1 sistemas digitais algebra de boole e simplificaÇÃo de circ. lÓgicos prof. josé bezerra de...
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SISTEMAS DIGITAISSISTEMAS DIGITAISALGEBRA DE BOOLE E ALGEBRA DE BOOLE E
SIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOSSIMPLIFICAÇÃO DE CIRC. LÓGICOS
Prof. José Bezerra de Menezes Prof. José Bezerra de Menezes FilhoFilho
CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICACENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA
DA PARAÍBADA PARAÍBA
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PRINCÍPIOS DA ALGEBRA PRINCÍPIOS DA ALGEBRA BOOLEANABOOLEANA
• Componentes da Álgebra de Boole:Componentes da Álgebra de Boole:
Postulados;Postulados;
Propriedades;Propriedades;
Teoremas fundamentais;Teoremas fundamentais;
Identidade.Identidade.
• Variáveis Booleanas:Variáveis Booleanas:0 e 10 e 1
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POSTULADO DA POSTULADO DA COMPLEMENTAÇÃOCOMPLEMENTAÇÃO
Se A=0 A=1Se A=0 A=1
Se A=1 A=0Se A=1 A=0
Com base no postulado da Com base no postulado da complementação:complementação:
A=AA=A
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Identidade com inversorIdentidade com inversor
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POSTULADO DA ADIÇÃOPOSTULADO DA ADIÇÃO
• 0+0=00+0=0• 0+1=10+1=1• 1+0=11+0=1• 1+1=11+1=1
IDENTIDADES:IDENTIDADES:• A+0=AA+0=A
A=0 0+0=0, A=1 1+0=1A=0 0+0=0, A=1 1+0=1• A+1=1A+1=1
A=0 0+1=1, A=1 1+1=1A=0 0+1=1, A=1 1+1=1• A+A=AA+A=A
A=0 0+0=0, A=1 1+1=1A=0 0+0=0, A=1 1+1=1• A+A=1A+A=1
A=0 A=1 0+1=1A=0 A=1 0+1=1A=1 A=0 1+0=1A=1 A=0 1+0=1
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POSTULADOS DA POSTULADOS DA MULTIPLICAÇÃOMULTIPLICAÇÃO
• 0.0=00.0=0• 0.1=00.1=0• 1.0=01.0=0• 1.1=11.1=1
IDENTIDADES:• A.0=0A.0=0
A=0 0.0=0, A=1 1.0=0A=0 0.0=0, A=1 1.0=0• A.1=AA.1=A
A=0 0.1=0, A=1 1.1=1A=0 0.1=0, A=1 1.1=1• A.A=AA.A=A
A=0 0.0=0, A=1 1.1=1A=0 0.0=0, A=1 1.1=1• A.A=0A.A=0
A=0 A=1 0.1=0A=0 A=1 0.1=0A=1 A=0 1.0=0A=1 A=0 1.0=0
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PROPRIEDADES COMUTATIVA E PROPRIEDADES COMUTATIVA E ASSOCIATIVAASSOCIATIVA
Propriedade comutativaPropriedade comutativa
Adição:
A+B=B+A
Multiplicação:
A.B=B.A
Propriedade AssociativaPropriedade Associativa
Adição:Adição:
A+(B+C)=(A+B)+C=A+(B+C)=(A+B)+C=
A+B+CA+B+C
MultiplicaçãoMultiplicação
A.(B.C)=(A.B).C=A.(B.C)=(A.B).C=
A.B.CA.B.C
VÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃOVÁLIDAS PARA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO
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PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA E 1º TEOREMA DE DE MORGAN1º TEOREMA DE DE MORGAN
• Propriedade Propriedade distributivadistributiva
• A.(B+C)=A.B+A.C
Ex.:
A=1,B=1,C=0
1.(1+0) = 1+0=1
1.1+0.1 = 1+0=1
• 1º Teorema de De 1º Teorema de De MorganMorgan
• Complemento do produto é a soma dos complementos:
2 Elementos:
A.B= A + B
n Elementos:
A.B....N=A+B+...N
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2º TEOREMA DE DE MORGAN2º TEOREMA DE DE MORGAN
• O Complemento da soma é igual ao produto dos complementos:
2 elementos:
A+B=A.B
n elementos:
A+B+...N=A.B...N
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IDENTIDADES AUXILIARESIDENTIDADES AUXILIARES
• A+A.B=AA+A.B=AProva:Prova:A+A.B=A(1+B)=A.1=AA+A.B=A(1+B)=A.1=A
• (A+B).(A+C)=A+B.C(A+B).(A+C)=A+B.CProva:Prova:(A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A)(A+B).(A+C)=A.A+A.C+B.A+B.C (A.A=A)(A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C)(A+B).(A+C)=A+A.C+B.A+B.C=A(1+B+C)+B.C=A.1+B.C=A+B.C+B.C=A.1+B.C=A+B.C
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IDENTIDADE AUXILIARIDENTIDADE AUXILIARContinuaçãoContinuação
• A+AB=A+BA+AB=A+BProva:Prova:A+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DMA+A.B=(A+A.B) utilizando 2º Teor. DM(A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM(A+A.B)=[A.(A+B)] utilizando 1º Teor. DM[A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr. [A.(A+B)]=(A.A+A.B) utilizando prop. Distr. e identidade A.A=0e identidade A.A=0(A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM(A.A+A.B)=(A.B) utilizando 1°Teor. DM(A.B)=A+B(A.B)=A+B
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SIMPLIFICAÇÃO DE SIMPLIFICAÇÃO DE EXPRESSÕES BOOLEANASEXPRESSÕES BOOLEANAS
• Por que simplificar?
A partir de expressões simples pode-se construir circuitos simples
• Processos de simplificação:
a)Simplificação por Álgebra de Boolea)Simplificação por Álgebra de Boole
b)Simplificação por mapa de Veigh b)Simplificação por mapa de Veigh Karnaugh ( Mapa VK)Karnaugh ( Mapa VK)
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SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA SIMPLIFICAÇÃO POR ÁLGEBRA DE BOOLEDE BOOLE
• Exemplo 1:Exemplo 1:
S=ABC+AC+ABS=ABC+AC+AB
S=A(BC+C+B)S=A(BC+C+B)
S=A[BC+(C+B)]S=A[BC+(C+B)]
S=[BC+BC]AS=[BC+BC]A
S=AS=A
Exemplo 2:Exemplo 2:
S=ABC+ABC+ABCS=ABC+ABC+ABC
S=AC(B+B)+ABCS=AC(B+B)+ABC
S=AC(B+B)+ABCS=AC(B+B)+ABC
S=AC+ABCS=AC+ABC
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SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE SIMPLIFICAÇÃO POR MAPA DE KARNAUGHKARNAUGH
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MAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEISMAPA DE VK P/ 2 VARIÁVEIS
• Possui grupo de 4 variáveis • Possui grupos de 2 variáveis
• Regra:Regra:• Grupo de 4(quadra): S=1Grupo de 4(quadra): S=1• Grupo de 2 (dupla): Sobra 1 variávelGrupo de 2 (dupla): Sobra 1 variável
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MAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEISMAPA DE VK P/ 3 VARIÁVEIS
• Possui grupo de 8 variáveis• Possui grupos de 2 variáveis do mesmo modo
que o mapa de VK utilizado com 2 variáveis• Possui grupos de 4 variáveis
• Regra:Regra:• Grupo de 8 : S=1Grupo de 8 : S=1• Grupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveisGrupo de 2 (dupla): Sobram 2 variáveis• Grupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveisGrupo de 4 (quadra): Sobram 1 variáveis
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MAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEISMAPA DE VK P/ 4 VARIÁVEIS
• Possui grupo de 16 variáveis• Possui grupos de 2 e de 4 variáveis do mesmo
modo que o mapa de VK utilizado com 3 variáveis
• Possui grupos de 8 variáveis• Regra:Regra:• Grupo de 16 variáveis: S=1Grupo de 16 variáveis: S=1
Grupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveisGrupo de 2 (dupla): sobram 3 variáveis
Grupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveisGrupo de 4 (quadra): sobram 2 variáveis
Grupo de 8: sobra 1 variávelGrupo de 8: sobra 1 variável
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CONDIÇÃO IRRELEVANTECONDIÇÃO IRRELEVANTE
• Condição em que a saída pode assumir 0 Condição em que a saída pode assumir 0 ou 1 indiferentemente.ou 1 indiferentemente.
• Regras:X na entrada: o valor pode ser 0 ou 1. O valor da saída não depende da variável indicada por X.X na saída: Ou a entrada é impossível de aconter ou possibilita qualquer dos 2 valores (0 ou 1).
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