1

Risposta dinamica degli strumenti (PRONTEZZA)Risposta dinamica degli strumenti (PRONTEZZA)

Esprime la capacità di uno strumento a seguire e misurare Esprime la capacità di uno strumento a seguire e misurare una grandezza variabile nel tempo.una grandezza variabile nel tempo.

comportamento ideale comportamento ideale

kx( t ) y ( t )

2

esempio di comportamento realeesempio di comportamento reale

-1,5-1,5

-1-1

-0,5-0,5

00

0,50,5

11

1,51,5

11 22 33

tempotempo

x(t),y(t)/kx(t),y(t)/kx(t)x(t)y(t)/ky(t)/k

00

3

COMPORTAMENTO DINAMICO DEGLI COMPORTAMENTO DINAMICO DEGLI STRUMENTISTRUMENTI

• idealmenteidealmente: y(t) = k x(t): y(t) = k x(t)

• in realtàin realtà: lo strumento insegue le : lo strumento insegue le variazioni del misurando, riproducendole variazioni del misurando, riproducendole con un certo grado di approssimazione, con un certo grado di approssimazione, che dipende dalle sue caratteristiche che dipende dalle sue caratteristiche dinamichedinamiche

4

Si suppone lo strumento LINEARE, dunque è possibile Si suppone lo strumento LINEARE, dunque è possibile applicare il principio di applicare il principio di sovrapposizione degli effettisovrapposizione degli effetti..

In questa situazione non è necessaria la taratura per tutti In questa situazione non è necessaria la taratura per tutti i segnali possibili: ognuno può essere scomposto in i segnali possibili: ognuno può essere scomposto in somma o integrale di segnali semplici.somma o integrale di segnali semplici.

Data l’ipotesi di linearità, la risposta al segnale complesso Data l’ipotesi di linearità, la risposta al segnale complesso è la somma delle risposte ai segnali semplici in cui quello è la somma delle risposte ai segnali semplici in cui quello complesso è scomponibile.complesso è scomponibile.

5

s = segnales = segnale

r = rispostar = risposta

semplicis

ss

sssemplicesemplice

rr

semplicir

rrsemplicesemplice

6

Segnali semplici più comuni:Segnali semplici più comuni:• sinusoidesinusoide• gradinogradino• impulsoimpulso• ramparampa

tt tt

tt tt

7

Studio del Studio del comportamento comportamento dinamico degli dinamico degli strumenti: due strumenti: due possibilitàpossibilità

ANALITICAANALITICA: è nota l’equazione : è nota l’equazione dello strumento (si tratta comunque dello strumento (si tratta comunque di un modello, di una di un modello, di una semplificazione, non è una semplificazione, non è una descrizione completa dello descrizione completa dello strumento)strumento)

SPERIMENTALESPERIMENTALE: non è nota : non è nota l’equazione dello strumento o è l’equazione dello strumento o è troppo complessa; è comunque la via troppo complessa; è comunque la via più sicura per eseguire una più sicura per eseguire una TARATURA DINAMICATARATURA DINAMICA

8

Se lo strumento è lineare l’equazione che lo descrive è Se lo strumento è lineare l’equazione che lo descrive è un’equazione differenziale a coefficienti costanti:un’equazione differenziale a coefficienti costanti:

tfqbdt

dqb...

dt

qdb

dt

qdb

qadt

dqa...

dt

qda

dt

qda

i0i

11mi

1m

1mmi

m

m

00o

11no

1n

1nno

n

n

Ove:Ove:qqoo = output = output

qqii = input = input

t = tempot = tempoa,b = coefficienti costantia,b = coefficienti costanti

(1)(1)

Studio Studio analiticoanalitico: presuppone la creazione di un : presuppone la creazione di un modellomodello

9

Definendo per semplicitàDefinendo per semplicità si ha:si ha:dt

dD

La soluzione di questa equazione è stata studiata in modo La soluzione di questa equazione è stata studiata in modo sistematico con diversi metodi (ad es. la trasformata di sistematico con diversi metodi (ad es. la trasformata di Laplace).Laplace).Secondo l’approccio classico la soluzione è del tipo:Secondo l’approccio classico la soluzione è del tipo:qqoo=q=qogog+q+qopop

qqogog = integrale generale dell’omogenea associata = integrale generale dell’omogenea associata

qqopop = integrale particolare dell’equazione completa = integrale particolare dell’equazione completa

i01

1m1m

mm

0011n

1nn

n

qbDb...DbDb

qaDa...DaDa

(2)(2)

10

qqogog ha n costanti iniziali che si ricavano imponendo ha n costanti iniziali che si ricavano imponendo

altrettante condizioni iniziali. E’ la soluzione della:altrettante condizioni iniziali. E’ la soluzione della:

0aDa...DaDa 011n

1nn

n

Ove l’operatore D è trattato come un’incognita algebrica. Ove l’operatore D è trattato come un’incognita algebrica. Il metodo per trovare qIl metodo per trovare qogog è universale. è universale.

qqopop è l’integrale particolare. Il metodo per ricavarlo non è è l’integrale particolare. Il metodo per ricavarlo non è

universale, dipende da quniversale, dipende da qii. Si possono cercare dei valori di . Si possono cercare dei valori di

qqii tali per cui sia facile trovare q tali per cui sia facile trovare q0p0p. Assegnato q. Assegnato qii

l’espressione a destra dell’uguale in (1) è una f(t).l’espressione a destra dell’uguale in (1) è una f(t).

11

12

Si può derivare ripetutamente questa funzione. Se le Si può derivare ripetutamente questa funzione. Se le derivate non crescono in valore oltre un certo ordine si può derivate non crescono in valore oltre un certo ordine si può scrivere:scrivere:

tCftBftAfq '''op

Ove A, B, C si ricavano imponendo che la (1) sia Ove A, B, C si ricavano imponendo che la (1) sia un’identità (non contano le condizioni iniziali).un’identità (non contano le condizioni iniziali).

13

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TF)FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TF)

TFTFININ OUTOUT

La TF che lega qo a qi è definita trattando l’equazione (2) La TF che lega qo a qi è definita trattando l’equazione (2) come se fosse una relazione algebrica e facendo il rapporto come se fosse una relazione algebrica e facendo il rapporto

INPUT

OUTPUT

01

1n1n

nn

011m

1mm

m

i

o

bDa...DaDa

bDb...DbDbD

q

q

Sottolinea che è una relazione generale e non riguarda solo Sottolinea che è una relazione generale e non riguarda solo un dato istante un dato istante

14 1010

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TF)FUNZIONE DI TRASFERIMENTO (TF)

ININ OUTOUT

011n

1nn

n

011m

1mm

m

bDa...DaDa

bDb...DbDb

qqii qqoo

Questo è un discorso di validità generale.Questo è un discorso di validità generale.

Vale solo se l’impedenza di ingresso del blocco a valle è >> Vale solo se l’impedenza di ingresso del blocco a valle è >> dell’impedenza di uscita di ciò che sta a montedell’impedenza di uscita di ciò che sta a monte

15

La funzione di trasferimento può assumere espressioni La funzione di trasferimento può assumere espressioni diverse a seconda delle tecniche di analisi impiegate per diverse a seconda delle tecniche di analisi impiegate per ottenerla e valutarla.ottenerla e valutarla.Le due vie più percorse sono quelle dellaLe due vie più percorse sono quelle della

TRASFORMATA DI LAPLACE più utilizzata in ambito TRASFORMATA DI LAPLACE più utilizzata in ambito elettronicoelettronico

TRASFORMATA DI FOURIER più utilizzata in ambito TRASFORMATA DI FOURIER più utilizzata in ambito meccanico, che vede, sotto ipotesi abbastanza larghe, ogni meccanico, che vede, sotto ipotesi abbastanza larghe, ogni segnale come somma di sinusoidi. Se vale quanto già detto segnale come somma di sinusoidi. Se vale quanto già detto sulla linearità del sistema considerato, ci si può sulla linearità del sistema considerato, ci si può concentrare sulla risposta alla singola sinusoideconcentrare sulla risposta alla singola sinusoide

16

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALESINUSOIDALELa funzione di ingresso (input) è del tipo:La funzione di ingresso (input) è del tipo:qqii=A=Aii sin sintt

se si aspetta un tempo sufficiente (gli effetti del transitorio se si aspetta un tempo sufficiente (gli effetti del transitorio svaniscono), anche qsvaniscono), anche qoo è un’onda sinusoidale. è un’onda sinusoidale.

Cambia però l’Cambia però l’ampiezzaampiezza e ci può essere e ci può essere ritardoritardo. La . La risposta del sistema è proprio individuata da queste due risposta del sistema è proprio individuata da queste due quantità.quantità.Si può agire Si può agire a) cercando la soluzione particolare dell’equazione dello a) cercando la soluzione particolare dell’equazione dello strumento ponendo:strumento ponendo:

tsinAqtsinAq ooii

ff

17 1212

b) sfruttando la funzione di trasferimento in frequenza:b) sfruttando la funzione di trasferimento in frequenza:

01

1n1n

nn

011m

1mm

m

i

o

bia...iaia

bib...ibibi

q

q

Per ogni pulsazione Per ogni pulsazione è un numero complesso del è un numero complesso del tipo tale che:tipo tale che:

iq

q

i

o

M

i

o

A

AM Con ACon Aoo=ampiezza output=ampiezza output

AAii=ampiezza input=ampiezza input

è la fase tra i due segnaliè la fase tra i due segnali

18

funzione di trasferimento in frequenza (armonica):funzione di trasferimento in frequenza (armonica):

ReRe

ImIm

AcosAcos

AsinAsin

ReRe

ImIm

AAiieeiitt

tt

AAooee(i(it)+t)+

L’obiettivo ideale sarebbe, dato un certo ingresso L’obiettivo ideale sarebbe, dato un certo ingresso sinusoidale, avere un’uscita pure sinusoidale con un sinusoidale, avere un’uscita pure sinusoidale con un fattore di amplificazione costante al variare della fattore di amplificazione costante al variare della frequenza e con sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla frequenza e con sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla fase è possibile adottare regole meno restrittive)fase è possibile adottare regole meno restrittive)

qqii

qqoo

19

BANDA PASSANTEBANDA PASSANTE

si definisce banda passante si definisce banda passante di uno strumento di misuradi uno strumento di misura

il campo di frequenze (fil campo di frequenze (f11 , f , f22) entro cui ) entro cui

il segnale non risulta il segnale non risulta distortodistorto::

•ilil modulo della risposta in frequenza si mantiene modulo della risposta in frequenza si mantiene costante entro una specificata tolleranza;costante entro una specificata tolleranza;

•la fase é nulla entro una specificata tolleranza.la fase é nulla entro una specificata tolleranza.

20

Criterio di progetto: Criterio di progetto: la banda di interesse del fenomeno misurando la banda di interesse del fenomeno misurando deve essere interamente contenuta nelladeve essere interamente contenuta nellabanda passante dello strumento:banda passante dello strumento:

ff11 ffminmin ffmaxmax ff22

ff

ff

AAoo

AAii

CASO IDEALECASO IDEALE

21

OSSERVAZIONIOSSERVAZIONI

E’ emerso come uno strumento si possa dire pronto quando non E’ emerso come uno strumento si possa dire pronto quando non distorce il segnale di ingresso.distorce il segnale di ingresso.

Un segnale Un segnale non viene distorto non viene distorto quando tutte le armoniche in esso quando tutte le armoniche in esso presenti vengono moltiplicate per un fattore (presenti vengono moltiplicate per un fattore (modulo della funzione modulo della funzione di trasferimento) costante di trasferimento) costante e lo sfasamento delle armoniche in e lo sfasamento delle armoniche in uscita, rispetto a quelle del segnale di ingresso, è pari a:uscita, rispetto a quelle del segnale di ingresso, è pari a:

-- 0°0°

-- 180°180°

-- proporzionale all’ordine dell’armonicaproporzionale all’ordine dell’armonica

ossia:ossia:

AA to

i n

cos

n=0

n=

n=n 1

22

Mentre sono ovvie le considerazioni sul modulo e le prime due sulla Mentre sono ovvie le considerazioni sul modulo e le prime due sulla fase, la terza merita qualche spiegazione:fase, la terza merita qualche spiegazione:

nn=n =n 11 =cost =cost

Si ha che Si ha che 11/2/2=t=t11/T/T T T periodo della 1periodo della 1aa armonica armonica

Dunque Dunque nn=n =n 11 = n t = n t1122/T= n t/T= n t11costcost, con, con

11 = = sfasamento della prima armonica (fondamentale)sfasamento della prima armonica (fondamentale)

Allora, se qAllora, se qoo è composto da più armoniche è composto da più armoniche:: q A sin n t n t A sin n t to o n

no n

nn n 1 1

fase iniziale dell’armonica n = fondamentale= fondamentale

nn=n=n armonica di ordine n armonica di ordine n

23

1n n

T

t

211

T

nt

nTt

2nnn

1

1

1

n

n

n t

n

ntnt

2

T

1n tt

Si dimostra che sfasamento proporzionale all’ordine Si dimostra che sfasamento proporzionale all’ordine dell’armonica equivale ad un ritardo costante nel tempodell’armonica equivale ad un ritardo costante nel tempo

Periodo n volte più Periodo n volte più piccolopiccolo

T=periodo prima armonicaT=periodo prima armonica

24

In definitiva: sfasamento proporzionale all’ordine dell’armonica In definitiva: sfasamento proporzionale all’ordine dell’armonica significa traslare l’asse dei tempi di tsignifica traslare l’asse dei tempi di t11 secondi; non si ha distorsione secondi; non si ha distorsione

ma solo ritardo ma solo ritardo

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

[s]

t prima armonica

t seconda armonica== Fai vedere il segnale

somma

25

RISPOSTA AD UN SEGNALE PERIODICORISPOSTA AD UN SEGNALE PERIODICO

Funzione periodica: f(t+T)=f(t)Funzione periodica: f(t+T)=f(t) T=periodoT=periodo

Se sono rispettate le condizioni di Dirichlet, ossia se la Se sono rispettate le condizioni di Dirichlet, ossia se la funzione è ad un sol valore, è finita ed ha un numero finito funzione è ad un sol valore, è finita ed ha un numero finito di discontinuità e di massimi e minimi in un ciclo, può di discontinuità e di massimi e minimi in un ciclo, può essere rappresentata con la serie di Fourier:essere rappresentata con la serie di Fourier:

0kkiki tksinAtq =fondamentale=fondamentale

E’ una serie con infiniti termini, tutti occorrenti per una E’ una serie con infiniti termini, tutti occorrenti per una ricostruzione perfetta del segnale di partenza.ricostruzione perfetta del segnale di partenza.

Per fortuna in campo ingegneristico non è richiesta una Per fortuna in campo ingegneristico non è richiesta una riproduzione perfetta.riproduzione perfetta.

26

Spesso meno di 10 armoniche sono sufficienti. Di Spesso meno di 10 armoniche sono sufficienti. Di conseguenza è necessario ce lo strumento si mostri pronto conseguenza è necessario ce lo strumento si mostri pronto solo per queste armoniche.solo per queste armoniche.

A Q ii i

Q ii

Mq

qio

i

q

qio

i

A M A Q ii o o

Q io

27

Risposta ad un segnale periodicoRisposta ad un segnale periodico

...tsinAtsinAAtq 222i111iioi

Passando al dominio delle frequenze:Passando al dominio delle frequenze:

Q i A A Ai io i i 0 1 1 2 2o180 . . .

q

qi numero como

ik plesso kk=k=k

Il prodotto tra QIl prodotto tra Qii(i(ikk) e) e dà Qdà Qoo(i(ikk) ) q

qio

ik

28

Se si ripete per tutte le frequenze e si sommano i QSe si ripete per tutte le frequenze e si sommano i Qoo(i(ikk) )

si ha lo spettro del segnale di uscita Qsi ha lo spettro del segnale di uscita Qoo(i(i) )

Q i A A Ao o o o 0 1 1 2 20 o180 . . .

q t A A sin t A sin to o o o 0 1 1 1 2 2 2 . . .

Se lo strumento è pronto, qSe lo strumento è pronto, qii(t) e q(t) e qoo(t) hanno all’incirca la (t) hanno all’incirca la

stessa forma.stessa forma.Il fatto che i segnali reali siano di questo tipo giustifica i Il fatto che i segnali reali siano di questo tipo giustifica i discorsi sin qui fatti: se qi fosse composto da una sola discorsi sin qui fatti: se qi fosse composto da una sola armonica basterebbe correggere le distorsioni su armonica basterebbe correggere le distorsioni su quell’armonica senza necessità di uno strumento pronto.quell’armonica senza necessità di uno strumento pronto.

29

RISPOSTA AD UN TRANSITORIORISPOSTA AD UN TRANSITORIO

Transitorio: qTransitorio: qii(t)=0 identicamente per tutti i valori di (t)=0 identicamente per tutti i valori di

tempo maggiori di un valore finito ttempo maggiori di un valore finito t00..

Se qSe qii è uno dei segnali semplici visti, si può procedere è uno dei segnali semplici visti, si può procedere

secondo i metodi classici validi per quei segnali semplici. secondo i metodi classici validi per quei segnali semplici. Se qSe qii è qualsiasi, occorre un procedimento più generale, la è qualsiasi, occorre un procedimento più generale, la

trasformata di Fourier.trasformata di Fourier.

SpettroSpettro Q i q t tdt i q t sin tdti i i

0 0

cos

Con Con che assume tutti i valori da - che assume tutti i valori da - a + a +

30

qqii periodica periodica spettro discretospettro discreto

qqii transitorio transitorio spettro continuospettro continuo

ESEMPIOESEMPIO

Questi Questi argomento argomento saranno ripresi saranno ripresi in maggiore in maggiore dettaglio nel dettaglio nel seguitoseguito

31

Strumento di ordine 0Strumento di ordine 0Se in (1) tutti gli ai e i bi esclusi aSe in (1) tutti gli ai e i bi esclusi a00 e b e b00 sono nulli, si sono nulli, si

degenera in una equazione algebricadegenera in una equazione algebricaaaooqqoo=b=booqqii

iio

oo kqq

a

bq

Poiché l’equazione è algebrica è chiaro che, Poiché l’equazione è algebrica è chiaro che, indipendentemente da come varia qindipendentemente da come varia qii, q, qoo lo seguirà lo seguirà

perfettamente senza distorsione o ritardo di fase. E’ lo perfettamente senza distorsione o ritardo di fase. E’ lo strumento con la risposta ideale.strumento con la risposta ideale.Esempio: potenziometro che misura la posizioneEsempio: potenziometro che misura la posizione

32

Esempio: potenziometro che misura la posizioneEsempio: potenziometro che misura la posizione

33

Esempio: potenziometro che misura la posizioneEsempio: potenziometro che misura la posizione

In realtà questo è un caso ideale. Per misurare, In realtà questo è un caso ideale. Per misurare, nell’esempio visto, si inserisce un voltmetro che fa nell’esempio visto, si inserisce un voltmetro che fa circolare corrente. Se ci fosse una resistenza pura tutto circolare corrente. Se ci fosse una resistenza pura tutto andrebbe bene, ma se appena il cursore si muove un po’ andrebbe bene, ma se appena il cursore si muove un po’ più in fretta, ci sono effetti capacitivi ed induttivi che più in fretta, ci sono effetti capacitivi ed induttivi che danno errori (viene modificato il rapporto xdanno errori (viene modificato il rapporto x ii e e00).).

Inoltre il cursore avrà sempre una massa, dunque Inoltre il cursore avrà sempre una massa, dunque un’un’inerziainerzia, che impedisce l’impiego di un modello di , che impedisce l’impiego di un modello di strumento di ordine zero. Tutte le volte che ci sono inerzie strumento di ordine zero. Tutte le volte che ci sono inerzie (cioè nella maggioranza dei casi) questo modello viene (cioè nella maggioranza dei casi) questo modello viene messo in crisi.messo in crisi.

34

Strumento del PRIMO ORDINEStrumento del PRIMO ORDINE

ioooo

1 qbqadt

dqa

Ci sono tre parametri fondamentali, ossia aCi sono tre parametri fondamentali, ossia a11, a, a00, b, b00, ma solo , ma solo

2 sono essenziali.2 sono essenziali.

io

oo

o

o

1 qa

bq

dt

dq

a

a io kqq1D

o

oa

bk

o

1a

a

k = k = sensibilità staticasensibilità statica: è l’output per unità di inpu in : è l’output per unità di inpu in condizioni statiche (derivate tutte nulle)condizioni statiche (derivate tutte nulle) = = costante di tempocostante di tempo

Il problema della determinazione del comportamento Il problema della determinazione del comportamento dello strumento si riduce ad una identificazione di dello strumento si riduce ad una identificazione di parametri, ossia k e tparametri, ossia k e t

35

(t)(t)

s(t)s(t)

AA

QQ

36

Esempio: termometro a liquidoEsempio: termometro a liquido(t)= temperatura del fluido termometrico (funzione del (t)= temperatura del fluido termometrico (funzione del tempo)tempo)s(t) = temperatura del liquido (funzione del tempo, s(t) = temperatura del liquido (funzione del tempo, uniforme in tutto l’ambiente di misura)uniforme in tutto l’ambiente di misura)k = coefficiente di trasmissione del calore fra liquido e k = coefficiente di trasmissione del calore fra liquido e fluido termometrico (non ha niente a che vedere con la fluido termometrico (non ha niente a che vedere con la sensibilità statica appena definita)sensibilità statica appena definita)Si trascurano le variazioni di energia cinetica della massa Si trascurano le variazioni di energia cinetica della massa di liquido in moto nel capillare, quelle di energia di liquido in moto nel capillare, quelle di energia potenziale, gli effetti della capillarità, della viscosità..potenziale, gli effetti della capillarità, della viscosità..Q = calore scambiato tra liquido e fluidoQ = calore scambiato tra liquido e fluidoA=superficie interessata allo scambio di calore A=superficie interessata allo scambio di calore

37

c = calore specificoc = calore specificom = massa di liquido nel termometrom = massa di liquido nel termometrodQ =mcds il calore entrante nel termometro ne innalza la dQ =mcds il calore entrante nel termometro ne innalza la temperaturatemperatura

dtskAdQ Calore entrante nel termometroCalore entrante nel termometro

smcddtskA skA

mc

dt

ds

Se si pone s = qSe si pone s = qo o e e = q = qii

si ritrova la forma generale già scrittasi ritrova la forma generale già scritta

38

Il fatto che il termometro sia considerato uno Il fatto che il termometro sia considerato uno strumento del primo ordine è subordinato al strumento del primo ordine è subordinato al modello scelto, che a sua volta è fissato sulla base modello scelto, che a sua volta è fissato sulla base dell’utilità del modello stesso.dell’utilità del modello stesso.

In dipendenza da particolari esigenze è possibile In dipendenza da particolari esigenze è possibile pensare al termometro come ad uno strumento del pensare al termometro come ad uno strumento del secondo ordine (vedi Doeblin)secondo ordine (vedi Doeblin)

39

Purché sia:Purché sia:

io

oo

o

o

1 qa

bq

dt

dq

a

a io kqq1D

kA

mc

La funzione di trasferimento è la seguente:La funzione di trasferimento è la seguente:

1D

k

q

q

i

o

Lo studio di tale funzione nei vari casi di segnale semplice Lo studio di tale funzione nei vari casi di segnale semplice verrà illustrato nel seguito.verrà illustrato nel seguito.

40

Strumenti del secondo ordine:Strumenti del secondo ordine:EquazioneEquazione

ioooo

12o

2

2 qbqadt

dqa

dt

qda

Parametri fondamentali:Parametri fondamentali:

o

oa

bk

2

on a

a

20

1aa2

ah

Sensibilità staticaSensibilità statica

Pulsazione propriaPulsazione propria

2

f nn Frequenza propriaFrequenza propria

Parametro adimensionale di Parametro adimensionale di smorzamentosmorzamento

41

Dall’equazione:Dall’equazione:

ioooo

12o

2

2 qbqadt

dqa

dt

qda

Si arriva a:Si arriva a:

io

o

o

o

0

12

0

2o q

a

b

a

aD

a

aD

a

aq

ion2

n

2kqq1

hD2D

42

2° ordine2° ordine

ESEMPI: ESEMPI:

BilanciaBilancia

(MD(MD22+BD+K+BD+Kss)x)xoo=f=fii

MM

KKss

BB

43 2323

Strumenti del secondo ordine:Strumenti del secondo ordine:GalvanometroGalvanometro

44

NN

SS

BOBINA MOBILEBOBINA MOBILE

INDICE SU INDICE SU SCALA SCALA GRADUATAGRADUATAMOLLE TORSIONALIMOLLE TORSIONALI

ANTAGONISTEANTAGONISTE

45

PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO:PRINCIPIO DI FUNZIONAMENTO:

BOBINA PERCORSA DA IBOBINA PERCORSA DA I

FORZA SU FILO FORZA SU FILO F = B L IF = B L I

IINNSS

FF

NNSS

II

FF

IIFF

BB

46

BOBINA PERCORSA DA IBOBINA PERCORSA DA I

FORZA SU FILO FORZA SU FILO F = B L IF = B L I

COPPIA SU FILO COPPIA SU FILO TT11’ = F D/2 = B L D I / 2’ = F D/2 = B L D I / 2

COPPIA SU SPIRACOPPIA SU SPIRA TT11 = 2 T = 2 T11’ = B L D I’ = B L D I

COPPIA SU N SPIRECOPPIA SU N SPIRE TTNN = N B L D I = N B L D I

COPPIA RESISTENTECOPPIA RESISTENTE TTMM = k = k

IINNSS

FF

47

EQUILIBRIO MECCANICOEQUILIBRIO MECCANICO

TTNN = T = TMM

da cuida cui = ( N B L D / k ) I = k’ I= ( N B L D / k ) I = k’ I

POSIZIONE INDICE POSIZIONE INDICE I I Strumento lineareStrumento lineare

SENSIBILITA’ SENSIBILITA’ k’ = N B L D / k k’ = N B L D / k

OBIETTIVO: OBIETTIVO: sensibilita’ k’ ALTA per sensibilita’ k’ ALTA per

misurare I basse misurare I basse

CASO STATICOCASO STATICO

48

SENSIBILITA’ k’ SENSIBILITA’ k’ - k - k MOLLA CEDEVOLE MOLLA CEDEVOLE

- N, L, D - N, L, D BOBINA GRANDEBOBINA GRANDE

RISPOSTA DINAMICA: SISTEMA DEL II° ORDINERISPOSTA DINAMICA: SISTEMA DEL II° ORDINE

(c’è (c’è l’inerzia l’inerzia della spira e vi sono forze della spira e vi sono forze smorzanti smorzanti anche anche per stabilizzare l’indice su una determinata posizione per stabilizzare l’indice su una determinata posizione della scala riducendo i transitori).della scala riducendo i transitori).

L’equilibrio meccanico alla rotazione si scrive allora comeL’equilibrio meccanico alla rotazione si scrive allora come

JJ+r+r+k+k=T=TNN=k’i(t)=k’i(t).... ..

J = momento di inerzia dell’equipaggio mobile del J = momento di inerzia dell’equipaggio mobile del galvanometro attorno al suo asse di rotazionegalvanometro attorno al suo asse di rotazione

49

JJ+r+r+k+k=T=TNN=k’i(t)=k’i(t).... ..

r = smorzamento del sistema assunto di tipo viscoso (in r = smorzamento del sistema assunto di tipo viscoso (in tale termine si può far rientrare la f.c.e.m.: dalla legge di tale termine si può far rientrare la f.c.e.m.: dalla legge di Lenz e=-dLenz e=-d/dt/dtk = costante elastica della molla di richiamok = costante elastica della molla di richiamoq = rotazione dell’equipaggio mobile del galvanometro (qq = rotazione dell’equipaggio mobile del galvanometro (qoo))

i(t) = corrente che percorre le spire della bobinai(t) = corrente che percorre le spire della bobina

J

kn

cr

rh nc J2r

50

PULSAZIONE NATURALEPULSAZIONE NATURALE

ALTA’ SENSIBILITA’ ALTA’ SENSIBILITA’ J J e k e k NN

Si ha che sensibilita’ e frequenza propria si Si ha che sensibilita’ e frequenza propria si

muovano in direzioni opposte (tipico in sistemi del muovano in direzioni opposte (tipico in sistemi del

II ordine). Si vedrà tra poco come, in genere, una II ordine). Si vedrà tra poco come, in genere, una

pulsazione propria bassa sia poco desiderabile ai pulsazione propria bassa sia poco desiderabile ai

fini di una buona risposta in frequenzafini di una buona risposta in frequenza

NN

kk

JJ

tante spiretante spire k’ elevatok’ elevato

51

Si affronta ora la risposta degli strumenti del Si affronta ora la risposta degli strumenti del primo e secondo ordine ai segnali semplici, ossia il primo e secondo ordine ai segnali semplici, ossia il gradino, la sinusoide l’impulso..., entrando nel gradino, la sinusoide l’impulso..., entrando nel merito degli aspetti matematici, legati al modello, merito degli aspetti matematici, legati al modello, fin qui visti solo per definire le equazioni e fin qui visti solo per definire le equazioni e discutere aspetti generali e qualitativi.discutere aspetti generali e qualitativi.

52

STRUMENTO DEL PRIMO ORDINE RISPOSTA AL GRADINOSTRUMENTO DEL PRIMO ORDINE RISPOSTA AL GRADINO

qqii

qqoo

grandegrande

piccolopiccolo

qqisis

kqkqisis

tt

ttAll’inizio: qAll’inizio: qii=q=qoo=0. Istante t=0: q=0. Istante t=0: qii cresce istantaneamente cresce istantaneamente

di una quantità qdi una quantità qisis (il termometro viene posto in un (il termometro viene posto in un

ambiente diverso da quallo in cui si trovava)ambiente diverso da quallo in cui si trovava)

53

Condizioni iniziali: qCondizioni iniziali: qoo=0 per t=0=0 per t=0++

Integrale Integrale generalegenerale q qogog=Ce=Ce-t/-t/

All’inizio: qAll’inizio: qii=q=qoo=0. Istante t=0: q=0. Istante t=0: qii cresce istantaneamente cresce istantaneamente

di una quantità qdi una quantità qisis (il termometro viene posto in un (il termometro viene posto in un

ambiente diverso da quello in cui si trovava)ambiente diverso da quello in cui si trovava)

Integrale Integrale particolareparticolare q qopop=k q=k qisis

qqopop= Ce= Ce-t/-t/+k q+k qisis

Applicando le condizioni iniziali:Applicando le condizioni iniziali:

qqoo= k q= k qis is (1-e(1-e-t/-t/))

54

Nel caso visto del termometro:Nel caso visto del termometro:

s= s= 0 0 (1-e(1-e-t/-t/))Ove Ove 00 è il valore del gradino di temperatura è il valore del gradino di temperatura

s/ s/ 0 0 è la risposta al gradino unitario: è l’AMMETTENZA è la risposta al gradino unitario: è l’AMMETTENZA

INDICIALEINDICIALE

La risposta al gradino si può adimensionalizzare La risposta al gradino si può adimensionalizzare giungendo alla forma generale :giungendo alla forma generale :

qkq eo

ist

1

Questo fatto è del tutto generale e vale per qualsiasi terna Questo fatto è del tutto generale e vale per qualsiasi terna di valori k, qdi valori k, qisis, ,

55

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1is

okq

q

t

0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

ekq

mis

eemm = scostamento = scostamento

tra input e outputtra input e output

FORME ADIMENSIONALIZZATEFORME ADIMENSIONALIZZATE

66.0kq

q1

t

is

o

56

SIGNIFICATO DELLA COSTANTE DI TEMPOSIGNIFICATO DELLA COSTANTE DI TEMPO

dimensionalmente è un tempo. Si stabilisce un certo dimensionalmente è un tempo. Si stabilisce un certo errore percentuale al di sotto del quale si può assumere errore percentuale al di sotto del quale si può assumere che che

qqkiso oppure oppure = = (valore del gradino) (valore del gradino)

pensando all’esempio del termometropensando all’esempio del termometroIl tempo di risposta è allora quello oltre il quale la Il tempo di risposta è allora quello oltre il quale la temperatura del temometro e dell’ambiente differiscono temperatura del temometro e dell’ambiente differiscono meno dell’errore prefissato. Ad esempio, per t=meno dell’errore prefissato. Ad esempio, per t=, l’errore è , l’errore è 1/e (circa il 30%); se t=21/e (circa il 30%); se t=2, l’errore è 1/e, l’errore è 1/e22 (circa il 15%) (circa il 15%)

2211 33 44 55

11

0.950.95

1.051.05

uno strumento pronto uno strumento pronto ha ha basso basso

57

STRUMENTO DEL PRIMO ORDINE RISPOSTA IN STRUMENTO DEL PRIMO ORDINE RISPOSTA IN FREQUENZAFREQUENZA

La definizione di risposta in frequenza era:La definizione di risposta in frequenza era:

01

1n1n

nn

011m

1mm

m

i

o

bia...iaia

bib...ibibi

q

q

L’equazione di strumento del primo ordine è:L’equazione di strumento del primo ordine è:

dqdt q kqo

o i

Allora sarà, a regime e con qAllora sarà, a regime e con qii armonica: armonica:

io kqq1D

qq i k

ik arco

i

1 12 2tan

58

AA

qq i ko

ioi

2 2 1

Modulo della funzione di trasferimento:Modulo della funzione di trasferimento:

Fase della funzione di trasferimento:Fase della funzione di trasferimento:

qq i arco

itan

Uno strumento del primo ordine si avvicina alla Uno strumento del primo ordine si avvicina alla perfezione se ha la risposta ideale dello strumento di perfezione se ha la risposta ideale dello strumento di ordine 0. Questo succede se ordine 0. Questo succede se è piccolo, ossia, fissato è piccolo, ossia, fissato , , esiste una esiste una di output sotto la quale la misura è corretta. di output sotto la quale la misura è corretta. In alternativa se si deve misurare una qIn alternativa se si deve misurare una q ii con con alta lo alta lo

strumento deve avere strumento deve avere bassa. bassa.

59

Anche in questo caso è possibile la scrittura in forma Anche in questo caso è possibile la scrittura in forma adimensionalizzata della risposta in frequenza di uno adimensionalizzata della risposta in frequenza di uno strumento del primo ordine come segue.strumento del primo ordine come segue.

q kq i k arco

i/

tan

2 2 1

0 2 4 6 8 100

0.20.40.60.81

0 2 4 6 8 10-100-80-60-40-200

i

oq

k/q

60

Altra possibilità di raprresentazione della funzione di Altra possibilità di raprresentazione della funzione di trasferimento è il diagramma di Nyquist (diagramma trasferimento è il diagramma di Nyquist (diagramma polare in modulo e fase)polare in modulo e fase)

0.2

0.4

0.6

0.8

1

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

61

ESEMPIO: Prontezza di uno strumento del primo ordineESEMPIO: Prontezza di uno strumento del primo ordinesegnale di ingresso: qsegnale di ingresso: qii=sin(2t)+0.3 sin(20t) =sin(2t)+0.3 sin(20t) =0.2 s=0.2 s

Il sistema è lineare e quindi vale il principio di Il sistema è lineare e quindi vale il principio di sovrapposizione degli effetti.sovrapposizione degli effetti.

qq i k ko

i

2 016 1

21 8 0 93 21 8.

. . .

2

qq i k ko

i

20 16 1

76 0 24 76.

qqoo=1(0.93k)sin(2t-21.8°)+0.3(0.24k)sin(20t-76°)=1(0.93k)sin(2t-21.8°)+0.3(0.24k)sin(20t-76°)

qqoo/k=0.93 sin(2t-21.8°)+0.072 sin(20t-76°)/k=0.93 sin(2t-21.8°)+0.072 sin(20t-76°)

La situazione ideale sarebbe qLa situazione ideale sarebbe qoo/k=q/k=qii, dunque nel caso in , dunque nel caso in

esame vi è una forte distorsioneesame vi è una forte distorsione

62

0 4 8 12 16 200.2

0.4

0.6

0.8

1TF Modulo

0 4 8 12 16 20-80

-60

-40

-20

0TF Fase

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

t

qi

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

t

qo/k

63

Se invece fosse stato Se invece fosse stato = 0.002 s = 0.002 s

qq i k ko

i

2 51 6 10 10 23 1 00 0 23

. *. . .

qq i k ko

i

20 31 6 10 12 3 1 00 2 3

. *. . .

qqoo/k=1.00 sin(2t-0.23°)+0.3 sin(20t-2.3°)/k=1.00 sin(2t-0.23°)+0.3 sin(20t-2.3°)

In questo caso lo strumento è molto prontoIn questo caso lo strumento è molto pronto

64

0 10 20 30 40 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 10 20 30 40 50

-80

-60

-40

-20

0

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

0 2 4 6 8 10-2

-1

0

1

2

TF Modulo

TF Fase

qi

qo/k

65

Tornando all’esempio del termometro si è visto come sia Tornando all’esempio del termometro si è visto come sia seguendo la via della risposta al gradino, sia quella della seguendo la via della risposta al gradino, sia quella della risposta in frequenza, si sia giunti a dire che lo strumento risposta in frequenza, si sia giunti a dire che lo strumento pronto ha pronto ha piccola. piccola.

Nel caso del termometro:Nel caso del termometro:kA

mc

c = il calore specifico, una volta scelto il materiale è c = il calore specifico, una volta scelto il materiale è costante.costante.k = coefficiente di scambio termico: dipende k = coefficiente di scambio termico: dipende dall’ambiente. Per alterarlo si dovrebbe, ad esempio, dall’ambiente. Per alterarlo si dovrebbe, ad esempio, creare dei moti convettivicreare dei moti convettiviSi può agire su m/A. In generaleSi può agire su m/A. In generale m d 3 A d 2

mA

dd

d 32

Termometri piccoli sono intrinsecamente più prontiTermometri piccoli sono intrinsecamente più pronti