1 tema 1 descripciÓn de datos: estadÍstica descriptiva 1.1 introducción: conceptos básicos 1.2...
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TEMA 1 DESCRIPCIÓN DE DATOS: ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA
1.1 Introducción: conceptos básicos1.2 Tablas estadísticas y representaciones gráficas1.3 Características de variables estadísticas
unidimensionales
1.3.1 Características de posición
1.3.2 Características de dispersión
1.3.3 Características de forma1.4 Análisis exploratorio de datos: gráfico de caja
2
* Estadística descriptiva: parte de la estadística que se ocupa de las etapas 2 y 3
ESTADÍSTICA: “Estudio de los métodos de recogida y descripción de datos, así como del análisis de esta información”
Población: “Conjunto de elementos a los que se les estudia una característica” Individuo: “Cada uno de los elementos de la población” Muestra: “Subconjunto representativo de la población”
1.1. Introducción : conceptos básicos
Etapas de un estudio estadístico
Individuo, Población, Muestra
1 Recogida de datos2 Ordenación, tabulación y gráficos*3 Descripción de características*4 Análisis formal
3
Variable estadística (v.e.): ”Característica propia del individuo objeto del estudio estadístico”
Modalidad: “Cada una de las posibilidades o estados diferentes de una variable estadística” Exhaustivas e incompatibles
Variables estadísticas. Modalidades
Ejemplos:- Estatura- Salario- Color del pelo- Nivel de colesterol- Nº de hijos de una familia
Ejemplo: color del pelo:
- castaño- rubio- negro
4
Cualitativas: Las características no son cuantificables
Cuantitativas: Características cuantificables o numéricas
Discretas: Numéricas numerables
Continuas: Numéricas no numerables
Tipos de variables estadísticas
Ejemplos: Grupo sanguineo Profesión Color del pelo
Ejemplos: Nº de hijos de una familia Nº de nidos de procesionarias por árbol Nº de virus en un cultivo
Ejemplos: Estatura Salario Nivel de colesterol
5
Frecuencias
1 2
1 2
Absolutas, (nº individuos modalidad i)
Absolutas acumuladas, ...
Relativas, (proporcion indiv. modalidad i)
Relativas acumuladas, ...
i
i i
i i
i i
n
N n n n
f n n
F f f f
Absolutas, ni
Relativas
fi = ni / n
Relativasacumuladas
Fi = Ni / n
Absolutas acumuladas, Ni
Variables discretas
xi ni Ni fi Fi
x1
...
xi
...
xk
n1
...
ni
...
nk
N1
...
Ni
...
Nk
f1
...
fi
...
fk
F1
...
Fi
...
Fk
n 1
1.2. Tablas estadísticas y representacionesgráficas
6
Variables continuas: Intervalos
Intervalo I i x i n i Ni fi Fi
e0 – e1
...
e i-1 – ei
...
e k -1 – ek
x1
...
x i
...
xk
n1
...
n i
...
n k
N1
...
Ni
...
N k
f1
...
fi
...
fk
F1
...
Fi
...
Fk
n 1
Marca de clase xi (punto medio de cada intervalo)
Amplitud ai (distancia entre los extremos)
Intervalos cerrados por un extremo y abiertos por otro
7
V. E. Cualitativas: Gráfico rectangular
20
10
Negro Gris Blanco Rojo Violeta
Gráficos estadísticos
Color Plumaje Nº de Aves ( n i )
Negro 10
Gris 14
Blanco 20
Rojo 6
Violeta 4
54
8
V. E. Cualitativas: Gráfico de sectores
rojo
violetanegro
grisblanco
Color Plumaje
Nº de Aves
n i f i
Grados
Negro 10 0,185 66,6
Gris 14 0,259 93,24
Blanco 20 0,37 133,2
Rojo 6 0,111 39,96
Violeta 4 0,074 26,64
54
Grados de un sector = 360 0 x fi
9
0
5
10
15
20
25
30
35
2 3 4 5 6
V. E. Discretas: Gráfico de barras
Nº de crías Nº animales: n i f i Fi
2 20 0.20 0.20
3 30 0.30 0.50
4 25 0.25 0.75
5 15 0.15 0.90
6 10 0.10 1
n = 100
10
Estatura n i h i = n i / a i
140 – 160 30 1.5
160 – 170 22 2.2
170 – 180 20 2
180 – 190 18 1.8
190 – 200 10 1
100
V. E. Continuas: Histograma
El área de cada rectángulo es proporcional a la frecuencia”
1
1,5
1,8
140 160 170 180 200
hi
190
2.2
2
11
1
1
k
i iki
i ii
n x
f xn
x
1.3. Características de variables estadísticas unidimensionales
1.3.1 Características de Posición
Media aritmética
Estatura Nº Personas
n i
M. Clase
x i n i x i
140 – 150 20 145 2900
150 – 160 100 155 15500
160 – 180 80 170 13600
180 – 200 10 190 1900
n = 210 33900
339001 161.42210
:
k
i ii
n x
Median
x
12
175
224
453
362
341
nixi ♦ Ejemplo
Datos en tabla
Datos en serie2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 7 Mo = 3
Mo = 3
Valor de la variable más frecuente Puede haber más de una moda → Plurimodal
Moda
Variables discretas
13
1
1 11
i
i ii i
i i i
h hMo e a
h h h h
x i n i h i = n i / a i
140 – 160 30 1.5
160 – 170 22 2,2
170 – 180 20 2
180 – 190 18 1,8
190 – 200 10 1
100
Variables continuas
♦ Ejemplo
Observaciones:
1. Puede utilizarse la frecuencia relativa
2. Si las amplitudes son iguales, la moda se puede obtener directamente con las frecuencias
2.2 1.5160 10 167.777
2.2 1.5 2.2 2Mo
14
Valor de la variable que ocupa el lugar central en una serie de datos ordenados. El 50% de los elementos de la población tienen un valor de la variable menor o igual que la mediana. El 50% de los elementos de la población tienen un valor de la variable mayor o igual que la mediana.
Nº par de observaciones: 3, 4, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 9
→ Me = 6 – 7 Indeterminada entre 6 y 7
Mediana
Variables discretas
Datos en serie
xi ni Ni fi Fi2 3 3 0,333 0,3333 1 4 0,111 0,4445 1 5 0,111 0,5556 1 6 0,111 0,6667 2 8 0,222 0,8888 1 9 0,111 0,999
9 1
xi ni Ni fi Fi3 1 1 0,1 0,14 1 2 0,1 0,26 3 5 0,3 0,57 1 6 0,1 0,68 2 8 0,2 0,89 2 10 0,2 1
10 1
Nº impar de observaciones:
2, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 7, 8 → Me = 5
15
Datos en tabla
Variables discretas
n /2 = 14
Fi = 0,5
Me = 2
♦ Ejemplo
284
3
2
1
0
xi
28
3
5
10
6
4
ni
1
0.892
0.714
0.357
0.142
Fi
1
0.107
0.178
0.357
0.214
0.142
fi
25
20
10
4
Ni
Observación: Si n / 2 coincide con un N i
la mediana está indeterminada entre x i y x i+1
16
11
1 1
500,5 100 i
ii i i i
i i
n NFMe e a e a
f n
0.5 0.45160 10 160 2 162
0.25Me
n/2 = 50
Fi = 0,5
Variables continuas
♦ Ejemplo
Observación: Si n/2 coincide con un Ni
la mediana es el extremo superior del intervalo que le corresponde
1
0.90
0.70
0.45
0.15
Fi
0.10
0.20
0.25
0.30
0.15
fi
100
90
70
45
15
Ni
100
10180 – 200
20170 – 180
25160 – 170
30150 – 160
15140 – 150
niEstatura
17
Definición: Pk , k: 1,2,...,99, “percentil k”, valor de la
variable que deja por debajo, el k% de los valores de la variable
Q1 = P25 Cuartil 1º
Q2 = P50 Cuartil 2º = Me
Q3 = P75 Cuartil 3º
D1 = P10 Decil 1º
D2 = P20 Decil 2º ….
D9 = P90 Decil 9º
Percentiles
1 1
1 1100 100i i
k i i i ii i
k kF n N
P e a e af n
Cálculo para v.e. continuas:
Cálculo para v.e. discretas:
Igual que la mediana, cambiando:
50
100 100k
n por n
18
x in i Ni
2 20 20
3 30 50
4 44 94
5 20 114
6 10 124
124
Percentil 40, P40 = 3 Percentil 95, P95 = 6
n k /100 =124x25/100 = 31
n k /100 =124x50/100 = 62
n k /100 =124x75/100 = 93
♦ Ejemplos percentiles v.e. discreta
Percentil 50, P50 = 4 = Me = Q2
Percentil 25, P25 = 3 = Q1
Percentil 75, P75 = 4 = Q3
40124 49,6
100 100k
n
95124 117,8
100 100k
n
19
1 11 1
100 100i ik i i i i
i i
k nkF N
e a e af n
P
75 30.75 0.70 75 70
170 10 170 10 172.50.20 20
QP
400.4 0.15 40 15
150 10 150 10 158.330.30 30
P
40P
75P
♦ Ejemplos percentiles v.e. continua
Tallas ni Ni fi Fi
140-150 15 15 0.15 0.15
150-160 30 45 0.30 0.45
160-170 25 70 0.25 0.70
170-180 20 90 0.20 0.90
180-200 10 100 0.10 1
100
20
Q 3 – Q1
Valor máximo menos valor mínimo de la variable
“Miden la Homogeneidad de las observaciones”
1.3.2. Características de Dispersión
Rango o recorrido
Recorrido intercuartílico
21
. . C Vx
2
22
22 1 1i
k k
i i ii i
n x x n x
xn n
Varianza
Desviación típica
Coeficiente de variación
22
xi ni nixi nixi2
4 20 80 320
6 40 240 1440
8 44 352 2816
10 36 360 3600
12 22 264 3168
162 1296 11344
2
222 1 11344 12966.02
162 162
k
i ii
n x
Var X xn
♦ Ejemplo
2 6.02 2.4535
23
1
i
k ri
ir
n x x
n
2
2122
i
k
ii
n x x
rn
1
11 0
i
k
ii
n x x
rn
Momentos centrales (Respecto a la media)
24
1.3.3 Características de forma
1 0 Si Distribución sesgada a la derecha►
1 0 Si Distribución simétrica►
1 0 Si Distribución sesgada a la izquierda►
Coeficiente de Sesgo (Asimetría)
31 3
25
2 0 Si Distribución más aplastada que la distribución Normal
►
2 0 Si Distribución menos aplastada que la distribución Normal
►
2 0 Si Distribución igual de aplastada que la distribución Normal
►
42 4
3
Coeficiente de Curtosis (Aplastamiento)
26
1.4 Gráfico de caja
Me Q3Q1f1F1mín f2 F2 máx
f1=Q1-1.5(Q3-Q1) frontera interior inferiorf2=Q3+1.5(Q3-Q1) frontera interior superiorF1=Q1-3(Q3-Q1) frontera exterior inferiorF2=Q3+3(Q3-Q1) frontera exterior superior
V.A.I.= Dato más próximo, por exceso, a f1
(valor adyacente inferior)V.A.S.=Dato más proximo, por defecto, a f2
(valor adyacente superior)
Valores atípicos o anómalos: Datos inferiores a f1 ósuperiores a f2 (distinguiéndose)
* o**o
MeQ3Q1v.a.i.anómalos v.a.s anómalos
v.a.i. v.a.s.
27
Ejemplo
Sea la variable estadística “nº de hijos”. Losdatos de 30 familias son los siguientes:
1,2,0,0,2,4,3,0,1,1,1,2,3,4,8,3,0,1,1,3,2,1,0,4,10,5,1,0,2,4
mín = 0máx = 10Q1 = 1Q3 = 3Me = 2f1 = -2f2 = 6F1 = -5F2 = 9Vai = 0Vas = 5Valores anómalos = 8, 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
*o
Datos ordenados:
00000011111111222223333444458 10