@001

1. Základní poznatky

Umět řešit rovnice a nerovnice je jedna ze stěžejních úloh středoškolské matematiky. Řešit

bez problémů základní rovnice by měl umět každý středoškolák, který získal maturitu

(jakoukoli, ne nutně z matematiky).

Teoretický základ řešení rovnic a nerovnic je obsažen v kurzech:

Výroková logika,

Množiny obecně,

Číselné množiny.

Z těchto kurzů shrneme poznatky, které budeme potřebovat:

┌──── výčtem prvků

│

** množina je určena ───┤

│

└─── charakteristickou vlastností

tj. výrokovou formou

Množiny značíme velkými písmeny a podrobnosti zapisujeme do složených závorek (Ω –

univerzální množina):

** { x Ω ; V(x) } - pravdivostní množina výrokové formy V(x)

** podmnožina množiny je definována takto: A B <=> x Ω : x A => x B

což můžeme zapsat i takto:

{x Ω; V(x) } {x Ω; W(x) } <=> x Ω : V(x) => W(x)

Ještě připomeňme definici rovnosti množin:

** rovnost množin A = B <=> A B B A

Následující věta shrnuje všechna základní pravidla, pomocí kterých rovnice a nerovnice

upravujeme do tvarů lépe řešitelných. Všimněte si, že jde vesměs o implikace a ne o

ekvivalence.

Věta: Nechť a(x), b(x), c(x) jsou názvové formy v R (reálná čísla). Pro každé reálné číslo

x platí následující implikace:

výchozí => následná c(x) je libovolný platný výraz pro

každé x R

rovnosti (rovnice)

a(x) = b(x) => a(x) + c(x) = b(x) + c(x) přičíst k oběma stranám

a(x) - c(x) = b(x) - c(x) odečíst od obou stran

a(x) = b(x) c(x) ≠ 0 => a(x)c(x) = b(x)c(x) vynásobit, je-li c(x) ≠ 0, obě strany

a(x)/c(x) = b(x)/c(x) vydělit, je-li c(x) ≠ 0, obě strany

a(x) = b(x) => a2(x) = b

2(x) umocnit obě strany

a(x) = b(x) a(x) > 0 => √a(x) = √b(x) odmocnit obě strany, při a(x) > 0

nerovnosti (nerovnice)

a(x) < b(x) => a(x) ± c(x) < b(x) ± c(x) přičíst/odečíst na obě strany

a(x) < b(x) c(x)>0 => a(x)c(x) < b(x)c(x) vynásobit obě strany bez změny relace

c(x)<0 => a(x)c(x) > b(x)c(x) vynásobit obě strany a obrátit relaci

0 ≤ a(x) < b(x) => a

2(x) < b

2(x) umocnit/odmocnit obě strany jen, je-li

menší výraz nezáporný √a(x) < √b(x)

Definice: Nechť L(x) a P(x) jsou dvě názvové formy v R. Výroková forma

L(x)=P(x)

se nazývá rovnice.

Výrokové formy

L(x)<P(x) L(x)≤P(x) L(x)≥ P(x) L(x)>P(x)

se nazývají nerovnice.

Názvová forma L(x) se nazývá levá strana rovnice (nerovnice), názvová forma P(x) se

nazývá pravá strana rovnice (nerovnice).

Definice: Řešit rovnici L(x)=P(x) v R znamená určit množinu řešení

S = {x R ; L(x)=P(x) }

výčtem nebo intervalem.

Řešit rovnici L(x)=P(x) v M znamená určit množinu řešení

SM = {x M ; L(x)=P(x) } = S ∩ M

výčtem nebo intervalem.

Poznámka: Definice řešení nerovnosti je táž, jen místo = napíšeme některé z relačních

znamének < > ≤ ≥ .

Poznámka: Nejčastěji množinou M bývá množina přirozených čísel (řešte rovnici pro

přirozená čísla) nebo množina celých čísel. Někdy jde o množinu kladných reálných čísel.

Může jít však teoreticky o jakoukoli číselnou množinu.

Poznámka: Máme-li řešit rovnici (nerovnici) v nějaké podmnožině M reálných čísel,

provedeme to tak, že rovnici vyřešíme v množině reálných čísel, a pak vytvoříme průnik

výsledné množiny S a množiny M.

pokračování

@003

zpět

Příklad: Řešte v R rovnici

xx 132

Řešení: rozbor úlohy

x R : jestliže xx 132

celou rovnici umocníme na druhou

x2 - 3 = (1 + x)2 na levou stranu použijeme známý vzorec

x2-3=1+2x+x2 od celé rovnice odečteme x2

-3 = 1 + 2x od celé rovnice odečteme 1

-4 = 2x celou rovnici vydělíme 2

pak -2 = x x = -2

je to jen kandidát na řešení rovnice, protože

postupné úpravy jsou logicky pouze implikace

}2{}2;{}13;{2

xRxxxRxS

Patří -2 do množiny S nebo nepatří ?

2) zkouška:

SPLP

L2)2()2(

1)2(1)2(

1343)2()2(2

To znamená, že množina řešení je prázdná, neboť jsme měli jediného kandidáta a ten zklamal,

jak ukázala zkouška.

S = Ø

VÝSTRAHA:

Bohužel, stává se, že studenti, kteří nepochopili logickou podstatu řešení rovnic provádějí

zkoušku tak, že dosadí do původní rovnice a upravují obě strany vlastně postupem, který

nazýváme rozbor.

Toto je špatný postup! ->

11

)1(34

213)2(

)2()2(

2

2

PL

<- Toto je špatný postup!

A protože na konci jim vyjde pravdivý výrok, pokládají to za ověření správnosti, že zkouška

vyšla, tedy –2 je řešením (v našem případě).

Prosím, takto zkoušku nikdy neprovádějte. Je to logicky špatně a může vás to dovést

k chybám.

Následující příklad je logicky jednodušší. Vyřešte jej a vysvětlete proč je logicky

jednodušší.

Úkol: Řešte v R rovnici x = x + 1.

výsledek

@005

Bohužel. Někde jste udělali chybu.

znovu prostudujte

@007

Bohužel. Někde jste udělali chybu.

znovu prostudujte

@009

zpět

NEROVNICE

Řešení nerovnic probíhá stejně. Zkouška se musí převážně provádět obrácením analýzy.

Kromě ostražitého sledování nul při dělení a nezáporných čísel při odmocňování jako u rovnic

musíme být ostražití i na nezápornost při umocňování a dávat si pozor na změnu znaménka

nerovnosti při násobení záporným číslem.

Příklad: Řešte nerovnici v R

xx

6

1

3

1

2

Řešení: rozbor úlohy

x R : jestliže x

x

6

1

3

1

2

celou nerovnici vynásobíme 6, je to číslo kladné a

proto se relační znaménko nezmění

3x - 2 < 1 + 6x naší snahou je konstanty dostat na jednu stranu a

členy obsahující x na druhou od rovnítka

od celé nerovnice odečteme 3x

-2 < 1 + 6x - 3x

-2 < 1 + 3x

od celé nerovnice odečteme 1

-2 – 1 < 3x

-3 < 3x

celou nerovnici vydělíme 3, je to kladné číslo a

proto se relační znaménko nezmění

pak -1 < x x > -1

kandidátem řešení nerovnice je interval (-1; +∞)

(***) ),1(}1;{6

1

3

1

2; xRxx

xRxS

zkouška: je možná jen obrácením rozboru, protože kandidátů na řešení je nekonečně mnoho

x R : jestliže - 1 < x

- 3 < 3x

3x - 2 < 1 + 6x

pak xx

6

1

3

1

2

tedy xx

RxS6

1

3

1

2;),1(

což spolu s (***) znamená rovnost S = (-1; +∞)

pokračování

@011

zpět

Řešte v R nerovnici 12

2

x

Řešení: číslo 2 se nesmí dostat do jmenovatele – rozdělí nám číselnou osu na dva intervaly

x -∞ 2 2 +∞

x - 2 — +

rozbor

x R : jestliže pak

12

2

x

2 > x – 2

4 > x

pak (-∞; 4) jestliže

x R : jestliže pak

12

2

x

2 < x – 2

4 < x

pak (4; +∞) jestliže

kandidáti

řešení (-∞; 2)∩ (-∞; 4) = (-∞; 2) (2; +∞)∩ (4; +∞) = (4; +∞)

zkouška se provede obrácením postupu (modrá cesta) – naznačeno šipkou

řešení sjednocení dílčích řešení (-∞,2) (4,+∞) je řešení celkové

Příklad: Řešte v N nerovnici

12

2

x

Řešení: Vyřešit zadanou nerovnici v množině přirozených čísel N znamená vyřešit ji

v množině reálných čísel R a výsledek podrobit průniku s množinou N.

V množině reálných čísel R jsme tuto nerovnici právě vyřešili. Řešením jsou všechna reální

čísla z intervalu x (-∞; 2) (4; +∞)

Řešení v N je tedy

x ( (-∞; 2) (4; +∞) ) ∩ N = {1; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; ...}

Úkol: Řešte v N nerovnici

12

2

x

výsledek

@013

Bohužel. Není to zcela tak, jak jste zjistil. Asi jste dělil výrazem (x-1). Zvažte, kdy je to

možné.

znovu prostudujte

@002

zpět

ROVNICE

Příklad: Řešte v R rovnici

xx

6

1

3

1

2

Řešení: pomocí úprav (přičíst k rovnici, vynásobit rovnici, atd. viz výše) se pokusíme získat

takovou rovnici, jejíž řešení dokážeme snadno určit.

1) Budeme provádět rozbor úlohy.

x R : jestliže x

x

6

1

3

1

2

celou rovnici vynásobíme 6

3x - 2 = 1 + 6x naší snahou je konstanty dostat na jednu stranu a

členy obsahující x na druhou od rovnítka

od celé rovnice odečteme 3x

-2 = 1 + 6x - 3x

-2 = 1 + 3x

od celé rovnice odečteme 1

-2 – 1 = 3x

-3 = 3x

celou rovnici vydělíme 3

pak -1 = x x = -1

je to jen kandidát na řešení rovnice, protože

postupné úpravy jsou logicky pouze implikace

Protože postupné úpravy jsou logicky implikace, je množina řešení původní rovnice

podmnožinou množiny řešení výsledné rovnice.

}1{}1;{6

1

3

1

2; xRxx

xRxS

Množina řešení S je podmnožinou jednoprvkové množiny obsahující prvek –1. Jsou tedy jen

dvě možnosti a to: -1 patří do S (-1 S) nebo –1 nepatří do S (-1 S).

To zjistíme tak, že dosadíme do původní rovnice. Vzpomeňte si, jak se dokazují identity:

nutno dosadit do levé strany původní rovnice L(x) a do pravé strany původní rovnice P(x) za

x nalezené číslo -1. Tato fáze řešení se nazývá zkouška.

2) zkouška

SPL

P

L

1)1()1(

6

5)1(

6

1)1(

6

5

3

1

2

1)1(

Zkouška rozhodla a číslo -1 je skutečně řešením zadané rovnice.

Následující příklad ukáže, že tomu nemusí vždycky tak být.

pokračování

@004

zpět

Úkol: Řešte v R rovnici x = x + 1.

Řešení: rozbor úlohy

x R : jestliže x = x + 1 od celé rovnice odečteme 1

pak 0 = 1

toto je výrok nepravdivý

rovnost neplatí

pro řešení nemáme žádného kandidáta a tady

množina řešení je prázdná S = Ø

}10;{}1;{ RxxxRxS

Protože podmnožinou prázdné množiny může být pouze prázdná množina je S = Ø. A je to

konečné, aniž bychom museli dělat zkoušku. V tom je to logicky jednodušší.

Říkáme, že rovnice nemá žádné řešení.

Příklad: Řešte v R rovnici

11

122

xx

xx

Řešení: rozbor úlohy

x R : jestliže 1

1

122

xx

xx

uvědomme si, že levá strana není pro x=-1

definována, nemá smysl;

na levou stranu použijeme známý vzorec

11

)1(2

xx

x

levou stranu vykrátíme

pak x + 1 = x + 1

na obou stranách rovnice máme stejný výraz, což

znamená, že ať za x dosadíme jakékoli reálné

číslo, vždycky se bude levá strana L(x) rovnat

pravé straně P(x).

kandidáti na řešení rovnice jsou všechna reálná

čísla, až na –1, kdy nemá původní rovnice smysl

(*) }1{\11

12;

2

Rxx

xxRxS

zkouška:

Kandidátů na řešení rovnice je nekonečně mnoho a tak provést zkoušku dosazením do levé a

pravé strany technicky nedokážeme. Jediná cesta je pokusit se projít úpravami opačným

směrem, tj. dokázat obrácenou implikaci.

x R : jestliže

x + 1 = x + 1

levou stranu vynásobíme vhodně napsanou 1 a

to

11

1

x

x

1)1(

1

1xx

x

x

POZOR, takto lze napsat 1 pouze pro x -1

proto musíme –1 vyloučit z dalšího postupu

11

)1(2

xx

x

čitatele levé strany rozepíšeme podle vzorce

pak 11

122

xx

xx

čímž jsme dosáhli původní rovnice

ovšem cestou jsme museli vyloučit -1

(**) }11

12;}1{\

2

xx

xxRxSR

Spojíme-li (*) a (**) dostáváme R\{-1} S R\{-1} a nezbývá než, že platí rovnost

množin

S = R\{-1} = (-∞; -1) (-1; +∞)

V takovémto případě říkáme, že rovnice má nekonečně mnoho řešení.

Poznámka: Právě předvedený příklad ukazuje, že v případě nekonečně mnoha řešení je

zkouška možná jen obrácením postupu rozboru. Musíme přitom pečlivě posoudit, jestli lze

opravdu jednotlivé kroky udělat, nebo je nutné některá čísla vyloučit ze hry. Jde o případy

dělení nulou, nebo odmocňování záporných čísel.

U nerovnic ještě musíme dát pozor na změnu nerovnosti při násobení nerovnosti záporným

číslem.

Poznámka: Všem příkladům jsme se dosud věnovali velmi podrobně včetně komentářů

jednotlivých kroků i formální stránce. A to proto, aby si všichni čtenáři řádně uvědomili, co

všechno je ve hře. Při běžném řešení (ne)rovnic to nikdo nedělá a nadále to nebudeme dělat

ani my. Neznamená to však, že by to v pozadí nezůstalo. Na to nezapomínejte.

Úkol: Řešte rovnici v R

22

92

12

32

x

x

x

x

rovnice má nekonečně mnoho řešení

rovnice má jediné řešení

rovnice nemá žádné řešení

zpět

@006

zpět

Správně. Porovnejte si postup.

Rozbor:

22

92

12

32

x

x

x

x

(2x + 3)(x + 22) = (2x + 9)(x + 12)

2x2 + 3x + 44x + 66 = 2x

2 + 9x + 24x + 108

14x = 42

x = 3

Zkouška:

5

3

25

15

223

932)3(

5

3

15

9

123

332)3(

2

2

P

L

=> L(3) = P(3) => S = {3}

Řešením rovnice v R je jediné číslo, a to 3.

Poznámka: Dosud jsme značili proměnnou rovnice písmenem x. To ale není nutné pravidlo.

Úkol: Řešte rovnici v R

2

3

3

2

23

5 tttt

rovnice má nekonečně mnoho řešení

rovnice má jediné řešení

rovnice nemá žádné řešení

zpět

@008

zpět

Správně. Porovnejte si postup.

Rozbor:

2

3

3

2

23

5 tttt

2(t + 5) - 3t = 2(t - 2) - 3(t - 3)

2t + 10 - 3t = 2t - 4 - 3t + 9

10 = 5

Což je nepravdivý výrok, tedy rovnice nemá řešení S = Ø .

pokračování

@010

zpět

Příklad: Řešte nerovnici v oboru C- (záporných celých čísel)

xx

6

1

3

1

2

Řešení: Nejprve nerovnici vyřešíme v R. Podle předchozího příkladu je řešením v R interval

<-1; +∞)

Řešením v C- je pak průnik řešení v R a množiny C

-, tedy

<-1; +∞) ∩ C- = {-1}

Příklad: Řešte v R nerovnici

12

2

x

Řešení: rozbor

U nerovnice nelze jednoduše vynásobit obě strany výrazem (x - 2), protože se nám to

rozpadá na dva případy. Buď je (x – 2) kladné, pak se znaménko nerovnosti nezmění, nebo je

(x – 2) záporné, a pak se znaménko nerovnosti změní. Číslo 2 samo je vyloučeno, neboť po

dosazení do levé strany nerovnice by se ve jmenovateli ocitla 0, což je zcela nepřípustné.

Rozdělme si číselnou osu na dvě části: vlevo a vpravo od čísla 2. Ve druhém řádku si

označme, v které části je výraz (x – 2) záporný a kde je kladný. V dalším řádku pak

provedeme rozbor zadané nerovnice. Dvojitá čára v tabulce symbolizuje, že je 2 nepřípustná.

x -∞ 2 2 +∞

x - 2 — +

rozbor

x R : jestliže

12

2

x

2 x – 2

4 x

pak <4; +∞)

x R : jestliže pak

12

2

x

2 x – 2

4 x

pak (-∞; 4> jestliže

kandidáti

řešení (-∞; 2)∩<4; +∞) = Ø (2; +∞)∩(-∞; 4> = (2; 4>

zkouška se provede obrácením postupu (modrá cesta) – naznačeno šipkou

v levé části se neprovádí, protože chybí kandidáti; dílčí řešení je prázdné

řešení sjednocení dílčích řešení Ø (2; 4> = (2; 4> je řešení celkové

Úkol: Řešte v R nerovnici

12

2

x

výsledek

@012

zpět

Řešte v N nerovnici 12

2

x

Řešení: Tuto nerovnici jsme vyřešili v R již dříve. V množině reálných čísel má nerovnice za

řešení interval x (2; 4>. V množině přirozených čísel je pak řešením dvouprvková množina

daná průnikem

x (2; 4> ∩ N = {3; 4}

Úkol: Řešte v N rovnici

(x-1)3 = 4(x-1)

2

Řešením je množina

množina jednoprvková: {5}

množina prázdná: Ø

množina dvouprvková: {1; 5}

zpět

@014

Bohužel. Buď neznáte operace s množinami, jmenovitě pak průnik, nebo vám uniká něco

podstatného. V prvním případě doporučujeme prostudovat kurz Množiny obecně. V druhém

případě prostudujte znovu tento kurz od začátku.

znovu prostudujte

@015

zpět

Správně. Nejprve rovnici (x-1)3 = 4(x-1)

2 musíme vyřešit v R a pak provést průnik řešení

s množinou N.

První krok, který se nabízí je dělení výrazem (x–1). To ale smíme udělat jen v případě, že to

není nula. Rozbor úlohy se tedy dělí na dva případy

podmínka rozbor zkouška

x – 1 = 0 rozbor dává jednoho kandidáta

řešení

x – 1 = 0

x = 1

L(1) = (1-1)3 = 0

3 = 0

P(1) = 4(1-1)2 = 0

2 =0

L(1) = P(1)

x – 1 ≠ 0 celou rovnici můžeme vydělit

nenulovým číslem (x-1)

dostáváme jednoho kandidáta

řešení

(x-1)3 = 4(x-1)

2

x-1 = 4

x = 5

L(5) = (5-1)3 = 4

3 =

64

P(5) = 4(5-1)2 = 4.4

2

= 4.16 = 64

L(5) = P(5)

závěr pro oba kandidáty řešení vyšla zkouška a tak jsou řešením v R

S = {1; 5}

V množině přirozených čísel N má pak rovnice řešení {1; 5} ∩ N = {1; 5}, tedy totéž.

poznámka: Cílem této lekce bylo ukázat logické a množinové základy řešení rovnic a

nerovnic. Jakýkoli postup, kterým se dostáváme od zadané formule rovnice k formulím

jednodušším až okamžiku natolik jednoduché formule, že jsme schopni určit kandidáty řešení,

je pořád a stále jen rozbor úlohy. Teprve zkouška ať už dosazením nebo obrácením postupu je

vlastní důkazní řízení, že kandidáti jsou opravdu řešením. Nikdy na to nezapomínejte.

KONEC LEKCE