1 số phức dạng đại số filekí hiệu số phức đó là z và viết z a bi i được...

Trung tâm GD&ĐT Youth [ĐT: 01683347333]

Chuyên đề số phức | Bản quyền tài liệu thuộc về Youth. 1

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 1 Số phức dạng đại số

1, Khái niệm số phức:

*Định nghĩa 1: Một số phức là một biểu thức dạng a bi , trong đó a, b là các số thực và số i thoả

mãn 2 1i . Kí hiệu số phức đó là z và viết z a bi .

i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z a bi .

Tập hợp các số phức được kí hiệu là .

*Chú ý: + Mỗi số thực a đều được xem như là 1 số phức với phần ảo 0b .

+ Số phức z a bi có 0a được gọi là số thuần ảo hay là số ảo.

+ Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo.

*Định nghĩa 2: Hai số phức z a bi ( ,a b ) và ' ' 'z a b i ( ', 'a b ) được gọi là bằng

nhau nếu : 'a a và 'b b . Khi đó, ta viết: 'z z .

2, Biểu diễn hình học số phức:

Mỗi số phức z a bi ( ,a b ) được biểu diễn bởi một điểm ( ; )M a b trên mặt phẳng toạ độ

Oxy. Ngược lại mỗi điểm ( ; )M a b biểu diễn một số phức z a bi

Mặt phẳng toạ độ với việc biểu diễn số phức đgl mặt phẳng phức. Trục Ox gọi là trục thực, trục Oy

gọi là trục ảo.

3, Phép cộng và phép trừ số phức:

*Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức 1 1 1z a b i , 2 2 2z a b i ( 1 1 2 2, , ,a b a b ) là số phức

1 2 1 2 1 2( ) ( )z z a a b b i .

*Tính chất của phép cộng số phức:

i, 1 2 3 1 2 3( ) ( )z z z z z z với mọi 1 2 3, ,z z z

ii, 1 2 2 1z z z z với mọi 1 2,z z iii, 0 0z z z với mọi z

iv, Với mỗi số phức z a bi ( ,a b ), nếu kí hiệu số phức a bi là z thì ta có:

( ) 0z z z z . Số z được gọi là số đối của số phức z .

*Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức 1 1 1z a b i , 2 2 2z a b i ( 1 1 2 2, , ,a b a b ) là tổng của hai

số phức 1z và 2z , tức là: 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )z z z z a a b b i .

*Ý nghĩa hình học của phép cộng và phép trừ số phức:

Mỗi số phức z a bi ( ,a b ) được biểu diễn bởi ( ; )M a b cũng có nghĩa là véc tơ OM . Khi

đó nếu 1 2,u u theo thứ tự biểu diễn số phức 1 2,z z thì:

+ 1 2u u biểu diễn số phức 1 2z z

+ 1 2u u biểu diễn số phức 1 2z z

4, Phép nhân số phức:

*Định nghĩa 5: Tích của hai số phức 1 1 1z a b i , 2 2 2z a b i ( 1 1 2 2, , ,a b a b ) là số phức:

A-Tóm tắt lý thuyết:


1 2 1 2 1 2 1 2 2 1. ( )z z a a bb a b a b i

*Nhận xét: + Với mọi số thực k và mọi số phức z a bi ( ,a b ), ta có:

( )kz k a bi ka kbi

+ 0. .0 0z z với mọi z .

*Tính chất của phép nhân số phức:

i, 1 2 2 1z z z z với mọi 1 2,z z ii, .1 1.z z z với mọi z

iii, 1 2 3 1 2 3( ). .( )z z z z z z với mọi 1 2 3, ,z z z

iv, 1 2 3 1 2 1 3.( )z z z z z z z với mọi 1 2 3, ,z z z

5, Số phức liên hợp và mô đun của số phức:

*Định nghĩa 6: Số phức liên hợp của số phức z a bi ( ,a b ) là a bi và được kí hiệu là z .

Như vậy, ta có: z a bi a bi

*Nhận xét: + Số phức liên hợp của z lại là z , tức là z z . Do đó ta còn nói z và z là hai số

phức liên hợp với nhau.

+ Hai số phức là liên hợp với nhau khi và chỉ khi các điểm biểu diễn của chúng đối xứng nhau qua

trục Ox.

*Tính chất: i, Với mọi 1 2,z z ta có: 1 2 1 2z z z z ; 1 2 1 2. .z z z z

ii, z , z a bi ( ,a b ), số .z z luôn là một số thực và 2 2.z z a b

*Định nghĩa 7: Mô đun của số phức z a bi ( ,a b ) là số thực không âm 2 2a b và được

kí hiệu z : 2 2.z z z a b .

*Nhận xét: + 0z khi và chỉ khi 0z .

+ Nếu z là số thực thì mô đun của z là giá trị tuyệt đối của số thực đó.

6, Phép chia cho số phức khác 0:

*Định nghĩa 8: Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là 1

2

zz

z

. Thương 'z

z của phép chia số

phức 'z cho số phức z khác 0 là tích của 'z với số phức nghịch đảo của z , tức là 1'

'.z

z zz

. Như

vậy, nếu 0z thì 2

' '.z z z

z z

*Chú ý: Có thể viết 2

' '. '.

.

z z z z z

z z zz nên để tính

'z

z ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu số với z . Để

ý rằng 2

.z z z .

*Nhận xét: + Với 0z , ta có: 1 11

1.z zz

.

+ Thương 'z

z là số phức w sao cho .w 'z z . Do đó, có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là



phép toán ngược của phép nhân.

+ ' 'z z

z z

;

'' zz

z z ; 1 2 1 2.z z z z ; 1 2 1 2z z z z

Dạng 1: Tính toán và Chứng minh

Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

1, (3 5 ) (7 3 )z i i 2, (4 3 )(4 5 )z i i 3, 5 2 7(2 ) 3z i i i

4, 14(1 )z i 5,

5(3 2 )(3 2 ) 5(1 2 ) 2z i i i i 6, 16 16(3 ) (1 2 )z i i

7, 8(1 )z i 8,

3(3 )z i 9, 3 2(1 ) (1 )z i i

10, 2

1

iz

i

11,

2(1 2 )(2 )

1 3

i iz

i

12,

2(2 3 )(3 )

6 17

i iz

i

Bài 2: Xác định phần thực và phần ảo và tính mô đun của mỗi số phức sau:

1, 2( 3) 3(2 3)( 1)z i i i 2,

3 3(2 ) (3 )z i i

3, 7

7

1 1

2z i

i i

4,

3 2

1

i iz

i i

5, 32 1

4 3 22

iz i i

i

6,

3(3 1)(2 )(1 4 )

1

i iz i i

i

7,

18 18

20

( 1 9 ) (4 5 )

(1 )

i iz

i

8,

3 2 3 3 2 3

2 3 2 3

i iz

i i

9,

159

912

(1 3 ) 13

( 3 )

iz i

ii

10,

33

101 1(1 ) (2 3 )(2 3 )

1

iz i i i

i i

11,

16 81 1

1 1

i iz

i i

12,

2 991 (1 ) (1 ) ... (1 )z i i i

Bài 3: Tìm z và tính z biết rằng:

1, 2 3z i 2, 2 2z i 3, 2013z

4, 2014z i 5, 2 3 (2 3)z i 6, 1

(1 )(3 2 )3

z i ii

Bài 4: Cho số phức 1 3

2 2z i . Tính: z ; z ;

1

z;

3z ; 2

z ; 2 1z z ;

201361 z

Bài 5: Cho số phức 2(1 2 )(2 )z i i . Tính: z ; z ; z z ; .z z

Bài 6: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

1, 3 5 2 1 ( )x y xi y x y i 2, 3(3 5 ) (1 2 ) 9 14x i y i i

3, 3 2 1 (2 )x yi y x i 4, 2 1 ( 2 5)x y x y i

B-Phương pháp giải toán:


5, 3

( 2 )(2 ) 22

x yi x yi i 6, 2 2(1 ) (4 3 ) 1 4x i y i xy i

Bài 7: Tìm các số thực x, y thoả mãn:

1, 2 3(2 3 ) (2 1)(1 ) 5(7 10 )x i y i i

2, 2 3(2 )(3 ) ( 2 )( 2) 18 76x i i x y i i

3, 3(2 1)(2 ) ( 3 2 )(2 3 ) 6 85x i y i i i

4,

7

21(3 ) ( 2)( ) 19 23

1

ix y y x i i

i

Bài 8: Chứng minh rằng các số phức sau là số thực:

1,

3 2

2 3

(1 3 ) (4 3 )

(2 ) (3 80 )

i iz

i i i

2,

2

2

(3 2 ) ( 2 ) 19

3(1 2 )

i iz

ii

3, 7 7(2 5) (2 5)z i i 4,

2013 201319 7 20 5

9 7 6

i iz

i i

Bài 9: Chứng minh rằng các số phức sau là số thuần ảo:

1, 9 5(1 3 ) (512 3)z i i i 2,

2 2(5 1) (1 3 ) (8 10)z i i i

3, 5 2 5 2

2 3 10 2 3 10

i iz

i i

4,

52 2013 52 2013

(3 1)(79 7 ) 10(23 10 )

i iz

i i

Bài 10: Xác định phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:

1, 3 2

(1 )(2 3 )

iz

i i

2,

(1 )(2 ) (1 )(2 )

2 2

i i i iz

i i

3, 31 5

(2 )1

iz i

i

4,

2 4 7(2 ) (1 )

2

iz i i

i

Bài 11: Hỏi mỗi số phức sau là số thực hay số ảo:

1, 2013

22

1

i iz z

z

2,

32

1

z zz z

z

Bài 12: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

1,

3

1 3 1 3

2 2 2 2

i iA

2,

2 2

2 2

(1 2 ) (1 )

(3 2 ) (2 )

i iB

i i

3,

3 3

3 3

(2 ) (2 )

(2 ) (2 )

i iC

i i

4,

2013

101 1(1 ) (2 3 )(2 3 )

1

iD i i i

i i

Bài 13: Tìm số phức z thoả mãn:

1, 0iz z i 2, (3 2 ) 1 4i z i z 3, (1 5 ) 10 2 1 5i z i i

4, 1 31

z ii i

i

5,

2 31 3 2 1

1

ii z

i

6,

2 1 3

1 2

i iz

i i

7, ( 2 3) 3 2i z i 8, 2

( 1)(1 ) 2 21

z iz i i

i




1, (4 3 ) (2 )(3 5 )i z i i 2, 2 3 4 11z iz i 3, ( 2) (3 )( 1 3 )z i i z i

4, 2

2 2 1

(3 ) 10 5

i z z

i i

5, 3

7 3

(2 1) 2 1

i i

i z

6,

1 22 3

1 1

i z iz i

i i

7, 2z z 8, 2 2 4z z i 9, . 3 13 18z z z z i

10, 4 (2 ) 7 3 7z z i z i 11, 2 2

(1 ) 5 51

iz ii z i

i


1, 5z và z z 2, 2 3z z và z z 3, 2

2 . 5z z z và z z

4, 2

2 0z z và 1

13

z

z

5, 2 1 2z i z i và

1 10

10z

6, 5z và phần thực của nó bằng 2 lần phần ảo của nó.


1, 22z z z 2,

5 31 0

iz

z

3, 2

1 (2 3 )2

i i zi

z z

4,

3( 2 )

1 2

iz

i

5,

21( 1)(1 )

1

zz i z

i

6, 2. 2 10 3z z z z z i

7, 1 5z và 17 5 . 0z z z z 8, 1 2 5z i và . 34z z

9, (2 ) 10z i và . 25z z 10, 3 1z i iz và 9

zz

là số thuần ảo


1, 2 4 2z i z i và 1 2z i nhỏ nhất.

2, 1 2z i iz và (2 3 2 )( )z i z i là số thuần ảo.

3, z nhỏ nhất và ( 1) 2z z i là số thực.

4, z nhỏ nhất và 3 2iz z i

5, z lớn nhất và 2 (1 )z z là số thuần ảo.


1, 2 52z i và 4 2z i nhỏ nhất.

2, 1 2 3 4z i z i và 2z i

z i

là số thuần ảo.

3, Phần thực là số thực dương, phần ảo là số thực âm thoả mãn:

1z và 2

2 3z z



1, 1 2 3 4z i z i và 1 10z z i 2, 1

1z

z i

và

31

z i

z i

3, 2 5

3 3 2

z

z i

và

51

1

z

z

4,

11

3

z

z

và

22

z i

z i

5, 11

z i

z

và ( 3)( 3 ) 9z z i 6,

31

z i

z i

và ( 2)( 5 2 ) 6z iz i

7, 2

2 0z z và 1

13

z

z

8,

21

2

z

z i

và ( 1) 5z z i

Bài 20: 1, Tìm số phức z sao cho w (2 3 )(2 )(3 2 )z i i i là 1 số thực.

2, Cho số phức z thoả mãn: 2 3z z i . Tính 12z .

3, Cho số phức z thoả mãn: 7

12

zz

z

. Tính

2z i

z i

.


12

zz

z

. Tính

4

2

z i

z i

.

5, Cho số phức z thoả mãn: 2 3( 1 2 )z z i . Tính 2 3

w z z z .


1z i

z

. Tính 1 (1 )A i z .


2

z i

z

là số thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1T z z i .

Bài 21: 1, Cho hàm số: 3 2( ) 2 7 3f z z z z . Chứng minh rằng:

w (1 ) (1 )f i f i là một số thực.

2, Cho số phức z x yi ( ,x y ) thoả mãn: 3 18 26z i .

Tính giá trị của biểu thức: 2013 2013( 2) (4 )A z z .

3, Cho số phức 1

w1

z

z

. a, Xác định phần thực của w biết rằng 1z và 1z .

b, Chứng minh rằng: Nếu w là số thuần ảo thì 1z .

Bài 22: Một số đề thi Đại Học qua các năm:

1,(B-2009) Tìm số phức z thoả mãn: (2 ) 10z i và . 25z z

2,(D-2010) Tìm số phức z thoả mãn: 2z và 2z là số thuần ảo.

3,(A-2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết rằng: 2( 2 ) (1 2 )z i i

Cho số phức z thoả mãn:

3(1 3 )

1

iz

i

. Tính z iz .

4,(B-2010) Tìm số phức z thoả mãn: 3

53

z

z i

và 4 10z i z i .



5,(A-2011) Tìm tất cả các số phức z, biết: 22z z z

Tính z , biết rằng: (2 1)(1 ) 1 (1 ) 2 2z i z i i

6,(B-2011) Tìm số phức z, biết rằng: 5 3

1 0i

zz

.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức:

3

1 3

1

iz

i

7,(A-2012) Cho số phức z thoả mãn: 5

21

z ii

z

. Tính w biết

2w 1 z z .

8,(D-2012) Cho số phức z thoả mãn: 2(1 2 )

(2 ) 7 81

ii z i

i

.

Tính mô đun của số phức w 1z i .

9,(D-2013) Cho số phức z thoả mãn: (1 )( ) 2 2i z i z i .

Tính môđun của số phức w, biết 2

2 1w

z z

z

.

Bài 23: 1, Tìm số phức z thoả mãn: 1 5z z i và (2 )z i z là số ảo.

2, Tìm số phức z thoả mãn: 222( ) 2 2 3z i z z i

3, Tìm các số phức z, w thoả mãn: w 4z i và 3 3w 7 28z i

4, Tìm số phức z thoả mãn: 2 2z z i z i và (2 )z i z là số thực.

5, *Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:

1

3

1 3

n

iz

i

là số thực và

2

2

5

2 3

ni

zi


6, Trong tất cả các số phức z thoả mãn 1 32

z zz

, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

7, Cho số phức z thoả mãn 2 6 13 0z z . Tính

6z

z i

.

8, Cho số phức z thoả mãn 2 2 4 0z z . Tìm số phức

7

1 3w

2

z

z

.

9, Cho z là số phức thoả mãn (1 )( )z i z là số thuần ảo. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của

biểu thức T z i .

10, Trong tất cả các số phức z thoả mãn (1 )

2 31

i z

i

, hãy tìm số phức có môđun nhỏ nhất và số

phức có môđun lớn nhất.


Bài 24: 1, *Cho số phức z thoả mãn 2 3 4z iz z . Tính 2013

2014

1w z

z .

2, Tìm tất cả các số phức z thoả mãn điều kiện: 3 4z z .

3, Tính môđun của số phức z, biết 3 12z i z và z có phần thực dương.

4, Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết rằng: 2

12 2 (3 )z i z

5, Tìm số phức z biết: 22 1 1 (1 )z z i z .

6, Tìm số phức z biết: 22

2 . 8z z z z và 2z z .

7, Tìm môđun của số phức z biết: 2

1 2 11 2z i iz z i .

8, Tìm số phức z thoả mãn: (1 3 )i z là số thực và 2 5 1z i .

9, *Tìm số phức z sao cho 5z và 2

1

z là hai số phức liên hợp của nhau.

10, Cho số phức 1 3

2

iz

. Tính giá trị của biểu thức:

2 3 4 5

2 3 4

2 3 4

1 1 1 1P z z z z

z z z z

Bài 25: 1, Cho số phức

111

1

iz

i

. Tính môđun của số phức:

2013 2014 2016 2021w z z z z

2, Tính môđun của số phức z biết:

3

21 3.(1 2 )

1

iz i

i

3, Cho z và w là hai số phức liên hợp thoả mãn 2w

z là số thực và w 2 3z .

Tính môđun của số phức z.

4, Tìm số phức z thoả mãn: 2(1 3 )

1

iz i zz

i

.

5, Tìm môđun của số phức z, biết:

2 2 3

1

z zz

z

.

6, Cho số phức z thoả mãn: 6 7

1 3 5

z iz

i

. Tìm phần thực của số phức

2013z .

7, Cho số phức z thoả mãn:

3

1 32 .

1

iz i z

i

. Tính 2 .A z i z .

8, Tìm số phức z, biết: ( 1)(2 3 ) 1 (2 3 ) 14z i z i và 2z .

9, Tìm số phức z có môđun bằng 1, đồng thời số phức 2w 2 1z z có môđun lớn nhất.



10, *Cho số phức 0z thoả mãn 2z .

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: z i

Pz

.

Bài 26: Cho hai số phức 1z và 2z . Chứng minh rằng:

1, 1 2 1 2z z z z 2, 1 2 1 2. .z z z z 3, 1 2 1 2. .z z z z

4, 1 2 1 2z z z z 5, 1 1

2 2

z z

z z

( 2 0z ) 6,

11

2 2

zz

z z ( 2 0z )


1, 2 2 2 2

1 2 1 2 1 22z z z z z z

2, 2 2 22

1 2 1 2 1 2 1 21 1z z z z z z z z

3, 2 2 2 2

1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z

4, 22 2 2

1 2 1 2 1 21 1 1z z z z z z


1, 1 2 1 2z z z z 2, 2 2 2

1 2 1 2. .z z z z 3, 2 2 2

1 2 1 1 2 22z z z z z z

4, 2 2

1 2 1 2 1 2z z z z z z 5, 3 3 2 2 3

1 2 1 1 2 1 2 23 3z z z z z z z z

Bài 29: Cho số phức z thoả mãn 1z . Chứng minh rằng:

1, 3 2

1 5z i

z

2,

3 21 1 1 5z z z

Bài 30: Cho các số phức x, y, z. Chứng minh rằng:

x y z x y z x y z x y z

Bài 31: Cho hai số phức 1z và 2z đều có môđun bằng 1.

Chứng minh rằng số phức 1 2

1 21

z z

z z

là số thực, với 1 2 1z z .

Bài 32: Giải các bài toán sau:

1, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 1 2 1 2 0z z z z .

Tính giá trị của biểu thức:

4 4

1 2

2 1

z zA

z z

.

2, Cho 1z , 2z là 2 số phức thoả mãn phương trình 6 2 3z i iz và 1 2

1

3z z .

Tính 1 2A z z .


3, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 1 2 1z z và 1 2 3z z . Tính 1 2z z .

4, Cho 1z , 2z , 3z là các số phức thoả mãn 1 2 3 1z z z và 1 2 3 1z z z .

Chứng minh rằng: 1 2 3 1 2 2 3 3 1z z z z z z z z z .

5, Cho hai số phức: 2 2

1 ( 1) (2 3 4)z a a a a i ( a ) và 2 3 2z i .

Tìm giá trị của tham số a để 1 2z z .

6, Chứng minh rằng: Hai số phức phân biệt 1z , 2z thoả mãn điều kiện 1 2z z khi và chỉ khi 1 2

1 2

z z

z z



1, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 1 3z , 2 4z và 1 2 37z z .

Tìm số phức 1

2

zz

z .

2, Cho hai số phức 1z , 2z . Chứng minh rằng: 1 2 1 2w z z z z là 1 số thực.

3, Cho hai số phức 1z , 2z thoả mãn: 2 2

1 2 1 2z z z z . Tính 1 2

1 2

z z

z z

.

4, Cho 1z , 2z , 3z là các số phức thoả mãn 1 2 3 1z z z .

Chứng minh rằng: 1 2 2 3 3 1 1 2 3z z z z z z z z z

5, Cho số phức 0z thoả mãn điều kiện: 3

3

12z

z . Chứng minh:

12z

z .

Dạng 2: Biểu diễn số phức và tập hợp điểm

● Véc tơ ( ; )u x y biểu diễn số phức z x yi .

● Điểm ( ; )M x y biểu diễn số phức z x yi , tức là OM biểu diễn số phức đó.

● Tập hợp điểm ( ; )M x y thoả mãn:

+ 0Ax By C , 2 2 0A B : là một đường thẳng

+ MA MB : là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

+ 2y ax bx c , 0a : là một Parabol

+ 2 2 2( ) ( )x a y b R : là đường tròn tâm ( ; )I a b , bán kính R.

+ 2 2 2( ) ( )x a y b R : là hình tròn tâm ( ; )I a b , bán kính R.

+ 1 2 2MF MF a , 1 2 2 2F F c a : là một Elip

+ 1 2 2MF MF a , 1 2 2 2F F c a : là một Hypebol …

Bài 1: Biểu diễn các số phức sau trên mặt phẳng phức:

1, 3z 2, 2z i 3, 3 2z i 4, 2z i

Bài 2: Trên mặt phẳng phức tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thoả mãn:

1, 1z 2, 2z 3, 1 2 4z i



4, 2 3z i 5, 2 1z i 6, 2 2z z

7, 4 4 10z i z i 8, 1 2z 9, 1 1 2z i


1, 2 2 5z z 2, 2z là số thuần ảo 3, 3 4z z i

4, (3 4 ) 2z i (B-2010) 5, (1 )z i i z (D-2009)

6, 3 2 2 1 2z i z i 7, 1 2z z i 8, 2 2z i z z i


1, 4z z 2, 3z i 3, 2

2 4z z

4, 2 1 2 3z i 5, (2 3 ) 2 0i z i m 6, (1 ) (1 ) 2 1i z i z z

7, 1z i

z i

8,

21

3

z i

z

9,

32

z i

z


1, (2 )( )z z i là số thuần ảo 2, 2 2 4z z i là số thực

3, 2 3

1

z i

z

là số thuần ảo 7,

1

1

iz i

z i

là số thực

8, 2

1

z i

iz

là số thuần ảo 9,

1

z i

iz

là số thực


1, 2z là số thực âm 2,

2( )z i là số thuần ảo

3, 2( )z i là số thực âm 4,

22( )z i z

5, 1

z i là số thuần ảo 6,

z i

z i

là số thực dương


1, 1 2 0z i 2, (1 ) (1 )i z i z 3, log 1z i

4, 2 2

2 2 26z z 5, 1

1z zz

6, 1

3

2 2log 1

4 2 1

z

z

7, 1 1 4z z 8, 2 2 6z i z i 9, 5 5 8z z

Bài 8: Xác định tập hợp các điểm M trên mặt phẳng phức thoả mãn:

1, M biểu diễn các số phức 1z i , trong đó 1 2 3z i .

2, M biểu diễn các số phức 2z i , với 2 1 3z i .


1, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 1 3 2i z , biết 1 2z .


2, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 2 3z i , biết:

a,2

3 . 9z i z z b, 2

2 3 . 1z i z z c, 2 3 5z i

3, Cho số phức

3

5

1 3

16(1 )

iz

i

. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w, biết rằng:

w 2iz z .

4, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w 3iz , biết: 2 1 2 6z zz z iz .

Bài 10: Cho các điểm A, B, C, D, M, N, P nằm trong mặt phẳng phức lần lượt biểu diễn các số phức

1 3i , 2 2i , 4 2i , 1 7i , 3 4i , 1 3i , 3 2i .

1, Chứng minh rằng các tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

2, Tìm điểm Q trong mặt phẳng phức sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Điểm Q biểu diễn số phức nào?

3, Chứng minh tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp một đường tròn. Tìm tâm và tính bán kính đường tròn

đó.

Bài 11: Các véc tơ ,u v trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức

, 'z z . Chứng minh: 1, 1

. ' '2

u v zz zz 2, ' 'u v z z z z

3, Nếu 0u thì ,u v vuông góc khi và chỉ khi 'z

z là số thuần ảo.



2 Căn ậc hai của số phức. Phương trình ậc hai

1, Căn ậc hai của số phức:

*Định nghĩa: Căn bậc hai của số phức z là số phức w sao cho 2w z .

*Phương pháp xác định căn ậc hai của số phức:

Xét số phức z a bi . Gọi w x yi là căn bậc hai của số phức z.

+ Nếu 0, 0a b thì 0z có đúng một căn bậc hai là 0w .

+ Nếu 0, 0a b thì căn bậc hai của z là w a .

+ Nếu 0, 0a b thì 2z a ai nên w ai .

+ Nếu 0b thì ta có 2 2 2 2w x y xyi nên

2 2

2

2

x y aw z

xy b

(*)

Giải hệ (*) để xác định các giá trị của x, y.

2, Phương trình ậc hai:

Xét phương trình bậc hai: 2 0az bz c (1) , với , ,a b c và 0a .

Ta có biệt thức 2 4b ac .

+ Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm trùng nhau: 1 22

bz z

a .

+ Nếu 0 , gọi là căn bậc hai của thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

12

bz

a

; 2

2

bz

a

*Nhận xét: Hệ thức Viét vẫn đúng cho phương trình bậc hai với hệ số phức:

1 2

bz z

a ; 1 2

cz z

a

Dạng 1: Căn ậc hai và phương trình ậc hai

Bài 1: Xác định căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1, 2z i 2, 2z i 3, 3 4z i

4, 2 2 3z i 5, 1 4 3z i 6, 4 6 5z i

7, 1 2 6z i 8, 7 5z i 9, 46 14 3z i

Bài 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

1, 2 6 11 0z z 2,

2 3 10 0z z 3, 23 4 6 0z z

4, 2 2 3 7 0z z 5,

2 ( 5) 8 0z i z i 6, 2 (4 5 ) 11 13 0z i z i


1, 2 3(1 ) 5 0z i z i (D-2012) 2,

2 2(2 ) 7 4 0z i z i

3, 2 (1 3 ) 2(1 ) 0z i z i 4,

2 (3 4 ) 1 5 0z i z i




5, 22 2(5 2 ) 28 4 0z i z i 6,

2 (5 14 ) 2(5 12) 0z i z i


1, 2 2(1 ) 4 0iz i z 2,

2 2(2 ) 6 8 0z i z i

3, 2 (1 ) 6 3 0z i z i 4,

2 (1 ) 10 11 0z i z i

5, 2 7 3 16 3 0z i z i 6, 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i

Bài 5: Gọi 1 2,z z là các nghiệm của phương trình: 23 5 3 0z z . Tính giá trị của các biểu thức:

1, 2 2

1 2A z z 2, 3 3

1 2B z z 3, 5 5

1 2C z z

4,

3 3

1 2

2 1

z zD

z z 5,

1 2

2 12 1 2 1

z zE

z z

6,

2 2

1 2 2 1

1 22 2

z z z zF

z z

Bài 6: Chứng minh rằng:

1, Hai số phức liên hợp z và z là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.

2, Nếu phương trình bậc hai với hệ số thực có một nghiệm phức là z thì z cũng là nghiệm của nó.

Bài 7: Lập phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm:

1, 1 5 2z i và 2 5 2z i 2, 1 2 5z i và 2 2 5z i

3, 2z i 4, 4z i 5, 2 3z i

Bài 8: Tìm hai số phức biết:

1, Tổng của chúng bằng 4 i và tích của chúng bằng 5(1 )i .

2, Hiệu của chúng bằng 6i và tích của chúng bằng 2(7 6 )i .


1, Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 2 10 0z z . Tính giá trị của các biểu thức:

2 2

1 2A z z


2 2

1 2B z z


2013 2013

1 21 1P z z

4, Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2 2 2 8 0z z . Tính giá trị của các biểu thức:

2013 2013

1 2P z z

5, Gọi 1 2,z z là 2 nghiệm phức của phương trình: 22(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i .

Tính giá trị của các biểu thức: 2 2

1 2A z z

6, Gọi 1z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình: 2 2 5 0z z . Tìm tập hợp các điểm M

biểu diễn số phức z thoả mãn: 1

2

2 11

2z

z z

z z

7, Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm 1z của phương trình: 2 2 5 0z z và



điểm B biểu diễn số phức 2 1

1

2

iz z

. Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ độ.

8, Tìm tất cả các số thực b, c sao cho số phức

12

66

1 3 (2 )

1 3 (1 )

i i

i i

là nghiệm của phương trình:

2 8 64 0z bz c .


2 2

1 2

2

1 2

z zP

z z

10, Giả sử a, b, c là 3 số phức thay đổi thoả mãn 0a b c và z là nghiệm của phương trình:

2 0az bz c . Chứng minh rằng: 1 5 1 5

2 2z


2

1 2 1 2

2 2

1 2

2z z z zA

z z

Dạng 2: Phương trình quy về ậc hai


1, 3 1 0z 2,

3z i 3, 6 0z i

4, 4 1 0z 5,

4 4 0z 6, 4 38 8 1z z z


1, 3 23 8 10 4 0z z z 2,

3 2 2 2 2 0z z z

3, 3 22(1 ) 3 1 0z i z iz i 4,

3 22 5 (3 2 ) 3 0z z i z i

5, 3 2(2 1) (3 2 ) 3 0z i z i z 6,

3 22(1 ) (4 9 ) 1 7 0z i z i z i

7, 3 25 (4 5 ) 4(2 ) 8 0z i z i z i 8,

3 2 (1 4 ) 2 0iz z i z


1, 4 23 4 0z z 2,

4 26 25 0z z 3, 4 2(2 ) 2 0z i z i

4, 4 3 27 27 0z z iz i 5,

4 26(1 ) 5 6 0z i z i 6, 2

2 21 ( 3) 0z z

7, 4 2(1 3 ) 2 2 0z i z i 8,

22 24 12 0z z z z


1, 2 3( ) 4 0z i z z i 2, 2 ( 3)( 2) 10z z z z

3, 2 2 2 1 0z i z iz 4, 2

1 8( 1) 15 0zi zi

5, 2( 2 3 ) 6( 2 3 ) 13 0z i z i 6,

22 2 23 6 2 3 6 3 0z z z z z z


7,

21 1

3 2 0z z

z i z i

8,

23 3

2 2 02 2

iz iz

z i z i

Bài 5: Giải các phương trình sau trên tập số phức: (Phương trình hồi quy)

1, 4 3 22 7 9 7 2 0z z z z

2, 4 3 2(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0z i z i z i z

3, 4 3 22 (3 4) 2(2 3 ) (3 4) 2 0z i z i z i z

4, 4 3 2(1 2 ) 2(1 ) (1 2 ) 1 0z i z i z i z

5, 4 3 22 (7 ) 2(5 ) (7 ) 2 0z i z i z i z

6, 4 3 2(3 ) (4 3 ) 2(3 ) 4 0z i z i z i z

7, 4 3 24 (6 10 ) (15 8) (6 10 ) 4 0z i z i z i z


1,

24 3 1 0

2

zz z z 2, 4 2( 2) ( 2) 5 14 13 1 0z z z z

3, 4 3 22 4 4 0z z z z 4,

5 4 3 22 4 8 16 32 0z z z z z

5, 2

2 23 5 3 36 0z z z z 6, 2 23 2 11 30 60z z z z

7, 4 4( ) ( 3 ) 256z i z i 8, 2 21 8 15 105z z iz

9, 5 4 3 2 1 0z z z z z 10, ( 1)( 2)( 4)( 7) 34z z z z

11, 4 3 22 4 4 0z z z z 12,

4 3 24 7 16 12 0z z z z

Bài 7: 1, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

4 3 2 2 22 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z az b

2, Giải phương trình: 4 3 22 3 2 2 0z z z z


3 2 23 3 63 ( 3)( )z z z z z az b

2, Giải phương trình: 3 23 3 63 0z z z

Bài 9: Cho phương trình: 3 2(2 2 ) (5 4 ) 10 0z i z i z i (1)

Chứng minh rằng (1) có 1 nghiệm thuần ảo, từ đó giải phương trình (1) .

Bài 10: Cho phương trình: 3 22(1 ) 3 1 0z i z iz i (1)

1, Chứng minh rằng 1z là 1 nghiệm của phương trình (1) .

2, Tìm các số thực a, b để có phân tích:

3 2 22(1 ) 3 1 ( 1)( )z i z iz i z z az b

3, Giải phương trình đã cho.

Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm z i :

3 2(3 ) (3 4 ) 1 0z i z i z mi

Với giá trị m tìm được, giải phương trình đã cho.




3 2 22 9 14 5 (2 1)( )z z z z z az b

2, Giải phương trình: 3 22 9 14 5 0z z z


4 3 2 2 22 3 2 2 ( 1)( )z z z z z z az b

2, Giải phương trình: 4 3 22 3 2 2 0z z z z

Bài 14: Gọi 1 2 3, ,z z z là các nghiệm phức của phương trình: 327 8 0z .

Tính giá trị của biểu thức:

2

1 2 3

2 2 2

1 2 3

( 1)z z zT

z z z

.

Bài 15: Gọi 1 2 3 4, , ,z z z z là các nghiệm phức của phương trình:

4 3 22 6 4 0z z z z

Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2

1 2 3 4

1 1 1 1T

z z z z .

Bài 16: Cho phương trình: 4 3 23 5 3 4 2 0z z z z (1)

1, Chứng tỏ rằng 1z i là 1 nghiệm của phương trình (1) .

2, Tìm các còn lại của phương trình (1) .

Dạng 3: Hệ phương trình phức

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

1, 1 2

2 2

1 2

5 5

5 2

z z i

z z i

2,

1 2 1 2

2 2

1 2 1 2

3

1

z z z z

z z z z

3, 3 3

3(1 )

9( 1 )

z w i

z w i

4, 3 2 3

2 5 2

z w i

z w i

5,

3 3

3 7

iz w

z w i

6,

3 (1 ) 2 14

(2 1) 4 9

z i w i

iz i w i


1, (2 ) (3 2 ) 10 8

(3 2 ) ( 1 ) 3 6

i z i w i

i z i w i

2, 2 2

2 3

3 3 4 0

z w

z w zw z

3, 2 2 2

2

2 1 0

z w

z w w z w

4, 2 2

(4 ) 7

3 (1 3 ) 291 53

z i w

z i w i

5, 2 2

(2 ) 2

3 5 15

z i w

z iw i

6,

(3 ) 2(2 ) 2(1 3 )

2(2 ) (2 3 ) 5 4

i z i w i

i z i w i


1, 2 2

5

8(1 )

z w i

z w i

2, 2 2

3

4(1 )

z w zw

z w i

3, 3 3 2 2

1 2

45 60

z w i

z w z w zw i

4,

2

2

5(2 )

5(2 )

z w z

w z w

5,

2

2

2 5 3

2 5 3

z w z

w z w

6,

2

2

10 42 6 11

10 42 6 11

z iz i w

w iw i z



1,

4 2

2 2 5

2 3 9 2

x y z i

x y z i

x y z i

2,

2 10 0

2 20 0

( 3 ) (1 ) 30

x iy z

x y iz

i x y i z

3,

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1

1

1

z z z

z z z

z z z

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn hệ phương trình sau:

2

(1 2 ) (1 2 ) 6

2 3 0

i z i z

z i z z



3 Dạng lượng giác của số phức

1, Số phức dưới dạng lượng giác:

Dạng (cos sin )z r i với 0r , được gọi là dạng lượng giác của số phức 0z .

+ được gọi là argument của số phức z, được xác định bởi số đo của mỗi góc lượng giác với

tia đầu là tia Ox, tia cuối là tia OM (M là điểm biểu diễn của số phức z trong mặt phẳng

phức). Argument của số phức z được đo bằng rađian, mọi argument của z có dạng

2k ( k ).

+ r là môđun của số phức z, tức là r z .

2, Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác:

Xét hai số phức 1 1 1 1(cos sin )z r i ; 2 2 2 2(cos sin )z r i . Khi đó ta có:

+ 1 2 1 2 1 2 1 2cos( ) sin( )z z rr i , với 1 20, 0r r .

+ 1 11 2 1 2

2 2

cos( ) sin( )z r

iz r

, với 1 20, 0r r .

3, Công thức Moivre:

Xét số phức (cos sin )z r i , với mọi số nguyên dương n ta có:

(cos sin ) cos sinnn nz r i r n i n

*Chú ý: i, Với 1r ta có (cos sin ) cos sinni n i n

ii, Căn bậc hai của số phức (cos sin )z r i ( 0r ) là hai số phức

cos sin2 2

r i

và cos sin cos sin

2 2 2 2r i r i

iii, Từ công thức Moivre, ta cũng có thể chứng minh được căn bậc n của số phức

(cos sin )z r i gồm n số phức phân biệt được biểu diễn dưới dạng

2 2cos sinn k k

r in n n n

; với k nhận các giá trị nguyên từ 0 đến 1n

Dạng 1: Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

● Chuyển số phức từ dạng đại số z a bi (2 2, ; 0a b a b ) sang dạng lượng giác

như sau:

+ Tính 2 2r z a b

+ Tìm thoả mãn đồng thời cosa

r và sin

b

r

Khi đó dạng lượng giác cần tìm của z là (cos sin )z r i .

● Mỗi số phức z đều có nhiều argument, nếu là 1 argument thì mọi argument đều có dạng




2k ( k ) và nz có một argument là n .

● Từ công thức nhân, chia dạng lượng giác suy ra nếu 1 2,z z lần lượt có một argument là

1 2, thì 1 2z z và 1

2

z

z có argument lần lượt là 1 2 , 1 2 .

Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, z i 2, 1z i 3, 1z i

4, 1 3z i 5, 3z i 6, 3z i

7, 1 3z i 8, 9 9 3z i 9, 1 3

4 4z i

Bài 2: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, 1 3 (1 )z i i 2, 1 3 (1 )z i i 3, 2 3z i i

4, 3

1

iz

i

5, 1

2 2z

i

6, (1 )( 2 2 )z i i i

7, 3(1 )( 5 5 )z i i 8, 1 3

1

iz

i

9, 1 3

( 3 3 ) 2 3 22 2

z i i i

Bài 3: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1, (3 )(1 3 )z i i 2, 2 3 (1 3 3 )z i i 3, 2 4 4 3 (3 3 )z i i i

4, ( 3)(1 12 )

5 2

i iz

i

5,

3 2 5 3 17

2 3

i iz

i

6,

11 3 3

2 3 5 ( 1 )

iz

i i

7, 1 3 ( 1 )z i i 8, 23 (1 7 )(1 2 )z i i i 9,

7 8

9

1 3 3

( 1 )

i iz

i

Bài 4: 1, Tính cos8

và sin

8

.

2, Viết dưới dạng lượng giác của số phức: 1 2 1z i .

Bài 5: Tuỳ theo góc , viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:

1, 1 cos sinz i 2, 1 cos sinz i 3, 1 cos sinz i

4, 1 cos sinz i 5, 1 sin cosz i 6, 1 sin cosz i

7, cos (1 sin )z i 8, cos (1 sin )z i 9, 1 cos sin

1 cos sin

iz

i

10, 1 sin cos

1 cos sin

iz

i

11, 1 cos sin 1 cos sinz i i

Bài 6: Viết dưới dạng lượng giác và tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

1, 2 cos sin6 6

z i

2, cos sin17 17

z i

3, sin cos17 17

z i



4, cos sin7 7

z i

5, 9 cos sin6 6

z i

6, 1 cos sin6 6

z i

Bài 7: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:

1, 2 6z i 2, 5 15z i 3, 2 3z i

4, 2 3z i 5, 2 3z i 6, (4 7 )( 3 11 )z i i

7, 5 11 3

7 4 3

iz

i

8,

1 7 3

2 3 5

iz

i

9,

3 2 5 3 24

1 2 2

i iz

i i

Bài 8: Tìm một argument và tính môđun của mỗi số phức sau:

1, 1 cos sin12 12

z i

2, 1 sin cos5 5

z i

3,

8

6

86

2 3 2 (1 )

(1 ) 2 3 2

i iz

i i

4,

4

10 4

(1 ) 1

3 2 3 2

iz

i i

5, 2013 2013

1 3 1 3z i i 6,

5

6

3 33 19 3.

(1 ) 6 13 3

i iz

i i

Bài 9: 1, Tính cos12

và sin

12

.

2, Xác định môđun và argument của số phức:

4(cos sin )6 6

6 2 6 2

i

zi

.

Bài 10: Cho số phức z có môđun bằng 1. Biết một argument của z là , tìm một argument của số phức:

1, 22w z 2,

1

2w

z 3, w z z 4,

2w z z

Bài 11: Viết dạng lượng giác căn bậc hai của số phức z, biết:

1, 5z và một argument của iz là 7

9

.

2, 4z và một argument của .i z là .

3, 1

3z và một argument của

1

z

i là

3

4

.

Bài 12: Tìm số phức z ở dạng lượng giác biết rằng:

1, 2z và một argument của (1 )i z là 5

12

.

2, 9zz và một argument của 1 3i z là 4

.

3, 1 3z z và một argument của 3z bằng một argument của 3z cộng với 2

.


4, 1


3

z

i là

2

3

.

5, 3


(1 ) 4 3 3

13 3

z i i

i

là

12

.

6, 1 2 2z i z và một argument của 3

3

z

z

là

4

.

7, 1 3z z i và một argument của .i z là 6

.

8, 2 2z i z z và một argument của 1 3i

z

là

2

3

.

Bài 13: Cho hai số phức 1 2 2z i và 2 1 3z i .

1, Tính môđun và argument của hai số phức nói trên.

2, Tính môđun và argument của các số phức 3

1z , 2

2z và

3

1

2

2

z

z.

3, Từ đó suy ra giá trị chính xác của cos12

và sin

12

.

Bài 14: Cho hai số phức 1 3 cos sin3 3

z i

và 2 2 cos sin4 4

z i

.

Viết dưới dạng lượng giác các số phức:

1, 1 2z z 2, 1

2

z

z 3,

1

1

z 4,

2

1

z

Bài 15: Cho các số phức 1 6 2z i , 2 2 2z i và 1

3

2

zz

z .

1, Viết 1 2 3, ,z z z dưới dạng lượng giác.

2, Từ đó suy ra giá trị chính xác của 7

cos12

và

7sin

12

.

3, Tính 1 2w z z .

Bài 16: Viết dưới dạng lượng giác số phức:

2013

2014

2 6

5sin sin

3 6

iz

i

Dạng 2: Vận dụng dạng lượng giác giải toán

Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:

1, 6

9 3z i i 2, 16

101 3 (1 )z i i 3, 7

5cos sin 1 33 3

z i i i

4,

21

9

1 3

(1 )

iz

i

5,

185 7

6

iz

i

6,

10

9

1

( 3 )

iz

i



Bài 2: Tìm số phức z sao cho:

1, 5z và 2

1

z là hai số phức liên hợp 2,

4z và 3

1

z là hai số phức liên hợp

3, 3

z và 2

32

z là hai số phức liên hợp 4,

3 10 22

8 3

iz

i

Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

1,

510

10

(1 ) 3

1 3

i iA

i

2,

2013

1

iB

i

3,

21

5 3 3

1 2 3

iC

i

4,

10

9

(1 )

3

iD

i

Bài 4: Tìm các số nguyên dương n để số phức sau là số thực, số ảo?

1, 3 11

4 7

ni

zi

2,

5 3 3

1 2 3

n

iz

i

3, 3 3

3 3

n

iz

i

4, 13 3 9

12 3

n

iz

i

5, 2

(7 17 )

(2 3 )

n

n

iz

i

6,

2

59 11 3

3 3 2

n

n

iz

i

Bài 5: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho:

1

3

1 3

n

iz

i

là số thực và

2

2

5

2 3

ni

zi



1, Tính giá trị của biểu thức: 6 6

5 51 3 (1 ) (1 ) 1 3A i i i i

2, Tìm phần thực, phần ảo của số phức 2013

2013

1w z

z , biết

11z

z .


2 2z i . Tính

2011 2012 2013w z z z .


2 2z i . Tính

2 3 4 9 101 ...C z z z z z z .

5,(A-2013) Cho số phức 1 3z i . Viết dưới dạng lượng giác của số phức z. Tìm phần thực, phần ảo

của số phức 5(1 )w i z .

1 số phức dạng đại số filekí hiệu số phức đó là z và viết z a bi i được...

Documents