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APUNTES DE MATEMÁTICAS

4º ESO

1º Trimestre

Autor: Vicente Adsuara Ucedo

INDICE Tema 1: Vectores en el Plano …..……………………………………1 Ejercicios Tema 1………………………………………………………9 Tema 2: Dependencia Lineal ………….……………………………..7 Ejercicios Tema 2 .……………………………………………………20 Tema 3: El Plano Afín …………………………………………...…...22 Ejercicios Tema 3 ………………………………………………….….26 Tema 4: La Recta ………………..……………………………………28 Ejercicios Tema 4 ………………………………………………….….43 Tema 5: La Ecuación de La Circunferencia .….……………………49 Tema 6: La Elipse …………….………………..……………………...54 Tema 7: Sucesiones……………………….…………………………..57 Ejercicios Tema 7 …………………………………...……….…….….68 Tema 8: Progresiones.…………………….…………………………..57 Ejercicios Tema 8 …………………………………...……….…….….82 Anexo I: Problemas de lógica matemática ………………………….86 Anexo II: Sudokus ……………………………………………………..90

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 1: Vectores en el Plano

1

TEMA 1: VECTORES EN EL PLANO

1.1 Vectores Fijos

Dos puntos distintos A y B determinan una recta que llamaremos la recta r.

También determinan el segmento AB o BA . Si el segmento AB se considera

recorrido de A hacia B, se dice que es el vector fijo de origen el punto A y de

extremo el punto B y se escribe: AB

Dos puntos A y B determinan un solo segmento BAAB = , y dos vectores fijos:

AB y BA .

Un vector fijo, se dice que es un vector fijo nulo cuando su origen y su extremo

coinciden: CCyBBAA, son vectores fijos nulos.

1.2 Características de un vector fijo

Los tres elementos característicos de un vector fijo de origen A son: Módulo,

dirección y sentido.

El módulo de un vector fijo AB es la longitud del segmento AB .

Para expresar que el vector AB tiene de módulo 3cm, se escribe: .3cmAB =

El vector nulo AA tiene módulo cero: .0=AA

Se llama dirección de un vector fijo AB a la determinada por la recta que pasa

por los puntos A y B.

Todas las rectas paralelas tienen la misma dirección.

Para expresar que los vectores AB y CD tienen la misma dirección, se

escribe: CDAB ||

El sentido de un vector fijo AB es del origen A al extremo B.

Una dirección tiene dos sentidos.


2

1.3 Vectores opuestos

Dos puntos A y B determinan dos vectores fijos: AB y BA que se llaman

vectores fijos opuestos. Es evidente que dos vectores fijos opuestos tienen el

mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios.

1.4 Vectores equipolentes

Dos vectores fijos AB y CD se dice que son equipolentes si los dos son nulos o

si los dos tienen la misma dirección, el mismo módulo y el mismo sentido,

independientemente de los puntos de origen y extremo de los mismos.

B D

A C CDABoCDAB =≈

En el ejemplo, AB y CD son equipolentes o equivalentes, en consecuencia,

son el mismo vector.

Se llama vector libre a cada vector fijo junto con todos sus equipolentes, el

vector fijo AB y todos sus equipolentes forman un vector libre.

El vector libre formado por todos los vectores nulos se llama vector libre

nulo.

El módulo, dirección y sentido de un vector libre es el módulo, dirección y

sentido de cualquiera de sus representantes.

1.5 Componentes de un vector fijo

Dados los puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) que determinan el vector AB :


3

y2 B

y1 A

x1 x2

La diferencia x2 – x1 entre las abcisas de A y B se llama Primera Componente

del vector AB y la diferencia y2 – y1 es la Segunda Componente de AB .

1.6 Componentes de un vector libre

Un vector libre es un par de números reales dados en un cierto orden que se

llaman componentes del vector.


4

1.8 Ejercicios resueltos

a) Dados los puntos A = (1, 3) y B = (3, 7) , hallar las componentes de los

vectores opuestos: AB y BA y las componentes de los vectores nulos AA y

BB .

Solución: AB = (3 – 1, 7 – 3) = (2, 4)

BA = (1 – 3, 3 – 7) = (-2, -4)

AA = (1 – 1, 3 – 3) = (0, 0)

BB = (3 – 3, 7 – 7) = (0, 0)

b) Del vector PQ de componentes (5, -2) se conoce el extremo Q = (12, -3).

Hallar las coordenadas de P.

Solución: PQ = (12 – x, -3 – y) = (5, -2) , 12 – x = 5

-3 – y = -2

Por tanto: x = 7, y = -1 y P = (7, -1)

c) Se llama resultado de aplicar un vector a un punto al extremo del vector que

resulta de sumar las componentes del vector a las coordenadas del punto.

Aplicar el vector x = (2, 3) a los puntos A = (1, 4), B = (3, 0) y O = (0, 0)

Solución: A = (1, 4) (1+2, 4+3) = (3, 7) = A´

B = (3, 0) (3+2, 0+3) = (5, 3) = B´

O = (0, 0) (0+2, 0+3) = (2, 3) = O´

Los vectores fijos: 'AA , 'OO y BB son equipolentes e iguales a x . 'OO sería el

representante canónico del vector libre x .

d) Hallar el punto simétrico A´ de A = (4, -2) respecto del punto M = (2, 6)


5

Solución: Los vectores MA y 'MA han de ser opuestos

MA= (4 – 2, -2 – 6) = (2, -8)

'MA = (x – 2, y – 6)

Se deberá cumplir que: ( x – 2, y – 6 ) = ( -2, 8 ) x – 2 = -2 , x = 0

y – 6 = 8 , y = 14

Luego el punto simétrico de A es A’=(0, 14)

A’ (x, y)

-- M (2, 6)

A (4, -2)


6

1.8 Suma de vectores libres

La suma de los vectores libres: a y b se define de la siguiente manera:

Partiendo de un punto A cualquiera del plano, se traza un representante AB

del vector libre a y, con origen en B, se traza un representante BC del vector

libre b . El vector suma ba + es el que tiene por origen A y por extremo C. Esta

forma de definir el vector suma se llama regla del paralelogramo.

A

ba + b

B a C

1.9 Componentes del vector suma

Vamos a sumar los vectores libres a = (2, 4) y b = (6, 2). Puesto que la

suma de vectores no depende del origen elegido, tomaremos como tal el

origen de coordenadas:

Para sumar dos vectores

se suman sus respectivas

componentes

ba + = (2, 4) + (6, 2) =

(2 + 6, 4 + 2) = (8, 6)


7

1.10 Propiedades de la suma de vectores

a) La suma de vectores es una operación interna. ( LCI )

b) Se cumple la propiedad asociativa

c) El elemento neutro es el vector (0, 0)

d) Todo vector tiene su opuesto

e) Se cumple la propiedad conmutativa

Por consiguiente el conjunto de los vectores libres con la operación suma tiene

estructura de Grupo Abeliano.

1.11 Diferencia de dos vectores

Se llama vector diferencia de los vectores libres a y b al vector que resulta de

sumar al primero el opuesto del segundo:

dbaba =−+=− )(

1.12 Ejercicios

a) Demuestra geométricamente la propiedad asociativa de la suma de

vectores.

b) Dados los vectores a = ( 3, -1) y b = (4, 2), hallar ba − , ab − y

ab − . Efectuar la representación gráfica.

c) En el paralelogramo OABC, averiguar el vector que resulta de cada una

de las operaciones siguientes:

1. OCOA +

2. ABOA +

3. OAOC −

4. CBOC −


8

1.13 Producto de un número real por un vector

Se llama producto de un número real k por un vector a , y se designa por

ak ⋅ , o bien ka , al vector libre que verifica estas tres condiciones:

1. La dirección del vector k a es la misma que la del vector a .

2. El sentido del vector k a es el mismo que el del vector a si k > o, y es

el contrario si k < 0.

3. El módulo del vector ka es igual al producto del valor absoluto de k por

el módulo del vector a : akka ⋅=

Si el vector a = (a1, a2), entonces: ka = k(a1, a2) = (ka1, ka2)

1.14 Propiedades del producto de números reales por vectores

1. Distributiva respecto a la suma de vectores:

( ) bkakbak ⋅+⋅=+⋅

2. Distributiva respecto de la suma de escalares:

( ) amakamk ⋅+⋅=⋅+

3. Asociativa mixta:

( ) ( )amkakm ⋅⋅=⋅

4. El elemento neutro del producto de escalares lo es también del producto

por cualquier vector:

aa=⋅1

Recordemos que la suma de vectores libres forma un Grupo Abeliano o

Conmutativo. Además, el producto de escalares por vectores libres tiene las 4

propiedades que acabamos de ver, y por tanto se dice que el conjunto de

vectores libres del plano es un Espacio Vectorial.


9

EJERCICIOS DE VECTORES EN EL PLANO

Ejercicio 1:

Cuestionario:

a) Sí dos vectores fijos no tienen el mismo sentido entonces tienen sentidos

contrarios.

b) Un vector libre es un conjunto de infinitos vectores fijos cualesquiera.

c) Los vectores fijos nulos son equipolentes.

d) Todos los vectores fijos equipolentes entre si tienen iguales sus

componentes.

e) Las componentes de un vector libre coinciden con las coordenadas del

extremo de su representante con origen en el origen de coordenadas.

f) La suma de dos vectores libres no depende del origen elegido ni del

orden de los sumandos.

g) El vector nulo es el elemento neutro de la suma y de la diferencia de

vectores libres.

h) Al multiplicar un vector libre por un número real se obtiene otro vector

de igual dirección y sentido que el primero.

Ejercicio 2:

Dado el cuadrado ABCD, ¿ cuantos vectores libres determinan los vértices?

Ejercicio 3:

Se considera en un plano un punto fijo O. Se toman representantes de origen

O de todos los vectores fijos del mismo módulo: ¿Qué figura determinan los

extremos de estos vectores?


10

Ejercicio 4:

Averiguar si los vectores AB y CD son equipolentes.

Punto Coordenadas

A (2,-3)

B (6, -1)

C (5, 1)

D (9, 3)

Ejercicio 5:

Averiguar si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A = (1, 2) , B = (6, 4) ,

C = (13, 5) y D = (8, 3) es un paralelogramo.

Ejercico 6:

Aplicar el vector libre a =(2, -3) a los puntos A = (2, 5), B = (3, 4), C = (-1, 1)

Si A´, B´ y C´ son los puntos transformados de A, B y C , respectivamente,

calcular las componentes de los vectores: 'AA , 'BB y 'CC . ¿Como son estos

vectores?

Ejercicio 7:

Dado el triángulo de vértices: A = (4, 2) , B = (-2, 4) y C = (-2, -2), se pide

representarlo y hallar las componentes de los vectores: PQ , QR y RP , siendo

P, Q y R los puntos medios de los lados AB , BC y CA, respectivamente.

Ejercicio 8:

Dados los vectores : a = (2, -1) , b = (3, -2) , c = (-1, 4) , calcular:

a) ba +

b) ba −

c) ab −


11

d) cba ++

e) cba −+

f) cba −−

g) cba −+ 22

Ejercicio 9:

Representar los vectores ba + y ba − del ejercicio anterior mediante

representantes que tengan su origen en el origen de coordenadas.

Ejercicio 10:

Hallar el simétrico del punto A = (6, -2) respecto del punto M = (-8, 4).

Ejercicio 11:

Dibujar en un sistema de coordenadas cartesianas representantes de los

vectores libres a = (6, -2) y b = (2, 4), con origen en (0, 0), y obtener

gráficamente la suma. Comprobar que las componentes del vector suma

coinciden con las obtenidas analíticamente.

Ejercicio 12:

Representar la suma de a = (3, 1) y b = (6, 2). Comprobar que en este caso

no es aplicable la regla del paralelogramo.

Ejercicio 13:

Teniendo en cuenta que ACBCAB =+ , calcular: CABCAB ++

B

A C


12

Ejercicio 14:

Teniendo en cuenta que AEDEADDECDACDECDBCAB =+=++=+++ ,

calcular: EADECDBCAB ++++

C

B

D

A E

Ejercicio 15:

Dados los puntos A = (5, 8) ,B = (12, 5) y O = (0, 0), se pide:

a) Hallar la suma OBOA + y hacer la representación gráfica.

b) Hallar OAOB − y hacer la representación gráfica.

c) Hallar el módulo del vector OB

Ejercicio 16:

Dados los vectores a = (-2, 1) y b = (3, 4), representa gráficamente con

vectores de origen O = (0, 0) los vectores: byba 22,4 −

Ejercicio 17:

Sustituir a y b por números de modo que resulten ciertas las siguientes

igualdades, a la vista de la figura:

a) BCADbABa =⋅+⋅

b) ACADbBAa =⋅+⋅

c) ADBObABa =⋅+⋅


13

Ejercicio 18:

De los elementos característicos de un vector libre: módulo, dirección y sentido,

hay uno que no cambia nunca al multiplicar el vector por un número no nulo

cualquiera. ¿Cuál es?

Ejercicio 19:

¿Por qué número se ha de multiplicar el vector a para obtener otro vector b

diferente y de igual módulo?

A

B C

D

O

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 2: Dependencia Lineal

14

TEMA 2: DEPENDENCIA LINEAL

2.1 Combinaciones lineales

Consideremos los vectores libres 1v , 2v y 3v de la figura. Con ellos se ha

operado de la siguiente manera:

1) Se han sumado los vectores 13v y 22v .

2) Al vector resultante se le ha sumado el vector 32v− .

Así ha resultado otro vector libre del plano: 321 223 vvvx −+= .

El vector se dice que es una combinación lineal de los vectores 1v , 2v y 3v .

Los números 3, 2 y – 2 se llaman coeficientes de la combinación lineal.

1v

2v 13v

3v x

22v

32v−

En general:

Si consideremos ahora n vectores libres del plano: nvvvv ,...,, 321 y sean n

números cualesquiera: naaaa ...,,, 321 :


15

Se llama combinación lineal de los vectores nvvvv ,...,, 321 a cada uno de los

vectores de la forma nn vavavavav ⋅++⋅+⋅+⋅= ...332211 .

Se dice también que el vector v depende linealmente de nvvvv ,...,, 321 .

Es fácil comprobar que el vector nulo es combinación lineal de cualquier

conjunto de vectores, basta con que sean ceros todos los coeficientes de la

combinación lineal.

2.2 Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay

una combinación lineal de ellos que es igual al vector nulo, sin que sean cero

todos los coeficientes de la combinación lineal.

Es decir: nvvvv ,...,, 321 son linealmente dependientes si y solo si, existen ciertos

números reales naaaa ...,,, 321 tales que 0...332211 =⋅++⋅+⋅+⋅ nn vavavava ,

siendo alguno de los naaaa ...,,, 321 distinto de cero.

2.3 Propiedades

a) Si varios vectores libres son linealmente dependientes, entonces

uno al menos de los vectores depende linealmente de los demás y

recíprocamente.

Demostración: Supongamos que 321 , vyvv son linealmente dependientes.

Entonces, en la relación: 0332211 =⋅+⋅+⋅ vavava , algún .0≠ia

Si 01 ≠a : 31

32

1

21 v

aa

vaa

v ⋅−⋅−=

Esta igualdad expresa que el vector 1v depende linealmente de 2v y 3v .

Recíprocamente, si 1v depende linealmente de 2v y de 3v :


16

33221 vsvsv += y entonces: 01 33221 =++⋅− vsvsv con el coeficiente -1 de

1v distinto de cero y por tanto, 1v , 2v y 3v son linealmente dependientes.

b) Dos vectores del plano a y b son linealmente dependientes si y

solo si, son paralelos.

Demostración: Si a y b son paralelos, ha de ocurrir uno de estos dos

casos:

• que tengan el mismo sentido

a b amb ⋅=

• que tengan distinto sentido

a b amb ⋅−=

En cualquiera de los dos casos b depende linealmente de a , y en

consecuencia son linealmente dependientes.

Para la demostración reciproca, si a y b son linealmente dependientes,

uno de ellos depende linealmente del otro:

akb ⋅= , para algún número real k

Y teniendo en cuenta la definición de producto de un vector por un

escalar, la relación anterior indica que a y b son paralelos.

c) Si dos vectores libres no nulos del plano ( )21 ,aaa y ( )21 ,bbb son

linealmente dependientes, sus componentes son proporcionales y

recíprocamente.

Demostración: Si a y b son linealmente dependientes: akb ⋅=

m es el cociente entre los módulos de a y b


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Es decir ( ) ( )2121 ,, aakbb = . Por consiguiente: 11 akb ⋅= y 22 akb ⋅= , de

donde: kab

ab

==2

2

1

1

2.3 Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres se dice que son linealmente independientes si no son

linealmente dependientes.

Para dos vectores libres 1v y 2v , el ser linealmente independientes significa

que la relación 02211 =+ vava sólo es posible si 1a y 2a son cero.

En el apartado anterior se demostró que dos vectores paralelos son linealmente

dependientes y ahora vamos a ver que dos vectores no nulos del plano a y b

de distinta dirección son linealmente independientes.

Para demostrarlo hay que ver que en la relación: 0=+ bpas los números s y p

tienen que ser cero.

En efecto si s fuera distinto de cero, entonces seria bspa −

= y en este caso a

y b serian paralelos, en contra de lo que hemos supuesto.

Ejemplos:

1. Un vector libre no nulo es linealmente independiente, pues si 0≠v ,

0=⋅ vk sólo es posible si 0=k .

2. Los vectores ( )2,3=u y ( )4,6=v son linealmente dependientes porque se

cumple que: 02 =−vu siendo como vemos los coeficientes 2 y -1

distintos de cero.


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3. Los vectores ( )1,3=x e ( )3,2=y son linealmente independientes, porque

para que se cumpla 0=+ ybxa , es decir: ( ) ( ) ( )0,03,21,3 =⋅+⋅ ba , ha de

ser ⎩⎨⎧

=+=+03023

baba

Sistema que resuelto da como única solución: a = 0 y b = 0.

2.5 Bases y coordenadas

Cualquier vector libre del plano se puede representar como combinación lineal

de dos vectores libres de distinta dirección:

x

1u

2u 2211 uxuxx += [1]

Si se verifica que:

a) 1u y 2u son linealmente independientes.

b) Todo vector x del plano se puede expresar de forma única como

combinación lineal de 1u y 2u , es decir: 2211 uxuxx += .

Por cumplir estas dos condiciones, se dice que los vectores 1u y 2u forman una

base de los vectores libres del plano (plano vectorial). Todas las bases del

plano vectorial tienen dos vectores; por eso se dice que los vectores libres del

plano forman un espacio vectorial de dimensión 2.

Los números x1 y x2 son los coeficientes de la combinación lineal [1]

Ejemplo importante:

Los vectores 1e = (1, 0) y 2e = (0, 1) tienen distinta dirección y, en

consecuencia forman una base. Esta base se llama base canónica.


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Ejercicio resuelto

Dados los vectores libres a = (2, 1), b = (1, 4) y c = (5, 6), probar que a y

b son linealmente independientes y expresar el vector c como combinación

lineal de a y b . ¿Forman a y b una base?, ¿cuáles son las coordenadas de c

en esta base?

Solución:

( ) ( ) ( )0,04,11,2 =+ nm , ⎭⎬⎫

=+=+

0402

nmnm

mn 2−=→( )

⎭⎬⎫

=−=−⋅+

→07

024m

mm00

==

→nm

luego a y b son linealmente independientes.

Para expresar c como combinación lineal de a y b ponemos: cbxax =+ 21

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=+=+

→=⋅+⋅6452

6,54,11,221

2121 xx

xxxx

Resolviendo el sistema resulta: x1=2 y x2=1.

Por consiguiente: bac +=2

El par de vectores ( )ba, forma una base, y las coordenadas del vector c

respecto de esta base son 2 y 1.


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EJERCICIOS DE DEPENDENCIA LINEAL

Ejercicio 1:

Verdadero o Falso:

a) Dos vectores de distinta dirección pueden tener las componentes

proporcionales.

b) Es imposible encontrar tres vectores del plano que sean linealmente

independientes.

c) Dos vectores linealmente independientes del plano vectorial forman

siempre una base.

d) Un mismo vector, expresado en distintas bases, tiene distintas

coordenadas.

e) Dos vectores no nulos cualesquiera forman una base del plano

vectorial.

Ejercicio 2:

Expresar el vector a = (3, - 2) como combinación lineal de los vectores b =

(2, 1) y c = (-4, 3).

Ejercicio 3:

Indicar si los siguientes vectores libres del plano, dados por sus componentes

son linealmente dependientes o independientes.

a) u = (3, 5) y v = (2, 7)

b) x = (2, -3) e y = (-4, 6)

c) a = (1/2, -2/3) y b = (3/2, -2)

Ejercicio 4:

Averiguar si los vectores u = (2, -3) , v = (4, 5) y w = (-1, 2) son o no

dependientes. Expresar, si es posible, uno cualquiera de ellos como

combinación lineal de los otros dos.


21

Ejercicio 5:

Hallar el vector (x1, x2) que cumple:

a) 2(2, 3) + 5(x1, x2) = (-1, -4)

b) -(x1, x2) - 2(3, -1) = (-1, 0)

Ejercicio 6:

Demostrar que los vectores (-2, 1) y (1, 3) son linealmente independientes.

Ejercicio 7:

Demostrar que los vectores (-2, 3) y (6, -9) son linealmente dependientes.

Ejercicio 8:

Ver si los siguientes vectores forman o no una base:

a) (-2, 0) y (0, 2)

b) (3, 5) y (0, 0)

c) (1/3, 2) y (1, 6)

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 3: El Plano Afín

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TEMA 3: EL PLANO AFÍN

3.1 Sistema de referencia. Coordenadas de un punto

Sabemos que dos puntos A y B, en este orden, determinan un único vector

libre: ABa=

Por otra parte si a es un vector libre y A es un punto fijo, existe un único punto

B del plano tal que: aAB=

Estas dos condiciones relacionan los vectores libres y los puntos del plano, que

llamaremos plano afín.

Un sistema de referencia en el plano afín esta formado por un punto O, que se

llama origen del sistema, y por dos vectores no paralelos que constituyen la

base del sistema.

Sistema de referencia afín: ( )vuO ,,

3.2 Coordenadas de un vector libre

Dados dos puntos A y B del plano puede expresar el vector libre de

representante AB como diferencia de los vectores de posición de A y de B.

Sí A = (a1, a2) y B = (b1, b2), entonces:

AB = OB - OA = (b1, b2) - (a1, a2) = (b1 - a1, b2 - a2)

Es decir:

A

B


23

Las coordenadas del vector AB se obtienen restando las coordenadas

del origen A de las del extremo B.

Ejemplo:

Si las coordenadas de un vector AB son (-2, 1) y las coordenadas del punto A

son (3, -2), podemos calcular las coordenadas del punto B de la siguiente

forma: 1

12132

−==

→⎭⎬⎫

+=−=−

yx

yx

3.3 Coordenadas del punto medio de un segmento

Dos puntos A (x1, y1), B (x2, y2) determinan el segmento AB . Si M (x, y) es el

punto medio de AB , se verifica la siguiente relación vectorial:

ABAM21

= (x – x1, y – y1) = 21

(x2 – x1, y2 – y1)

Es decir: 2

222

12121

121

xxxxxxxxxxx +=⇒−=−⇒

−=−

2

222

12121

121

yyyyyyyyyyy +=⇒−=−⇒

−=−

Estas son las coordenadas del punto medio de un segmento en función de las

coordenadas de los extremos.

Ejemplo:

Si B es el punto de coordenadas (3, -1), veamos cuales tienen que ser las

coordenadas (x1, y1) del extremo A para que el punto medio M del segmento

AB sea M (2, 1):


24

12

32 11 =→+

= xx, 3

211 1

1 =→−

= yy

3.4 División de un segmento

Supongamos que conocemos las coordenadas de los extremos A y B de un

segmento AB y deseamos encontrar las coordenadas de un punto M que divide

al segmento AB en otros dos, AM y MB , que están en una razón dada.

Las coordenadas de los extremos del segmento AB son A=(2, -1) y B=(8, -4).

Ejercicio: Hallar las coordenadas de otro punto C que divide al segmento AB

en dos partes tales que AC es la mitad de CB .

Solución:

CBAC21

= , o bien ACCB 2=

(8–xc, -4 – yc) = 2(xc – 2, yc + 1)

8 – xc = 2 xc – 4 3xc = 12 xc = 4

-4 – yc = 2yc + 2 3yc = -6 yc = -2

3.5 Coordenadas del baricentro de un triángulo

Se llama baricentro de un triángulo al punto de intersección de las medianas.

El baricentro tiene la propiedad de estar a 2/3 del vértice y a 1/3 del lado

opuesto.

A

B C

N P

M

G


25

GPCGGNBGGMAG 2,2,2 ===

OBSERVACION:

Ortocentro: Punto de intersección de las alturas.

Incentro: Punto de intersección de las bisectrices, es el centro de la

circunferencia inscrita.

Circuncentro: Punto de intersección de las mediatrices, es el centro de la

circunferencia circunscrita.

Ejemplo:

Vamos a expresar el vector de posición del Baricentro en función de los

vectores de posición de los vértices:

( )3

231

31 ammamMAmMGmg +

=−+=+=+= , y como 2

cbm += :

3cbag ++

=

Y las coordenadas del baricentro en función de las coordenadas de los vértices:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++++

=3

,3

, 321321 yyyxxxyx


26

EJERCICIOS DEL PLANO AFIN

Ejercicio 1:

Siendo O un punto cualquiera del plano, decir si las siguientes ternas forman un

sistema de referencia del plano afín:

a) ( )vuO ,; , con u = (1, -2), v = (-2, 4)

b) ( )vuO ,; , con u = (2, 0), v = (0, 2)

c) ( )vuO ,; , con u = (1, 0) , v = (0 , -1)

Ejercicio 2:

En un cierto sistema de referencia ( )vuO ,; , el vector a = (-3,1) tiene origen

en (2, 0). ¿Cuál es su extremo?

Ejercicio 3:

Dados los puntos: A = (0, 2) , B = (-1, 3) , C = (2, -5) , D = (-2, -2)

Hallar las coordenadas de los vectores: .,,, DACDCBAB

Ejercicio 4:

Sabiendo que M = (2, -1), P = (3, 5) y Q = (-3, 2) son los puntos medios de

los lados del triángulo ABC, hallar las coordenadas de los vértices.

Ejercicio 5:

Hallar las coordenadas de los puntos M1 y M2 tales que situados sobre el

segmento de extremos A = (0, 1) y B = (4, -3) dividan a este en tres partes

iguales.

Ejercicio 6:

M = (2, 2) es el punto medio del lado AB del triángulo ABC; A = (1, 5) y C

= (-4, 2). Hallar el baricentro del triángulo ABC


27

Ejercicio 7:

En el triángulo ABC, el baricentro es G = (-2, -2). El punto medio del lado AB

es M = (3, 4) y el punto medio del lado AC es N = (-1, 3). Hallar los vértices

del triángulo.

Ejercicio 8:

Las coordenadas de los vértices del triángulo ABC son A = (2, -1) , B = (4, 3)

y C = (0, 1) . Hallar el baricentro de este triángulo.

Al unir los puntos medios de los lados del triángulo ABC, se obtiene un nuevo

triángulo MNP. Hallar el baricentro de este triángulo y compararlo con el del

anterior.

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 4: La Recta

28

TEMA 4: LA RECTA

4.1 Ecuación vectorial de la recta

Una recta queda determinada por un punto A y un vector libre v no nulo

paralelo a ella que se llama vector de dirección de la recta.

Vamos a obtener la relación vectorial que caracteriza a todos los puntos de la

recta r.

Si X = (x, y) es un punto cualquiera de la recta r, el vector AX tiene la

dirección de v y en consecuencia son linealmente dependientes, es decir son

proporcionales, luego:

ℜ∈= tvtAX ,

Según la figura: AXOAOX += es decir vtOAOX += OX

Si a es el vector de posición del punto A y x es el vector de posición del

punto X:

vtax += que es la ecuación vectorial de la recta r.

Ejemplo:

La ecuación de la recta r que pasa por el punto (2, -1) y tiene por vector v =

(1, 3) es:

(x, y) = (2, -1) + t (1, 3)

x

y

r

A v X = ( x , y )

x


29

4.2 Ecuaciones Paramétricas y en forma continua de una recta

De la ecuación vectorial de la recta r:

(x, y) = (x1, y1) + t (v1,v2)

(x, y) = (x1+ tv1, y1 + tv2)

es decir: x = x1 + t v1

y = y1 + t v2

que son las ecuaciones paramétricas de la recta. El escalar t ℜ∈ se llama

parámetro, y para cada valor de t se obtiene un punto distinto de la recta.

Ejemplo:

Calculemos las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto A

= (2, -3) y tiene por vector de dirección al vector MN , siendo M = (0, 5) y N

= (-1, 3).

Las componentes MN son: (-1 – 0, 3 – 5) = (-1, -2) , por lo que las

ecuaciones paramétricas de la recta serán:

x = 2 – t

y = -3 – 2 t

4.3 Ecuación en forma continua de una recta

En las ecuaciones paramétricas de la recta se puede eliminar el parámetro t

despejando en cada una de ellas e igualando las expresiones resultantes:

2

1

1

1

vyy

vxx −=

−

que es la ecuación de la recta en forma continua.

Para expresar esta ecuación solo necesitamos conocer un punto que dé

la recta A = (x1, y1) y un vector paralelo a ella v = (v1, v2).

Ejemplo:


30

La ecuación en forma continua de la recta que pasa por el punto (3, 5) y tiene

por vector de dirección (-2, 3) es:

3

523 −=

−− yx

4.4 Ecuación general de una recta

De la ecuación en forma continua de la recta:

2

1

1

1

vyy

vxx −=

−, con 01 ≠v y 02 ≠v

se obtienen las siguientes expresiones:

v2(x – x1) = v1(y – y1) v2x - v2x1 = v1y - v1y1

v2 x - v1 y + v1 y1 - v2 x1

en la que llamando: A = v2 , B = - v1 y C = v1 y1 - v2x1 , resulta:

que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta.

La única condición restrictiva es A y B no pueden ser cero al mismo tiempo ya

que el vector (0, 0) no define ninguna dirección.

En todos los casos el vector de dirección de la recta vendrá dado por:

( ) ( )ABvvv ,, 21 −==

Ejemplo:

Dada la ecuación de la recta en forma general: 2x – 3y + 5 = 0, vamos a

escribirla en las formas: vectorial, paramétrica y continua:

El vector de dirección será: v = (3, 2)

A x + B y + C = 0


31

Necesitamos encontrar ahora un punto que pertenezca a la recta : si a x le

damos el valor 2 obtenemos para y el valor 3, luego el punto A = (2, 3)

pertenece a la recta y por tanto la ecuación vectorial será:

( x, y ) = ( 2 , 3 ) + t ( 3 , 2 ) , ℜ∈t

Las ecuaciones paramétricas:

⎭⎬⎫

+=+=

tytx

2332

Y la ecuación continua:

2

33

2 −=

− yx

Ejemplo:

Determina la ecuación general de una recta sabiendo que esta determinada por

el punto A = (2, 5) y por el vector de componentes (-1, 2).

La ecuación vectorial será: (x, y) = (2, 5) + t(-1, 2)

Las ecuaciones . Paramétricas: ⎩⎨⎧

+=−=

tytx25

2

La ecuación continua: 2

512 −=

−− yx

Operando:

2x – 4 = -y + 5 2x + y – 9 = 0


32

4.5 Recta que pasa por dos puntos. Pendiente de una recta

Sean dos puntos A = (x1, y1) y B = (x2, y2) de una recta r.

Entonces AB es un vector de dirección de la recta:

v = AB = (v1, v2) = (x2 – x1, y2 – y1)

Y sustituyendo estas componentes en la ecuación continua de la recta, resulta:

12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−−

que es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la recta que pasa por los puntos:

A = (1, 3) y B = (2, -5).

01188835

3121

=−+⇒=+−⇒−−−

=−− yxyxyx

A

B


33

Se define la pendiente de una recta como el cociente de la segunda

componente de un vector de dirección de la recta entre la primera, siendo esta

última distinta de cero. Se denota con la letra m:

,1

2

vvm= con .01 ≠v

Si v1 = 0, la recta es paralela al eje OY y no tiene pendiente.

Si la recta viene dada por su ecuación general: Ax + By + C = 0, entonces un

vector de dirección es (-B, A) y por tanto su pendiente es:

BAm −=

La pendiente de una recta no depende del vector de dirección elegido para su

determinación, sino que tiene siempre un valor constante.

4.6 Ecuación punto-pendiente de una recta

De la forma continua de la ecuación de una recta: 2

1

1

1

vyy

vxx −=

−, se obtiene:

( )11

21 xx

vvyy −=− y como m

vv

=1

2 , resulta:

y – y1 = m (x – x1 )

Que es la ecuación punto pendiente de la recta.

Así pues una recta queda determinada cuando se conocen un punto de ella y su

pendiente.

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 5) y tiene

pendiente 1/3.

y – 5 = 1/3 (x – 2) de donde:


34

3y – 15 = x – 2, luego x – 3y + 13 = 0

4.7 Ecuación explícita de la recta

Despejando y en la ecuación punto-pendiente:

y = mx -mx1 + y1 , llamando b = y1 – mx1:

y = mx + b

que es la ecuación explícita de la recta. El término independiente b es la

ordenada correspondiente a x = 0, por lo que se le llama ordenada en el

origen de la recta y mide la distancia del origen al punto donde la recta corta

al eje OY.

Ejemplos:

a) Encuentra la pendiente y la ordenada en el origen de la recta cuya ecuación

general es: 2 x + 3 y - 5 = 0.

Solución: 35

32

352

+−=+−

= xxy , de donde 32

−=m y 35

=b

b) Escribir la ecuación explícita de la recta cuyas ecuaciones paramétricas son:

x = 2 – 3 t

y = 5 + 2 t

Solución: 153422

532

+−=−⇒−

=−− yxyx , por tanto:

3

1932

+−= xy


35

c) Encuentra un vector de dirección v de la recta y = 3x – 5

Solución: La pendiente es 1

23vvm == , luego los posibles vectores son:

(1, 3), (2, 6), (3, 9), etc.

4.8 Ecuación segmentaria o canónica de una recta

La ecuación segmentaria de la recta es la expresión de la recta en función de

los segmentos que esta determina sobre los ejes de coordenadas:

a se llama abcisa en el origen de la recta

b se llama ordenada en el origen de la recta

La ecuación de la recta que pasa por los puntos: (a, 0) y (0, b) es:

by

ax

by

aax

bby

aax

=+−⇒=−−

⇒−−

=−− 1

00, es decir 1=+

by

ax

con 0, ≠ba

Que es la ecuación segmentaria de la recta.

Los valores de a y b se pueden obtener fácilmente de la ecuación general:

a

b ( a , 0 )

( 0 , b )

12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−−


36

Si hacemos y = 0 resulta x = a

Si hacemos x = 0 resulta y = b

Una recta carece de forma segmentaria en los siguientes casos:

Caso 1: Recta paralela al eje X

Caso 2: Recta paralela al eje Y

y = b

x = a


37

Caso 3: Recta que pasa por el origen

En los casos 1 y 2, como ya se ha visto tampoco existe forma continua.

Recordemos además que en el caso 1 la pendiente es cero, y en el caso 2 no

hay pendiente.

EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Hallar la ecuación segmentaria de la recta que pasa por P = (-2, 1) y tiene

por vector de dirección a (3, -4).

Solución:

De las ecuaciones paramétricas: ⎭⎬⎫

−=+−=

tytx

4132

se obtiene la forma continua: 41

32

−−

=+ yx

y de ésta la ecuación general: 05343384 =++→−=−− yxyx

Entonces, si y=0, x=-5/4 = a, y si x= 0, y = -5/3 = b, luego la ecuación

será:

13/54/5=

−+

−yx

y = m x


38

2) Dada la recta r en forma canónica: 152=+

−yx

escribir la ecuación general y la ecuación vectorial de r.

Solución:

5x – 2y = -10 5x – 2y + 10 = 0 (ecuación general).

(-2, 0) es un punto de r, y el vector de dirección v = (-B, A) = (2, 5),

luego:

(x, y) = (-2, 0) + t(2, 5) es la ecuación vectorial.

4.9 Incidencia de puntos y rectas

Sean un punto P = (x1, y1) y una recta r : Ax + By + C = 0 del plano afín:

El punto P es incidente con la recta r, o el punto P pertenece a la recta r, o la

recta r pasa por el punto P, cuando las coordenadas del punto P satisfacen la

ecuación de la recta. Es decir:

Si P ∈ r Ax1 + By1 + C = 0

Si P ∉ r A x1 + B y1 + C ≠ 0

La sustitución de las coordenadas del punto puede hacerse en cualquiera de las

formas de la ecuación de la recta.

4.10 Condición de alineación de tres puntos

Se dice que tres puntos distintos del plano P= (x1, y1), Q = (x2 ,y2) y R = (x3,

y3) están alineados cuando los tres pertenecen a una misma recta.


39

La recta que pasa por P y Q será: 12

1

12

1

yyyy

xxxx

−−

=−−

Si el punto R también pertenece a esta recta deberá satisfacerla:

12

13

12

13

yyyy

xxxx

−−

=−−

, con 1212 , yyxx ≠≠

También podemos analizar el tema de tres puntos alineados: P, Q y R diciendo

que lo estarán si los vectores: PQ y QR tienen la misma dirección, es decir sus

componentes son proporcionales.

Ejemplo:

Veamos si los puntos P = (1, 3) , Q = (-2, -3) y R = (3, 7) están alineados.

La recta PQ: 33

312

1−−−

=−−− yx

-6x + 6 = -3y + 9 ⇒ 6x – 3y + 3 = 0 ⇒ 2x – y + 1 = 0

Y sustituyendo las coordenadas de R: 2·3 – 7 +1 = 0

es decir las coordenadas de R satisfacen la ecuación de la recta PQ, por tanto

los tres puntos están alineados.

De otra forma: PQ = (-2 – 1, -3 – 3) = (-3, -6)

QR = (3 – 1, 7 – 3) = (2, 4)

Que son vectores paralelos ya que sus componentes son proporcionales:

46

23 −=

−

4.11 Haz de rectas

Sea un punto P = (x1, y1) del plano:


40

El conjunto de rectas del plano que pasan por el punto P se llama haz de rectas

de vértice P.

Todas las rectas que pasan por el punto P = (x1, y1) se pueden escribir en la

forma punto-pendiente, a excepción, como ya se sabe, de la recta vertical x–x1

= 0, que no tiene pendiente. Por tanto:

Haz de rectas de vértice P: ( ){ } { }0, 111 =−∪ℜ∈−=− xxmxxmyy

Es decir, al variar m en R se obtienen todas las rectas del haz menos una.

Así, el haz de rectas de vértice P = (3, 5) es el conjunto formado por la recta

y=3 , paralela al eje y, y todas las demás que pasan por P con cualquier valor

real de la pendiente:

Haz de P = ( ){ } { }3,35 =∪ℜ∈−=− xmxmy

EJERCICOS RESUELTOS

1) Hallar la ecuación de todas las rectas paralelas a la recta r: Ax + By + C = 0

Solución:

Cualquier recta paralela a r: 0=′+′+′ CyBxA

debe cumplir que su vector de dirección tenga unas componentes

proporcionales a las del vector de dirección de la recta r, es decir:

BB

AA

′=′

Si además guarda también proporcionalidad con los términos

independientes, entonces las rectas son coincidentes.

Luego el haz formado por todas las rectas paralelas a r tendrá por ecuación:

ℜ∈=++ kkByAx ,0

2) Hallar la ecuación del conjunto de rectas paralelas a la recta: 2x + 3 + 6= 0


41

Solución: 2x + 3y + k = 0, ℜ∈k

3) Hallar la ecuación del haz de rectas paralelas a la recta 5x + y – 2 = 0 y

determinar la recta del haz que pasa por el punto P = (1, -2).

Solución: Haz de rectas paralelas: 5 x + y + k = 0 , ℜ∈k

Y la que pasa por (1, -2) deberá satisfacer la ecuación anterior:

5 ·1 – 2 + k = 0 ⇒ k = -3

luego la recta buscada será: 5x + y – 3 = 0

4) Hallar la ecuación de la recta que pasa por P = (3, 5) y es paralela a la

recta: 2x – 3y + 4 = 0

Solución:

La recta paralela pedida es : 2x – 3y + k = 0 , ℜ∈k

Si además debe pasar por el punto P:

2·3 – 3·5 + k = 0 ⇒ 6 – 15 + k = 0 ⇒ k = 9

Luego la recta que cumple las dos condiciones será: 2x – 3y + 9 = 0

5) Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas r y s y es paralela a la recta t.

r: ⎩⎨⎧

−=+=

221

tytx

s: 0532 =−+ yx

t: 132=+

−yx

Solución: Escribamos la recta en forma general:

0524211

22

1=−−⇒+=−⇒

+=

− yxyxyx


42

El punto de intersección de r y s aparecerá al resolver el sistema formado

por r y s:

( )⎭⎬⎫

=−++=−++⋅⇒+=

⇒⎭⎬⎫

=−+=−−

05310405352252

0532052

yyyyyx

yxyx

7y = -5, y = -5/7

x = 2·(-5/7) + 5, x = 25/7

La recta t en forma general es: -3x + 2y = 6 ⇒ 3x – 2y + 6 = 0

Luego la ecuación de todas las rectas paralelas a t:

3x – 2y + k = 0 , ℜ∈k

Como debe pasar por el punto ( 25/7 , - 5/7 ):

3·25/7 – 2·(-5/7) + k = 0 ⇒ 75/7 + 10/7 + k = 0 ⇒

75 + 10 + 7k = 0 ⇒ k = - 85/7

Por tanto la ecuación buscada será: 3x – 2y – 85/7 = 0

21x – 14y – 85 = 0


43

EJERCICIOS DE LA RECTA

Verdadero o Falso:

a) Si v = (-2, 5) , v′ = (2, -5) y A es un punto cualquiera del plano,

entonces: Los pares (A, v ) y (A, v′ ) determinan la misma recta.

b) y = 2x es la ecuación de una recta paralela al eje x

c) x – 5 = 0 es la ecuación de una recta vertical

d) Las rectas paralelas al eje x no tienen pendiente

e) Todas las funciones de primer grado en las variables x e y representan

rectas del plano.

f) La pendiente de una recta depende del vector de dirección que

elijamos, pues m = v2 / v1

g) Si dos rectas tienen la misma pendiente, entonces son paralelas.

h) Las rectas: by + c = 0 y b’y + c’= 0 son siempre paralelas.

i) El único punto de la recta 2x + y – 5 = 0 que tiene abcisa igual a 1 es

el (1,3)

j) La condición necesaria y suficiente para que las rectas:

Ax + By + C = 0 y A’x + B’y + C = 0

Sean las secantes AB’ ≠ A’B

k) Al variar la pendiente se obtienen todas las rectas pertenecientes al

haz de vértice P.

Ejercicio 1:

Escribir las ecuaciones vectorial, paramétricas y continua de las rectas cuyas

determinaciones lineales vienen dadas por:

a) El punto (2, 3) y el vector de dirección (-1, 5) .

b) El punto (3, 0) y el vector de dirección (3, -4).

c) El punto (1, 2) y el vector de dirección (0, -3).


44

Ejercicio 2:

Escribir las ecuaciones general, explícita y segmentaria de las rectas del

ejercicio anterior.

Ejercicio 3:

Dibuja las rectas cuyas ecuaciones son las siguientes:

a) x = - 2

b) y = 3

c) x = 2/3

d) y = 0

e) y = - x

Ejercicio 4:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q en los siguientes

casos:

a) P = (-2, 5) y Q = (3, 1) b) P = (4, 3) y Q = (0, 0)

c) P = (2, 3) y Q = (2, 5) d) P = (3, 4) y Q = (-5, 4)

Ejercicio 5:

Dado el triángulo de vértices: A = (2, 1), B = (0, 5) y C = (-2, -3)

Encontrar las ecuaciones de sus medianas.

Ejercicio 6:

Escribir la ecuación general de la recta que pasa por el punto A = (-2, 2) y tiene

la misma pendiente que la recta que pasa por B = (1, 5) y C = (4, -1).

Ejercicio 7:


45

Encontrar las ecuaciones de las diagonales del cuadrado cuyos vértices son los

puntos A = (1, 2) , B = (3, 2), C = (1, 0) y D = (3, 0). Comparar las pendientes

de ambas rectas.

Ejercicio 8:

Representar las siguientes rectas:

a) x + y + 1 = 0

b) 2x – 4y + 5 = 0

c) 154

−=−

+yx

Ejercicio 9:

Calcular el área del triángulo que la recta de ecuación 2x + 3y – 8 = 0

determina con los ejes de coordenadas.

Ejercicio 10:

Dada la recta: 3x – 2y + 5 = 0, indicar cuales de los siguientes puntos son

coincidentes con ella:

a) P = ( 1 , 4 )

b) Q = ( 2 , 2 )

c) R = ( 3 , 7 )

d) S = ( 1/2 , 13/4 )

Ejercicio 11:

Hallar el valor de k para que:

a) El punto (2, 3) pertenezca a la recta de ecuación 2 kx – 4y + 5 = 0.

b) La recta 3x – ky + 1 = 0 pase por el punto P.

c) La recta kx + ky + 4 = 0 sea coincidente con el punto (2, -3)

Ejercicio 12:


46

Hallar los puntos donde la recta 4 x – 2 y + 5 = 0 corta a los ejes de

coordenadas.

Ejercicio 13:

Decir si los puntos A = (1, 3), B = (-2, 5) y C = (-5, 7) pertenecen a la misma

recta.

Ejercicio 14:

Hallar el valor de k para que los puntos A = (1, k), B = (2, 5) y C = (-1, -2)

estén alineados.

Ejercicio 15:

Escribir las coordenadas de dos puntos que estén alineados con los puntos:

P = (2, 2) y Q = (-3, -3).

Ejercicio 16:

Hallar el valor de m para que las siguientes rectas no tengan ningún punto

común:

r: x – y – 3 = 0

s: mx + 3y – 1 = 0

Ejercicio 17:

Ecuaciones de las medianas del triángulo de vértices A = (0, 0), B = (1, 2) y

C = (3, -1). Hallar de dos formas distintas las coordenadas del baricentro del

triángulo.

Ejercicio 18:

Dadas las rectas:


47

r: 4x – 3 y + 1 = 0

s: 2x + y – 7 = 0

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de r y s y es

paralela a la recta que corta a los ejes de coordenadas en los puntos (8, 0) y

(0, 5), respectivamente.

Ejercicio 19:

¿ Cual es la ecuación de la recta cuyos puntos tienen la propiedad de distar k

del eje X? Razona la respuesta.

Ejercicio 20:

Hallar las coordenadas del cuarto vértice D del paralelogramo ABCD,

conociendo A = (2, 3), B = (5, 1) y C = (4, 0).

Ejercicio 21:

¿Cómo es la ecuación de una recta que pasa por dos puntos de abcisas iguales?

Pon un ejemplo.

Ejercicio 22:

La ecuación x + y = m ( 2x – y + 6 ) representa distintas rectas según el valor

de m. ¿Por qué punto pasan todas esas rectas?

Ejercicio 23:

¿Cuál es la ecuación del haz de rectas paralelas a la bisectriz del primer y tercer

cuadrante?

Ejercicio 24:

Determinar los valores de a y b para que las siguientes rectas sean

coincidentes:

ax + 3y + 5 = 0

2x + 6y – b = 0


48

Ejercicio 25:

¿Tiene alguna solución el sistema?:

x + y = 3

2 x + 2 y = 5

Ejercicio 26:

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las

rectas:

2x – y + 2 = 0

x – y + 1 = 0

y forma con los ejes de coordenadas un triángulo de área igual a 3/2.


49

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 5: La Ecuación de la Circunferencia

50

TEMA 5: LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA

5.1 Definición

Sea la circunferencia de centro C (a, b) y de radio r. Consideremos el caso

general en que el centro C no coincida con el origen de coordenadas y

tomemos un punto M (x, y) :

De la figura se obtiene: 222 NMCNCM +=

o bien: r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 (1)

Ésta ultima es realmente la ecuación de la circunferencia.

Desarrollando los cuadrados de la ecuación (1) tendremos:

x 2 + y 2 – 2ax – 2by + a 2 + b 2 – r 2 = 0

de la cual existen diversas variantes. Una de las formas mas usadas es:

Y

X

C

r

M=(x,y)

N

O A B


51

x 2 + y 2 + 2Dx + 2Ey + C = 0 ( 2 )

en la que D = -a; E = -b; C = a 2 + b 2 – r 2

La ecuación de la circunferencia es de segundo grado, carece de término en xy

y los coeficientes de x2 e y2 son iguales a la unidad.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro tiene por coordenadas

(2, -4) y cuyo radio es 3.

De la ecuación (1): 3 2 = ( x – 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2

Es decir: x2 + y2 – 4x + 8y + 11 = 0

Caso particular: El centro de la circunferencia coincide con el origen de

coordenadas

C = (a, b) = (0, 0) ⇒ a = 0 , b = 0

Y la ecuación de la circunferencia:

r2 = (x – 0)2 + (y – 0)2 ⇒ x2 + y2 = r2

5.2 Intersección de una circunferencia con una recta

Para hallar las coordenadas del punto o puntos de intersección de una

circunferencia con una recta se resuelve el sistema formado por las ecuaciones

de la circunferencia y de la recta.


52

Si el sistema da dos soluciones, la recta atraviesa y corta a la circunferencia en

dos puntos.

Si el sistema da una única solución, la recta es tangente a la circunferencia

Si el sistema no tiene soluciones reales, la recta no corta a la circunferencia.

Ejemplo:

Hallar las coordenadas de los puntos comunes de la circunferencia:

x2 + y2 – 4x – 2y + 4 = 0

con la recta:

y = x – 2

Deberemos resolver el sistema:

( ) ( ) 0424440422422

0424 222222

=+−−+−+⇒=+−⋅−−−+⇒⎭⎬⎫

−==+−−+

xxxxxxxxxxy

yxyx

2,34

9610010,012102 21

2 ==⇒−±

==+− xxxxx

Para x1 = 3 ⇒ y1 = 1 ⇒ (3, 1) es punto de corte

Para x2 = 2 ⇒ y2 = 0 ⇒ (2, 0) es punto de corte

Según esto la recta es secante a la circunferencia.

5.3 Intersección de dos circunferencias

Determinar los puntos de intersección de las circunferencias:

x2 + y2 – 4x – 6y + 9 = 0

x2 + y2 – 8x – 2y + 13 = 0


53

Restando la segunda de la primera, tenemos:

4x – 4y – 4 = 0 ⇒ y = x – 1

Y sustituyendo este valor en la primera de las ecuaciones dadas, tendremos:

x2 + ( x – 1 )2 – 4x – 6( x – 1 ) + 9 = 0

x2 + x2 – 2x + 1 – 4x – 6x + 6 + 9 = 0

2x2 – 12x + 16 = 0

4

12814412 −±=x ⇒ x1 = 4 ; x2 = 2 ⇒ y1 = 3 ; y2 = 1

Las circunferencias se cortan en los puntos: (4, 3) y (2, 1)

5.3 Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos

Supongamos que las coordenadas de estos puntos sean: (x1, y1), (x2, y2) y (x3,

y3). Estas coordenadas han de satisfacer la ecuación de la circunferencia.

Ejemplo:

Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

(2, 0), (4, 2) y (0, 2)

Sustituyendo en la ecuación: r2 = (x – a)2 + (y – b)2

r 2 = (2 – a)2 + (0 – b)2 ⇒ r2 = 4 – 4a + a2 + b2

r2 = (4 – a) 2 + (2 – b)2 ⇒ r2 = 16 – 8a + a2 + 4 – 4b + b2

r2 = (0 - a)2 + (2 – b)2 ⇒ r2 = a2 + 4 – 4b + b2


54

Sustituyendo r2 de la primera ecuación en la segunda y en la tercera:

4 – 4a + a2 + b2 = 16 – 8a + a2 + 4 – 4b + b2

4 – 4a + a2 + b2 = a2 + 4 – 4b + b2

a + b = 4

b – a = 0 a = 2 , b = 2 , r = 2

Luego la ecuación de la circunferencia será:

(x – 2)2 + (y – 2)2 = 4

x2 – 4x + 4 + y2 – 4y + 4 = 4

x2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 6: La Elipse

55

TEMA 6: LA ELIPSE

6.1 Definición

La elipse es una curva plana tal que la suma de las distancias de cada uno de

sus puntos a dos puntos fijos de su plano es constante.

Los puntos fijos F y F´ se llaman focos de la elipse.

La suma constante se representa por 2a .

Los segmentos que unen un punto M de la elipse con los focos son los radios

vectores del punto M.

El punto O, punto medio del segmento FF´, es el centro de la elipse.

El segmento AA´ que contiene a los focos, tal que AA´ = 2a y OA = OA´ = a,

es el eje mayor de la elipse.

El segmento BB´, perpendicular a FF´ en O y tal que BF = B´F = a, es el eje

menor de la elipse. La distancia OB = OB´ se representa por b.

La distancia FF´ se llama distancia focal y se representa por 2c (OF = OF´ = c).

Entre a , b y c existe la relación: a2 = b2 + c2

A´

F’ O FA

B´

B M

c b

a


56

• F y F’ son los focos de la elipse

• AA’ se denomina eje mayor de la elipse, y su longitud es 2a

• BB’ es el eje menor de la elipse, de longitud 2b

• El segmento FF’ es la distancia focal y su longitud es exactamente 2c

• Los radios vectores del punto M son los segmentos MF y MF’

o MF + MF’ = 2a

• La distancia del punto B a los focos F y F’ es a

• Se llama excentricidad de la elipse a la razón ac

. Se representa por e

o e = ac

o La excentricidad varía de 0 a 1. Si e = 0 ⇒ c = 0 ⇒ los focos se

confunden y la elipse es la circunferencia de centro O y radio a. Si

e = 1 ⇒ c = a ⇒ la distancia focal coincide con el eje mayor, y

la elipse se reduce al eje mayor AA’. Para valores de e entre 0 y 1,

la elipse se aproxima más al eje mayor cuanto más se aproxima a

1.

La tangente a la elipse en uno de sus puntos, es bisectriz del ángulo formado

por uno de los radios vectores del punto y la prolongación del otro radio

F F´

M


57

6.2.-Ecuación de la elipse.-

6.3.- Ecuación de la hipérbola.-

a

b

12

2

2

2

=−by

ax

12

2

2

2

=+by

ax

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 7: Sucesiones

58

TEMA 7: SUCESIONES

7.1 Desigualdad

Dados dos números reales a y b, se dice que a es menor o igual que b si la

diferencia b – a es ≥ 0.

a ≤ b ⇔ b – a ≥ 0

Las propiedades de las desigualdades que mas frecuentemente utilizaremos

son:

a) Si a ≤ b y b ≤ a , entonces a = b

b) Si a ≤ b y b ≤ c , entonces a ≤ c

c) Si a ≤ b y c ≤ d , entonces a + c ≤ b + d

d) a ≤ b y c > 0 , entonces a·c ≤ b·c

e) a ≤ b y c < 0 , entonces a·c ≥ b·c

f) Si 0 < a < b y 0 < c < d, entonces a·c < b·d

7.2 Intervalos en R

En la recta real se definen los siguientes conjuntos:

• Intervalo abierto de extremos a y b:

] a , b [ = { x ∈ ℜ / a < x < b }

• Intervalo cerrado de extremos a y b:

[ a , b ] = { x ℜ∈ / a ≤ x ≤ b }


59

Intervalo semiabierto por la derecha:

[ a , b [ = { x ℜ∈ / a ≤ x < b }

Intervalo semiabierto por la izquierda:

] a , b ] = { x ℜ∈ / a < x ≤ b }

7.3 Valor absoluto

Se llama valor absoluto del número real a, y se escribe a , al número a si 0≥a

y al opuesto de a si 0<a .

Se verifican las siguientes propiedades:

• aa ≥

• 00 =⇔= aa

• baba +≤+

• baba ⋅=·

• abba −=−

Se llama distancia entre dos puntos del eje de abcisas A y B de abcisas a y

b, respectivamente, al número real ab−

d(A, B) = | b – a |

a b

a b


60

7.4 Semirrectas o intervalos de extremos infinitos

Al conjunto de los números reales x que son mayores que a se expresa por:

] [∞+,a

] [ { }∞+<<ℜ∈=∞+ xaxa /,

Si este conjunto incluye el número a, se expresa por [ [∞+,a :

[ [ { }∞+<≤ℜ∈=∞+ xaxa /,

Al conjunto de los números reales x que son menores que a se expresa por:

] [a,∞−

] [ { }axxa <<∞−ℜ∈=∞− /,

Si este conjunto incluye el número a, se expresa por ] ]a,∞− :

] ] { }axxa ≤<∞−ℜ∈=∞− /,

Estos intervalos se llaman intervalos de extremos infinitos o semirrectas.

Para todo número real a se verifica: ∞+<<∞− a cualquiera que sea a.

El conjunto ℜ y los dos símbolos ( )∞+ y ( )∞− forman la recta real ampliada.

7.5 Entornos

Se llama entorno de centro a y radio r, y se denota por E(a, r) al intervalo

abierto ] a - r, a + r [.

La distancia entre los extremos de este intervalo es 2r y se llama amplitud del

intervalo.

En particular, el centro del entorno puede ser el origen; en este caso, el

entorno de radio r sería: E(0, r) = ] –r , r [.

Estos entornos se expresan con frecuencia con ayuda del valor absoluto.


61

El entorno ] [ rxrr <=− , o bien rxr <<−

El entorno ] [ raxrara <−=+− , o raxr <−<− , también raxra +<<−

El intervalo [ ] raxrara ≤−=+− , y también: raxra +≤≤−

Ejemplo:

El intervalo: ]1, 7[ es un entorno del punto 4 y radio 3 y se expresa mediante

el valor absoluto, por: 34 ≤−x .

EJERCICIOS RESUELTOS:

1) Ordenar de menor a mayor los números (a2 + b2) , (a – b)2 , (a + b)2 si

se sabe que 0 < b < a.

Solución:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab, y 2ab > 0, entonces:

(a - b)2 < a2 + b2 < (a + b)2

2) Expresar mediante el valor absoluto, los intervalos:

a) 2 ≤ x ≤ 4

b) [2, 6]

Solución:

a) [ ]13,1342 +−=≤≤ x , es decir 13 ≤−x

b) [ ] [ ]24,246,2 +−= , es decir 24 ≤−x

3) Hallar la distancia entre los puntos a = (r + s)2, b = (r – s)2, ℜ∈sr, .


62

Solución:

( ) ( ) ( ) rsrssrsrsrsrsrsrabbad 4422, 222222 =−=−−−+−=+−−=−=

EJERCICIO PROPUESTO

Representar los intervalos [1, 2[, ]2, 4[ y [5,7] y expresarlos mediante

desigualdades.

7.6 Sucesiones de números reales

Una sucesión de números reales es un conjunto ordenado de infinitos números

reales de modo que cada uno ocupa un lugar: hay un primero, un segundo, etc.

En la sucesión (an) = (a1, a2, a3, … an, ... ) los números reales a1, a2, a3, ... an

se llaman términos de la sucesión y el subíndice indica el lugar que el término

ocupa en la sucesión.

Con frecuencia una sucesión viene dada por una expresión con una variable

natural n que al tomar los valores 1, 2, 3,... determina los términos de la

sucesión. A esta expresión se le llama término general de la sucesión.

EJEMPLOS:

• La sucesión de los números pares: an = 2n = (2, 4, 6, ...)

• La sucesión de los números impares: bn = 2n – 1 = (1, 3, 5, 7, ...)

• La sucesión de los cuadrados perfectos: cn = n2 = (1, 4, 9, ...)

• En la sucesión de término general dn = 2n + 5 = (7, 9, 11, 13, ...) , cada

término es igual al anterior más 2. Esta sucesión es una progresión

aritmética en la que el término general se expresa: an = a1 + (n – 1)d.

• En la sucesión en = 2·3n–1 = (2, 6, 18, 54, ...), cada término es igual al

anterior multiplicado por 3. Esta sucesión es una progresión

geométrica en la que el término general se expresa por an = a1·rn–1.


63

7.7 Sucesiones definidas por recurrencia

Son aquellas sucesiones en las que cada término se obtiene del anterior o de

los anteriores. Una de estas sucesiones es la sucesión de Fibonacci, en la que

los dos primeros términos son 1 y los restantes se obtienen sumando los dos

anteriores:

a1 = 1

a2 = 1

a3 = a1 + a2 = 1 + 1 = 2

a4 = a2 + a3 = 2 + 1 = 3

a5 = a3 + a4 = 2 + 3 = 5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an = an-2 + an–1

de modo que la sucesión queda:

an = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...)

Otra sucesión definida por recurrencia:

bn = 3b n–1 - bn–2 ; b1 = 0, b2 = 1

bn = (0, 1, 3, 8, 21, 55, ...)

7.8 Determinación de una sucesión

Una sucesión an queda determinada cuando se pueden conocer todos sus

términos y las dos formas mas frecuentes de determinar una sucesión:

- Por su término general

- Por una Ley de recurrencia

Una sucesión no queda determinada cuando se conocen solo unos términos:


64

La sucesión: ⎩⎨⎧

≥=

=58

4,3,2,111,9,7,5nparanpara

an

La sucesión: ⎩⎨⎧

≥+=+

=522

4,3,2,132nparan

nparanbn

7.9 Operaciones con sucesiones

Suma

Dadas las sucesiones:

(an) = (a1, a2, a3, ... an)

(bn) = (b1, b2, b3, ... bn)

Se llama sucesión suma (an + bn) a aquella cuyos términos se obtienen

sumando los correspondientes términos de an y bn , es decir:

(an + bn) = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)

Diferencia

Se obtiene:

(an - bn) = (a1 - b1, a2 - b2, ..., an - bn)

Producto

Se obtiene:

(an)·(bn) = (a1·b1, a2·b2, ..., an·bn)

Una sucesión se dice que es invertible o inversible o que tiene inversa, si todos

sus términos son distintos de cero.

Si (bn) es invertible:


65

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

nn bbbbb1...,1,1,11

321

y en este caso se puede definir el cociente:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

nn

n

n

ba

ba 1

7.10 Sucesiones monótonas

Una sucesión (an) = (a1, a2, a3, ... an, ...) es monótona creciente cuando

cada término es menor o igual que el siguiente:

a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ ... ≤ an ≤ an+1 ≤ . . . .

Si se cumple:

a1 < a2 < a3 < a4 < . . . . . < an < an+1 < . . . .

Entonces se dice que la sucesión es estrictamente creciente.

Análogamente si:

a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ ... ≥ an ≥ an+1 ≥ ...

Entonces se dice que la sucesión es monótona decreciente

Y si se cumple:

a1 > a2 > a3 > a4 > . . . . . > an > an+1 > . . . .

se dice que la sucesión es estrictamente decreciente.


66

EJEMPLOS:

1) La sucesión ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

= ...,65,

54,

43,

32,

21

1nnan

es estrictamente creciente ya que observando los primeros términos:

...54

43

32

21

<<<<

Si lo que deseamos es demostrarlo:

21,

1 1 ++

=+

= + nna

nna nn

Hay que demostrar que: a n+1 - a n > 0 :

( ) ( )( )( ) ( )( )12

112

2112

1 2

++=

+++−+

=+

−++

nnnnnnn

nn

nn

Y esta última expresión es mayor que cero ya que el numerador es

siempre positivo y el denominador también.

2) La sucesión ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== − ...,

161,

81,

41,

21,1

21

1nna es una sucesión decreciente como

vemos según los primeros términos y vamos a demostrar para los

términos n-esimo y (n+1)-esimo.

nnnn aya21

21

11 == +−

021

212

21

210 11 >=

−=−⇒≥− −+ nnnnnn aa

Luego an es estrictamente creciente y, por tanto, creciente.


67

7.11 Sucesiones acotadas

Se dice que el número real k1 es una cota superior de la sucesión (an) si todos

los términos de la sucesión son iguales o menores que k1, es decir, an ≤ k1 para

todo n ∈ N.

En este caso se dice que la sucesión (an) esta acotada superiormente.

Se dice que el número real k2 es una cota inferior de la sucesión (an) si todos

los términos de la sucesión son iguales o mayores que k2 , es decir, an ≥ k2

para todo n ∈ N.

En este caso se dice que la sucesión (an) está acotada inferiormente.

Se dice que el número positivo k es una cota de la sucesión (an) si para todo n

∈ N es -k ≤ an ≤ k.

Se dice que la sucesión (an) esta acotada por tener cota superior e inferior.

EJEMPLOS:

1) La sucesión (an) = (n) = (1, 2, 3, 4, ..., n, ...) de los números naturales

es una sucesión acotada inferiormente y no acotada superiormente. Los

números: 1, 0, -1, -2, ... son cotas inferiores.

2) La sucesión de los números enteros negativos : (-1, -2, -3, -4, ...) está

acotada superiormente y no esta acotada inferiormente. Los números: -

1, 0, 1, 2, 3, ... son cotas superiores.


⎜⎝⎛=

+= ...,

45,

34,

23,21

nncn está acotada superiormente e

inferiormente, los números 2, 3, 4, ... son cotas superiores y los números

1, 0, -1, ... son cotas inferiores.


68

4) Probemos que 4 es una cota superior de la sucesión 312

++

=nndn , para

ello hay que probar que: 4312≤

++

nn

o bien que:

031120

3121240

3124 ≥

++

⇒≥+

−−+⇒≥

++

−nn

nnn

nn

y esto es cierto ya que numerador y denominador son positivos para

cualquier valor natural de n.

5) Toda sucesión creciente es acotada inferiormente, puesto que basta

tomar como cota cualquier número menor o igual que el primer término.


⎜⎝⎛=

+= ...,

65,

54,

43,

32,

21

1nnan es acotada

Como 01>

+nn

para todo n, resulta que 0 es una cota inferior.

Además por ser n < n+1, resulta 111

1=

++

<+ n

nn

n, y entonces 1 es una

cota superior de la sucesión.

7) La sucesión: ...,41,

41,

31,

31,

21,

21,1,1 −−−− está acotada superior e

inferiormente por los números 1 y -1, respectivamente. Otras cotas

superiores son todos los números reales mayores que 1 y otras cotas

inferiores son todos los números reales menores que –1. Es por tanto

una sucesión acotada.


69

EJERCICIOS DE SUCESIONES

Cuestionario:

a) Existe un número real que es menor que cualquier otro número real.

b) Se sabe que dos números reales a y b cumplen que a ≤ b; entonces se

puede asegurar que para cualquier número real k ∈ ℜ se cumple: k·a ≤

k·b

c) El valor absoluto de cero es cero.

d) Los extremos de un intervalo abierto ]a, b[ deben cumplir la condición a <

b

e) Los números reales positivos forman una sucesión.

f) El término general de una sucesión es el último término.

g) Toda sucesión es susceptible de tener término general expresado

mediante una expresión algebraica (es decir mediante potencias cocientes

y raíces).

h) Con los números 1 y 2 puede escribirse una sucesión.

i) Los números naturales forman una sucesión de números reales.

Ejercicio 1:

Representar sobre la recta los siguientes intervalos y semirrectas.

a) [-3, 2[

b) ]0, 1[

c) ]–1/3, 5/4[

d) [ 2 , 4]

e) ]-∞ , 3]

f) ]4, ∞ [

Ejercicio 2:

Determinar, utilizando intervalos, los puntos que estén situados a una distancia

mayor o igual que 3 del punto 3.


70

Ejercicio 3:

Calcular los cinco primeros términos de la sucesión 12 += nan

Ejercicio 4:

Los tres primeros términos de una sucesión son 1, 3 y 1 y cada uno de los

demás resulta de sumar los tres anteriores a el. Escribir los 10 primeros

términos.

Ejercicio 5:

Una sucesión tiene como primer término 2 , y la diferencia entre dos términos

consecutivos cualesquiera vale 3. Escribe el término general.

Ejercicio 6:

El primer término de una sucesión es 3, y cada uno de los restantes es igual a

1/3 del término anterior. Escribe el término general.

Ejercicio 7:

Determinar el término general de las siguientes sucesiones:

a) 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , . . . .

b) 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , . . . .

c) 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , . . . . . .

d) 7 , 9 , 11 , 13 , 15 , 17 , 19 , . . . .

e) 16 , 32 , 64 , 128 , . . .

f) 4 , 7 , 10 , 13 , 16 , . . . .

g) –1 , - 4 , - 9 , - 16 , - 25 , . . . .

h) 0 , - 2 , - 6 , - 12 , - 20 , . . . .

i) 3 , 6 , 11 , 18 , 27 , . . . .

j) 1 , 8 , 27 , 64 , 125 , 216 , . . . .

k) 0 , 3 , 8 , 15 , 24 , . . . .

l) - 2 , 4 , - 8 , 16 , -32 , . . .

m) 1 / 2 , 2 / 3 , 3 / 4 , 4 / 5 , . . . .

n) 3/5 , 6/5 , 9/5 , 12/5 , . . .


71

o) 1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , . . . .

p) 0 , 1/10 , 2/15 , 3/20 , . . . .

q) 2 , 3/2 , 4/3 , 5/4 , . . .

r) 0 , 1/3 , 2/4 , 3/5 , . . .

s) 2/3 , 4/4 , 6/5 , 8/6 , . . .

t) 1 / 2 , 3 / 4 , 5/6 , 7/8 , . . . .

u) 1/3 , 4/6 , 9/11 , . . . .

v) 0 , 3/5 , 8/10 , . . . . .

x) 5/3 , 7/6 , 9/11 , . . .

y) 1 , -1 / 2 , 1/3 , - 1 / 4 , . . .

z) 5/3 , 6/4 , 7/5 , 8/6 , . . .

Ejercicio 8:

Escribir los cinco primeros términos de las sucesiones cuyo término general es

el siguiente:

a) ⎩⎨⎧

==≥−

= −−

2,12

21

12

aansiaa

a nnn

b) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

imparesnsi

paresnsina

nn

1

12

c) ⎩⎨⎧

≥+<

=− 2

21

12 nsian

nsia

nn

Ejercicio 9:

Demostrar que la sucesión 12

1+

=n

an está acotada superiormente por la

sucesión n

bn1

= .


72

Ejercicio 10:

Dadas las sucesiones: 2,1

1,2 =+

== nnn cn

bna ,

Calcular: a) an + bn

b) an + bn – cn

c) an · cn

Ejercicio 12:

Considerar la sucesión definida así: El primer término es a1 = 326 y cada uno

de los siguientes es el cuadrado de la suma de las cifras del término anterior.

Escribir varios términos hasta que se pueda escribir el término a 100.000 .

Ejercicio 13:

Calcular los cinco primeros términos de las sucesiones an = 6n +1, bn = 6n + 2

y cn = 6n + 3 y comprobar que se trata de progresiones aritméticas. ¿Cuál es la

diferencia de cada una de estas progresiones?

Ejercicio 14:

Acotar la sucesión de término general 1212

−+

=nnan

Ejercicio 15:

¿Es 2 una cota superior de n

nan1+

= ?

Ejercicio 16:

¿Es monótona y acotada la sucesión de término general 112

+−

=nnan ?

Ejercicio 17:

Decir si es monótona (creciente o decreciente) la sucesión de término general:

nn na

211

−=


73

Ejercicio 18:

¿Existe algún intervalo de la recta real que contenga a todos los términos de la

sucesión cuyo término general es: ( )

2

1n

an

n−

= ?

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Tema 8: Progresiones

74

TEMA 8: PROGRESIONES

8.1 Progresiones aritméticas

Concepto:

Consideremos la sucesión de término general: an = 2n + 3

(5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...)

Cada término de esta sucesión es igual al anterior más 2. Esta es la

característica de un tipo de sucesiones llamadas progresiones aritméticas.

Definición: Una progresión aritmética es una sucesión de números

tales que cada término es igual al anterior más un número constante.

El número constante que se suma a cada término se llama diferencia de la

progresión, por ser igual a la diferencia entre un término cualquiera y el

anterior.

En la progresión aritmética anterior, el primer término a1 = 5 y la razón es d =

2.

Término general

Consideremos la progresión aritmética: a1, a2, a3, a4, ...

Según la definición, cada término se puede escribir:

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + d + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 2d + d = a1 + 3d

La fórmula del término general es:

an = a1 + (n – 1) d


75

En la sucesión (an) = (5, 7, 9, 11, ..) que hemos visto anteriormente deducimos

rápidamente que d = 2 y a 1 = 5 de modo que podemos calcular un término

cualquiera:

a100 = 5 + 99 · 2 = 203

8.2 Suma de los términos de una progresión aritmética

En primer lugar debemos darnos cuenta que en una progresión aritmética: La

suma de dos términos equidistantes de los extremos es igual a la

suma de los extremos.

Vamos a comprobarlo:

(a n) = 1, 3, 5, 7, 9, 11 (bn) = 2, 5, 8, 11, 14

En la primera comprobamos que la suma de los extremos es 1 + 11 = 12 y de

los equidistantes de los extremos también: 3 + 9 = 12, 5 + 7 = 12

Lo mismo ocurre en la otra progresión, la suma de los términos extremos es 2

+ 14 = 16 y de los equidistantes de los extremos también: 5 + 11 = 16, 8 + 8

= 16.

Vamos ya a encontrar la fórmula de la suma de los n términos de una

progresión aritmética. Para ello escribamos la suma de los n términos en el

orden normal y en el orden inverso:

S n = a 1 + a 2 + a 3 + . . . . . + a n-2 + a n-1 +a n

S n = a n + a n-1 +a n-2 + . . . . + a 3 + a 2 + a 1

Sumando término a término las dos igualdades:

2·S n = (a1 + an) + (a2 + a n-1) + ... + a n-2 + a3 ) + (a n-1 + a2) ) + (an + a1)

En el segundo miembro hay n paréntesis y cada uno de ellos es igual a a1 +

an, por tanto:

2 · S n = (a1 + an) · n, de donde:


76

( )2

1 naaS n

n⋅+

=

Ejercicios:

a) Hallar la suma de los 17 primeros múltiplos de 5

La progresión será: 5, 10, 15, 20, 25, ....

Se trata de una progresión aritmética en la que: a1 = 5 y d = 5

Calculemos a17 :

an = a1 + (n – 1)·d a17 = 5 + (17 – 1) 5 = 5 + 80 = 85

Y la Suma:

( )=

⋅+=

217855

17S 45 · 17 = 765

b) Hallar la suma de los n primeros números impares:

La progresión será: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,......

Es decir a1 = 1 y d = 2

an = 1 + (n – 1)·2 = 2n – 1

( )2

121 −+=

nSn = n 2

c) Escribir la formula de la suma de los términos de una progresión aritmética

de número impar de términos en función del término central c.

La progresión será: a1 , a2 , .., c, ... , an-1, a n

En consecuencia: c + c = a1 + an


77

21 naa

c+

=

Y sustituyendo en la formula de la suma:

ncn

aaS n

n ..2

1 =+

=

8.3 Interpolación

Interpolar p términos entre dos números dados a y b es intercalar p números

entre a y b, de modo que todos formen una progresión aritmética.

Para resolver este problema, basta hallar la diferencia d de la progresión

aritmética que tiene por extremos a1 = a y an = b, cuyo número de términos

es n + 2.

EJEMPLOS:

a) Interpolar cinco términos entre 4 y 22

4 22

En este caso:

a1 = 4 an = 22 la progresión constará de 7 términos

22 = 4 + 6 d d = 18 : 6 = 3

La progresión queda: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22

b) Averiguar cuantos múltiplos de 35 hay comprendidos entre 1000 y 2000 y

hallar la suma de todos ellos.

Se tiene que verificar que 1000 < 35 · n < 2000

El cociente entero (1000:35) es 28 y el cociente entero (2000:35) es 57

De estas divisiones se deduce que: 28 < n ≤ 57


78

Por consiguiente el primer múltiplo de 35 superior a 1000 es a1 = 29 . 35, y el

último múltiplo de 35 inferior a 2000 es an = 57 · 35

Sabiendo además que d = 35, con la fórmula del término general será fácil

hallar el número de términos n:

an = a1 + (n – 1) d

57 · 35 = 29 · 35 + (n –1) · 35

282957

3535.2935.57

1 =−=−

=−n

de donde: n = 28 + 1 = 29

Es decir entre 1000 y 2000 hay 29 múltiplos de 35.

Vamos a ver ahora cuanto suman:

4364529.

235.8629.

235.5735.2929.

2291

29 ==+

=+

=aa

S

8.4 Progresiones geométricas

Consideremos la sucesión general: an = 3n–1

(an ) = 1, 3, 9, 27, 81, . . . . .

Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por 3. Esta es la

característica de un tipo de sucesiones llamadas progresiones geométricas.


79

Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que

cada término es igual al anterior multiplicado por un número

constante llamado “ razón”.

a2 = a1 · r

a3 = a2 · r = a1 · r2

a4 = a3 · r = a1 · r3

de modo que la fórmula del término general de una progresión geométrica

será:

an = a1 · rn–1

8.5 Interpolación

Interpolar p términos entre dos números dados a y b es intercalar p números

entre a y b de modo que todos formen una progresión geométrica.

Para resolver este problema basta hallar la razón r de la progresión geométrica

que tiene por extremos a1 = a y an = b y cuyo número de términos es n + 2

Ejemplo:

Interpolar tres términos entre 3 y 48

n = 3 + 2 = 5, a = 3 y b = 48

Por la formula del término general: 48 = 3 · r5-1

216

348

44 ===r

La progresión resulta ser: 3, 6, 12, 24, 48.


80

NOTA: Cuando interpolemos una serie de términos para formar una progresión

aritmética hablaremos de términos diferenciales y cuando se trate de una

progresión geométrica hablaremos de términos proporcionales.

8.6 Producto de los n primeros términos de una p. geométrica

En primer lugar debemos de darnos cuenta que en una progresión geométrica:

El producto de dos términos equidistantes de los extremos es igual al

producto de estos:

a1 · an = a2 · an-1 = a3 · an-2 = ……..

Y en general sí c es el término central: c2 = a1 · an

Vamos a escribir el producto de los n primeros términos en el orden normal y

en el orden inverso:

P = a1 · a2 · a3 .... an–2 · an–1 · an

P = an · an-1 · an-2 .... a3 · a2 · a1

Multiplicando ambas expresiones:

P2 = (a1 · an) · (a2 · an-1) .... (an-1 · a2 ) · (an · a1)

De donde:

P2 = (a1 · an)n n

naaP ).( 1=

8.7 Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

Sn = a1 + a2 + a3 + .... + an-1 + an

r · Sn = a1 · r + a2 · r + a3 · r + .... + an-1 · r + an · r


81

Restando ambas expresiones:

Sn (r – 1) = an · r – a1 1. 1

−−

=r

araS n

n

8.8 Progresiones geométricas decrecientes

Una progresión geométrica se dice que es creciente si su razón r > 1. Si r está

comprendido entre –1 y 1, entonces se dice que es decreciente. Si además

tiene infinitos términos, se trata de una progresión geométrica decreciente e

ilimitada.

En estas progresiones se puede calcular la suma de un número ilimitado de

términos:

Si en última formula de la suma sustituimos an = a1 · r n-1 y multiplicamos

numerador y denominador por –1:

rra

ra

rraa

rara

rarra

Snnnn

n −−

−=

−−

=−−

=−

−=

−

1.

11.

1.

1.. 1111111

11

Al crecer n, la fracción primera permanece constante y rn es cada vez menor,

de manera que cuanto más aumente n, más se aproxima Sn al valor de la

primera fracción. Por tanto el valor de la suma de los infinitos términos de una

progresión geométrica decreciente se calcula:

ra

S−

=1

1


82

EJERCICIO RESUELTO

Hallar la fracción correspondiente al decimal periódico puro 0.181818181818….

y al decimal periódico mixto: 0.73333333…..

Solución:

a) 0.1818181818181818….. se puede escribir como:

0.18 + 0.0018 + 0.000018 + 0.00000018 + ……. =

..........

1018

1018

1018

1018

8642 ++++

Que es la suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

ilimitada cuya razón es:

1

101

2 <=r

Por tanto la suma:

112

9918

1011

1018

12

21 ==

−=

−=

ra

S

b) 0.73333.. = 0.7 + 0.03 + 0.003 + … = 7/10 +3 /102 + 3/ 103 +3 / 104 +

...=

1011

103

107 2

−+

= 1511

10.93

107

=+


83

EJERCICIOS DE PROGRESIONES

Ejercicio 1:

Hallar la suma de los 40 primeros múltiplos de 5.

Ejercicio 2:

Hallar el número de términos de una progresión aritmética en la que el primer

término es –38, la diferencia 7 y la suma de todos los términos 7632.

Ejercicio 3:

Hallar los ángulos de un hexágono irregular cuyas medidas están en progresión

aritmética y el menor de ellos es de 50º.

Ejercicio 4:

Escribir una progresión aritmética de 7 términos, sabiendo que el término

central es 34 y la suma del tercero y el sexto es 78.

Ejercicio 5:

Un número de tres cifras en progresión aritmética es igual a 41 veces la cifra de

las unidades, y si a dicho número se le suma 594 resulta el número invertido.

Hallarlo.

Ejercicio 6:

Hallar tres términos en progresión geométrica, sabiendo que su suma es 292 y

su producto 32768.

Ejercicio 7:

Hallar el número de términos de una progresión geométrica en la que el

término central es 4 y el producto de todos los términos es 16384.


84

Ejercicio 8:

La suma de los términos de una progresión decreciente e ilimitada es 12 y el

segundo es 3. Hallar la razón.

Ejercicio 9:

La suma de los dos primeros términos de una progresión geométrica

decreciente es 4 y la suma de sus infinitos términos es 9/2; hallar el primer

término y la razón.

Ejercicio 10:

Escribe el término general de una progresión aritmética sabiendo que la

diferencia es 3 y el primer término 0.

Ejercicio 11:

Halla el término general de una progresión aritmética, conociendo la diferencia

5 y el tercer término 16.

Ejercicio 12:

Calcula los lados de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus longitudes en

centímetros están en progresión aritmética y que la diferencia es 4.

Ejercicio 13:

La suma del primer término y el cuarto de una progresión aritmética es 1, y la

diferencia entre estos dos términos es – 9 . Calcula estos dos términos

Ejercicio 14:

¿Cuál es el término general de una progresión aritmética, sabiendo que el

segundo término es –1 y el sexto es 7?

Ejercicio 15:

¿cuántos múltiplos de 4 hay entre 25 y 125?


85

Ejercicio 16:

Si en una progresión aritmética a1 + a7 = 40, calcula a4 .

Ejercicio 17:

Si a3 + a8 =24 y a5 = 10 , calcula a6 y la diferencia de la progresión.

Ejercicio 18:

Si a2 + a9 = 35 y a1 – a10 = 3 , calcula a1 y a10 .

Ejercicio 19:

Calcula los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que sus lados están en

progresión aritmética de diferencia 5

Ejercicio 20:

¿Qué lugar ocupa el número 32 en una progresión geométrica cuyos primeros

términos son: 41

, 21

, 1, 2, ...?

Ejercicio 21:

¿Qué lugar ocupa el número 8 en la progresión geométrica siguiente?:

41

, 42

, 21

, ....

Ejercicio 22:

Averigua si 27 es un término de la progresión geométrica: 1 , 3 , 3 , 33 , ….

¿Qué lugar ocupa?

Ejercicio 23:

Calcula la razón de la progresión geométrica cuyos primeros términos son:


86

23

1+

, 4

23 − , ….

Ejercicio 24:

Calcula la suma de todos los términos de la progresión geométrica: 1, 41

, 161

, ..

Ejercicio 25:

En un cuadrado de 2m de lado inscribimos otro cuadrado, uniendo los puntos

medios de los lados. En el cuadrado obtenido inscribimos otro, y así

sucesivamente. ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica de las diferentes

áreas? Calcula la suma de todas ellas. ¿Cuál es la razón de los perímetros?

Calcula la suma de los perímetros de los infinitos cuadrados.

Ejercicio 26:

La suma de una progresión geométrica decreciente es 18 y el primer término

de la progresión es 3. Calcula la razón de la progresión.

Ejercicio 27:

La suma de una progresión geométrica decreciente es 24 y la razón es31

,

calcula el tercer término de la progresión.

Ejercicio 28:

Halla cuatro términos en progresión geométrica, sabiendo que el primero es 15,

y que la suma de los dos primeros es la cuarta parte de la suma de los otros

dos.

Ejercicio 29:

El producto de tres términos consecutivos de una progresión geométrica es 512

y su suma es 42. Calcúlalos.

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Anexo I: Problemas de lógica matemática

87

ANEXO I: PROBLEMAS DE LÓGICA MATEMÁTICA 1) TRES ERRORES Entre las afirmaciones de este problema hay tres errores, ¿sabrías decir cuales son?

a) ( ) 11 0 =−

b) 22/1

4=

c) 10825

516

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

d) ( ) 1147 =−− e) ( ) 106610 −=−⋅−

2) EL BOLIDO Y LOS TRES MOJONES Un automóvil pasa frente a un mojón que lleva el número Kilométrico AB. Una hora después el automóvil pasa frente al mojón BA , una hora después frente al mojón A0B. ¿qué números tienen los mojones y cual es la velocidad ( constante) del automovil? 3) EL CUMPLEAÑOS DE CLAUDINE Una noche que comía con Claudine, su sobrina preferida, Clovis Clou le preguntó:

- A decir verdad, querida mia, ¿cual es la fecha de tu cumpleaños? - Anteayer – dijo Claudine – yo tenía 19 años y el año próximo tendré

22. A Clovis Clou le encantó tanto esta respuesta que regaló a su sobrina un diamante. ¿Cuál era el cumpleaños de Claudine? 4) Determinar todos los valores de c para que las rectas: r: x – y = 2 s: cx + y = 3 se corten en el primer cuadrante.


88

5) De cuatro corredores de atletismo se sabe que C ha llegado inmediatamente detrás de B, y D ha llegado entre A y C. ¿Cuál es el orden de llegada? 6) En una calle hay 100 edificios. Se llama a un fabricante de números para que ponga números en todas las casas del 1 al 100. ¿Cuántos nueves fabricará? 7) Dos circunferencias secantes tienen por centros P y Q respectivamente. El Segmento PQ mide 3 cm. Por uno de los puntos donde se cortan las circunferencias, trazamos una recta paralela al segmento PQ. Sean M y N los puntos donde corta dicha recta a las circunferencias. ¿Cuánto mide MN? 8) La suma de seis números es par, el producto de los cuatro primeros es impar, y el último número es par. ¿Cómo es el quinto número, par o impar? 9) Seis amigos quieren pasar sus vacaciones juntos y deciden cada dos, utilizar diferentes medios de transporte; sabemos que Alejandro no utiliza el coche ya que este acompaña a Benito que no va en Avión. Andrés viaja en avión. Si Carlos no va acompañado de Darío ni utiliza el avión, ¿en que medio de transporte llega Tomás a su destino? 10) ¿Cuál es la cifra de las unidades del número: [( 874597)5 - (364645)4 ] · (8931)7 11) Encuentra dos enteros positivos m y n tales que: 1999 + n2 = m2 12) Se dibujan dos rectas secantes a una circunferencia, cortandose ambas rectas en un punto P, interior a dicha circunferencia. La primera corta a la circunferencia en A y B, siendo AP = 4 cm y BP = 6 cm. La segunda corta a la circunferencia en dos puntos C y D, siendo CP = 3 cm. ¿Cuánto medirá DP? 13) Alex pensó tres números. Si los agrupa de dos en dos y los suma, obtiene 38, 44 y 52. ¿Cuáles son esos números?


89

14) Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros exámenes de una clase, la nota media es de 8.4 puntos. Al corregir el séptimo, la nota media subió a 8.5 puntos. ¿Qué calificación obtuvo el examen del séptimo? 15) Las áreas de las tres caras adyacentes de un ortoedro son de 8 cm2 , 12 cm2 y 6 cm2. ¿Sabrías calcular su volumen? 16) Halla un número de cuatro cifras que cumpla las siguientes condiciones: - La suma de los cuadrados de las cifras de las centenas y las unidades es igual a 53 - La suma de los cuadrados de las otras dos cifras es igual a 45. - Si del número buscado restamos el que se obtiene al invertir sus cifras se obtiene un múltiplo de 99 comprendido entre 1000 y 1200. 17) Dadas dos circunferencias concéntricas, se sabe que la longitud de la cuerda de la circunferencia mayor que es tangente a la circunferencia menor mide 26 metros. Halla el área de la corona circular correspondiente. 18) Un padre y un hijo están separados 4 Km y caminan con intención de encontrarse a 4 Km/h. El perro escapa del padre y corre a 10 Km/h hasta encontrar al hijo. Entonces vuelve hasta el padre y repite la operación hasta el momento del encuentro. ¿Qué distancia habrá recorrido el perro en total? 19) Entre truchas y lucios pesqué cinco. Entre lucios y carpas pesqué cuatro. Si en total fueron seis peces, ¿Cuántas truchas pesqué? 20) En un calendario raro aparece el lunes y después el martes. Después de ambos el miércoles. Si estuviera mirando un calendario, debería seguir el jueves, pero no: el profesor Numenius se encuentra después con el sábado y con el viernes, en este orden. ¿Qué está mirando? 21) Mueve una sola ficha para lograr una igualdad: 2 + 3 = 6 22) En una carrera participan noventa y nueve corredores. Cada uno lleva sobre su atlética espalda un número del 1 al 99. Ahí les vemos llegar, exhaustos a la meta. En todos los casos, salvo en uno, el número de la espalda es menor que la posición que ese corredor ocupa en la carrera. ¿En que posición llega el corredor con el número 3?


90

23) Dentro de una bolsa hay dos bolas blancas y una negra. Manuela mete la mano y sin mirar saca dos bolas. ¿Qué es mas fácil: que sean del mismo color o que sean de colores diferentes? 24) Fernando Alonso tarda un minuto y dieciocho segundos en dar una vuelta completa al circuito. ¿Cuánto tardará en dar sesenta vueltas? 25) El profesor Kant hace un examen a sus discípulos: El promedio de la nota de todas las chicas es 9. El promedio de las notas de todos los chicos es 6.5. El promedio de todas las notas reuniendo chicos y chicas es 7.5. En la clase del profesor Kant, ¿Quiénes son mas las chicas o los chicos? 26) La mujer con traje de fiesta se detiene frente a la mesa de black jack. El crupier esta a punto de dar la vuelta a un naipe. ¿Es mas probable que sea una figura o un trébol? 27) Maverick, el tahúr más tramposo y embaucador del estado de Arizona, asegura que puede pinchar un globo sin hacer ruido y sin que se escape nada de aire. ¿Cómo lo hace? 28) El concejal mira a las cámaras, carraspea, se ajusta la corbata y dice: Es totalmente falso que no es cierto que afirmo que es mentira cuando niego que me han regalado un automóvil deportivo. ¿le regalaron el automóvil o no? 29) En el salón hay hombres y mujeres. Las mujeres son tres. Los hombres son el 99%. ¿Cuántos hombres deben salir de la sala para que el porcentaje de hombres sea del 98%? 30) El novio espera. Esta ansioso. Mira el reloj del campanario. Es un reloj antiguo, de agujas, cuya circunferencia esta dividida en sesenta marcas, una para cada minuto. La aguja de las horas esta justo en una marca y el minutero esta justo sobre la marca siguiente. ¿Qué hora es?

Colegio La Magdalena Apuntes de matemáticas de 4º de ESO Anexo II: SUDOKUS

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ANEXO II: SUDOKUS

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