vaccin
EPFL
UNIL+EPFL
UNIL
UNIL+EPFL
UNILEPFL
12.3
12.3N
om
bre
de p
ers
onnes
infe
ctées
chaque
jour
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7
12
10
8
6
4
2
0
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
Conclusion
Résultats :
•Nombre de personnes infectées selon nos données :
49 personnes
•Nombre de personnes infectées selon notre modèle :
- avec campagne : 48 ± 1 personnes
- sans campagne : 413 personnes (risques encourus)
•% de personnes épargnées : 88.38% 365 personnes!
Vaccination efficace et recommandée selon notre modèle
Conclusion
Limites du modèles :
Le nombre de personnes infectées chaque jour de notre modèlene réflétent pas la réalité de nos données... Lors de la 3ème semaine par exemple, on a pic d'activité qui passe
du simple au double...
semaines
Nom
bre
de p
ers
onnes
infe
ctées
chaque jour
1 2 3 4 5 6 7
25
20
15
10
5
0
0
UNIL+EPFLEPFL
UNIL
Conclusion
Limites du modèles :
On ne peut estimer précisemment le nombre exact d'infectésun jour donnée... Néanmois, notre modèle suffit à prédire que ce pic d'activité se déroulera lors de la 3 semaine et à estimer la fin de l'épidémie.
Perspectives
•Présence des étudiants sur le site que 5 jours de la semaine sur les 7
•Tenir compte des flux extérieurs à notre système
• Interpreter l’influence que le TSOL pourrait avoir comme lieu à hauts risques de contamination, en considérant le TSOL comme 3ème site
Annexe : codes du modèlefunction y=f(x,t)
s= 0.0082;r=0.000232958;a=2/11;u=0.95;v=0.050905;
if(t>=14 & t<=32)
# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):
y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4)) -u*v*x(1);y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6)) + u*v*x(1);
# Site EPFL :
y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4)) - u*v*x(4);y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6)) + u*v*x(4);
else
# Site de l'Unil avec x(1),x(2),x(3):
y(1)=-r*x(1)*x(2) + s*(-x(1)+x(4));y(2)=r*x(1)*x(2)-a*x(2) + s*(-x(2)+x(5));y(3)=a*x(2) + s*(-x(3)+x(6));
# Site EPFL :
y(4) = -r*x(4)*x(5) + s*(x(1)-x(4));y(5) = r*x(4)*x(5)-a*x(5) + s*(x(2)-x(5));y(6) = a*x(5) + s*(x(3)-x(6));
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