1. สเกลารและเวคเตอร (Scalar and Vector)

ปรมาณทางฟสกสทส าคญมอย 2 อยาง คอ ปรมาณสเกลาร และ ปรมาณเวคเตอร ปรมาณสเกลาร(Scalar) คอ ปรมาณทมขนาดเพยงอยางเดยว เชน มวล (mass), ความยาว (length), เวลา (time), อณหภม (temperature), ปรมาตร (volume)

ปรมาณเวคเตอร(Vector) คอ ประมาณทมทงขนาดและทศทาง เชน การกระจด (displacement), แรง (Force), ความเรว (Velocity), ความเรง (Acceleration), สนามแมเหลก ทางเรขาคณต เวคเตอรแทนไดดวยสวนของเสนตรงทมทศทาง โดยความยาวของเสนจะบอกขนาดของเวคเตอร และหวลกศรเปนตวบอกทศทางของเวคเตอร

Q จากรป แสดงเวคเตอร ทมขนาด | |

หรอพดวา เวคเตอร ทมขนาด | |

เรยกจด P วา จดเรมตน (Initial point)

P เรยกจด Q วา จดปลาย (Terminal point)

2. พชคณตของเวคเตอร (Vector Algebra)

1. เวคเตอร และ เทากน ถามขนาดเทากนและมทศทางเดยวกน ไมจ าเปนตองอยท

เดยวกน ดงนน

2. เวคเตอรทมขนาดเทากบ แตมทศทางตรงกนขาม เราเรยกวา นเสธของเวคเตอร

เขยนแทนดวย - 3. การบวกเวคเตอร และ

ถาจดเรมตนของ อยทปลายของ แลว ผลบวก จะเปนเวคเตอรทมจดเรมตนอยทจดเรมตนของ และมจดสนสดอยทปลายของ ในกรณทจดเรมตนของ ไมไดอยทปลายของ เรากสรางเวคเตอรใหมใหมจดเรมตนอยทปลายของ ดงรป

นอกจากน เราอาจหาผลบวก อกแบบหนง คอ ใหมจดเรมตนของ และ เปนจดเดยว ผลบวก จะเปนเวคเตอรทมจดเรมตนจดเดยวกน และมทศทางแนวเสนทแยงมมของรปสเหลยมดานขนานทม และ เปนดานประกอบมม และมจดสนสดเปนจดมมตรงขาม

4. การลบเวคเตอร คอ การบวกดวยนเสธของเวคเตอร เชน - - ดงนน จงท าไดโดยการกลบทศทางของเวคเตอรตวลบ แลวน าไปบวกกบเวคเตอรตวตง

- -

ถาให และ เรมตนอยทเดยวกนจะได - เปนเวคเตอรทอยในแนวเสนทแยงมมของ

รปสเหลยมดานขนานทม และ เปนดานประกอบมม (เสนทไมใชจดเรมตนเดยวกบ และ

-

การบวกลบเวกเตอร 2 เวคเตอร ทมจดเรมตนอยทเดยวกน ดงรป คอ

-

ถาสรางสเหลยมดานขนานทม และ เปนดานประกอบมม เวคเตอรผลบวก จะอยในแนวเสนทแยงมมทมจดเรมตนทเดยวกบ และ สวนแนวเสนทแยงมมทเหลอจะเปน

เวคเตอรผลตาง ถาหวลกศรชไปทตวใด เชนในรปขางบน ชไปท จะเปนเวคเตอร - (ถาชไปท จะเปนเวคเตอร - ) การบวกลบเวคเตอรหลายๆ ตว กยงคงใชหลกการเดยวกน เชน

C

B

D

A E

( )

( )

5. เวคเตอรศนย (Zero vector or Null vector) เขยนแทนดวย คอเวคเตอร

ทมขนาดเปนศนย ทศทางไมปรากฏจะมจดเรมตนและจดปลายอยทจดเดยวกน เชน B

A C

6. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ให k เปนจ านวนจรง และ เปนเวกเตอรในระนาบ ผลคณระหวาง k และ เปนเวกเตอร ซงเขยนแทนดวย สญลกษณ จะได

5.1 ถา แลว คอ เวคเตอรทมขนาด k เทาของเวคเตอร และมทศทางไปตาม

5.2 ถา แลว คอเวคเตอรทมขนาด | | เทาของเวคเตอร และมทศทางตรงขามกบ

5.3 ถา แลว

-

7. เวกเตอรทขนานกน

ให และ

ขนานกบ กตอเมอมจ านวนจรง ซงท าให

3. คณสมบตของเวคเตอร

ให และ เปนเวคเตอรในระนาบ m และ n เปนสเกลาร

1. 2. ( ) ( )

3. 4. ( ) ( ) ( )

5. ( ) 6. ( )

7. ม ทซง 8. ทกๆ จะม- โดยท-

9. ถา แลว 10. ถา และ - หรอ -

Ex.1 จากรป จงเขยนเวคเตอร และ ในรปของ และ

D C

E

A B

Ex.2 จากรป AB = BD = DC = AC = BE = EF = EG = GH = HF จงหาคา

ของ -

A B E G

C D F H

4.เวคเตอรในระบบแกนมมฉาก

นยาม เวคเตอร 1 หนวย (Unit vector) คอ เวคเตอรทมความยาวหรอขนาดหนงหนวย เวคเตอรหนงหนวยทส าคญและน าไปใชในการสรางหรอหาเวคเตอรอนๆ หรอเวคเตอรหนงหนวยทมทศทางไปตามแกนบวก x เขยนแทนดวย และเวคเตอรหนงหนวยทมทศทางไปตามแกน y เขยนแทนดวย

เปนผลบวกของเวคเตอรขนาด | | หนวย ไปตามแกน x ทางขวา (ถาx>0) และไปทางซาย(ถา x<0) กบเวคเตอร |y| หนวย ไปตามแกน y ขนขางบน(ถา y > 0) และลงขางลาง (ถา y < 0)

y P(x,y)

O Q

จากรป เนองจากเวคเตอร เปนเวคเตอรทมทศทางไปตามแกน x

และยาว x หนวย ดงนน และเวคเตอร เปนเวคเตอรทมทศทางไปตามแกน y และยาว y หนวย

ดงนน

หรอเขยนแทนดวย [ ] หรอ

หมายเหต : 1. อาจเขยนแทนดวย [ ] และ เขยนแทนดวย [

]

2. ถาพจารณาใหระบบแกนมมฉาก 3 มต

จะให เปนเวคเตอรหนงหนวยในทศทางบวกของแกน x แกน y และแกน z ตามล าดบ โดยเวคเตอรทง 3 ตว จะตงฉากซงกนและกน ตามกฎมอขวา และ

[ ] [

] [

]

z

y

x

ทฤษฎท 4.1 เวคเตอรทมขนาด 1 หนวย และมทศทางเดยวกบ เขยนแทนดวย

จะได | |

√

พสจน | | |

√ |

√ | | | | √

√

และ

√ ( )

√

ดงนน และมทศทางเดยวกบ เนองจาก

√

Ex.1 จงหาเวคเตอรหนงหนวยซงมทศทางเดยวกบ และมทศทางตรงกนขามกบ เมอ A มต าแหนงเปน (-1,-3) และ B มต าแหนงเปน (5,2)

วธท า

นยามท 4.2 เวคเตอรต าแหนงของจด P(x,y) ใดๆ หมายถงเวคเตอรทลากจากจดก าเนดถงจดปลาย P(x,y)

นนคอเวคเตอรต าแหนง | | √

ทฤษฎ 4.4.2 ถาให ( ) เปนจด 2 จดใดๆ แลว จะได

พสจน y

0 x

Ex.2 จงหาเวคเตอรจากจด ( - ) ไปยงจด (- )

Ex.3 ถา - และ - จงหาขนาดและทศทางของ -

วธท า

Ex.4 จงหาเวคเตอร ซงมขนาด 6 หนวย ในทศทางท ามม

กบแกน x

วธท า

P y

y

x

Ex.5 ถา A(2,4) และ B(6,2) อยบนระนาบแกนมมฉาก P เปนจดๆ หนงบน AB จงหา

ต าแหนงของ P และขนาดของ เมอ AP:PB=3:2

วธท า A(2,4)

y P

B(6,2)

o x

Ex.6 ก าหนด และ เมอ a, b, c, d 0

Ex.7 - -

5. การน าเวคเตอรไปใชในการแกปญหาทางเรขาคณต

Ex.1 จงพสจนวาเสนตรงทเชอมตอระหวางจดกงกลางของดานทงสองของรปสามเหลยมใดๆ มขนาดเปนครงหนงของดานทสาม

A

D E

B C

Ex.2 จงแสดงวาเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนานใดๆ แบงครงซงกนและกน

D C

M

N

A B

6. ผลคณเชงสเกลารของเวคเตอร (Dot Product or Scalar Product or Inner Product of Vector)

นยาม ผลคณเชงสเกลารของเวคเตอร 2 เวคเตอร และ คอ (อาน

) | || | เมอ เปนมมระหวาง และ และไดผลเปนสเกลาร

6.1 คณสมบตของ dot product

1.

2. ( )

3. ( ) ( ) ( ) ( )

4.

5. ถา และ ดงนน

| |

6. ถา และ และ ไมใชเวคเตอรศนย แสดงวา ตงฉากกบ

พสจน เนองจาก

จากนยาม | || |

แสดงวา ซง ดงนน A ตงฉากกบ B

หมายเหต

1. ถา และ ไมเปนเวคเตอรศนย A ตงฉากกบ B กตอเมอ

| || |

2. ถา และ ไมเปนเวคเตอรศนย ภาพฉาย (Projector) ของ ไปบน เขยน

แทนดวย จะเทากบ เมอ เปนเวคเตอรหนงหนวยของ

Ex.1 จงหาผลคณเชงสเกลารของ และ

Ex.2 จงหามมระหวาง √ และ √

Ex.3 จงหาเวคเตอรหนงหนวยทตงฉากกบเวคเตอร - -√

Ex.4 ก าหนดสามเหลยม ABC โดยมจดยอดอยท A(2,3), B(-1,-1), C(1,-2) จงหามมยอดและความยาวของเสนรอบรปสามเหลยมน