1 schrecken der unendlichkeit, der zweite teil analysis
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Schrecken der Unendlichkeit,der zweite Teil
Analysis
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Übersicht
Das erste Auftauchen: Zenon
Grenzwerte von Zahlenfolgen
Die Eulersche Zahl e
Kann man unendlich viele Zahlen addieren? Unendliche Reihen
Die geometrische Reihe
Die alten Regeln gelten nicht mehr
0, 9 1
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Heraclit (etwa 535 – 475 v.Chr.)
• Lebte in Ephesos• Der Philosoph der
Bewegung
• Das einzig Stete ist der Wandel
• Alles fließt• Enormer Einfluss in
der Moderne
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Die Geographie der Mathematik
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5
Zenon (490 – 430 v.Chr.)
• Vorsokratiker• Schüler des
Parmenides• Lebte in Elea (Italien)
• Berühmt durch Paradoxa
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Die Geographie der Mathematik
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Zenon: Achill und die Schildkröte
• Ein Paradoxon, das die Alten nicht lösen konnten
• Problem: Ein Wettlauf zwischen Achill, schnellster Läufer der Antike, und einer Schildkröte
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Zenon: Achill und die Schildkröte
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Der mathematische Kern: Die Gesamtzeit
Vachill = 10m/s
Vschildkröte = 1m/s
Gesamtzeit = 1 1
10 1 .....10 100
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Zenons Paradoxon
• Zenon: Achill kann die Schildkröte nicht einholen
• Begründung: Man muss unendlich viele Zeiten addieren und dabei kann nach Zenon nur unendlich herauskommen
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Eine moderne Lösung
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Eine andere Argumentation:
Gesamtzeit =
1 1 1 10010 1 ..... 11, 1 11
10 100 9 9
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Der Kern des Problems
• Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? (mit einem plausiblen Ergebnis)
• Die antiken Mathematiker fanden keine allgemeine Lösung
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Die moderne Lösung
Grenzwerte (von Zahlenfolgen, Funktionen,…..)
Der Begriff der reellen Zahl
Viele Überraschungen, auch manche Holzwege!
Einige Protagonisten:
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Newton (1643 – 1727)
• Begründer der modernen Physik
• Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung
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Leibniz (1646 – 1716)
• Letzter Universalgelehrter
• Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung
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Euler (1707 – 1783)
• Wichtigster Mathematiker seiner Zeit
• Erforschte unter anderem die Zahl e
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Cauchy (1789 – 1857)
• Schuf die Grundlagen der modernen Grenz-werttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen
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Dedekind (1831 – 1916)
• Brachte den Begriff „reelle Zahl“ zu einem vorläufigen Abschluss
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Eine einfache Zahlenfolge:
n
n
1 1 1 1 1 1 1a : , , , , , , ,.......
1 2 3 4 5 6 7
1a , n
n
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an
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
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22
an
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
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Eine weitere einfache Zahlenfolge:
n
n+1
n
1 1 1 1 1 1 1b : , , , , , , ,.......
1 2 3 4 5 6 7
( 1)a , n
n
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bn
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19
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Der Limesbegriff
1 1lim 0, denn: wird kleiner als jede positive Zahl
n n
Dies ist eine Definition!
1Beachten Sie: ist selbst nie 0! Der Grenzwert ist 0.
n
n
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Der Knackpunkt:
Es gibt keine unendlich kleinen Zahlen auf der Zahlengeraden (in R).
Andere Zahlmodelle sind möglich
0-Punkt
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Historisches
• Die Entwicklung einer allgemeinen Definition benötigte weit mehr als 100 Jahre.
• Die allgemeine Definition wirkt sehr abstrakt, auf den ersten Blick schwer verständlich.
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Die genial einfache Idee:
Einsperren der Zahlenfolge beim Grenzwert
a
ε
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Die exakte Definition des Grenzwerts einer Folge an
nn
n
lim a = a für alle ε > 0 gibt es ein N(ε) mit:
Aus n > N(ε) folgt |a - a| < ε.
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Ein berühmter Grenzwert:Die Zahl e
History Fiction:
Wie e hätte entdeckt werden können, aus niederen Motiven, aus Geldgier.
So ist es nicht geschehen.
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Die Geburt der Zahl e aus dem Geist des Kapitalismus
Zinsen, immer mehr ZinsenDie Ausgangssituation:
1 € wird ein Jahr lang zu 100% angelegt.
Nach einem Jahr hat man K1 = (1 + 1) €
Wie kann man mehr erlangen?
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Unterjährliche Verzinsung
Halbjährlich:
K2 = (1 + ½) (1 + ½) = (1 + ½)2 = 2,25
Dritteljährlich:
K3 = (1 + 1/3) (1 + 1/3) (1 + 1/3) =
(1 + 1/3)3 = 2,37037037….
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Die Entwicklung der ZinsenEndkapital bei n Perioden pro Jahr: Kn
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
1 6 11 16 21 26 31 36 41 46
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34
Die allgemeine Situation
Bei n Verzinsungsperioden pro Jahr:
Kn = (1+1/n)n.
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35
Einige Werte, mit EXCEL berechnet
k n = 10k Kn
1 10 2,59374246
2 100 2,704813829
3 1000 2,716923932
4 10000 2,718145927
5 100000 2,718268237
6 1000000 2,718280469
7 10000000 2,718281694
8 100000000 2,718281786
9 1000000000 2,718282031
10 10000000000 2,718282053
11 1E+11 2,718282053
12 1E+12 2,718523496
13 1E+13 2,716110034
14 1E+14 2,716110034
15 1E+15 3,035035207
16 1E+16 1
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Analyse:
EXCEL rechnet falsch:
K3 = (1+1/3)3 = (1+1/3)(1+1/3) (1+1/3) > 2
Kn = (1+1/n)n = (1+1/n)(1+1/n)…(1+1/n) > 2
Was kommt wirklich heraus?
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Eulers Ergebnis
n1lim (1+ ) = 2,718281828459... = e
nn
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Einige Eigenschaften von e
e ist kein Bruch, e ist transzendent
ie 1 0
n=1
1 1 1 1 1 1e = 1 + + + + + +.... =
1! 2! 3! 4! 5! n!
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Berechnung von e
1 1 1 1 1 1e 1 + + + + + + ....
1! 2! 3! 4! 5! n!
3Fehler <
(n+1)!
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Beispiel: n = 5
1 1 1 1 1 163e 1 + + + + + = 2,716
1 2 6 24 120 60
3 1Fehler < = 0,0042
720 240
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Die Bedeutung der Zahl e: f(x) = ex
Anwendungen:
Wachstumsprozesse
Zerfallsprozesse
Hintergrund:
(ex)´ = ex
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Eine Bemerkung zu den Zinsen
So wachsen die Bäume nicht in den Himmel
Aber: Geldgier macht erfinderisch. Man kann mit Zinsen mehr rausholen.
„Vorschüssige Zinsen“
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Unendliche SummationenBeispiele
1 + 1 + 1 + 1 +……
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 …..
1 + ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + ….
9/10 + 9/100 + 9/1000 + …..
1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..
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Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren?
Eigentlich gar nicht.
Vorschlag: Addiere bis zur 1. 2. 3. n-ten Zahl:
S1, S2, S3, ´… Sn, … („Partialsummen“)
S = lim Sn
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45
Entwicklung vonS = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..
Sn
0
0,5
1
1,5
2
2,5
1 2 3 4 5 6 7 8
Sn
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46
S = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + …..
S1 = 2 – 1 < 2
S2 = 2 – ½ < 2
S3 = 2 – (½)2 < 2
Sn = 2 – (½)n-1 < 2
Der Unterschied zu 2 geht gegen 0!
lim Sn = 2
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47
Das 0,9999..-Problem
0,99999…. = 9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….)
S1 = 9/10 S1 = 1 – 1/10
S2 = 99/100 S2 = 1 – 1/100
Sn = …. Sn = 1 – 1/10n
0,999… = lim Sn = 1
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48
Die berühmte Leibnizreihe
Die Reihe:
S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + …
Die Reihe hat einen Wert („konvergiert“):
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49
Die Entwicklung der SummeSn
0
0,25
0,5
0,75
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Sn
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50
Welchen Wert hat die Reihe?
Eulers Ergebnis:
S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + …
= ln 2 = 0,6931……..
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51
Schrecken der Unendlichkeit
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1L = 1 - + - + - + - + - + - + ....
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131 1 1 1 1 1 1
L = + - + - + - ....2 2 4 6 8 10 12Addition:
3L = 1
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 + - + + - + + - + ....
3 2 5 7 4 9 11 6 13
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52
Ein unmögliches Ergebnis
3L = L,
21
also: L = 0,2
also: L = 0. Dies ist unmöglich!
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53
Wo liegt der Trugschluss?
Die Reihenfolge der Summanden ist
relevant!
Es gilt nicht die Verallgemeinerung von
a +b + c = b + c + a = b + a + c = …..
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54
Es kommt noch schlimmer:Der Satz von Riemann
Man kann durch geschicktes Umsortieren jedes Ergebnis erzeugen.
Dies geht allerdings nicht bei allen unendlichen Summen.
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55
Bernhard Riemann (1826 – 1866)
Nachfolger von Gauß inGöttingen
Mathematisches Genie
Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts-theorie
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56
Die Idee von Riemann
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1N = + + + + + + + + + .....
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ( + )+ ( + + + ) + ( + ......
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 + + ( + )+ ( + + + ) + ( + ......2 2 4 4 8 8 8 8 16 16
Also: N =
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Die Idee von Riemann1 1 1 1 1 1 1 1 1
P = 1 + + + + + + + + + .....3 5 7 9 11 13 15 17 19
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 > + + + + + + + + + .....
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 + + ( + )+ ( + + + ) + ( + ......
2 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 1 1 1 1 (1 + + ( + )+ ( + +
2 2 4 4 8 8
1 1 1+ ) + ( + ......
8 8 16 16
Also: P =
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58
Die Idee von Riemann
1 1 1 1 1 1Pos = {1, , , , , , .....}
3 5 7 9 11 13
1 1 1 1 1 1Neg = { , , , , , .....}
2 4 6 8 10 12
Angepeilter Wert: 1
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59
Die Entwicklung der SummeSn
0,0
0,5
1,0
1,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
Sn
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60
Die Entwicklung der Summe
1 1 1 1 1 11 = 1 + - + - + + - + +
3 5 7 9 11 13
1 1 1 1 1 1 - + + - + +
1 1 1
2 4 6
1 1 1- + + ......
15 17 19 21 23 258 10 12
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61
Warum nicht 42 als Beispiel?
Man muss im ersten Schritt zwischen
1035 und 1036 Summanden addieren!
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62
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