10 — Derivator och tillämpningar 1

10.1 Dagens Teori

Egentligen har vi ingen ny teori att presentera idag. Målet för den närmaste framtiden äratt nöta in undersökandet av polynomfunktioner.

Övning 10.1 Ett straffkast i basket följer ekvationen

h(x) = 2.15+ 2.1x− 0.41x2

där h(x) meter är bollens höjd över golvet x meter är avståndet från utkastet räknatlängs golvet. Hur högt når bollen? �

Lösning:Det är en ’ledsen’ andragradsfunktion, så vi vet redan från början att funktionen har enmaxpunkt. Men vi låtsas inte om det. Istället ska vi använda oss av h ′′(x) för att bestämmaextrempunktens typ.

Vi startar med att derivera funktionen

h ′(x) = 2.1− 0.82x

När vi nu sätter h ′(x) = 0 får vi reda på för vilket x som det finns en extrempunkt hosh(x). h ′(x) = 0 har en rot x = 2.56

Vi vet nu att då x = 2.56 så har h(x) antingen en maxpunkt eller en minpunkt. Vi har tvåmöjligheter att avgöra vilket. Det enklaste är kanske att titta på andraderivatan h ′′(x)

h ′′(x) = −0.82

som ju förstås är < 0 för alla x. Detta betyder att då x = 2.56 befinner sig bollen på sinhögsta höjd. Vilken är då denna höjd? Får vi genom

h(2.56) = 4.84

Svar: Bollen når höjden 4.84 meter

2 Derivator och tillämpningar 1

Övning 10.2 Enligt en enkel modell för befolkningsutvecklingen i Sverige underåren 2000 till 2050 kan folkmängden y(x) miljoner uppskattas med formeln

y(x) = −0.000338x2 + 0.0232x+ 8.89

där tiden x är tiden i år räknat från 2000. Vilket är enligt modellen det största värdetpå Sveriges folkmängd under denna period? �

Lösning:Här har vi för första gången ett intervall 2000 ≤ x ≤ 2050 att ta hänsyn till. Vad somhänder med funktionen utanför detta intervall ska vi inte bry oss om.

Åter ett andragradspolynom med minus framför x2-termen. Vi vet redan nu att det handlarom en maxpunkt. Vad vi inte vet är om maxpunkten ligger inuti intervallet.

Vi startar med att ta reda på y ′(x) och sedan extrempunkten genom y ′(x) = 0.

y ′(x) = 0.0232− 0.000676x

y ′(x) = 0 ger0.0232− 0.000676x = 0

som har roten x = 34.3195. För detta x-värde finns en extrempunkt hos y(x), somdessutom ligger i det givna intervallet. Genom andraderivatan y ′′(x) kan vi ta reda påom det är en max- eller minpunkt.

y ′′(x) = −0.000676

y ′′(x) < 0, alltså en maxpunkt. Vi kan nu bestämma folkmängden vid denna tidpunktenx = 34.3195 genom

y(34.3195) = 9.28811

Det betyder att befolkningen år 2034 är ungefär 9288110 själar, om vi nu ska tro på det.Är detta en globalt maxpunkt om vi tittar på hela intervallet? Ja, det måste det vara, så vibryr oss inte om att bestämma y(0) och y(50) eftersom vi är säkra på att dessa är mindreän y(34.3195).

Förresten vad betyder 34.3195 år? 34 år är helt klart, men 0.3195 år är ju 0.3595 · 365 =131.218 dygn. Eftersom månaderna januari till april har 31+ 28+ 31+ 30 = 120 dygn såbör detta maximum inträffa 11 maj 2034. Överskjutande tid det vill säga 0.218 ·24 = 5.232betyder ungefär kl 5 : 14 på morgonen.

Detta får oss osökt att tänka på antalet värdesiffror. Självklart är denna tidsbestämninguppåt väggarna. Förhoppningsvis har ni fått tillräckligt kunskap om detta genom fysiken.

Övning 10.3 Christian studerade en sommar tillväxthastigheten y cm/dygn för ensolros och fann att den följde en enkel andragradsmodell

y(x) = 0.00035x(260− x)

där x är solrosens höjd i centimeter. Bestäm den största tillväxthastigheten. Hur långär solrosen då? �

Lösning:Ordet modell, eller matematisk modell används, för till exempel en formel, som här, som

10.1 Dagens Teori 3

beskriver ett naturfenomen. Man måste förstå att den bara är tillämplig på ett ungefär.Här nämns till exempel inte om solrosen står på en skuggig eller solig plats. Inte hellerhur mycket det regnade denna sommar.

Det här är en liten finurlig uppgift. Normalt förknippar vi hastighet, eller tillväxthastighetmed derivatan till given funktion. Men eftersom y(x) är hastighet, så måste y ′(x) varanågon form av tillväxtacceleration. Solrosen axar! Man behöver kanske inte filosoferaöver detta, även om det känns bättre när man vet vad man håller på med.

Vår plan blir, som vanligt just nu, att ta fram y ′(x). Lösa ekvationen y ′(x) = 0. Ta redapå vilken typ av extrempunkter som finns. Bestämma y(x) för dessa.

Men hur deriverar many(x) = 0.00035x(260− x)

Vi klarar det inte på något annat sätt än att utveckla parentesen och få

y(x) = 0.091x− 0.00035x2

som vi nu deriverary ′(x) = 0.091− 0.0007x

y ′(x) = 0 ger0.091− 0.0007x = 0

som har roten x = 130. Vi vet att y(x) har en maxpunkt eftersom y ′′(x) = −0.0007.Återstår att bestämma y(130) = 5.9. Vad betyder nu detta. Att solrosen växer somsnabbast, 5.9 cm/dygn när den har en längd av 130 cm.

Övning 10.4 Av en plåt som är 36 cm bred ska man bocka en öppen ränna medrektangulärt tvärsnitt. Vilka mått ger största möjliga tvärsnittsarea? �

Lösning:Detta är en ny kategori av problem. Vi ska alltså bestämma en maxpunkt. Men ingenfunktion är given! Det handlar om geometri och genom att studera figuren kan vi listaoss till funktionen

Figur 10.1:

Den eftersökta arean är A = B · H. Vi vet att H + H + B = 36. Om H = x så måsteB = 36− 2x och då kan vi skriva arean som

A(x) = x(36− 2x) = 36x− 2x2

eller hur? Vi har funktionen. Frågan är nu för vilket x som arean är som störst?

4 Derivator och tillämpningar 1

Vi gör väl som vanligt, beräknar A ′(x) och löser ekvationen A ′(x) = 0

A ′(x) = 36− 4x

A ′(x) = 0 ger oss nu

36− 4x = 0

med roten x = 9. För x = 9 har funktionen en maxpunkt. A(18) = 162, som är rännansstörsta tänkbara area.

Finns det något intervall här, inom vilka värden på x kan variera? x största möjliga värdeär 18, men då blir det inte mycket över till rännans bas, B = 0 och arean blir 0. x minstavärde är 0, det vill säga man viker inte upp någon kant alls. Då är också arean 0. Allaandra värden däremellan är möjliga för x. Intervallet för x blir då 0 ≤ x ≤ 18. Vi avslutarmed att visa grafen

2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5

25

50

75

100

125

150

Figur 10.2:

Övning 10.5 Figuren visar grafen y = f(x) i intervallet a ≤ x ≤ f. �

Figur 10.3:

a) När är funktionen f(x) växande?b) När är funktionen f(x) avtagande?c) I vilka punkter har f(x) lokala extrempunkter?d) När har f(x) globalt maximum?e) När har f(x) globalt minimum?

Lösning:

10.1 Dagens Teori 5

a)b < x < c

d < x < e

b)a < x < b

c < x < d

e < x < f

c) Maxpunkter i a, c, e. Minpunkter i b, d, fd) ee) b

Övning 10.6 Vilka punkter på kurvan y = f(x) har horisontell tangent.

a) f(x) = x3 − x2 − x+ 1b) f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+ 87

�

Lösning:En horisontell tangent innebär att f(x) har en extrempunkt: max-, min- eller terrasspunkt.Nu bör det vara självklart hos alla att dessa punkter, får man genom att ta fram f ′(x) ochlösa ekvationen f ′(x) = 0

a)f ′(x) = 3x2 − 2x− 1

3x2 − 2x− 1 = 0 har rötterna x1 = −13 och x2 = 1. det står inget om att vi behöver

avgöra vilken typ av extrempunkter det handlar om, så då glömmer vi det. Däremotvill man veta f(− 1

3) och f(1)

f(− 13) = (−1

3)3 − (− 1

3)2 − (− 1

3) + 1 =3227

f(1) = 13 − 12 − 1+ 1 = 0

Vi har då punkterna (− 13 ,3227) och (1, 0)

b)f ′(x) = 6x2 − 6x− 12

6x2 − 6x− 12 = 0 har rötterna x1 = −1 och x2 = 2

f(−1) = 2(−1)3 − 3(−1)2 − 12(−1) + 87 = 94f(1) = 2 · 13 − 3 · 12 − 12 · 1+ 87 = 67

Vi har då punkterna (−1, 94) och (1, 67)

Jag tror att ni sett mig lösa minst 100 andragradsekvationer på tavlan denna termin, så nutänkte jag inte plåga er längre med det. Alla vet ju hur det går till, eller hur?

Övning 10.7 Bestäm arean hos den största triangel man kan skapa där summan avtriangelns höjd h och dess bas b, b+ h = 12 cm. �

Lösning:Om höjden h sätts till x, så återstår 12− x till basen b, h = x, b = 12− x. Med hjälp avformeln för triangelns area

A =b · h2

6 Derivator och tillämpningar 1

får vi

A(x) =x(12− x)

2= 6x−

x2

2

Det är denna funktion vi ska finna en maxpunkt hos. Vi kan på vägen konstatera att0 ≤ x ≤ 12.

Vi deriverar och får A ′(x) och löser sedan ekvationen A ′(x) = 0

A ′(x) = 6− x

6− x = 0 ger x = 6. Vi deriverar en gång till och får

A ′′(x) = −1

Alltså är extrempunkten i x = 6 en maxpunkt, men det visste du ju redan. Hur som helstser vi nu att då h = 6 och b = 6 får vi den maximala arean A = 18.

Figur 10.4:

Övning 10.8 En låda ska tillverkas av en kvadratisk pappskiva som har sidan 12 dm.I skivans fyra hörn klipps lika stora kvadratiska bitar bort. Det som återstår viks såatt en låda, med idel, räta vinklar bildas. Hur stora ska de kvadratiska bitarna varaför att lådans volym ska bli så stor som möjligt? �

Lösning:Vi ska bestämma volymen av lådan med hjälp av formeln

V = b · h · l

där b är bredden, l längden och h höjden. Men just i denna uppgift är l = b. Lådansbotten är kvadratisk.

De små kvadraterna som ska klippas bort antar vi har sidan x. Sidan hos den storakvadraten vi har från början är 12. Hur stor är då bredden b? Jo, b = 12− 2x och då ärockså l = 12− 2x. Höjden är förstås h = x. Vi har tecknat alla måtten och kan nu tecknalådans volym

V(x) = x(12− 2x)(12− 2x) = x(12− 2x)2

Sedan är det bara att tuffa på som vanligt. Derivera V(x). Sätta V ′(x) = 0 och lösaekvationen för att få extrempunkterna. Vilket intervall befinner sig x i? 0 ≤ x ≤ 6, störrekan ju inte x vara. Fört utvecklar vi parenteserna i V(x)

10.1 Dagens Teori 7

V(x) = x(12− 2x)2 = x(144− 48x+ 4x2) = 144x− 48x2 + 4x3

Nu är det dags att derivera

V ′(x) = 144− 96x+ 12x2

Ekvationen 144− 96x+ 12x2 = 0 har rötterna x1 = 2 och x2 = 6. Två extrempunkter!

Vi ska nu avgöra vilken typ punkterna x = 2 och x = 4 tillhör, genom att derivera enandra gång.

V ′′(x) = −96+ 24x

Då V ′′(2) = −96 + 48 = −48 < 0 som betyder att vi funnit en maxpunkt. Då V ′′(6) =−96+ 24 · 6 = 48 > 0 som betyder att det här handlar om en minpunkt.

V(4) = 2(12− 2 · 2)2 = 128

Svar: Den maximala volymen är 128 cm3, som vi får när de de små kvadraterna harsidan 2 cm.

Övning 10.9 Om priset för en parfym sätts till x kr/liter kan man räkna med att detunder ett år säljs

f(x) = 100−5x

100

liter, så länge priset x är 800 ≤ x ≤ 1200. Teckna en funktion I(x) för intäkten,det belopp man får från ett års försäljning. Beräkna sedan med hjälp av I(x) denmaximala intäkten. �

Lösning:Om parfymen till exempel kostar x = 900 kr, så kommer man att sälja

f(900) = 100−4500

100= 55 liter

Intäkten blir då I = 55 · 900 = 49500 kr. Den funktion vi är ute efter kan skrivas:

I(x) = x

(100−

5x

100

)= 100x−

5x2

100

Det är den här funktionen vi ska finna en maxpunkt hos. Det luktar inte parfym, men detluktar derivering

I ′(x) = 100−10x

100= 100−

x

10

Sedan löser vi ekvationen I ′(x) = 0

100−x

10= 0

som har roten 1000. Vi tar fram andraderivatan för att bestämma typen hos extrempunkten.

I ′′(x) = −1

10

som alltid är negativ. Alltså är speciellt I ′′(1000) < 0 vilket betyder att vi funnit, somväntat, en maxpunkt.

8 Derivator och tillämpningar 1

Övning 10.10 En misslyckad raketuppskjutning från ett fartyg kan beskrivas medekvationen:

y = −4.8t2 + 9.6t+ 38.2

där y m är raketens höjd över havet t sekunder efter avfyrningen. Hur högt nårraketen? �

Lösning:KTH: Jaha, då sätter vi väl igång då. Är du pigg idag?

TB: Så där. Det börjar bli lite mycket nu, men jag ska försöka samla mig och göra mittbästa. En funktion är given. Jag väljer lite andra beteckningar än de som föreslås i boken.

h(t) = −4.8t2 + 9.6t+ 38.2

Genom den här funktionen kan jag ta reda på hur högt över vattnet raketen befinner sig.Efter till exempel t = 10 blir h(10) = −4.8 · 102 + 9.6 · 10+ 38.2 = −345.8. Oj då, raketenär på väg mot botten, om det nu överhuvudtaget är så djupt där. Men nu var det intedet vi skulle ta reda på. Vid vilken tid som raketen når sin högsta punkt får jag reda pågenom att derivera h(t) och lösa h ′(t) = 0

h(t) = −4.8t2 + 9.6t+ 38.2h ′(t) = −9.6t+ 9.6h ′(t) = 0 då − 9.6t+ 9.6 = 0t = 1

Snälla värden eller hur. Redan efter 1 sekund vänder raketen och börjar falla igen. Hurhögt den då befinner sig över vattenytan får jag reda på genom att beräkna h(1) =−4.8 · 12 + 9.6 · 1+ 38.2 = 43 meter. Det var inte högt.

KTH: Kan du se hur högt över havet själva startrampen ligger?

TB: Då t = 0, innan uppskjutningen, befinner sig raketen h(0) = 38.2 meter över havet.Så själva ”skuttet” är inte högre än knappa 5 meter!

KTH: Om du fick i uppgift att bestämma när raketen slår i vattnet, hur skulle du göra då?

TB: Nu frågas det faktiskt inte om det, men antagligen skulle jag lösa ekvationen h(t) = 0.

KTH: h(t) = 0 är en andragradsekvation och en sådan har ju som bekant två rötter.Betyder det att raketen landar två gånger?

TB: Nu går vi till nästa uppgift föreslår jag.

KTH: Jag vill bara berätta att rötterna är t1 = −1.99305 och t2 = 3.99305 och attfunktionen inte är definierad för t < 0. Detta förklarar min fråga.

TB: Vi kommer aldrig att bli klara om du ska hålla på och utvidga uppgifterna på dethär sättet.

Övning 10.11 En förening försöker beräkna intäkterna y kr från en kommandenyårsrevy. Tidigare erfarenheter visar att formeln

y = 1000x− 5x2

där x är biljettpriset, bör kunna användas. Vilket biljettpris ger maximal intäkt? �

10.1 Dagens Teori 9

Lösning:TB: Finns det sådana här funktioner i verkligheten? Funktioner med vars hjälp man kanbestämma vilken vinst man får för olika priser.

KTH: Jo man försöker nog bestämma sådana inom ekonomin, men de bygger förstås påpsykologi och blir därför ganska osäkra.

TB: Hur som helst har vi funktionen v(p) = 1000p − 5p2. Vinsten v, som funktion avpriset p. Jag är på jakt efter ett maximum. Jag vet sedan tidigare andragradspolynom meden negativ koefficient till x2 har just ett maximum. För vilket pris p som maximal vinstuppkommer, får jag genom att bestämma v ′(p) = 0

v(p) = 1000p− 5p2

v ′(p) = 1000− 10pv ′(p) = 0 då 1000− 10p = 0p = 100

Svaret är att den maximala vinsten får jag om biljettpriset sätts till 100 kr. Jag behöver inteberäkna v(100) som skulle ge mig den maximala vinsten. Tack för det.

Övning 10.12 Under en oktoberdag varierade temperaturen y◦C enligt ekvationen

y = 0.5t2 − 5t+ 10

där 0 ≤ t ≤ 6 är antalet timmar från midnatt. Vilken var den lägsta temperaturenunder dessa 12 timmar och när inträffade den? �

Lösning:TB: Det är förunderligt att det finns funktioner för en sådan här sak.

KTH: Egentligen så finns det ju inte det. Den här funktionen är på sin höjd en modellav verkligheten. Kanske tillräckligt bra för att kunna användas i någon situation.

TB: Funktionen T(t) = 0.5t2 − 5t + 10 har ett minimum, det vet jag säkert. Om dettaminimum ligger i intervallet 0 ≤ t ≤ 12 kan jag inte omedelbart säga. Om inte så är detvärdet vid något av intervallets ändpunkter som ger det sökta värdet.

T(t) = 0.5t2 − 5t+ 10T ′(t) = t− 5T ′(t) = 0 då t− 5 = 0t = 5

Minimat ligger i intervallet. 5 timmar efter midnatt, alltså kl 5 : 00 är temperaturen somlägst T(5) = −2.5◦C

28-x

x 2y m

10 Derivator och tillämpningar 1

Övning 10.13 I ett hörn där två murar möts avgränsas ett rektangulärt trädgårdslandmed hjälp av ett 28 m långt nät.

a) Arean är y m2. Bestäm y som funktion av x.b) Ange funktionens definitionsmängdc) Vilken är den största area som trädgårdslandet kan få?

�

Lösning:TB: Jag ritar inte om figuren som finns i boken. Det finns ingen funktion given den härgången, men allt är ganska väl tillrättalagt. Jag kan skriva A(x), x som funktion av areansom

A(x) = x(28− x)A(x) = 28x− x2

A ′(x) = 28− 2xA ′(x) = 0 då 28− 2x = 0x = 14

Det är inte speciellt överraskande att x = 14 m, det vill säga att båda sidorna av staket ärlika långa så att hagen blir en kvadrat. A(14) = 196 m2

420-3x

x

Övning 10.14 Med ett 420 m långt stängsel inhägnas två lika stora rektangulärahagar mot en mur.

a) Deras sammanlagda area är y m2. Bestäm y som funktion av x.b) Ange funktionens definitionsmängdc) Vilken är den största värde som hagarnas sammanlagda area kan ha?

�

Lösning:TB: Återigen en inhägnad, men nu vill man ha skilda hagar får (förlåt för) tackor ochbaggar! Figuren säger allt och jag får följande funktion

A(x) = x(420− 3x)A(x) = 420x− 3x2

A ′(x) = 420− 6xA ′(x) = 0 då 420− 6x = 0x = 70

Långsidan skrivs 420− 3x eftersom det behövs tre kortsidor, var och en med längden xm. Då x = 70 m får vi den maximala arean A(70) = 70(420 − 3 · 70) = 14700 m2. Varden här uppgiften svårare än den förra – eller?

KTH: Nej, men eftersom upprepning är pedagogikens moder så gör vi detta endast föratt det ”ska sitta”.

10.1 Dagens Teori 11

r

h

Övning 10.15 En vattenbehållare ska ha formen av en rät cirkulär cylinder medbasradien r och höjden h m. Radien och höjden ska tillsammans vara 12 m.

a) Behållarens volym är V m3. Bestäm V som funktion av r.b) Ange funktionens definitionsmängdc) Vilka dimensioner ska behållaren ha för att få maximal volym?

�

Lösning:TB: Konstigt villkor: Summan av höjden h och radien r ska vara r + h = 12. Men jagbryr mig inte. Men nu blir jag lite osäker. Vi ska beräkna volymen för en cylinder. Hurgjorde man det nu igen?

KTH: Här har du formelnVc = π · r2 · h

Den kan du hitta i formelsamlingen.

TB: Tack. Ja, här finns två storheter h och r!? Nu vet jag. Jag ska använda r + h = 12.Skriva om det som h = 12− r och substituera h med detta uttryck i den formel du gavmig. Lite småklurigt faktiskt. Är det rätt tänkt?

KTH: Javisst, bra

TB: Jag kommer nu in på samma spår som i tidigare uppgifter. Jag får

Vc(r) = π · r2(12− r)Vc(r) = 12πr

2 − πr3

V ′c(r) = 24πr− 3πr2

V ′c(r) = 0 då 24πr− 3πr2 = 0r1 = 0, r2 = 8

Funktionen kan bara fungera för 0 < r < 12. Här kommer två grafer. Först Vc(r) ochsedan V ′c(r). Vc(r) är ett polynom av tredje graden, som verkar ha ett maximum vid r = 8vilket stämmer med mina beräkningar.

12 Derivator och tillämpningar 1

2 4 6 8 10 12

200

400

600

800

Figur 10.5:

Det finns två extrempunkter i det aktuella intervallet, allt enligt teorin. Vi vet att V ′c(r) = 0,som är en andragradsekvation, ska ha (kan ha) två (reella) rötter. Den första är ettminimum då r = 0, som är ointressant här.

2 4 6 8 10 12

-200

-150

-100

-50

50

100

150

Figur 10.6:

TB: De efterlyser för vilka värden på r och h som burken har maximal volym undergällande villkor. Svaret är r = 8 som ger h = 4 och volymen Vc(8) (för den som har lustatt räkna ut den).

10.2 Gamla tentauppgifter

Övning 10.16 Bestäm det minsta och största värdet för funktionen y = x3 − 3x2 + 3i intervallet −1 ≤ x ≤ 4 �

Svar: Minsta värde: −1 , största värde: 19

Övning 10.17 Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y =√x, x ≥ 0, i den

punkt där x-koordinaten är 4. �

Svar: y = x4 + 1

Övning 10.18 Kurvan y = x2 − 2x + k tangerar räta linjen med ekvationen y = x

för ett visst värde på konstanten k. Bestäm detta värde. �

Svar: k = 94

10.2 Gamla tentauppgifter 13

Övning 10.19 Den totala begränsningarean av ett rätblock är 24 dm2 . En av rätbloc-kets sidokanter är dubbelt så lång som en annan kant. Beräkna rätblockets maximalavolym. Svara exakt �

Svar: 16√2

3 dm3