1 series de fourier "series de fourier, transformadas de fourier y aplicaciones", genaro...
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1
Series de Fourier
"Series de Fourier, Transformadas de Fourier y Aplicaciones",Genaro González
2
...3
)3(
2
)2()(
)(
2)(
1
tsentsentsen
n
ntsenttf
n
La primera serie de Fourier de la historia
Euler 1744 escribe en una carta a un amigo:
¿Es cierto?
Observemos que en t = 0 hay problemas → π/2 = 0 ¡¡
La clave está en el concepto de función periódica.
3
Funciones Periódicas
Una función periódica f(t) cumple que para todo valor de t:
f(t) = f(t + T).
Al valor mínimo, mayor que cero, de la constante T que cumple lo anterior se le llama el periodo fundamental (o simplemente periodo) de la función.
Observa que:
f(t) = f(t + nT), donde n = 0, 1, 2, 3,...
Cuestión: ¿Es f(t) = cte. una función periódica?
4
Ejemplo: ¿Cuál es el periodo de la función
Si f(t) es periódica se debe cumplir:
Como cos(t + 2k) = cos(t) para cualquier entero k, entonces, para que se cumpla la igualdad, se requiere que:
T/3 = 2k1 y T/4 = 2k2Es decir:
T = 6k1= 8k2con k1 y k2 enteros.
El valor mínimo de T se obtiene con k1= 4, k2= 3, es decir, T = 24
?coscos 43 )()(f(t) tt
)()(T)f(t TtTt43 coscos )()(f(t) tt
43 coscos
5
Gráfica de la función
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
T
)()(f(t) tt43 coscos
6
¿Es la suma de dos funciones periódicas una función periódica?Depende. Consideremos la función:
f(t) = cos(1t) + cos(2t).
Para que sea periódica se requiere encontrar dos enteros m, n tales que:
1T = 2m y 2T = 2n.Es decir, que cumplan:
T = m/ (2 1) = n/ (2 2)n
m
2
1
7
Ejemplo: para la función cos(3t) + cos((+3)t) tenemos que
¿Es periódica?
3
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30-2
-1
0
1
2
f(t)=cos(3t)+cos((3+π)t)
t
f(t)
8
Para que exista periodicidad 1/ 2 debe ser
un número racional (n/m).
Ejercicios: Encontrar el periodo de las
siguientes funciones, si es que son periódicas:
1) f(t) = sen(nt), donde n es un entero.
2) f(t) = sen2(2t)
3) f(t) = sen(t) + sen(t + )
4) f(t) = sen(1t) + cos(2t)
5) f(t) = sen(2 t)
9
Si f1(t) tiene periodo T1 y f2(t) tiene periodo T2,
¿es posible que f1(t) + f2(t) tenga periodo
T < min(T1,T2)?
T1 = 5
T2 = 5
T = 2,5
10
Podemos construir incluso un ejemplo de dos funciones de igual periodo, cuya suma puede tener un periodo tan pequeño como queramos. Sea N un entero, y definamos:
11
,0
10),2(
)(1
tN
NttNsen
tf
11
),2(
10,0
)(2
tN
tNsen
Nt
tf
extendida periódicamente con T = 1:
ttftf ),1()( 11
extendida periódicamente con T = 1:
ttftf ),1()( 22
ttftf
ttNsentftf
),1()1(
10,)2()()(
2121
NNT
1
2
22
11
¿Puede una función f(t) cumplir la condición f(t) = f(t + T) para todo t y no tener un periodo fundamental?
enterounes nosi0
enterounessi1)(1 t
ttf
1
enterossonnoysi0
enterossonysi1)()( 11
T
Ttt
TttTtftf
12
enterounesoirracionalessi0
enterounnoperoracionalessi1)(2 t
ttf
1
enterosoesirracionalsonysi0
enteros noperoracionalessonysi1)()( 22
T
Ttt
TttTtftf
irracionales si0
racionalessi1)()( 21 t
ttftf
T = ?
13
...3
)3(
2
)2(
2
tsentsentsen
t
¿Cómo lo alcanzó?
Volvamos al resultado de Euler:
...)(
...)(32
32
titiit
titiit
eetSe
eeetS
t
tseni
e
etS
it
it
cos12
1
2
1
1)(
...)3()2(...)3cos()2cos(cos
...)(
2
1
32
tsentsentsenittt
eeetS titiit
2;
4...
7
1
5
1
3
11
2
2
1...
3
)3(
2
)2(
4
CCt
Cttsentsen
tsen
Integrando término a término:
Utilizando la fórmula de Euler para cada término:
Particularizamos t para encontrar C:
14
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
...3
)3(
2
)2(
2
tsentsentsen
t
...3
)3(
2
)2()(
22
...3
)3(
2
)2()(
2
tsentsentsen
t
tsentsentsen
t
15
(1) La función de Euler es periódica de periodo T = 2π.
(2) La serie es una función impar.No es sorprendente, pues se trata de suma de senos de periodos enteros.
(3) En el intervalo 0 < t < 2π, la serie aproxima a (π-t)/2.Pero no fuera del intervalo...
(4) Da saltos bruscos entre valores positivos y negativos.
(5) La aproximación no es buena en "los extremos"...Ninguna de estas dos últimas cuestiones era conocida o sospechada ni por Euler, ni por Fourier...
16
Jeand'Alembert1717-1783
Leonhard Euler1707-1783
DanielBernouilli1700-1782
Lagrange
17
Se necesita también como condición inicial u(0,x)=f(x) para 0<x<1.Euler en 1749 demostró la misma solución. Pero difería con D'Alambert en el posible tipo de f(x) inicial. De hecho, este es el inicio del problema de la "definición" de unafunción. Para Euler era posible una función en partes: cualquier gráfica era una función.Para D'Alambert necesariamente: expresión analítica compacta.
18
19
En realidad la forma de solucionar el problema por parte de Daniel Bernoulli en 1753 fue completamente distinta. Se basó en la superposición de ondas y tomó como solución:
un(x,t) = sin(nx) cos(nt)
donde para cada t fijo cada sin(nx) se anula en n-1 puntos o nodos.
1n
n )ntcos()nx(sena)t,x(u
Pero recordemos que u(x,0) = f(x)...
20
Resolvamos por variables separadas: u(x,t) = X(x) T(t)
.t,)t(T)t(''T
)(X)(X),,(x,)x(X)x(''X
.c.cy.i.c;x
)t,x(u
t
)t,x(u
00
010100
2
2
2
2
Por eso Bernouilli optó por tomar f(x) como:
1
0n
n )nx(sena),x(u)x(f
con una adecuada elección de los coeficientes an...
21
Joseph Fourier
En diciembre de 1807 Joseph
Fourier presentó un sorprendente
artículo a la Academia de Ciencias
en París. En él afirmaba que
cualquier función puede escribirse
en forma de serie trigonométrica
semejante al ejemplo de Euler.
Polémica: Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) era uno de los muchos que opinaba que algo así era simplemente imposible...
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768-1830
22
Fourier fue nombrado por Napoleón secretario permanente del Instituto Egipcio.Contrajo una enfermedad de Tiroides (mixedema).
23
Fourier basó su trabajo en el estudio físico de la ecuación del calor o de difusión:
Describe cómo el calor o una gota de tinta se difunden en un medio.
Lord Kelvin (1736-1813): electricidad por los cables trasatlánticos, edad de la Tierra,...
t
u
kx
u
1
2
2
24
x);x(f),x(u
t;)t,(u)t,(ut
)t,x(u
kx
)t,x(u
00
000
12
2
00
)(X)(Xcon
)t(T)x(''X)t('T)x(X
)t(T)x(X)t,x(u
Dividiendo entre X(x)T(t):
)xA(senC)xAcos(C)x(X);x(AX)x(''X
eC)t(T);t(AT)t('T
.cteA,A)x(X
)x(''X
)t(T
)t('T
At
21
0
C1=0, C0=C2=1, A=-n2 con n = 1, 2, 3, ...
)nx(sene)t,x(u tnn
2
25
)nx(sene)t,x(u tnn
2La combinación lineal de soluciones
será también solución:
1n
nn )t,x(ua)t,x(u
Llegando al mismo resultado que Bernoulli, pero pudiendo calcular los coeficientes an.
26
Serie trigonométrica de FourierAlgunas funciones periódicas f(t) de periodo T pueden expresarse por la siguiente serie, llamada serie trigonométrica de Fourier
Donde 0 = 2/T se denomina frecuencia fundamental.
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
...)3()2()(...
...)3cos()2cos()cos()(
030201
030201021
tsenbtsenbtsenb
tatataatf
27
...3
)3(
2
)2(
2
tsentsentsen
t
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
a0 = 0, a1 = 0, a2 = 0 ...
b1 = 1, b2 = 1/2, b3 = 1/3,...
28
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Dada una función periódica f(t), ¿cómo se obtiene su serie de Fourier?
Necesitamos calcular los coeficientes a0,a1,a2,...,b1,b2,...
Lo haremos gracias a la ortogonalidad de las funciones seno y coseno.
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn
1
00021 cos
29
Ortogonalidad
Se dice que las funciones del conjunto {fk(t)} son ortogonales en el intervalo a < t < b si dos funciones cualesquiera fm(t), fn(t) de dicho conjunto cumplen:
nmparar
nmparadt(t)(t)ff
n
b
a
nm
0
30
Ejemplo: las funciones t y t2 son ortogonales en el intervalo –1 < t < 1, ya que:
Ejemplo: Las funciones sen t y cos t son ortogonales en el intervalo – < t <, ya que
04 1
141
1
31
1
2
t
dttdttt
02
cos2
π
ππ
π
tsentdtsent
¿Falta algo para demostrar en ambos casos la ortogonalidad?
31
Ortogonalidad de senos y cosenos
Aunque los ejemplos anteriores se limitaron a un par de funciones, el siguiente es un conjunto de una infinidad de funciones ortogonales en el intervalo -T/2< t < T/2:
{1, cos(0t), cos(20t), cos(30t),...,
sen(0t), sen20t, sen30t,...}
con 0= 2.
32
Vamos a verificarlo probándolo a pares:
1.- f(t) = 1 vs. cos(m0t):
Ya que m es un entero.
0)222
cos1
00
0
2
2
0
02
2
0
mω
sen(mπ
mω
)T/sen(mω
mω
t)sen(mωt)dt(mω
T/
T/T/
T/
0= 2
33
2.- f(t) = 1 vs. sen(m0t):
3.- cos(m0t) vs. cos(n0t):
02cos2cos1
cos1
000
2
2
0
02
2
0
)]T/(mω)-T/(mω[mω
mω
t)(mωt)dtsen(mω
T/
T/T/
T/
02/
0t)dtt)cos(ncos(m
2/
2/
00 nmparaT
nmparaT
T
cos A cos B = ½[cos(A+B)+cos(A-B)]cos2= ½ (1+cos2)
0= 2
34
4.- sen(m0t) vs. sen(n0t):
5.- sen(m0t) vs. cos(n0t):
m,ncualquierparat)dt(nωt)sen(mωT/
T/
0cos2
2
00
02
02
2
00 nmparaT/
nmparat)dtt)sen(nωsen(mω
T/
T/
sen A sen B = ½[-cos(A+B)+cos(A-B)] sen2 A =½ (1-cos2)
sen A cos B = ½[sen(A+B)+sen(A-B)]
35
¿Cómo calcular los coeficientes de la serie?
Vamos a aprovechar la ortoganilidad que acabamos de demostrar del conjunto de funciones: {1, cos(0t), cos(20t), cos(30t),...,
sen(0t), sen20t, sen30t,...}
con 0= 2, en el intervalo -T/2< t < T/2 , para calcular los coeficientes a0,a1,a2,... , b1,b2,... de la serie de Fourier:
]t)sen(nωbt)(nω[aaf(t)n
nn
1
00021 cos
36
Multiplicando ambos miembros de la igualdad por cos(m0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)cos()(2/
2/
02
mdttmtfaT
TTm
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
coscos
cos)cos()(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf
0
0, si m ≠ 0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
37
Observa que el caso anterior no incluye a a0, m = 0
que debemos tratar a parte:
2/
2/
0 )(2 T
T
dttfT
aTa
t)dt(mωt)sen(nωb
t)dt(mωt)(nωa
t)dt(mωadttmtf
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
0
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
2
1
cos
coscos
cos)cos()(
0
T, si m = 0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
38
Similarmente, multiplicando por sen(m0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtenemos:
,...3,2,1)()(2/
2/
02
mdttmsentfbT
TTm
1
2/
2/
00
1
2/
2/
00
2/
2/
0021
2/
2/
0
cos
)(
n
T
T
n
n
T
T
n
T
T
T
T
t)dtt)sen(mωsen(nωb
t)dtt)sen(mω(nωa
t)dtsen(mωadtt)sen(mωtf0
0
0, si m ≠ 0T/2, si m = n
39
Un ejemplo históricamente importante: Encontrar la serie de Fourier para la función de onda cuadrada de periodo T:
La expresión para f(t) en –T/2< t < T/2 es:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf 0= 2
40
Coeficiente a0:
2/
2/
10 )(
T
TT dttfa
2/
0
0
2/
20
T
TT dtdta
0
2/
2/
02
T
TT tt 0
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
41
Coeficientes an:
2/
2/
02 )cos()(
T
TTn dttntfa
2/
0
0
0
2/
02 )cos(1)cos(1
T
TTn dttndttna
0)(1
)(1
0
2/
002/
0
00
2
T
TT tnsen
ntnsen
n
0para n
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
42
Coeficientes bn:
2/
2/
02 )()(
T
TTn dttnsentfb
2/
0
0
0
2/
02 )()(
T
TTn dttnsendttnsenb
0
2/
002/
0
00
2 )cos(1
)cos(1 T
TT tn
ntn
n
)1)(cos())cos(1(1
nnn
0para))1(12
nn
n
2
2
01
01)(
T
T
tpara
tparatf
43
Finalmente, la serie de Fourier queda como
En la siguiente figura se muestran: la componente fundamental y los armónicos 3, 5 y 7, así como la suma parcial de estos primeros cuatro términos de la serie para
0 = 0= 2, es decir, T = 2:
10
051
031
0
))12(12
14)(
...)5()3()(4
)(
n
tnsenn
tf
tsentsentsentf
44
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5Componentes de la Serie de Fourier
t
Co
mp
on
ente
s
Sumafundamentaltercer armónicoquinto armónicoséptimo armónico
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
Fourier series java applet (http://www.falstad.com/fourier/)
45
Nota: Para expresarse como serie de Fourier f(t),
no necesita estar centrada en el origen. Simplemente debemos tomar el intervalo, donde está definida, como el periodo de la serie. La ortogonalidad de las funciones seno y coseno no sólo se da en el intervalo de –T/2 a T/2, sino en cualquier intervalo que cubra un periodo completo:
de t0 a t0 + T, con t0 arbitrario,
con el mismo resultado.
46
Habíamos calculado los coeficientes para:
TtTpara
Ttparatf
2/1
2/01)(
2/01
02/1)(
Ttpara
tTparatf
Si los calculamos para la misma función desplazada
tienen que ser los mismos:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
Repite los cálculos y compruébalo.
47
De hecho si repetimos para cualquier intervalo de longitud el periodo T de la función, será lo mismo:
1f(t)
t
. . . t0 t0 +T . . .-1
TT
Tt
tT
T
T
T
TT dttfdttfdttfdttfa )()()()( 22
0
22/
2/
10
0
0
T
T
T
TTn dttntfdttntfa )cos()(...)cos()( 0
22/
2/
02
T
T
T
TTn dttnsentfdttnsentfb )()(...)()( 0
22/
2/
02
48
Ejercicio: encontrar la serie de Fourier para
2)(
ttf
la función con la que empezamos el tema. O sea, demostrar que Euler tenía razón.
49
)3cos(1)()cos(1)(
definitivaen
todopara 0)())3cos(1(3
)()(2
1 si ,0
1 si ,1)cos())3cos(1(
3)cos()(
2
2))3cos(1(3
)(2
01
01
3
2
0
00
3
2
0
00
3
2
0
0
ttnsenbtnatf
ndttnsentdttnsentfT
b
n
ndttntdttntf
Ta
dttdttfT
a
nn
nn
Tn
Tn
T
3
2 periodo de )3cos(1)(
Tttf
Calcula la serie de Fourier de la función periódica:
La serie es la propia función...
50
Nota: a partir de ahora entenderemos que f(t) está definida sólo en el intervalo que especifiquemos. Y que la serie de Fourier la extiende periódicamente, con periodo T igual al intervalo de definición. En muchos libros se habla de extender de forma par o impar una función. La serie de Fourier extenderá periódicamente los patrones siguientes:
t
t
Extensión par
Extensión impar
51
Funciones Pares e Impares
Una función (periódica o no) se dice función par (o con simetría par) si su gráfica es simétrica respecto al eje vertical, es decir, la función f(t) es par si
f(t) = f(-t)
f(t)
t
52
En forma similar, una función f(t) se dice función impar (o con simetría impar), si su gráfica es simétrica respecto al origen, es decir, si cumple lo siguiente: -f(t) = f(-t)
f(t)
t
53
Ejemplo: ¿Las siguientes funciones son pares o impares? f(t) = t + 1/t ,g(t) = 1/(t2+1).
Solución:Como f(-t) = -t - 1/t = - f(t), por lo tanto f(t) es función impar.Como g(-t) = 1/((-t)2+1) = 1/(t2+1) = g(t), por lo tanto g(t) es función par.
54
Ejemplo: ¿La función h(t) = f(1+t2) es par o impar? (f es una función arbitraria).
Solución:Sea g(t) = 1 + t2. Entonces h(t) = f(g(t)).Por lo tanto h(-t) = f(g(-t)).Pero g(-t) = 1+(-t)2 = 1 + t2 = g(t),finalmente h(-t) = f(g(t)) = h(t), de modo que h(t) es función par, sin importar como sea f(t).
55
Ejemplo: De acuerdo al ejemplo anterior, todas las funciones siguientes son pares:
h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2) + 5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2) + 1h(t) = (10+t2) - (1+t2)1/2
etc...Ya que todas tienen la forma f(1+t2).
56
• Si f (x) es par:
a
dxxf0
)(2
a
a
dxxf )(
a
dxxf0
)(
a-a
a
a
dxxf )(
57
• Si f (x) es impar:
0
a
a
dxxf )(
a-a
a
a
dxxf )(
58
Como la función sen(n0t) es una función impar para todo n y la función cos(n0t) es una función par para todo n, es de esperar que:
• Si f(t) es par, su serie de Fourier no contendrá términos seno, por lo tanto
bn= 0 para todo n.
• Si f(t) es impar, su serie de Fourier no contendrá términos coseno, por lo tanto an= 0 para todo n.
59
Por ejemplo, la señal cuadrada, que hemos analizado:
Es una función impar, por ello su serie de Fourier no contiene términos coseno:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
60
P2. Septiembre 2005
a) Obtener el desarrollo en serie de Fourier de las funciones
xxxgxxf en cos)(y sin)(
Respuesta.
1
0 )sin()cos(2
)(n
nn nxbnxaa
xf
f(x) = |sen(x)|, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
61
1)1cos(1
21
)1sin()1sin(1
)cos(sin2
)cos()(1
2
0
0
nn
dxxnxn
dxnxxdxnxxfan
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;
420
nn a
naa
62
14
)2cos(42sin
21
n
nxx
n
f(x) = |cos(x)|, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0
2/
0
2/
0
)1cos()1cos(2
)cos(cos4
)cos()(1
dxxnxn
dxnxxdxnxxgan
63
imparn ,0 par;n ,)1(
4 ;
420
nn a
naa
14
)2cos()1(42cos
21
n
nxx
n
n
64
Onda triangular (Triangle Wave)
222 5
5cos
3
3cos
1
cos4
2
xxx
65
Right Triangular Wave
3
3sin
2
2sin
1
sin2
xxx
66
Saw Tooth Wave
3
3sin
2
2sin
1
sin2
xxx
67
Ejercicio: demostrar que la serie de Fourier para
tttf ),cos()(
con periodo T = 2π (frecuencia fundamental 0 = 1) y un número real no entero, es:
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
68
Observa que si tomamos t = 0 entonces:
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
y con = 1/2.
1
22
)1(2
1
)( n
n
nsen
12
122 41
)1(42
)2/1(
)1(2
n
n
n
n
nn
t
69
O que si tomamos t = π entonces:
)cos()1(
21)(
)cos(1
22tn
n
sent
n
n
t
122
12
1)()cos(
n n
sen
nt )1()cos(
122
12
1
)tan( n n
¿Es correcto el resultado?
70
Que la integral traspase los sumatorios en la deducción de las fórmulas para los coeficientes de la serie de Fourier, equivale a asumir que la serie converge uniformemente... Recordemos qué es convergencia uniforme.
Sea la serie infinita:
y definamos sus sumas parciales como:
Convergencia uniforme
1
)()(n
n xuxS
k
nnk xuxS
1
)()(
71
Diremos que S converge a f(x) en un intervalo si > 0 existe para todo x del intervalo un N > 0 tq.:
NkxfxSk quesiempre)()(
Observemos que en general N dependerá de y del punto x (convergencia puntual).Si N solo depende de , pero no de x, decimos quela convergencia es uniforme.
Que la serie sea uniformemente convergente es "bueno" porque:
72
(1) Si cada término un(x) de una serie es continuo en (a, b) y la serie es uniformemente convergente a f(x), entonces:
(a) f(x) es también continua en (a, b).
(b)
11
)()(n
b
a n
b
an
n dxxudxxu
(2) Si cada término un(x) de una serie posee derivada en (a, b) y la serie derivada es uniformemente convergente, entonces:
11
)()(n
nn
n xudx
dxu
dx
d
73
¿Cómo probar la convergencia uniforme de una serie?
(1) Encontrar una expresión "cerrada" para Sk(x) y aplicar la definición o
(2) utilizar la prueba M de Weierstrass:
Si existe {Mn}n = 1, 2,... tq. |un(x)| Mn y además
11
nteuniformemeconverge)(convergen
nn
n xuM
74
nteuniformemeconverge6
1
1)(1
),(en)(
)(
2
12
222
12
Sn
nn
nxsen
nM
n
nxsenxS
n
n
n
Ejemplo:
75
Condiciones de Dirichlet
Condiciones de convergencia de la serie de Fourier de f(x), suficientes pero no necesarias.
(1) f(x) tiene un número finito de discontinuidades en un periodo.
(2) f(x) tiene un número finito de máximos y mínimos en un periodo.
(3) T
dxxf )(
76
Si se cumplen las condiciones de Dirichlet, entonces la serie de Fourier converge a f(x) si x es un punto de continuidad y a:
si x es un punto de discontinuidad.
)()(2
1 xfxf
77
xx
xxf
0,
0,0)(
22
1
)(01
)(2
2
2
0
2
0
0
0
xx
dxxdx
dxxfa
T
Desarrollaen serie de Fourier:
78
22
00
0
0
0
)1(11cos
cos1sin
1sin)(
1
cos)(01
cos)(1
nn
n
n
nx
ndxnx
nn
nxx
dxnxxdxdxnxxfa
n
n
nnxdxxbn
1sin)(
10
1
2 sin1
cos)1(1
4)(
n
n
nxn
nxn
xf
79
La función f es continua en (−, ) excepto en x = 0. Así su
serie de Fourier converge en x = 0 a:
La serie es una extensión periódica de la
función f. Las discontinuidades en x = 0,
2, 4, … convergen a:22
)0()0( ff
220
2)0()0( ff
80
xxxSxxSS 2sin2
1sincos
2
4,sincos
2
4 ,
4 321
Secuencia de sumas parciales y su representación gráfica
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
Ejercicio de examen: Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la
función
1,0 ,1)( 2 tttf
de modo que converja uniformemente a f(t) en [0,1].
Respuesta.
Para que el desarrollo de Fourier se pueda definir debe ser 2L-
periódica.
Para que converja uniformemente, se debe extender f(t) a de
modo que: 1. sea continua en [-L,L].
2. sea continua a trozos en [-L,L].
)(~
tf)(
~tf
)(~
tf
102
La continuidad se consigue con la extensión par de f (f´ = -2t es
continua en [-L,L] ) con L = 1.
Re (z)
Im (z)
parfunción ser por 0
sincos2
)(~
1
0
n
nnn
b
tL
nbt
L
na
atf
1-1
103
3
4
3
22)1(2)1(
)(
)1(4
)cos()1(2)cos()1(
1
0
21
1
20
2
1
0
21
1par
~
2
dttdtta
n
dttntdttnta
n
f
n
tnn
tfn
n
cos)1(4
3
2)(
~
122
1,0)(
~)(
ttftf
104
P2. Septiembre 2006
a) (4 puntos)
1. Obtener el desarrollo en serie de Fourier de la función
f(x) = x2 -π ≤ x ≤ π, con f(x) = f(x + 2π)
2. Estudiar si el desarrollo obtenido converge uniformemente a
f(x) en [-π,π]
3. Basándose en los resultados obtenidos, calcular la suma de la
serie numérica
4. A partir del desarrollo de Fourier de la función f(x), obtener el
desarrollo en serie de Fourier de la función
g(x) = x(x2 – π2) -π ≤ x ≤ π, con g(x) = g(x + 2π)
14
1
k k
105
Respuesta.
1. f(x) = x2, x є [-π,π], 2π periódica
Función par → desarrollo en cosenos, bn = 0:
0
22
2
0
20
1
0
)cos(2
)cos(1
3
22
)cos(2
)(
dxnxxdxnxxa
dxxa
nxaa
xf
n
nn
106
n
n
nxn
nxxn
nxxn
)1(22
)sin(2
)cos(2
)sin(12
2
03
02
0
2
)cos()1(
43
)(1
2
2
nxn
xfn
n
nn n
a )1(4
2
107
uniforme iaconvergenchay
,-en continua
,-en continua
f
f
5522
1
22202
5
2
5
1)(
2)(
1
xdxx
baa
dxxfn
nn
2.
3. Por convergencia uniforme, se aplica la identidad de Parseval:
108
14
224 1
162
1
3
2
5
2
n n
90
1 2
14
n n
4.
)cos()1(
12)(33)(
periódica 2 ,, ,)(
12
22
22
nxn
xfxxg
xxxxg
n
n
)sin()1(
12)( :uniforme iaconvergencPor 1
3nx
nxg
n
n
109
Fenómeno de Gibbs
Si la serie de Fourier para una función f(t) se trunca para lograr una aproximación en suma finita de senos y cosenos, es natural pensar que a medida que agreguemos más armónicos, el sumatorio se aproximará más a f(t).
Esto se cumple excepto en las discontinuidades de f(t), en donde el error de la suma finita no tiende a cero a medida que agregamos armónicos.
Por ejemplo, consideremos el tren de pulsos u onda cuadrada:
...)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
110
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 1 armónico
)(4
)( 0tsentf
111
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 3 armónicos
)5()3()(4
)( 051
031
0 tsentsentsentf
112
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 5 armónicos
113
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 7 armónicos
114
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 13 armónicos
115
Fenómeno de GibbsFenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 50 armónicos
116
Fenómeno de GibbsFenómeno de Gibbs
-1 -0.5 0 0.5 1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5 Serie con 100 armónicos
117
118
Forma compleja de la serie de Fourier
Consideremos la serie de Fourier para una función periódica f(t), con periodo T = 2/0.
Es posible obtener una forma alternativa usando las fórmulas de Euler:
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
)()(
)()cos(00
00
21
0
21
0
tintini
tintin
eetnsen
eetn
119
Sustituyendo:
Y usando el hecho de que 1/i = -i:
Y definiendo:
])()([)(1
21
21
021 0000
n
tintinin
tintinn eebeeaatf
])()([)(1
21
21
021 00
n
tinnn
tinnn eibaeibaatf
)(),(, 21
21
021
0 nnnnnn ibacibacac
n
tinnectf 0)(
T
2 0
120
A la expresión obtenida
se le llama forma compleja de la serie de Fourier y sus coeficientes cn pueden obtenerse a partir de los coeficientes an, bn como ya se dijo, o bien:
Para n = 0, 1, 2, 3, ...Demostrarlo.
T
tinTn dtetfc
0
1 0)(
n
tinnectf 0)(
¿Forma ntine 0
un conjunto ortogonal?
121
Ejemplo. Encontrar la forma compleja de la serie de Fourier para la función ya tratada:
Solución 1. Como ya se calcularon los coeficientes de la forma trigonométrica (an y bn), que eran an= 0 para todo n y
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
ntodoparan
b nn ])1(1[
2
122
Podemos calcular los coeficientes cn:
Entonces la serie compleja de Fourier queda:
])1(1[][ 221
21 n
nnnn iibac
])1(1[1 nnn ic
...)
(...)(
000
000
5513
31
3315
512
tititi
tititi
eee
eeeitf
123
Solución 2. También podemos calcular los coeficientes cn mediante la integral:
T
tinTn dtetfc
0
1 0)(
T
T
tinT
tin dtedteT 2/
2/
0
001
2/
1
0
2/1 00
1
T
Ttin
in
Ttin
in eeT oo
)()1(1 2/2/ 000 TinTinTin
o
eeeTin
124
Como 0T = 2 y además:
que coincide con el resultado ya obtenido.
isene i cos
)])1(1()1)1[(1 nnTinn o
c
])1(1[2 nTn o
i
])1(1[1 nni
125
10 , 1
01 , 0)(
x
xxH
Calcular la serie de Fourier de la función de Heaviside:
n
xinn ecxH
1
0
1
0
1
1
1
2
1
2
1)(
2
1
ein
dxedxxHec xinxinxinn
imparesnsin
iparesnsi
nn
i
nisennn
ie
n
ic in
n
;
; 01)cos(
2
1)()cos(2
12
1
n ≠ 0
126
al 1
2 ilxe H(x)dx
1
1
0-i0x
1
2dx
0
1
1
2
imparesnsin
iparesnsi
cn ;
; 0
;
2
10 c
n impar
n
xin
n
xinn e
n
iecxH
0
2
1
0
)()cos(Re
2
2
1)(
n n
xnisenxnixH
n impar
0
Re2 2
1
n
xinen
i
n impar
0
)(2
2
1
n n
xnsenxH
n impar
127
128
129
130
La función impulso o delta de Dirac
Se trata de una "función generalizada". Podemos pensar en la delta de Dirac como el límite de una serie de funciones:
if 0( )
0 if 0
tt
t
t
f1(t)
f2(t)
f3(t)
(t)
t
(t)
2)(mtm e
m (t) f
131
Propiedades de la función
( ) 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
exp( ) 2 (
exp[ ( ') ] 2 ( '
t dt
t a f t dt t a f a dt f a
i t dt
i t dt
t
(t)
132
Calcular la serie de Fourier de (x):
n
nxin ecx
2
1)(
2
1 1
1
dxxec xinn
0
0
)cos( 2
1
)( 2
1
2
1
2
1
n
n
xinxin
n
xin
xn
eeex
x
0
)cos( 2
1
n
xn
133
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
134
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
135
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
136
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
137
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
138
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
139
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
140
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
141
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
142
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x
143
Los coeficientes cn son números complejos, y también se pueden escribir en forma polar:
Observemos que,
Donde ,
para todo n 0.
Y para n = 0, c0 es un número real:
ninn ecc
ninnn eccc
*
2221
nnn bac
n
nn a
barctan
021
0 ac
144
Espectros de frecuencia discreta
Dada una función periódica f(t), le corresponde una y sólo una serie de Fourier, es decir, le corresponde un conjunto único de coeficientes cn.
Por ello, los coeficientes cn especifican a f(t) en el dominio de la frecuencia de la misma manera que f(t) especifica la función en el dominio del tiempo.
145
Espectros de frecuencia discreta
Ejemplo. Para la función ya analizada:
Encontramos que:
Por lo tanto:
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
])1(1[1 nnn ic
])1(1[1 n
n nc
146
A la gráfica de la magnitud de los coeficientes cn contra la frecuencia angular de la componente correspondiente se le llama el espectro de amplitud de f(t).
A la gráfica del ángulo de fase n de los coeficientes cn contra , se le llama el espectro de fase de f(t).
Como n sólo toma valores enteros, la frecuencia angular = n0 es una variable discreta y los espectros mencionados son gráficas discretas.
147
El espectro de amplitud se muestra a continuación
Observación: El eje horizontal es un eje de frecuencia, (n = número de armónico = múltiplo de 0).
-30 -20 -10 0 10 20 300
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7 Espectro de Amplitud de f(t)
n
Cn
Frecuencia negativa (?)
Frecuencia
148
El espectro de magnitud de una f(t) real, es una
función PAR por lo que la gráfica para n 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de magnitud.
El espectro de fase de una f(t) real, es una
función IMPAR por lo que la gráfica para n 0
contiene toda la información acerca de f(t) y se le
conoce como espectro unilateral de fase.
149
Podemos expresar de una manera ligeramente diferente la serie de Fourier. Cada par de términos:
ancos(n0t) + bnsen(n0t)
se pueden expresar como:
Donde lo único que hemos hecho es multiplicar y dividir por:
)()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn
22nn ba
150
Y la suma puede expresarse, por ejemplo, solo en función del coseno:
n
nn
n
n
nn
n
senba
b
ba
a
22
22cos
an
bn
22nnn baC
n
)()cos(cos 00 tnsensentnC nnn
)cos( 0 nn tnC
)()cos( 022022
22 tnsenba
btn
ba
aba
nn
n
nn
nnn
n
nn a
barctan
151
Si además definimos C0 = a0/2, la serie de Fourier se puede escribir como:
Con:
1
00 )cos()(n
nn tnCCtf
22nnn baC
n
nn a
barctan
Ejercicio: Definir adecuadamente los coeficientes C0, Cn y n, de manera que la serie de Fourier pueda escribirse como:
1
00 )()(n
nn tnsenCCtf
152
Componentes y armónicosHemos visto que, bajo ciertas condiciones, una función f(t) puede escribirse como la suma de componentes sinusoidales de diferentes frecuencias: n = n0.
A la componente sinusoidal de frecuencia n0:
cn cos(n0t + n) se le llama el enésimo armónico de f(t).
Al primer armónico (n = 1) se le llama la componente fundamental y su periodo es el mismo que el de f(t).
A la frecuencia 0= 2f0 = 2/ T se le llama frecuencia angular fundamental.
153
Ejemplo: La función
Como vimos, tiene un periodo T = 24, por lo tanto su frecuencia fundamental es 0 = 2 1/12 rad/s.
O como 0= 2f0, f0 = = 1/ 24Hz.
Su componente fundamental (n = 1) será:
c0 cos(0t + 0) = 0 cos(t/12).
Tercer armónico:
cos(3t/12) = cos(t/4)
Cuarto armónico:
cos(4t/12) = cos(t/3)
0 50 100 150 200-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
t
f(t)
24
)()(f(t) tt43 coscos
154).( de serieen desarrollo delfunción es queFourier de serie unapor
darepresenta estáy periódica es también )(' ia,consecuencen
por dados vienen escoeficient los donde
)('
)()('
: a respecto )( Derivando
)(
:siguienteFourier de compleja serie la de
sen término expresada T periodocon periódica señal una )( Sea
0
0
0
0
0
tf
tf
cind
d
edtf
ecintfdt
dtf
ttf
ectf
tf
nn
n
n
tinn
n
tinn
n
tinn
155
5 10-5-10
20T0 = 10
f(t)
t
f(t) =
4t - 20
5 10-5-10
4
T0 = 10 f '(t)
t-4
5
10
-5
-10
8
T0 = 10f ''(t)
t-8
Ejercicio:
156
Potencia y Teorema de Parseval
El promedio o valor medio de una señal cualquiera f(t) en un periodo dado T se puede calcular como la altura de un rectángulo que tenga la misma área que el área bajo la curva de f(t)
1f(t)
t
h = Alturapromedio
T
0
dt)t(fArea
T
Area = T h
157
De acuerdo a lo anterior, si la función periódica f(t) representa una señal de voltaje o corriente, la potencia promedio entregada a una carga resistiva de 1 ohm en un periodo está dada por:
Si f(t) es periódica, también lo será [f(t)]2 y el promedio en un periodo será el promedio en cualquier otro periodo.
2/
2/
21 )]([T
TT dttf
158
El teorema de Parseval nos permite calcular la integral de [f(t)]2 mediante los coeficientes complejos cn de Fourier de la función periódica f(t):
O bien, en términos de los coeficientes an, bn:
n
n
T
TT cdttf
22/
2/
21 )]([
1
22212
041
2/
2/
21 )()]([n
nn
T
TT baadttf
159
Teorema o identidad de Parseval
1
2220
2/
2/
2 )(2
1
4
1)]([
1
nnn
T
T
baadttfT
1
2220
2/
2/
0
2/
2/10
2/
2/1
0
2/
2/ 10002
112/
2/
1
2
1
4
)()()cos()()(
])()cos([)()()(
nnn
T
T
T
Tn
nT
Tn
n
T
T nnnT
T
TT
baa
dttnsentfT
bdttntf
T
adttf
T
a
dttnsenbtnaatfdttftf
])()cos([)(1
00021
n
nn tnsenbtnaatf
160
Ejemplo. Calcular el valor cuadrático medio de la función f(t):
Solución. Del teorema de Parseval
y del ejemplo anterior
sustituyendo
1f(t)
t. . . -T/2
0
T/2 T . . .
-1
n
n
T
TT Cdttf
22/
2/
21 )]([
])1(1[1 nnnc
...49
1
25
1
9
11
82
2
nnc
161
La serie numérica obtenida converge a
Por lo tanto,
Como era de esperar.
2337.1...49
1
25
1
9
11
1)2337.1(8
)]([2
22/
2/
21
nn
T
TT cdttf
162
a) Sean , con y la función:
1. Calcúlese la serie de Fourier de f.2. Obténgase la identidad de Parseval en este caso y a partir de
ella calcule el valor de la serie:
3. ¿Converge la serie de Fourier de f puntualmente a f(0) en x=0?
21, cc 21 cc
,0,
0,,)(
2
1
xc
xcxf
1212
1
n n
π-π
c1
c2
163
1
1221
1212
2
2121
0
21
0
20
1
21
0
21
0
20
1
2121
0 2
0
10
1212
2
2)(
12
212
02
110coscos
)()()(
00
coscoscos
1
k
k
k
n
n
n
xksenk
ccccxf
k
ccbkn
bknn
ccn
n
cc
dxnxsencc
dxnxsenc
dxnxsenc
b
sennsenn
cc
nxdxcc
nxdxc
nxdxc
a
cccc
dxcdxca
1.
164
2.
812
1
12
14
2
12
142
2
,en ortonormal es )(
,cos
,2
1 Como
12
12
12
2
12
2)(
2
12
12
2212
221
12
221
2
12221
22
1
1221
kk
k
k
kkcc
cc
k
ccccdxxfcc
nxsennx
xksen
k
ccccxf
3.
2 generalen y
2012
12
2
2y )0( que Puesto No.
212
21
1
12212
ccc
ccksen
k
cccccf
k
f es continua a trozosy tiene derivadas laterales
165
a) A partir de la serie de Fourier de la función definida en el intervalo : determinar los valores de las series:
1. 2.
xxf )(
12 12cos
12
4
2)(
n
xnn
xf
,
14
12 12
1
12
1
nn nn
1.
842
12
1
12
14
20
012cos12
4
20
:0f(0) 0, xpara izandoParticular
2
12
12
12
n
n
n
n
n
nn
166
2.
9612
1
12
116
23
21
12
16
2
1
:0,12
4,,)( doSustituyen
2)(
1
:Parseval de identidad la Aplicando
4
14
142
23
142
22
20
1
222
02
n
n
n
nn
nnn
n
n
ndxx
bn
aaxxf
baa
dxxf