1

Mehanika deformabilnih tijela

8. dio

2

Tehni�ka mehanika=

Mehanika apsolutno krutih tijela (statika)

+

Mehanika deformabilnih tijela

3

Mehanika deformabilnih tijela

Otpornost materijala

Nauka o �vrsto�i

4

Sadržaj

1. Uvod

2. Geometrijske karakteristike

popre�nih presjeka nosa�a

3. Temelji i potporni zidovi

4. Analiza naprezanja

5. Analiza deformacije

5

6. ����usobna ovisnost naprezanja i deformacija

7. Veze izme�u komponenata unutarnjih sila i komponenata tenzora naprezanja

8. Eksperimentalna metode analize naprezanja i deformacija

6

7. Osnovni na�ini optere�enja štapa

8. Rastezanje štapa N>0 (vlak)

9. Izvijanje štapa N<0 (tlak)

10. Uvijanje štapa Mt

11. �isto savijanje štapa My

12. Savijanje štapa s popre�nim silama

My i Tz

7

Podjela mehanike

8

Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici

9

Odre�ivanje stanja naprezanja i deformacija:

a) Analiti�kim metodamab) Numeri�kim metodamac) Eksperimentalnim

metodama

10

a) Analiti�ka metoda:

Provjera rezultata prora�una:b) Numeri�kim metodamac) Eksperimentom

U praksi zadovoljavaju�a odstupanja do 5%)

11

12

Teorijski ili matemati�ki pristup�odre�ivanju naprezanja i deformacija u tijelima proizvoljnog oblika vrlo je složen, u op�em slu�aju zahtijeva uporabu složenog matemati�kog aparata i mukotrpno se dolazi do egzaktnih rješenja.

13

U svakodnevnoj praksi za rješavanje problema koristimo se inženjerskim pristupom.

Uvode se pretpostavke:- o svojstvima materijala.

- o deformiranju tijela, i- o raspodjeli naprezanja po

presjeku tijela.

14

Statika - pretpostavke:1. Kontinuum2. Apsolutno kruto tijelo

Otpornost materijala – pretpostavke: 1. Kontinuum2. Deformabilno �vrsto tijelo

15

KontinumKod kontinuuma je materija tijela jednoliko ineprekinuto raspodijeljena po �itavom obujmu tijela.(Prirodno �vrsto tijelo je diskretni sustav materijalnih

to�aka, t.j. sastavljeno je od malih �estica – molekula.)

Deformabilno tijelo

je �vrsto tijelo koje se pod djelovanjem siladeformira, mijenja svoj oblik i obujam.

16

Pretpostavke:

1. Pretpostavka o svojstvima materijala

2. Pretpostavka o deformiranju

3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja popresjeku tijela

17

1. Pretpostavka - o svojstvima materijala

Razmatraju se �vrsta tijela idealiziranihsvojstava:

• (Kontinuum)• Homogen• Izotropan• Idealno elasti�an

18

Homogen

Svojstva materijala su u svim to�kama jednaka.

na primjer: gusto�a ρ (kg/m3)

homogen - �elik

19

Izotropan

Elasti�na, mehani�ka, toplinska i drugafizi�ko-mehani�ka svojstva materijala su u svim smjerovima. na primjer: modul elasti�nosti E (N/m2).izotropan: �elik

E = Ex = Ey = Ez

E = 21.000 kN/cm2

20

Idealno elasti�an materijal

Tijelo od idealno elasti�nog materijala se

nakon rastere�enja vra�a u prvobitno

stanje poprima prvobitni oblik i obujam.

na primjer – �elik – napregnut do granice

elasti�nosti

21

Homogen – �elikHeterogen – beton (smjesa agregata i

cementne paste)Izotropan – �elik E = 21.000 kN/cm2

Anizotropno: drvo – (ortotropno)E|| = 1.000 kN/cm2 i E�= 30 kN/cm2

Elasti�no tijelo – �elikPlasti�no tijelo Viskoelasti�no tijelo

22

Plasti�no tijelo

U plasti�nom tijelima nakon rastere�enja

deformacije tijela ne iš�eznu potpuno, ve�

zaostaju tzv. trajne ili plasti�ne deformacije.

na primjer: nisko-uglji�ni (meki) gra�evinski �elik poslije granice elasti�nosti

23

Viskoelasti�no tijelo

Viskoelasti�ni materijali imaju svojstva elasti�nih tijela i viskoznih teku�ina.

Viskoelasti�na tijela karakteriziraju pojave:1. puzanja (beton) i2. relaksacije (polimeri)

24

Puzanje je pojava porasta deformacija tijekom vremena pri konstantnom naprezanju (na pr. beton).

Relaksacije je pojava opadanja naprezanja kod konstantne deformacije tijekom vremena. (na pr. polimerni materijali, asfalt, metali pri povišenim temperaturama)

25

2. Pretpostavka - o deformiranju:

1. deformacije tijela su male u odnosu na dimenzije tijela

2. usvajamo na�elo po�etnih dimenzija3. vrijedi linearna proporcionalnost izme�u

optere�enja i pomaka-elasti�no podru�je4. vrijedi zakon superpozicije - elasti�no

podru�je

26

1. deformacije tijela su male u odnosu na dimenzije tijela

2. usvajamo na�elo po�etnih dimenzija a, l

Progib w << a, l, b, h

Popre�ni presjek:

27

3. vrijedi linearna

proporcionalnost

izme�u optere�enja i

pomaka - elasti�no

podru�je

28

4. Zakon superpozicije: progib wk= wk1+ wk2

29

3. Pretpostavka – o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela

Postoji jednozna�na ovisnost izme�u naprezanja i deformacijaHookeov zakon:

- za normalno naprezanje:

- za posmi�no naprezanje: γτ ⋅= G

εσ ⋅= E

30

Pretpostavke - ponavljanje

1. Pretpostavka o svojstvima materijala: kontinuum, homogen, izotropan i idealno elasti�an

2. Pretpostavka o deformiranju: slu�aj malih deformacija, na�elo po�etnih dimenzija i zakon superpozicije

3. Pretpostavka o raspodjeli naprezanja po presjeku tijela: Hookeov zakon

31

1. Gusto�a ρ [kg/m3]

2. Modul elasti�nosti E [kN/m2]

3. Poissonov koeficijent ν [-]

4. Modul posmika G [kN/m2]

5. Obujamski modul elasti�nosti K [kN/m2](bulk modul, modul kompresije)

6. Koeficijent linearnog toplinskog

rastezanja αt [ / 0C]

Fizikalno-mehani�ke karakteristike materijala:

32

Otpornost materijala

Prou�ava:

• 1. �vrsto�u, • 2. krutost i • 3. elasti�nu stabilnost

konstrukcija i dijelova konstrukcija.

33

�vrsto�a

• �vrsto�a konstrukcije je sposobnost

elemenata konstrukcije prijenosa

optere�enja bez pojave loma, bez

trajnih plasti�nih deformacija ili

ošte�enja (pukotine).

34

�vrsto�a

• Uvjet �vrsto�e za:

Normalno naprezanje σ < σdop

Posmi�no naprezanje τ < τdop

35

�vrsto�a

Najve�a naprezanja u elementima konstrukcije ne smiju biti ve�a od neke normativne vrijednosti - dopuštenog naprezanja ���� ������������������ ��se odre�uju normiranim ispitivanjima na ispitnim uzorcima (epruvetama) od tog materijala. Ispitivanja se obavljaju u ovlaštenom laboratoriju.

36

Krutost

• Krutost konstrukcije je otpornost konstrukcije

prema deformiranju (t.j. promjeni oblika i

dimenzija pod optere�enjem).

Uvjet krutosti:

• Progib nosa�a kod savijanja

• Kut uvijanja

dopww ≤

dopϑ≤ϑ

37

Krutost

• Pri zadanom optere�enju deformacije ne smiju biti ve�e od dopuštenih, jer bi moglo do�i u pitanje iskorištavanje elementa ili �itave konstrukcije u primjeni

dopk ww ≤

38

Elasti�na stabilnost

Elasti�na stabilnost konstrukcije je

sposobnost konstrukcije da kod

optere�ivanja zadrži po�etni

ravnotežni oblik

Izvijanje ravnog štapa

39

Elasti�na stabilnost

• Gubitak elasti�ne stabilnosti ravnog štapa zovemo izvijanje.

• Dugi i vitki štapovi podvrgnuti velikom osnom optere�enju na sabijanje mogu izgubiti svoj prvobitni pravocrtni oblik.

• Eksperimentalna i teorijska ispitivanja pokazuju da pojava nestabilnog ravnotežnog oblika elementa ili konstrukcije neizbježno vodi do potpunog uništenja (kolapsa) konstrukcije.

40

Tenzori 2. reda

• Tenzor naprezanja • Tenzor deformacija

���

�

�

���

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

σσσσσσσσσ

�

�

�

���

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εεεεεεεεε

ε

41

Naprezanja

1. Normalno naprezanje σ2. Posmi�no naprezanje τ

presjeka popre�nog tikakarakteris kageometrijspresjeku popre�nom u sila unutarnja

naprezanje =

42

Tenzori 2. reda

• Tenzor naprezanja • Tenzor deformacija

���

�

�

���

�

�

στττστττσ

=σ

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

������

�

�

������

�

�

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

ij

εγγ

γεγ

γγε

ε

21

21

21

21

21

21

43

Tenzornaprezanja

{ j,iσ i – normala ravnine presjeka na kojem djeluje komponenta naprezanja

j – koordinatna os s kojom je komponenta naprezanja paralelna

44

Sustav mjernih jedinica SI

Papaskalnaprezanje, tlak

Nnjutnsila, težina

ssekundavrijeme

kgkilogrammasa

mmetarduljina

������������Naziv jediniceNaziv veli�ine

45

Jedinica za naprezanje:

2

2

kN/cm 1PaM 10

N/mm 1PaM 1

=

=Ve�a jedinica je megaPaskal

2N/m 1Pa 1 =

46

Normalno naprezanje σ

• Normalno naprezanje σ uzrokuju promjenu obujma t.j. utje�e na promjenu duljina:

l1 =

l l1

47

Posmi�no naprezanje τ• Posmi�no naprezanje τ utje�u samo na

promjenu oblika tijela.

48

Duljinska deformacija εεεε• Duljiska deformacija εεεε je relativna

promjena neke duljine tijela koje se deformira

ll∆=ε

l1 =

49

Kutna deformacija tijela γKutna deformacija γγγγ je promjena pravogkuta (π/2) tijela koje se deformira(promjena oblika).

50

Kutna deformacija tijela γ• Kutna deformacija γγγγ javlja se kod uvijanja

štapa kao zakreti presjeka štapa uslijed djelovanja momenta uvijanja Mt

51

Povijest - otpornosti materijala

• Leonardo da Vinci• Galileo Galilei• Robert Hooke• Jakob Bernoulli• L. Euler• C. A. Coulomb• T. Young• L. Navier• A. L. Cauchy i drugi.

52

1. Leonardo da Vinci - eksperimentalna istraživanja proste grede i konzole

2. Galileo Galilei – mehanika deformabilnih tijela

3. Robert Hooke - mehanika elasti�nih tijela

4. Jakob Bernoulli - hipoteza ravnih presjeka

5. L. Euler - stabilnost pritisnutih štapova

6. C. A. Coulomb - uvijanje okruglog štapa

7. T. Young - posmi�no naprezanje, modul E

8. L. Navier - op�e jednadžbe ravnoteže

9. A. L. Cauchy - zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja

53

• Leonardo da Vinci (1452-1519) bavio se prou�avanjem �vrsto�e tehni�kih konstrukcija, eksperimentalnim istraživanjima proste grede i konzole.

• Galileo Galilei (1564-1642) prvi je primjetio da mehanika krutih tijela nije dovoljna za rješavanje mnogih problema sigurnosti konstrukcija te da se moraju uzeti u obzir fizikalna svojstva materijala. Njegova publikacija "Discorsi e Dimostrazionimatematiche intorio a due nuove scienze" prva je na podru�ju znanosti o otpornosti materijala i ozna�ava po�etak povijesnog razdoblja mehanike deformabilnih tijela.

54

• Robert Hooke (1635-1703) prou�ava elasti�na svojstva materijala. Eksperimentalnim ispitivanjima na oprugama, žicama i drvenim konzolama pronalazi Zakon o linearnoj ovisnosti optere�enja i deformacija pri rastezanju, na kojoj je kasnije izgra�ena mehanika elasti�nih tijela.

• Jakob Bernoulli (1654-1705) prou�avao je oblik savijene grede i postavio jednu od važnijih hipoteza u znanosti o otpornosti materijala - hipotezu ravnih presjeka.

55

• L. Euler (1700-1783) istraživao jestabilnost pritisnutih štapova.

• C. A. Coulomb (1785-1806) prou�ava me�u prvima torziju okruglog štapa, mehani�ka svojstva materijala, odredio granicu elasti�nosti za neke materijale, dao to�no rješenje savijanja konzole.

56

• T. Young (1773-1829) dao je matemati�ku formulaciju Hookeovog zakona i uveo pojam modula elasti�nosti E pri rastezanju i pritisku, koji se naziva Youngovim modulom. Uvodi i pojam posmi�nog naprezanja. Prvi je po�eo prou�avanje djelovanje dinami�kog optere�enja.

57

• L. Navier (1785-1836) izdaje 1862. prvi udžbenik o otpornosti materijala. Za razliku od ostalih istraživa�a, koji su tražili optere�enje koje dovodi do rušenja konstrukcije, on je tražio optere�enje do kojeg se konstrukcija ponaša potpuno elasti�no bez najave trajnih deformacija. Prvi je formulirao op�e jednadžbe ravnoteže.

• A. L. Cauchy (1789-1857) uvodi pojam glavnih naprezanja i glavnih deformacija te dokazuje zakon o uzajamnosti posmi�nih naprezanja.

58

• Ostali istraživa�i su:

• Poisson (koeficijent ν),

• Lame (koeficijenti λ i µ),

• Mohr (kružnice naprezanja),

• Saint-Venant (teorija plasti�nosti),

• Huber, Mises, Hencky (HMH teorija loma),

• Rankin, Maxwell, Clapeyron, Castiglian, Betti,

Prandtl, Timošenko, Mushelšvilia, Ostrogradski i

drugi.