1. REDOVI 1. Numericki redovi. Neka je niz elemenata nekog skupa u kome je definisana operacija sabiranja.

1 2 3( , , , ..., , ...)ka a a a=a

Def 1. Zbir prvih n clanova niza a

(1) , 1 2 31

...n

n kk

S a a a a=

= = + + + +∑ na

h

=

naziva se red a Sn je suma reda. Ako su clanovi niza a brojevi, red (1) se zove numericki red. Primer 1. (Zbir aritmeticke progresije) Realan niz koji zadovoljava uslov (h je realna konstanta) naziva se aritmeticka progresija sa korakom h. Suma prvih n clanova ove progresije je aritmeticki red

1 2 2, , , ..., , ...ka a a a

1k k ka a a+Δ = − =

1 2 3 1 1 1 1... ( ) ( 2 ) ... ( ( 1) )n nS a a a a a a h a h a n h= + + + + = + + + + + + + −

1 1( 1)(1 2 ... ( 1))

2nna h n na h n−

+ + + + − = + jer

(2) 1

( 11 2 ...2

n

nk

n ns n k=

)+= + + + = =∑

...

1

1 1

n

n n

• ° ° °⎧⎪° • ° °⎪⎪° ° • °

+ ⎨⎪⎪ • °⎪° ° ° ° •⎩

+ + Dakle, (3) 1

( 1)2n

n nS na h −= + .

Primer 2. (Zbir geometrijske progresije) Realan niz koji zadovoljava uslov (q je realna konstanta) naziva se geometrijska progresija sa kolicnikom q. Suma geometrijske progresije je geometrijski red

1 2 2, , , ..., , ...kb b b b

1 /k kb b+ = q

1

2 1 1

1 2 1 1 1 1 1... ... (1 ... )n nn n nS b b b b qb q b q b q q b s b− −= + + + = + + + + = + + + =

11 ...1, 1 1 ... 1 ;

nn

nn

s q qq s

−= + + +

n= = + + + =

1

dakle

1, (1 ) (1 )(1 ... ) 1, 1,

1 ; 1 , 111

n nn

nn

n n

q q s q q qn q

qs s q qqq

−≠ − = − + + + = −

=⎧− ⎪⇒ = = −⎨ ≠− ⎪ −⎩

q

ka

(4) . 1n nS b s⇒ = Def 2. Ukoliko postoji, zbir beskonacnog niza , 1 2 2, , , ..., , ...ka a a a

(5) 1 2 31

... ...k kk

S a a a a a∞

=

= = + + + + +∑naziva se beskonacni red a suma prvih n clanova, 1

nn kS == Σ je n-ta parcijalna suma

reda (5). Def 3. Ako postoji, granicna vrednost

0lim nn

S→

S= kaze se da beskonacni red 1k ka∞=Σ

konvergira i ima zbir S. U protivnom, red divergira. Primeri:

1. Suma niza 1 1 1 11, , , , ..., ,...2 4 8 2k je

geometrijski red

2 31 1 1 11 ... ...2 2 2 2kS = + + + + + +

Ova suma se moze izracunati na osnovu Slike1, i iznosi S = 2. Takodje, na osnovu formule (4). Posto je kolicnik progresije q=1/2, n-ta parcijalna

suma je

Sl. 1. Geometrijski red

2 11 1 1 1 (1/ 2) 11 ... 2(1 ).2 2 2 1 1/ 2 2

n

n n nS −

−= + + + + = = −

−

Na osnovu Definicije 3, 1 1lim lim 2(1 ) 2(1 lim ) 2.2 2n nn n n

S S→∞ →∞ →∞

= = − = − =n Lako se proverava

da za proizvoljno q vazi

(6) 0

ne postoji

1/(1 ), | | 1,11 ... ... lim , 1,1

, 1

nk n

k n

q qqq q q qq

q

+∞

= →∞

.

− <⎧− ⎪= + + + + = = +∞ ≥⎨− ⎪ ≤ −⎩

∑

2. Aritmeticki red 11 2 3 4 ...

kS ∞

== + + + + = k∑ divergira, jer, na osnovu formule

(2) ( 1)lim lim2nn n

n nS S→∞ →∞

+= = = +∞ . Za ovakav red se kaze da odredjeno divergira.

3. Red divergira iz razloga sto ne postoji granica

parcijalnih suma. Naime, niz parcijalnih suma ima dve tacke nagomilavanja, 0 i 1: . Ovakva divergencija se zove neodredjena.

0( 1) 1 1 1 1 1 ...k

k

∞

=− = − + − + −∑

1 2 3 41, 0, 1, 0,...S S S S= = = =

4. I red takodje neodredjeno divergira jer niz parcijalnih suma divergira po apsolutnoj vrednosti.

0( 1) ( 1) 1 2 3 4 5 ...k

kk∞

=− + = − + − + −∑

Def 4. Za red

1 2 3 1 21

... ...k n nk

n nS R

S a a a a a a a∞

+ +=

= = + + + + + + +∑ n ,

velicina 1 21

...n n nk n

kR a a a+∞

+ += +

= + + = ∑ , se naziva ostatak n-tog reda. Ocito, Rn = S – Sn iz

cega sleduje da ako S konvergira tada je Rn nula-niz (tj. ). 0,nR n→ →+∞ 2. Osobine beskonacnih redova

Teorema 1. Ako red konvergira ka S, tada red 1

kk

a∞

=∑

1k

k

aλ∞

=∑ konvergira ka Sλ .

Dokaz. Na osnovu osobine homogenosti granicne vrednosti lim( ) limn nn n

u uλ λ→∞ →∞

= .

Teorema 2. Ako su redovi 1

kk

A a∞

=

= ∑ i 1

kk

B∞

=

= b∑ konvergentni tada je i

red takodje konvergentan sa sumom A+B. 1

( k kk

a b∞

=

±∑ )

Dokaz. Takodje na osnovu osobine aditivnosti granicne vrednosti.

Teorema 3. Ako red konvergira, istu osobinu ima i red S* , dobijen

izostavljanjem prvih n clanova reda S . Takodje, ako S divergira, i S* divergira. 1

kk

S∞

=

= ∑a

Dokaz. Na osnovu pretpostavke je * nS S S− = , gde je Sn parcijalna suma reda S. Dakle pa kako su S i S*nS S S− = n konacni brojevi, i S* je konacan. I obrnuto, ako

je , i S* je takodje beskonacno. S = ∞ 3. Redovi sa pozitivnim clanovima

Def 4. Za red se kaze da je red sa pozitivnim clanovima (pozitivan red), ako

je za svako k. 1

kk

S∞

=

= ∑a

0ka ≥ Teorema 4. Parcijalne sume reda sa pozitivnim clanovima obrazuju neopadajuci niz.

Dokaz. dakle 1 0n n nS S a−− = ≥ 1n nS S −≥ za svako n. Kod konacnih suma vaze zakoni komutacije i asocijacije. Ovi zakoni se prenose i na redove sa pozitivnim clanovima. Vaze sledece teoreme: Teorema 5. (Dirichlet) Zbir reda sa pozitivnim clanovima ne menja se ako sabirci promene mesto.

Dokaz. Neka je konvergentan red sa poz. cl. Zamenom

mesta proizvoljnom broju clanova dobija se novi red . Posmatrajmo parcijalnu sumu B

1 2 3 ...A a a a= + + +

1 2 3 ...B b b b= + + +Bm reda B. Tada se moze naci n takvo n-ta da

parcijalna suma reda An sadrzi sve clanove sume BmB

n

. Tom prilikom je ocigledno mB A≤ , a na osnovu Teoreme 4, nA A≤ , dakle mB A≤ , odakle sleduje da B A≤ .

Ako se sada ponovi postupak sa zamenjenim ulogama redova A i B, dobija se A B≤ . Iz ove dve nejednakosti se dobija A = B. Neka je sada red A divergentan, i neka je An njegova parcijalna suma. Tada se moze naci m takvo da parcijalna suma BB

n

m sadrzi sve clanove sume An. Tada je

mB A≥ , pa kad n , sleduje kad m . →∞ mB →∞ →∞

Teorema 6. (Asocijativnost) Ako proizvoljno grupisemo clanove reda sa pozitivnim clanovima njegov zbir ostaje nepromenjen.

Primer. Sumirati red 1

1( 1)k k k

+∞

= +∑ .

Kako je 1 1 1( 1)k k k k

= −+ 1+

, imamo

1

1 1 1 1 1 2 2

1 1 1 1 1 1 1 11( 1) 1 1

n n n n n n n

nn n n n n n n

Sk k k k k k k k k

+

= = = = = = =

⎛ ⎞= = − = − = − = +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

2

1n

n k=

− ∑ 1 111 1n n

− = −+ +

,

pa je ( )1

1lim lim 1 1n nn nS S +→∞ →∞= = − = .

4. Kriterijumi konvergencije

U poslednjem primeru pokazano je da je 1

1 1( 1)k k k

+∞

=

=+∑ . Nalazenjem sume reda

utvrdjena je i njegova konvergencija. Neki redovi se lako sumiraju iako im se konvergencija tesko ili cak uopste ne moze utvrditi. S druge strane, postoje redovi kod kojih se konvergencija lako da ustanoviti ali se njihova suma ne moze naci. Takav je

slucaj na primer, sa redom 1

1n

n n

+∞

=∑ .

Niz uslova koje treba da zadovolji opsti clan ak reda 1

kk

a+∞

=∑ da bi red konvergirao naziva

se kriterijum konvergencije. Jedan od jednostavnijih kriterijuma konvergencije je kriterijum poredjenja. Teorema 7. Neka su i dva pozitivna reda i neka je . Tada, ako red

konvergira, i takodje konvergira. S druge strane, ako red divergira, i

takodje divergira. U slucaju konvergencije,

ka∑ kb∑ ka b≤ k

kb∑ ka∑ ka∑kb∑ kb∑ se zove majorantni red za ka∑ ,

dok se zove minorantni za ka∑ kb∑ . Teorema 8. (Kosijev kriterijum) Ako za dovoljno veliko n postoji konstanta q takva da vazi 1k

ka q≤ < , tada pozitivan red ka∑ konvergira, dok ako je 1kka q≥ ≥ , red ka∑

divergira.

Dokaz. Neka je kka q≤ i 1q < . Tada, k

ka q≤ odakle se sumiranjem leve i desne

strane dobija , pri cemu je kka ≤∑ ∑q kq∑ suma geometrijskog reda sa

kolicnikom , koji na osnovu formule (6) konvergira, pa i takodje

konvergira na osnovu Teoreme 7. S druge strane, ako

0 q< <1 ka∑1k

ka q≥ ≥ , tada

a , pa opet na osnovu Teoreme 7, kka q≥∑ ∑ kq = +∞∑ ka∑ divergira.

Teorema 9. (Dalambertov kriterijum) Pozitivan red ka∑ konvergira ako za dovoljno

veliko n postoji konstanta q tako da vazi 1 1n

n

a qa+ ≤ < , tada red konvergira, a

ako

ka∑1 1n

n

a qa+ ≥ ≥ , red divergira.

Dokaz. Neka je 1n

n

a qa+ ≤ , za dovoljno veliko n, na pr. za n>n0. Tada, mnozenjem

levih i desnih strana niza nejednakosti 0 0 0

0 0 0

1 2

1 1

, , ...,n n n k

n n n k

a a aq q

a a a+ + +

+ +

q−

≤ ≤ ≤ , dobija

0

0

n k n

n

aq

a+ ≤ , ili , pri cemu se nejednakost ne menja jer (red je

pozitivan). Sumiranjem se dobija

00n k

na na a

+≤ q

q

00na >

0 0

kn k na a+ ≤∑ ∑ , dakle red konvergira. U

slucaju inverzne nejednakosti dobija se 0 0

kn k na a+ ≥ q∑ ∑ za , pa red

divergira.

1q ≥

Teorema 10. (Kosijev integralni kriterijum) Ako je ( )f x neprekidna, pozitivna i

monotono opadajuca funkcija za 1x ≥ , tada pozitivan red 1

( )n

f n+∞

=∑ konvergira ili

divergira ako integral 1

( )f x dx+∞

∫ konvergira ili divergira.

5. Alternativni redovi Neka je an>0. Tada je red naizmenican (alternativan). Na primer, red ( 1)n

na−∑1

1

( 1)n

n n

++∞

=

−∑ , tj. 1 1 11 ...2 3 4

− + − + je alternativan. Ovaj red je poznat kao Lajbnicov red.

Proucavajuci ovaj red Lajbnic je dosao do kriterijuma konvergencije alternativnih redova.

Teorema 11. (Leibnizov kriterijum) Alternativni red nb∑ konvergira, ako je {| monotono opadajuci nula-niz. Ostatak konvergentnog reda zadovoljava nejednakost

|}nb

1| | |n n |R b +< i ima isti znak kao . 1nb +

Dokaz. Neka je , tada je ( 1)n

n nb = −∑ ∑ a ||n na b= opadajuci nula-niz. Formirajmo

niz parcijalnih suma parnog reda reda 2 4 6 2, , , ..., , ...nS S S S nb∑ . Kako je

2 1 2 3 4 2 1 2

1 2 3 4 2 1 2

0 0 0

...( ) ( ) ...( ) 0

n n

n n

S a a a a a aa a a a a a

−

−

> > >

= − + − + + −= − + − + − >

n

}

n n

1a } 1a

−→∞ →∞= =

niz je pozitivan, . Sem toga, je i monotono rastuci jer je

. S druge strane, S2{ }nS 2 0nS > 2{ nS

2 2 2 2 2 2 1 2 0n n n n nS S S a a− − −Δ = − = − > 2n se moze napisati i u obliku

2 1 2 3 4 5 2 2 2 1 2

0 0 0

[( ) ( ) ... ( ) ]n nS a a a a a a a a− −

> > >

= − − + − + + − +

odakle sleduje . Buduci da je monoton i ogranicen , on je konvergentan, dakle konvergira ka sumi S. Za parcijalnu sumu neparnog reda S

2nS < 2{ nS 20 nS< <

nb∑2n-1 vazi S2n-1 = S2n+a2n = S2n+|b2n|, a kako je {|b2n|} nula-niz to je

2 2 2lim lim .n nn nS S S

Def 4. Alternativni konvergentan red ( 1)n

na−∑ se naziva apsolutno konvergentan ako

je konvergentan a semikonvergentan ako je na∑ na∑ divergentan. Primeri

1. Red 12

1 1 1 1 1( 1) 1 ...4 9 16 25

n

n+− = − + − +∑ − je apsolutno konvergentan, jer je red

2

21

6nπ

=∑ konvergentan. Njegova suma je 2

21( 1)

12n

nπ

− =∑ .

2. Leibnizov red 1 1( 1)n

n+−∑ je semikonvergentan, jer je red 1

n∑ divergentan.

Suma Leibnizovog reda je 1 1 1 11 ... ln 22 3 4 5

− + − + − = .

Teorema 12. Ako je konvergentan, tada je i | nb∑ | nb∑ takodje konvergentan.

Dokaz. Formirajmo dva pozitivna reda nu∑ i nv∑ pri cemu je

1 (| | )2n n nu b b= + , 1 (| | )

2n n nv b b= − n i n nb u v= − .

Ako je tada , dakle ako0nb ≥ ,n n nu b v= = 0 nb∑ konvergira, i konvergira;

nu∑

Ako je tada , pa kako je tada 0nb < 0, | |n nu v b= = n vn nb = −∑ ∑ , ako nv∑

konvergira, i konvergira. nb∑

Teorema 13. Redovi obrazovani posebno od pozitivnih i negativnih clanova jednog semikonvergentnog reda su divergentni. Teorema 14. (Riemann-Dini) Zbir semikonvergentnog reda zavisi od poretka njegovih clanova.

Primer. Ako se Leibnizov red 1 1 1 11 ... ln 22 3 4 5

− + − + − = preuredi tako da iza dva

pozitivna sabirka dodje jedan negativan, zbir mu se menja i postaje 1 1 1 1 1 31 ... ln 23 2 5 7 4 2

+ − + + − + = . Moze se pokazati da u opstem slucaju, kada blok od p

pozitivnih clanova smenjuje blok od q negativnih, suma reda postaje 1ln 2 ln2

pq

+ .

6. Funkcionalni redovi Def 5. Ako je opsti clan fn konacnog ili beskonacnog reda nf∑ funkcija jedne (ili vise)

promenljivih, rec je o funkcionalanom redu ( )nf x∑ i ukoliko postoji, njegova suma s(x) je funkcija te (ili tih) promenljivih.

Primeri: nx∑ (geometrijski red), 2

sin nxn∑ ,

!

nxn∑ , 2

1x n+∑ , itd.

Analogno sa numerickim redovima, n-ta parcijalna suma funkcionalnog reda se definise kao

11

( ) ( ) ... ( ) ( ), [ , ]n

n n kk

s x f x f x f x x a b=

= + + = ∈∑ , a njegov ostatak je ( ) ( ) ( )n nR x s x s x= − .

Def 6. Ako , za svako x iz intervala [a, b], kazemo da red lim ( ) 0nn

R x→∞

= ( )nf x∑ tackasto

konvergira na [a, b]. U slucaju tackaste konvergencije, za svako 0ε > , uvek postoji broj ( , )N xε takav da | ( ) |nR x ε< ( , )n N xε∀ > . Def 7. Ako za funkcionalni red ( ), [ , ]nf x x a b∈∑ , za svako 0ε > , uvek postoji broj ( )N ε (koji ne zavisi od x) takav da je nejednakost | ( ) |nR x ε< ispunjena za svako ( )n N ε> kaze se da red uniformno konvergira ka funkciji ( ) ( )ns x f x=∑ koja je definisana na [a, b]. Ocigledno, svaki uniformno konvergentan red je i tackasto konvergentan, dok obrnuto ne vazi. Teorema 15. (Vajerstrasov kriterijum) Ako za [ , ]x a b∈ i svako n vazi | ( ) |n nf x M< a pritom numericki red nM∑ konvergira, tada je red ( )nf x∑ , uniformno konvergentan na [a, b].

Dokaz. Ako oznacimo 10

, ... ,k nk

nM m m M M+∞

=

= = + +∑ tada je

1 2| | | | ... , za ( )n n n nm m m m M M n Nε ε ε+ +− < ⇒ − = + + < ∀ > S druge strane, 1 2| ( ) | | ( ) ( ) ... |n n nR x f x f x+ += + + ≤

1 2 1 2| ( ) | | ( ) | ... ... , ( ).n n n nf x f x M M n Nε ε+ + + +≤ + + < + + < ∀ >

Primer 1. Posmatrajmo funkcionalni red 21

n

n

xn

∞

=∑ za [ 1, 1]x∈ − . Kako je 2

1nxn n

≤ 2 za svako

, i kako red [ 1, 1]x∈ −2

21

6nπ

=∑ konvergira, to funkcionalni red uniformno konvergira.

Primer 2. Red 1

sin2n

n

nx∞

=∑ uniformno konvergira za svako jer x∈

sin 1 ,2 2n n

nx x≤ −∞ < < +∞ .

Primer 3. Kako je

2 2

1 1( )( 1) (x n x n n n

≤+ + + +

1), za x∈ , a

ranije je pokazano da 1

1( 1n n n

+∞

=

Slika 2

1)=

+∑ , to

funkcionalni red

2 2( 1)x n+ + +1 1

1( )( )n

n nf x

x n

+∞ +∞

= =

=∑ ∑

uniformno konvergira za svako x. 7. Osobine uniformno konvergentnih redova Teorema 16. Ako su funkcije 1 2( ), ( ),..., ( ),...nf x f x f x neprekidne na intervalu [a, b] i red

1( )nn

f x+∞

=∑ uniformno konvergentan na [a, b], njegova suma s(x) je takodje neprekidna na [a, b]. Teorema 17. Ako je red

1( )nn

f x+∞

=∑ uniformno konvergentan na [a, b] i

( ) C[ , ],nf x a b∈ ∀ n tada se on moze integraliti clan po clan

1 1( ) ( )

b b

n nn na a

f x dx f x dx+∞ +∞

= =

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ .

Dokaz.

( ) [ ( ) ( )] | ( ) ( ) | ( )b b b b

n n na a a a

R x dx s x s x dx s x s x dx dx b aε ε= − ≤ − < = −∫ ∫ ∫ ∫ .

Teorema 18. Ako je red ( )nf x∑ uniformno konvergentan na [a, b], 1( ) C [ , ],nf x a b∈ n∀ , i ako ' ( )nf x∑

takodje uniformno konvergira na [a, b] tada se on moze diferencirati clan po clan

( )( ) ' ' ( ), [ , ]n nf x f x x a= ∈∑ ∑ b .

Dokaz. Integraljenjem jednakosti ( ) ' ( )x

n at f tσ =∑ ∫ dobija se

( )1 1 1

1 1 2 2 1 2 1 2

( ) ' ( ) ' ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ... [ ( ) ( ) ...] [ ( ) ( ) ...]( ) ( )

x x x

n n na a an n n

x

at dt f t dt f t dt f t

f x f a f x f a f x f x f a f as x s a

σ∞ ∞ ∞

= = =

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠− + − + = + + − + +

= −

∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫=

dakle, ( ) ( ) ( )x

a

ds x s a t dtdx

σ− = ∫ ⇒ '( ) ( )s x xσ= .

8. Stepeni redovi

Def 8. Stepeni red je funkcionalni red oblika 0 00

( ) , ,nn n

na x x a x

+∞

=

− ∈∑ .

Teorema 19. (Abel) Ako stepeni red konvergira za 0

nn

n

a x+∞

=∑ ( 0)x ξ= ≠ , tada on

apsolutno konvergira i za sve | | |x |ξ ξ− < < , a ako divergira za x η= , tada on divergira za sve | | | |xη η< < − .

Dokaz. Kako red 0

nn

na ξ

+∞

=∑ konvergira, njegov opsti clan je ogranicen s gornje strane

, pa je | |nna ξ <M

0 0 0 0| | | |

n nn n n

n n nn n n n

nx x xa x a a Mξ ξξ ξ ξ

+∞ +∞ +∞ +∞

= = = =

⎛ ⎞= = ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

sto je geometrijski red za /q x ξ= , a on konvergira za |q| < 1, dakle za | / | 1x ξ < , ili | | | |x ξ< .

Obrnuto, ako 0

nn

na η

+∞

=∑ divergira, tada je opsti clan ogranicen s donje strane | ,

pa slicno, sleduje

|nna Mη >

0 0 0 0| | | |

n nn n n

n n nn n n n

nx x xa x a a Mη ηη η η

+∞ +∞ +∞ +∞

= = = =

⎛ ⎞= = ≥⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑

sto je ponovo geometrijski red za /q x η= koji divergira za |q| > 1, dakle

za | / | 1x η > , ili | | |x |η> . Ocigledno, posledica Abelove teoreme je da ξ ne moze biti vece a η manje od nekog pozitivnog broja R. Tada,

potencijalni red apsolutno

konvergira za 0

nn

+∞

=∑

na x

)( ,x R R∈ − + a divergira van tog intervala. Broj R zove se poluprecnik

konvergencije reda . 0

nn

na x

+∞

=∑

Slika 3

Poluprecnik konvergencije se moze dobiti iz, na pr. Dalamberovog kriterijuma, tj. iz nejednakosti

11 1( )lim 1 lim | | lim 1( )

nn n

nn n nn n

f x a x axf x a x a

++ +

→+∞ →+∞ →+∞< ⇒ = <1n

n

+

odakle sleduje 11

1| | limlim

nn

nnn

n

ax R Raa

a

→+∞++

→+∞

< = ⇒ = .

Takodje, Kosijev kriterijum daje 1lim n

nn

Ra

→+∞

= .

Ponasanje potencijalnog reda na krajevima intervala konvergencije, tj. za x R= ± posebno se ispituje u svakom pojedinacnom slucaju. Teorema 20. Stepeni red polup. konv. R je neprekidna funkcija na svakom zatvorenom intervalu . Na [a, b] je dopusteno diferenciranje i integraljenje stepenog reda proizvoljan broj puta, pri cemu se poluprecnik konvergencije ne menja.

[ , ] ( , )a b R R⊂ − +

Ako je funkcija f beskonacno puta diferencijabilna na [a, b], tada se moze na

jedinstven nacin predstaviti stepenim redom 00

( ) ( )nn

nf x a x x

+∞

=

= −∑ gde je 0 [ , ]x a b∈ ,

( )0( )

!

n

nf xa

n= . Taj red je Tajlorov stepeni red.

Primeri. Sledeci razvoji u okolini x0 = 0 su od vaznosti:

2 3

01 ... ... , ( )

1! 2! 3! ! !

n nx

n

x x x x xe Rn n

+∞

=

= + + + + + = = +∞∑ ;

2 2 3 3ln (ln ) (ln ) (ln )1 ... ..., ( )

1! 2! 3! !

n nx x a x a x a x aa R

n= + + + + + = +∞ ;

2 4 6 2

0

( 1)cos 1 ... , ( )2! 4! 6! (2 )!

n n

n

x x x xx Rn

+∞

=

−= − + − + = = +∞∑ ;

3 5 7 2 1

0

( 1)sin ... , ( )3! 5! 7! (2 1)!

n n

n

x x x xx x Rn

++∞

=

−= − + − + = = +∞

+∑ ;

2 4 6 2

0cosh 1 ... , ( )

2! 4! 6! (2 )!

n

n

x x x xx Rn

+∞

=

= + + + + = = +∞∑ ;

3 5 7 2 1

0sinh ... , ( )

3! 5! 7! (2 1)!

n

n

x x x xx x Rn

++∞

=

= + + + + = = +∞+∑ ;

2 3 1

1

( 1)ln(1 ) ... , ( 1, 1 1)2 3

n n

n

x x xx x R xn

−+∞

=

−+ = − + − = = − < ≤∑ ;

Napomena. Postoje stepeni redovi koji uniformno konvergiraju ali se ne mogu izraziti konacnom kombinacijom elementarnih funkcija. Takvi su na pr. redovi

2 3

2 31

( ) ...2 3

n

nn

x x xf x xn

+∞

=

= + + + = ∑ ;

2 3

2 3( ) ... ...ln 2 ln 3 ln 3

n

nx x xg x = + + + + ;

2 3

4 6 2( ) ... ...2 3

n

nx x xh x x

n= + + + + + .

9. Binomni redovi

Def 9. Stepeni red oblika 0

n

n

ax

n

+∞

=

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ , a∈ gde je binomni koeficijent definisan sa an⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

( 1)...( 1)1, , 1

0 !a a a a a n n

n n⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − − +

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≥ , naziva se binomni red.

Teorema 21. Poluprecnik konvergencije binomnog reda je R = 1.

Dokaz.

1

( 1)! ( 1)...( 1)lim lim lim! ( 1)...( )

1

1lim | 1| 1.

nn n n

n

n

ana n a aRaa n a a

n

na n

→+∞ →+∞ →+∞+

→+∞

⎛ ⎞⎜ ⎟ a n

a n+ − − +⎝ ⎠= = =

− −⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

+= = − =

−

Dakle, binomni red apsolutno konvergira za svako ( 1, 1)x∈ − + i svako a. Medjutim, ponasanje na krajevima intervala 1x = ± zavisi od a:

1x = apsolutno konvergentan 0a >

1 a− < < 0 semikonvergentan

1a ≤ − divergentan

1x = − apsolutno konvergentan 0a >

0a < divergentan

Teorema 22. Suma binomnog reda je 0

(1 ) ,n a

n

ax x a

n

+∞

=

⎛ ⎞= + ∈⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ .

Dokaz. I binomni red kao i funkcija (1 )ax+ za svako a∈ zadovoljavaju isti

konturni problem , pa su to identicne funkcije. (1 ) '( ) ( ), (0) 1x f x a f x f+ = =

Primeri.

1. 1

0(1 ) ( 1) , apsolutno konvergira za ( 1, 1)n n

nx x x

+∞−

=

+ = − ∈ − +∑ . U razvijenom obliku:

21 1 ... ( 1) ...1

n nx x xx= − + − + − +

+;

2. 1/ 2 1

2

1/ 2 (2 3)!!(1 ) 1 ( 1) , [ 1, 1]2 (2 )!!

n n n

n

x nx x x xn n

+∞−

=

⎛ ⎞ −+ = = + + − ∈ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ .

2 3 4 5 6 55 7 21 331 1

2 8 16 128 256 1024 2048x x x x x x xx+ = + − + − + − + − ... ;

3. 1/ 2

1

1/ 2 (2 1)!!(1 ) 1 ( 1) , ( 1, 1](2 )!!

n n n

n

nx x x xn n

+∞−

=

−⎛ ⎞ −+ = = + − ∈ − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑ .

2 3 4 5 6 61 3 5 35 63 231 4291 ...

2 8 16 128 256 1024 20481x x x x x x x

x= − + − + − + − +

+ ;

10. Furijeovi redovi Def 10. Ako su funkcije f i g integrabilne na [a, b], operacija skalarnog proizvoda se definise sa ( , ) ( ) ( )

b

af g f x g x= ∫ dx . Funkcije f i g su ortogonalne ako (f , g) = 0.

Na bazi skalarnog proizvoda uvodi se norma integrabilne funkcije sa

2 2( , ) ( )b

af f f f x dx= = ∫ . Dakle, ( )1/ 2

2( )b

af f x dx= ∫ .

Def 11. Skup funkcija je ortogonalan na [a, b] ako je na tom intervalu

0 0 1 2{ ( )} { ( ), ( ), ( ),...}n nF f x f x f x f x+∞== =

( , ) 0,i jf f i= ∀ ≠ j . Def 12. Neka je funkcija f integrabilna na [a, b] takva da f < +∞ . Beskonacni red

, je Furijeov red funkcije f po ortogonalnom sistemu F ako 0

( )k kk

c f x+∞

=∑ lim 0nn

f F→+∞

− = ,

gde su Fn parcijalne sume . U tom slucaju, 0

( ) ( ), [ , ]n

n k kk

F x c f x x a b=

= ∈∑

(7) 0

( ) ( ), [ , ]n nn

f x c f x x a+∞

=

= ∈∑ b .

Teorema 23. Koeficijenti ck Furijeovog reda (7) su dati sa

(8) 2 2

( ) ( )( , ) , 0,1,2,...( )

b

kk ak b

k ka

f x f x dxf fc kf f x dx

= = =∫∫

Dokaz. Za formirajmo skalarni proizvod 0,1,2,...k =

0 00

0

( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...b b b

k k n n k ka a an

f f f x f x dx c f x f x dx c f x f x dx+∞

=

= = =∑∫ ∫ ∫ + +

+

2

1 1 1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...b b b

k k k k k k k ka a ac f x f x dx c f x dx c f x f x dx− − + ++ + +∫ ∫ ∫

tako da dobijamo jednakost 2( , ) ( )

b

k k kaf f c f x d= ∫ x , odakle sleduje (8).

11. Razvoj funkcija u trigonometrijski red Jedan od najvaznijih ortogonalnih sistema funkcija je trigonometrijski sistem

{1, cos , sin , cos2 , sin 2 ,..., cos , sin ,...}T x x x x nx nx= i on je ortogonalan na svakom intevalu duzine 2π , na primer na [ , 2 ],ω ω π ω+ ∈ , sto se vidi iz sledecih jednakosti

2 0,cos cos 2 , 0

, 0

m nmx nxdx m n

m n

ω π

ω

ππ

+≠⎧

⎪= = =⎨⎪ = ≠⎩

∫

2 0,sin sin 0, 0

, 0

m nmx nxdx m n

m n

ω π

ω π

+≠⎧

⎪= = =⎨⎪ = ≠⎩

∫

2

sin cos 0, ,mx nxdx m nω π

ω

+

= ∀∫ .

Na osnovu ovih jednakosti takodje se dobija norma funkcija koje sacinjavaju sisem T

2 21 2 , cos , sinnx nx 2π π π= = = .

Na osnovu Teoreme 22, mozemo razviti funkciju f u trigonometrijski Furijeov red i tada je

(9) 0

1( ) ( cos sin )

2 n nn

af x a nx b+∞

=

= + +∑ nx ,

0

2( , 1) 1 ( )

2 21a f f x dx

π

ππ −

= = ∫ , 2

( , cos ) 1 ( )coscosnf nxa f x

nx

π

ππ −

= = ∫ nxdx

2( , sin ) 1 ( )sin

sinnf nxb f x

nx

π

ππ −

= = ∫ nxdx

]

Uslove konvergencije reda (9) daje Dirihleova teorema. Teorema 24. (Dirihle) Neka funkcija f na [ ,π π− + zadovoljava sledece uslove:

i) f je na[ , ]π π− + ili neprekidna ili ima konacan broj prekida prve vrste u intervalu ( , )π π− + ;

ii) na [ , ]π π− + funkcija f ima konacan broj ekstrema; Tada red (9) konvergira za sve vrednosti x iz [ , ]π π− + i njegov zbir je:

a) funkcija f(x) u svim tackama njene neprekidnosti;

b) ( 0) ( 02

f x f x− + + ) za sve tacke prekida prve vrste;

c) ( 0) ( 02

f f )π π− − + + za krajeve intervala [ , ]π π− + .

Primer. Funkciju razviti u

trigonometrijski red na intervalu [ ,

1, 0,sgn( )

1, 0,x

xx

− <⎧= ⎨+ ≥⎩

Slika 4

]π π− + .

Resenje. Kako je funkcija neparna,

01 ( ) 0,a f x dx

π

ππ −

= ∫ = kao i

1 ( ) cos 0,na f x nx dxπ

ππ −

= =∫ dok je

0

0

0 0 0

1 1( ) sin sin sin

1 1sin ( ) ( ) sin 2 sin

40 , 2 1,2 2cos (1 ( 1) )0 , 2 .

n

n

b f x nx dx nx dx nx dx

n x d x nx dx nx dx

n knx n

n n n k

π π

π π

π π π

π π

π π

πππ π

− −

−

⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟

⎝ ⎠⎛ ⎞

= − − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ = −⎪= = − − = ⎨⎪ =⎩

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

=

=

]

Tako, trigonometrijski Furijeov red za funkciju sgn (x) na intervalu [ ,π π− + je

1

4 sin(2 1)( )2 1n

nF xnπ

+∞

=

−=

−∑ x

]

i on se poklapa sa funkcijom sgn (x) u tackama neprekidnosti

intervala [ ,π π− + . U tacki prekida, x = 0, sgn( 0) sgn( 0) 1 1(0) 02 2

x xF − + + − += = = , dok

je u krajevima intervala takodje sgn( 0) sgn( 0) 1 1( ) ( ) 02 2

F F π ππ π − − + + − +− = = = = .

Slika 5

Slika 6

Slika 7