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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Simulacion y graduacion de tablas demortalidad por medio de copulas
Dr. Arturo Erdely 1
1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN – U.N.A.M.
XXV Congreso Nacional deActuarios 2011
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
“Leyes” de mortalidadLeyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Funciones CopulaConcepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Ejemplo practicoGraduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Que es una ley cientıfica?
Henri Poincare (1858-1912):
Es un vınculo constante entre unantecedente y un consecuente, entreel estado actual del mundo y suestado inmediatamente posterior.
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Que es una ley cientıfica?
Henri Poincare (1858-1912):
Es un vınculo constante entre unantecedente y un consecuente, entreel estado actual del mundo y suestado inmediatamente posterior.
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Determinismo versus Probabilidad
Dado el antecedente, bajo una. . .
Ley determinista: el consecuente queda
determinado de forma unica.
Ley probabilıstica: el consecuente NO
queda determinado de forma unica (varios
resultados posibles) pero la incertidumbre es
medible de forma unica.
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Determinismo versus Probabilidad
Dado el antecedente, bajo una. . .
Ley determinista: el consecuente queda
determinado de forma unica.
Ley probabilıstica: el consecuente NO
queda determinado de forma unica (varios
resultados posibles) pero la incertidumbre es
medible de forma unica.
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Determinismo versus Probabilidad
Dado el antecedente, bajo una. . .
Ley determinista: el consecuente queda
determinado de forma unica.
Ley probabilıstica: el consecuente NO
queda determinado de forma unica (varios
resultados posibles) pero la incertidumbre es
medible de forma unica.
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos
d =1
2g t 2
d = distancia
t = tiempo
g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos
d =1
2g t 2
d = distancia
t = tiempo
g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley de caıda libre de los cuerpos
d =1
2g t 2
d = distancia
t = tiempo
g = gravedad ≈ 9.8m/seg 2
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley fuerte de grandes numeros
Sean X1,X2, . . . variables aleatorias
independientes e identicamente distribuıdas,
y sea X n := 1n
∑nj = 1 Xj . Entonces
P(
limn→∞
X n = µ)
= 1
para alguna constante µ si y solo si E|X1|es finita. En tal caso µ = E|X1| .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Ejemplo: Ley fuerte de grandes numeros
Sean X1,X2, . . . variables aleatorias
independientes e identicamente distribuıdas,
y sea X n := 1n
∑nj = 1 Xj . Entonces
P(
limn→∞
X n = µ)
= 1
para alguna constante µ si y solo si E|X1|es finita. En tal caso µ = E|X1| .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“. . . utilizando argumentos biologicos,
algunos autores han sugerido que la
supervivencia humana puede ser explicada
por una ley simple como las de la fısica.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“. . . utilizando argumentos biologicos,
algunos autores han sugerido que la
supervivencia humana puede ser explicada
por una ley simple como las de la fısica.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“. . . utilizando argumentos biologicos,
algunos autores han sugerido que la
supervivencia humana puede ser explicada
por una ley simple como las de la fısica.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“El interes en buscar funciones analıticas
simples de supervivencia ha declinado en
anos recientes. Muchos piensan que la
creencia en leyes universales de mortalidad es
ingenua...”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Bowers et al. (1997) Actuarial Mathematics:
“El interes en buscar funciones analıticas
simples de supervivencia ha declinado en
anos recientes. Muchos piensan que la
creencia en leyes universales de mortalidad es
ingenua...”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Gerber (1997) Life Insurance Mathematics:
“En el pasado se han hecho esfuerzos para
deducir expresiones analıticas universales para
la funcion de supervivencia a partir de ciertos
postulados basicos, en analogıa con las leyes
de la fısica. Estos esfuerzos, desde un punto
de vista del siglo XX, resultan ahora ingenuos
y rodeados de cierto misticismo.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad?
Gerber (1997) Life Insurance Mathematics:
“En el pasado se han hecho esfuerzos para
deducir expresiones analıticas universales para
la funcion de supervivencia a partir de ciertos
postulados basicos, en analogıa con las leyes
de la fısica. Estos esfuerzos, desde un punto
de vista del siglo XX, resultan ahora ingenuos
y rodeados de cierto misticismo.”
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad? Deterministas, NO.
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
EDAD x
TAS
A
OB
SE
RV
AD
A
DE
M
OR
TALI
DA
D
q(x
)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
¿Existen leyes de mortalidad? Deterministas, NO.
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MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
EDAD x
TAS
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M
OR
TALI
DA
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q(x
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuestas, no leyes
Gerber (1997): Life Insurance Mathematics
A continuacion, algunos ejemplos de
distribuciones analıticas de supervivencia,
seguida cada una del apellido de su
“ inventor”: De Moivre, Gomperz,
Makeham, Weibull,. . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuestas, no leyes
Gerber (1997): Life Insurance Mathematics
A continuacion, algunos ejemplos de
distribuciones analıticas de supervivencia,
seguida cada una del apellido de su
“ inventor”: De Moivre, Gomperz,
Makeham, Weibull,. . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuesta o invento de Makeham (1860)
qx = 1− exp
{− A − B(c − 1)
log cc x
}
c > 1 B > 0 A ≥ −B
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Propuesta o invento de Makeham (1860)
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20 40 60 80 100
0.00
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0.15
SUAVIZAMIENTO DE MAKEHAM
EDAD x
TAS
A
OB
SE
RV
AD
A
DE
M
OR
TALI
DA
D
q(x
)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Enfoque probabilıstico
Teugels (2004) Encycl. Act. Science:
“Sorprendentemente, los modelos lineales
generalizados (GLMs), que bien podrıan
utilizarse para graduacion de tablas de
mortalidad, no han atraıdo mucho la
atencion del gremio actuarial.”
Existen propuestas: Mendoza (2000), Debon
(2005), Neves (2007), . . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Enfoque probabilıstico
Teugels (2004) Encycl. Act. Science:
“Sorprendentemente, los modelos lineales
generalizados (GLMs), que bien podrıan
utilizarse para graduacion de tablas de
mortalidad, no han atraıdo mucho la
atencion del gremio actuarial.”
Existen propuestas: Mendoza (2000), Debon
(2005), Neves (2007), . . .
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Regresion logıstica
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
qx =exp(α + βx)
1 + exp(α + βx)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Regresion logıstica
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
qx =exp(α + βx)
1 + exp(α + βx)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Regresion logıstica
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
qx =exp(α + βx)
1 + exp(α + βx)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
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●
20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
EDAD x
TAS
A
OB
SE
RV
AD
A
DE
M
OR
TALI
DA
D
q(x
)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
MENDOZA , MADRIGAL y GUTIÉRREZ−PEÑA (2000)
EDAD x
TAS
A
OB
SE
RV
AD
A
DE
M
OR
TALI
DA
D
q(x
)
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
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20 40 60 80 100
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA
EDAD x
LOG
[ q(
x) /
(1
− q
(x))
]
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion estadıstica de supuestos
●
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20 40 60 80 100
−8
−7
−6
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−4
−3
−2
TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA
EDAD x
LOG
[ q(
x) /
(1
− q
(x))
]
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
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20 40 60 80 100
−8
−7
−6
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−3
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TRANSFORMACIÓN LOGÍSTICA
EDAD x
LOG
[ q(
x) /
(1
− q
(x))
]
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
H0 : σ21 < σ2
2 p − value = 0.9971
H0 : σ21 = σ2
2 p − value = 0.0059
H0 : σ21 > σ2
2 p − value = 0.0029
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
H0 : σ21 < σ2
2 p − value = 0.9971
H0 : σ21 = σ2
2 p − value = 0.0059
H0 : σ21 > σ2
2 p − value = 0.0029
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante?
H0 : σ21 < σ2
2 p − value = 0.9971
H0 : σ21 = σ2
2 p − value = 0.0059
H0 : σ21 > σ2
2 p − value = 0.0029
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante? NO.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
PERO HAY EVIDENCIA ESTADISTICA DE
VARIANZA NO CONSTANTE
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿Varianza constante? NO.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
PERO HAY EVIDENCIA ESTADISTICA DE
VARIANZA NO CONSTANTE
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
ANÁLISIS DE RESIDUALES
Den
sity
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
ANÁLISIS DE RESIDUALES
Den
sity
−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk
H0 : ε ∼ Normal
p − value = 0.0000006
SE RECHAZA H0
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: ¿ε ∼ Normal?
Prueba de Normalidad de Shapiro-Wilk
H0 : ε ∼ Normal
p − value = 0.0000006
SE RECHAZA H0
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: SE RECHAZAN.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
LOS SUPUESTOS BASICOS PARAMODELAR LA VARIABILIDAD SONESTADISTICAMENTE INVALIDOS
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Leyes cientıficasPropuestas deterministasPropuestas probabilısticas
Validacion de supuestos: SE RECHAZAN.
log
(qx
1− qx
)= α + βx + εx
ε12, . . . , ε99 i .i .d . ∼ Normal(0, σ2)
LOS SUPUESTOS BASICOS PARAMODELAR LA VARIABILIDAD SONESTADISTICAMENTE INVALIDOS
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 49: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/49.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Vınculo distribucion conjunta y marginales: Copula
(X ,Y ) ∼ H , X ∼ F , Y ∼ G
H(x , y) = P(X ≤ x ,Y ≤ y)
= C(
F (x) , G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)
Fn(x) =n∑
k = 1
I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑
k = 1
I{yk ≤ y}
Cn
(i
n,
j
n
)=
n∑k = 1
I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)
Fn(x) =n∑
k = 1
I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑
k = 1
I{yk ≤ y}
Cn
(i
n,
j
n
)=
n∑k = 1
I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
(X ,Y ) → (x1, y1) , . . . , (xn, yn)
Fn(x) =n∑
k = 1
I{xk ≤ x} , Gn(y) =n∑
k = 1
I{yk ≤ y}
Cn
(i
n,
j
n
)=
n∑k = 1
I{xk ≤ x(i) , yk ≤ y(j)}
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Pseudo-observaciones empıricas de la copula
Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)
CX ,Y = CF (X ),G (Y )
(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Pseudo-observaciones empıricas de la copula
Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)
CX ,Y = CF (X ),G (Y )
(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Pseudo-observaciones empıricas de la copula
Si X ∼ F ⇒ F (X ) ∼ U(0, 1)
CX ,Y = CF (X ),G (Y )
(Fn(x1),Gn(y1)) , . . . , (Fn(xn),Gn(yn))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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TASAS OBSERVADAS DE MORTALIDAD
EDAD
q(x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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DISTRIBUCIÓN DE EXPUESTOS POR EDAD
edad
expu
esto
s
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES DE LA CÓPULA
u
v C1
C2
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C1 (edades 12 - 35)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Galambos con parametro 2.261762
y p-value = 0.1166383
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
Copula C2 (edades 36 - 99)
Despues de probar varias familias
parametricas de copulas, mediante la prueba
de bondad de ajuste de Genest (2009). . .
la ganadora es. . .
Copula Clayton con parametro 22.26483 y
p-value = 0.98967513
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Concepto y aplicacionCopula empırica y pseudo-observacionesInferencia estadıstica y simulacion
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PSEUDO−OBSERVACIONES
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
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SIMULACIÓN
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Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 74: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/74.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 75: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/75.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
(X ,Y ) ∼ H(x , y) = C(
F (x) , G (y))
X = edad Y = qx
X ∼ U(11.5, 99.5) Y ∼ no param
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 76: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/76.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
DENSIDAD DE q
q
Den
sity
0.00 0.05 0.10 0.15
05
1015
2025
30
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 79: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/79.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
fXY (x , y) = f (x)g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 80: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/80.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
0.0000 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.0010 0.0012
050
010
0015
00
DENSIDAD DE q(18)
q
f(q)
0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.022 0.024
050
100
150
200
DENSIDAD DE q(65)
q
f(q)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
qx = Mediana(Y |X = x)
VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
qx = Mediana(Y |X = x)
VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
MAKEHAM
EDAD
q(x)
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
CÓPULAS
EDAD
q(x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Graduacion por medio de copulas
qx = Mediana(Y |X = x)
VaRα(qx) = cuantilα(Y |X = x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
MAKEHAM
EDAD
q(x)
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
CÓPULAS
EDAD
q(x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Simulacion por medio de copulas
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Simulacion por medio de copulas
fY |X (y | x) =fXY (x , y)
f (x)
= g(y)∂2
∂u∂vC(F (x),G (y))
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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20 40 60 80 100
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DATOS ORIGINALES
EDAD
q(x)
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
SIMULACIÓN
EDAD
q(x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
DATOS ORIGINALES
EDAD
q(x)
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20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
SIMULACIÓN
EDAD
q(x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 91: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/91.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 92: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/92.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 93: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/93.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 94: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/94.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
2 carteras VIDA temporal a 3 anos
6,600,000 polizas
Edades: 18 – 90 anos
Suma asegurada: $ 1 millon
Tasa de interes tecnica: 5 % anual
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 95: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/95.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
CARTERA 1
050
000
1000
0015
0000
2000
0025
0000
18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90
CARTERA 2
050
000
1000
0015
0000
2000
0025
0000
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 98: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/98.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 99: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/99.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
Valuacion estocastica
VPTx = νdx + ν2dx+1 + ν3dx+2
lx = num. polizas edad x
dx ∼ Binomial(lx , qsim 1x )
dx+1 | dx ∼ Binomial(lx − dx , qsim 2x+1 )
dx+2 | dx+1, dx ∼ Binomial(lx−dx−dx+1, qsim 3x+2 )
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
VPT
Fre
quen
cy
64000 65000 66000 67000 68000 69000
010
0020
0030
0040
0050
00
CARTERA 2
VPT
Fre
quen
cy230000 240000 250000 260000 270000 280000
010
0020
0030
0040
0050
00
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 103: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/103.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
VPT
Fre
quen
cy
64000 65000 66000 67000 68000 69000
010
0020
0030
0040
0050
00
CARTERA 2
VPT
Fre
quen
cy230000 240000 250000 260000 270000 280000
010
0020
0030
0040
0050
00
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
E[
g(X ,Y )]6= g
(E[X ] , E[Y ]
)VaRα
[g(X ,Y )
]6= g
(VaRα[X ] , VaRα[Y ]
)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 105: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/105.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
E[
g(X ,Y )]6= g
(E[X ] , E[Y ]
)
VaRα[
g(X ,Y )]6= g
(VaRα[X ] , VaRα[Y ]
)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
![Page 106: 1 XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011...1 FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ACATLAN { U.N.A.M. XXV Congreso Nacional de Actuarios 2011 Dr. Arturo Erdely Simulaci on y graduaci on](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042416/5f31bda8a425ad2d60119158/html5/thumbnails/106.jpg)
“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
E[
g(X ,Y )]6= g
(E[X ] , E[Y ]
)VaRα
[g(X ,Y )
]6= g
(VaRα[X ] , VaRα[Y ]
)Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
Utilizar un nivel de confianza 99.5% en la
tabla de mortalidad NO se traduce en un
VaR99.5% de la siniestralidad.Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 1
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 66, 541 68, 194 1, 653
A1x |n 70, 854 99, 369 28, 815
En este caso se requiere un nivel de
confianza 59.6% en la tabla de mortalidad
para obtener el RC = 1, 653Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
CARTERA 2
BEL VaR99.5% RC
Simulacion 251, 480 270, 393 18, 913
A1x |n 257, 125 499, 998 242, 873
En este caso se requiere un nivel de
confianza 67.2% en la tabla de mortalidad
para obtener el RC = 18, 913Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
20 40 60 80 100
0.00
0.05
0.10
0.15
EDAD
q(x)
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad
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“Leyes” de mortalidadFunciones CopulaEjemplo practico
Graduacion de tablas crudas de mortalidadSimulacion de tablas de mortalidadRequerimiento de capital
GRACIAS
Dr. Arturo Erdely Simulacion y graduacion de tablas de mortalidad