1 ตัวแปรพื้นฐานของ quantum mechanics

Quantum Mechanics ระดับบัณฑิตศึกษา 1 ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics 1-1

Dr. Teepanis Chachiyo ภาควิชาฟสิกส มหาวิทยาลัยขอนแกน [email protected] Draft Oct 2009

1ตัวแปรพื้นฐานของ Quantum Mechanics เน้ือหา 1.1 ธรรมชาติของอะตอม 1.2 สถานะของระบบ 1.3 Probability Amplitude 1.4 Probability (ความนาจะเปน) and Probability Amplitude 1.5 Example: Electron ในกลอง 1.6 Example: การทดลองของ Stern-Gerlach 1.7 การทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบตางๆ 1.8 คณิตศาสตรของ bra และ ket 1.9 ปญหาทายบท

1.1 ธรรมชาติของอะตอม "quantum mechanics" เปนทฤษฏีทางฟสิกสที่อธิบายพฤติกรรมของสสารที่มีขนาดเล็กในระดับอะตอม ส่ิงตางๆที่มีขนาดเล็กเชนน้ี มีคุณสมบัติและพฤติกรรมที่แตกตางจากสิ่งที่เราพบเห็นในชีวิตประจาํวันอยางสิ้นเชิง วัตถุขนาดจิ๋วดังกลาว จะจัดใหอยูในประเภทของอนุภาคก็ไมได อีกทั้งยังไมมีสมบัติเปนคล่ืนเสียเลยทีเดียว พฤติกรรมของมัน แตกตางไปจากกลุมหมอกในอากาศ ลูกบอล สปริง หรืออะไรก็ตามแตที่เราเคยไดศึกษามาแลวในวิชากลศาสตรของ Newton

ภาพของเม็ดเลือดแดงจากกลอง electron microscope ท่ีเรียกวา SEM โดยปรกติแลวกลองจุลทรรศนที่เราคุนเคย อาศัยสมบัติความเปนคลื่นของแสงที่หักเหผานเลนสและทาํใหมาเห็นวัตถุที่มีขนาดเล็ก แตการที่นักวิทยาศาสตรสามารถนําอิเล็กตรอนมาประยุกตใชเปนกลองจุลทรรศน แสดงใหเห็นชัดเจนถึงสมบัติความเปนคลื่นของอิเล็กตรอน (ภาพจาก National Cancer Institute)



อิเล็กตรอนที่เราเคยคิดวามันเปนอนุภาคนั้น แทจริงแลวในหลายๆสถานการณ มันก็มีสมบัติคลายๆกับคลื่น การที่ส่ิงที่มีขนาดเล็กๆเชนน้ี มีคุณสมบัติที่เปนทั้งคลื่นและอนุภาคในขณะเดียวกัน ไดสรางความสงสัยใหกับนักฟสิกสในยุคน้ันอยางมาก ขอมูลตางๆทีเ่กี่ยวของกับพฤติกรรมของอะตอม และสิ่งตางๆที่มีขนาดเล็กระดับอะตอม ไดถูกสะสมมาอยางตอเน่ือง เพราะการทุมเทศึกษาของนักวิทยาศาสตรในชวงกลางศตวรรษ การศึกษาขอมูลเหลาน้ี ไดเผยใหเห็นความแปลกประหลาดในเชิงฟสิกสของสิ่งที่มีขนาดเล็กๆ ตอมาในชวงป ค.ศ. 1926 และ ค.ศ. 1927 นักฟสิกส 3 ทานคือ Schrödinger, Heisenberg, และ Born ก็สามารถรวบรวมพฤติกรรมเหลาน้ี ใหเปนทฤษฎีที่เกี่ยวของกับสมบัติของอะตอม และในบทที่ 1 น้ี เราจะมากลาวถึงประเด็นหลักๆของทฤษฎีที่นักฟสิกสทั้ง 3 ทานนี้ ไดคนพบ

1.2 สถานะของระบบ กอนที่เราจะมากลาวถึงการนํา quantum mechanics มาอธิบายปรากฏการณตางๆในทางฟสิกสน้ัน เราจะตองทาํความรูจักกับคํานิยาม และสัญลักษณเบื้องตนกันเสียกอน ซ่ึงถึงแมคํานิยามตางๆเหลาน้ี จะไมใชสาระสาํคัญอันเปนแกนของ quantum mechanics เสียเลยทีเดียว แตก็ยังเปนเครื่องมือท่ีใชในการถายทอดเน้ือหา ท้ังน้ีเพ่ือใหเปนหลักสากลในการสื่อสาร ระหวางผูเขียน ผูอาน และผูที่สนใจศึกษาในวิชาแขนงนี้ เมื่อเรามาวิเคราะหถึงระบบที่เราตองการท่ีจะศึกษาโดยทั่วไปนั้น ไมวาจะเปนอิเล็กตรอนที่อยูภายในอะตอม หรือแมกระทั่งการทอดลูกเตา เราจะตองมีวิธีที่จะอธิบายสถานะของระบบนั้นๆ ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics เราใชสัญลักษณ ที่เรียกวา ket ซ่ึงเปนสัญลักษณที่ใชแทนสถานะของระบบที่เราตองการศึกษา ยกตัวอยางของการทอดลูกเตา ซ่ึงหลังจากการโยนแตละคร้ัง ระบบจะมีสถานะที่เปนไปไดอยูทั้งส้ิน 6 กรณี ดังในภาพ 1.1

ภาพ 1.1 แสดงถึงการนําสัญลักษณ ket มาแสดงถึงสถานะของระบบ ในกรณีน้ี สถานะของลูกเตาที่เกิดข้ึนได ภายหลังจากการทอดหน่ึงคร้ัง มีทั้งส้ินได 6 หนาดวยกัน



หรืออีกตัวอยางหนึ่ง ถาเรากําลังพิจารณาเกรดของนักศึกษาที่ลงทะเบียนวิชา Quantum I อยูขณะนี้ จะไดวา สถานะของระบบที่อาจจะเปนไปได หลังจากสิ้นสุดภาคการศึกษา มีอยูทั้งส้ิน 8 กรณี กลาวคือ ABDDF ,,,,, ++ …

1.3 Probability Amplitude นอกเหนือไปจากการใช ket มาเปนคาํนิยามของสถานะในทาง quantum mechanics แลวน้ัน probability amplitude ถือไดวาเปนคํานิยามอีกอันหนึ่ง ที่มีความสําคญัเปนอยางยิ่งในการทําความเขาใจกับ quantum mechanics ซ่ึงเราจะตองมาทาํความเขาใจในรายละเอียด และยกตัวอยางที่เปนรูปธรรม ในลําดับตอไป การศึกษาวิชาฟสิกสเบื้องตนในหลายๆแขนง อาทิ ไฟฟาสถิต กลศาสตรของนิวตัน หรือทฤษฎีสัมพันธภาพพิเศษของไอนสไตนน้ัน ทฤษฎีเหลาน้ีลวนแลวแตมีตัวแปรพ้ืนฐานที่เปนปริมาณซึ่งบงบอกสถานะของระบบนั้นๆ ยกตัวอยางเชน กลศาสตรของนิวตันอาศัยตัวแปรพ้ืนฐานคือ ตาํแหนง และ โมเมนตัม ในการบงบอกถึงสถานะการเคลื่อนที่ของอนุภาคใดๆ หรือ ในเน้ือหาของวิชาไฟฟาสถิตที่อาศัย "ศักยไฟฟา" ซ่ึงมีหนวยเปน Volt เปนตัวแปรพ้ืนฐานของระบบ โดยเฉพาะอยางยิ่งในเชิงไฟฟาสถิตน้ัน ถาเราทราบ "ศักยไฟฟา" ณ ตําแหนงใดๆ ซ่ึงมีสัญลักษณที่ใชทั่วไปคือ ( )rϕ เราก็สามารถคํานวณหาปริมาณอื่นๆทางฟสิกสเชน สนามไฟฟา E หรือ แมกระทั่งการกระจายตัวของประจุ )(rρ ไดจากสมการ (1.1) และ สมการ (1.2) ตามลําดับ

( )rϕ= −∇E _________________________ สมการ (1.1) 2 ( )( ) rr ρϕ

ε∇ = − _________________________ สมการ (1.2)

ถาเราวกกลับมาที่ quantum mechanics และถามวา "ตัวแปรพ้ืนฐานที่บงบอกถึงสถานะของระบบน้ัน คืออะไร?" คําตอบก็คือ "probability amplitude" ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics น้ัน เราใชตัวเลขหน่ึงตัว ที่เรียกวา probability amplitude ในการแสดงความสัมพันธระหวางเหตุการณสองเหตุการณ หรือ สถานะสองสถานะ ยกตัวอยางเชน ถาเรากาํหนดให student เปนสถานะของนักศึกษาที่กําลังเขาเรียนในวิชา Quantum Mechanics I ในขณะน้ี และ F เปนสถานะที่นักศึกษาไดเกรด F หลังจากการสิ้นสุดภาคการศึกษา เราสามารถเขียนความสัมพันธของสถานะสองอันน้ี ไดวา



probability amplitude ที่นักศึกษาจะไมผานวิชาน้ี studentF=

ใหสังเกตการใชสัญลักษณ ซ่ึงเรียกวา bra-ket ในการแสดงความสัมพันธดังกลาว โดยที่การอาน จะอานจากขวาไปซายตามลาํดับ กฎพ้ืนฐานของ quantum mechanics ก็คือ เราสามารถประเมินคาความสัมพันธของสถานะสองสถานะออกมาเปนตัวเลข ซ่ึงตัวเลขอันน้ี เรียกวา probability amplitude น่ันเอง ยกตัวอยางเชน

iD

iA

F

2.04.0Student Physics

001.0001.0StudentEngineer

5.0StudentEngineer

−=

+=

=

จากตัวอยางขางตนที่แสดง probability amplitude ของนักศึกษาจากคณะตางๆ ที่จะไดเกรดตางๆกัน จะสังเกตวา ตัวเลขดังกลาว มิไดจํากัดอยูแตเพียงเลขจํานวนจริง หากแตเปนตัวเลขจํานวนเชิงซอน ซ่ึงประกอบดวยสวนที่เปนจํานวนจริง และ สวนที่เปนจํานวนจินตภาพ มาถึงจุดน้ี เราไดทราบความหมายคราวๆ ของ probability amplitude ซ่ึงก็คือตัวเลขที่แสดงความสัมพันธระหวางสถานะสองสถานะ ตลอดจนสัญลักษณที่ใช ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics หากแตเรายังขาดประเด็นที่สําคัญอันหนึ่งก็คือ ความหมายที่เปนรูปธรรมของตัวเลขดังกลาวน้ีคืออะไร ? เน่ืองจาก probability amplitude เปนจํานวนเชิงซอน เราไมอาจท่ีจะตีความหมายของตัวเลขอันน้ี ไปเกี่ยวของกับปริมาณทางฟสิกสไดโดยตรง เพราะปริมาณหรือหนวยวัดที่เปนรูปธรรมนั้น เปนจํานวนจริง เชน มวล 10 กิโลกรัม ระยะทาง 2 กิโลเมตร หรือ เงิน 1 บาท คําตอบก็คือ probability amplitude ไมมีความหมายโดยตรง หากแตมีความเก่ียวของกับความนาจะเปน (probability) ตามระเบียบวิธีทาง quantum mechanics ทุกครั้งที่เราเห็นเครื่องหมาย B A ซ่ึงเรียกวา bra-ket นักศึกษาตองตีความวามันเปนเพียงตัวเลขหนึ่งตัว ที่แสดงความสัมพันธระหวาง 2 สถานะ: ket A และ ket B จะสังเกตเห็นวา ภายในเครื่องหมาย bra-ket B A มีองคประกอบอยูสองสวนคือ



1) สถานะที่ปรากฏอยูทางขวาของเครื่องหมาย bra-ket B A ซ่ึงในที่น้ีก็คือ A จากตัวอยางที่ผานมา ไมวาจะเปนเกรดของนักศึกษา หรือ การโยนลูกเตา เมื่อสถานะ ket ใดๆ ปรากฏอยูทางขวา มันมีความหมายเปนสถานะตั้งตน หรือ สมมติฐานตั้งตน 2) สถานะที่ปรากฏอยูทางซายของเครื่องหมาย bra-ket B A ซ่ึงในที่น้ีก็คือ B และเมื่อสถานะ ket ใดๆ ปรากฏอยูทางซาย มันมีสถานะภาพเปน ผลที่จะตามมา หรือเหตุการณที่สืบเนื่องถาสมมุติฐานในขอแรกนั้นเปนจริง ยกตัวอยางเชน Engineer StudentA สมมุติวามีนักศึกษาคณะวิศวกรรมศาสตร มี probability amplitude เทาใด ที่เขาจะไดเกรด A 4 Even Number สมมุติวามีเลขจํานวนคู มี probability amplitude เทาใด ท่ีมันจะเปนเลข 4 v 1m s 2 mx= = สมมุติวาเราพบอนุภาค ณ ตําแหนง 2 เมตรจากจุดกําเนิด มี probability amplitude เทาใด ที่มันจะมีความเร็ว 1m s Engineer Student A สมมุติวามีนักศึกษาไดเกรด A มี probability amplitude เทาใด ที่เขาจะอยูในคณะวิศว. โดยที่ขอสังเกตทั้งสองขอขางตน สามารถสรุปโดยสังเขปไดวา ถาเราสรางสมมุติฐานตั้งตนวามีสถานะ ket A เกิดขึ้น มี probability amplitude เทาใด ที่สถานะ ket B จะเกิดข้ึนตามมา __________________ สมการ (1.3) เพราะฉะนั้น สถานะ ket B เมื่อเขาไปมีความสัมพันธกับสถานะอื่นๆอยูภายในเครื่องหมาย bra-ket B A จะเขียนใหอยูในรูปที่เรียกวา "bra" หรือในเชิงสัญลักษณวา B ทั้งน้ี ขอแตกตางระหวางสถานะ ket B และ สถานะ bra B เปนเพียงขอแตกตางของการตีความในแงลําดับกอนหลังของความสัมพันธในสมการ (1.3)



ในแงคณิตศาสตร สถานะ ket B และ สถานะ bra B มีขอแตกตางกันเล็กนอยดังจะไดกลาวถึงในลําดับตอไป โดยสรุปแลวก็คือ ทุกๆครั้งที่ bra มาเจอกับ ket จะเกิดเปนตัวเลขจํานวนเชิงซอน ซ่ึงหมายถึง probability amplitude น่ันเอง

1.4 Probability (ความนาจะเปน) and Probability Amplitude ตามกฎของ quantum mechanics น้ัน เราสามารถคํานวณความนาจะเปน (probability) ไดจาก

2probability probability amplitude = _______________ สมการ (1.4) สมมุติวาเราไดโยนลูกเตาขึ้นไปในอากาศ ในขณะที่ลอยตัวอยูในอากาศนั้น เราแทนสถานะของลูกเตาดวยสัญลักษณ ϕ ซ่ึงสถานะดังกลาวน้ียังไมใชหนาใดหนาหน่ึงของลูกเตาเสียเลยทีเดียว เน่ืองจากมันยังไมตกและยังไมหยุดน่ิงอยูบนพ้ืน ตามระเบียบวิธีในทาง quantum mechanics น้ัน

ความนาจะเปนที่ลูกเตาจะออกมาเปนเลขหน่ึง 21ϕ= __________ สมการ (1.5)

หรือเราอาจจะใชตัวอยางที่สองในเรื่องของเกรดของนักศึกษา โดยท่ีกําหนดใหสถานะของนักศึกษา ในระหวางที่มีการเรียนการสอนนั้น เปนสถานะ φ จากน้ัน เมื่อถึงเวลาสิ้นสุดภาคการศึกษา

ความนาจะเปนที่นักศึกษาคนนี้จะไดเกรด F 2φF= ________ สมการ (1.6)

จะเห็นไดวา คํานิยามของความนาจะเปน ตามระเบียบวิธีของ quantum mechanics ดังสมการ (1.5) และ สมการ (1.6) น้ัน มีขอสังเกตอยู 3 ประการดังน้ี 1. การแปลความหมายตามสญัลักษณในสมการ (1.5) และ สมการ (1.6) เราจะอานจากขวาไปซาย กลาวคือ ระบบเริ่มอยูในสถานะ ϕ ในขณะที่ลอยอยูในอากาศ จากน้ัน เราตั้งคําถามวา จะมีโอกาสเทาไหร ท่ีลูกเตาจะหงายหนาหมายเลขหนึ่ง 2. ความนาจะเปน คํานวณไดจาก absolute value ยกกําลังสองของ ϕ1 (ในกรณีของตัวอยางที่หน่ึง) ตัวเลขที่แทนดวยสัญลักษณ ϕ1 เราเรียกวา probability amplitude ซ่ึงเปนตัวเลขที่ quantum mechanics ใชในการบงบอกถึงความสัมพันธระหวางสถานะ 2 สถานะใดๆ ดังจะเห็นไดจากตัวอยางทีห่น่ึง จะไดวา ϕ1 เปน probability amplitude ที่แสดงความสัมพันธระหวาง



“สถานะของลูกเตาขณะลอยอยูในอากาศ” และ “สถานะของลูกเตาเมื่อตกลงมาหยุดน่ิงกับพ้ืนแลวหงายออกหนาที่หน่ึง” 3. probability amplitude น้ัน ไมใชเปนเพียงเลขจํานวนจริง หากแตเปนจํานวนเชิงซอน (complex number) ที่ประกอบดวยทั้งเลขจํานวนจริง และ จาํนวนจนิตภาพ

1.5 Example: Electron ในกลอง เพ่ือใหนักศึกษาไดมีความคุนเคยกับระเบียบวิธีของ quantum mechanics และ คาํนิยามที่เก่ียวของกับ state, probability amplitude, และ probability ดังที่ไดกลาวมาแลวในขางตน และ ใหนักศึกษาสามารถเชื่อมโยงเนื้อหาของ quantum mechanics ในระดับบัณฑิตศึกษาในครั้งน้ี เขาไปกับเนื้อหาของ quantum mechanics เบื้องตนในระดับปริญญาตรี เรามาวิเคราะหดูตัวอยางของระบบอยางงายๆ กลาวคือ อิเล็กตรอนในกลอง

0=x dx =

อิเลคตรอน มวล m

0=x dx =

∞=V ∞=V

(a) (b)

0=x dx =

อิเลคตรอน มวล m

0=x dx =

∞=V ∞=V

(a) (b) ภาพ 1.2 a) ระบบที่ประกอบดวยอิเล็กตรอนมวล m ซ่ึงถูกขังอยูภายในกลองขนาดความยาว d และ b) model ที่ใชในการศึกษา โดยใหพลังงานศักย ( )V x มีคาเปนอนันต ณ บริเวณภายนอกของกลอง ซ่ึงสามารถ plot graph ของ ( )V x ไดดังภาพ ดังภาพ 1.2a ถาเราตองการศึกษาพฤติกรรมของอิเล็กตรอนที่ถูกขังอยูภายในกลอง โดยใช quantum mechanics เราสามารถที่จะ model ระบบดังกลาวน้ีโดยจําลองวามีอนุภาคมวล m ซ่ึงอยูภายในบอพลังงานศักย ท่ีมีขอบบอสูงเปนอนันต และมีความกวางของบอเปนระยะ d โดยที่มวลอันน้ีเคลื่อนที่จํากัดอยูแตเพียง 1 มิติเทาน้ัน ดังที่เห็นในภาพ 1.2b จาก Section 1.2 ที่เราไดกลาวถึงสถานะของระบบ เราอาจจะแสดงสถานะของอิเล็กตรอนอันน้ีดวยสัญลักษณ ket ดังตอไปน้ี



ให Ψ แทนสถานะของอิเล็กตรอนในระบบ ________________ สมการ (1.7)

ซ่ึงคําวา "สถานะ" เปนคําทีมี่ความหมายกวางๆ ที่อาจจะรวมไปถึงคุณสมบัติทางฟสิกสในหลายๆประเด็น ไมวาจะเปน ตาํแหนง โมเมนตัม พลังงาน หรือ อื่นๆ สมมุติวา เราตองการที่จะวิเคราะหระบบ ในประเด็นที่เกี่ยวกับ ตําแหนงของอิเล็กตรอน

ให x แทนสถานะของอิเล็กตรอนที่อยู ณ ตําแหนง x ใดๆ ___________ สมการ (1.8) จากนั้นเราตั้งคําถามวา "อิเล็กตรอนภายในระบบนั้น มี probability amplitude เทาใด ที่มันจะอยู ณ ตําแหนง x ?" คําตอบก็คือ Ψx เราจะเห็นวา probability amplitude ซ่ึงเปนตัวเลขจาํนวนเชิงซอนอันน้ี ยอมมีคาเปลี่ยนแปลงไปตามตําแหนง x ที่เรากําลังพิจารณาอยู ยกตัวอยางเชน มันอาจจะมีคาเปน 1.23 ที่ตําแหนงตรงกลางของกลอง (x=d/2) และ มีคาเปน 3.21+1.23i ณ ตําแหนงคอนมาทางซาย (x=d/3) เปนตน การที่ probability amplitude มีคาแปรผันกับ x น้ัน เราเรียกอีกอยางหนึ่งในทางคณิตศาสตรวา มันเปนฟงชันกของ x หรือ

)(xx ψ=Ψ ___________________________ สมการ (1.9) เทอมทางขวามือของสมการ (1.9) น้ัน เปนที่รูจักกันดีในกลุมผูที่เรียน quantum mechanics เบื้องตน วาก็คือ wave function น่ันเอง

)(xψ หรือที่เรียกกันวา wave function ก็คือ probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอน (หรืออนุภาคที่เรากําลังพิจารณา) ณ ตําแหนง x น่ันเอง ขอควรระวัง นักศึกษาไมควรสับสนระหวาง probability และ probability amplitude ในขณะที่ probability หรือ ความนาจะเปนน้ัน เปนปริมาณที่เปนรูปธรรมและมีความหมายชัดเจนในทางฟสิกส หากแต probability amplitude เปนตัวเลขจํานวนเชิงซอนที่โดยตัวมันเองแลว ไมมีความหมาย เมื่อกลาวถึง wave function ในวิชา quantum mechanics ในระดับปริญญาตรีน้ัน นักศึกษาจะคุนเคยกับการใชสมการ Time-Independent Schrödinger เพ่ือใชในการหา wave function โดยที่ใน



ตัวอยางครั้งน้ี เราจะเพียงยกเอาตวัสมการข้ึนมาใช เพียงเพ่ือเปนการทบทวนเทาน้ัน และจะกลาวถงึรายละเอียดของสมการ Schrödinger ในบทอื่นๆ ในโอกาสตอไป สมการ Time-Independent Schrödinger น้ันไดกลาวถึงความสัมพันธระหวาง wave function และ พลังงานของระบบที่มีหน่ึงอนุภาคใน 3 มิติ วาดังน้ี

)(E)()()(2

22

rrrVrm

ψψψ =+∇− _________________ สมการ (1.10)

ขอสังเกต ตามหลักที่ถูกตองแลว สมการ Schrödinger หรือ wave function ที่กลาวไวในสมการ (1.9) ก็ดี มีสวนที่ขึ้นกับเวลา หรืออีกนัยหน่ึง wave function น้ัน เปนฟงชันกของเวลาดวย แตในบทที่ 1 น้ี ผูเขียนตองการที่จะเนนในการสื่อความหมายในแงของ state จึงเลี่ยงที่จะกลาวถึงความสัมพันธในแงของเวลาในคราวนี้ ซ่ึงเมื่อเรานําสมการดังกลาวน้ี มาประยุกตใชกับตัวอยางใน 1 มิติ ดังท่ีไดเสนอไวในขางตน สมการ (1.10) จะลดรูปใหงายข้ึนดังน้ี

)(E)(2 2

22

xxxm

ψψ =∂∂

− _________________ สมการ (1.11)

0)()0( == dψψ _________________ สมการ (1.12) สมการ (1.11) ผนวกกับเงื่อนไขขอบเขต ( ฺboundary condition) ในสมการ (1.12) ทําใหเราสามารถเขียน wave function ใหอยูในรูป

( ) sin( )x A kxψ = _________________ สมการ (1.13) แบบฝกหัด 1.1 boundary condition ในสมการ (1.12) น้ันเปนสมการทางคณิตศาสตร จงใหเหตุผลในทางฟสิกสวาเพราะอะไร เราจึงสามารถบอกไดวา wave function ณ บริเวณขอบของกลองทางซายและทางขวามีคาเปนศูนย ? โดยที่ A และ k น้ันเปนคาคงที่ ซ่ึงถาหากเราสนใจที่จะใหสมการ (1.11) เปนจริงแตเพียงอยางเดียวน้ัน A และ k ยอมมีคาเปนอะไรก็ได แตดวย boundary condition ที่ไดกลาวมาแลวในสมการ (1.12) และ แบบฝกหัด 1.1 คาของ k จะจํากัดอยูแตในรูปของ



dnk π

= ________________________ สมการ (1.14)

เมื่อ n เปนเลขจํานวนเต็ม 1,2,3,… สวนคาคงที่ A น้ัน เราสามารถหาไดจากวิเคราะหความสัมพันธระหวาง wave function และ ความนาจะเปน ดังตอไปนี้ จากคาํนิยามใน Section 1.4 จะไดวา

dxxdxx 22)(ψ=Ψ ________________________ สมการ (1.15)

คือความนาจะเปนที่จะพบอิเล็กตรอนอยูในระหวางตําแหนง x และ x dx+ จะสังเกตวาความนาจะเปนดังในสมการขางตน มีความแตกตางจากความนาจะเปนดังนิยามใน Section 1.4 อยูเล็กนอย

ในแงที่วา สมการขางตนมีการคูณดวยปริมาณ dx เพราะฉะนั้น เทอม 2( )xψ จึงไมใชความนาจะเปนเสียเลยทีเดียว หากแตเปน "ความนาจะเปนตอหน่ึงหนวยความยาว" หรือ probability density ขอแตกตางดังกลาวน้ีมีตนเหตุเน่ืองมาจาก ระบบทางฟสิกสที่ไดแสดงเปนตัวอยาง อาทิเชน การโยนลูกเตา หรือ เกรดของนักศึกษาทีเ่รียนวิชา Quantum I ลวนแตเปนระบบที่มีสถานะแบบไมตอเน่ือง และมีจาํนวนสถานะท่ีเปนไปไดอยูจํานวนจํากัด ยกตัวอยางเชน ลูกเตามีได 6 หนา หรือ เกรดมีได 8 ระดับ แตทวา สถานะของอิเล็กตรอนในกลองดังในสมการ (1.9) ที่เรากําลังวิเคราะหอยูน้ี เปนสถานะที่ตอเน่ือง และมีจาํนวนสถานะที่เปนไปได มีจํานวนเปนอนันต ดวยเหตุน้ี ในกรณีดังกลาว

เราจะตองเขียนความนาจะเปนใหอยูในรูปผลคูณระหวาง 2( )xψ และ dx ดังในสมการ (1.15) เพราะฉะนั้น ความนาจะเปนทั้งหมดที่จะพบอิเล็กตรอนอยูภายในระบบ สามารถเขียนใหอยูในรูปของ integral ไดดังน้ี

1)( 2 =∫+∞

∞−

xdxψ ________________________ สมการ (1.16)

การที่ทางขวามือของสมการ (1.16) มีคาเปน 1 น้ันก็หมายถึง มีโอกาส 100% ที่เราจะพบอิเล็กตรอนอยู ณ ที่ใดก็ไดสักแหงในระบบ ซ่ึงสมการ (1.16) น้ัน เรียกอีกอยางหน่ึงวา normalization condition น่ันเอง จากสมการ (1.13)-(1.16) จะไดวา



)sin(2)(dxn

dxn πψ = _________________ สมการ (1.17)

จะเห็นวาในทางคณิตศาสตรแลว wave function ในสมการ (1.17) ที่ทําให สมการ (1.11) และ สมการ (1.12) เปนจริงน้ัน มีมากกวาหน่ึงฟงกชัน ดังที่ไดใชดัชนี n เปนตัวกํากับ ในทางฟสิกสแลว เราสามารถแปลความไดวา อิเลก็ตรอนที่อยูภายในกลองดังกลาวน้ี มีอยูไดหลายสถานะดวยกัน ดังแสดงเปนตัวอยางในภาพ 1.3a

x0=x dx =

)sin(2)(dxn

dxn πψ =

1=n2=n3=n

x0=x dx =

)(sin2)( 22

dxn

dxn πψ =

)(a )(b

x0=x dx =

)sin(2)(dxn

dxn πψ =

1=n2=n3=n

x0=x dx =

)(sin2)( 22

dxn

dxn πψ =

)(a )(b

ภาพ 1.3a แสดง wave function โดยยกตัวอยางมา 3 สถานะดวยกัน อยางไรก็ตาม wave function เปนคํานิยามในทาง quantum mechanics ที่ไมมีความหมายไปเปรียบเทียบกับปริมาณทางฟสิกสไดโดยตรง 1.3b แสดง การกระจายตัวของความนาจะเปนของอิเล็กตรอน ในสถานะตางๆกัน แบบฝกหัด 1.2 ถาเราแบงกลองในหน่ึงมิติดังแสดงในภาพ 1.2 ออกเปน 4 ชอง เทาๆกัน จงหาความนาจะเปนที่จะพบอิเล็กตรอนภายในบริเวณชองแรก ความนาจะเปนดังกลาวน้ี ขึ้นอยูกับสถานะของอิเล็กตรอนตามสมการ (1.17) หรือไม อยางไร จากเนื้อหาที่ไดกลาวมาแลวในขางตน นักศึกษาจะสังเกตเห็นวาเราสามารถที่จะเชื่อมโยงคํานิยามอยางเชน state และ probability amplitude มาประยุกตใชกับ wave function ที่เราคุนเคยในวิชา quantum mechanics ระดับปริญญาตรี หากแตวาการศึกษา quantum mechanics โดยใช wave function น้ัน มีขอจํากัดอยูมากทีเดียวกับการนํามาประยุกตใชกับปรากฏการณทางฟสิกสในระดับอะตอม ยกตัวอยางเชน spin ซึ่งเปนปริมาณทางฟสิกสท่ีมีคาไมตอเน่ือง ซ่ึงตางออกไปจากปริมาณทางฟสิกสที่มีความตอเน่ืองเชน พิกัดและโมเมนตัม



ดังน้ันในตัวอยางที่จะกลาวถึงในหัวขอตอไปนั้น เปนการทดลองของ O. Stern และ W. Gerlach ในป ค.ศ. 1922 ที่เกี่ยวเนื่องกับ spin ของอะตอม โดยที่ตัวอยางช้ินน้ีจะแสดงใหเห็นถึงความสาํคัญและความสะดวกของการศึกษา quantum mechanics โดยใช state และ probability amplitude เปนหลัก

1.6 Example: การทดลองของ Stern-Gerlach

การหยิบยกเอาการทดลองชิ้นน้ีเขามาศึกษา ก็เพ่ือเปนประโยชนใน 3 ประเด็นดวยกันคือ 1) เพ่ือทําใหนักศึกษาคุนเคยกับระเบียบวิธีเบ้ืองตนของ quantum mechanics ดังที่กลาวไวขางตน โดยใชตัวอยางจริงของการทดลองทางฟสิกส 2) เพ่ือใชผลการทดลอง ในการแสดงใหเห็นถึงความแตกตางของ quantum mechanics เมื่อเปรียบเทียบกับ Newtonian mechanics และ 3) เพ่ือเปนการพิสูจนวา probability amplitude จะตองเปนจํานวนเชิงซอน

S

N

beam ของ silver อะตอม

detector

S

N

(a) (b)

collimator

S

N

beam ของ silver อะตอม

detector

S

N

(a) (b)

collimator

ภาพ 1.4 (a) diagram แสดงการทดลองของ O. Stern และ W. Gerlach ในป ค.ศ. 1922 (b) ลักษณะการจัดวางตัวของแมเหล็กขั้วเหนือและขั้วใต ที่มีผลทําใหเกิดแรงกระทํากับอะตอมของ silver ทิศทางและขนาดของแรงนั้น ขึ้นอยูกับสมบัติเชิงแมเหล็กของอะตอม silver เอง ซ่ึงในทายที่สุดแลว จะทําใหตําแหนงของอะตอม ที่ไปตกบนแผนฟลมดานหลังน้ัน แตกตางกัน จากภาพ 1.4a การทดลองของ Stern-Gerlach ประกอบดวย beam ของอะตอม silver ซ่ึงพุงผานเครื่องมือท่ีเรียกวา collimator ท่ีมีหนาที่ทําใหเกิดลําของ beam ที่เปนเสนตรง จากนั้น อะตอมจะพุงเขาสูบริเวณที่เปนสนามแมเหล็กซ่ึงไดรับการออกแบบเปนพิเศษ ดังในภาพ 1.4b โดยทั่วไปวัตถุเชนแทงแมเหล็กขนาดเล็ก จะมีสมบัติที่เรียกวาเปน magnetic moment μ ซ่ึงเปนปริมาณ vector น่ันก็เพราะวา แทงแมเหล็กสามารถจัดเรียงในทิศทางตางๆกัน เมื่อ magnetic



moment ดังกลาวอยูภายในสนามแมเหล็ก B ก็จะมีอันตรกริยาเกิดข้ึนระหวาง magnetic moment และ magnetic field ซ่ึงเราสามารถเขียนพลังงานของอันตรกริยาน้ีใหอยูในรูป

U = − ⋅μ B __________________________ สมการ (1.18) หรือในกรณีที่เรากําหนดให ทิศทางของสนามแมเหล็กเรียงตัวตามแนวแกน z หรือ 0( )B z=B k จะไดวา

0( )zU B zμ= − __________________________ สมการ (1.19) เน่ืองจากความไมสม่ําเสมอของสนามแมเหล็กที่ออกแบบดังภาพ 1.4b ทําใหเกิดความไมสมํ่าเสมอของพลังงานศักยดังในสมการ (1.19) ทั้งน้ี ในทางกลศาสตร Newton ทําใหเปรียบเสมือนวาเกิดแรง

0( )z zUF B zz z

μ∂ ∂≡ − =

∂ ∂ __________________________ สมการ (1.20)

จากมุมมองของกลศาสตร Newton magnetic moment μ สามารถชี้ในทิศทางตางๆกัน สงผลใหองคประกอบตามแนวแกน z หรือ coszμ θ= μ มีคาไดแตกตางกัน ขึ้นอยูกับมุม θ ท่ี magnetic moment ของอนุภาคนั้นๆกระทาํกับแกน z และทิศทางทีแ่ตกตางกันออกไปของ μ น่ีเอง จากสมการ (1.20) ทําใหแรงที่กระทํากบัอนุภาคตามแนวแกน z มีคาไมเทากันตามไปดวย สงผลใหอนุภาคเบี่ยงเบนออกไปและตกกระทบที่แผนฟลม ณ ตําแหนงตางๆกัน อะตอมของ silver มีอิเล็กตรอนอยูทั้งหมด 47 ตัว และ ลักษณะการจัดเรียงตัวของอิเล็กตรอนใน orbital ตางๆ เปน [Kr]5s14d10 ซ่ึงก็แสดงวา ในชั้นระดับพลังงานนอกสุดน้ัน มีอิเล็กตรอนอยูเพียงตัวเดียว ทําให spin รวมของอะตอม silver ทั้งอะตอมน้ัน มีคาไมเปนศูนย เราอาจจะมองในอีกแงหน่ึงวา อะตอม silver เปนแทงแมเหล็กเล็กๆอันหนึ่ง ดังที่แสดงในภาพ 1.5a ซ่ึงความเปนแมเหล็กขนาดจิ๋วน้ี ก็สืบเนื่องมาจาก spin ของอิเล็กตรอนในชั้น 5s ของ silver อะตอมนั่นเอง



ภาพ 1.5 (a) เน่ืองมาจาก spin ของอิเล็กตรอนที่อยูที่ชั้นระดับพลังงานนอกสุดของ silver อะตอม เราอาจะมองอะตอมเหลาน้ีเสมือนกับแมเหล็กแทงเล็กๆท่ีกําลังพุงเขาสูชุดทดลองของ Stern-Gerlach (b) ลักษณะของภาพที่อาจจะเกิดขึ้น โดยใชกลศาสตร Newton มาวิเคราะห การที่ภาพปรากฏเปนแถบท่ีตอเน่ืองน้ัน มีที่มาจากสมมติฐานที่วา ทิศทางของแนวแกนแมเหล็กขนาดจิ๋วของ silver อะตอมน้ัน สามารถทีจ่ะเรียงตัวอยูในทิศใดก็ได (c) ลักษณะของภาพที่เกิดข้ึนจากผลการทดลองจริง ที่สะทอนใหเห็นความแปลก ความประหลาดในเชิงพฤติกรรมของระบบที่มีขนาดเล็กๆเชนอะตอม ภาพ 1.5a แสดงใหเห็นถึงอะตอมของ silver ซ่ึงเปรียบเสมือนแมเหล็กแทงเล็กๆจาํนวนมากที่กําลังพุงเขาสูสนามแมเหล็กขนาดใหญ โดยอาศัยภาพอันน้ี เราสามารถที่จะเดาไดวา ตําแหนงของอะตอมที่จะไปตกบนฉากหลัง ก็ขึ้นอยูกับทิศของแนวแกนแมเหล็กของแตละอะตอมนั่นเอง แบบฝกหัด 1.3 a) จงทบทวน quantum mechanics เบื้องตน และหาวา อิเล็กตรอนที่อยูในช้ันพลังงาน 5s น้ี มีรูปทรงอยางไร และ มี angular momentum เปนศูนยหรือไม ? b) เราสามารถที่จะสรุปไดหรือไมวา ความเปนแมเหล็กของ silver อะตอมนั้น สืบเนื่องมาจากการที่ อิเล็กตรอนเคลื่อนที่เปนวงโคจรภายในอะตอม แลวทาํใหเกิดกระแสไหล ? ตามหลักการของกลศาสตร Newton เราพอจะคาดการณไดวา ลักษณะของภาพที่ปรากฏบนฟลมอยูที่ฉากดานหลัง ควรจะเปนเสนที่ตอเน่ือง ดังในภาพ 1.5b ดวยเหตุผลที่วา ความนาจะเปนที่จะพบแนวแกนแมเหล็กของอะตอม silver ในทิศทางตางๆกัน ควรจะมีความเปนไปไดเทาๆกัน ไมวาจะเปนทิศข้ึน ลง หรือทํามุมกี่องศาก็แลวแต



แตในความเปนจริงแลว ผลการทดลองปรากฏออกมาดงัในภาพ 1.5c กลาวคือ เราสามารถวัดไดวา อะตอมของ silver มีทิศของแนวแกนแมเหล็กอยูเพียง 2 ทิศดวยกันคือ ข้ึนกับลง เน่ืองจากวาความเปนแมเหล็กของ silver อะตอม มีที่มาจาก spin ของอิเล็กตรอน เราจึงบอกวา spin ของอิเล็กตรอน

มีคาไดเพียง 2 คา คือ 2

+ และ 2

− เทาน้ัน1

กลาวโดยสรุปก็คือ ชุดทดลองของ Stern-Gerlach เปนการทดลองที่สามารถแยก beam ของ

อิเล็กตรอน2 (หรือในที่น้ี silver อะตอม) ของเปน 2 สายดวยกัน คือ แยกเปน beam ท่ีมี spin 2

+ และ

beam ที่มี spin เปน 2

−

ภาพแสดงไปรษณียบัตรที่ Stern สงใหกับ Neil Bohr เมื่อวันที่ 8 กุมภาพันธ 1922 การวางตวัของแมเหล็กเปนไปในแนวนอน ซ่ึงตางจากภาพ 1.5 ที่วางตวัในแนวตั้ง ภาพทางซายเปนชุดควบคุมที่แสดงถึงแผนฟลมในขณะที่ไมมีสนามแมเหล็ก และภาพทางขวาแสดงชัดเจนถึงการแยกของ beam ของเปน 2 แถบ ภายในไปรษณียบัตรมีขอความ "Attached [is] experimental proof of directional quantization. We congratulate [you] on the confirmation of your theory." [Credit: Friedrich et. al. Physics Today. December. 2003]

1 ในบางครั้ง เราเรียกคาของ spin เหลานีว้า 1 2+ และ 1 2− หรือ 2+ และ 2− ทั้งนี้ เปนเพียงขอแตกตางของการใชภาษาและการกําหนดคาํ

นิยามเทานั้น 2 เพื่อใหงายในการทาํความเขาใจ ผูเขียนเลือกท่ีจะใชคําวา อิเล็กตรอน แทน silver อะตอมดงัที่ปรากฏใน Stern-Gerlach experiment ดวยเหตุที่นักศึกษาจะตองโยงความสัมพันธของ beam เหลานี้เขาไปกับ spin ของแตละอนุภาคท่ีรวมตวักันอยูภายใน beam แททีจ่ริงแลวอนุภาคเหลานี้เปน silver อะตอม แตดวยลักษณะการเรียงตัวในชั้นพลังงานของอิเล็กตรอนท้ัง 47 ตวัในอะตอมของ silver ทาํใหอะตอมท้ังอะตอม มีคาของ spin เปรียบเสมือนกับอิเล็กตรอนเพียงตวัเดียวเทานั้น



1.7 การทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบตางๆ

ในขั้นตอไป เราจะมาศึกษาผลการทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบตางๆกัน และ อาศัยผลการทดลองเหลาน้ีเปนเครื่องมือในการวิเคราะห และนําระเบยีบวิธีทาง quantum mechanics มาใชในการอธิบายผลการทดลอง ใน Section ที่กําลังจะกลาวถึงน้ี เปนเนื้อหาที่ยาว แตในทายที่สุดแลว จะนาํไปสูบทสรุปที่ทําให quantum mechanics น้ันแตกตางออกไปจากฟสิกสที่เราไดเรียนรูมา กลาวคือ quantum mechanics จําเปนจะตองใชจาํนวนเชิงซอนเขามารวมเปนกลไกของการอธิบายปรากฏการธรรมชาติ อยางหลีกเลี่ยงไมได

รูปแบบ 1 SGZ-SGZ ดังท่ีกลาวไวใน Section 1.2 เราเริ่มดวยการใหคํานิยามของสถานะของระบบที่กําลังศกึษา ในกรณีของ Stern-Gerlach experiment น้ี จากการทดลองพบวา อิเล็กตรอนมี spinไดเพียง 2 คา ดังน้ันเราอาจจะเขียน state ที่เปนไปไดของอิเล็กตรอนไดดังน้ี

Z+ แทน state ของอิเล็กตรอนท่ีมี spin เปน 2

+ เมื่อวัดตามแนวแกน z

Z− แทน state ของอิเล็กตรอนที่มี spin เปน 2

− เมื่อวัดตามแนวแกน z

โดยกําหนดใหสนามแมเหล็กขนาดใหญ เรียงตัวตามแนวแกน z ดังในภาพ 1.5a จากนั้นเราลองมาวิเคราะหผลการทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบที่ 1 ดังแสดงในภาพ 1.6

ภาพ 1.6 แสดงผลการทดลองของ Stern-Gerlach ในรูปแบบที่ 1 ซ่ึงประกอบดวยสนามแมเหล็กขนาดใหญ 2 ชุด (SGZ) เรียงตัวตามแนวแกน z ทั้งคู



ผลการทดลองปรากฏวา เมื่ออิเล็กตรอน 100 ตัวพุงเขามาที่ SGZ ชุดแรก จะมีโอกาสครึ่งตอครึ่ง ที่

เราจะตรวจพบวามันมี spin เปน 2

+ หรือ 2

− เปนที่นาสังเกตวา ในกรณีของ SG-Z ชุดที่สอง

เราตรวจพบวา อิเล็กตรอนทั้งหมด 50 ตัวทีเ่ขามาใน SG-Z ชุดที่สอง เปน spin 2

+ ทั้งหมด หรือ

กลาวอีกนัยหน่ึงไดวา ถาอิเล็กตรอนอยูใน state Z+ ดังที่ไดตรวจพบใน SG-Z ชุดที่หน่ึง probability ที่เราจะพบอิเล็กตรอนดังกลาวน้ี อยูใน state Z+ ในการวดัของ SGZ ชุดที่สอง มีคาเปน 1 และโดยอาศัยรูปแบบของสัญลักษณใน Section 1.4 จะไดวา

12=++ ZZ ______________________ สมการ (1.21)

ถาอิเล็กตรอนอยูใน state Z+ ดังที่ไดตรวจพบใน SGZ ชุดที่หน่ึง probability ที่เราจะพบอิเล็กตรอนดังกลาวน้ี อยูใน state Z− ในการวดัของ SGZ ชุดที่สอง มีคาเปน 0

02=+− ZZ _______________________ สมการ (1.22)

จะเห็นวา สมการ (1.21) และ สมการ (1.22) น้ัน ไดมาจากการนําผลการทดลอง มาสังเคราะหในแงของความนาจะเปน ผนวกกับคํานิยามดังที่กลาวมาแลวใน Section 1.2-1.4 อยางไรก็ตาม เพ่ือใหงายตอการคํานวณทางคณิตศาสตรในอนาคต เราสามารถที่เปลี่ยน สมการ (1.21) และ (1.22) ใหอยูในรูปของ probability amplitude ไดดังน้ี

0

1

=+−

=++

ZZ

ZZ________________________ สมการ (1.23)

ขอสังเกต ตามหลักที่ถูกตองในทางคณิตศาสตรน้ัน การเปล่ียนจากสมการ (1.21) มาเปนสมการ (1.23) น้ัน โดยหลักการแลวเปนการถอด root ซ่ึงเราจะตองนํา phase ของจํานวนเชงิซอนมาเกี่ยวของ กลาวคือ θieZZ =++ แตผูเขียนจะไมกลาวถึง phase ในเวลานี้ เพราะจะทาํใหการอธิบายความและเนื้อหา มีความซับซอนเกินความจาํเปน

รูปแบบ 2 SGX-SGZ



ในลําดับตอไปเราลองมาวเิคราะหผลการทดลอง ในกรณีที่ทิศทางของสนามแมเหล็กหลักของ Stern-Gerlach experiment ทั้งสองชุด วางตวัในทิศที่ตั้งฉากกัน ดังแสดงในภาพ 1.7b โดยที่ electron beam ที่พุงเขามาในครั้งแรกจะถูกแยกออกเปน 2 สายตามแนวแกน x จากน้ันจะเปดทางใหเฉพาะ beam ที่มีสถานะเปน X+ พุงเขาสู SGZ เพ่ือทําการตรวจ spin ในแนวแกน z

SG-XSG-Z

100 e-50 e-

50 e-

25 e-

25 e-

Z X

(a)

(b)

S

N

SG-ZSG-Z

S

N

SG-XSG-X

SG-XSG-Z

100 e-50 e-

50 e-

25 e-

25 e-

Z X

(a)

(b)

S

N

SG-ZSG-Z

S

N

SG-XSG-X S

N

SG-ZSG-Z

S

N

SG-ZSG-Z

S

N

S

N

SG-XSG-X

ภาพ 1.7 a) ผลการทดลองของ Stern-Gerlach experiment รูปแบบที่สอง b) แสดงทิศทางการวางตัวที่ต้ังฉากกันระหวาง SGX และ SGZ จากผลการทดลองดังที่แสดงในภาพ 1.7a น้ันพบวา ในจํานวนอิเล็กตรอนทั้ง 50 ตัว ซึ่งอยูในสถานะ

X+ มีอยูบางสวนที่พบวามีสถานะเปน Z+ และ บางสวนที่พบวามีสถานะเปน Z− ซ่ึงในทาง quantum mechanics เราสามารถเขียนเปนสมการไดดังน้ี

ZbZaX −++=+ ____________________ สมการ (1.24) โดยที่สัมประสิทธิ์ a และ b เปนตัวเลขที่จะตีความไดวา เมื่อเรานาํอิเล็กตรอนที่ทราบแนชัดวาอยูในสถานะ X+ จากนั้นทําการวัด spin ตามแนวแกน Z a ก็คือ probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอนดังกลาวในสถานะ Z+ และ b ก็คือ probability amplitude ที่จะพบอิเล็กตรอนดังกลาวในสถานะ Z− น้ันเอง



ถาหากเราสังเกตจํานวนของอิเล็กตรอนในภาพ 1.7a จะพบวา ถาอิเล็กตรอนอยูใน state X+ ดังที่ไดตรวจพบใน SGX ชุดท่ีหน่ึง probability ที่เราจะพบวาอิเล็กตรอนดังกลาวน้ี อยูใน state

Z+ ในการวัดของ SGZ ชุดที่สอง มีคาเปน 1/2 ดังน้ันจากสมการ (1.4) จะไดวา

212

=++ XZ ________________________ สมการ (1.25)

ซ่ึงถาเราแทนคํานิยามของ X+ ในสมการ (1.24) เขาไปในสมการ (1.25) และใชสมการ (1.23) เขาชวยในการจัดเทอมใหลดรูปไดงายขึ้น จะไดวา

( ) 2

2

2

12

12

Z a Z b Z

a Z Z b Z Z

a

+ + + − =

+ + + − + =

=

_______________________ สมการ (1.26)

และในทาํนองเดียวกัน ในกรณีของสถานะ Z− จะไดวา

212 =b ______________________ สมการ (1.27)

จากสมการ (1.26) และ สมการ (1.27) น้ัน ถาเราสมมุติวา a และ b น้ันเปนเลขจํานวนจริง จะไดวา

ZZX −++=+2

12

1 ____________________ สมการ (1.28)



ภาพ 1.8 a) Stern-Gerlach รูปแบบที่ 3 b) Stern-Gerlach รูปแบบที่ 4

รูปแบบ 3 SGX-SGY ถาเราสังเกตจากการทดลองในชุดที่แลว ซ่ึงเริ่มดวยการวางสนามแมเหล็กในแนวแกน x กอน แลวตามมาดวยสนามในแนวแกน z แตในความเปนจริงแลว ทิศทางหรอืแกนที่เรากําหนด เปนส่ิงที่สมมุติขึ้นเพ่ืองายตอการอธิบายเทาน้ัน ที่สําคัญ ขอแตเพียงวา แนวแกนแมเหล็กทั้งสองนั้น ต้ังฉากกันก็เพียงพอแลว เพราะฉะนั้น แทนที่เราจะให beam ของอิเล็กตรอนพุงเขาใสชุด SGX-SGZ ดังในรูปแบบ 2 เราสามารถเปลี่ยนระบบการเรียงตัวของแมเหล็กใหอยูในรูปของ SGX-SGY โดยท่ีผลการทดลองในแงของความนาจะเปน ก็ควรจะยังคงเดิม ดังแสดงในภาพ 1.8a ดังน้ัน ในทํานองเดียวกันกับสมการ (1.25) จะไดวา

212

=++ XY _________________ สมการ (1.29)

สมการขางตน มีความหมายวา ถาเราพบวาอิเล็กตรอนอยูในสถานะ X+ อยูกอนแลว มีโอกาสอยู 50% ที่เราจะตรวจพบอิเล็กตรอนดังกลาวในสถานะ Y+

รูปแบบ 4 SGY-SGZ



ในลักษณะเดียวกันกับการวิเคราะหในรูปแบบ 2 เราสามารถที่จะจัดวาง Stern-Gerlach ในรูปของ SGY-SGZ ดังในภาพ 1.8b และนําไปสูการเขียนสมการในลักษณะคลายๆกับ สมการ (1.24) ไดวา

ZdZcY −++=+ _________________ สมการ (1.30) และ

212 =c _________________ สมการ (1.31)

212 =d ________________ สมการ (1.32)

ในที่สุดเราก็มาถึงจุดที่เปนประเด็นสําคัญของการวิเคราะห Stern-Gerlach experiment ทั้ง 4 รูปแบบดังที่กลาวมาแลว น่ันก็คือ ระเบียบวิธีของ quantum mechanics น้ัน จะหลีกเลี่ยงไมไดเลยที่ probability amplitude จะตองเปนตัวเลขที่เปนจํานวนเชิงซอน ซ่ึงจะไดกลาวในขั้นตอนตอไป ดูผิวเผิน คลายกับวา สมการ (1.31) และ (1.32) น้ัน มีคําตอบที่งาย น่ันก็คือ คลายวา c และ d มีคาเปน

21 แตแทที่จริงแลว เราสามารถพิสูจนใหเห็นจริงวา

ZZY −++≠+2

12

1 _________________ สมการ (1.33)

เน่ืองดวย ถาเรากําหนดอยางผิดๆวา ZZY −++=+2

12

1 จะมีผลทําให

12=++ XY ซ่ึงขัดกับผลการทดลอง และสมการ (1.29) อยางสิ้นเชิง

มีอยูเพียงวิธีเดียวที่คาของ c และ d ที่จะทาํใหสมการ (1.28) (1.29) (1.31) และ (1.32) เปนจริงทั้งหมดพรอมๆกัน ซ่ึงก็หมายถึงคาของ c และ d ที่สอดคลองกับการทดลอง Stern-Gerlach ทุกๆรูปแบบที่

เราไดศึกษามา น่ันก็คือ 2

1=c และ

2id = โดยที่ i เปนเลขจํานวนจินตภาพที่ 1−≡i หรือ

กลาวอีกนัยหน่ึง

ZiZY −++=+22

1 _________________ สมการ (1.34)



แบบฝกหัด 1.4 จงพิสูจนวา ถา ZiZY −++=+22

1 แลว จะทําใหสมการ (1.28)

(1.29) (1.31) และ (1.32) เปนจริงทั้งหมดพรอมกันๆ จากการทดลองของ Stern-Gerlach ทั้ง 4 รูปแบบ ดังที่เราไดใชเวลาพอสมควรในการวิเคราะหน้ัน สมการ (1.34) ไดแสดงใหเห็นถึงลักษณะเฉพาะตัวของ quantum mechanics ซ่ึงก็คือ probability

amplitude จะตองเปนจํานวนเชิงซอน อันจะเห็นไดจาก 2id = ในสมการ (1.34) น่ันเอง

แบบฝกหัด 1.5 จงเขียน X− และ Y− ใหอยูในรูปของผลบวกของ สถานะ Z+ และ Z− ในทํานองเดียวกันกับสมการ (1.28) และ (1.34)

1.8 คณิตศาสตรของ bra และ ket ที่ผานมาเราไดใชการทดลองของ Stern-Gerlach เปนเครื่องมือในการพิสูจนวา quantum mechanics น้ันจําเปนจะตองนําเอาตัวเลขจํานวนเชิงซอนเขามาเปนกลไกหลักในการอธิบายถึงพฤติกรรมตางๆของธรรมชาติ และเนื้อหาใน Section น้ี เราจะมาดูในรายละเอียดถึงเอกลักษณตางๆในทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ bra และ ket

Superposition สมมุติวาเรากําหนดใหสัญลักษณ ket Ψ แทนสถานะของเหรียญที่มีโอกาสจะเปนไปไดเพียง 2 สถานะคือ หัว (head) หรือ กอย (tail) ในกรณีที่มันวางน่ิงอยูกับพ้ืน และหงายออกกอย ดวยขอมูลอันน้ี เราบอกไดวา tailΨ = แตในกรณีที่มันกําลังหมุนควางอยูในอากาศ เราไมมีขอมูลที่จะแยกแยะออกไดวา Ψ มีสถานะเปนอะไรกันแน เพราะฉะนั้น ตามระเบียบวิธีทาง quantum mechanics เราเขียนสถานะของเหรียญใหอยูในรูป superposition (แปลวา การผสมกัน หรือ การรวมกัน) ไดวา

head taila bΨ = + ________ สมการ (1.35) โดยที่ตัวเลข a และ b มีความเกี่ยวพันธกับเปอรเซ็นตของนํ้าหนัก หรือ อัตราสวนผสมท่ีสถานะน้ันๆ มีอยู ยกตัวอยางเชน ถาเหรียญมีความสมมาตร จะไดวา Ψ มีโอกาสที่เปน head หรือ tail ไดเทาๆกัน



อยางไรก็ตามตัวเลข a และ b ไมใชความนาจะเปนที่จะพบวาเหรียญหงายออกหัวหรือออกกอย แต a และ b คือ probability amplitude ที่เหรียญจะอยูในสถานะ head หรือ tail นักศึกษาสามารถพิสูจนใหเห็นถึงความสมัพันธดังกลาว โดยการนําสถานะ bra head เขาไปประกบทางซาย ทั้งสองขางของสมการ (1.35) จะไดวา

head head head head tail

head head head tail

a b

a b

Ψ = +

= + ________ สมการ (1.36)

โดยที่ทางขวามือของสมการ (1.36) น้ัน เน่ืองจาก a และ b เปนเพียงตัวเลข จึงสามารถยายออกมาคูณ ณ ตําแหนงขางหนาของ bra-ket เพราะตวัเลข ไมวาจะเปนจํานวนจริง หรือ เลขจํานวนเชิงซอน ลวนมีสมบัติการสลับที่ของการคูณ เน่ืองจากเหรียญ มี 2 สถานะที่เปนอิสระตอกัน เพราะฉะนั้น

head tail 0= ________ สมการ (1.37) และ

head head 1= ________ สมการ (1.38) หรือกลาวอีกนัยหน่ึง ถาทราบขอมูลแนชัดแลววาเหรียญหงายออกกอย probability ที่มันจะออกหัวก็ยอมเปนศูนย สงผลให probability amplitude ดังในสมการ (1.37) เปนศูนยตามไปดวย เมื่อนําสมการ (1.37) และ (1.38) เขาไปแทนในสมการ (1.36) จะไดวา

head aΨ = ________ สมการ (1.39) โดยอาศัยคําอธิบายใน Section 1.3 เราสรุปจากสมการ (1.39) ไดวา ความหมายที่ถูกตองของตัวเลข a ก็คือ probability amplitude ที่ระบบของเรา (ซ่ึงก็คือเหรียญที่กําลังลอยควางในอากาศ) จะอยูในสถานะ head

ในเมื่อ a คือ probability amplitude Section 1.4 บอกเราวา 2a ก็คือ probability ที่เหรียญจะหงาย

ออกหัว และในทํานองเดียวกัน 2b ก็คือความนาจะเปนที่เหรียญจะหงายออกกอยน่ันเอง



ในเนื้อหาของวิชาสถิติ เมื่อการโยนเหรียญมีโอกาสที่จะเกิดผลลัพธไดเพียง 2 เหตุการณ คือหัวและกอย ความนาจะเปนที่เหตุการณทั้งสองจะเกิดข้ึน ตองมีผลรวมสุทธิเปน 1 หรืออีกนัยหน่ึง

2 2 1a b+ = ________ สมการ (1.40)

ขอสังเกต a เปนเลขจํานวนเชิงซอน เพราะฉะนั้น 2a a a∗= เมื่อ a∗ คือ complex conjugate ของ a นอกจากนี้ ในกรณีของเหรียญที่มีความสมมาตร ความนาจะเปนที่จะมันจะหงายของหัว

หรือกอยยอมมีคาเทาๆกัน หรือ 2 12

a = และ 2 12

b = แตก็ไมจําเปนเสมอไป นักพนันอาจจะ

ดัดแปลงเหรียญใหจุดศูนยถวงของน้ําหนักคอนมาทางดานกอย เปนผลให 2 2a b< ก็เปนได ทั้งน้ีขึ้นอยูกับระบบที่เรากําลังสนใจศึกษา ในประเด็นที่เก่ียวของกับ superposition ของ state หรือ สถานะ เราอาจจะสรุปใหอยูในรูปแบบของภาษาอยางเปนทางการของ quantum mechanics ไดวา ให Ψ เปนตัวแทนสถานะของระบบ ซ่ึงสามารถเขียนใหอยูในรูปของ superposition

1

Ni i

ic φ

=Ψ =∑ ____________________ สมการ (1.41)

เมื่อ { }iφ คือเซตของสถานะ หรือ เหตุการณพ้ืนฐานตางๆทีม่ีโอกาสจะเกิดขึ้นไดท้ังหมด ซ่ึงมี

ทั้งส้ิน N สถานะดวยกัน เซตของ { }iφ ดังกลาว มีชื่อเรียกอีกอยางหนึ่งวา basis state

ซ่ึงโดยทั่วไป basis state มีสมบัติความเปน orthonormal (มาจาก orthogonal บวกกับ normal) หรือ

i j ijφ φ δ= ____________________ สมการ (1.42)

ในสมการ (1.41) ic ก็คือ probability amplitude ของการเกิดสถานะนั้นๆ น่ันก็หมายถึง

2ic = ความนาจะเปนที่ระบบ จะอยูในสถานะ iφ ____________________ สมการ (1.43)



และ

2

11

Ni

ic

==∑ ____________________ สมการ (1.44)

สมการ (1.44) เรียกกันโดยท่ัวไปวา sum rule ซ่ึงเปนกฎที่บอกวา ผลรวมของความนาจะเปนทั้งหมดมีคาเปนหน่ึงน่ันเอง

จาก ket ใหเปน bra เมื่อเรานาํ quantum mechanics ไปประยุกตเพ่ือแกปญหาของระบบที่ซับซอนมากขึ้น ซ่ึงเปนเนื้อหาในบทตอๆไปนั้น เอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกอันหน่ึงที่จะมีสวนชวยในการวิเคราะห ก็คือเอกลักษณที่เกี่ยวของกับการเปลี่ยนสถานะ ket Ψ ในสมการ (1.41) ใหเปนสถานะ bra Ψ ซ่ึงก็คือ

1

Ni i

ic φ∗

=Ψ =∑ ____________________ สมการ (1.45)

จะสังเกตเห็นวา สัมประสิทธิ์ ic∗ ในสมการ (1.45) เปน complex conjugate ของสัมประสิทธิ์ ic ใน

สมการ (1.41) ความเปน complex conjugate ของสัมประสิทธิ์ดังกลาวน้ีเอง เปนประเด็นสําคัญที่นักศึกษาตองระวังเปนอยางยิง่ เมื่อทําการวิเคราะหเชิงคณิตศาสตร แบบฝกหัด 1.6 จงใชสมบัติความเปน orthonormal ในสมการ (1.42) และ ใชขอกําหนดที่วา

1Ψ Ψ = เพ่ือพิสูจนสมการ (1.45)

α β β α ∗= สมมุติวาเราพิจารณาระบบที่แทนดวยสถานะ α ซึ่งสามารถเขียนในรูปของ superposition ไดวา

1

Ni i

iaα φ

==∑ ____________________ สมการ (1.46)

และในทาํนองเดียวกัน สมมุติวาเรามีสถานะ β อีกสถานะหนึ่ง



1

Nj j

jbβ φ

== ∑ ____________________ สมการ (1.47)

ซ่ึงเราสามารถใชสมการ (1.47) เปลี่ยนใหอยูในรูปของ bra ไดวา

1

Nj j

jbβ φ∗

== ∑ ____________________ สมการ (1.48)

เพราะฉะนั้น ถาเรานํา bra ในสมการ (1.48) ขางตนไปประกบกับ ket ในสมการ (1.46) จะทาํให

1 1

1 1

1 1

N Nj j i i

j i

N Nj i j i

j iN N

j i jij i

b a

b a

b a

β α φ φ

φ φ

δ

∗

= =

∗

= =

∗

= =

⎧ ⎫⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

=

=

∑ ∑

∑∑

∑∑

____________________ สมการ (1.49)

ในสมการขางตน เราทําการกระจาย summation และใชสมบัติความเปน orthonormal ของ basis state นอกจากนี้ ในสมการ (1.49) จะเห็นวา Kronecker delta function มีคาเปนศูนยเกือบทั้งหมด ยกเวนเฉพาะในกรณี i j= เพราะฉะนั้น จํานวนของ summation จะลดลงจากเดิมที่มีอยูสอง กลายเปนหน่ึง

( )1 1

1 1

N Ni i i i

i i

N Ni i i i

i i

b a a b

a b a b

β α

β α

∗ ∗

= =∗

∗∗ ∗

= =

= =

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑ ____________________ สมการ (1.50)

สมการ (1.50) ขางตน ใชทักษะเกี่ยวกับ complex number ในแงเอกลักษณทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับ complex conjugate อยูพอสมควร นักศึกษาที่ไมคุนเคยกับประเด็นดังกลาว ควรที่จะทบทวนเรื่อง complex number เบื้องตน เพราะเราจาํเปนตองใชคณิตศาสตรที่เกี่ยวของกับจํานวนเชิงซอนมากขึ้นไปอีกในเนื้อหาของบทตอๆไป



โดยอาศัยการเปล่ียนจาก ket β ใหเปน bra β และนําไปประกบกับ ket α เราไดมาซึ่งความสัมพันธดังสมการ (1.50) และในทํานองเดียวกัน เราสามารถพิสูจนไดวา

1

Ni i

ia bα β ∗

==∑ ____________________ สมการ (1.51)

ทั้งน้ี เมื่อพิจารณาสมการ (1.51) และ สมการ (1.50) รวมกัน ทําใหเราไดบทสรุป

α β β α ∗= ____________________ สมการ (1.52) ซ่ึงก็จะเปนเอกลักษณทางคณิตศาสตรอีกขอหน่ึง ที่จะเปนประโยชนในการวิเคราะหหรือหาผลเฉลยของสมการทาง quantum mechanics ในลําดับตอไป ในบทที่ 1 เราไดเกริ่นถึงธรรมชาติโดยทั่วไปของอะตอม หรือระบบที่มีขนาดเล็กในระดับอะตอมวาเปนส่ิงที่ผิดแผกจากกลศาสตรของ Newton ที่เราคุนเคย ทฤษฏีท่ีใชในการศึกษาระบบขนาดจิ๋วเหลาน้ีก็คือ quantum mechanics ที่ไดรับการพัฒนาขึ้นมาโดย Schrödinger, Heisenberg, และ Born quantum mechanics ใชสัญลักษณที่เรียกวา ket ในการแสดงสถานะตางๆที่เราตองการศึกษา และเรียกความสัมพันธของสถานะตางๆเหลาน้ีวา probability amplitude ซ่ึงเปนจํานวนเชิงซอนที่โดยตัวมันเองแลวไมมีความหมายที่เปนรูปธรรมในทางฟสิกส หากแตมีความเกี่ยวเน่ืองในทางคณิตศาสตรกับความนาจะเปน หรือ probability ของระบบ นอกจากนี้ เรายังไดศึกษาตัวอยางของระบบที่ปริมาณทางฟสิกสมีความตอเน่ือง คือ wave function ที่แสดงถึง probability amplitude ของตําแหนงของอิเล็กตรอนภายในกลอง อีกทั้งระบบที่ไมตอเน่ือง คือ spin ของอิเล็กตรอน ดังที่ไดเห็นในการทดลองของ Stern-Gerlach โดยที่ตัวอยางเหลาน้ี พรอมๆกับแบบฝกหัดที่แทรกอยูกับเน้ือหา เปนกลไกท่ีสําคัญที่จะทาํใหนักศึกษาเขาใจในระบบตวัแปรพื้นฐานของ quantum mechanics และ ยังมีความเชีย่วชาญในดานการนําคณิตศาสตรมารวมในการแกปญหาอีกดวย

1.9 ปญหาทายบท แบบฝกหัด 1.7 จงพิสูจนสมการ (1.51)



แบบฝกหัด 1.8 กําหนดให cos( ) sin( )2 2

in Z e Zϕθ θ+ = + + −

a) จงพิสูจนวา ถาเลือก θ และ ϕ ที่เหมาะสมแลว จะทาํให n+ มีคาเดียวกัน (หรือ อยูในสถานะเดียวกัน) กับ X+ และ Y+ ได b) จงใหความหมายของ θ และ ϕ

แบบฝกหัด 1.9 ถาให sin( ) cos( )2 2

in Z e Zϕθ θ− = + − − จงพิสูจนวา 0=+− nn และ

1=−− nn

1 ตัวแปรพื้นฐานของ quantum mechanics

Documents