ECUACIONES PARAMTRICAS

CONTENIDO

1. De la elipse

2. De la circunferencia

3. De la parbola

4. De la hiprbola

5. Ejercicios

6. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramtricas

Hemos visto, que si un lugar geomtrico tiene una representacin analtica, la cual es una sola ecuacin que contiene dos variables. Ahora veremos la representacin analtica de una curva utilizando dos ecuaciones, que se llaman ecuaciones paramtricas de la curva.

Reciben este nombre aquellas ecuaciones en que las variables x y y, cada una separadamente, estn expresadas en funcin de la misma tercera variable. Segn esto, designando por la letra z la tercera variable, comnmente llamada variable paramtrica, estas ecuaciones se representan en la siguiente forma general:

x = F (z)y = F (z)

Es muy importante aclarar que cada dos ecuaciones paramtricas representan una sola curva perfectamente referida a un sistema de ejes cartesianos, como se puede ver en el siguiente ejemplo:

1. De la elipse

EJEMPLO. Un segmento de recta de

GEOMETRA ANALTICA10 cm de longitud se mueve apoyando sus extremos en los ejes de coordenadas. Determinar el lugar geomtrico descrito por un punto P(x, y) situado sobre el

10. ECUACIONES PARAMTRICAS10-10AUTOR: PROFESOR JESS INFANTE MURILLOEDICIN PARA INTERNET: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOSsegmento A B

a 4 cm delextremo que se apoyasobre el eje de las x, como se muestra en la figura adjunta:

SOLUCIN

Observando la figura anterior se tienen las funciones trigonomtricas:

x cos =6

yy sen =4

Por tanto despejando:

x = 6 cos y = 4 sen

Estas son las ecuaciones paramtricas del lugar geomtrico descrito, pero necesitamos transformarlas para que podamos identificar, e incluso, para que podamos darnos cuenta de que las dos ecuaciones paramtricas representan una sola curva.

Elevando al cuadrado las dos ecuaciones anteriores:

x 2= cos2 36 y 2

2= sen 16Sumando miembro a miembro:

2 2 x + y =

sen2

+ cos2 36 16

Pero se sabe que: sen2 + cos2 = 1

Sustituyendo tenemos:

2 2 x + y = 136 16

Por el resultado obtenido, vemos que el lugar geomtrico descrito por P es una elipse horizontal, con centro en el origen, cuyos semiejes miden 6 y 4.

Este problema nos hace ver que toda elipse como la que acabamos de ver con semiejes ay b, esta representada por las siguientes ecuaciones paramtricas:

x = a cos

......................................................................................................................... Iy = b sen ......................................................................................................................... I

Si la elipse es vertical con centro en el origen, sus ecuaciones paramtricas son:

x = b cos ......................................................................................................................... IIy = a sen ........................................................................................................................ II

2. De la circunferencia:

Para el caso de una circunferencia de radio a y parmetro , tambin con centro en el origen. Si P(x, y) es un punto cualquiera de la curva, las ecuaciones paramtricas de acuerdo a la figura adjunta son:

Considerando a P un punto cualquiera de la curva y a como el radio de la circunferencia.

De la figura se tiene:

y sen =a

x cos =a

Despejando tendremos las ecuaciones paramtricas:

y = a sen x = a cos

....................................................................................................................... III...................................................................................................................... III

En este caso observamos que el coeficiente a es el mismo, puesto que representa el radiode la circunferencia.

3. De la parbola

Se sabe que para este tipo de curva la ecuacin es:

y2 2px

(1)

La cual es la ecuacin de una parbola horizontal con vrtice en el origen. es el ngulo de inclinacin de la tangente a la parbola en el punto P, como se muestra en la figura adjunta.

Tambin se sabe que el valor de la pendiente m de una recta tangente a una parbola, si se conoce el punto de tangencia, es:

y tan = m =2x

.................................................................................................................(2)

Por lo que de la ecuacin (1), despejando a 2x:

y2 2x =p

.............................................................................................................................(3)

Sustituyendo (3) en (2), se tiene:

y tan =y2p

py p= =y2 y

Es decir que:

p tan =y

Por lo tanto la funcin trigonomtrica:

y cot =p

Despejando a y:

y = p cot

........................................................................................................................IV

Segn la ecuacin (3) tendremos:

2 2x = p cot 2p

De donde:

x = p cot2 2

.....................................................................................................................IV

Que son las ecuaciones paramtricas de la parbola horizontal con vrtice en el origen.

De la misma manera, partiendo de la ecuacin de la parbola vertical con vrtice en elorigen, las ecuaciones paramtricas correspondientes son:

x = p tan p

..........................................................................................................................Vy = tan2 2

......................................................................................................................V

4. De la hiprbola

Trazamos dos circunferencias concntricas con centro comn en el origen, de radio

0 A = a , y de radio 0 D = b y consideramos un punto P(x, y) cualquiera, segn la figura siguiente:

En el tringulo rectngulo 0AB la funcin trigonomtrica:

OB x sec = =OA a

Despejando:

x = a sec VI

De la misma forma, en el tringulo rectngulo 0CD, tenemos la funcin:

CD y tang = =OD b

Despejando:

y = b tan ........................................................................................................................VIQue son las ecuaciones paramtricas de la hiprbola horizontal con centro en el origen. Para obtener la ecuacin rectangular de una curva a partir de las ecuaciones paramtricas,se obtiene normalmente eliminando el parmetro, mediante procedimientos y conocimientos vistos en lgebra y en la geometra y trigonometra como veremos a continuacin.

5. Ejercicios.

1. Obtener la ecuacin rectangular de la curva cuyas ecuaciones paramtricas son:

x = 8 t + 3 ..........................................................................................................................(1)y = 4 t + 2 ..........................................................................................................................(2)

SOLUCION

Despejando el parmetro t, tenemos: De (1):

x - 3 t =8

............................................................................................................................(3)

De (2):

y - 2 t =4

............................................................................................................................(4)

Igualando (3) y (4):

x - 3=8

y - 24

Quitando denominadores:

4(x 3) 8(y 2)

Haciendo operaciones

4x 12 8y 164x 8y 4 0 x 2y 1 0

La ecuacin representa a una lnea recta, en su forma general.

2. Obtener la ecuacin rectangular de la curva dada por las ecuaciones:

x2 = 3 cos2 y2 = 3 sen2

....................................................................................................................(1)

....................................................................................................................(2)

SOLUCION

De (1) despejando:

2cos2 = x .......................................................................................................................(3)3

De (2) despejando:

2sen2 = y 3

......................................................................................................................(4)

Sumando (3) y (4) miembro a miembro:

2 2sen2 + cos2 = x + y 3 3

Pero como: sen 2 cos 2 1 . Por tanto:

2 2x + y = 13 3

Simplificando quitando denominadores:

x 2 y2 3

Que representa a una circunferencia.

3. Encontrar las ecuaciones paramtricas de la curva dada por la ecuacin:x2 - y - 2x - 3 = 0, con : x = t + 1

SOLUCIN

Despejando y de la ecuacin dada tenemos:

y = x2 - 2x - 3

Sustituyendo el valor de x = t + 1 queda:

y = (t + 1 )2 - 2 (t + 1) - 3 y = t2 + 2t + 1 - 2t - 2 - 3 y = t2 - 4

Como se indico que: x = t + 1

Las ecuaciones paramtricas son:

x = t + 1 y = t2 - 4

4. Una circunferencia de radio a rueda sobre una recta sin deslizarse. Determinar latrayectoria de un punto dado de la circunferencia.

SOLUCION

Supongamos que en un cierto instante el punto dado M es el punto de contacto de la circunferencia con la recta en cuestin. Tomemos este punto como origen del sistema de coordenadas y la recta dada como eje Ox. Lo que expresamos por medio de la figura adjunta:

Supongamos ahora que M es un punto cualquiera de la trayectoria buscada y x, y sus coordenadas.

Llamemos t al ngulo MCB. Tendremos entonces que:

OK = OA - KA

..................................................................................................................(1)

Y como:

OK = x

; OA = at

; KA = MB = a sen t

Por lo tanto sustituyendo en (1).

x = at - a sen tx = a (t sen t ) ................................................................................................................(2)

De la misma forma como:

KM = AB = AC - BC ...........................................................................................................(3)

Pero:

KM = y ;

AC = a

; BC = a cos t

Sustituyendo en (3) nos queda:

y = a - a cos ty = a (1 cos t).................................................................................................................(4)

Las ecuaciones paramtricas de la trayectoria buscada, que se denominan cicloide son (2)y (4).

6. Trazado de una curva dadas sus ecuaciones paramtricas.

En forma directa se le asignan valores ordenados al parmetro con lo cual las ecuaciones paramtricas determinan los valores correspondientes a x, y, que representan las coordenadas de un punto de la curva. Uniendo los puntos as determinados resulta una curva, que es la representacin grfica de las ecuaciones paramtricas. As tenemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1. Trazar la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x = 6 cos y

y = 4 sen

SOLUCION

Asignamos diferentes valores al parmetro , en este caso

La siguiente tabla de tabulacin muestra los valores de x y y en funcin de , los cuales los representamos en un sistema de ejes cartesianos.

xy0060300=/63 32600=/332 3900=/2041200=2/3-32 21500=5/6- 3 321800=-602700=3/20-43600=210La figura siguiente presenta la grfica de los valores calculados. La grfica representa una elipse.

Ejemplo 2. Trazar la curva representada por las ecuaciones paramtricas:

2 2x = 4 cos ,

2 2y = 4 sen

SOLUCION

Procediendo de acuerdo a lo indicado.

La siguiente tabla de tabulacin presenta los valores de x y y en funcin de

xy0 20/20 2/3 1 3/4 2 2La siguiente figura muestra los resultados obtenidos. La grfica representa una circunferencia.

Ejemplo 3.- Dibujar la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x = 2 t

2y y =t

SOLUCIN

Sustituyendo cada uno de los valores asignados al parmetro t en las ecuaciones dadas determinamos las correspondientes a x, y como se presentan en la tabla de tabulacin siguiente.

txy1 =41 =2 = 81 =2 = 1 = 4 = 1 = 2 = 2 = 2 = 4 = 1 = 3 = 62 =3 = 4 = 81 =2Llevando los valores de x, y al sistema de ejes cartesianos y uniendo los diferentes puntos tenemos la siguiente figura. La curva es una hiprbola equiltera.

1Ejemplo 4. Representar la curva cuyas ecuaciones paramtricas son: x = t22

1; y = t34

SOLUCION

Sustituyendo los valores asignados a t en las ecuaciones paramtricas dadas, obtendremos las correspondientes a x, y.

La siguiente tabla representa los valores de x, y.

t-3-2-10123x4.520.500.524.5y-6.74-2-0.250-0.2526.75Representando los valores de x, y en un sistema de ejes cartesianos y uniendo los diferentes puntos, trazamos la grfica. La curva es una parbola semi-cbica.

Nombre de archivo: ecuaciones parametricasDirectorio: C:\Geometria_analiticaPlantilla: C:\WINDOWS\Application Data\Microsoft\Plantillas\Normal.dotTtulo: ECUACIONES PARAMTRICAS Asunto:Autor: Pablo Fuentes RamosPalabras clave: Comentarios:Fecha de creacin: 09/04/02 12:02 P.M. Cambio nmero: 32Guardado el: 05/06/02 04:54 P.M. Guardado por: Pablo Fuentes Ramos Tiempo de edicin: 1,103 minutos Impreso el: 05/06/02 05:43 P.M. ltima impresin completaNmero de pginas: 10Nmero de palabras: 1,500 (aprox.) Nmero de caracteres: 8,554 (aprox.)