Aplicaciones con Mathematica

1) Resolver una ecuación de primer grado:

Solve[2*x+46,x]

{{x1}}

2) Resolver una ecuación de segundo grado:

Solve[x^2+5*x0,x]

{{x-5},{x0}}

3) Resolver una ecuación de tercer grado:

Solve[x^3-7x^2+6*x+40,x]

{{x7/3+31/(3 (100+3 2199 )1/3)+1/3 (100+3 2199 )1/3},{x7/3-(31 (1+ 3

))/(6 (100+3 2199 )1/3)-1/6 (1- 3 ) (100+3 2199 )1/3},{x7/3-(31 (1- 3

))/(6 (100+3 2199 )1/3)-1/6 (1+ 3 ) (100+3 2199 )1/3}}

Observación: nos diò como resultado los valores exactos, que no nos resultan útiles desde el punto de vista pràctico. Por esa razòn empleamos otra instrucción:

NSolve[x^3-7x^2+6*x+40,x]

{{x-0.433665},{x1.57414},{x5.85952}}

4) Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas:

Solve[{2x+3y4,x+y3},{x,y}]

{{x5,y-2}}

5) Resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incògnitas:5.1) Sistema compatible determinado:

Solve[{x+2y-z4,2x+3y+z2,x+y+z-1},{x,y,z}]{{x-3,y3,z-1}}

5.2) Sistema compatible indeterminado:

Solve[{x+2y-z4,2x+3y+2z2,3x+5y+z6},{x,y,z}]

Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables. X

{{x-8-7 z,y6+4 z}}

(Consejo: ignoren el cartel que aparece antes de la solución; el programa es “temperamental”, pero, en definitiva, nos da la respuesta)

5.3) Sistema incompatible:

Solve[{x+2y-z4,2x+3y+2z2,3x+5y+z7},{x,x,z}]

{}

Observación: la respuesta es “vacío”

6) Sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas:

Solve[{x+2y-z4,2x+3y+2z2},{x,y,z}]

Solve::svars: Equations may not give solutions for all "solve" variables. X

{{x-8-7 z,y6+4 z}}

7) Dibujar una curva:

Plot[x^2+5x,{x,-7,7}]

6 4 2 2 4 6

20

40

60

80

Otra forma de graficar se plantea definiendo previamente a la función, para recién después dar la instrucción Plot:

g[x_]:=x^3-7x^2+6x+4Plot[g[x],{x,-10,14}]

1 0 5 5 1 0

1500

1000

5 00

5 00

1000

1500

Si queremos que dibuje ambos gráficos en un mismo par de ejes cartesianos:

Plot[{x^2+5x,g[x]},{x,-7,7}]

6 4 2 2 4 6

1 50

1 00

5 0

5 0

Otra forma de presentar varias funciones en un mismo gráfico es la siguiente:

Plot[{x^2+5x,g[x]},{x,-7,7}]

6 4 2 2 4 6

1 50

1 00

5 0

5 0

bb=Plot[Sin[x]+3,{x,-Pi,Pi}]

3 2 1 1 2 3

2 .5

3 .0

3 .5

4 .0

aa=Plot[Cos[x],{x,-Pi,Pi}]

3 2 1 1 2 3

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

Para graficar en tres dimensiones:

Graphics ' ParametricPlot 3D 'ParametricPlot 3D [{cos [u ]cos[v ] , sin [u]cos [v ] , sin [v ]},{u ,0,2 Pi }, {v ,−Pi /2 , Pi/2 }]

ParametricPlot 3D [{2cos[u]cos [v ] ,5sin [u ]cos[v ] , sin [v ]}, {u ,0,2Pi }, {v ,−Pi /2 ,Pi /2}]

ParametricPlot 3D [{cos [u ]cos[v ] ,4 sin [u]cos [v ] ,6sin [v ]}, {u ,0,2Pi }, {v ,−Pi/2 ,Pi /2 }]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,u sin [v ] ,u2},{v ,0.,2Pi },{u ,0.,4 .}]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,1∗u sin [v ] , u }, {v ,0.,2 Pi }, {u ,0.,4 . }]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,1∗u sin [v ] ,√[u∗u−1]}, {v ,0.,2 Pi }, {u ,0.,4 .}]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,1∗u sin [v ] ,−1∗√[u∗u−1]},{v ,0.,2Pi },{u ,0.,4 .}]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,u sin [v ] ,.3∗u∗u∗cos[v ]∗cos [v ]−.3∗u∗u∗sin [v ]∗sin [v ]},{v ,0.,2Pi },{u ,−2.,2 . }]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,u sin [v ] ,.3∗u∗u∗cos[v ]∗cos [v ]−.5∗u∗u∗sin [v ]∗sin [v ]},{v ,0.,2Pi },{u ,−2.,2 . }]

ParametricPlot 3D [{ucos [v ] ,u sin [v ] ,.3∗u∗u∗cos[v ]∗cos [v ]−u∗u∗sin [v ]∗sin [v ]}, {v ,0.,2Pi }, {u ,−2.,2 . }]

Seguidamente representamos un paraboloide con una instrucción mucho más elemental (Plot3D). Obsérvese que es mucho más sencillo el planteo (se emplean directamente cartesianas), pero las características de la imagen obtenidas no son de la misma calidad.

Plot 3D [ x∗x+ y∗y , {x ,−9,9 },{ y ,−9,9 }]

Plot 3D [−2∗x−5∗y , {x ,−4,4 }, {y ,−3,3}]

En cambio, como vemos sobre estas líneas, el empleo de esa instrucción para la representación gráfica de planos es muy conveniente.

Plot3D [ x∗x− y∗y ,{x ,−5,5}, {y ,−5,5 }]

-5 0 5

-50

5

-20

-10

0

10

20

-50

5

-50

5

-50

5

-10

0

10

-50

5

-50

5

-5

05

-10

0

10

-5

05

ParametricPlot3D2.0Cosv, 2.0Sinv, u,v, 0., 2Pi,u, 0., 4.

-2-1

01

2

-2

-1

01

2

0

1

2

3

4

-2-1

01

2

-2

-1

01

2

ParametricPlot3Du, uu, v,v, 0., 4,u, 4, 4.

-4-2

02

40

5

10

15

01234

-4-2

02

4ParametricPlot3D2.0Cosv, 4.0Sinv, u,v, 0., 2Pi,u, 0., 4.

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

4

0

1

2

3

4

-2-1

01

2

-4

-2

0

2

4

ParametricPlot3Dv, 4.0Sinv, u,v, 0., 2Pi,u, 0., 4.

-4-2

0

2

4

-2

0

20

1

2

3

4

-4-2

0

2

4

0

2

4

6 -4

-2

0

2

4

0

1

2

3

4

0

2

4

6

-4-2

0

2

4

-2

0

20

1

2

3

4

-4-2

0

2

4Vectores y Matrices

Definamos dos vectores:v1={1,2,5}v2={-2,3,-3}

El producto escalar entre ambos se calcula escribiendo:v1.v 2

Y la solución será:−11

También pudimos calcularlo como:˙[v 1, v2]

El producto vectorial entre ambos vectores se calcula en cambio escribiendo:

Cross [v 1 , v2]

Y el resultado aparece en pantalla como:

{−21 ,−7,7 }

Seguidamente, definamos dos matrices:

a={{1,2,3},{-1,0,4},{-1,2,0}}b={{-2,0,4},{1,1,2},{0,9,1}}

Vamos a escribirlas con el formato tradicional:

MatrixForm[a]MatrixForm[b]

Obtenemos como resultado:

1 2 3 1 0 4 1 2 0

2 0 41 1 20 9 1

Obsérvese que cada uno de los “vectores” inicialmente expresados entre llaves representa a una de las filas de la matriz.

Si deseamos multiplicar ambas matrices, y que el resultado quede expresado en la forma tradicional, ordenamos:

MatrixForm[a .b]

El resultado será:

0 29 112 36 04 2 0

Podemos observar que el producto de matrices no es conmutativo definiendo un nuevo producto:

d=b .a

El resultado obtenido es:

{{−6,4 ,−6 }, {−2,6,7 }, {−10,2,36 }}

Y si deseamos que nos lo de expresado en la forma tradicional:

MatrixForm [d ]

Obteniéndose entonces:

6 4 6 2 6 7 10 2 36

Podemos igualmente definir producto entre vectores y matrices

MatrixForm [a . v 1]

Se obtiene:

20193

Podemos obtener la inversa de una matriz dada:

f=Inverse [a ]

{{ 411,− 3

11,− 4

11}, { 2

11,− 3

22, 722

},{ 111, 211,− 1

11}}

Y expresarla en la forma habitual:

MatrixForm[ f ]

411

311

411

211

322

722

111

211

111

También podemos calcular el determinante de una matriz:

Det [a]

−22

Y podemos trasponer a una matriz:

MatrixForm[Transpose [a]]

1 1 12 0 23 4 0

Si defino ahora otra matriz:

h={{2,1 }, {−3,4 }}

Y doy la orden:

MatrixForm[a . h]

Como no es posible efectuar dicho producto, leeremos en pantalla:

Dot::dotsh: Tensors \[NoBreak]{{1,2,3},{-1,0,4},{-1,2,0}}\[NoBreak] and \[NoBreak]{{2,1},{-3,4}}\[NoBreak] have incompatible shapes.

{{1 ,2,3 },{−1,0,4 }, {−1,2,0 }}. {{2,1 }, {−3,4 }}

Apéndice:

Resolución de un problema aplicando Método Matricial, con el Matlab

Balances de materia y energía(Primera Parte)

Problema:Para concentrar jugo de naranja se parte de un extracto que contiene 12,5% de sólidos. El jugo se pasa a los evaporadores que trabajan al vacío y parte se deriva, para luego diluir el jugo concentrado que sale del evaporador con 58 % de solidos hasta la concentración final del 42 % de sólidos. La finalidad es mejorar el sabor del jugo, ya que durante la evaporación pierde ciertos saborizantes volátiles.Calcular el peso de agua evaporada por cada 100 Kg/s de jugo diluido que entra al proceso. Calcular también la cantidad derivada de jugo (l3).

Puesto que se trata de un sistema compatible determinado, podemos resolver directamente aplicando el método matricial:

A=[0 0 0 1 1;0 0 0 0.42 0;1 1 0 0 0;0 1 1 -1 0;0 0.125 0.58 -0.42 0];B=[100;12.5;100;0;0];X=inv(A)*B;disp('masa a la entrada del evaporador:')disp(X(1))disp('masa derivada:')disp(X(2))disp('masa a la salida del evaporador:')disp(X(3))disp('cantidad total de jugo:')disp(X(4))disp('cantidad de agua evaporada:')disp(X(5))

Seguidamente, los resultados obtenidos:

masa a la entrada del evaporador: 89.5343

masa derivada: 10.4657

masa a la salida del evaporador: 19.2962

cantidad total de jugo: 29.7619

cantidad de agua evaporada: 70.2381