1 soluciones a los ejercicios de la unidad · 11 ordena de menor a mayor estos números: 2,47; 2,4...
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Página 38
PRACTICA
Fracc iones y dec imales
1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:
b)Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones.
a) = ; = ; = =
b)
2 Simplifica:
a) b) c) d) e)
a) = b) = c) =
d) = e) =
3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordénalas.
12
2 0004 000
27
60210
35
75125
14
1872
57
3042
2 0004 000
60210
75125
1872
3042
26
515
13
1521
57
23
1015
1521
26
23
515
13
57
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
10—152—3
1—35—152—6
15—215—7
= =
< < <
4 Escribe una fracción equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador.
m.c.m. (5, 6) = 30 = ; =
5 Transforma en decimal estas fracciones:
Efectuamos la división en cada caso:
= 0,)6; = 0,4; = 0,32; = 0,375; = 1,1875; = 0,
)142857;
= 0,)8; = 1,
)6
6 Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimalesperiódicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división).
Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales exac-tos cuando en el denominador solo estén como factores primos el 2 y el 5. Enotro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto:
– Decimales exactos → , , , , .
– Decimales periódicos → , , .
7 Expresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras:
a) = 0,32 b) = 0,18 c) = 0,681725
950
825
49
76
13
135
2310
58
34
25
49
135
2310
76
58
34
25
13
53
89
17
1916
38
825
410
23
53
89
17
1916
38
825
410
23
3530
76
1230
25
58
12
38
14
58
38
28
14
48
12
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) c)b)
8 Expresa en forma de fracción:
a) 25,8 b) 4,)25 c) 4,25 d) 3,04
)7 e) 0,
)152
a) 25,8 = =
b) 100N = 425,2525…
–N = 4,2525…
99N = 421 → N =
c) 4,25 = =
d)1 000N = 3 047,777…
–100N = 304,777…
900N = 2 743 → N =
e) 1 000N = 152,152152…
–N = 0,152152…
999N = 152 → N =
9 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales:
a) 0,6 y 0,8 b) 0,7 y 0,8 c) 0,9 y 1
d)0,99 y 1 e) 2,43 y 2,44 f) 2,436 y 2,437
Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Porejemplo, podemos poner:
a) 0,61; 0,62; 0,63 b) 0,71; 0,72; 0,73
c) 0,91; 0,92; 0,93 d) 0,991; 0,992; 0,993
e) 2,431; 2,432; 2,433 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363
10 Ordena las fracciones , y .
1-a forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:
= 0,65 = 0,56 = 0,70
Por tanto: < <
2-a forma: Reducimos a común denominador:
= ; = ; = Por tanto: < < 710
1320
1425
70100
710
56100
1425
65100
1320
710
1320
1425
710
1425
1320
710
1425
1320
152999
2 743900
174
425100
42199
1295
25810
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
11 Ordena de menor a mayor estos números: 2,47; 2,4)7; 2,
)4 ; 2,
)47
2,)4 < 2,47 < 2,
)47 < 2,4
)7
12 ¿Cuáles de estos números pueden expresarse como fracciones?
0,25 3,)58 0,00
)1 3,030030003…
Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible.
• 0,25 = =
• 100N = 358,5858…
–N = 3,5858…
99N = 355 → N =
• 1 000N = 1,111…
–100N = 0,111…
900N = 1 → N =
• 3,030030003… no se puede expresar como fracción; no es un número deci-mal exacto ni periódico. Es un número irracional.
Cálcu lo menta l
13 Calcula mentalmente:
a) 7 – 2 + 4 b) 7 – (2 + 4) c) 7 – (2 – 4)
d) –7 + 2 – 4 e) 11 + 3 · 5 – 2 f) (7 + 3) · 5 – 2
g) 11 + 3 · (5 – 2) h) (7 + 3) · (5 – 2)
a) 7 – 2 + 4 = 9 b) 7 – (2 + 4) = 1 c) 7 – (2 – 4) = 9
d) –7 + 2 – 4 = –9 e) 11 + 3 · 5 – 2 = 24 f ) (7 + 3) · 5 – 2 = 48
g) 11 + 3 · (5 – 2) = 20 h) (7 + 3) · (5 – 2) = 30
14 Calcula mentalmente:
a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000.
b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.
c) Los cubos de los números del 1 al 5.
d) Las potencias de base 2 hasta 210.
1900
35599
14
25100
2,472,47 = 2,4777…2,
)4 = 2,4444…
2,)47 = 2,4747…
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente.
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente.
c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente.
d)2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.
15 Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción:
= 0,5; = 0,75; = 0,25; = 0,2; = 0,4; = 0,6
16 Calcula mentalmente:
a) (–2)5 b) (–2)8 c) (–1)10 d) (–1)23
a) (–2)5 = –32 b) (–2)8 = 256 c) (–1)10 = 1 d) (–1)23 = –1
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17 Calcula mentalmente:
a) 20 · (–350) b) c) 2 · 75 · (–2)
d) 1 640 · 4 e) 2 486 · 50 f) 120 · 25
a) 20 · (–350) = –7 000 b) = 150 c) 2 · 75 · (–2) = –300
d)1 640 · 4 = 6 560 e) 2 486 · 50 = 124 300 f ) 120 · 25 = 3 000
18 Calcula mentalmente:
a) de 60 b) de 100 c) de 500
d) La mitad de .
e) La tercera parte de .
f) La mitad de la quinta parte de –6.
a) 40 b) 75 c) 3 d) e) f )
19 Calcula mentalmente:
a) Los tres cuartos de un número valen 12. ¿Cuál es el número?
b) Los dos tercios de un número valen 20. ¿De qué número se trata?
c) Los 3/5 de una cantidad son 15. ¿Cuál es esa cantidad?
–35
47
13
127
23
3500
34
23
50 · 6020
50 · 6020
35
25
15
14
34
12
35
25
15
14
34
12
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
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a) de x = 12 → x = 16
b) de x = 20 → x = 30
c) de x = 15 → x = 25
20 Calcula y simplifica:
a) · b) 6 · c) 5 :
d) · e) : f) : 4
a) · = b) 6 · = = c) 5 : =
d) · = e) : = = 4 f ) : 4 = =
21 Calcula mentalmente:
a) + b) 1 + c) 2 –
d) – e) 1 + f) –
a) + = b) 1 + = c) 2 – =
d) – = e) 1 + = f ) – =
Operaciones con números racionales
22 Calcula:
a) – + b) + +
c) – d) – –
a) – + = – + =
b) + + = + + =
c) – = – =
d) – – = – – = = 740
21120
14120
9120
44120
760
340
1130
190
290
390
145
130
6136
2736
436
3036
34
19
56
1130
630
1030
1530
15
13
12
760
340
1130
145
130
34
19
56
15
13
12
16
13
12
43
13
14
14
12
74
14
32
12
34
14
12
13
12
13
14
12
14
12
14
12
114
228
27
246
23
83
415
45
13
203
34
92
184
34
25
23
35
27
23
83
45
13
34
34
23
35
35
23
34
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
23 Calcula:
a) 3 – ( + ) b) (2 – ) + (5 – )c) – 2 + d) 5 – ( – 2)a) 3 – ( + ) = – – = – – =
b) (2 – ) + (5 – ) = + = + =
c) – 2 + = – + =
d)5 – ( – 2) = 5 – ( ) = 5 + =
24 Calcula:
a) de 224 b) de 120
a) de 224 = = 5 · 7 = 35
b) de 120 = = 17 · 15 = 255
25 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: = 1 +
a) b) – c) d) – e)
a) = 1 + b) – = –2 – c) = 6 +
d) – = –3 – e) = 2 +
26 El valor medio entre el 0 y el 1 es . Calcula el valor medio comprendido
entre cada pareja de números:
a) y 2 b) y c) –1 y 35
34
23
12
12
310
2310
25
175
37
457
13
73
23
53
2310
175
457
73
53
12
32
17 · 1208
178
5 · 22432
532
178
532
203
53
–53
13
–16
26
126
96
13
32
176
96
86
32
43
72
23
136
46
16
186
23
16
31
23
16
13
13
32
72
23
23
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) = =
b) = =
c) = =
27 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).
28 Reduce a una sola fracción las expresiones:
a) – · –
b) ( – + 2) – ( – + 1)c) (1 + ) – ( + ) · ( – )d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ]a) – · – = – – = – – =
b) ( – + 2) – ( – + 1) = ( – + ) – ( – + ) =
= – = = 1
c) (1 + ) – ( + ) · ( – ) = – · = – = – =
d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ] =
= ( + ) – [ – + + – ] =
= – = – = = –13
–515
1915
1415
7660
1415
960
4060
3060
4560
6060
515
915
320
23
12
34
13
35
5948
548
6448
548
43
112
54
43
14
13
12
34
13
2020
2720
4720
2020
820
1520
4020
520
1220
25
34
14
35
1332
232
132
1632
116
132
12
116
18
14
12
320
23
12
34
13
35
14
13
12
34
13
25
34
14
35
116
18
14
12
–15
–2—5
2
3–1 + —5
2
1724
17—12
2
2 3— + —3 4
2
54
5—2
2
1— + 22
2
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
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29 Reduce:
a) · ( – ) – · ( – ) b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – )a) · ( – ) – · ( – ) = · – · = · – · =
= – =
b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – ) = 5 : – 3 : = – = – =
30 Reduce a una fracción:
a) b) c)
a) = = 3 b) = = =
c) = = = 7
31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero:
a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + )c) – · [1 – – ( – 1) · ( – 3)]d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1)a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) = · – ( ) = + = = –2
b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + ) = 2 : – 3 : = 3 – 2 = 132
46
12
12
16
–126
16
–136
–16
135
–56
12
13
25
16
13
23
19
23
13
1720
35
38
12
12
16
12
13
25
16
–7—20–1—20
5 12— – —20 2014 15— – —20 20
1 3— – —4 57 3— – —10 4
27
414
4—314—3
53 – —353 + —3
3—21—2
11 + —211 – —2
1 3— – —4 57 3— – —10 4
53 – —353 + —3
11 + —211 – —2
–263
363
103
121
103
14
32
14
12
24
112
112
212
12
16
14
23
36
16
14
23
13
56
16
12
34
23
14
12
24
13
56
16
12
34
23
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
c) · [1 – – ( – 1 ) · ( – 3)] = · [ – ( ) · ( ) =
= · [ – ] = · [ – ] = 0
d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1) = [ + 13 · ] : ( ) = : =
= 2 : = = –3
32 Calcula las siguientes potencias:
a) (–2)4 b) (–2)3 c) –22
d) –2–3 e) (–2)–2 f) (–2)–3
a) (–2)4 = 16 b) (–2)3 = –8 c) –22 = –4
d)–2–3 = –1/8 e) (–2)–2 = = f ) (–2)–3 = =
33 ¿A qué número entero es igual cada una de estas potencias?
a) 1–37 b) (–1)–7 c) ( )–2
d) (– )–4e) (– )–4
f) ( )0
a) 1–37 = 1 b) (–1)–7 = –1 c) ( )–2= 22 = 4
d) (– )–4= (–2)4 = 16 e) (– )–4
= (–3)4 = 81 f ) ( )0= 1
34 Escribe en forma de potencia de base 2 ó 3:
a) 128 b) 729 c) d) – e)
a) 128 = 27 b) 729 = 36 c) = = 2–6
d)– = – = –3–3 e) = 3–1
35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 b) mil millones c) 0,00001d) una milésima e) 0,000000001 f) una millonésima
a) 106 b) 109 c) 10–5 d) 10–3 e) 10–9 f ) 10–6
13
133
127
126
164
13
127
164
45
13
12
12
45
13
12
12
–18
1(–2)3
14
1(–2)2
6–2
–23
–23
189
–23
19
59
13
23
19
23
25
25
–38
820
25
–38
–83
–320
25
–38
13
1720
35
–38
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
36 Expresa como potencia única:
a) ( )2: ( )–1
b) ( )3: ( )5
c)
d) (22 · 2–3)–4 e) f)
a) ( )2: ( )–1
= ( )1= b) ( )3
: ( )5= ( )–2
= 22 = 4
c) = 3–4 = = d) (22 · 2–3)–4 = (2–1)–4 = 24 = 16
e) = = = 2–6 =
f ) = = 2–4 · 34 = = ( )4=
37 Reduce:
a) b) ( )2: ( )3
c) ( )2· ( )4
d) e) ( )3: ( )2
f) [( )3]2
a) = = –1
b) ( )2: ( )3
= ( )–1=
c) ( )2· ( )4
= · = =
d) = = =
e) ( )3: ( )2
= : =
f ) [( )3]2= ( )6
= =
38 Simplifica:
a) b) 2–4 · 42 · 3 · 9–1
2–5 · 8 · 9 · 3223 · (–3)2 · 42
63 · 92
164
126
12
12
1627
116
127
14
13
281
234
3 · 32 · 24
23 · 33 · 343 · (–3)2 · 42
63 · 92
94
32
2234
2422
32–32
23
52
25
25
25
–32
32–32
(–3)2
12
14
13
3 · (–3)2 · 42
63 · 92
–32
23
25
25
–32
(–3)2
8116
32
34
242–5 · 24 · 32
23 · 3–22–5 · 42 · 32
23 · 9–1
164
126
24 · 2–4
2624 · 4–2
82
181
134
35 · 3–7
32
12
12
12
25
25
25
25
2–5 · 42 · 32
23 · 9–124 · 4–2
82
35 · 3–7
3212
12
25
25
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) = = =
b) = = =
39 Calcula:
a) [( – 1)3]2b) [( – )–1]–5
c) ( – )–2· ( – )–1
a) [( – 1)3]2= (– )6
= =
b) [( – )–1]–5= (– )5
= (– )5=
c) ( – )–2· ( – )–1
= ( )–2· ( )–1
= ( )2· ( ) = · = –4
40 Calcula pasando a fracción:
a) 0,)4 + 0,
)3 + 0,
)2 b) 3,0
)7 – 1,6
)7 c) 0,
)7 + 1,
)23 d) 0,3
)6 – 1,
)2
a) 0,)4 + 0,
)3 + 0,
)2 = + + = = 1
b) 3,0)7 – 1,6
)7 = – = = = 1,4
c) 0,)7 – 1,
)23 = + = + = = 2,
)01
d)0,3)6 – 1,
)2 = – = – = = –0,8
)5
41 Calcula:
a) – (0,75 + 0,)6) + b) ( + 0,1
)6) (– ) – (0,
)6 + 0,2 – )
a) – (0,75 + 0,)6) + = – ( + ) + = – ( + ) + =
= – + = = 1
b) ( + 0,1)6) (– ) – (0,
)6 + 0,2 – ) =
= ( + ) · (– ) – ( + – ) = – – ( + ) =
= – – ( + ) = – – · = – – = – – = –173
133
43
6515
43
815
658
43
315
515
658
43
15
13
658
43
13
15
23
658
43
16
56
13
658
43
56
1212
1312
1712
1612
1312
812
912
1612
1312
23
34
43
1312
43
13
658
43
56
1312
43
–7790
11090
3390
119
3390
19999
12299
7799
12299
79
75
12690
15190
27790
99
29
39
49
–94
169
–94
43
–49
34
79
13
34
32
–132
12
36
23
16
164
126
12
12
79
13
34
32
23
16
12
4243
22
352–4 · 24 · 3 · 3–2
2–5 · 23 · 32 · 322–4 · 42 · 3 · 9–1
2–5 · 8 · 9 · 32
16243
24
3523 · 32 · 24
23 · 33 · 3423 · (–3)2 · 42
63 · 92
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Raíces
42 Calcula cuando sea posible:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = 2 b) = = –2 c) = = 5
d) no existe e) = = f ) = –1
Página 41
43 Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:
a) b) c)
d) e) f)
a) = 8 → racional b) = = 4 → racional
c) = → irracional d) = 10 → racional
e) → irracional f ) = → racional
Calcu ladora
44 Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cua-drado para que se verifique la igualdad:
a) 4 �� 5 + 85 �� = 1 �� 13; b) 34 �� × �� 6 = 8 970; c) 425 + 23 × �� = 5 �� 6
a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 × 26 = 8 970 c) 425 + 23 × 7 = 586
45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estasigualdades sean verdaderas:
a) 12 �� 34 �� 9 = 318 b) (25 �� 16) �� 45 �� 5 = 400
a) 12 + 34 × 9 = 318 b) (25 – 16) × 45 – 5 = 400
46 Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible.
Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que busca-mos, y nos quedan dos opciones:
El producto mayor es 54 · 63.
53 · 64 = 3 39254 · 63 = 3 402
12
√1/43√100
√1005√265√64
3√263√64√64
√1/43√100√100
5√643√64√64
5√–152
4√54/244√625/16√–8
4√544√6253√(–2)33√–8
6√266√64
5√–14√625/16√–8
4√6253√–8
6√64
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
47 Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que in-dica la flecha:
a) 6 + 3 · 5 + 8 → 53 b) 6 + 3 · 5 + 8 → 45
c) 7 + 3 · 5 – 1 → 19 d) 7 + 3 · 5 – 1 → 40
a) (6 + 3) · 5 + 8 = 53 b) 6 + 3 · (5 + 8) = 45
c) 7 + 3 · (5 – 1) = 19 d) (7 + 3) · (5 – 1) = 40
48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, ¿cómo podrías conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos números?
a) 180 b) 108 c) 1 080 d) 104 050
a) 180 = 5 36 b) 108 = 3 36
c) 1 080 = 135 8 d) 104 050 = 25 4 162
49 Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56 327, ¿qué operación ha-rías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar del 6 hubiera un 8?
• Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300:
56 327 – 300 = 56 027
• Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000:
56 327 + 2 000 = 58 327
50 ¿Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?
¿Qué aparecerá en pantalla si introduces 80 ?
Si introducimos 80 aparecerá . (Se multiplica 0,5 × 80).
51 ¿Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia?
2
4 096
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
0.5 200
?
? ?
? ?
0.5 200
52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia:
396 2 530 …
Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y páratecuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la división.
El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla .
Razona el porqué del proceso anterior.
Al introducir la secuencia:
396
2 530
obtenemos 1442443
6 veces
Por tanto, el cociente de la división 2 530 : 396 es 6 y el resto 154.
Cuando introducimos 396
2 530 … , vamos restando 396 (en pri-mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos .
Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 – 6 · 396, y hemos obtenido154; es decir, 2 530 = 6 · 396 + 154.
53 Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero.
a) 9 6 7
b)8 7 9
c) 8 5
d)19 14 5 2 7
a) 8 b) 2 c) 26 d) 0,5
54 Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado.
a) b) 18 – (2 · 16,5 – 30)
c) d) ( ) · 25
a) 30 7 18
4
6
Por tanto: = 22,8
b) 18 3.5 .5
2 16.5 30
Por tanto: 18 – (2 · 16,5 – 30) = –33,50,5
30 · 7 + 1842 – 6
344 – 5 · 43
35 – 14325 – 4,52
4 · 2,5 – 5
3,50,5
30 · 7 + 1842 – 6
Pág. 15
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
c) 25 4.5
4 2.5 5
Por tanto: = 0,95
d) 344 5 4
3
3
5 143
25
Por tanto: ( ) · 25 = 6
Página 42
PIENSA Y RESUELVE
55 EJERCICIO RESUELTO
De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte,quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón?
Resolución
→ Sacamos la mitad.
→ Dividimos la otra mitad en 5 partes.
→ Sacamos de la mitad, que es , y nos quedan ,
que son 3 litros.
La capacidad es de = 7,5 litros.
Comprueba la solución.
Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros:
• Sacamos la mitad → 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos → 3,75 litros quedan.
• Después la quinta parte → 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos → 3 litros quedan.
En efecto, quedan 3 litros.
56 En un depósito lleno de agua había 3 000 litros. Un día se gastó 1/6 del de-pósito, y otro, 1 250 litros. ¿Qué fracción queda?
de 3 000 = = 500 litros se gastaron primero.
1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total.
3 000 – 1 750 = 1 250 litros quedan.
1 250 litros de 3 000 que había representan la fracción:
= del depósito quedan.512
1 2503 000
3 0006
16
304
410
110
15
344 – 5 · 43
35 – 143
25 – 4,52
4 · 2,5 – 5
Pág. 16
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
1—2
1—2
De otra forma:
= del depósito se gastan en segundo lugar.
+ = del depósito se gastan en total.
Por tanto, quedan del depósito.
57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y después, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropió los 3 200 m2 restantes para un parquepúblico. ¿Cuál era su superficie?
• Se venden → queda
• Después, de = se venden. En total se han vendido:
+ = + = → Queda , que son 3 200 m2
Por tanto, la superficie era de: 3 200 · 9 = 28 800 m2.
58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un díacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fru-ta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?
La fracción del total correspondiente a las naranjas es:
de = · = , que son 89 €.
Por tanto, el total es: = 284,8 €
59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del ca-pital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unosbeneficios de 150 000 €. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
• Al primero le corresponderá de 150 000 = 50 000 €.
• Al segundo, de 150 000 = 60 000 €.
• Y, al tercero, el resto: 150 000 – (50 000 + 60 000) = 40 000 €
25
13
89 · 165
516
56
38
56
38
19
89
29
69
29
23
29
13
23
13
23
512
712
512
16
512
1 2503 000
Pág. 17
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote ante-rior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después decuatro botes?
• Después de 1 bote alcanza de la altura inicial.
• Después de 2 botes alcanza de = ( )2de la altura inicial.
• Después de 3 botes alcanza de ( )2= ( )3
de la altura inicial.
• Después de 4 botes alcanza de ( )3= ( )4
= de la altura inicial.
61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdién-dose en la cocción 1/4 de su peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?
• Al deshuesarlas se reduce el peso → quedan de 10 kg = 8 kg.
• Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azúcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se
pierde en la cocción del peso → se obtienen:
de 16 = 12 kg de mermelada
62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas arazón de 50 € el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 delcampo, sale por 140 000 €. ¿Cuánto mide la anchura del campo?
del total = 140 000 € → Total = 240 000 €
A 50 €/m2 → 240 000 : 50 = 4 800 m2 tiene el campo en total.
4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.
63 Compro a plazos un equipo de música que vale 500 €. Hago un pago de 60 €,después los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que aún debo.a) ¿Cuánto he devuelto cada vez?b) ¿Qué parte de la deuda he pagado?c) ¿Cuánto me queda por pagar?
a) 1er pago → 60 € → me quedan por pagar: 500 – 60 = 440 €
2-o pago → de 440 = 293,33 € → me quedan por pagar:
440 – 293,33 = 146,67 €
23
712
34
14
45
15
16625
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
Pág. 18
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
3er pago → de 146,67 = 29,33 € → me quedan por pagar:
146,67 – 29,33 = 117,34 €
La 1-a vez he devuelto 60 €, la 2-a vez 293,33 €, y la 3-a vez, 29,33 €.
b) 1er pago → = del total → me faltan .
2-o pago → de = → en total llevo pagado + = .
Me faltan .
3er pago → de = → en total he pagado + = .
La parte de deuda que he pagado son del total.
c) Me quedan por pagar del total, que son 117,34 €.
64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B.
a) ¿Qué distancia hay entre esas ciudades?
b) Si salió de A a las 10 h, ¿a qué hora llegará a B?
a) En 1,5 horas recorre 24 · 1,5 = 36 km.
Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que:
de x = 36 → x = 60 km hay entre A y B
b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas
Por tanto, si salió de A a las 10 h, llegará a B a las doce y media, es decir, alas 12 h 30 min.
65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. ¿Qué lon-gitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despuésde lavada, 10,5 m2 de tela?
La superficie de tela, después de lavada, es:
0,9x · 0,84 = 10,5 m2
35
88375
287375
287375
22375
5375
22375
2275
15
2275
5375
4475
325
4475
2225
23
2225
325
60500
15
Pág. 19
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
0,90 mDespués
de lavar
1415— de 0,90 = 0,84 m
910— de x = 0,9 x
x
10,5 m2
Hallamos la anchura inicial, x:
0,756x = 10,5 → x = � 13,89 m
66 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3 500 km y le hace una revi-sión general cada 8 000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos ope-raciones?
m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000
Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.
67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué ca-pacidad tendrá cada garrafa?
M.C.D. (420, 225) = 15
Cada garrafa ha de tener 15 litros.
68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. ¿Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lomás grandes posible y no se quiere cortar ninguna?
M.C.D. (330, 390) = 30
Las baldosas han de ser de 30 cm × 30 cm.
Página 43
REFLEXIONA SOBRE LA TEOR ÍA
69 Representa cada número en su lugar:
a) 3,045 b) 3,45 c) 3,00045 d) 3,0045
70 Demuestra que 3,6)9 y 3,7 se expresan mediante la misma fracción.
Expresamos en forma de fracción cada uno de los dos números:
N = 3,6)9 → 100N = 369,999…
–10N = 36,999…
90N = 333 → N = = 3710
33390
10,50,756
Pág. 20
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
3,4 3,53,45
3,04 3,05
3,004 3,005
3,0004 3,0005
3,045
3,0045
3,00045
3,6)9 =
3,7 = Se expresan mediante la misma fracción.
71 Demuestra que 0,)3 + 0,
)6 = 1. Busca otros dos decimales periódicos cuya su-
ma sea un decimal exacto.
• Expresamos 0,)3 y 0,
)6 en forma de fracción:
10N = 3,333… 10M = 6,666…
–N = 0,333… –M = 0,666…
9N = 3 → N = = 9M = 6 → M = =
Por tanto: 0,)3 + 0,
)6 = + = = 1
• Otro ejemplo sería: 0,)45 + 0,
)54. Veámoslo:
100N = 45,4545…
–N = 0,4545…
99N = 45 → N = =
100M = 54,5454…
–M = 0,5454…
99M = 54 → M = =
Por tanto: 0,)45 + 0,
)54 = + = = 1
Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves.
72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnúmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:
3 < 8 –5 < 9 –8 < –1
¿Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo?
Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un númeropositivo, por ejemplo:
3 < 8 →· 2
6 < 16
–5 < 9 →· 3–15 < 27 Siguen siendo ciertas.
–8 < –1 →·1/2
–4 < – 12
1111
611
511
611
5499
511
4599
33
23
13
23
69
13
39
3710
3710
Pág. 21
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Porejemplo:
3 < 8 →· (–1)
–3 > –8
–5 < 9 →· (–2)10 > –18 Cambia la desigualdad.
–8 < –1 →· (–1/2)
4 >
73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:
a) ¿Qué condición debe cumplir n para que n/11 sea periódico?
b) ¿Cuál es el máximo número de cifras del periodo de ese número?
a) n no debe ser múltiplo de 11.
b) El máximo número de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividirentre 11, si la división no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.
74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:
y y y
> ; < ; <
75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresión:
+ + + …
b) Escribe el resultado en forma de fracción.
a) + + + … = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 0,)3
b) 0,)3 =
76 Divide por 3 varios números menores que 10 y observa los resultados. ¿Quépuede ocurrir cuando dividimos por 3?
¿Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 3, 31 3, 32 3?
La parte decimal del cociente a : 3 es
¿Cuál será la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3?
13
31 000
3100
310
31 000
3100
310
bc
ba
ac
ab
bc
ac
bc
ba
ac
ab
bc
ac
12
Pág. 22
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
• = 0,)3 = 0,
)6 = 1
= 1,)3 = 1,
)6 = 2
= 2,)3 = 2,
)6 = 3
• 30 3 = 10 → Exacto (pues 30 es múltiplo de 3)
31 3 → Periódico de periodo 3 ( = 10 + = 10,)3)
32 3 → Periódico de periodo 6 ( = 10 + = 10,)6)
• (a + 1) : 3 será una división exacta.
La parte decimal de (a + 2) : 3 será periódica de periodo 3.
77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales ma-yores y menores que 0,5. ¿Qué característica deben tener las fracciones quedan decimales mayores que 0,5? ¿Y las que dan decimales menores que 0,5?
Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darándecimales mayores que 0,5.
Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, da-rán decimales menores que 0,5.
PROFUNDIZA
78 Divide por 7 los números del 1 al 10 y anota los resultados.
¿Cuántos decimales distintos pueden salir?
¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7?
¿Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7?
¿Cuál será el número a si a : 7 = 10,285714?
= 0,)142857 = 0,
)285714 = 0,
)428571
= 0,)571428 = 0,
)714285 = 0,
)857142
= 1 = 1,)142857 = 1,
)285714 = 1,
)42857110
797
87
77
67
57
47
37
27
17
23
323
13
313
93
83
73
63
53
43
33
23
13
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Hay tres posibilidades:
– Decimal periódico de periodo 3.
– Decimal periódico de periodo 6.
– Decimal exacto.
Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la división no esexacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6).
= 3 + = 3,)857142
= 6 + = 6,)428571
= 10,)285714 = 10 + 0,
)285714 = 10 + = → a = 72
79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Después de dividir por 17 los números 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya elperiodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Compruébalo usando lacalculadora hasta donde te sea necesario.
a) ¿Podrías escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifrasdecimales?
b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veintecifras decimales.
= 0,0588235294117647 = 0,1176470588235294
= 0,1764705882352941 = 0,2352941176470588
= 0,2941176470588235
a) = 2 + = 2,1176470588235294
Con veinte cifras decimales sería: 2,11764705882352941176
b) = 9,325581395348837209302
Con veinte cifras decimales sería: 9,32558139534883720930
80 Investiga en qué cifra termina el número 355. Observa antes en qué cifra ter-minan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber laúltima cifra de cualquier potencia de base 3.
¿En qué número termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7?
Potencias de 3
31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81
35 = 243 36 = 729 37 = 2 187 38 = 6 561
40143
217
3617
517
417
317
217
117
727
27
a7
37
457
67
277
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Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es:
0 → la potencia acaba en 1
1 → la potencia acaba en 3
2 → la potencia acaba en 9
3 → la potencia acaba en 7
Como 55 44 → el resto es 3, entonces 355 acaba en 7.
15 13
3(Potencias de 2
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256
…
Como 100 44 → Resto = 0 → 2100 acaba en 6
20 25
0(Potencias de 3
Por lo dicho anteriormente, 3100 acaba en 1.
Potencias de 4
4100 acaba en 6.
Potencias de 7
71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401
75 = 16 807 76 = 117 649 77 = 823 543 78 = 5 764 801
…
7100 acaba en 1
Exponente impar → acaba en 4Exponente par → acaba en 6
42 = 1644 = 256
41 = 443 = 64
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