1 universidade federal do amapÁ bÁsica - parfor … · 7 ... produtos notáveis com auxílio da...
TRANSCRIPT
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ
PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO – PROGRAD
PLANO NACIONAL DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES DA EDUCAÇÃO
BÁSICA - PARFOR
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CLEOMAR DA SILVA MOURA
FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA
ROMUALDO AMORIM RIBEIRO
UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS
COM AUXÍLIO DA INFORMÁTICA.
Macapá, março de 2017.
2
CLEOMAR DA SILVA MOURA
FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA
ROMUALDO AMORIM RIBEIRO
UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS
COM AUXÍLIO DA INFORMÁTICA.
Macapá, 31de março de 2017
Monografia apresentada à disciplina
Trabalho de Conclusão de Curso
como exigência para a obtenção do
grau de Licenciado em Matemática.
Orientador: Professor Me. Edivaldo
Pinto dos Santos
3
CLEOMAR DA SILVA MOURA
FRANCINALDO FRANKLIN DA SILVA
ROMUALDO AMORIM RIBEIRO
UMA PROPOSTA DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE PRODUTOS NOTÁVEIS
COM O AUXÍLIO DA INFORMÁTICA.
A Banca examinadora abaixo aprova a Monografia apresentada à disciplina
Trabalho de Conclusão de Curso – TCC, do curso de Licenciatura em Matemática,
da Universidade Federal do Amapá – UNIFAP, como parte da exigência para a
obtenção do Grau de Licenciatura em Matemática.
Aprovada em:
BANCA EXAMINADORA
___________________________________
Professor Me. Edivaldo Pinto dos Santos
Orientador – UNIFAP
____________________________________
Professor Me. João Socorro Pinheiro Ferreira
1º Membro – UNIFAP
____________________________________
Professor Me. Sérgio Barbosa de Miranda
2º Membro – UNIFAP
Macapá, 31 de março de 2017
4
AGRADECIMENTO
Dedicamos este trabalho primeiramente à Deus, aos
nossos pais e nossos professores, juntamente com
cada um dos nossos familiares que sempre foram
nossos conselheiros e nossos amigos em todo o
tempo.
5
AGRADECIMENTOS
Agradecemos primeiramente a Deus, pela força e paz de espírito que nos
concedeu ao realizar deste trabalho, bem como nossos familiares e professores, por
terem nos dado apoio e acreditado em nossa capacidade. Queremos também
agradecer em especial nossas esposas que tanto tiveram paciência e dedicação
durante este logo período de estudo e, não poderíamos deixar de agradecer aos
nossos colegas, que sempre se fizeram presentes e colaboraram com seus
conhecimentos e, para finalizar queremos agradecer ao nosso querido orientador e
professor Mestre Edivaldo Pinto dos Santos.
6
“Ensinar não é transmitir conhecimento, mas
criar as possibilidades para a sua própria
produção ou sua construção.”
“ Paulo Freire “
7
RESUMO
O referido trabalho foi realizado com o objetivo analisar a aplicação de representações semiótica no ensino de produtos notáveis com o auxílio da informática como ferramenta na prática educativa de alunos do 7ª série do ensino fundamental II, numa escola do município de Macapá. A metodologia utilizada foi de natureza descritiva e de método quantitativo e qualitativo, para a concretização do experimento usamos a aplicação de pré-teste, somente com lápis e papel e posteriormente sessões de informática envolvendo produtos notáveis e finalizando com aplicação do pós-teste. Ao final deste trabalho definimos que a aplicação da Teoria dos Registros de Representação Semiótica do filósofo e psicólogo francês Raymond Duval, com o auxílio da informática proporcionou aos educandos uma compreensão mais ampla de três casos de produtos notáveis: Quadrado da soma de dois termos, Quadrado da diferença de dois termos e Produto da soma pela diferença de dois termos. Palavras-chave: Informática, Registro de representação, Produtos notáveis e Ensino-Aprendizagem.
8
ABSTRACT
This study was carried out with the objective to analyze the application of semiotic representations in teaching notable products with the aid of information technology as a tool in the educational practice of eighth graders of elementary school II, at a school in the town of Macapa. The methodology used was descriptive in nature and quantitative and qualitative method, for the implementation of the experiment we use the application pre-test, only with pencil and paper and later computer sessions involving notable products and finishing with implementation of the post-test. At the end of this paper we define the application of the theory of Semiotic Representation records of the French philosopher and psychologist Raymond Durval, with the aid of information technology provided the students a broader understanding of three cases of notable products: square of sum of two terms, square of the difference of two terms and product of the sum of the difference of two terms. Key-word: computer, registry, notable Products and teaching and learning.
9
LISTA DE FIGURAS
Figura 1. Exemplo de Conversão da representação figural em..........................33
representação algébrica envolvendo produtos notáveis.
Figura 2. Exemplo de tratamento algébrico em produtos notáveis....................34
Figura 3. Pré-teste individual (Resolução Questão 1)..........................................39
Figura 4. Pré-teste individual (Resolução Questão 2)..........................................39
Figura 5. Pré-teste individual (Resolução Questão 3)..........................................40
Figura 6. Pré-teste individual (Resolução Questão 4)..........................................40
Figura 7. Atividade preliminar: quadrado da soma de dois termos....................41
Figura 8. Tela de atividades preliminar- quadrado da soma de dois termos....42
Figura 9. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos.............43
Figura 10. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos...........43
Figura 11. Atividade preliminar: Produto da soma pela diferença......................44
de dois termos.
Figura 12.Tela de atividade preliminar : Produto da soma pela diferença.........44
De dois termos.
Figura 13. Resolução de exercício pelos alunos: Produto da soma...................45
pela diferença de dois termos.
Figura 14. Resolução de exercício pelos alunos: Produto da soma...................46
pela diferença de dois termos.
Figura 15. Resolução de exercício pelos alunos: Produto da soma...................47
pela diferença de dois termos.
Figura 16. Atividade: quadrado da soma de dois termos....................................48
Figura 17. Tela do software (Teste 1).....................................................................49
Figura 18. Tela do software para a 1º questão da atividade do quadrado.........49
soma de dois termos.
Figura 19. Tela do software para a 7º questão da atividade................................50
do quadrado da soma de dois termos.
Figura 20.Tela do software para a mudança da representação..........................50
10
Geométrica para representação algébrica do quadrado da soma de dois
termos.
Figura 21. Tela do software para o tratamento do registro..................................47
algébrico do quadrado da soma dois termos.
Figura 22. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do quadrado....51
da soma de dois termos.
Figura 23. Atividade: Quadrado da diferença de dois termos.............................52
Figura 24. Tela do software para a 9º questão da atividade do...........................52
quadrado da diferença de dois termos.
Figura 25. Tela do software para mudança da representação.............................53
geométrica para algébrica do quadrado da diferença de dois termos.
Figura 26. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do...........53
quadrado da diferença de dois termos.
Figura 27. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do......................54
quadrado da diferença de dois termos.
Figura 28. Atividade: produto da soma pela diferença de dois termos.............54
Figura 29. Tela do software para a 6º questão da atividade................................55
do produto da soma pela diferenças de dois termos.
Figura 30. Tela do software para a mudança da representação geométrica.....55
para a algébrica.
Figura 31. Tela do software para o tratamento do registro algébrico.................56
do produto da soma pela diferença de dois termos.
Figura 32. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do produto.......56
pela diferença de dois termos.
Figura 33. 1º caso: quadrado da soma de dois termos........................................57
Figura 34. 1º caso: quadrado da soma de dois termos, atividade realizada.....58
Figura 35. 2º caso: quadrado da diferença de dois termos.................................58
Figura 36. 2º caso: quadrado da diferença de dois termos, atividade...............59
realizada
Figura 37. 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos.................59
11
Figura 38. 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos.................60
atividade realizada.
Figura 39. Mudança da representação da linguagem natural para a..................61
linguagem algébrica.
Figura 40. Mudança da representação geométrica para a linguagem................61
algébrica.
Figura 41. Tratamento algébrico com expressões simples.................................62
Figura 42. Tratamento algébrico com expressões complexas............................62
Figura 43. Atividade Pós-teste (Questão 1)...........................................................64
Figura 44. Atividade Pós-teste (Questão 2)...........................................................65
Figura 45. Atividade Pós-teste (Questão 3)...........................................................65
Figura 46. Atividade Pós-teste (Questão 4)...........................................................66
12
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1. Acertos e erros das questões do pré-teste...............................................38
Gráfico 2. Acertos e erros das questões do pré-teste e pós-teste............................64
13
LISTA DE TABELAS
Tabela 1. Taxa de acertos e erros dos alunos frente às questões do pré-teste........37
Tabela 2. Taxa de acertos e erros nas questões do pré-teste e pós-teste................63
14
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO.........................................................................................................15
1 - PCN E O LIVRO DIDÁTICO NO ENSINO DE PRODUTOS NOTÁVEIS...........18
1.1- O PCN no ensino de produtos Notáveis............................................................18
1.2 - Os livros Didáticos no Ensino de Produtos Notáveis........................................21
2 - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA...........................................................................28
2.1- Informática na Educação....................................................................................28
2.2 - Teoria de Registros de Representações de Semiótica de Raymond Duval....30
3 - METODOLOGIA DA PESQUISA.........................................................................35
3.1 – Tipo de Pesquisa..............................................................................................35
3.2 – Local da pesquisa e público alvo......................................................................35
3.3 Procedimentos metodológicos adotados na pesquisa.........................................35
4- ANÁLISE DOS DADOS........................................................................................37
4.1- Resultado do pré-teste.......................................................................................37
4.2- Primeira sessão informática (Registro geométrico para o registro numérico)..40
4.3-Segunda sessão informática (Registro geométrico para o registro algébrico)..47
4.4-Terceira sessão informática (Excel registro numérico).......................................57
4.5- Atividade complementar.....................................................................................60
4.6 Pós-teste .............................................................................................................63
5 - CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................67
REFERÊNCIAS.........................................................................................................68
APÊNDICES..............................................................................................................71
15
INTRODUÇÃO
A motivação inicial para a realização desta pesquisa surgiu a partir da
experiência do grupo de acadêmicos autores deste TCC, que exercendo atividades
como professores do 6º ao 9º ano do Ensino Fundamental tanto na zona Rural e
Urbana do Estado do Amapá perceberam que os alunos sentem dificuldades em
aprender sobre o conteúdo de produtos notáveis e mediante esta situação,
começamos a pensar a cerca de estratégias e práticas de ensino que poderiam
melhorar o processo ensino-aprendizagem de Produtos Notáveis, pois o que temos
observado hoje é que o educando do ensino fundamental, quando aprovado para o
ano seguinte sempre se tem a necessidade de realizar enumeras revisões.
O mesmo tem ocorrido no ensino de produto notáveis, pois este ensino na sua
maioria está pautado na utilização apenas da linguagem algébrica. E, segundo o
Ministério da Educação (MEC) que utiliza o IDEB (Índice de Desenvolvimento da
Educação Básica) que tem como objetivo avaliar a educação do país para alunos do
6º ao 9º ano e 3º Ano do Ensino médio, nos mostra que no último IDEB que ocorreu
em 2015 o Brasil não alcançou a média estipulada no cronograma do MEC, então é
necessárias que se criem alternativas que proporcionem mudanças.
Pesquisas nesta área comprovam que existem dificuldades dos alunos na
compreensão de produtos notáveis e propõem atividades com mudanças de
registros de representações semióticas e auxílio da informática como no trabalho de
Salete Rodrigues que é uma Dissertação de Mestrado no Ensino de Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC), onde a mesma em uma
pesquisa com três alunos do ensino fundamental 8º e 9º ano, constatou que houve
evolução conceitual e avanços significativos em relação ao processo Ensino-
Aprendizagem. Édson Passos da Silva realizou também uma monografia
apresentada para obtenção de título de Especialista em Matemática, do ensino de
produtos Notáveis com auxílio da informática com alunos do 8º ano e também
constatou avanços significativos no processo ensino-aprendizado.
E, após alguns estudos chegamos a conclusão que a Teoria das
Representações Semióticas de Raymond Duval e o auxílio da informática, a priori
16
seria uma metodologia viável para se obter um melhor aprendizado de produtos
notáveis, pois é uma teoria que trabalha o objeto matemático em várias
representações e, que tem demonstrado benefícios para o processo ensino-
aprendizagem e que estuda o funcionamento e o desenvolvimento cognitivo do
pensamento humano, principalmente em atividades relacionadas à Matemática.
Em 1997, o MEC lançou o Programa Nacional de informática na Educação
(PROINFO), E, desde então a informática tem sido uma ferramenta de apoio à
prática educativa. Portanto a Informática Educativa se caracteriza pelo uso da
informática como suporte ao professor, como um instrumento a mais em sua sala de
aula, no qual o professor possa utilizar esses recursos colocados a sua disposição.
Nesse nível, o computador é explorado pelo professor especialista em sua
potencialidade e capacidade, tornando possível simular, praticar ou vivenciar
situações, podendo até sugerir conjecturas abstratas, fundamentais a compreensão
de um conhecimento ou modelo de conhecimento que se está construindo.
(BORGES, 1999, p. 136).
Segundo Valente (1993, p. 16) esclarece que “na educação de forma geral, a
informática tem sido utilizada tanto para ensinar sobre computação, o
chamado computer literacy, como para ensinar praticamente qualquer assunto por
intermédio do computador”. Assim, diversas escolas têm introduzido em seu
currículo escolar o ensino da informática com o pretexto da modernidade. Cada vez
mais escolas, principalmente as particulares, têm investido em salas de informática,
onde geralmente os alunos frequentam uma vez por semana.
Como já fora explicado por Duval (2003) a utilização da Teoria das
Representações Semióticas consiste em construir procedimentos pedagógicos e
didáticos que adotem a abordagem cognitiva no ensino da Matemática. Nela, o
professor precisa buscar desenvolver nos alunos habilidades e competências que
possam vir contribuir para o desenvolvimento das capacidades de raciocínio e de
análise.
Portanto, entendemos que o referido estudo é de grande relevância para o
curso de Matemática e para a formação de professores de Matemática, pois
17
mostrará que o uso de representação semiótica no ensino-aprendizagem de
Produtos Notáveis, permite compreender a importância de ensinar de diversas
maneiras um mesmo conteúdo em sala de aula. A utilização dessa teoria pode
ajudar os alunos a extraírem a informação desejada, visto que nem todas as mentes
pensam iguais e que cada pessoa tem condições próprias no que tange o
aprendizado.
Por isso, buscou-se nesse trabalho respostas à seguinte problemática
Elaborando atividades que trabalhem, com o auxílio da informática e as relações
entre as representações geométrica, numérica, algébrica e linguagem natural de
produtos notáveis, é possível proporcionar ao aluno uma melhor compreensão
do quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos e
do produto da soma pela diferença de dois termos?
A hipótese do estudo e que acreditamos que o ensino-aprendizagem de
Produtos Notáveis é dificultoso, visto que os alunos geralmente não conseguem
compreender de maneira eficaz o seu significado. Portanto, supõe-se que ao utilizar
diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático, será possível
identificar melhoras no processo ensino-aprendizagem.
Dessa forma, o objetivo geral do estudo foi analisar a aplicação de
representação semiótica no ensino-aprendizagem de produtos notáveis, com auxílio
da informática com alunos da 7ª série do ensino fundamental. (lembramos que essa
denominação por série foi o último ano).
Em relação aos objetivos específicos, buscou-se descrever a teoria dos
registros de representação semiótica, de autoria do filósofo e psicólogo francês
Raymond Duval, que analisa os principais conceitos e características teóricas sobre
uso de diferentes tipos de representações semióticas no estudo sobre produtos
notáveis; buscando identificar se os registros de representação algébrica,
geométrica e numérica, favorece a aprendizagem relativa aos produtos notáveis
sempre com o auxílio da informática.
18
1 PCN E O LIVRO DIDÁTICO NO ENSINO DE PRODUTOS NOTÁVEIS
1.1 O PCN no ensino de produtos notáveis
Primeiramente queremos destacar que os Parâmetros Curriculares Nacionais
servem de apoio às discussões e ao desenvolvimento do projeto educativo da
escola e nos leva a refletir sobre a nossa prática de ensino, planejamentos, análises
e seleção de materiais didáticos e de recursos tecnológicos e também contribuir
para a formação e atualização profissional.
Nos PCN de Matemática (BRASIL, 1998) destaca-se que a aprendizagem
precisa estar centrada na construção de significados e, para que isso aconteça às
atividades não devem apenas estar voltadas para a memorização, desprovidas de
compreensão, mas sim, devem fazer com que o estudante desenvolva processos
importantes como intuição, analogia, indução e dedução.
Portanto o estudo da Álgebra constitui um espaço bastante significativo para
que o aluno desenvolva e exercite sua capacidade de abstração e generalização,
além de lhe possibilitar a aquisição de uma poderosa ferramenta para resolver
problemas. Entretanto, a ênfase que os professores dão a esse ensino não garante
o sucesso dos alunos, a julgar tanto pelas pesquisas em Educação Matemática
como pelo desempenho dos alunos nas avaliações que têm ocorrido em muitas
escolas.
Segundo os resultados do SAEB, por exemplo, os itens referentes à Álgebra
raramente atingem o índice de 40% de acerto em muitas regiões do país. Portanto é
fato conhecido que os professores não desenvolvem esses aspectos da álgebra no
ensino fundamental, pois privilegiam fundamentalmente o cálculo algébrico e das
equações, muitas vezes descolados dos problemas. Então para um melhor
aprendizado é necessário um trabalho articulado com essas dimensões nos anos
finais do ensino fundamental.
Segundo as orientações do (BRASIL, 1998, p. 84) o ensino de Álgebra precisa
continuar garantindo que os alunos trabalhem com problemas, que lhes permitam
19
dar significado à linguagem e às ideias matemáticas. Ao se proporem situações-
problema bastante diversificadas, o aluno poderá reconhecer diferentes funções de
Álgebra (ao resolver problemas difíceis do ponto de vista aritmético, ao modelizar,
generalizar e demonstrar propriedades e fórmulas, estabelecer relações entre
grandezas).
Para desempenhar seu papel de mediador entre o conhecimento matemático e
o aluno, o professor precisa ter um sólido conhecimento dos conceitos e
procedimentos dessa área e uma concepção de Matemática como ciência que não
trata de verdades infalíveis e imutáveis, mas como ciência dinâmica, sempre aberta
à incorporação de novos conhecimentos. (BRASIL, 1998).
Isso faz com que os professores procurem aumentar ainda mais o tempo
dedicado a este assunto, propondo em suas aulas não apenas a repetição mecânica
de mais exercícios. Pois essa solução, além de ser ineficiente, provoca graves
prejuízos no trabalho com outros temas da Matemática, também fundamentais,
como os conteúdos referentes à Geometria que também abrange os Produtos
Notáveis.
Existem alguns softwares interessantes que podem ser integrados às
atividades algébricas, como os que utilizam planilhas e gráficos. Hoje em dia, com o
uso cada vez mais comum das planilhas eletrônicas que calculam automaticamente
a partir de fórmulas, a necessidade de escrever algebricamente uma sequência de
cálculos, é maior que tempos atrás (BRASIL, p. 115)
Segundo o (BRASIL, p. 43) as tecnologias, em suas diferentes formas e usos,
constituem um dos principais agentes de transformação da sociedade, pelas
modificações que exercem nos meios de produção e por suas consequências no
cotidiano das pessoas.
No desenvolvimento de conteúdos referentes à geometria e medidas, os alunos
terão também oportunidades de identificar regularidades, fazer generalizações,
aperfeiçoar a linguagem algébrica e obter fórmulas, como para os cálculos das
áreas.
20
Para uma tomada de decisões a respeito do ensino da Álgebra, deve-se ter,
evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a
criança e o adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente
quanto à variedade de representações. Assim, é mais proveitoso propor situações
que levem os alunos a construir noções algébricas pela observação de
regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que desenvolver o
estudo da Álgebra apenas enfatizando as manipulações com expressões e
equações de uma forma meramente mecânica.
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa à habilidade de
pensar abstratamente, se lhes forem proporcionadas experiências variadas
envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais, de modo informal, em um
trabalho articulado com a aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma
aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados.
Acredita-se que os materiais manipuláveis podem auxiliar no desenvolvimento
desses raciocínios matemáticos. No que se refere ao ensino-aprendizagem de
produtos notáveis, pode-se fazer o uso de recursos tecnológicos com o intuito de
propiciar uma construção significativa dos produtos notáveis, estabelecendo relação
com o computador e com o conhecimento matemático algébrico. As mídias digitais
são importantes por relacionar a Álgebra a diferentes formas geométricas
(quadrados e retângulos), permitindo o trabalho com os registros geométrico e
algébrico na realização de operações.
Estudiosos do tema mostram que escrita, leitura, visão, audição, criação e
aprendizagem são influenciados, cada vez mais, pelos recursos da informática.
Nesse cenário, insere-se mais um desafio para a escola, ou seja, o de como
incorporar ao seu trabalho, tradicionalmente apoiado na oralidade e na escrita,
novas formas de comunicar e conhecer.
Acredita-se que além das dimensões da Álgebra é imprescindível, para o
processo de ensino e aprendizagem, refletir sobre como o estudante aprende os
conceitos matemáticos. Pois para Duval (2003) a abordagem cognitiva permite aos
estudantes compreender as diversidades dos processos matemáticos. Este
21
pesquisador desenvolveu a teoria denominada Registros de Representação
Semiótica, a qual tem por objetivo estudar as várias representações dos objetos
matemáticos e suas influências no processo de ensino e aprendizagem, como
veremos posteriormente.
1.2 O Livro didático no ensino dos produtos notáveis
Na década de 1960 ocorreu um acordo entre o Ministério da Educação (MEC)
e a Agência Norte-Americana para o Desenvolvimento Internacional (USAID) e
juntas, organizaram através da publicação do Decreto n° 59.355/1966 a organização
da Comissão do Livro Técnico e Livro Didático (COLTED). E dessa forma surge o
processo de organização das políticas para o livro didático, que ao passar dos anos
sofreu várias alterações em suas nomenclaturas, ideologias e formas de gestão das
ações referentes à produção, edição e distribuição do livro didático.
Em 1985, com a publicação do Decreto nº 91.542 foi criado a atual política,
chamada Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), que veio para alterar de
modo significativo, a sistemática de funcionamento das antigas gestões,
enfatizando-se sua atuação nos seguintes pontos:
• Garantia do critério de escolha do livro pelos professores; • Reutilização do livro por outros alunos em anos posteriores, tendo como consequência a eliminação do livro descartável; • Aperfeiçoamento das especificações técnicas para sua produção, visando maior durabilidade e possibilitando a implantação de bancos de livros didáticos; • Extensão da oferta aos alunos de todas as séries do ensino fundamental das escolas públicas e comunitárias; • Aquisição com recursos do governo federal, com o fim da participação financeira dos estados, com distribuição gratuita às escolas públicas (FREITAS; RODRIGUES, 2014, p. 3).
Sendo assim, segundo Freitas; Rodrigues (2014), o PNLD mudou toda a
concepção de funcionamento da escolha do livro didático escolar, adotou como foco
o ensino fundamental público, incluiu as turmas de alfabetização, garantindo-lhes o
benefício da gratuidade na aquisição de livros. E assim, propôs uma nova ideologia,
incumbindo a cada aluno o direito de ter um livro didático das disciplinas de língua
22
portuguesa, matemática, ciências, história e geografia, que serão estudadas durante
o ano letivo. Para o público do primeiro ano, há o direito de terem a cartilha de
alfabetização. Ainda conforme explicado por Freitas; Rodrigues (2014), o governo
federal brasileiro realiza a ação de mais programas ao livro didático para prover as
escolas das redes federal, estadual e municipal e as entidades parceiras do
programa Brasil Alfabetizado:
De acordo com o PNLD de Matemática (BRASIL, 2016), a Matemática pode ser
concebida como uma fonte de modelos para os fenômenos nas mais diversas áreas
do saber. Tais modelos são construções abstratas que se constituem em
instrumentos para ajudar na compreensão desses fenômenos. Nessa tarefa
complexa, a grande maioria dos educadores atribui ao livro um papel de destaque
entre os recursos didáticos que podem ser utilizados.
O livro didático traz para o processo de ensino e aprendizagem mais um
elemento, o seu autor, que passa a dialogar com o professor e com o estudante.
Nesse diálogo, o livro é portador de escolhas sobre: o saber a ser estudado (a
Matemática); os métodos adotados para que os estudantes consigam aprendê-lo
mais eficazmente; a organização curricular ao longo dos anos de escolaridade.
Estabelece-se, assim, uma teia de relações que interligam quatro polos. Um deles é
formado pelo autor e o livro didático; os outros três são compostos, respectivamente,
pelo professor, pelo estudante e pela Matemática.
Uma reflexão de outra natureza, agora voltada para a Educação Matemática,
revela que, nas últimas décadas, acumulou-se um acervo considerável de
conhecimentos sobre os processos de construção e de comunicação dos conceitos
e procedimentos matemáticos e sobre as questões correspondentes de ensino-
aprendizagem. Em tais estudos tem sido consensualmente defendido que ensinar
Matemática não se reduz à transmissão de informações sobre o saber acumulado
nesse campo. Muito mais amplo e complexo, o processo de ensino- aprendizagem
da Matemática envolve um leque variado de competências cognitivas e requer, além
disso, que se favoreça a participação ativa dos estudantes. Nesse contexto convém
lembramos que as competências não se realizam no vazio e sim por meio de
saberes de diversos tipos, dos mais informais aos mais sistematizados, esses
23
últimos que devem ser construídos nas instituições de ensino. (BRASIL, 2016, p.10
e 11)
De um modo geral, a álgebra permeia todos os volumes das coleções
aprovadas, embora, em algumas delas, seja iniciada apenas no volume do 7º ano.
Em particular, o estudo é adequadamente articulado com outros campos como
geometria e grandezas e medidas. Essas conexões são estabelecidas por meio das
fórmulas de área, perímetro e volume, aplicadas a figuras geométricas nas quais
comprimentos relevantes são representados por variáveis algébricas. Um caso de
particular interesse ocorre no trabalho com os denominados produtos notáveis.
Entretanto, predomina nas obras um ensino sobrecarregado de nomenclatura dos
elementos da álgebra: variável, termos, expressão algébrica, monômios, polinômios,
grau, entre outros. Prevalece, também, a abordagem das operações algébricas de
modo excessivamente técnico.
Na formação escolar, tem sido aceito que a álgebra cumpra os papéis de
generalização da aritmética, de resolução de equações e inequações e de estudo do
conceito de função, entre outros. (BRASIL, 2016, p. 31)
Portanto, Nos anos finais do ensino fundamental, o ensino de geometria tem
dois objetivos essenciais. O primeiro é consolidar, ampliar e aprofundar a
compreensão dos estudantes sobre os modelos geométricos do espaço em que
vivemos. O segundo é iniciar o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo,
acessível à faixa etária, para validação de propriedades dos modelos geométricos
estudados.
As grandezas e medidas estão presentes nas atividades humanas, desde as
mais simples, no dia a dia, até às mais elaboradas, na tecnologia e na ciência. Na
Matemática, o conceito de grandeza tem papel importante na atribuição de
significado aos conceitos de número natural, inteiro, racional e irracional. Além disso,
é um campo que se articula bem com a álgebra e a geometria e contribui de muitas
maneiras, para estabelecer ligações entre a Matemática e outras áreas do
conhecimento.
O reconhecimento desses fatos contribuiu para que os currículos, os livros
didáticos e o ensino em nosso país passassem a dedicar, há mais de uma década,
24
maior atenção ao estudo desse campo. Em quase todas as coleções aprovadas,
dedica-se uma atenção apropriada aos conteúdos do campo, o que é coerente com
essa tendência. (BRASIL, p. 41).
Portanto o manual do professor compõe-se da cópia do Livro do Estudante,
com as respostas das atividades propostas na obra. Ele também inclui textos
voltados à formação continuada dos docentes e outros que buscam contribuir para a
sua prática em sala de aula. Tais textos são encontrados tanto na parte comum a
todos os volumes quanto naquela que é específica a cada um dos livros. Nos textos
da parte comum, apresentam-se a estrutura geral da obra; os principais temas
abordados; as concepções teórico-metodológicas que orientam a obra. Há reflexões
interessantes sobre interdisciplinaridade e sobre o uso de paradidáticos e da
tecnologia para ampliar o interesse dos estudantes.
Veremos agora algumas das análises de obras segundo o Plano Nacional do
livro Didático (PNLD) em relação aos livros didáticos 2017 no que tange o ensino da
álgebra, geometria, grandezas e medidas e consequentemente o estudo dos
produtos notáveis.
COVERGÊNCIAS – MATEMÁTICA – EDUARDO CHAVANTE
Na obra de Eduardo Chavante os conteúdos são abordados
por meio de explanação teórica em sequências longas, segui-
das de exercícios propostos, dando pouca oportunidade para
que o estudante elabore de modo autônomo os conhecimentos
a serem adquiridos. Portanto esta obra tem diminuído a
liberdade de raciocínio, análise e reflexão do educando. Porém,
a álgebra é um dos campos que se destaca pela articulação
com os demais, em particular com grandezas e medidas e com geometria. Quanto a
esse último campo, é excessiva a atenção dada à nomenclatura, a classificações e à
identificação de elementos de figuras geométricas. No entanto Deixando a desejar
as longas sequências de definições, apoiadas apenas em alguns poucos exemplos,
adotadas como abordagem para diversas noções da geometria plana.
25
O estudo da álgebra começa com a exploração intuitiva de situações que
envolvem observação de regularidades em sequências numéricas ou de figuras
geométricas. Em geral, há equilíbrio entre o cálculo algébrico e o emprego da
álgebra para modelar problemas. As equações de 2º grau e os produtos notáveis
são abordadas, adequadamente em conexão com noções geométricas. (PCN p.
127)
Recorre-se ao uso da calculadora em vários momentos da obra,
prioritariamente para efetuar cálculos, o que representa um emprego limitado desse
recurso didático. No trabalho com geometria, grandezas e medidas e estatística,
várias atividades são propostas para serem desenvolvidas com auxílio de
instrumentos de desenho.
PROJETO TELÁRIS – MATEMÁTICA – LUÍS ROBERTO DANTE
A obra apresenta uma série de atividades nas quais se
destacam a contextualização da Matemática em práticas
sociais e a articulação interna entre os seus diversos
campos. Há diferentes estratégias propostas no
desenvolvimento das atividades, da validação empírica dos
resultados às comprovações dedutivas formais.
Na metodologia adotada, os conteúdos matemáticos trabalhados contribuem
para o desenvolvimento de competências cognitivas, como observar regularidades,
explorar e justificar. Porém, são frequentes as atividades em que se privilegia a
aplicação direta de procedimentos ensinados, em detrimento da capacidade de
argumentação.
O estudo da álgebra é bem articulado com o dos outros campos. O
pensamento algébrico é desenvolvido nas atividades de generalização que envolve
a aritmética ou a geometria. E linguagem algébrica é usada de forma apropriada,
bem como as diversas formas de representações. (PNLD p. 86).
26
Embora a utilização da calculadora seja bastante requerida, recomenda-se ao
docente selecionar as atividades em que o uso desse instrumento não se restrinja
ao simples cálculo de operações numéricas.
Recomenda-se que o professor complemente algumas orientações para o
desenvolvimento de atividades, pois as que são oferecidas tanto no Livro do
Estudante, quanto no Suplemento com orientações para o professor, nem sempre
dão o suporte necessário para a sua realização, especialmente no que diz respeito
ao uso de jogos, materiais concretos e softwares. (PNLD, p. 85).
MATEMÁTICA DO COTIDIANO – ANTÔNIO JOSÉ LOPES BIGODE
Na coleção, os conceitos são desenvolvidos, em geral, com
base em situações-problema. Estas, quase sempre, são
contextualizadas em práticas sociais contemporâneas ou de
caráter histórico.
Diversas seções especiais incluem sugestões de atividades
interessantes e que podem contribuir para o incentivo do
debate entre os estudantes. Porém no que tange a geometria,
o desenvolvimento das habilidades de argumentação concentra-se apenas no livro
do 9º ano. Nos volumes anteriores, a abordagem é exclusivamente intuitiva e empí-
rica, o que limita o desenvolvimento de alguns conceitos no campo.
Recomenda-se, ainda, que o professor fique atento ao fato de que em diversas
atividades não são preservadas as proporções entre as medidas indicadas e as
figuras trabalhadas. Vale a pena alertar os estudantes sobre essa questão, sempre
que necessário para que isso não gere dificuldades de aprendizagem. É possível
aproveitar a oportunidade para refletir com os estudantes sobre os objetos
matemáticos e suas representações.
Nos livros, são propostas muitas construções geométricas com a utilização de
instrumentos de desenho, que devem ser providenciados, tanto para uso do
estudante quanto do docente.
27
Vale ressaltar que foram analisadas várias obras pelo Plano Nacional do Livro
didático, porém buscamos analisar em nossa pesquisa apenas os livros didáticos de
Eduardo Chavantes, Luís Roberto Dantes e Antônio Lopes bigode e verificamos que
nas obras analisadas pelo (PNLD), essas obras já possuem adequações que
abrangem as representações de objetos matemáticos bem como a utilização de
softwares.
28
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 Informática na educação
Ao longo do tempo vem se comentando sobre a contribuição de tecnologias no
processo de ensino-aprendizagem. Portanto com o avanço das tecnologias nas
últimas décadas principalmente dos computadores, verificou-se uma demanda na
utilização de recursos da informática na educação. Pesquisas evidenciam a precisão
de inserir o computador nas escolas e consideram de fundamental importância à
necessidade do professor ter conhecimento sobre os potenciais educacionais do
computador e ser capaz de alternar adequadamente atividades tradicionais de
ensino e de aprendizagem, e atividades com o uso dos computadores.
Para Borba (2001) a relação entre informática e a educação não deve ser
pensada de forma dicotômica, mas sim como uma transformação da própria prática
educativa, pois sempre há uma dada mídia envolvida na produção do conhecimento.
Segundo Behrens (2000), a tecnologia da informação, entendida como os
recursos de software e redes de computadores, pode ser utilizada como ferramenta
complementar na aprendizagem. Para fazer uso dessas tecnologias como
ferramenta educacional, é preciso que o professor tenha noção do seu potencial,
assim como dos possíveis usos dos programas de computador.
Segundo (GPIMEM) – Grupo de Pesquisa em Informática Outras Mídias e
Educação Matemática - Apontam para a possibilidade de que trabalhar com os
computadores abre novas perspectivas para a profissão docente. O computador,
portanto, pode ser um problema a mais para a vida já atribulada do professor, mas
pode também desencadear o surgimento de novas possibilidades para o seu
desenvolvimento como um profissional da educação.
Portanto para Borba (2001), o acesso à informática na educação deve ser visto
não apenas como um direito, mas como parte integrante de um projeto coletivo que
prevê a democratização de acessos a tecnologias desenvolvidas por essa mesma
sociedade.
29
Com a realização do I Seminário Nacional de Informática Educativa em 1981,
surgem as primeiras ações no sentido de estimular e promover a implantação do uso
da tecnologia informática nas escolas brasileiras, dando origem aos programas
governamentais de implementação da informática na escola e, surgem os primeiros
projetos como:
O EDUCOM (Computadores na Educação) foi lançado pelo MEC e pela
Secretaria Especial de Informática em 1983 e, seu objetivo era criar centros piloto
em universidades brasileiras para desenvolver pesquisas sobre as diversas
aplicações do computador na educação.
O PRONINFE – Programa Nacional de Informática na Educação, foi lançado
pelo MEC – 1989, dando continuidade às pesquisas anteriores e, contribuindo
especialmente para a criação de laboratórios e centros de capacitação de
professores.
Após estas experiências surgem o atual programa do Governo o PROINFO –
Programa Nacional de Informática na Educação, lançado em 1997 pela Secretaria
de Educação à Distância (SEED / MEC), cujo objetivo é estimular e da suporte para
a introdução de tecnologias de informáticas nas escolas do nível fundamental e
médio de todo o país . E, portanto se cria o (NTE) – Núcleo de Tecnologia
Educacional espalhados nos estados do Brasil para a formação de Professores.
Atualmente, o acesso ao computador e, por consequência à internet, está
muito comum entre todas as classes sociais e em diferentes esferas sociais. Nesses
termos, é relevante considerar que a utilização de recursos computacionais na
educação exige um novo fazer pedagógico.
Sob esse enfoque, salienta-se que as Tecnologias de Comunicação e da
Informação (TICs) foram inseridas no contexto das salas de aula visando o
desenvolvimento dos aspectos educacionais e de aprendizagem dos alunos. Com
base nisso, o produto final desse processo é a formação de indivíduos autônomos,
que aprendem por si mesmo, porque aprenderam a aprender, através da busca, da
investigação, descoberta, e da invenção. Por isso, o uso da informática na escola é
fundamental.
30
A Informática na Educação tem evoluído bastante nos últimos anos,
principalmente pelo desenvolvimento de ambientes cada vez mais interativos. Além
dessa interação, a possibilidade de utilizar tecnologias distribuídas, permitindo
assim, alunos adquirirem conhecimentos mesmo situados longe dos grandes centros
(PADILHA; JÁCOME, 2017).
Os programas de computadores utilizados na educação estão classificados em
dois tipos básicos de abordagens: a instrucionista e a construcionista.
De acordo com Valente (1993, p.32), “um software educacional pode ser
considerado instrucionista quando alguém implementa no computador uma série de
informações e essas informações são passadas ao aluno na forma de um tutorial,
exercício-e-prática ou jogo”.
Papert (apud Valente, 1993, p.33) denominou de construcionista a abordagem
pela qual o aprendiz constrói através do computador o seu próprio conhecimento.
Baseando-se nas pesquisas realizadas os autores argumentam que a
informática na educação, e o seu uso, tende a uma eficácia na construção do
conhecimento, se utilizada como ferramenta auxiliar, o aprendizado terá impacto
direto, e acreditamos que em quase toda sua totalidade o resultado é positivo, ou
seja, faz-se necessário que a utilização dos recursos de informática na sala de aula
não seja a figura educacional, o professor e o aluno devem ser os protagonistas e
precisam se utilizar da criatividade, do raciocínio e atitudes ativas para a produção
do conhecimento.
Portanto, é necessário o professor aprender dentro da conjuntura educacional
a utilizar as ferramentas básicas de Informática como mecanismo atualmente
imprescindível dentro do processo ensino-aprendizagem, possibilitando assim o
enriquecimento da Prática Pedagógica.
2.2 Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval
A Teoria de Representação Semiótica é fruto das pesquisas elencadas pelo
francês Raymond Duval que a partir de 2003 identificou as contribuições da teoria
31
que tinha seu embrião conceitual nas ideias proferidas nas publicações de Charles
Sanders Peirce e Ferdinand de Saussure.
A matemática em particular, trabalha constantemente com objetos abstratos e,
segundo Duval (2007) para apropriar-se de um determinado objeto matemático, o
sujeito deve recorrer a sua representação. Dessa forma, para o autor a originalidade
da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros
de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento
de registro de representação.
Em sua teoria, Duval chama de Semiose, a apreensão ou produção de uma
representação semiótica e de Noesi, a apreensão conceitual de um objeto (DAMM,
2010, p. 177).
Peirce (2005) definiu Semiótica como a tarefa de determinar o que deve ser
verdadeiro quanto ao representar utilizado por toda inteligência científica, a fim de
que possa incorporar um significado qualquer. A diferenciação entre um objeto
matemático e sua representação é fator essencial para o desenvolvimento cognitivo.
Torna-se, portanto, uma condição importante para que haja, de fato, compreensão
dos objetos matemáticos.
O termo Registro de Representação Semiótica é usado para indicar diferentes
tipos de representação como, por exemplo, escrito em língua natural, escrita
algébrica, tabelas, gráficos cartesianos e figuras. Um registro de representação pode
ser considerado semiótico quando permitir formação de uma representação
identificável, tratamento e conversão.
1 – Tratamentos: são transformações de representações dentro de um mesmo
registro, por exemplo: “Efetuar um cálculo ficando estritamente no mesmo sistema
de escrita ou representação” (DUVAL, 2003, p. 16).
2 – Conversões: são transformações de representação que consistem em
mudança de registro conservando os mesmos objetos denotados: por exemplo,
reconhecer a escrita algébrica de uma equação em sua representação gráfica.
Segundo Silva (2008), a introdução da reta graduada como um registro
semiótico para os números racionais amplia a possibilidade de enfrentamento das
dificuldades consagradas na aprendizagem desses números. Para ele, o registro da
32
reta graduada é mais apto a criar um elo entre números e grandezas relativas, pois a
reta se encontra envolvida em meio a números que a atribuem uma ordem
crescente, sendo assim, as frações equivalentes são criadas em condições mais
favoráveis.
Representação Identificável: é, portanto uma representação de um registro
dado por meio da composição de um texto, desenho de uma figura geométrica,
expressão de uma formula entre outros.
No contexto da Psicologia Cognitiva, Para Duval existem diferentes registros
nos quais é possível fazer suas representações, que contribui no funcionamento
cognitivo do pensamento:
• O registro da língua natural – utilização de línguas maternas;
• O registro geométrico ou figural – utilização de figuras geométricas planas ou
espaciais; construção com instrumentos;
• O registro dos sistemas de escrita e cálculo – numéricos, algébricos,
simbólicos;
• O registro gráfico – utilização de sistemas de coordenadas (DUVAL, 2003).
Quando os significados estão claros é possível construir o conhecimento, ou
seja, chegar à Noesi, que é a apreensão conceitual do objeto. Em sua teoria, Durval
esclarece que o trabalho com as representações semióticas é fundamental, mais
ainda que não existe Noesi sem Semiose. A união das ações – representar, fazer
tratamentos, fazer conversões – sobre os conceitos é a construção do conhecimento
matemático.
A matemática como ciência, não possui objetos de estudos que são palpáveis,
ou que podemos facilmente enxergar, portanto representá-los é a forma de acessá-
los e compreendê-los. Duval (2003) argumenta:
[...] diferentemente dos outros domínios do conhecimento científico, os objetos matemáticos não são jamais acessíveis perceptivelmente ou microscopicamente (microscópio, telescópio, aparelhos de medida, etc.). O acesso aos objetos passa necessariamente por representação semiótica. Além do que, isso explica por que a evolução dos conhecimentos
33
matemáticos conduziu ao desenvolvimento e à diversificação de registros de representação. (DUVAL, 2003, p.21)
De acordo com a teoria de Duval, quando conseguimos diversificar os registros
de representação para representar um mesmo objeto de estudo, estaremos
realmente construindo o conhecimento.
O autor ressalta que a representação de um objeto nunca pode ser confundida
com o objeto de estudo em si, entretanto, o uso de apenas um tipo de registro de
representação, por exemplo, no presente caso, do registro algébrico para produtos
notáveis, pode dificultar essa tarefa de diferenciação.
Ainda, segundo a teoria de Duval, as atividades cognitivas de conversão e
tratamento entre os diferentes tipos de representação são fundamentais para
compreender os conceitos matemáticos. Realizar a conversão da representação
consiste em transformar o tipo de representação utilizado em outro, mantendo o
objeto de estudo o mesmo. No contexto desta pesquisa, isso acontece quando
convertemos uma representação geométrica para uma fórmula, como mostrado na
Figura 1.
Figura 1. Exemplo de Conversão da representação figural em representação algébrica, envolvendo produtos notáveis.
Já o tratamento se baseia na transformação de representação mantendo o
mesmo registro de representação, por exemplo, realizar os cálculos e alterações
possíveis, como mostrado na Figura 2.
34
Figura 2. Exemplo de tratamento algébrico em produtos notáveis.
Os tipos de registro de representação semiótica apresentados pelo autor são: a linguagem natural, representação algébrica, representação gráfica ou figural. A linguagem natural implica no uso da linguagem falada ou escrita na língua vernácula do aluno para representar os objetos de estudos, como uma explicação sobre eles. A representação algébrica se dá na maior parte das vezes no uso de números e letras. A representação gráfica ou figural é uma forma de expressar, visualmente, dados, valores numéricos ou expressões algébricas do que precisa ser trabalhado (CORREA et al., 2016, p. 5).
35
3 METODOLOGIA DA PESQUISA
3.1 Tipo de pesquisa
A priori desenvolveu-se uma pesquisa de campo que se enquadra no tipo de
estudo de natureza descritiva de método quantitativo e qualitativo.
Pretende-se utilizar principalmente o método de pesquisa de campo para o
levantamento de informações onde fatos e fenômenos ocorrem e, em consequência,
utilizar o método de pesquisa exploratória, para familiarizar-se com o tema
abordado, bem como o recurso de outros tipos de pesquisas como: pesquisa ex-
post-facto, pesquisa ação e pesquisa participante.
Segundo Fonseca, (2002), a pesquisa de campo caracteriza-se pelas
investigações em que, além da pesquisa bibliográfica e/ou documental, se realiza
coleta de dados junto a pessoas, com o recurso de diferentes tipos de pesquisa
(pesquisa ex-post-facto, pesquisa-ação, pesquisa participante, etc.)
3.2 Local da pesquisa e público alvo
Esta pesquisa foi realizada na escola Estadual Helenize Walmira Dias dos
Santos, situada na Rodovia AP-20, KM 09 linha B, na turma 724 do ensino
fundamental, no turno vespertino. Onde fomos recebidos com muita atenção pela
coordenação da referida instituição.
3.3 Procedimentos metodológicos adotados na pesquisa
Como temos por objetivo analisar se a aplicação de representações semiótica
com auxílio da informática contribuiria no entendimento do conceito matemático a
respeito de produtos Notáveis, primeiramente fizemos um levantamento por
intermédio do material dos alunos de que forma este conhecimento foi trabalhado e,
36
constatamos que o ensino de produtos notáveis se deu como na maioria das vezes,
somente com a utilização da representação algébrica, então trabalhamos com os
alunos aplicando um pré-teste e um pós-teste, somente com papel e lápis, no
intervalo entre eles foram realizadas sessões de ensino com a utilização da
informática, no intuito de proporcionar ao aluno uma melhor compreensão dos
produtos notáveis.
Por motivo da Escola Estadual Helenize Walmira Dias dos Santos está
passando por dificuldades no laboratório de informática da escola, tivemos que
conduzir 04 alunos que foram selecionados de forma aleatória até o laboratório de
informática da Unifap nos seguintes períodos:
O primeiro encontro ocorreu no dia 15 de dezembro de 2016 e foi realizado o
Pré-teste e a primeira sessão informática (Mudança do registro geométrico para o
registro número).
O segundo encontro ocorreu dia 20 de dezembro de 2016 e foi realizada a
segunda sessão informática (Transformação do registro geométrico para o
algébrico).
O terceiro encontro ocorreu dia 23 de dezembro e foi realizada a terceira
sessão informática (Excel registro numérico) e atividade complementar.
O quarto encontro realizou-se dia 17 de Janeiro de 2017 e foi aplicado o Pós-
teste.
37
4 ANÁLISES DOS DADOS
As análises dos dados ocorreram em três fases: na primeira aplicamos o pré-
teste, na segunda sessões informática e na terceira aplicamos o pós-teste.
4.1 Resultados do Pré-teste
Conforme pesquisas já citada, a ênfase no tratamento do registro algébrico no
ensino tradicional e a ausência de atividades de conversões de outros registros
influenciaram no resultado desses pré-teste (Tabela 1 e Gráfico 1).
Tabela 1. Taxa de acertos e erros dos alunos frente às questões do pré-teste.
Tabela de Acertos e Erros do Pré-teste
Questões Acertos % Erros %
1-a 0 0 4 100
1-b 0 0 4 100
1-c 0 0 4 100
1-d 0 0 4 100
1-e 0 0 4 100
2-a 3 75 1 25
2-b 3 75 1 25
2-c 3 75 1 25
3-a 0 0 4 100
3-b 1 25 3 75
3-c 1 25 3 75
4-a 1 25 3 75
4-b 0 0 4 100
4-c 1 25 3 75
4-d 0 0 4 100
38
Gráfico 1- Acertos e erros das questões do pré-teste
Conforme levantado na problemática e mostrado no gráfico 1, os alunos, em
geral, têm grandes dificuldades na compreensão de produtos notáveis. Dessa forma,
iremos com o auxílio da informática propor atividades para levar o aluno a uma
melhor compreensão de 3 casos de produtos notáveis.
Para cada questão apresentaremos e comentaremos alguns resultados do pré-
teste.
Na primeira questão, houve 100% de erros, devido ao conhecimento
equivocado do conceito de área dos quadriláteros, confundiram com o conceito de
perímetro. Conforme a resolução do aluno A (Figura 4):
39
Figura 3. Pré-teste individual (Resolução Questão 1)
.
Na segunda questão o percentual de acertos foi bom 75%, só um aluno não
conseguiu acertar e outro aluno resolveu a questão conforme figura 4.
Figura 4. Pré-teste individual (Resolução Questão 2)
Na terceira questão, somente um aluno conseguiu resolver dois dos três itens
propostos, acreditamos que a falta de atividades de mudança da representação da
linguagem natural para a representação algébrica, acarretam tal dificuldades, com
representação exemplificada na Figura 5.
40
Figura 5. Pré-teste individual (Resolução Questão 3)
Na questão quatro (Figura 6), o percentual de erros foi alto, conforme
pesquisas os produtos notáveis não são bem compreendidos pelos alunos do ensino
fundamental II, verificamos que o único aluno que acertou dois itens, conforme
imagem abaixo utilizou multiplicação de polinômios.
Figura 6. Pré-teste individual (Resolução Questão 4)
4.2 Primeira sessão informática (Mudança do registro geométrico para o
registro numérico).
A primeira sessão informática se desenvolveu em 15 de Dezembro de 2017,
com 4 alunos da 7ª série do ensino fundamental , no laboratório da Unifap Macapá
no Amapá. E colocou-se em destaque a articulação dos registros geométricos para
os registros numéricos.
Com o uso do software educativo, criado exclusivamente para esta pesquisa,
elaboramos no Word atividades (questões abertas) para os três casos de produtos
notáveis (quadrado da soma dois termos, quadrado da diferença de dois termos e
41
produto da soma pela diferença de dois termos) que procurassem, inicialmente,
favorecer a formulação de conjecturas, de questionamentos e de validação ou não
dos resultados no software, por parte do aluno.
O objetivo principal desta sessão foi proporcionar aos alunos a aquisição de
conhecimentos necessários para um bom desempenho na próxima sessão
informática, articulação dos registros geométricos para os registros algébricos. Os
conhecimentos matemáticos envolvidos nesta sessão: cálculo de áreas de
quadrados e retângulos, operações de adição, subtração, multiplicação e
potenciação de números reais, decomposição de figuras, expressões numéricas.
As questões foram respondidas no papel. O professor pesquisador assumiu o
papel de orientador do processo, gerenciando as atividades dos alunos, fazendo
intervenções individuais quando necessárias e, ao final de sessão,
institucionalizando os conceitos estudados, após uma discussão das conjecturas
feitas pelos alunos, validando-as ou não.
Figura 7. Atividade preliminar: quadrado da soma de dois termos.
42
As questões tinham por objetivo levar o aluno a perceber a validade da
expressão: (7+3)² =7² + 2.7.3 + 3², a partir da representação geométrica, conforme
tela do software (figura 8).
Figura 8. Tela de atividades preliminar-quadrado da soma de dois termos.
43
Figura 9. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos.
As questões tinham por objetivo levar o aluno a perceber a validade da
expressão: (9-3)²=9² - 2.9.3 + 3², a partir da representação geométrica, conforme
tela do software (Figura 10).
Figura 10. Atividade preliminar: quadrado da diferença de dois termos.
44
Figura 11 - Atividade preliminar: Produto da soma pela diferença de dois termos.
As questões tinham por objetivo levar o aluno a perceber a validade da
expressão: 152-52=(15+5).(15-5), a partir da representação geométrica, conforme
tela do software (Figura 12).
Figura 12. Tela de atividade preliminar: produto da soma pela diferença de dois termos.
45
FIGURA 13. Resolução de exercícios pelos alunos: Produto da Soma Pela Diferença de dois termos.
Apresentaremos e comentaremos alguns resultados da atividade preliminar.
Para o primeiro caso (quadrado da soma de dois termos), observamos na
resolução abaixo, no item “a”, o momento em que o aluno passa a utilizar o conceito
correto de área. E percebe, no item “e”, a relação de igualdade na decomposição da
figura.
Para o segundo caso (quadrado da diferença de dois termos), observamos na
resolução abaixo, no item “e”, uma dificuldade no cálculo da área do quadrado azul,
a partir das áreas do quadrado amarelo e dos retângulos. Mas, depois da mediação
feita por nós o objetivo foi alcançado, conforme item “f”.
46
Figura 14. Resolução de exercício pelos alunos: produto da soma pela diferença de dois termos
No terceiro caso (produto da soma pela diferença de dois termos),
observamos na resolução abaixo, que em geral não houve dificuldades, mas ao
finalizar o processo, deixamos claro que nos interessa neste caso é a reciproca da
relação “152-52=(15+5).(15-5)”, ou seja, “(15+5).(15-5)= 152-52”.
47
Figura 15. Resolução de exercício pelos alunos: produto da soma pela diferença de dois termos
4.3 Segunda sessão informática (Registro geométrico para o registro
algébrico).
A segunda sessão informática se desenvolveu também em 20 de dezembro de
2016, com 4 alunos da 7ª série do ensino fundamental II, no laboratório da Unifap
Macapá no Amapá. Colocou em destaque a articulação dos registros geométricos e
algébricos.
Com o uso do software educativo, criado exclusivamente para esta pesquisa,
elaboramos atividades (questões fechadas) para os três casos de produtos notáveis
(quadrado da soma de dois termos, quadrado da diferença de dois termos, produto
da soma pela diferença) que procurassem, inicialmente, favorecer a formulação de
48
conjecturas, de questionamentos e de validação ou não dos resultados no software,
por parte do aluno.
O objetivo principal desta sessão foi proporcionar aos alunos a aquisição de
conhecimentos relativos a mudança de representação geométrica para algébrica. Os
conhecimentos matemáticos envolvidos nesta sessão: cálculo de áreas de
quadrados e retângulos, operações algébricas de adição, subtração, multiplicação e
potenciação, decomposição de figuras, expressões algébricas.
As questões foram respondidas no software educativo. O professor
pesquisador assumiu o papel de orientador do processo, gerenciando as atividades
dos alunos, fazendo intervenções individuais quando necessárias e, ao final de
sessão, institucionalizando os conceitos estudados, após uma discussão das
conjecturas feitas pelos alunos, validando-as ou não.
Atividade: Mudança do registro geométrico para o algébrico
1º Caso : Quadrado da soma de dois termos
Figura 16. Atividade: quadrado da soma de dois termos
49
Figura 17. Tela do software
Na figura 18 abaixo, aparece a 1ª questão a ser respondida pelo aluno na
atividade do quadrado da soma de dois termos.
Figura 18. Tela do software para a 1ª questão da atividade do quadrado da soma de dois termos
50
Na figura 19 abaixo, aparece a mensagem de erro na resposta, obrigando o aluno a
repensar na busca da resposta correta.
Figura 19 – Tela do software para a 7ª questão da atividade do quadrado da soma.
Na figura 20 abaixo, após o aluno responder as 10 questões da atividade
proposta aparece a mudança do registro geométrico para o algébrico do quadrado
da soma de dois termos.
Figura 20. Tela do software para a mudança da representação geométrica para a algébrica do
quadrado da soma de dois termos.
51
Na figura 21 abaixo, aparece o tratamento do registro algébrico do quadrado da
soma de dois termos, que prevalece no ensino tradicional. Aqui definimos os
produtos notáveis como uma multiplicação especial de polinômios.
Figura 21. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do quadrado da soma de dois
termos.
Na figura 22 abaixo, aparece o primeiro exemplo do quadrado da soma de dois
termos, com as representações algébricas e geométricas e o tratamento algébrico.
Figura 22. Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do quadrado da soma de dois termos.
52
2º Caso: Quadrado da Diferença de Dois Termos
Figura 23. Atividade: quadrado da diferença de dois termos
Na figura 24 abaixo, aparece a 9ª questão a ser respondida pelo aluno na
atividade do quadrado da diferença de dois termos.
Figura 24. Tela do software para a 9ª questão da atividade do quadrado da diferença de dois termos.
Na figura 25 abaixo, após o aluno responder as 10 questões da atividade
proposta, aparece a mudança do registro geométrico para o algébrico do quadrado
da diferença de dois termos.
53
Figura 25. Tela do software para a mudança da representação geométrica para a algébrica do
quadrado da diferença de dois termos.
Na figura 26 abaixo, aparece o tratamento do registro algébrico do quadrado da
diferença de dois termos, que prevalece no ensino tradicional.
Figura 26. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do quadrado da diferença de dois
termos.
Na figura 27 abaixo, aparece o primeiro exemplo do quadrado da diferença de
dois termos, com as representações algébricas e geométricas e o tratamento
algébrico.
54
Figura 27-Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do quadrado da diferença de dois
termos.
3º Caso: Produto da Soma Pela Diferença de Dois Termos
Figura 28. Atividade: produto da soma pela diferença de dois termos
Na figura 29 abaixo, aparece a 6ª questão a ser respondida pelo aluno na
atividade do produto da soma pela diferença de dois termos.
55
Figura 29. Tela do software para a 6ª questão da atividade do produto da soma pela diferença de
dois termos.
Na figura 30 abaixo, após o aluno responder as 6 questões da atividade
proposta, aparece a mudança do registro geométrico para o algébrico do produto da
soma pela diferença de dois termos.
Figura 30. Tela do software para a mudança da representação geométrica para a algébrica do
produto da soma pela diferença de dois termos
Na figura 31 abaixo, aparece o tratamento do registro algébrico do produto da
soma pela diferença de dois termos, que prevalece no ensino tradicional.
56
Figura 31. Tela do software para o tratamento do registro algébrico do produto da soma pela
diferença de dois termos
Na figura 32 abaixo, aparece o primeiro exemplo do produto da soma pela
diferença de dois termos, com as representações algébricas e geométricas e o
tratamento algébrico.
Figura 32-Tela do software com o 1º exemplo passo a passo do produto da soma pela diferença de
dois termos.
57
4.4 Terceira sessão informática (Excel registro numérico).
De acordo com o PCN (2006), as planilhas eletrônicas são programas de
computador que servem para manipular tabelas cujas células podem ser
relacionadas por expressões matemáticas. As planilhas eletrônicas, mesmo sendo
ferramentas que não foram pensadas para propósitos educativos, também podem
ser utilizadas como recursos tecnológicos úteis à aprendizagem matemática.
Planilhas oferecem um ambiente adequado para experimentar sequências
numéricas e explorar algumas de suas propriedades.
Assim, aplicamos as atividades no Excel, conforme figuras abaixo, com objetivo
de validar as identidades das expressões algébricas do quadrado da soma de dois
termos, quadrado da diferença de dois termos e produto da soma pela diferença de
dois termos.
1º CASO: QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Figura 33- 1º caso: quadrado da soma de dois termos
58
FIGURA 34- 1º caso: quadrado da soma de dois termos, atividade realizada.
Figura 35- 2º caso: quadrado da diferença de dois termos
59
Figura 36- 2º caso: quadrado da diferença de dois termos, atividade realizada.
Figura 37- 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos.
60
Figura 38. 3º caso: produto da soma pela diferença de dois termos, atividade realizada.
Verificamos que o ambiente de trabalho assistido por computador, através das
planilhas eletrônicas (Excel), proporcionou um contexto propicio para a
generalização a partir da aritmética, ampliando as estratégias informais dos alunos
em relação aos três casos de produtos notáveis. Dessa forma, acreditamos que as
atividades com a planilha eletrônica podem promover as bases para o
desenvolvimento de métodos algébricos.
4.5 Atividade Complementar
Nesta atividade, procuramos proporcionar um reforço na compreensão de
produtos notáveis.
Na figura 39 abaixo, a questão tinha como objetivo partir da representação da
linguagem natural para a representação algébrica.
61
Figura 39. Mudança da representação da linguagem natural para a linguagem algébrica.
Na figura 40 abaixo, a questão tinha como objetivo partir da representação
geométrica para a representação algébrica.
Figura 40. Mudança da representação geométrica para a linguagem algébrica .
62
Na figura 41 abaixo, a questão tinha como objetivo aplicar as regras dos três casos
de produtos notáveis, ou seja, um tratamento algébrico com expressões simples.
Figura 41. Tratamento algébrico com expressões simples.
Na figura 42 abaixo, a questão tinha como objetivo aplicar as regras dos três
casos de produtos notáveis, ou seja, um tratamento algébrico com expressões mais
complexas, onde seria necessário outros conhecimentos: propriedade potência da
potência, multiplicação e simplificação de fração, potência de fração, potência de um
produto.
Figura 42. Tratamento algébrico com expressões complexas.
63
4.6 PÓS-TESTE
O pós-teste foi aplicado 33 dias após o pré-teste, e tinha como principal
objetivo verificar, através de papel e lápis, os conhecimentos dos alunos na
compreensão de 3 casos de produtos notáveis, depois do uso do computador.
O pós-teste foi feito com as mesmas questões do pré-teste, mas com outras
representações. Os resultados globais e a comparação entre pré e pós-teste
encontram-se a seguir:
Tabela 2. Taxa de acertos e erros nas questões do pré-teste e pós-teste.
Tabela de Acertos e Erros do Pré-teste e do Pós-teste
Questões Acertos % Erros %
Pré Pós Pré Pós Pré Pós Pré Pós
1-a 0 4 0 100 4 0 100 0
1-b 0 4 0 100 4 0 100 0
1-c 0 4 0 100 4 0 100 0
1-d 0 4 0 100 4 0 100 0
1-e 0 4 0 100 4 0 100 0
2-a 3 3 75 75 1 1 25 25
2-b 3 3 75 75 1 1 25 25
2-c 3 3 75 75 1 1 25 25
3-a 0 3 0 75 4 1 100 25
3-b 1 2 25 50 3 2 75 50
3-c 1 3 25 75 3 1 75 25
4-a 1 3 25 75 3 1 75 25
4-b 0 3 0 75 4 1 100 25
4-c 1 3 25 75 3 1 75 25
4-d 0 0 0 0 4 4 100 100
64
Gráfico 2. Acertos e erros das questões do pré-teste e pós-teste
Percebemos que a sequência (sessões informáticas) possibilitou uma evolução na
compreensão no tratamento das representações algébricas dos 3 casos de produtos
notáveis.
Para cada questão apresentaremos e comentaremos alguns resultados do pós-
teste.
Na primeira questão, houve 100% de evolução, pois as atividades propostas de
mudança de representação geométrica para a algébrica possibilitaram a
compreensão do conceito de área de quadriláteros. Conforme a resolução do aluno
A:
Figura 43. Atividade Pós-teste (Questão 1)
65
Na segunda questão o percentual de acertos no pós-teste foi igual ao pré-teste,
só um aluno não conseguiu acertar, e em todas as outras resoluções houve
utilização dos produtos notáveis, conforme figura 44 abaixo. Acreditamos que a
atividade informática no Excel, serviu para validar/fortalecer a compreensão da
representação algébrica.
Figura 44. Atividade Pós-teste (Questão 2).
A terceira questão, apesar de observamos uma evolução entre pré-teste e
pós-teste, após aplicação da atividade complementar, temos a consciência que mais
atividades de mudança de representação da linguagem natural para representação
algébrica deverão ser feitas pelo professor. Assim, não teremos erros como o
apresentado na resolução do aluno C.
Figura 45. Atividade Pós-teste (Questão 3)
66
Na quarta questão, o avanço foi significativo, no entanto algumas observações
precisam ser feitas, analisando a resolução abaixo.
Figura 46. Atividade Pós-teste (Questão 4).
A resolução da questão 4-a, foi feita conforme desejávamos, utilizando o
produto notável quadrado da soma de dois termos de forma rápida e precisa. A 4-b,
começou errando a resolução, depois sem utilizar o produto notável, acertou a
questão. Na 4-c, também não utilizou produtos notáveis, acertou a questão
utilizando a multiplicação de polinômios. Já na 4-d, diversos erros, na multiplicação
de potencia de mesma base, na multiplicação de fração, no jogo de sinal da
multiplicação. Acreditamos que um trabalho complementar com as operações com
fração e propriedades da potenciação deverá ser feito para possibilitar uma ampla
compreensão de produtos notáveis.
.
67
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como o objetivo de nossa pesquisa foi à aplicação de diferentes
representações em relação a um objeto matemático - produtos notáveis, com o
auxílio da informática buscou-se analisar se ocorreram melhorias ou não no
processo ensino-aprendizagem.
Para realizarmos esse experimento nos referenciamos na teoria de Raymond
Duval para melhor compreensão do objeto matemático, pois trabalhamos com
registros de semióticas e nos permitiu trabalhar com variedades de representações
que são fundamentais para compreensão do conceito matemático, tais como: O
registro da língua natural, Registro geométrico ou figural, Registro numérico e
Registro Algébrico, bem como o auxílio da informática através de software educativo
e o excel. Por intermédio do experimento percebemos que ocorreu um melhor
envolvimento dos alunos, motivação e maior compreensão de produtos notáveis.
Portanto ao analisarmos o resultado dessa pesquisa, buscando resposta a
nossa problemática que é Elaboração de atividades que trabalhem, com o auxílio da
informática e as relações entre as representações geométrica, numérica, algébrica e
da linguagem natural de produtos notáveis, se era possível proporcionar ao aluno
uma melhor compreensão do quadrado da soma de dois termos, quadrado da
diferença de dois termos e do produto da soma pela diferença de dois termos?”,
então detectamos que ocorreu sim uma melhor compreensão do objeto matemático
Produtos Notáveis. Mas vale ressaltar que verificou-se através do pós- teste que se
faz necessário alguns entendimentos matemáticos que servem de pré-requisito para
facilitar a compreensão de produtos notáveis como operações com frações e
propriedades de potência.
68
REFERÊNCIAS
BEHRENS. Marilda Aparecida. Projeto de aprendizagem colaborativa num
paradigma emergente. In Moran, J.M. Masetto, M.T., Behrens M.A. Novas
tecnologias e mediação pedagógica. Campinas, SP: Papirus, 2000, (p. 133-173).
(Coleção Papitus Educação).
BORBA, Marcelo C. e PENTEADO, Mirian Godoy – Informática e Educação
Matemática – coleção tendências em Educação Matemática–Autêntica, Belo
Horizonte – 2001.
BORBA, M. C. O Uso de Calculadoras Gráficas no Ensino de Funções em Sala
de Aula. In: Semana de Estudos em Psicologia da Educação Matemática, 1995.
Anais.Recife: Universidade Federal de Pernambuco, 1995. P.67 – 72.
BORGES, Neto, Hermínio. Uma Classificação sobre a Utilização do Computador
pela Escola. Fortaleza. Revista Educação em Debate, ano 21, vol. 1, n°27, p. 135 –
138,1999.
BRASIL. PNLD (2017) Matemática – Ensino fundamental anos finais. Brasília:
MEC/SEB, 2016.
BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Brasília: MEC/SEF,
1998.
CORREA, Larissa et al. Representações semióticas de produtos notáveis: em
Euclides e nos dias atuais. XII Encontro Nacional de Educação Matemática,
São Paulo, 13 a 16 de julho de 2016.
Chavantes, Eduardo Rodrigues. Convergências: matemática, 8º Ano; anos finais;
ensino fundamental / Eduardo Rodrigues Chavante – 1 ed. São Paulo: Edições SM,
2015.
69
DAMM, R. F. Registros de Representação In: MACHADO, S. D. A.
(Org.), Educação matemática: uma (nova) introdução. São Paulo: EDUC, 2010,
p.167-188.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática, 5.º ano. São Paulo; Ática, 2008.
DUVAL, Raymond. Registros de representação semiótica e funcionamento
cognitivo da compreensão em matemática. In: MACHADO, S. D.A. (Org.).
Aprendizagem em matemática: registros de representação semiótica.
Campinas: Papirus, 2003, p.11-33.
FONSECA, M. A. Como elaborar projetos de pesquisa. São Paulo: Atlas, 2002.
FREITAS, Neli Klix; RODRIGUES, Melissa Haag. O livro didático ao longo do
tempo: a forma do conteúdo. Santa Catarina: CEART-UDESC, 2014.
GPIMEM – Grupo de pesquisa em informática outras mídias e educação
matemática – Instituto de pesquisa científica em Rio Claro, São Paulo.
GIL, A. C. Métodos e técnicas de pesquisa social. São Paulo: Atlas, 2007.
I Seminário Nacional na Educação – 1981 / UNB.
MORETTI, Méricles T.; THIEL, Afrânio A. O ensino de matemática hermético: um
olhar crítico a partir dos registros de representação semiótica. Práxis Educativa,
Ponta Grossa, v. 7, n. 2, p. 379-396, jul./dez. 2012.
PEIRCE, Charles S. Semiótica. Tradução de José Teixeira Coelho Neto. São Paulo:
Perspectiva, 2005.
70
RODRIGUES, Salete. Uma análise da aprendizagem de produtos notáveis com
o auxílio do programa Aplusix. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de
Matemática). São Paulo: Universidade Católica de São Paulo, 2008.
SILVA, Marcelo Cordeiro da Reta graduada: um registro de representação dos
números racionais. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática).
São Paulo: Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, 2008.
VALENTE, José Armando. Computadores e Conhecimento Repensando a
Educação. Campinas: Gráfica Central da UNICAMP, 1993.
VALENTE, José Armando. Diferentes usos do Computador na Educação. In:
Computadores e Conhecimento: repensando a educação. 1995. Disponível em:
˂http://www.nied.unicamp.br/publicações/separatas/Sep1.pdf˃. Acesso em 23 de
jan. 2017.
71
APÊNDICES
Pré-teste 15 de Dezembro 2016 (UNIFAP)
Pré-teste 15 de Dezembro 2016 (UNIFAP)
Primeira sessão informática 15 de Dezembro de 2016 (UNIFAP).
72
Segunda sessão informática dia 20 de dezembro (UNIFAP).
Segunda sessão informática dia 20 de Dezembro 2016 (UNIFAP).
Atividade complementar dia 23 de Dezembro 2016 (UNIFAP)
73
Pós-teste, dia 17 de Janeiro 2017 (UNIFAP).
Pós-teste, dia 17 de Janeiro 2017 (UNIFAP).
Pós-teste, dia 17 de Janeiro 2017 (UNIFAP)