2

ЗМІСТВСТУП... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . ... ... 3 РОЗДІЛ 1. Історія розвитку квадратних рівнянь ... ... ... ... ... . ... ... ... .4

  1. Квадратні рівняння в Древньому Вавилоні ... ... ... ... ... ... ... ..... .. 4  2. Як складав і вирішував Діофант квадратні рівняння ... .. . ... ... ... 4  3. Квадратні рівняння в Індії ... ... ... .. . ... ... . . ... . . ... . .. ... . .. ... . .. 5  4. Квадратні рівняння у ал-Хорезмі ... .. . ... ... ... . .. .. . . . .. . . .. . . .. 7  5. Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст ... ... ... ... ... ... .. ....... . 8  6. Про теорему Вієта ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. ... ... . .. 8

РОЗДІЛ II. Способи розв’язування квадратних рівнянь ... ... ... ... .... .101. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 102. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 103. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 104. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 115. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... 116. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 127. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 148. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 159. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1710. Спосіб ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . ... 18

ВИСНОВОК ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ..... ..... 20  СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .21

3

ВСТУП

Зацікавившись темою «Квадратні рівняння» я зустрілася зі значним

обсягом рівнянь, які потрібно виконати за обмежений проміжок часу. Серед

них часто трапляються такі, якими перевіряються у нас, учнів, не стільки

технічні навички, скільки уважність, уміння знайти найкоротший шлях

розв'язання, застосовувати нетрадиційний, оригінальний метод тощо. Тому

сьогодні дуже важливо оволодіти різноманітними можливостями

правильного оформлення алгоритму розв'язування рівнянь, який би не містив

громіздких викладень, але за допомогою їх ми б змогли продемонструвати

яскраві, ефективні, а інколи і несподівані застосування теоретичного

матеріалу. Такі прийоми я намагався знайти в додатковій літературі , в

Інтернеті, а потім, узагальнивши їх, застосувувати в інших умовах до

розв'язування різноманітних рівнянь. Ці прийоми тісно пов'язані з

матеріалом, що вивчається в школі, але, крім того, їх нестандартне

розв'язання привчає нас, школярів, не задовольнятися шаблонами,

алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку оригінальних розв'язань. Так

була написана дана науково дослідна робота.

Відомо, що вздовж багатьох років алгебру розглядали як науку про

рівняння і способи їх розв'язування. Велике значення рівнянь підкреслював

А. Ейнштейн. Він сказав: „ Мені доводилось ділити свій час між політикою і

рівнянням. Проте рівняння, на мій погляд набагато важливіші, тому що

політика існує тільки для даного часу, а рівняння будуть існувати вічно ”.

Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не

розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у

розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діофант, аль-Хорезмі, , Ф.Вієт

та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були

високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна

людина.

4

Необхідність розв'язувати квадратні рівняння ще в давнину була

викликана потребою розв'язувати задачі, пов'язані із знаходженням площ

земельних ділянок та з земельними роботами військового характеру, а також

з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли

розв'язувати біля 2000 років до н.е. вавілоняни. Застосовуючи сучасні

алгебраїчні записи, можна сказати, що і в їх клинописних текстах

зустрічаються, окрім неповних , і такі , наприклад, повні квадратні рівняння:

Правило розв'язування цих рівнянь викладене у вавілонських текстах,

співпадає по суті з сучасними, хоч невідомо, яким чином дійшли вавілоняни

до цього правила. Майже всі знайдені до сьогодні клинописні тексти

приводять лиш до задач з розв'язками, викладеними у вигляді рецептів, без

вказівок відносно того, яким чином вони були знайдені.

Не дивлячись на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописних

текстах відсутнє поняття від'ємного числа і загальні методи розв'язування

квадратних рівнянь.

Задачі на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному трактаті

„ Аріабхаттіам ” , складеному 499р. індійським математиком і астрономом

Аріабхаттой .

Інший індійський учений, Брахмагупта (VIIст.), виклав загальний розв'язок

правила розв'язування квадратних рівнянь, зведених до єдиної канонічної

форми :

В алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається навіть класифікація лінійних і

квадратних рівнянь.

5

Він також подає способи розв'язання вказаних рівнянь, користуючись

прийомами ал-джабр і ал-мухабала. Його розв'язки, звичайно, не співпадають

повністю з нашими. І ще потрібно також відмітити, що при розв'язанні

неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезмі, як всі математики

до XVIII ст. , не враховували нульового розв'язку, мабуть , тому, що в

конкретних практичних задачах воно не має значення. При розв'язанні

повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на частинних числових прикладах

пояснює правила розв'язання, а потім їх геометричне доведення.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до єдиного

канонічного вигляду , при все можливих комбінаціях знаків коефіцієнтів b,с

було сформульовано в Європі лише в 1544 р. М.Штифелем.

Вивід формули розв'язування квадратних рівнянь в загальному вигляді є у

Вієта, хоч Вієт признавав тільки додатні корені. Італійські математики

Тартал'я, Кардана, Бомбеллі серед перших в XVI ст. враховують, крім

додатніх , і від'ємні корені. Лише в XVII ст. дякуючи працям Жирара,

Декарта, Ньютона і інших учених спосіб розв'язання квадратних та інших

рівнянь набуває сучасний вигляд.

6

Висновок Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не

розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у

розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діофант, аль-Хорезмі,

О.Хайям, Ф.Вієт та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою,

вони були високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна

прагнути кожна людина.

7

Актуальність: Нестандартне розв'язання привчає нас, школярів, не

задовольнятися шаблонами, алгоритмами, а вдумливо підходити до пошуку

оригінальних розв'язань.

Мета: визначити найдоцільніші методи розв’язування квадратних

рівнянь, навчитися їх застосовувати в практиці

Для досягнення поставленої мети я визначив наступні завдання:

– вивчити літературу з даної теми;

– навчитися розв’язувати квадратні рівняння різнми методами;

– визначити доцільність застосування різних способів в різних

ситуаціях;

Висновок: Ми переконалися, що математика, як і будь-яка інша наука не

розвивається сама, всі відкриття в ній роблять люди. Так свій внесок у

розвиток вчення про рівняння зробили Евклід, Діофант, аль-Хорезмі, , Ф.Вієт

та інші вчені. Ці люди не обмежувалися лише математикою, вони були

високо освіченими і всебічно розвиненими, до чого повинна прагнути кожна

людина.

        Квадратні рівняння відіграють величезну роль у розвитку математики.

Всі ми вміємо вирішувати квадратні рівняння зі шкільної лави до закінчення

вузу. Ці знання можуть стати в нагоді нам впродовж всього життя.

Так як досліджені методи розв’язування квадратних рівнянь прості в

застосуванні, то вони, безумовно, мають зацікавити учнів, що захоплюються

математикою. Моя робота дає можливість по-іншому подивитися на ті

завдання, які ставить перед нами математика.

2. Як складав і вирішував Діофант квадратні рівняння

8

         У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри,

однак у ній міститься систематизований ряд завдань, що супроводжуються

поясненнями і розв'язаннями за допомогою складання рівнянь різних

ступенів.

        Варто відмітити, що при складанні рівнянь Діофант для спрощення

рішення вміло вибирає невідомі.

         Ось, наприклад, одне з його завдань.

Задача 1. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток -

96»

Діофант міркує так: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні,

якби вони були б рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким

чином, одне з них буде більше половини їхньої суми, тобто 10+ х, інше ж

менше, тобто 10 - х. Різниця між ними 2х.

Звідси рівняння: (10 + х)(10 - х) = 96

100 - х2 = 96

х2 - 4 = 0 (1)

Звідси х = 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = -2 для

Диофанта не існує, оскільки грецька математика знала лише позитивні числа.

         Якщо ми вирішимо це завдання, обираючи як невідомого одне з

шуканих чисел, то ми прийдемо до рівняння

у(20 - у) = 96,

у2 - 20у + 96 = 0.

Ясно, що обираючи за невідому піврізницю шуканих чисел, Діофант

спрощує рішення; йому вдається звести завдання до вирішення неповного

квадратного рівняння (1).

3. Квадратні рівняння в Індії

9

        Завдання на квадратні рівняння зустрічаються вже в астрономічному

тракті «Аріабхаттіам», складеному в 499 р. індійським математиком і

астрономом Аріабхаттой. Інший індійський учений, Брахмагупта (VII ст.),

виклав загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до

єдиної канонічної формі:

ах2 + bх = с, а > 0. (2)

У рівнянні (2) коефіценти, крім а, можуть бути і від’ємними. Правило

Брахмагупти по суті збігається з нашим.

        У Стародавній Індії були поширені публічні змагання у вирішенні

складних завдань. В одній із старовинних індійських книг говориться з

приводу таких змагань наступне: «Як сонце блиском своїм затьмарює зірки,

так вчений чоловік затьмарить славу іншого на зборах, пропонуючи і

вирішуючи алгебраїчні завдання». Завдання часто мали віршовану форму.

       Ось одне із завдань знаменитого індійського математика XII в. Бхаскара.

Завдання 2(мал..1) «Мавпочок баских зграя Поївши, розважалася. Їх у квадраті частина восьмая На галявині бавилася. А дванадцять по ліанах ... Стали повисаючи, стрибати ... Скільки ж було мавпочок, Чи можеш ти мені сказати? »

Рішення Бхаскара свідчить про те, що він знав про двозначності коренів

квадратних рівнянь .

        Відповідне завданню 2 рівняння: (x/8)2 + 12 = x

Бхаскара пише під виглядом:

х2 - 64х = -768

і, щоб доповнити ліву частину цього рівняння до квадрата, додає до обох

частин 322, отримуючи потім:

х2 - 64х + 322 = -768 + 1024,

10

(х - 32)2 = 256,

х - 32 = ± 16,

х1 = 16, х2 = 48.

4. Квадратні рівняння у аль - Хорезмі

      У алгебраїчному трактаті аль - Хорезмі дається класифікація лінійних і

квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь:

1) «Квадрати рівні кореням», тобто ах2 = bх.

 2) «Квадрати рівні числу», тобто ах2 = с.

 3) «Корені рівні числу», тобто ах = с.

 4) «Квадрати і числа дорівнюють кореням», тобто ах2+с = bх.

5) «Квадрати і корені рівні числу», тобто ах2 +bx = с.

6) «Корені і числа рівні квадратам», тобто bx+ с = ах2.

       Для аль - Хорезмі, який уникав використання відємних чисел, члени

кожного з цих рівнянь додаються, а не віднімаються. При цьому свідомо не

беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає

способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал - джабр

і ал - мукабала. Його рішення, звичайно, не співпадає повністю з нашим. Вже

не кажучи про те, що воно чисто риторичне, слід відзначити, наприклад, що

при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду аль - Хорезмі,

як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно,

тому що в конкретних практичних задачах воно не має значення. При

вирішенні повних квадратних рівнянь аль - Хорезмі на окремих числових

прикладах викладає правила рішення, а потім і геометричні докази.

Наведемо приклад:

Завдання 3. «Квадрат і число 21 дорівнюють 10 кореням. Знайти корінь »

                        (мається на увазі корінь рівняння х2 +21 = 10х).

11

Рішення автора приблизно таке: поділи навпіл число коренів, отримаєш 5,

примножиш 5 саме на себе, від добутку відніми 21, залишиться 4. Добудь

корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь.

Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

         Трактат аль - Хорезмі є першою, яка дійшла до нас книгою, в якій

систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дані формули їх

вирішення.

5. Квадратні рівняння в Європі XIII - XVII ст

        

         Формули рішення квадратних рівнянь за зразком ал - Хорезмі в Європі

були вперше викладені в «Книзі абака», написаної в 1202 р. італійським

математиком Леонардо Фібоначчі. Цю об'ємну працю, в якій відображено

вплив на розвиток математики, як країн ісламу, так і Древньої Греції,

відрізняється і повнотою, і ясністю викладу. Автор розробив самостійно

деякі нові алгебраїчні приклади розв'язання задач і перший в Європі

підійшов до введення негативних чисел. Його книга сприяла поширенню

алгебраїчних знань не тільки в Італії, але і в Німеччині, Франції та інших

країнах Європи. Багато задач з «Книги абака» переходили майже в усі

європейські підручники XVI - XVII ст. і частково XVIII.

Загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, приведених до

єдиного канонічного вигляду: х2 + bx = с,при всіляких комбінаціях знаків

коефіцієнтів b, с було сформульовано в Європі лише в 1544 р. М. Штифелем.

        Доведення формули вирішення квадратного рівняння в загальному

вигляді є у Вієта. Однак Вієт визнавав лише позитивні корені. Італійські

математики Тарталья, Кардано, Бомбеллі серед перших в XVI ст.

Враховують, крім позитивних, і відємні корені. Лише в XVII в. завдяки праці

Жирара, Декарта, Ньютона та інших вчених спосіб розв'язання квадратних

рівнянь приймає сучасний вигляд.

12

6. Про теоремі Вієта.

        Теорема, що виражає зв'язок між коефіцієнтами квадратного рівняння і

його коренями, що носить ім'я Вієта, була ним сформульована вперше в

1591р. так: «Якщо B+D, помножене на A - A2, так само B*D, то A дорівнює В

і дорівнює D».

        Щоб зрозуміти Вієта, слід згадати, що А, як і всяка голосна буква,

означало у нього невідоме (наше х), голосні ж В, D - коефіцієнти при

невідомому. Мовою сучасної алгебри вищенаведена формулювання Вієта

означає: якщо має місце (а + b)х - х2 = ab,

тобто

х2 - (а + b)х + аb = 0,

то

х1 = а, х2 = b.

Висловлюючи залежність між коренями і коефіцієнтами рівнянь

загальними формулами, записаними за допомогою символів, Вієт встановив

одноманітність в прийомах рішення рівнянь. Однак символіка Вієта ще

далека від сучасного вигляду. Він не визнавав негативних чисел і з цього при

вирішенні рівнянь розглядав лише випадки, коли всі корені позитивні.

Отже: Квадратні рівняння - це фундамент, на якому покоїться велична

будівля алгебри. Квадратні рівняння знаходять широке застосування при

вирішенні тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і

трансцендентних рівнянь і нерівностей. Всі ми вміємо вирішувати квадратні

рівняння.

        У шкільному курсі математики вивчаються формули коренів квадратних

рівнянь, за допомогою яких можна вирішувати будь-які квадратні рівняння.

Однак є й інші способи вирішення квадратних рівнянь, які дозволяють дуже

швидко і раціонально вирішувати багато рівнянь. Я познайомилася з

десятьма способами розв'язання квадратних рівнянь. Детально в своїй роботі

я розібрала кожен зі способів.

13

РОЗДІЛ II

СПОСОБИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КВАДРАТНИХ РІВНЯНЬ

1. СПОСІБ: Розкладання лівій частині рівняння на множники

Вирішимо рівняння х2 +10х - 24 = 0. Розкладемо ліву частину на множники:

х2 +10х - 24 = х2+ 12х - 2х - 24 = х (х +12) - 2 (х +12) = (х +12) (х - 2).

     Отже, рівняння можна переписати так:

(х+12) (х - 2) = 0

     Так як добуток дорівнює нулю, то, принаймні, один з його множників

дорівнює нулю. Тому ліва частина рівняння перетворюється на нуль при

х =2, а також при х = - 12. Це означає, що число 2 і - 12 є корінням рівняння

х2 +10х - 24 = 0.

2. СПОСІБ: Метод виділення повного квадрата

Вирішимо рівняння х2+ 6х - 7 = 0. Виділимо в лівій частині повний квадрат.

Для цього запишемо вираз х2+ 6х в наступному вигляді:

х2 + 6х = х2 + 2• х • 3.

В отриманому виразі перший доданок - квадрат числа х, а друге - подвоєний

добуток х на 3. За цим щоб отримати повний квадрат, потрібно додати 32,

так як х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.

Перетворимо тепер ліву частину рівняння

х2 + 6х - 7 = 0,

додаючи до неї і віднімаючи 32. маємо:

х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 - 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.

Таким чином, дане рівняння можна записати так:

14

(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.

Отже, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2 = -7.

3. СПОСОБ: Розв’язування квадратних рівнянь за формулою

Помножимо обидві частини рівняння х2 + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а: 4а2х2 + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах)2 + 2ах • b + b2) - b2 + 4ac = 0,

(2ax + b)2 = b2 - 4ac,

2ax + b = ± √ b2 - 4ac,

2ax = - b ± √ b2 - 4ac,

       Формула (1) коренів квадратного рівняння ах2 +bх +с = 0 дозволяє знайти

коріння будь-якого квадратного рівняння (якщо вони є), в тому числі

наведеного та неповного. Словесно формула (1) виражається так: корінь

квадратного рівняння рівні дробу, чисельник якого дорівнює другому

коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, плюс мінус корінь квадратний з

дискримінанта, а знаменник є подвоєний перший коефіцієнт.

4. СПОСІБ: Рішення рівнянь з використанням теореми Вієта

Як відомо, наведене квадратне рівняння має вигляд

х2 + px + c = 0. (1)

Його коріння задовольняють теоремі Вієта, яка при а = 1 має вигляд

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

15

      Звідси можна зробити такі висновки (за коефіцієнтами p і q можна

передбачити знаки коренів).

      а) Якщо зведений член q наведеного рівняння (1) позитивний (q> 0), то

рівняння має два однакових за знаком кореня і це заздрості від другого

коефіцієнта p. Якщо р <0, то обидва кореня негативні, якщо р <0, то обидва

кореня позитивні.

  Наприклад ,

x2 – 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так як q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так як q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Якщо вільний член q наведеного рівняння (1) від'ємний (q <0), то рівняння

має два різних за знаком кореня, причому більший за модулем корінь буде

позитивний, якщо p <0, або негативний, якщо p> 0.

  наприклад, x2 + 4x – 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так як q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x2 – 8x – 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так як q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5. СПОСІБ: Рішення рівнянь способом «перекидання»

Розглянемо квадратне рівняння

ах2+ bх +с = 0, де а ≠ 0.

Домножуючи обидві його частини на а, отримуємо рівняння

а2х2 +аbх+ ас = 0.

Нехай ах = у, звідки х = у / а; тоді приходимо до рівняння

у2 + by + ас = 0,

рівносильне даному. Його коріння у1 і у2 знайдемо за допомогою теореми

Вієта. Остаточно отримуємо х1 = у1 / а і х1 = у2 / а. При цьому способі

коефіцієнт а множиться на вільний член, як би «перекидається» до нього,

тому його називають способом «перекидання». Цей спосіб застосовують,

коли можна легко знайти корені рівняння, використовуючи теорему Вієта і,

що найважливіше, коли дискримінант є точний квадрат.

     Приклад. Вирішимо рівняння 2х2 - 11х +15 = 0.

16

«Перекинути» коефіцієнт 2 до вільного члену, в результаті отримаємо

рівняння у2 – 11у + 30 = 0.

За теоремі Вієта у1 = 5 х1 = 5/2 x1 = 2,5

у2 = 6 x2 = 6/2 x2 = 3.

Відповідь: 2,5; 3.

6. СПОСІБ: Властивості коефіцієнтів квадратного рівняння.

6.1. Нехай дано квадратне рівняння ах2 + bх + с = 0, где а ≠ 0. Якщо, а+ b + с = 0 (тобто сума коефіцієнтів дорівнює нулю), то х1 = 1, х2 = с/а.Доведення. Розділимо обидві частини рівняння на а ≠ 0, отримаємо наведене

квадратне рівняння x2 + b/a • x + c/a = 0.

Згідно з теоремою Вієтаx1 + x2 = - b/a,

x1x2 = 1• c/a.

За умовою а – b + с = 0, звідки b = а + с. Таким чином,

x1 + x2 = - а + b/a= -1 – c/a,

x1x2 = - 1• ( - c/a),

тобто. х1 = -1 и х2 = c/a, що т.б.д.

Приклад

1) Вирішимо рівняння 345х2 – 137х – 208 = 0.

Так як а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = -208/345.

Відповідь: 1; -208/345.

2) Вирішимо рівняння 132х2 – 247х + 115 = 0.

Так як а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то х1 = 1, х2 = c/a = 115/132.

Відповідь: 1; 115/132.

6.2. Якщо другий коефіцієнт b = 2k – парне число, то формулу коренів

Можна записати у вигляді

17

Приклад.

Вирішимо рівняння 3х2 — 14х + 16 = 0.

Маємо : а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;D = k2 – ac = (- 7)2 – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два дійсних корені;

Відповідь: 2; 8/3

6.3 Зведене рівняння

х2 + рх + q= 0

збігається з рівнянням загального вигляду, в якому а = 1, b = р і с = q. Тому

для наведеного квадратного рівняння формула коренів

приймає вигляд:

Формулу (3) особливо зручно використовувати, коли р - парне число.•

Приклад. Роз’вяжемо рівняння х2 – 14х – 15 = 0.

Маємо: х1,2 =7±

Відповідь: х1 = 15; х2 = -1.

7. СПОСІБ: Графічне рішення

квадратного рівняння

Якщо в рівнянні х2 + px + q = 0 перенести

другий і третій члени в праву частину, то

одержимо х2 = - px - q.

  Побудуємо графіки залежності у = х2 і у = -

px - q.

18

      Графік першої залежності – парабола , що проходить через початок

координат. Графік другої залежності - пряма (рис.1).

Можливі такі випадки:

- Пряма і парабола можуть перетинатися у двох точках,  абсциси точок

перетину є коренями квадратного рівняння;

- Пряма і парабола можуть дотикатися (тільки одна спільна точка), тобто

рівняння має одне рішення;

- Пряма і парабола не мають спільних точок, тобто квадратне рівняння не

має коренів. •

Приклади.

1) Вирішимо графічно рівняння х2 - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х2 = 3х +4.

Побудуємо параболу у = х2 і пряму у = 3х +4. Пряму

у = 3х +4 можна побудувати за двома точками М (0, 4) і

  N (3, 13). Пряма і парабола перетинаються в двох

точках

А і В з абсцисами х1 = - 1 і х2 = 4. Відповідь: х1 = - 1;

х2 = 4.

2) Вирішимо графічно рівняння (рис. 3) х2 - 2х +1 = 0.

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х2 = 2х - 1.

         Побудуємо параболу у = х2 і пряму у = 2х - 1.

Пряму у = 2х - 1 побудуємо по двох точках М (0; - 1)

та N (1 / 2, 0). Пряма і парабола перетинаються в точці А з

абсцисою х = 1. Відповідь: х = 1.

3) Вирішимо графічно рівняння х2 - 2х 5 = 0 (рис. 4).

Рішення. Запишемо рівняння у вигляді х2 = 5х - 5.

Побудуємо параболу у = х2 і пряму у = 2х - 5. Пряму у = 2х

19

- 5 побудуємо по двох точках М (0; - 5) та N (2,5; 0). Пряма і парабола не

мають точок перетину, тобто дане рівняння коренів не має.

Відповідь. Рівняння х2 - 2х 5 = 0 коренів не має.

8. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою циркуля і

лінійки

              Графічний спосіб розв'язання квадратних рівнянь за допомогою

параболи незручний. Якщо будувати параболу по точках, то потрібно багато

часу, і при цьому ступінь точності одержуваних результатів невелика.

        Пропоную наступний спосіб знаходження коренів квадратного рівняння

ах2+ bх+ с = 0 за допомогою циркуля і лінійки

(рис. 5).

        Припустимо, що шукане коло перетинає вісь

абсцис в точках В (х1, 0) і D (х2, 0), де х1 і х2 -

корені рівняння ах2 +bх +с = 0, і проходить через

точки А (0; 1) і С (0; c / a) на осі ординат. Тоді за

теоремою про січні маємо OB • OD = OA • OC,

звідки OC = OB • OD / OA = х1х2 / 1 = c / a.

Центр кола знаходиться в точці перетину перпендикулярів SF і SK,

проведених до середин хорд AC і BD, тому

Отже:

1) побудуємо точки (центр кола) і A (0; 1);

2) проведемо коло з радіусом SA;

20

3) абсциси точок перетину цього кола з віссю Ох є коренями даного

квадратного рівняння.

      При цьому можливі три випадки.1) Радіус кола більше ординати центру

(AS> SK, або R> ac/2a), окружність перетинає вісь Ох у двох точках (рис. 6,а)

В(х1; 0) и D(х2; 0), де х1 и х2 - корені квадратного рівняння ах2 + bх + с = 0.

2) Радіус кола дорівнює ординаті центру (AS = SB, або R = ac/2a), коло

дотикається осі Ох (рис. 6, б) в точці В (х1, 0), де х1 - корінь квадратного

рівняння.

3) Радіус кола менше ординати центру

коло не має спільних точок з віссю абсцис (рис.6, в), в цьому випадку

рівняння не має розв'язку.

Приклад

Розвяжемо рівняння х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).

Визначимо координати точки центру кола за

формулами:

Проведемо коло радіусом SA, де А (0; 1).

Відповідь: х1 = - 1; х2 = 3.

9. СПОСІБ: Рішення квадратних рівнянь за допомогою

21

                                              номограми

Це старий і незаслужено забутий спосіб розв'язання квадратних

рівнянь розміщено на с.83 (см. Брадіс В.М. Чотирехзначні математичні

таблиці. - М., Просвещение, 1990).

Таблиця XXII. Номограма для рішення рівняння z2 +pz +q = 0. Ця

номограма дозволяє, не вирішуючи квадратного рівняння, за його

коефіцієнтами визначити корені рівняння.

      Криволінійна шкала номограми побудована

за формулами (рис.11):

Вважаючи ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см.), з

подібності трикутників САН и CDF одержимо

пропорцію

звідки після підстановки і

спрощень випливає рівняння z2 + pz + q = 0, причому буква z означає

мітку любої точки криволінійної шкали.

Приклад

1) Для рівняння z2 - 9z + 8 = 0 номограма дає корені z1

= 8,0 и z2 = 1,0 (рис.12).

2) Вирішимо за допомогою номограми рівняння

2z2 - 9z + 2 = 0.

Розділимо коефіцієнти цього рівняння на 2,

отримаємо рівнянняz2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограма дає корні z1 = 4 и z2 = 0,5.

3) Для рівняння z2 - 25z + 66 = 0

коефіцієнти p і q виходять за межі шкали, виконаємо

підстановку z = 5t,

22

отримаємо рівняння t2 - 5t + 2,64 = 0,

яке вирішуємо за допомогою номограми і отримаємо t1 = 0,6 и t2 = 4,4,

звідки z1 = 5t1 = 3,0 и z2 = 5t2 = 22,0.

10. СПОСІБ: Геометричний спосіб розв'язання квадратних

рівнянь     

       У давнину, коли геометрія була більш розвинена, ніж алгебра, квадратні

рівняння вирішували не алгебраїчно, а геометрично. Наведу відомий приклад

з «Алгебри» аль - Хорезмі.

Приклади.

       1) Вирішимо рівняння х2 +10х = 39.

       В оригіналі це завдання формулюється так: «Квадрат і десять коренів

рівні 39» (рис.15).

       Розглянемо квадрат зі стороною х, на його сторонах будуються

прямокутники так, що інша сторона кожного з них дорівнює 2,5, отже, площа

кожного дорівнює 2,5 х. Отриману фігуру доповнюють потім до нового

квадрата ABCD, добудовуючи в кутах чотири рівних квадрата, сторона

кожного з них 2,5, а площа 6,25.

Площа S квадрата ABCD можна представити як суму площ:

початкового квадрата х2, чотирьох прямокутників (4 • 2,5 х = 10х) і чотирьох

прибудованих квадратів (6,25 • 4 = 25), тобто S = х2 +10х+ 25. замінюючи

23

х2 +10х числом 39, отримаємо, що S = 39+ 25 = 64, звідки випливає, що

сторона квадрата ABCD, тобто відрізок АВ = 8. Для шуканої сторони х

початкового квадрата отримаємо

2) А от, наприклад, як стародавні греки вирішували рівняння у2 + 6у - 16 = 0.

представленого на рис. 16, де у2 + 6у = 16, або у2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Вирази у2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрично представляють собою

один и той же квадрат, а вихідне рівняння у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одне і те ж

рівняння . Звідкии отримуємо, що у + 3 = ± 5, абоу1 = 2, у2 = - 8 (рис.16).

3) Вирішити геометрично рівняння у2 – 6у - 16 = 0. Перетворюючи рівняння, отримуємо у2 – 6у = 16.        На рис. 17 знаходяться «зображення» виразу у2 – 6у, тобто з площі квадрата зі стороною у два рази обчислюється площа квадрата зі стороною, що дорівнює 3. Отже, якщо до виразу у2 – 6у додати 9, то отримаємо площу квадрата зі стороною у - 3. Замінюючи вираз у2 – 6у рівним йому числом 16, отримаємо: (у - 3)2 = 16 + 9, тобто у - 3 = ± √25, або у - 3 = ± 5, де у1 = 8 і у2 = - 2.

24

ВИСНОВОК

          Квадратні рівняння знаходять широке застосування при вирішенні

тригонометричних, показових, логарифмічних, ірраціональних і

трансцендентних рівнянь і нерівностей.

Проте, значення квадратних рівнянь полягає не тільки в витонченість і

стислості вирішення завдань, хоча і це вельми суттєво. Не менш важливо і

те, що в результаті застосування квадратних рівнянь при вирішенні завдань

не рідко виявляються нові деталі, вдається зробити цікаві узагальнення та

внести уточнення, які підказуються аналізом отриманих формул і

співвідношень.

Хочеться відзначити і те, що викладена тема в цій роботі ще мало

вивчена взагалі, просто нею не займаються, тому вона таїть у собі багато

прихованого і невідомого, що дає чудову можливість для подальшої роботи з

нею.

Тут я зупинилася на питанні вирішення квадратних рівнянь, а що,

якщо існують і інші способи їх вирішення?! Знову знаходити гарні

закономірності, якісь факти, уточнення, робити узагальнення, відкривати все

нове і нове.

         Підводячи підсумки, можна зробити висновок: квадратні рівняння

відіграють величезну роль у розвитку математики. Всі ми вміємо вирішувати

квадратні рівняння зі шкільної лави до закінчення вузу. Ці знання можуть

стати в нагоді нам впродовж всього життя.

Так як ці методи вирішення квадратних рівнянь прості в застосуванні, то

вони, безумовно, має зацікавити захоплюються математикою учнів. Моя

25

робота дає можливість по-іншому подивитися на ті завдання, які ставить

перед нами математика.

ЛІТЕРАТУРА:

1. Алимов Ш.А., Ильин В.А. и др. Алгебра, 6-8. Пробный учебник для 6-8 классовой средней школы. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы.Изд. 57-е. - М., Просвещение, 1990. С. 83.

3. Кружепов А.К., Рубанов А.Т. Задачник по алгебре и элементарным функциям. Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. - М., высшая школа, 1969.

4. Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.

6. Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.

7. Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.