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1 Representacin de Sistemas Fsicos

El estudio de los sistemas de control requiere un conocimiento previo de los sistemas fsicos sobre loscuales se implantar alguna estrategia de control, en lo que respecta a la representacin matemtica delos mismos y al anlisis de su comportamiento dinmico.Este captulo se dedicar a la representacin matemtica de sistemas fsicos, la cual comenzar conel desarrollo de un modelo matemtico a partir del cual podr obtenerse otro tipo de representacin.Ms especficamente, el modelo matemtico de un sistema ser desarrollado inicialmente como unconjunto de ecuaciones diferenciales, de las cuales se obtendrn otras representaciones, como son,funciones de transferencia, diagramas de bloques y diagramas de flujo de seal.

1.1. Modelaje de Sistemas Fsicos

El mtodo de modelaje a utilizar se fundamenta en una filosofa propuesta por Henry Paynter y desar-rollada posteriormente por Dean Karnopp y Donald Rosemberg. En el mismo, la recepcin, acumu-lacin, disipacin y trasmisin de energa dentro de un sistema son fundamentos para la concepcinfinal del modelo a desarrollar.En este captulo se describir la metodologa a utilizar, la cual consiste en una simplificacin de lafilosofa de modelaje antes mencionada. Con ello ser posible el desarrollo de modelos simples, queposteriormente podrn ser utilizados para el estudio de los sistemas de control. En principio se requiereel reconocimiento de los distintos tipos de elementos que puedan formar parte de los sistemas fsicos arepresentar, de forma tal que, a partir de los mismos sea posible obtener el modelo deseado. Tomandoen consideracin la forma en la cual manejan la energa es posible reconocer los siguientes elementosbsicos dentro de un sistema:

Fuentes de energa, son elementos que proporcionan energa proveniente del medio externo.Este tipo de elemento representa la influencia del medio sobre el proceso a analizar y puedeninterpretarse como las entradas que tendr el sistema bajo estudio.

Almacenadores de energa, son los nicos elementos capaces de almacenar y ceder energa, porlo que definen la dinmica del sistema y generalmente son de dos tipos, llamados Inercias yCapacitores, segn el tipo de energa que almacenen.

Resistencias, son elementos que generalmente provocan prdidas de energa al medio exteriory en algunos casos son utilizados como elementos que definen algn tipo de transferencia deenerga entre distintos tipos de elementos.

Transformadores de energa, son elementos que permiten la transformacin de la energa de untipo a otro en un sistema, o del mismo tipo pero modificando su magnitud.

Cabe destacar que los modelos a desarrollar en este libro sern solamente modelos de sistemas fsi-cos, especficamente, modelos para sistemas mecnicos, fludicos, elctricos y trmicos. De all que

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en las prximas secciones, se identificarn los distintos tipos de elementos para cada uno de los sis-temas mencionados y se mostrarn ejemplos especficos, gracias a los cuales se pretende lograr unacomprensin completa del tema propuesto. As mismo, se reconocern para cada tipo de sistema, lasvariables fundamentales que permitirn el planteamiento de las ecuaciones necesarias para definir losmodelos a realizar.Finalmente, es importante resaltar que la metodologa aqu planteada pretende generalizar la forma enque se obtendrn los modelos, sin importar la ndole del sistema a modelar, lo cual facilita ampliamentela consecucin de los mismos.

1.1.1. Sistemas Mecnicos

El estudio de los sistemas mecnicos ser dividido en dos partes, el primero ser el estudio de los lla-mados Sistemas Mecnicos Traslacionales, en los cuales los cuerpos solamente presentan un movimien-to de traslacin; y los segundos sern los Sistemas Mecnicos Rotacionales, en los cuales los cuerpospresentan un movimiento de rotacin.

1.1.1.1. Sistemas Mecnicos Traslacionales

En esta seccin se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de los sistemas mecnicostraslacionales segn la clasificacin mencionada en la sec. 1.1, as mismo, se mostrarn las ecuacionesgenerales que los describirn.Fuentes de EnergaSern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que proporcionan una fuerzaaplicada en algn punto del sistema y las que proporcionan una velocidad.Es importante recordar que las fuentes son los elementos que permiten modelar la influencia del medioexterno sobre el sistema, es decir, la forma en que el medio interacta con el sistema. En principio,estas fuentes sern independientes de lo que sucede dentro del sistema, pero si los modelos desarrol-lados son utilizados para el planteamiento de algn sistema de control, alguna de ests fuentes podrnser moduladas.Almacenadores de EnergaTal como se mencion con anterioridad existen dos tipos de almacenadores de energa dependiendodel tipo de energa que almacenen. Para los sistemas mecnicos, la energa se almacena en formade energa cintica y potencial, lo que dar lugar a los elementos almacenadores que se describen acontinuacin.InerciaEl primer elemento identificado como de energa ser una masa en movimiento, la cual almacenaenerga en forma de energa cintica. Esquemticamente es posible representarla como se muestra enla fig. 1.1, donde F es la fuerza aplicada sobre la masa, m el valor caracterstico de la misma y v lavelocidad a la cual se desplaza.

Para cada elemento se definirn las ecuaciones que lo representan matemticamente, siendo en estecaso la ecuacin de momentum (Ec. 1.1) la indicada para representar al elemento en cuestin.

p = mv (1.1)

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1.1 Modelaje de Sistemas Fsicos

Figura 1.1: Inercia Mecnico Traslacional

donde p es la cantidad de movimiento lineal de la masa y su derivada corresponde con la fuerza Faplicada sobre la masa. De all que, derivando la Ec. 1.1, se obtiene la Ec. 1.2 que representar ladinmica del elemento.

d pdt

= F =ddt

(mv) (1.2)

Dicha ecuacin representa, en forma general, la dinmica del elemento, en la cual se pueden considerarvariaciones en el parmetro caracterstico m. Para el caso particular en el que la masa del elemento seconsidere constante, la Ec. 1.2 puede ser reescrita, para ese caso lineal, como,

F = mdvdt

(1.3)

Finalmente, se definir a la velocidad v como la variable de estado del elemento, pues, conocida lamisma en todo momento, se conocer la energa cintica almacenada en el mismo.CapacitorEl otro elemento identificado como almacenador de energa ser un resorte, el cual almacena energaen forma de energa potencial. Esquemticamente, un resorte puede ser representado como se muestraen la Fig. 1.2.

Figura 1.2: Capacitor Mecnico Traslacional

La fuerza F , trasmitida por el resorte, depende del desplazamiento relativo entre sus extremos, x, y dela constante de elasticidad del resorte, k, la cual puede ser fija o dependiente del valor de x, siendo laEc. 1.4 la que representa el comportamiento de este elemento.

F = kx (1.4)

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Derivando la ecuacin anterior se obtiene la Ec. 1.5, que describe la dinmica del elemento, en la cualse pueden considerar variaciones en el parmetro caracterstico k.

dFdt

=ddt

(kx) (1.5)

Para el caso particular en el cual se considere constante dicho parmetro, la Ec. 1.5 puede ser reescrita,para ese caso lineal, como sigue,

dFdt

= kdxdt

= kv (1.6)

Finalmente, se definir a la fuerza F como la variable de estado del elemento, pues, conocido el valorde la misma en todo momento, se conocer la energa potencial almacenada en el elemento. Cabedestacar que en este caso, el desplazamiento x tambin puede ser considerado como la variable deestado del elemento, dado que F y x guardan una relacin entre s, tal como se mostr en la Ec. 1.4.ResistenciasLas prdidas de energa que pueden reconocerse en este tipo de sistemas son las prdidas por fric-cin, por ejemplo, el roce entre dos superficies y el roce o resistencia al viento, entre otras. Este tipode resistencias son representadas a travs de una relacin entre la fuerza de roce que se opone almovimiento y la velocidad relativa entre los cuerpos involucrados en el fenmeno, tal como se mues-tra en la Ec. 1.7. Esta ecuacin puede ser una relacin lineal o no lineal dependiendo de cada caso enparticular.

F = f (v) (1.7)

Adicionalmente, existen elementos conocidos como amortiguadores, cuyo esquema se presenta en lafig. 1.3, los cuales pueden ser representados como resistencias pues provocan prdidas por friccin.

Figura 1.3: Resistencia Mecnico Traslacional

En este caso, la fuerza producida por el amortiguador Fa, se opone al movimiento y es proporcional ala velocidad entre los extremos, v, tal como puede apreciarse en la Ec. 1.8, en la cual b representa elparmetro caracterstico del elemento y es conocido como factor de amortiguacin.

Fa = bv (1.8)

Transformadores de EnergaLos transformadores de energa son elementos que, tal como su nombre lo indica, transforman oconvierten la energa entre dos puntos de un sistema. En principio, estos elementos ni almacenan ni

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disipan energa, lo cual no quiere decir que esto no podra ser considerado para un caso particular. Acontinuacin se mostrarn algunos ejemplos de transformadores propios del sistema en cuestin.En la Fig. 1.4 se muestra una barra ideal sin masa y sin ningn tipo de friccin con el entorno, en lacual se tiene en un extremo una fuerza aplicada F1 y una velocidad v1, las cuales son trasmitidas al otroextremo como una fuerza F2 y una velocidad v2. Considerando que la sumatoria de los torques en elapoyo es igual a cero, es posible encontrar una relacin entre las fuerzas en funcin de las longitudesde la barra. De la misma forma las velocidades en los extremos pueden ser calculadas a partir de lavelocidad angular a la cual gira la barra. A partir de estas consideraciones es posible escribir las Ecs.1.9 y 1.10, las cuales relacionan cada una de las variables mencionadas anteriormente.

Figura 1.4: Barra Ideal

F1L1 = F2L2 (1.9)

v1L2 = v2L1 (1.10)

Cabe destacar que el transformador previamente mencionado es un elemento que puede conectar dospartes de un sistema y que recibe el mismo tipo de variable que entrega, es decir, por un lado se recibenfuerza y velocidad y por el otro lado se entregan los mismos tipos de variables.A continuacin se muestra el esquema de una polea, en la Fig. 1.5, la cual es considerada como untransformador con la diferencia de que en los extremos del elemento las variables no son las mismas.

Figura 1.5: Polea Ideal

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En este caso las ecuaciones que relacionan las variables involucradas quedarn en funcin del radiode la polea, siendo las mismas las que se muestran a continuacin.

v = R (1.11)

F =R

(1.12)

A continuacin se desarrollar un modelo sencillo para este tipo de sistema con la intencin de afianzarla comprensin del mtodo de modelaje aqu mostrado.Ejercicio 2.1En la Fig. 1.6 se muestra un esquema simplificado de una locomotora, donde F es la fuerza impulsora,m1 y m2 las masas de los vagones, k la constante de elasticidad del resorte, R1 la constante del amor-tiguador y R2 el parmetro asociado con la friccin entre las ruedas y la superficie. Las relaciones quedefinen la fuerza en el amortiguador y la fuerza de roce se muestran en las Ec.1.13 y 1.14, respectiva-mente. A partir de esta informacin se desea que obtenga un modelo que represente el comportamientodinmico del sistema.

Figura 1.6: Esquema de una Locomotora (Ejercicio 2.1)

Fa = R1v (1.13)

FF = R2v2 (1.14)

SolucinEn principio es importante realizar un reconocimiento de los diferentes elementos que conformanel sistema, a partir de lo cual ser posible anticipar el nmero de ecuaciones que tendr el modelo,as como, las variables que estarn involucradas en l. A continuacin se resumen dichos elementosresaltando, para los elementos almacenadores, las variables de estado involucradas.

Fuentes Fuerza (F)Almacenadores Inercia 1 (v1) Inercia 2 (v2) Capacitor (FR)Resistencias Amortiguador Fuerza Roce 1 Fuerza Roce 2

Como se tienen tres elementos almacenadores cuyas variables de estado, v1, v2 y FR, son independi-entes entre s, se tendr un modelo con tres ecuaciones diferenciales de primer grado, una por cadauna de las variables de estado mencionadas. Dichas ecuaciones solamente podrn estar en funcin de

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las entradas y de las variables de estado, las cuales se obtendrn planteado las ecuaciones de cada unode los elementos almacenadores.

m1dv1dt

= FFRR1(v1 v2)R2v21 (1.15)

m2dv2dt

= FR +R1(v1 v2)R2v22 (1.16)

dFRdt

= k(v1 v2) (1.17)

Ejercicio 2.2En la Fig. 1.7 se muestra un sistema mecnico traslacional compuesto por dos masas, m1 y m2, lascuales estn unidas a travs de una cuerda rgida y a su vez m2 est unida a una pared a travs de unresorte y un amortiguador, cuyos parmetros son k y R1, respectivamente. Considere que existe unafuerza de friccin entre m2 y la superficie y que el resorte tiene una elongacin inicial provocada porla fuerza de la gravedad.a) Se desea obtener el modelo de este sistema suponiendo que a m1 se le aplica una fuerza F .b) Si se considera que la cuerda tiene cierta elasticidad (kc), indique si el modelo se vera afectado yde que forma.

Figura 1.7: Sistema Mecnico (Ejercicio 2.2)

Solucina) En principio, se resumen a continuacin los distintos elementos que componen este sistema, a partirde lo cual se anticipar el nmero de ecuaciones diferenciales que modelar el sistema y las variablesque estarn involucradas.

Fuentes Fuerza (F)Almacenadores Inercia 1 (v1) Inercia 2 (v2) Capacitor (FR)Resistencias Amortiguador Fuerza Roce

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Se tienen tres elementos almacenadores, cuyas variables de estado, v1, v2 y FR, no son independientesentre s, pues las velocidades de ambas masas son iguales, por lo cual el modelo tendr dos ecuacionesdiferenciales de primer grado, una por cada variable de estado independiente. Para obtener el modelose hace necesario plantear las ecuaciones diferenciales de cada uno de los elementos almacenadores,tal como se muestra a continuacin.

m1dv1dt

= FT (1.18)

m2dv2dt

= TFRR1v2R2v22 (1.19)

dFRdt

= kv2 (1.20)

En forma general, para sistemas con almacenadores dependientes, es necesario plantear las ecuacionesde todos los almacenadores de energa, pues una de ellas ser utilizada para completar la informacinrequerida por las otras ecuaciones del modelo. En este caso, las ecs. 1.18 y 1.19 presentan dentro desus trminos la tensin de la cuerda T , la cual no es ni variable de estado ni entrada, por lo tanto nodebe formar parte de las ecuaciones finales del modelo. Es por ello que se utiliza una de las ecuacionesantes mencionadas para obtener el valor de T y poder sustituirlo en la otra ecuacin. De esta forma seobtiene la Ec. 1.21, la cual, en conjunto con la Ec. 1.20, representarn el comportamiento dinmicodel sistema.

(m1 +m2)dv1dt

= FFRR1v2R2v22 (1.21)

b) Si la cuerda fuese elstica, sera otro elemento almacenador del tipo capacitor, cuya variable deestado sera la tensin de la cuerda, y a la vez se debera considerar que en este caso las velocidadesseran diferentes. Es por ello que el modelo estara conformado por cuatro ecuaciones diferenciales,las primeras tres seran las mostradas previamente, 1.18, 1.19 y 1.20, y la cuarta ecuacin sera laEc.1.22, que representa la dinmica del capacitor aadido.

dTdt

= kc (v1 v2) (1.22)

1.1.1.2. Sistemas Mecnicos Rotacionales

En esta seccin se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de los sistemas mecnicosrotacionales segn la clasificacin mencionada en la sec. 1.1, as mismo, se mostrarn las ecuacionesgenerales que los describirn.Fuentes de EnergaSern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que proporcionan un torqueaplicado y las que proporcionan una velocidad angular en algn punto del sistema.Almacenadores de EnergaTal como se mencion anteriormente, para los sistemas mecnicos la energa se almacena en formade energa cintica y potencial, lo que dar lugar a dos elementos almacenadores de energa que serndescritos a continuacin.

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InerciaEl primer elemento identificado como almacenador de energa ser una masa rotando, la cual almacenaenerga en forma de energa cintica. Esquemticamente es posible representarla como se muestra en laFig. 1.8, en donde es el torque aplicado sobre la masa que gira, j es el valor caracterstico de inerciay la velocidad angular a la cual gira. La ecuacin de momentum representa matemticamente aeste elemento y se escribe tal como se muestra en la Ec. 1.23, donde H es la cantidad de movimientoangular de la inercia y su derivada corresponde con el torque aplicado sobre la misma. De all que,derivando la Ec. 1.23, se obtiene la Ec. 1.24 que representar la dinmica del elemento en cuestin.

Figura 1.8: Inercia Rotacional

H = j (1.23)

dHdt

= =ddt

(j) (1.24)

Dicha ecuacin representa, en forma general, la dinmica del elemento, en la cual se pueden considerarvariaciones en el parmetro caracterstico j. Para el caso particular en el cual se considere constantela inercia del elemento, la Ec. 1.24 puede ser reescrita, para ese caso lineal, como,

= jddt

(1.25)

Finalmente, se definir a la velocidad angular como la variable de estado del elemento, pues, cono-cida la misma en todo momento, se conocer la energa cintica almacenada en el elemento.CapacitorEl otro elemento identificado como almacenador de energa ser un resorte torsional, el cual almacenaenerga en forma de energa potencial. Esquemticamente puede ser representado como se muestra enla Fig. 1.9.

donde es el desplazamiento relativo entre los extremos, es el torque aplicado y kT es la constantede elasticidad del mismo, la cual puede ser fija o dependiente del valor de , siendo en este caso laecuacin que representa el comportamiento de este elemento la siguiente.

= kT (1.26)

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Figura 1.9: Resorte Torsional

Derivando la ecuacin anterior se obtiene la Ec. 1.27, que describe la dinmica del elemento, en lacual se pueden considerar variaciones en el parmetro caracterstico kT .

ddt

=ddt

(kT) (1.27)

Para el caso particular en el cual se considere constante dicho parmetro, la Ec. 1.5 puede ser reescrita,para ese caso lineal, como sigue,

ddt

= kTddt

= kT (1.28)

Finalmente, se definir al torque como la variable de estado del elemento, pues, conocido el mismoen todo momento, se conocer la energa potencial almacenada en el elemento. Cabe destacar que eneste caso, el desplazamiento angular tambin puede ser considerado como la variable de estado delelemento, dado que ambas variables guardan una relacin entre s, tal como se observa en la Ec. 1.26ResistenciasLas prdidas de energa que pueden reconocerse en este tipo de sistemas son las prdidas por friccin,por ejemplo, el roce entre dos superficies y el roce o resistencia al viento, entre otras. Este tipo deresistencias, son representadas a travs de una relacin entre el torque que se produce debido al rocey la velocidad angular relativa entre los cuerpos involucrados en el fenmeno, tal como se muestraen la Ec. 1.29. Esta ecuacin puede ser una relacin lineal o no lineal dependiendo de cada caso enparticular.

= f () (1.29)

Transformadores de EnergaEn la Fig. 1.10 se muestran un par de engranajes o ruedas que mantienen contacto entre s y entre loscuales no hay deslizamiento. All se puede apreciar que la primera rueda recibe un torque 1 y unavelocidad angular 1 y la segunda rueda entrega un torque 2 y una velocidad angular 2, los cualesestarn asociados a travs de las siguientes relaciones de transformacin.

1 =R2R1

2 (1.30)

1 =R1R2

2 (1.31)

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Figura 1.10: Engranajes o Ruedas

1.1.2. Sistemas Fludicos

En esta seccin se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de los sistemas fludicossegn la clasificacin mencionada en la sec. 1.1, as mismo, se mostrarn las ecuaciones generales quelos describirn.Fuentes de EnergaSern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que proporcionan presin enalgn punto del sistema y las que proporcionan caudal.Almacenadores de EnergaSimilar a los sistemas mecnicos antes mencionados, para este tipo de sistemas se tendrn dos ele-mentos capaces de almacenar energa, los cuales sern descritos a continuacin.InerciaEn este caso, el fluido que transita a lo largo de una tubera ser considerada como una inercia y lasrelaciones que representan su dinmica sern semejantes a las mostradas para los casos anteriores. Enla Fig. 1.11 se puede observar un esquema del elemento, en la cual se pueden identificar las variablesy parmetros involucrados en el mismo, en la cual q corresponde con el caudal que fluye a lo largo dela tubera, P1 y P2 son las presiones en los extremos de la misma, A el rea transversal de la tubera, Lsu longitud y la densidad del fluido.

Figura 1.11: Tubera

Se partir de la misma Ec. 1.1 que se utiliz para los sistemas mecnicos por tratarse de elementosiguales, en dicha ecuacin la masa corresponder con la masa encerrada en la tubera y la velocidad

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corresponde a la del fluido circulante, por lo que la relacin que representar la dinmica del elementose obtendr tal como se muestra a continuacin.

p = (masa encerrada en la tuberia)(velocidad lineal del fluido) = (AL)v (1.32)

Igual que en los casos anteriores, se derivar la Ec. 1.32 para obtener la expresin dinmica buscada,en la cual se sustituir la fuerza como la presin (P) por el rea trasversal de la tubera (A), al igualque la velocidad ser sustituida por el caudal entre dicha rea, tal como se muestra en la Ec. 1.34.

dpdt

=ddt

((AL)v) (1.33)

F = PA =ddt

((AL)

qA

)(1.34)

P =1A

ddt

(Lq) (1.35)

As mismo, si se considera constante la densidad del fluido y la longitud de la tubera, es posibleobtener la relacin dinmica del elemento para el caso lineal, tal como se muestra en la Ec. 1.36, en lacual la variable de estado ser el caudal circulante por la tubera.

P = P1P2 =(

LA

)dqdt

(1.36)

Si se compara la Ec. 1.36 con las ecs. 1.3 y 1.25 es posible observar la similitud entre las mismas.CapacitorUn tanque, tal como el representado en la Fig. 1.12, ser identificado como un elemento capaz dealmacenar energa potencial, es decir, un capacitor. En el mismo, A representa el rea transversal delmismo, H la altura del fluido contenido, P la presin en el fondo, Po la presin atmosfrica, qE elcaudal de entrada y qS el caudal de salida. La ecuacin que representar su dinmica podr ser escritade dos formas tal como se muestra a continuacin. Considere la presin en el fondo del tanque comola debida a la columna del agua suponiendo presiones manomtricas, tal como se muestra en la Ec.1.37.

Figura 1.12: Capacitor fludico

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P = gH (1.37)

Derivando dicha ecuacin se obtendr la expresin general para representar la dinmica del elementoen funcin de la presin en el fondo del tanque (Ec. 1.38), la cual puede ser particularizada al casolineal si se consideran constantes la densidad y el rea obtenindose la Ec. 1.39. Es importante resaltarque en estas ecuaciones la presin ser considerada como la variable de estado del elemento.

dPdt

=ddt

(gA

V)

(1.38)

(A

g

)dPdt

=dVdt

= qE qS (1.39)

Si se desea que la altura sea la variable de estado, la ecuacin dinmica del elemento podr ser reescritatal como se muestra en la Ec. 1.40.

AdHdt

= qEqS (1.40)

ResistenciasLos elementos que sern reconocidos como disipadores de energa sern aquellos que provocan pr-didas de presin, tales como las prdidas de presin producidas por la rugosidad en las tuberas o lasprdidas de presin producidas por accesorios. La Ec. 1.41 que describe este tipo de elemento, enforma general, puede ser lineal o no lineal dependiendo del fenmeno que se est representando.

4P = f (q) (1.41)

Transformadores de EnergaA continuacin se mostrarn dos elementos que podrn ser considerados transformadores de energapara este tipo de sistema. En la Fig.1.13 se muestra un pistn, en el cual se transforma la presiny el caudal recibido en una fuerza y una velocidad, o viceversa. Las relaciones que lo representancorresponden con las ecs. 1.42 y 1.43, en donde F representa la fuerza aplicada al pistn, A el reatransversal del mismo, v su velocidad de desplazamiento, P la presin transmitida al fluido y q elcaudal al cual fluye.

Figura 1.13: Pistn

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P =1A

F (1.42)

q = Av (1.43)

En la Fig. 1.14 se muestra otro tipo de transformador de energa, para el cual sus relaciones de trans-formacin (ecs. 1.44 y 1.45) se fundamentan en las ecuaciones mostradas previamente.

Figura 1.14: Transformador Fludico

F1 =A1A2

F2 (1.44)

v1 =A2A1

v2 (1.45)

Ejercicio 2.3A continuacin se mostrar un ejercicio sencillo donde se modelar el sistema fludico que se muestraen la Fig. 1.15.

Figura 1.15: Sistema Fludico (Ejercicio 2.3)

Para la realizacin del mismo se deben tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

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Los valores de los parmetros caractersticos de los elementos son conocidos, es decir, rea deltanque (a), rea de la tubera (A), longitud de la tubera (L), resistencia asociada a la friccin enla tubera (R f ) y coeficiente de prdida en la vlvula (Cv).

Las ecuaciones que representan las prdidas por friccin y por accesorio son las ecs. 1.48 y 1.49respectivamente.

4P = R f q2 (1.46)

q = Cv4P (1.47)

SolucinTal como se realiz en el ejercicio anterior se reconocern los diferentes elementos que conforman elsistema, a partir de lo cual ser posible anticipar el nmero de ecuaciones que tendr el modelo, ascomo, las variables que estarn involucradas en l. Dichos elementos se muestran a continuacin.

Fuentes Caudal 1 (qA) Caudal 2 (qB)Almacenadores Capacitor (P) Inercia (q)Resistencias Friccin Vlvula

Como puede observarse, se tienen dos elementos almacenadores de energa cuyas variables de estado,P y q, son independientes entre s, por lo cual se tendr un modelo con dos ecuaciones diferencialesde primer orden, que se muestran a continuacin.

ag

dPdt

= qA +qBq (1.48)

LA

dqdt

= PRf q2(

qCv

)2(1.49)

Ejercicio 2.4Se desea desarrollar el modelo matemtico de un sistema, similar al del ejercicio anterior, con ladiferencia que la tubera se divide en dos tuberas, tal como se muestra en la Fig. 1.16. Considereconocidos todos los parmetros y relaciones de las tuberas aadidas, es decir, se conocen todas lasreas, las longitudes, las resistencias y las relaciones que definen las prdidas en cada caso. As mismo,considere que las prdidas producidas en la bifurcacin son despreciables.

SolucinA continuacin se detallan los diferentes elementos que conforman el sistema, a partir de lo cual serposible anticipar el nmero de ecuaciones que tendr el modelo, as como, las variables que estarninvolucradas en l.

Fuentes Caudal 1 (qA) Caudal 2 (qB)Almacenadores Capacitor (P) Inercia 1 (q1) Inercia 2 (q2) Inercia 3 (q3)Resistencias Friccin Vlvulas

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Figura 1.16: Sistema Fludico Ejercicio

Como puede observarse, se tienen cuatro elementos almacenadores de energa cuya variable de estadoP es independiente de los caudales, pero q1, q2 y q3, tienen una dependencia entre s, tal como sepuede observar en la Ec. 1.50.

q1 = q2 +q3 (1.50)

A partir de dicha expresin se observa que es posible conocer un caudal a partir de los otros dos, porlo tanto se puede concluir que el modelo tendr nicamente tres ecuaciones diferenciales, una para lapresin y dos para los caudales considerados independientes.Tal como se mencion anteriormente, para sistemas con almacenadores dependientes, es necesarioplantear las ecuaciones de todos los almacenadores de energa, pues una de ellas ser utilizada paracompletar la informacin requerida por las otras ecuaciones del modelo. En este caso particular, alplantear las ecuaciones de las tuberas, aparece una presin intermedia PI, la cual no es ni variable deestado ni entrada, por lo cual no puede figurar en las ecuaciones finales del modelo. Si se considera aq1 como la variable dependiente se utilizar la Ec. 1.52 para sustituir el valor de PI, en las ecs. 1.53 y1.54 de forma tal de obtener el modelo final.

ag

dPdt

= qA +qBq1 (1.51)

L1A1

dq1dt

= PRf q21PI (1.52)

L2A2

dq2dt

= PIRf q22(

q2Cv1

)2(1.53)

L3A3

dq3dt

= PIRf q23(

q3Cv2

)2(1.54)

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Despejando PI de la Ec. 1.52 y utilizando la Ec. 1.50 para sustituir el valor de q1 en funcin de q2 y q3se tiene la siguiente expresin.

PI = PRf (q2 +q3)2L1A1

[d (q2 +q3)

dt

](1.55)

A partir de all se completarn las ecuaciones 1.53 y 1.54 para obtener las expresiones finales querepresentarn la dinmica de los caudales q2 y q3 quedando el modelo deseado representado por lasEcs. 1.51, 1.56 y 1.57.(

L2A2

+L1A1

)dq2dt

= PRf (q2 +q3)2L1A1

dq3dtRf q22

(q2Cv1

)2(1.56)

(L3A3

+L1A1

)dq3dt

= PRf (q2 +q3)2L1A1

dq2dtRf q23

(q3Cv2

)2(1.57)

1.1.3. Sistemas Elctricos

En esta seccin se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de los sistemas elctricossegn la clasificacin mencionada en la sec. 1.1, as mismo, se mostrarn las ecuaciones generales quelos describirn.Fuentes de EnergaSern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que proporcionan un flujo decorriente y las que proporcionan una diferencia de voltaje.Almacenadores de EnergaSimilar a los sistemas antes mencionados, se tendrn dos elementos capaces de almacenar energa, loscuales sern descritos a continuacin.InerciaUna inductancia elctrica, cuyo esquema puede observarse en la Fig. 1.17, ser identificada como unelemento capaz de almacenar energa. Su parmetro caracterstico L, conocido como inductancia, serconsiderado siempre constante, por lo que la expresin que representa su dinmica puede ser escritatal como se muestra en la Ec. 1.58, en la cual i, variable de estado, representa la corriente que circulaa lo largo del elemento y V la cada de potencial entre sus extremos.

Ldidt

= V (1.58)

CapacitorUn condensador o capacitor, cuyo esquema puede observarse en la Fig. 1.18, ser identificado comoun elemento capaz de almacenar energa. Su parmetro caracterstico C, conocido como capacitancia,

17


Figura 1.17: Inercia Elctrica

ser considerado siempre constante, por lo que la expresin que representa su dinmica puede serescrita tal como se muestra en la Ec. 1.59, en la cual i representa la corriente que circula a lo largo delelemento y VC, variable de estado, la cada de potencial entre sus extremos.

Figura 1.18: Capacitor Elctrico

CdVCdt

= i (1.59)

ResistenciasSon elementos que producen cadas de voltaje y pueden ser representados esquemticamente tal comose muestra en la Fig. 1.19, en la cual R es conocida como la resistencia del elemento, i representa lacorriente que circula a lo largo del elemento y V la cada de potencial entre sus extremos. La expresinque representa su comportamiento es la que se muestra en la Ec. 1.60.

Figura 1.19: Capacitor Elctrico

V = Ri (1.60)

Transformadores de Energa

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Los transformadores elctricos, cuyo esquema se muestra en la Fig. 1.20, presentan en uno de susextremos una corriente y una cada de potencial que son modificadas segn las Ecs. 1.61 y 1.62, enlas cuales n representa la relacin de transformacin y depende de los enrollados a cada lado deltransformador.

Figura 1.20: Transformador Elctrico

i1 = ni2 (1.61)

V1 =1n

V2 (1.62)

Para la resolucin de problemas asociados a este tipo de sistemas es importante recordar las Leyes decorriente y voltaje de Kirchoff, las cuales sealan lo siguiente.Ley de corriente (ley de nodos), la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de unnodo es cero, o lo que es lo mismo, la suma de las corrientes que entran a una nodo es igual a la sumade las corrientes que salen del mismo.Ley de voltajes (ley de mallas), la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en uncircuito elctrico es cero, o lo que es lo mismo, la suma de las cadas de voltaje es igual a la suma delas elevaciones de voltaje alrededor de una malla.Ejercicio 2.5En la Fig. 1.21 se muestra un circuito clsico RCL, para el cual se consideran conocidos todos losparmetros fsicos asociados a dicho sistema y se desea obtener el modelo matemtico que representesu dinmica.

Figura 1.21: Circuito RCL

19


SolucinAl igual que en ejercicios anteriores se comenzar el desarrollo del modelo identificando los diferenteselementos que forman parte del sistema.

Fuentes Voltaje (e)Almacenadores Inercia (i) Capacitor (Vc)Resistencias Resistencia

Teniendo dos elementos almacenadores de energa, cuyas variables de estado son independientes entres, se tendr un modelo formado por dos ecuaciones diferenciales de primer grado.

Ldidt

= eVCRi (1.63)

CdVCdt

= i (1.64)

Ejercicio 2.6Para un circuito como el que se muestra en la Fig. 1.22, considere conocidos todos los parmetrosfsicos asociados a dicho sistema y obtenga el modelo matemtico que represente su dinmica.

Figura 1.22: Circuito Elctrico

SolucinSe comenzar el desarrollo del modelo identificando los diferentes elementos que forman parte delsistema, los cuales se muestran a continuacin.

Fuentes Voltaje (e)Almacenadores Inercia 1 (i1) Inercia 2 (i2) Capacitor (Vc)Resistencias Resistencia 1 Resistencia 2

Teniendo tres elementos almacenadores de energa, cuyas variables de estado, i1, i2 y VC, son inde-pendientes entre s, se tendr un modelo formado por tres ecuaciones diferenciales de primer grado.

L1di1dt

= eVCR1i1 (1.65)

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CdVCdt

= i1 i2 (1.66)

L2di2dt

= VCR2i2 (1.67)

1.1.4. Sistemas Trmicos

En esta seccin se identificarn cada uno de los elementos que forman parte de los sistemas trmicossegn la clasificacin mencionada en la Sec. 1.1, as mismo, se mostrarn las ecuaciones generalesque finalmente describirn sus comportamientos. Este tipo de sistemas es diferente a los anteriorespues solamente existe una forma de almacenar energa, en forma de calor, por lo que solo se requierede un tipo de almacenador de energa.Fuentes de EnergaSern consideradas dos diferentes formas de fuentes de energa, aquellas que proporcionan una tem-peratura en algn punto del sistema y las que proporcionan un flujo de calor.Almacenadores de EnergaEste tipo de sistema solamente almacena energa en forma de calor, por lo tanto solamente ser con-siderado como elemento almacenador de energa a los capacitores, los cuales representan el fenmenoen cuestin.CapacitorEn este caso, cualquier elemento capaz de almacenar calor ser considerado como un capacitor, porejemplo, en la Fig. 1.23 se muestra una masa m, que tiene una temperatura T , un calor especfico Cpy puede recibir o ceder calor al ambiente.

Figura 1.23: Capacitancia Trmica

La Ec. 1.68 representa el calor almacenado en la masa en funcin de sus parmetros caractersticos, lacual ser derivada para obtener la expresin dinmica general que representar al elemento, tal comose muestra en la Ec. 1.69.

mCpT = Q (1.68)

21


ddt

(mCpT ) = Q (1.69)

Si se consideran constantes, tanto la masa del elemento como su calor especfico, es posible obtenerla relacin dinmica para el caso lineal, tal como se muestra en la Ec. 1.70. La variable de estado delelemento ser la temperatura, la cual define la cantidad de calor almacenada, o lo que es lo mismo lacantidad de energa.

mCpdTdt

= Q (1.70)

ResistenciasPara este tipo de sistemas, los elementos conocidos como resistencias no sern utilizados para rep-resentar prdidas de energa en todos los casos, sino que se utilizarn para representar los diferentesmecanismos de transferencia de calor que pueden ocurrir. Si la transferencia de calor ocurre entre doselementos de un mismo sistema, no se considerar una prdida de energa, pero si la transferenciade calor ocurre entre algn elemento de un sistema y el medio ambiente, entonces si se consideraruna prdida pues el calor se est escapando fuera del sistema. Existen tres diferentes mecanismos detransferencia de calor, los cuales pueden resumirse a continuacin.La transferencia de calor por conduccin, ocurre entre dos cuerpos slidos y se representa a travsde la Ec. 1.71, en la cual k es conocida como la conductividad trmica del material, A es el rea detransferencia de calor, 4x es la distancia que separa los centros trmicos de ambos elementos y 4Tes la diferencia de temperatura entre ambos elementos.

Qcond =kA4x

(4T ) (1.71)

La transferencia de calor por conveccin, ocurre entre un cuerpo slido y un fluido o entre dos fluidosy se representa a travs de la Ec. 1.72, en la cual h es conocido como coeficiente de conveccin, A esel rea de transferencia de calor y4T es la diferencia de temperatura entre ambos elementos.

Qconv = hA(4T ) (1.72)

Finalmente, la transferencia de calor por radiacin, ocurre entre un cuerpo y un objeto luminoso y serepresenta a travs de la Ec. 1.73, en la cual es la constante de Stephan-Boltzmann, se conocecomo emisividad, AS es el rea del elemento emisor y T la temperatura del mismo. Por simplicidad sepueden reunir todos esos parmetros en uno solo kR que se conocer como coeficiente de radiacin.

Qrad = AsT 4 = kRT 4 (1.73)

Ejercicio 2.7En la Fig. 1.24 se muestra una representacin esquemtica de una aleta de enfriamiento para la cual sedesea conocer su modelo con fines de diseo. Para ello, se requiere que el modelo en cuestin quedeexpresado en funcin de todos los parmetros fsicos involucrados, de forma tal que a futuro seaposible modificarlos con miras a lograr un comportamiento especfico. Para la realizacin del modelose deben tomar en cuenta las siguientes consideraciones.

22


El flujo de calor proveniente de la superficie a enfriar y la temperatura ambiental son conocidos,QE y To, respectivamente.

Existe una transferencia de calor por conduccin entre la superficie y la aleta y entre las distintasporciones de la aleta, la cual puede ser representada por la Ec. 1.74, donde k es la conductividadtrmica del material, A es el rea de transferencia de calor igual para cada porcin, 4x esla distancia entre los centros trmicos y 4T la diferencia de temperatura entre los elementosasociados a la transferencia.

Existe transferencia de calor por conveccin entre las distintas porciones de la aleta y el medio,la cual puede ser representada por la Ec. 1.75, donde hi es el coeficiente de conveccin de laporcin i, ai es el rea de transferencia de calor particular de la porcin i y4T la diferencia detemperatura entre las porciones y el medio.

Se requiere conocer la variacin de la temperatura a lo largo de la aleta.

Figura 1.24: Aleta de enfriamiento

Qcond =kA4x

(4T ) (1.74)

Qconv = hiai (TiTo) (1.75)

SolucinA continuacin se identificarn los diferentes elementos que forman parte del sistema, con la finalidadde anticipar el nmero de ecuaciones que tendr el modelo.

Fuentes Flujo de Calor (QE) Temperatura (To)Almacenadores Capacitor 1 (T1) Capacitor 2 (T2) Capacitor 3 (T3)Resistencias Resistencias Conveccin Resistencias conduccin

Se tienen tres elementos almacenadores de energa cuyas variables de estado, T1, T2 y T3, son indepen-dientes, por lo tanto el modelo estar representado por tres ecuaciones diferenciales de primer gradotal como se muestra a continuacin.

m1CpdT1dt

= QE kA4x

(T1T2)h1a1 (T1To) (1.76)

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m2CpdT2dt

=kA4x

(T1T2)kA4x

(T2T3)h2a2 (T2To) (1.77)

m3CpdT3dt

=kA4x

(T2T3)h3a3 (T3To) (1.78)

Ejercicio 2.8En el esquema mostrado en la Fig. 1.25 se muestra un tanque abierto de precalentamiento que con-tiene un lquido de densidad , calor especfico Cp, temperatura TT y rea transversal A. Se deseacontrolar la temperatura del lquido manipulando el voltaje e(t) proporcionado al circuito, para lo cualse requiere el modelo del sistema o proceso.

Figura 1.25: Ejercicio Termoelctrico

El circuito est compuesto por una fuente de voltaje e, una inductancia L y una resistencia R, quesuministra un flujo de calor al fluido dado por la Ec. 1.79, donde i representa la corriente que circulapor el circuito. Para realizar el problema Ud. debe tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

Caudal de entrada igual al de salida y masa contenida en el tanque igual a m.

La temperatura del caudal de entrada es TE y la temperatura del caudal de salida es TT . Ambosdeben considerarse como variables en el tiempo.

La temperatura ambiente To es conocida y puede presentar variaciones en el tiempo.

La transferencia de calor a travs de las paredes del tanque y de la superficie del lquido con elambiente son por conveccin y pueden ser representadas a travs de la Ec. 1.80, donde x y Tdefinen entre quienes ocurre la transferencia.

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q = i2R (1.79)

qx = hxax (T ) (1.80)

A partir de dicha informacin se desea que usted realice lo siguiente:a) Obtenga el modelo matemtico del sistema.b) Si el caudal de entrada no fuese igual al de salida, diga, de existir, cules seran las posiblesmodificaciones que se deberan plantear al modelo?. Si concluye que existiran cambios, realice elmodelo modificado, para lo cual considere que el caudal de salida, qS vendra definido por la Ec. 1.81,donde Cv es el coeficiente de restriccin de la vlvula y H es la altura del tanque.

qS = Cv

H (1.81)

Solucina) Se tiene un proceso conformado por diferentes tipos de sistemas, uno elctrico, uno trmico y otrofludico. El sistema elctrico es la red elctrica, en tanto que, los sistemas trmico y fludico estnconformados por el fluido contenido en el tanque, el cual es capaz de almacenar energa en forma deenerga trmica y potencial.Lo primero a resaltar es el hecho de que el caudal de entrada y el de salida son iguales, razn por lacual la altura de tanque no presentar ninguna variacin, por ello el sistema fludico no formar partede la dinmica del proceso. A partir de all, a continuacin se resumen los elementos del sistema queservirn de base para desarrollar el modelo del mismo.

Fuentes Flujo de Voltaje (e) Temp. Amb. (To) Temp. Ent. (TE) Caudal (qE)Almacenadores Inercia (i) Capacitor (TT )Resistencias Resistencia Elctrica Resistencias Trmicas

Como se puede observar se tendrn dos variables de estado independientes entre s, i y TT , por lo queel modelo estar conformado por dos ecuaciones diferenciales que representarn el comportamientodinmico del sistema.

Ldidt

= eRi (1.82)

mCpdTTdt

= i2R+qECp(TE TT )hT aT (TT To)hSaS(TT To) (1.83)

b) Si se consideran diferentes los caudales de entrada y de salida se tendr que la altura en el tanqueser variable. Por lo tanto habr que aadir una ecuacin diferencial para la altura, tal como se muestraa continuacin.

AdHdt

= qE Cv

H (1.84)

Adems se debe modificar la Ec. 1.83 pues la masa encerrada en el tanque vara con la altura, porlo tanto la ecuacin que representa las variaciones de TT debe desarrollarse nuevamente tal como semuestra a continuacin, quedando definitivamente expresada por la Ec. 1.87.

m = AH (1.85)

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d (AHTT )dt

= i2R+qECpTE Cv

HCpTT hT aT (TT To)hSaS (TT To) (1.86)

AHdTTdt

+ATTdHdt

= i2R+qECpTE Cv

HCpTT (hT aT +hSaS)(TT To) (1.87)

Como se pudo observar, es posible desarrollar modelos sencillos para los diferentes tipos de sistemas,los cuales pueden ser lineales o no lineales dependiendo del tipo de relacin que se utilice para repre-sentar los fenmenos que ocurren.

Debido a que la teora de control que se estudiar en los siguientes captulos requiere de modeloslineales para el anlisis de los sistemas, se mostrar a continuacin un procedimiento para simplificarmodelos no lineales y convertirlos en modelos lineales.

1.2. Linealizacin de Modelos Matemticos No Lineales

Los modelos matemticos desarrollados, para distintos tipos de sistemas, pueden ser lineales o no lin-eales dependiendo de las relaciones que se hayan considerado como vlidas al momento de desarrollarlas ecuaciones que representen el proceso. En la mayora de los casos los modelos utilizados para rep-resentar uno u otro proceso son no lineales, pues de esa forma son capaces de reproducir mejor elcomportamiento real del mismo, de all que, en caso de requerir un modelo lineal, se har necesariolinealizar sus ecuaciones. Para ello se mostrar a continuacin un procedimiento que se fundamenta enel desarrollo de una funcin no lineal como una Serie de Taylor alrededor de un punto de operacin,dicho procedimiento ser inicialmente descrito a travs de la linealizacin de una funcin sencilla conel objetivo de facilitar la comprensin del mismo.

Suponga que desea linealizar la funcin representada por la Ec. 1.88, cuya representacin grfica semuestra en la Fig. 1.26, en la cual tambin se puede apreciar la funcin linealizada alrededor del puntop(x, y).

y = x2 (1.88)

Figura 1.26: Linealizacin Grfica de y = x2

26

1.2 Linealizacin de Modelos Matemticos No Lineales

Si se observa con cuidado la Fig. 1.26 se puede apreciar que la funcin linealizada coincide con unarecta tangente a la funcin en el punto p, cuya pendiente m ser la derivada de la funcin evaluada enp, tal como se muestra a continuacin.

dydx

p(x,y)

= (2x) = m (1.89)

A partir de all, una funcin lineal para y puede ser representada utilizando la recta de pendiente m talcomo sigue,

y = y+m(x x) (1.90)

y y = m(x x) (1.91)

y = mx (1.92)

La Ec. 1.92 representa la funcin lineal que se deseaba encontrar, en la cual las variables asteriscovienen a ser las variaciones de las variables alrededor del punto p, o tambin conocidas como variablesde perturbacin. Escrita en una forma general, una funcin no lineal f (x) expandida como una Seriede Taylor quedara tal y como se muestra en la Ec. 1.93, en donde se despreciar a partir del tercertrmino de la serie pues contienen potencias de la variable de perturbacin que sern muy pequeashaciendo dichos trminos despreciables.

f (x) = f (x)+d fdx

p(x x)+ 1

2!d2 fdx2

p(x x)2 + (1.93)

A continuacin se muestra el procedimiento general linealizando la Ec. 1.94, la cual depende de variasvariables.

y = f (x1,x2,x3) (1.94)

y = y+

[d fdx1

p(x1,x2,x3)

](x1 x1)+

[d fdx2

p(x1,x2,x3)

](x2 x2)+

[d fdx3

p(x1,x2,x3)

](x3 x3) (1.95)

Finalmente, se puede reescribir esta ecuacin tal y como se muestra en la Ec. 1.96, en la cual se observaclaramente que cada uno de los trminos de la misma son lineales pues las derivadas evaluadas siempresern constantes.

y =d fdx1

p

x1 +d fdx2

p

x2 +d fdx3

p

x3 (1.96)

Ejercicio 2.9Linealize las ecuaciones del modelo que se desarroll en el Ejercicio 2.3, es decir, las Ecs. 1.48 y 1.49,para ello considere conocidas las entradas q1 y q2 en operacin.SolucinEn principio se obtiene el punto de operacin que ser utilizado en la linealizacin de las ecuaciones,el cual coincidir con el punto de equilibrio fsico en donde las variables de estado no cambian con el

27


tiempo. Para ello se hacen cero las derivadas de las Ecs. 1.48 y 1.49 y se obtienen los valores de P y qde las ecs. 1.97 y 1.98.

0 = q1 +q2 q q = q1 +q2 (1.97)

0 = PRf (q)2(

qCv

)2 P =

(R f +

1C2v

)(q1 +q2)

2 (1.98)

Finalmente, las ecuaciones del modelo linealizado quedaran tal como se muestran a continuacin.

ag

dP

dt= q1 +q

2q (1.99)

LA

dq

dt= P

(2qRf

)q

(2qC2v

)q (1.100)

1.3. Funcin de Transferencia

La funcin de transferencia es una forma de representacin matemtica de un sistema fsico y estdefinida como la relacin entre la transformada de laplace de la salida y la transformada de laplace dela entrada, para las siguientes condiciones:

Una sola entrada una sola salida

Condiciones iniciales nulas

Independiente de la entrada

Sistemas lineales

Parmetros invariantes en el tiempo

En la Fig. 1.27 se muestra la representacin grfica de una funcin de transferencia G(s), donde R(s)es la transformada de laplace de la entrada y C(s) es la transformada de laplace de la salida.

Figura 1.27: Funcin de Transferencia

28

1.3 Funcin de Transferencia

En forma general, una funcin de transferencia puede escribirse tal como se muestra en la Ec. 1.101, enla cual las soluciones del denominador sern conocidas como los ceros del sistema y las soluciones deldenominador como los polos del sistema. Adems, el grado del polinomio del denominador definaruna clasificacin conocida como el orden del sistema, es decir, un polinomio de grado n definir alsistema como de n-simo orden.

G(s) =C(s)R(s)

=b0sm +b1sm1 + +bm1s+bma0sn +a1sn1 + +an1s+an

(1.101)

Tal como se mencion anteriormente, una funcin de transferencia es una representacin matemticade un sistema, o lo que es lo mismo, es un modelo de un sistema, la cual tiene ciertas caractersticasque a continuacin se resaltan.

Es una representacin del sistema independiente de la entrada a la cual se vea sometido. Si se conoce la funcin de transferencia de un sistema, ser posible estudiar el comportamiento

del mismo ante diferentes tipos de entrada. Si la funcin de transferencia es numrica, no proporcionar ninguna informacin respecto a

las interrelaciones fsicas del sistema que representa, tanto es as que es posible que sistemas dediferente ndole tengan exactamente la misma funcin de transferencia.

Si la funcin de transferencia es paramtrica, se podra utilizar a la misma para analizar lasensibilidad del sistema ante variaciones en sus parmetros.

Cabe destacar que, para un sistema con n variables y m entradas ser posible obtener nxm funcionesde transferencia que representen las variaciones de cada una de las salidas respecto a cada una de lasentradas.Gracias a que se trata de sistemas lineales, se puede utilizar el principio de superposicin para conocerel comportamiento de la salida de un sistema ante variaciones en diferentes entradas. Ms especfica-mente, si se tiene un sistema cuya salida C(s) depende de las entradas R(s) y P(s), la misma podrexpresarse tal como se muestra en la Ec. 1.102.

C(s) = GR(s)R(s)+GP(s)P(s) (1.102)

Dicha expresin ser conocida como la relacin de transferencia de C(s), en la cual GR(s) y GP(s)sern las funciones de transferencia entre la variable de salida y cada una de las entradas respectiva-mente.A continuacin se mostrarn algunos ejercicios, en los cuales se obtiene la funcin de transferencia deun sistema a partir de su modelo en ecuaciones diferenciales.Ejercicio 2.10Para el sistema termoelctrico mostrado en el Ejercicio 2.8 se desea implementar un esquema decontrol de retroalimentacin simple, para lo cual se necesita conocer las siguientes funciones de trans-ferencia: entre la variable controlada (TT ) y la variable manipulada (E), y entre la variable controlada ylas posibles perturbaciones. Para ello se deben utilizar las ecuaciones previamente desarrolladas comomodelo del sistema (ecs. 1.82 y 1.83). Suponga conocidas las funciones de transferencia del medidorde temperatura, Gm(s), del controlador, Gc(s), y del actuador, Ga(s).Solucin

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Como el sistema de ecuaciones que modelan dicho proceso son no lineales, se deben linealizar lasmismas si se desea obtener la funcin de transferencia solicitada. Para ello se debe obtener el puntode operacin (i y TT ) resolviendo las Ecs. 1.103 y 1.104 que se muestran a continuacin.

0 = eRi (1.103)

0 = (i)2 R+ qECp(TE TT )hT aT (TT To)hSaS (TT To) (1.104)

Las ecuaciones del modelo ya linealizadas seran las siguientes, suponiendo que todas las entradaspueden ser variables, a excepcin de la To que se considera constante.

Ldi

dt= eRi (1.105)

mCpdT Tdt

= (2iR) i+Cp(TE TT )qE + qECp(T E T T ) (hT aT +hSaS)T T (1.106)

Se toma la transformada de laplace a ambas ecuaciones y considerando que las funciones de trans-ferencia estn definidas para condiciones iniciales nulas, las mismas quedarn como se muestra acontinuacin, en las cuales se simplificaron los asteriscos en el entendido que se trata de variables deperturbacin.

LsI(s) = E(s)RI(s) (1.107)

mCpsTT (s) = (2iR) I(s)+Cp(TE TT )qE(s)+ qECp(TE(s)TT (s)) (hT aT +hSaS)TT (s) (1.108)

Como se puede observar la temperatura ambiental (To) no figura en las ecuaciones debido a que, siendoconstante, su variacin respecto al equilibrio es cero. Para obtener las relaciones requeridas se debenhacer cero todas las entradas diferentes a la que ser considerada la variable de entrada en cada casoen particular. De esa forma, se puede obtener la funcin de transferencia, entre la variable controladaTT (s) y la manipulada E(s), desarrollando las dos ecuaciones tal como se muestra.

(Ls+R) I(s) = E(s) (1.109)

(mCps+ qECp+hT aT +hSaS)TT (s) = (2iR) I(s) (1.110)

sustituyendo la Ec. 1.109 en la Ec. 1.110 se obtiene la funcin de transferencia entre TT (s) y E(s), talcomo se muestra en la Ec. 1.112.

TT (s)E(s)

=2iR

(Ls+R)(mCps+ qECp+hT aT +hSaS)(1.111)

30

1.3 Funcin de Transferencia

TT (s)E(s)

= GE(s) =2iR

mCpLs2 +(L(qECp+hT aT +hSaS)+RmCp)s+

+R(qECp+hT aT +hSaS)(1.112)

Cabe destacar que la funcin de transferencia presenta un polinomio en el denominador de segundogrado, lo que indica que el sistema es de segundo orden, lo cual era de esperarse pues el nmero devariables de estado que tiene el modelo es igual a dos.Ahora, considerando que las perturbaciones presentes sern las posibles variaciones de qE(s) y deTE(s) se pueden obtener las funciones de transferencia entre la variable controlada y cada una de estasperturbaciones siguiendo un procedimiento semejante al mostrado anteriormente. Dichas funciones semuestran a continuacin.

TT (s)qE(s)

= GqE (s) =Cp(TE TT )

mCps+(qECp+hT aT +hSaS)(1.113)

TT (s)TE(s)

= GTE (s) =qECp

mCps+(qECp+hT aT +hSaS)(1.114)

Conocidas dichas funciones es posible presentar en la Fig. 1.28 el diagrama de bloques del esquemade control, en el cual se pueden apreciar los distintos elementos que tiene el esquema planteado, ascomo, las posibles perturbaciones al proceso.

Figura 1.28: Esquema de control

En el estudio de los sistemas de control es comn utilizar los trminos, lazo abierto, lazo directo y lazocerrado, los cuales se refieren a una funcin de transferencia especfica, las cuales se definen, para unsistema como el mostrado en la Fig. 1.29, tal como sigue.

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Figura 1.29: Esquema de Retroalimentacin Simple

Funcin de Transferencia a Lazo Abierto

GLA(s) = G(s)H(s) (1.115)

Funcin de Transferencia a Lazo Directo

GLD(s) = G(s) (1.116)

Funcin de Transferencia a Lazo Cerrado

GLA(s) =G(s)

1+G(s)H(s)(1.117)

Esta ltima funcin se obtiene a partir de la reduccin del diagrama de bloques presentado en la Fig.1.29, lo cual ser estudiado en la prxima seccin.

1.4. Diagramas de Bloques

Los diagramas de bloques vienen a ser otra forma de representacin de sistemas, la cual se realiza apartir de las ecuaciones diferenciales del modelo. Est formado por un conjunto de pequeas funcionesde transferencia que representan cada una de las interrelaciones que se suceden dentro del sistema.En otras palabras, un diagrama de bloques es una representacin esquemtica de las ecuaciones quedescriben un sistema.Debido a que est conformado por funciones de transferencia, debe respetar cada una de las consid-eraciones que fueron planteadas en la Sec. 1.3 para la definicin de las mismas.Al momento de representar las relaciones entre las entradas y salidas de un sistema, los diagramas debloques presentan ciertas ventajas sobre las funciones de transferencia, dentro de las cuales se puedenmencionar las siguientes,

Se mantienen visibles cada una de las entradas y salidas de un sistema, en tanto que una funcinde transferencia est particularizada para una sola entrada y una sola salida.

Permite obtener cualquier funcin de transferencia particular, por reduccin del mismo. Muestra las interrelaciones entre los distintos elementos fsicos del sistema.

A continuacin se mostraran algunos ejercicios que faciliten una mejor comprensin de los diagramasde bloques y su tratamiento.

32

1.4 Diagramas de Bloques

Ejercicio 2.11Obtenga el diagrama de bloques del Ejercicio 2.10 a partir de las ecs. 1.107 y 1.108.SolucinTal como se mencion anteriormente, un diagrama de bloques es la representacin esquemtica de lasecuaciones que describen el sistema, es por ello que en este primer ejercicio se obtendr el diagramasolicitado ecuacin por ecuacin para luego conformar el diagrama completo.En las Figs. 1.30 y 1.31 se muestran las representacin de las Ecs. 1.107 y 1.108 respectivamente, parafinalmente mostrar el diagrama completo en la Fig. 1.32.

Figura 1.30: Primera ecuacin

Figura 1.31: Segunda ecuacin

Un diagrama de bloques puede ser reducido con miras a conocer una funcin de transferencia espec-fica, lo cual se realiza por partes y se fundamenta en la simplificacin de los bloques paso a paso. Amanera de ejemplo, en el siguiente ejercicio, se muestra la reduccin de un diagrama especfico.Ejercicio 2.12Obtenga, a partir del diagrama de bloques del Ejercicio 2.11, que se muestra en la Fig. 1.32 la funcinde transferencia entre TT (s) y E(s).

33


Figura 1.32: Diagrama de Bloques completo

SolucinPara obtener la funcin de transferencia requerida, en donde la entrada es E(s), lo primero que se debehacer es anular todas las dems entradas y posteriormente, se pueden sumar las dos retroalimenta-ciones del segundo lazo y agruparse en una sola funcin de transferencia pues tienen la misma entraday la misma salida. Esta primera reduccin se puede observar en la Fig. 1.33.

Figura 1.33: Primera Reduccin

A partir de este nuevo diagrama se observa que es posible reducir los dos lazos presentes de forma talque queden convertidos en una sola funcin de transferencia cada uno, tal como se observa en la Fig.1.34.

Figura 1.34: Segunda Reduccin

Finalmente, la funcin de transferencia solicitada se obtiene multiplicando cada una de los bloques deldiagrama anterior, tal como se muestra en la Fig. 1.35, la cual por supuesto coincide con la previamenteobtenida (Ec. 1.111)

34

1.5 Diagramas de Flujo de Seal

Figura 1.35: Funcin de transferencia

Adicionalmente al uso de los diagramas de bloques para representar un sistema y obtener sus funcionesde transferencia, tambin se pueden utilizar los conocidos diagramas de flujo de seal, cuyo uso serdetallado en la prxima seccin.

1.5. Diagramas de Flujo de Seal

Un diagrama de flujo de seal es, al igual que un diagrama de bloques, una representacin grfica de lasecuaciones lineales que representan un sistema, cuyos elementos bsicos se enumeran a continuacin.

Nodos: se utilizan para expresar variables, bien sean variables de entrada, de salida o variablesde estado.

Ramas: son segmentos lineales que tienen ganancias y direcciones asociadas. La seal se trans-mite a travs de una rama solamente en la direccin de la flecha.

Nodo de entrada (fuente): es un nodo que se utiliza para representar una entrada y solamentetiene ramas de salida.

Nodo de salida (pozo): es un nodo que se utiliza para representar una salida y solamente tieneramas de entrada.

Trayectoria: es una sucesin continua de ramas que se dirigen en la misma direccin. Trayectoria directa o camino: es una trayectoria que empieza en un nodo de entrada y termina

en un nodo de salida, a lo largo de la cual ningn nodo se atraviesa ms de una vez. Lazo: es una trayectoria que se origina y termina en el mismo nodo y en donde ningn otro nodo

se atraviesa ms de una vez. Ganancia de la trayectoria: es el producto de las ganancias de las ramas de una trayectoria. Lazos disjuntos: son lazos que no comparten ningn nodo.

El diagrama de flujo se desarrolla a partir de las ecuaciones de la misma forma que se hace para losdiagramas de bloques, pero a diferencia de stos, la obtencin de una funcin de transferencia enparticular se realiza utilizando la Frmula de Ganancia de Mason, la cual se muestra en la Ec. 1.118.

G(s) =Salida(s)

Entrada(s)=

N

K=1

MK4K4

(1.118)

en donde,Entrada(s) = Variable del nodo de entradaSalida(s) = Variable del nodo de salidaG(s) = Ganancia entre la salida y la entrada (funcin de transferencia)

35


N = Nmero total de trayectorias directas o caminos entre la salida y la entradaMK = Ganancia de la trayectoria directa k-sima entre la entrada y la salida4 = 1 - ( ganancias de todos los lazos) + ( productos de las ganancias de todas las combinacionesde dos lazos disjuntos) - ( productos de las ganancias de todas las combinaciones de tres lazosdisjuntos) +...4K =4 pero eliminando todos los lazos que compartan algn nodo con la k-sima trayectoria directa.Ejercicio 2.13Para un proceso cuyo diagrama de flujo de seal es el que se muestra en la Fig. 1.36, encuentre lafuncin de transferencia entre C(s) y R(s).

Figura 1.36: Diagrama de Flujo de Seal

SolucinA partir del diagrama se pueden identificar sus lazos del diagrama para calcular el determinante generaly posteriormente encontrar las trayectorias directas entre C(s) y R(s) y sus determinantes particulares,de forma tal que se pbtenga la funcin de transferencia requrida aplicando la frmula de Mason.

L1 = G1(s)G2(s)G3(s)(1) L2 = G1(s)G2(s)(H1(s)) L3 = G2(s)G3(s)(H2(s))L4 = G4(s)(H2(s)) L5 = G1(s)G4(s)(1)

4= 1 (L1 +L2 +L3 +L4 +L5)

M1 = G1(s)G2(s)G3(s) M2 = G1(s)G4(s)41 = 1 42 = 1

C(s)R(s)

=M141 +M242

4

En la siguiente seccin se mostrarn algunos ejercicios resueltos con la intencin de profundizar losconocimientos adquiridos.

36

1.6 Ejercicios Resueltos

1.6. Ejercicios Resueltos

1.6.1. Ejercicio Resuelto

En la Fig. 1.37 se muestra un proceso de distribucin de agua para el cual se desea desarrollar sumodelo matemtico y plantear alternativas de control. Para la realizacin del mismo se deben tomaren cuenta las siguientes consideraciones.

Figura 1.37: Sistema de Distribucin de Agua

El fluido que circula tiene una densidad constante. Las vlvulas tienen una prdida proporcional al caudal que circula por ellas, que puede repre-

sentarse como Pi = Riqi, donde Ri es el parmetro caracterstico de la vlvula e i se refiere alcaudal circulante por la vlvula i.

La nica tubera cuya longitud debe considerarse como apreciable (L) es la que se encuentraluego de la bomba, cuya rea se considera conocida (AT ).

La cada de presin por friccin en la tubera antes sealada se rige por la siguiente relacin,P = R4q2.

La bomba suministra, en el punto en que se encuentra, una presin externa conocida como PB. No consider ningn efecto producido por la gravedad.

Se solicita que, tomando en cuenta las consideraciones antes mencionadas, usted realice lo siguiente,de forma tal que se pueda plantear la estrategia de control propuesta.

37


a) Modelo matemtico del proceso en ecuaciones diferenciales.b) Linealizacin del modelo, en caso de ser necesario.c) Dibuje sobre el diagrama del proceso, mostrado en la Fig. 1.37, un esquema de control de retroal-imentacin simple para controlar la altura del primer tanque, manipulando la presin suministradapor la bomba. Aada en dicho esquema los instrumentos necesarios para implantarlo e identifique lavariable controlada, la manipulada, la medida y las posibles perturbaciones.d) Finalmente, si se considerara la densidad como variable, indique si el modelo realizado presentaraalguna modificacin. Razone su respuesta.Solucina) Para la realizacin del modelo matemtico del proceso en ecuaciones diferenciales se destacan acontinuacin los elementos del mismo.

Fuentes Caudal (qA) Caudal (qB) Presin bomba (PB)Almacenadores Tanque 1 (P1) Tanque 2 (P2) Tanque 3 (P3) Tubera (q)Resistencias 3 Vlvulas Friccin tubera

Como se puede observar se tienen cuatro almacenadores cuyas variables de estado son independientesentre s por lo que se tendrn cuatro ecuaciones diferenciales para representar el comportamientodinmico del proceso.Primer tanque (

A1g

)dP1dt

= qA +qP1R1

(1.119)

Segundo tanque (A2g

)dP2dt

=P1R1 (P2P3)

R3 P2

R2(1.120)

Tercer tanque (A3g

)dP3dt

= qB +(P2P3)

R3q (1.121)

Tubera (LAT

)dqdt

= P3 +PBR4q2 (1.122)

El conjunto de ecuaciones obtenidas contiene trminos no lineales, por lo que se dice que el modelodesarrollado es no lineal.b) Lo primero que se hace para linealizar las ecuaciones es obtener el punto de equilibrio haciendocero las variaciones de las variables de estado, de forma tal que se tienen un conjunto de cuatroecuaciones en las cuales las incgnitas sern las cuatro variables de estado en el punto de operacino equilibrio.

0 = qA + qP1R1

(1.123)

38


0 =P1R1 (P2 P3)

R3 P2

R2(1.124)

0 = qB +(P2 P3)

R3q (1.125)

0 = P3 + PBR4q2 (1.126)

Conocido el equilibrio se muestran a continuacin las ecuaciones linealizadas en las cuales las vari-ables son variables de perturbacin.(

A1g

)dP1dt

= qA +q

P1R1

(1.127)

(A2g

)dP2dt

=P1R1(P2 P3

)R3

P2R2

(1.128)

(A3g

)dP3

dt= qB +

(P2 P3

)R3

q (1.129)

(LAT

)dq

dt= P3 +P

B (2R4q)q (1.130)

c) El esquema de control de retroalimentacin simple se muestra en la Fig. 1.38, en el cual la variablecontrolada y la medida es la altura del primer tanque, la manipulada es la presin suministrada porla bomba y las perturbaciones son los caudales de entrada qA y qB.

d) Si la densidad fuese variable el nmero de ecuaciones seguira siendo el mismo pero su no lin-ealidad sera mayor pues en las derivadas no se podra extraer la densidad de las mismas y en lalinealizacin debera considerarse.


En la Fig. 1.39 se muestra el esquema de un intercambiador de calor a travs del cual circula un fluidocuya temperatura T se debe controlar manipulando el fluido que circula por la camisa qC.

Para poder realizar un anlisis completo del esquema de control es necesario completar los siguientespasos:a) Desarrollar el modelo del proceso en funcin de los parmetros fsicos del mismo, para lo cualdebe tomar en cuenta las siguientes consideraciones:

39


Figura 1.38: Esquema de Control (Distribucin de Agua)

Figura 1.39: Intercambiador de Calor

Temperaturas uniformes, tanto en el interior del intercambiador como en la camisa. La masa encerrada en el intercambiador es conocida como m y dentro de la camisa como mc. La densidad es igual para ambos fluidos y tambin su calor especfico, y CP. As mismo, el

valor de ambos se considera igual a uno. La transferencia de calor ocurre por conveccin y se supone que sigue la relacin que se mues-

tra en la Ec. 1.131, donde ha es conocido.

Qconv = ha(4T ) (1.131)

Los valores iniciales para cada una de las entradas se suponen conocidos, es decir, q, T e, qc yTCe.

No hay trasferencia de calor hacia el medio.

b) A partir del modelo del proceso se debe obtener la funcin de transferencia entre la variablecontrolada y la manipulada.Solucin

40


a) El modelo estar conformado por las dos ecuaciones que representan los balances de energa enel intercambiador, en las cuales las variables de estado correspondern a las temperaturas T y Tc. Acontinuacin se destacan los elementos del sistema y las ecuaciones que lo representan.

Fuentes Caudal (q) Caudal (qc) Temperatura (Te) Temperatura (Tce)Almacenadores Capacitor (T ) Capacitor (Tc)Resistencias Conveccin

Como se puede observar se tienen dos almacenadores cuyas variables de estado son independi-entes entre s por lo que se tendrn dos ecuaciones diferenciales para representar el comportamientodinmico del proceso.

mCpdTdt

= qCp(TeT )ha(T Tc) (1.132)

mcCpdTcdt

= qcCp(TceTc)+ha(T Tc) (1.133)

b) Como estas ecuaciones son no lineales se deben linealizar para poder obtener la funcin de trans-ferencia requerida. Para lo cual lo primero que debe obtenerse es el punto de operacin o de equilibriode las variables de estado.

0 = qCp(Te T )ha(T TC) (1.134)

0 = qcCp(Tce Tc)+ha(T Tc) (1.135)

A partir de estas ecuaciones se pueden obtener los valores para T y Tc en funcin de los parmetrosdel proceso y de los valores conocidos de las entradas. Determinado el punto de operacin, se procedea linealizar las ecuaciones tal como se muestra.

mCpdTdt

= qCp(T e T )+Cp

(T eT

)qha(T T c ) (1.136)

mcCpdT cdt

= qcCp(T ceT

c)+Cp

(T ceT c

)qc +ha(T

T c ) (1.137)

Las Ecs. 1.136 y 1.137 representan el modelo lineal del proceso, el cual solamente es vlido parapequeas variaciones alrededor del equilibrio pues todas las variables involucradas son variables deperturbacin. A partir de dichas ecuaciones se toma la transformada de laplace a las mismas y sereagrupan sus trminos tal como sigue.

(mCps+qCp+ha)T (s) = qCpTe(s)+Cp(T eT

)q(s)+haTc(s) (1.138)

(mcCps+qcCp+ha)Tc(s) = qcCpTce(s)+Cp(T ceT c

)qc(s)+haT (s) (1.139)

Por simple sustitucin, es posible obtener la relacin entre T (s) y qc(s), es decir la funcin de trans-ferencia entre la variable controlada y la manipulada, para lo cual se hace necesario que todas lasdems entradas se consideren nulas.

41


T (s)qc(s)

=ha(T ceT c

)2 +[mc (q+ha)+m(qc +ha)]s+(qcq+qcha+qha)

(1.140)


En la Fig. 1.40 se muestra un esquema simplificado de transporte de carga, para el cual es necesariocontrolar la velocidad de desplazamiento de la carga (vc), manipulando el voltaje aplicado al motor(e). Dicho motor impone una velocidad angular (m) al eje elstico que tiene conectado, el cual seencuentra rgidamente unido a una polea sobre la que gira la banda que transporta la carga.

Figura 1.40: Transporte de Carga

Se desea obtener el modelo del proceso y su diagrama de bloques para lo cual es necesario tomar encuenta las siguientes consideraciones:

El voltaje de entrada al motor es amplificado, de forma tal que el voltaje que recibe el circuitoes igual a em = Kae.

Dicho circuito muestra en forma simplificada las caractersticas del motor elctrico, en el cualLa representa la inductancia, Ra la resistencia elctrica y Jm la inercia rotacional de las partesdel motor que giran a una velocidad m.

Las relaciones de transformacin en el motor son las siguientes, m = K1ia y ea = K2m, dondeel m proporciona el movimiento a la inercia del motor y ea es la cada de potencial en laarmadura.

En el motor, la friccin produce un torque que se opone al movimiento de la inercia igual a f m = R f m2m.

42


El eje, que tiene una constante de elasticidad igual a ke, se une en su otro extremo a la polea. La polea tiene un radio igual a r y una inercia igual a Jp, la cual se mueve gracias al torque

trasmitido por el eje, e. Tambin se debe considerar una friccin en el apoyo de la polea queproduce un torque opositor igual a f p = R f p2p.

Las relaciones de transformacin en la polea son las siguientes, c = rFc y vc = mr, donde Fces la fuerza de oposicin de la carga sobre la polea.

La carga tiene una masa igual a mc y no hay desplazamiento relativo entre ella y la cintatransportadora.

Efecto de la gravedad despreciable pues el movimiento es en el plano horizontal.

SolucinSe proceder a hacer una lista con todos los elementos del sistema y a partir de all la obtencin delmodelo podr realizarse en forma sencilla.

Fuentes Voltaje entrada (e)Almacenadores Ind. (ia) In. motor (m) Cap. eje (e) In. polea (p) In. carga (vc)Resistencias Resistencia Elect. Friccin motor Friccin poleaTransformadores Motor Polea

Se puede observar que existen cinco elementos almacenadores de energa, pero las dos ltimas vari-ables de estado, es decir p y vc, son dependientes entre s. A continuacin se plantearn las cincoecuaciones diferenciales, donde las dos ltimas colapsarn en una sola.

Ladiadt

= KaeRaia ea Ladiadt

= KaeRaiaK2m (1.141)

Jmdmdt

= m eR f m2m Jmdmdt

= K1ia eR f m2m (1.142)

(1ke

)dedt

= mp (1.143)

Jpdpdt

= e rFcR f p2p (1.144)

mcdvcdt

= Fc (1.145)

En las Ecs. 1.144 y 1.145 aparece la variable Fc que no es ni variable de estado ni entrada, sino quees la variable intermedia que conecta a dichas ecuaciones. Es por ello que, escogiendo a vc como lavariable independiente, se utilizar la Ec. 1.144 para sustituir el valor de Fc en la Ec. 1.145 y la Ec.1.143 se debe modificar pues p debe ser sustituida en funcin de vc.

mcdvcdt

=(

1r

)[eR f p

(vcr

)2 Jp

d(vc

r

)dt

](1.146)

[mc +

(Jpr2

)]dvcdt

=(

1r

)[eR f p

(vcr

)2](1.147)

43


(1ke

)dedt

= m(vc

r

)(1.148)

Resumiendo, el modelo requerido es no lineal y est representado por las Ecs. 1.141, 1.142, 1.148 y1.147. Las ecuaciones ya linealizadas son las que se muestran a continuacin, en donde las variablesen equilibrio se deben obtener de igual forma que se ha hecho en ejercicios anteriores.

Ladiadt

= KaeRaiaK2m (1.149)

Jmdmdt

= K1ia e (2R f mm

)m (1.150)

(1ke

)dedt

= m(

vcr

)(1.151)

[mc +

(Jpr2

)]dvcdt

=(

1r

)[e

(2R f pvc

r

)vc

](1.152)

Tomando la transformada de laplace se puede obtener el diagrama de bloques de dichas ecuaciones,el cual se muestra en la Fig. 1.41.

LasIa(s) = KaE(s)RaIa(s)K2m(s) (1.153)

Jmsm(s) = K1Ia(s) e(s)(2R f mm

)m(s) (1.154)

(1ke

)se(s) = m(s)

(Vc(s)

r

)(1.155)

[mc +

(Jpr2

)]sVc(s) =

(1r

)[e(s)

(2R f pvc

r

)Vc(s)

](1.156)

Para la realizacin del diagrama se plantea la siguiente simplificacin de sus parmetros,

A = 2R f mm B = mc +(

Jpr2

)C = 2R f pvcr


Partiendo del modelo desarrollado en la parte b) del ejercicio 2.8 se desea plantear un esquema decontrol de retroalimentacin simple, en donde la variable controlada sea la temperatura del tanque(TT ) y la manipulada el voltaje (e). Para ello se requiere que usted realice lo siguiente:a) Funcin de transferencia entre la variable controlada y la manipulada.

44


Figura 1.41: Transporte de Carga (Diagrama de Bloques)

b) Funcin o funciones de transferencia entre la variable controlada y la o las posibles perturbaciones.Para ello suponga conocidos los valores de las entradas y adems, considere que la temperaturaambiente puede variar.Solucina) Para poder obtener las funciones de transferencia requeridas es necesario linealizar las ecuacionesdel modelo, para lo cual se debe obtener el punto de operacin, p(i, H, TT ), tal como se realiz enejercicios anteriores.

Ldi

dt= eRi (1.157)

AdH

dt= qE (2CvH)H (1.158)

AH dT

Tdt = (2iR) i

+(qECp)T E +(CpTE)qE (

Cv

HCp)

T T (

CvCpTT2

H

)H . . .

. . .(hT aT +hSaS)(T T T o )ATT(

dHdt

)(1.159)

Los parmetros de la Ec. 1.159 sern sustituidos por variables auxiliares tal como se muestra en laEc. 1.160, con el objeto de simplificarla. As mismo, se toma la transformada de laplace de las tresecuaciones, quedando las mismas como se muestra en las Ecs. 1.161, 1.162 y 1.163.

AH dT

Tdt = i

+T E + qE T T H (T T T o )(

dHdt

)(1.160)

en donde,

= 2iR = qECp = CpTE = Cv

HCp = CvCpTT

2

H = hT aT +hSaS = ATT

LsI(s) = E(s)RI(s) (1.161)

45


AsH(s) = qE(s) (2CvH)H(s) (1.162)

AHsTT (s) = I(s)+TE(s)+ qE(s)TT (s)H(s) (TT (s)To(s)) . . .. . .sH(s) (1.163)

Para obtener las funciones de transferencia solicitadas se puede utilizar el diagrama de flujo de sealde las ecuaciones del proceso que se muestra en la Fig. 1.42 y aplicar la frmula de Mason. Para locual se deben reconocer las trayectorias directas y los lazos del diagrama. En principio, se obtendrla funcin de transferencia entre la variable controlada y la manipulada, posteriormente se obtendrnlas otras funciones de transferencia.

Figura 1.42: Sistema Termoelctrico (Diagrama de Flujo de Seal )

Trayectorias directas entre E(s) y TT (s)

M1 =(

1Ls

)(

1AHs

)

Lazos

L1 =( 1

Ls

)(R) L2 =

(1

AHs

)( ) L3 =

(1

AHs

)() L4 =

( 1As

)( 12CV H

)

46


Conocidos los lazos del diagrama se procede a calcular el 4 general, el particular a la trayectoriadirecta reconocida y la funcin de trasferencia solicitada.

4 = 1 (L1 +L2 +L3 +L4)+(L1L4 +L1L2 +L1L3 +L2L4 +L3L4) (L1L2L4 +L1L3L4)

41 = 1L4

GE(s) =TT (s)E(s)

=M1414

b) Una vez conocidos los lazos y el determinante general es muy sencillo calcular las otras funcionesde transferencia requeridas, para lo cual solamente es necesario determinar las trayectorias directasde cada caso y su K particular, tal como se muestra a continuacin.Funcin de transferencia entre qE(s) y TT (s)

M1 =( 1

As

)(

1AHs

)M2 =

(1

AHs

)M3 =

( 1As

)(s)

(1

AHs

)41 = 1L1 41 = 1L1 41 = 1L1

GqE (s) =TT (s)qE(s)

=M141 +M242 +M343

4

Funcin de transferencia entre TE(s) y TT (s)

M1 = (

1AHs

)41 = 1L1

GTE (s) =TT (s)TE(s)

=M1414

Funcin de transferencia entre To(s) y TT (s)

M1 = (

1AHs

)41 = 1L1

GTo(s) =TT (s)To(s)

=M1414

47


Figura 1.43: Primera Reduccin


A partir del diagrama de bloques que se mostr en la Fig. 1.41 se desea obtener la funcin de trans-ferencia entre la variable manipulada E(s) y la controlada V (s), para lo cual se requiere la reduccindel diagrama.

Solucin

Figura 1.44: Segunda Reduccin

Figura 1.45: Tercera Reduccin

48


Figura 1.46: Cuarta Reduccin

Figura 1.47: Reduccin Final


Utilice las ecuaciones 1.127, 1.128, 1.129 y 1.130 del modelo desarrollado en el ejercicio resuelto1.6.1 y obtenga la funcin de transferencia entre la variable manipulada y la controlada utilizandopara ello la Frmula de Ganancia de Mason.

SolucinPara poder obtener cualquier funcin de transferencia se debe partir de las ecuaciones lineales delproceso y aplicarles la transformada de laplace, las cuales muestran a continuacin. Las mismas seutilizarn para el desarrollo del diagrama de flujo de seal .

(A1g

)sP1(s) = qA(s)+q(s)

(1

R1

)P1(s) (1.164)

(A2g

)sP2(s) =

(1

R1

)P1(s)

(1

R3

)(P2(s)P3(s))

(1

R2

)P2(s) (1.165)

(A3g

)sP3(s) = qB(s)+

(1

R3

)(P2(s)P3(s))q(s) (1.166)

(LAT

)sq(s) = P3(s)+PB(s) (2R4q)q(s) (1.167)

49


Figura 1.48: Distribucin de Agua (Diagrama de Flujo de Seal )

Para aplicar la frmula de mason se deben reconocer las trayectorias directas y los lazos del diagra-ma, los cuales se muestran a continuacin.Trayectorias directas entre PB(s) y H1(s)

M1 =(

ATLs

)(gA1s

)(1

g

)Lazos

L1 =(

ATLs

)(2R4q) L2 =

(ATLs

)(gA3s

)L3 =

(ATLs

)(gA1s

)(1

R1

)(gA2s

)(1

R3

)(gA3s

)L4 =

(gA3s

)( 1R3

)L5 =

(gA3s

)(1

R3

)2( gA2s

)(1

R3

)L6 =

(gA2s

)( 1R2

)L7 =

(gA2s

)( 1R3

)L8 =

(gA1s

)( 1R1

)Conocidos los lazos del diagrama se procede a calcular el 4 general, el particular a la trayectoriadirecta reconocida y la funcin de trasferencia solicitada.

4 = 1 (L1 +L2 +L3 +L4 +L5 +L6 +L7 +L8)+ +[L1 (L4 +L5 +L6 +L7 +L8)+L2 (L6 +L7 +L8)+L4 (L6 +L7 +L8)+L5L8 +L6L8 +L7L8] [L1L4 (L6 +L7 +L8)+L4L8 (L7 +L8)]+ +L1L4L8 (L6 +L7)

41 = 1 (L4 +L5 +L6 +L7 +L8)+ +L4 (L6 +L7 +L8)+L5L8 +L6L8 +L7L8 L8 (L7 +L8)

G(s) =M1414

50



El Diagrama de Bloques que se muestra en la Fig. 1.49 representa un proceso de laminacin dealuminio, para el cual se requiere conocer la relacin de transferencia entre la variable C(s)y lasentradas R(s) y P(s).

Figura 1.49: Diagrama de Bloques

SolucinLa obtencin de la relacin de transferencia requerida puede realizarse por reduccin del diagra-ma mostrado o utilizando la frmula de ganancia de Mason. A continuacin se mostrarn ambassoluciones con la intencin ejemplificar ambos mtodos.

a) Por reduccin del Diagrama de Bloques

Figura 1.50: Diagrama de Bloques (Paso1)

51


Figura 1.51: Diagrama de Bloques (Paso 2)




52





Una vez conocidas las funciones de trasferencia entre la salida y las dos entradas, la relacin detransferencia solicitada es la que se muestra en la Ec. 1.168.

C(s) = G11(s)R(s)+G12(s)P(s) (1.168)

b) Utilizando la Frmula de MasonLo primero que debe hacerse es desarrollar el diagrama de Mason a partir del diagrama de bloques.Cabe destacar que ambos diagramas son completamente semejantes.

Figura 1.58: Diagrama de Flujo de Seal

53


Lazos del diagrama y determinante general del diagramaL1 =G1 L2 = G1G2H1 L3 = G1G2G3G4G5H4 L4 = G1G2G3 (H3)G5H4

L5 = G1(1)G4G5H4 L6 = G1(1)(H3)G5H4 L7 = G2G3 (H2)

4= 1 (L1 +L2 +L34 +L5 +L6 +L7)+(L1L7 +L7L5 +L7L6)

Trayectorias directas entre C(s) y R(s), determinantes particulares y relacin entre C(s) y R(s)

P1 = G1G2G3G4G5 P2 = G1G2G3 (H3)G5 P3 = G1 (1)G4G5 P4 = G1 (1)(H3)G541 = 1 42 = 1 43 = 1L7 44 = 1L7

GR(s) =P141 +P242 +P343 +P444

4

Trayectorias directas entre C(s) y P(s), determinantes particulares y relacin entre C(s) y P(s)

P1 = G1G2G3G4G5 P2 = G1G2G3 (H3)G5 P3 = G1 (1)G4G5P4 = G1 (1)(H3)G5 P5 = G4G5 P6 = (H3)G5

41 = 1 42 = 1 43 = 1L744 = 1L7 45 = 1 (L1 +L2 +L7)+(L1L7) 46 = 1 (L1 +L2 +L7)+(L1L7)

GP(s) =P141 +P242 +P343 +P444 +P545 +P646

4

De all que la relacin de transferencia entre C(s) y las dos entradas es la siguiente.

C(s) = GR(s)R(s)+GP(s)P(s)


Una aleta de enfriamiento puede ser modelada utilizando las Ecs. 1.76, 1.77 y 1.78, las cuales sedesarrollaron en ejercicios previos. Utilizando dichas ecuaciones y sin realizar ninguna simplificacinde las mismas, se requiere que usted realice el diagrama de bloques del sistema.SolucinLas ecuaciones del modelo son lineales, por lo que no es necesario linealizar, pues al hacerlo lasecuaciones quedaran iguales pero en variables de perturbacin, es por ello que se toma directamentela transformada de laplace.

m1CpsT1(s) = QE kA4x

(T1(s)T2(s))h1a1 (T1(s)To(s)) (1.169)

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m2CpT2(s) =kA4x

(T1(s)T2(s))kA4x

(T2(s)T3(s))h2a2 (T2(s)To(s)) (1.170)

m3CpT3(s) =kA4x

(T2(s)T3(s))h3a3 (T3(s)To(s)) (1.171)

Figura 1.59: Diagrama de Bloques Aleta Enfriamiento


Partiendo del modelo desarrollado en el ejercicio 1.6.2 se desea que Ud. identifique las posiblesperturbaciones y obtenga las funciones de transferencia entre stas y la variable manipulada. Poste-riormente realice el diagrama de bloques del esquema de control planteado, en donde figuren todaslas perturbaciones con sus respectivas funciones de transferencia.SolucinLas perturbaciones presentes sern la temperatura, el caudal de entrada y la temperatura de entradade la camisa (Te, q y Tce). Las funciones de transferencia se pueden obtener por simple sustitucin apartir de las Ecs. 1.138 y 1.139 que representan el modelo del proceso.Funcin de Transferencia entre T (s) y Te(s)

T (s)Te(s)

=q(mcs+qc +ha)

(mmc)s2 +[mc (q+ha)+m(qc +ha)]s+(qcq+qcha+qha)(1.172)

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Funcin de Transferencia entre T (s) y q(s)

T (s)q(s)

=

(T eT

)(mcs+qc +ha)


Funcin de Transferencia entre T (s) y Tce

T (s)Tce(s)

=qcha


Conocidas las funciones de transferencia entre, la varible controlada y la manipulada, y entre lavariable manipulada y las perturbaciones, el diagrama de bloques del esquema de control quedarcomo se muestra el la Fig. 1.60.

Figura 1.60: Esquema de Control (Intercambiador de Calor)

1.7. Ejercicios Propuestos

1.7.1. Ejercicio propuesto

En la Fig. 1.61 se muestra el esquema de un tanque que contiene un fluido de capacidad calrica Cp,masa m y densidad . En el mismo se encuentra sumergido un serpentn por el cual circula vapor,gracias al cual es posible controlar la temperatura en el tanque manipulando el flujo de vapor enel serpentn. Con la intencin de implementar un esquema de control de retroalimentacin simplese requiere desarrollar un modelo del proceso, para lo cual deben tomar en cuenta las siguientesconsideraciones.

La retencin de lquido en el tanque se supone constante.

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1.7 Ejercicios Propuestos

Figura 1.61: Esquema del proceso

El flujo de calor entre el serpentn y el fludo (Q) es por conveccin y puede ser representadautilizando la relacin que se muestra en la Ec. 1.175, en la cual h y A deben conciderarse comoparmetros conocidos y4T es la diferencia de temperaturas entre el vapor y el fluido.

Q = hA(4T ) (1.175)

La temperatu

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