1 propiedades de las operaciones matematicas.docx

8/19/2019 1 Propiedades de las operaciones matematicas.docx

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La suma tiene las siguientes propiedades:Conmutativa: el orden de los sumandos no altera el resultado.Por ejemplo: 2 + 3 = 3 +2Asociativa: en una suma de 3 o más sumando se puede empezarsumado los 2 primeros y al resultado sumarle el tercero; o empezarsumando el segundo y el tercero y al resultado sumarle el primero.3 + 5 +6 = (3 +5 +6 = ! + 6 = "#3 + 5 +6 = 3 + (5 +6 = 3 + "" = "#Elemento neutro: la suma tiene un elemento neutro $ue es el %. &i se lesuma % a cual$uier n'mero el resultado es el mismo n'mero: + % = Cálculo de los elementos de la suma:)n una suma* cual$uier sumando es igual al resultado (suma menos losotros sumandos:3 + 6 + # = "3

)l primer sumando (3 es igual:3 = "3 6 #)l segundo sumando (6 es igual:6 = "3 3 #Propiedades de la resta,álculo de los elementos de la resta:)l minuendo es igual a la suma del sustraendo y la di-erencia:"% = 3)l minuendo ("% es igual:"% = + 3

)l sustraendo es igual al minuendo menos la di-erencia:"2 ! = #

)l sustraendo (! es igual:! = "2 #

Propiedades la multiplicación y de la división

P/0P1))& ) 4& 0P)/,10)&uc7as 8eces* cuando se presenta un cálculo* se pueden 7acer algunastrans-ormaciones para resol8erlo más -ácilmente. Para poder asegurar$ue estas trans-ormaciones se pueden 7acer ya $ue no modi-ican elresultado* es necesario conocer las P/0P1))& ) 4& 0P)/,10)&.

P/0P1))& ) 4 941P41,,1


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4a propiedad ,091 3 = ?%%3 > 3%% = ?%%

4a propiedad &0,11 5 > # = 5#% 5 > (3 > 2 = (5 > 3 > 22 > 2% = 5#% 5 > 6 = "5 > 23% = 3%

4a propiedad 1&/1@91 ! ? > 25(!% + > ! (!% " > 25

!% > ! + > ! !% > 25 " > 25

P/0P1))& ) 4 1


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"5% : 3 + "5% : 35% + 5% = "%%o es 8álido 7acer3%% : 3 = "%%

3%%: (" + " + "3%% : " + 3%% : " + 3%% : "3%% + 3%% + 3%% = ?%%

)&,0P0&1,1 941P41,1


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a, numerador* indica el numero de unidades fraccionarias

elegidas"

#ipos de fracciones

Fracciones propias

$on auellas cuyo numerador es menor ue el

denominador"

Fracciones impropias

&on a$uellas cuyo numerador es mayor $ue el denominador.

%úmero mi&to es el $ue está compuesto de parte entera y

-raccionaria.

Para pasar de n'mero mi&to a fracción * se deja el mismo

denominador y el numerador es la suma del producto del

entero por el denominador más el numerador* del n'mero

mi>to.

Para pasar una fracción impropia a número mi&to * se

divide el numerador por el denominador" El cociente es

el entero del número mi&to y el resto el numerador de la

fracción, siendo el denominador el mismo"

Fracciones unitarias

$on auellas cuyo numerador es igual al denominador"

Fracciones decimales

$on auellas cuyo denominador es una potencia de '("


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Fracciones euivalentes

)os fracciones son euivalentes cuando el producto de

e&tremos es igual al producto de medios"

a y d son los e&tremos* b y c, los medios"

&i se multiplica o divide el numerador y denominador de

una fracción por un número entero* distinto de cero* se

oAtiene otra fracción euivalente a la dada.

l primer caso le l lamamos ampliar o amplificar .

l segundo caso le l lamamos simplificar.

Fracciones irreducibles

$on auellas ue no se pueden simplificar"

+educción de fracciones a común denominador

/educir 8arias -racciones a com'n denominador consiste en

con8ertir las en otras e$ui8alentes $ue tengan el mismo

denominador. Para ello:

"E &e determina el denominador común* $ue será el

mnimo común múltiplo de los denominadores.

2E Este denominador, común, se divide por cada uno de

los denominadores, multiplicándose el cociente obtenido

por el numerador correspondiente"

Comparación de fracciones


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Fracciones con igual denominador

e dos -racciones $ue tienen el mismo denominador es

menor el $ue tiene menor numerador"

Fracciones con igual numerador

e dos -racciones $ue tienen el mismo numerador es menor

el $ue tiene mayor denominador"

Con numeradores y denominadores distintos

)n primer lugar las tenemos $ue poner a común

denominador.

Es menor la ue tiene menor numerador"

%úmeros racionales

&e l lama número racional a todo n'mero $ue puede

representarse como el cociente de dos enteros, con

denominador distinto de cero . &e representa por .

$uma y diferencia de números racionales

Con el mismo denominador


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$e suman los numeradores y se mantiene el

denominador"

Con distinto denominador

)n primer lugar se reducen los denominadores a común

denominador* y se suman o se restan los numeradores

de las fracciones euivalentes obtenidas .

Propiedades

". -nterna:

)l resultado de sumar dos números racionales es otro

número racional .

a . b

2. Asociativa:

)l modo de agrupar los sumandos no 8arDa el resultado.

(a . b/ . c 0 a . 1b . c/ F

3. Conmutativa:

)l orden de los sumandos no 8arDa la suma.

a . b 0 b . a

#. Elemento neutro:

)l ( es el elemento neutro de la suma por$ue todo n'mero

sumado con Gl da el mismo n'mero.

a . ( 0 a


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5. Elemento opuesto

)os números son opuestos si al sumarlos obtenemos

como resultado el cero"

a . 12a/ 0 (

)l opuesto del opuesto de un n'mero es igual al mismo

n'mero.

,omo consecuencia de estas propiedades* la diferencia de

dos números racionales se de-ine como la suma del

minuendo más el opuesto del sustraendo .

a 3 b 0 a . 13b/

Producto de números racionales

)l producto de dos números racionales es otro número

racional $ue tiene:

Por numerador el producto de los numeradores .

Por denominador el producto de los denominadores .

Propiedades

". -nterna:

a 4 b

2. Asociativa5

1a 4 b/ 4 c 0 a 4 1b 4 c/

3. Conmutativa5


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a 4 b 0 b 4 a

#. Elemento neutro:

a 4' 0 a

5. Elemento inverso:

6. )istributiva:

a 4 1b . c/ 0 a 4 b . a 4 c

. $acar factor común5

a 4 b . a 4 c 0 a 4 1b . c/

Cociente de números racionales

)l cociente de números racionales es otro número

racional $ue tiene:

Por numerador el producto de los e&tremos .

Por denominador el producto de los medios .

Potencia de fracciones

Propiedades

".


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2.

3. Producto de potencias con la misma base :

#. )ivisión de potencias con la misma base:

5. Potencia de una potencia :

6. Producto de potencias con el mismo e&ponente :

. Cociente de potencias con el mismo e&ponente :

#ransformar decimal a fracción


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4os n'meros decimales pueden clasi-icarse en:

a/ decimales finitos: son a$uellos $ue tienen -in* es decir* no 7ay unn'mero $ue se repita.

)jemplos: #*56 ; %*%%%3 ; 2*?!6 : %*" ; 3*#2 * etc.

&iempre $ue se di8ida el numerador por el denominador* y la di8isintermine y se oAtenga resto cero* la di8isin es e>acta y su resultado seráun decimal -inito.

9n decimal -inito representa una fracción decimal"

b/ decimales infinitos: son a$uellos n'meros $ue no se acaAan* esdecir* 7ay uno o 8arios n'meros $ue se repiten in-initamente. Porejemplo: %*333333..... es in-inito por $ue el 3 se repite inde-inidamente.)stos n'meros son di8isiones ine>actas. %o representan una -raccindecimal.

4os decimales in-initos pueden ser: infinitos puros, infinitosperiódicos e infinitos semiperiódicos"

l conjunto de los números racionales slo pertenecen los n'merosdecimales in-initos peridicos y semiperidicos. Los decimales infinitospuros pertenecen al con6unto de los números irracionales, por$ueno pueden transformarse en fracción"

c/ decimales infinitos periódicos: son a$uellos $ue tiene una o másci-ras $ue se repiten sucesiva e infinitamente* -ormando el perodo.&e escriAe en -orma aAre8iada coronando al perDodo con un pe$ueHotrazo.

d/ decimales infinitos semiperiódicos5 En estos decimales

aparecen una o más cifras antes del perodo" El número formado


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por dic!as cifras se llama anteperodo 1es un número ue estáentre la coma y la rayita/"

#ransformación de un decimal finito a fracción

&e con8ierte el n'mero a -raccin decimal y* si se puede* se simpli-ica.Para trans-ormar el n'mero decimal a -raccin decimal se utilizanpotencias de die7 ("%* "%%* ".%%%* etc.. &e colocan tantos ceros comoci-ras decimales tenga el n'mero.

E6emplo '5

&e anota el n'mero* en este caso #5. &e di8ide por ".%%%* por$ue 7aytres espacios decimales ocupados* luego simpli-icamos por 5

E6emplo 85

#ransformación de un decimal infinito periódico en fracción

4os pasos a seguir son los siguientes:

" &e anota el n'mero y se le resta Gl o los n'meros $ue están antes delperDodo (de la rayita

2 &e coloca como denominador un 9 por cada n'mero $ue está en elperDodo (si 7ay un n'mero Aajo la rayita se coloca un ?* si 7ay dosn'meros Aajo el perDodo se coloca ??* etc.. &i se puede simpli-icar* sesimpli-ica.

:tro e6emplo5 )>presar como -raccin 5*"!"!"!"!....


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#ransformación de decimal infinito semiperiódico a fracción" )l numerador de la -raccin se oAtiene, al igual ue en el casoanterior, restando al n'mero la parte entera y el anteperDodo* o sea*todo lo $ue está antes de la IrayitaJ.

2 )l denominador de la -raccin se oAtiene colocando tantos 9 comoci-ras tenga el perDodo y tantos ( como ci-ras tenga el anteperDodo. ,omosiempre* el resultado se e>presa como -raccin irreductiAle (no se puedesimpli-icar más o como n'mero mi>to.

Fracción a decimal

Para trans-ormar una -raccin a n'mero decimal Aasta dividir elnumerador por el denominador.

)jemplos:

0tro:

'" :peraciones combinadas sin par;ntesis


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'"' Combinación de sumas y diferencias

? K + 5 + 2 K 6 + ! K 3 = !

,omenzando por la iz$uierda* 8amos e-ectuando las

operaciones seg'n aparecen.

'"8 Combinación de sumas, restas y productos

3 F 2 K 5 + # F 3 K ! + 5 F 3 =

= 6 K 5 + "2 K ! + "5 = 2%

/ealizamos primero los productos por tener mayor prioridad.

Posteriormente e-ectuamos las sumas y restas.

'"< Combinación de sumas, restas, productos y

divisiones

"% : 2 + 5 F 3 + # K 5 F 2 K ! + # F 2 K 2% : # =

= 5 + "5 + # K "% K ! + ! K 5 = ?

/ealizamos los productos y cocientes en el orden en el $ue los

encontramos por$ue las dos operaciones tienen la misma

prioridad.

)-ectuamos las sumas y restas.

'"= Combinación de sumas, restas, productos,

divisiones y potencias


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23 + "% : 2 + 5 F 3 + # K 5 F 2 K ! + # F 2 2 K 2% : # =

= ! + "% : 2 + 5 F 3 + # K 5 F 2 K ! + # F # K 2% : # =

= ! + 5 + "5 + # K "% K ! + "6 K 5 = 25

/ealizamos en primer lugar las potencias por tener mayor

prioridad.

&eguimos con los productos y cocientes.

)-ectuamos las sumas y restas.

8" :peraciones combinadas con par;nteis

("5 K # + 3 K ("2 K 5 F 2 + (5 + "6 : # K 5 + ("% K 2 2 =

= ("5 K # + 3 K ("2 K "% + (5 + # K 5 + ("% K #=

= "" + 3 K 2 + ? K 5 + 6 = 22

/ealizamos en primer lugar las operaciones contenidas en

ellos* respetando el orden de prioridad.

Luitamos parGntesis realizando las operaciones.


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Primero operamos con las potencias* productos y cocientes de

los parGntesis.

/ealizamos las sumas y restas de los parGntesis.

)n 8ez de poner corc7etes pondremos parGntesis

directamente.

0peramos en los parGntesis.

espuGs multipl icamos.

Oinalmente restamos y sumamos.

=" :peraciones combinadas con llaves

5 + "% M2% : 5 K 2 + # (5 + 2 F 3N K ! F 3 2Q + 5% (6 F

2 =

= M5 + "% (# K 2 + ## K ! F 3 2N + 5% ("2 =

= (5 + "% F #6 K 2 + 6%% =

= (5 + #6% K 2 + 6%% =

= 2"#

Primero operamos con las potencias* productos y cocientes de

los parGntesis.

/ealizamos las sumas y restas de los parGntesis.

)n 8ez de poner corc7etes pondremos parGntesis directamente

y donde 7aADa l la8es escriAimos corc7etes.


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0peramos en los parGntesis.


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Potencias de e&ponente racional y negativo

>ultiplicación de potencias con la misma base

am 4 a n 0 am .n

25 F 22 = 25+2 = 2

)ivisión de potencias con la misma base

a

m

5 a

n

0 a

m 2 n

25 : 22 = 25 2 = 23

Potencia de un potencia

1am/n0am 4 n

(253 = 2"5

>ultiplicación de potencias con el mismo

e&ponente

an 4 b n 0 1a 4 b/ n


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23 F #3 = !3

)ivisión de potencias con el mismo e&ponente

an 5 b n 0 1a 5 b/ n

63 : 33 = 23

E6ercicios

33 F 3# F 3 =


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(22# = 8?

(# F 2 F 3 # = 8==

(25# = 88(

M(23 #N% = (2"2% = 2% = '

(225 =M(332N5 = (365 =


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Un radical es una e&presión de la forma , en

la ue n y a * con tal ue cuando a sea

negativo, n !a de ser impar"

E&presión de un radical en forma de potencia

$implificación de radicales

$i e&iste un número natural ue divida al

ndice y al e&ponente 1o los e&ponentes/ del

radicando, se obtiene un radical euivalente"

+educción de radicales a ndice común


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'Sallamos el mnimo común múltiplo de los

ndices* $ue será el com'n Dndice

8)ividimos el común ndice por cada uno de

los ndices y cada resultado oAtenido se multiplica

por sus e&ponentes correspondientes.

E&tracción de factores fuera del signo radical

$e descompone el radicando en factores. &i:

9n e&ponente es menor $ue el Dndice* el -actor

correspondiente se de6a en el radicando .

9n e&ponente es igual al Dndice* el -actor

correspondiente sale fuera del radicando .

9n e>ponente es mayor ue el ndice * se divide

dic7o e>ponente por el ndice . )l cociente oAtenido

es el e&ponente del factor fuera del radicando y el

resto es el e&ponente del factor dentro del

radicando.

-ntroducción de factores dentro del signo radical

$e introduce los factores elevados al ndice

correspondiente del radical"

$uma de radicales


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$olamente pueden sumarse 1o restarse/ dos

radicales cuando son radicales seme6antes, es

decir, si son radicales con el mismo ndice e igual

radicando"

Propiedades de los radicales

Producto de radicales

+adicales del mismo ndice

Para multipl icar radicales con el mismo Dndice se

multiplican los radicandos y se de6a el mismo

ndice.

+adicales de distinto ndice

Primero se reducen a ndice común y luego se

multiplican"

Cociente de radicales

Para di8idir radicales con el mismo Dndice se

dividen los radicandos y se de6a el mismo ndice"

http://www.vitutor.net/2/4/5.html#rehttp://www.vitutor.net/2/4/5.html#re


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+adicales de distinto ndice

Primero se reducen a ndice común y luego se

dividen"

Potencia de radicales

Para ele8ar un radical a una potencia se eleva a

dic!a potencia el radicando y se de6a el mismo

ndice"

+a7 de un radical

La ra7 de un radical es otro radical de igual

radicando y cuyo ndice es el producto de los dos

ndices"

+acionali7ar radicales

Consiste en uitar los radicales del

denominador* lo $ue permite -acil itar el cálculo de

operaciones como la suma de -racciones.

Podemos distinguir tres casos.

http://www.vitutor.net/2/4/5.html#rehttp://www.vitutor.net/2/4/5.html#re


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'el tipo

$e multiplica el numerador y el denominadorpor .

8el tipo

$e multiplica numerador y denominador por.

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