10-integrasi(kuadraturgauss_contohkasus)

Integrasi 1

Integrasi 2

• Metode Integral Kuadratur Gauss 2 Titik• Metode Integral Kuadratur Gauss 3 Titik• Contoh Kasus Permasalahan Integrasi

Integrasi 2

Metode Integrasi Gauss

• Metode integrasi Gauss merupakan metode yang tidak menggunakanpembagian area yang banyak, tetapi memanfaatkan titik berat danpembobot integrasi.

• Metode ini secara komputasi memiliki banyak keuntungan karenamempunyai kecepatan yang tinggi. Ini ditunjukkan dengan jumlahpembaginya yang kecil dan dengan jumlah pembagi yang relatifkecil mempunyai kesalahan yang sama dengan metode lain denganjumlah pembagi yang besar.

Integrasi 3

Langkah-Langkah Metode Integrasi Gauss :

1. Merubah range x=[xi-1,xi]=[a,b] menjadi u=[-1,1]2. Merubah f(x) menjadi g(u) 3. Merubah dx menjadi du4. Merubah bentuk integral

( ) )(21

21 abuabx ++−=

( ))()()( 21

21 abuabfug ++−=

( )duabdx −=21

∫=a

i dxxfL )( ∫−

=1

)( duugLi

b 1

Integrasi 4

Metode Integrasi Gauss

Dapat diambil sejumlah titik pendekatan yang digunakan sebagai titikacuan dalam integrasi kuadratur gauss sebagai berikut :

∫ ∑− =

=1

1 1)()(

n

iii gAduug μ

untuk menentukan nilai μi dapat digunakan persamaan polinomLegendre:

( )[ ])()1()(121)(

)(1)(

21

1

0

uPmuuPmm

uP

uuPuP

mmm −− −−−=

==

untuk menentukan nilai Ai digunakan pembobot sebagai berikut:

[ ]2'2 )()1(

2

ini

iP

Aμμ−

=

Integrasi 5

Integrasi Kuadratur Gauss denganPendekatan 2 Titik

Formulasi Integrasi Kuadratur Gauss Pendekatan 2 titik :

)()()( 1100

1

1μμ gAgAduug +=∫

−

Untuk menghasilkan metode ini diambil n=2 pada persamaan polinomLegendre, sehingga diperoleh:

( )[ ]21

231.1.14

21)(

2

2 −=−−=uuuuP

Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah :dan

31

0 −=μ3

11 =μ

Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan: dan13.

311

20 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=A 13.

311

21 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=A

Sehingga model dari integrasi kuadratur gauss dengan pendekatan2 titik dapat dituliskan dengan:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫

− 31

31)(

1

1ggduug



)()()( 1100

1

1μμ gAgAduug +=∫

−

Untuk menghasilkan metode ini diambil n=2 pada persamaan polinomLegendre, sehingga diperoleh:

( )[ ]21

231.1.14

21)(

2

2 −=−−=uuuuP

Akar-akar dari persamaan polinomial di atas adalah :dan

31

0 −=μ3

11 =μ

Nilai A0 dan A1 dapat dicari dengan: dan13.

311

20 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=A 13.

311

21 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=A


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=∫

− 31

31)(

1

1ggduug

Integrasi 6

Contoh Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 Titik

Hitung integral : ∫=1

0

2dxxL

Menghitung x menjadi fungsi u :( )

( ) ( )

( )121

012101

21

)(21

21

+=

++−=

++−=

ux

ux

abuabx

Sehingga diperoleh fungsi g(u) : ( )

( )2

2

2

181)(

)1(21

21)(

)1(2101

21)(

+=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=

uug

uug

uug

Model integrasi kuadratur gauss pendekatan 2 titik diperoleh :

33333.0022329.0311004.0

13

1811

31

81

31

31

22

=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ggL

Integrasi 7

Algoritma Integrasi KuadraturGauss dengan Pendekatan 2 Titik

1. Definisikan fungsi f(x)2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)3. Hitung nilai konversi variabel :

4. Tentukan fungsi g(u) dengan:

5. Hitung:

( ) )(21

21 abuabx ++−=

( ))()()(21)( 2

121 abuabfabug ++−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

31

31 ggL

Integrasi 8



( )221100

1

1

)()()( μμμ gAgAgAduug ++=∫−

Untuk menghasilkan metode ini diambil n=3 pada persamaan polinomLegendre, sehingga diperoleh:Akar-akar dari persamaanpolinomial di atas adalah :


Nilai A0, A1 dan A2 dapat dicari dengan:

[ ]

( )3521

29

215

31

2)13(25

312)13(

21.5

31

)(2)(..531)(

23

22

123

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=

−=

uuuu

uuuuuu

uPuPuuP

00 =μ53

1 −=μ 53

2 =μ

23

215)( 2'

3 −= uuP

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=∫

− 53

95

53

950

98)(

1

1gggduug

[ ] 98

232

)0().1(

222'

3

0 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

==P

A

( )[ ] ( ) 95

1810

352

2

531

222

53'

3

12 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=P

A

Integrasi 9

Contoh Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 3 Titik

Hitung integral :

Menghitung x menjadi fungsi u :( )

( ) ( )

( )121

012101

21

)(21

21

+=

++−=

++−=

ux

ux

abuabx

Sehingga diperoleh fungsi g(u) : ( )( )

( )

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

121

121

21)(

0121)(

u

u

eug

eug

Model integrasi kuadratur gauss pendekatan 3 titik diperoleh :

∫=1

0dxeL x

( ) ( )

718281.16746.0310916.0732765.0

85

85)0(

98

53

53

=++=

+−+= gggL

Integrasi 10

Algoritma Integrasi KuadraturGauss dengan Pendekatan 3 Titik

1. Definisikan fungsi f(x)2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b)3. Hitung nilai konversi variabel :

4. Tentukan fungsi g(u) dengan:

5. Hitung:

( ) )(21

21 abuabx ++−=

( ))()()(21)( 2

121 abuabfabug ++−−=

( ) ⎟⎠

⎜⎝

+⎟⎠

⎜⎝−+=

59590

9gggL ⎟

⎞⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ 35358

Meskipun dalam beberapa hal integrasi kuadratur Gauss menunjukkanhasil yang lebih baik dari pada metode integrasi Simpson, tetapi dalampenerapannya metode integrasi Simpson lebih banyak digunakandengan dasar pertimbangan kemudahan dari metode yang digunakan.

Integrasi 11

Contoh Kasus PenerapanIntegrasi Numerik

Integral banyak digunakan untuk menghitung luas suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi-fungsi tertentu, menghitung luas kulit, danmenghitung volume dari benda putar. Pada pengolahan sinyal digital, integral ini ditemui untuk menghitungkonvolusi yang banyak digunakan dalam konsep-konsep pengolahansinyal dan filter.

Contoh Kasus Permasalahan Integral yang dibahas :1. Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar2. Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Integrasi 12

1. Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar

Perhatikan gambar peta berikut :

Skala 1:1000000 105

6

3

15

9

Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukanadalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera berartipanjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanangrid ke n (dalam hal ini n=16).

Integrasi 13

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

y(n) 0 1 2.5 4.5 6 7 6.5 6 6 6.5 6.5 6 5.5 3.5 3 3 0

(1) Dengan menggunakan metode integrasi Reimann

(2) Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida

5.7322

15

1160 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑

=iiyyyhL

(3) Dengan menggunakan metode integrasi Simpson

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++= ∑∑

== genapii

ganjilii yyyyhL 24

3 160 =74

== ∑=

16

0iiyhL 73.5

Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut:

Integrasi 14

2. Menghitung Luas dan Volume Benda Putar

Untuk menghitung luas dan volume benda putar yang dibentuk olehfungsi y=f(x) dapat digunakan rumus berikut:

∫=b

ap dxxfL )(2π

[ ]∫=b

ap dxxfV 2)(π

Luas Benda Putar :

Volume Benda Putar :

Integrasi 15

Contoh : Hitung luas dan volume benda putar gambar di bawah

Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagianseperti gambar , dimana bagian I dan III merupakanbentuk silinder yang tidak perlu dihitung denganmembagi-bagi kembali ruangnya, sedangkan bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali.

4 cm

6 cm 7 cm12 cm

7 cm

5 cm

I II III IV

Bagian I: ππ 56)7)(4(2 ==IL

ππ 196)7)(4( 2 ==IV

Bagian III: ( ) ππ 288)12(122 ==IIIL

( )( ) ππ 345612122 2 ==IIIV

Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh:

Integrasi 16

n 0 1 2 3 4 5

y(n) 7 10 11 11.5 12 12

Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh:

ππ 10822

24

150 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++== ∑

=iiIVII yyyhLL

ππ 5.118722

4

1

225

20 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++== ∑

=iiIVII yyyhVV

Luas permukaan dari botol adalah:

4.1758560

10828810856

==

+++=+++=

πππππ

IVIIIIII LLLLL

Luas = 1758.4 cm2

Volume botol adalah:

πππππ

60245.118734565.1187196

=+++=

+++= IVIIIIII VVVVV

Volume = 18924.78 cm3

Integrasi 17

Latihan Soal

1. Hitung integral : dengan menggunakanIntegral Reimann, Trapezoida dan Simpson. Bandingkan hasilnya dengan jumlah pembagi yang sama. Ambil N=10, 50, 100.

2. Hitung Luas permukaan dan volume benda putar sebuah ban yang mempunyai jari-jari dalam 20 cm dan jari-jari luar 35 cm.

3. Ambil peta wilayah Surabaya. Dengan tetap memperhatikan skalayang digunakan, hitung luas wilayah Surabaya berdasarkan petatersebut.

∫π

0

)sin( dxx

x

10-integrasi(kuadraturgauss_contohkasus)

Documents