10. 分布定数回路の線路定数10. Line Constant of the Distributed Constant

講義内容

1. 特性インピーダンスの復習2. 平行導線線路の線路定数3. 同軸線路の線路定数

特性インピーダンス 2

伝送線路上での電圧 V と電流 I の関係は？

位置 x が依存するので複雑

⇒ 半無限長線路 を考える

反射波なし の特殊線路

半無限長線路 上の電圧と電流の比

+

+=

+

+−

+

+=

=+=

−−

−−

xxx

xxx

eVLjR

CjGeV

LjR

CjGeV

LjR

CjGI

eVeVeVV

021

021

000 jXRZCjG

LjR

I

V+=

+

+=

伝搬線路の 特性インピーダンス という

（伝搬定数とともに 線路固有の量 ）

反射波が無いので，送端 条件より，

02 =V

01

0

1 VVeVV ===

I

V

0 xx

0V

特性インピーダンス 3

特性インピーダンスの実部と虚部

000 jXRCjG

LjRZ +

+

+=

+

+−

+

+=

+

++

+

+=

222

2

222

222

0

222

2

222

222

0

2

1

2

1

CG

LCRG

CG

LRX

CG

LCRG

CG

LRR

諸条件下での特性インピーダンス

無ひずみの場合

極低損失の場合

0, 00 === XC

L

G

RR

0, 00 XC

L

G

RR

無ひずみ や 極低損失 の場合の特性インピーダンス は 純抵抗 とみなせる

C

G

L

R

のとき 正 ・・・ 誘導 性

C

G

L

R

のとき 負 ・・・ 容量 性

例題１－１ 4

伝送線路の直列インピーダンス Z と並列アドミタンス Y が次の値を持つ時，特性インピーダンス Z0，減衰定数 α 及び位相定数 β を求めよ

=+=+= − 25.81474.0072.0

468.0tan468.0072.0]Ω/km[468.0072.0 122jZ

極座標 表示

以上より，特性インピーダンスZ0は

][2753590

)38.4sin38.4(cos106.3

38.4106.390103637.0

25.81474.0

3

3

70

−=

−=

−=

==

−

j

jY

ZZ

7 70.3637 10 [S/km] 0.3637 10 90Y j − −= =

例題１－２ 5

また，伝搬定数 γ は，

7 4

4

6 4

0.474 81.25 0.3637 10 90 1.31 10 85.63

1.31 10 (cos85.63 sin85.63 )

9.98 10 1.306 10

γ ZY

j

j

α jβ

− −

−

− −

= = =

= +

= +

= +

したがって，減衰定数 α と位相定数 β は[rad/km]10306.1

[Neper/km]1098.9

4

6

−

−

=

=

平行導線線路の線路定数L,C 6

円形断面で同じ太さの導線が一般的

線路定数 ⇒ 電磁現象 で定まる

往復線の単位長あたりのインダクタンスL，キャパシタンスC（電磁気学から）

1

22

2

4ln +

−+=

r

rDDL ]F/m[

2

4ln

22

r

rDDC

−+=

ε：導線周囲の誘電率μ1：導線の透磁率μ：線路周囲の透磁率

δ：電流が流れる表皮の厚さ

2r

D

磁界

電界

Lの近似表現 7

インダクタンス L

2 2

14ln [H/m]

2

μμ D D rL δ

π r π

+ −= + 　

)(]H/m[ln0 Drr

DL

L の 近似 表現

線路周囲は通常空気 ⇒ μ = μ0

高周波 では電流はほとんど表面のみを流れる（表皮効果）⇒ δ ≈ 0

平行導線は一般に r << D

第2項は無視

電流が流れる表皮

2r

D

δ

Cの近似表現 8

キャパシタンス C

]F/m[

2

4ln

22

r

rDDC

−+=

]F/m[

ln

0

r

DC

=

C の 近似 表現

導線周囲は通常空気 ⇒ ε = ε0

平行導線は一般に r << D

2r

D

特性インピーダンス・伝搬速度 9

特性インピーダンス の計算（ 極低損失 もしくは 無ひずみ の場合）

r

D

r

Dr

D

C

LRZ ln

1

ln

ln0

00000

===

ここで， 　])[377(0

00 =

z とおいて ][ln0

00 ==r

DzRZ

伝搬速度 の計算（ 極低損失 もしくは 無ひずみ の場合）

]m/s[10998.211 8

0

00

=== cLC

c

伝搬速度は光速 に等しい

線路周囲が比誘電率 εr の物質 ⇒ 伝搬速度は 倍r

1

ε

例題２ 10

導線の断面半径rは線間隔Dに対して十分小さいので，

][5741.0

12ln

377ln0

00 ==== r

DzRZ

直径2[mm]の円形断面の導線で，空中に平行導線の伝送線路を作る．導線の中心線間隔を12[cm]にしたとき，この伝送線路の特性インピーダンスの近似値はいくらになるか。

2r

D

同軸線路の線路定数L，C 11

絶縁物

円筒導体の軸に円形断面の導体を入れたもの

内外導体間には絶縁物（誘電体）が挿入

単位長あたりのL，C 特性インピーダンス

]H/m[ln2 1

20

r

rL

=

r 0

2

1

2[F/m]

ln

πε εC

r

r

=

0 02 20 0

r 0 1 1r

1ln ln [ ]

2 2

μ zr rZ R Ω

π ε ε r rπ ε= =

伝搬速度0

0 0 r r

1 1[m/s]

cc

LC μ ε ε ε= =

2r1

2r2

内導体 外導体

例題３ 12

高周波用同軸伝送線路を作りたい．内導体の直径を6[mm]，内外導体間を満たす絶縁物の比誘電率を2.25とすると，特性インピーダンスを50[Ω]にするには，外導体の内径（直径）はいくらにすればよいか．また，この同軸線路で周波数60[MHz]の高周波電力を伝送すると，線路上の伝搬速度及び波長はいくらか．

特性インピーダンスを表す式 ][ln2 1

2

r

000 =

r

rzRZ

から，

外導体の内径d2はr 0

2 2 1

0

2 2 2.25 502 2 exp 6exp 20.94[mm]

377

π ε Z πd r r

z

= = = =

伝搬速度cは

]m/s[10999.125.2

10998.2 88

r

0 =

==

cc

波長λは

]m[331.31060

10999.16

8

=

==

f

c