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10. Schwingungen
10. SchwingungenSchwingungen sind allgemein Vorgänge, die sich wiederholen. Man spricht auch oft von periodischen Vorgängen.Beispiele: Vibrationen, Pendelschwingung, ...
10. 1. Harmonische Schwingungen
Versuch:
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10. Schwingungen
Begriffe:
(T) Schwingungsdauer = Periode = Zeit zwischen zwei gleichen Schwingungszuständen. (Wenn der schwingende Körper den Bahnpunkt wieder in gleicher Richtung durchläuft.) 1 Periode (T)
(y0) Amplitude = größte Auslenkung
y0
(y) Elongation = momentane Auslenkung ( diese ist von der Zeit abhängig)
y
(T)
(f) Frequenz = Anzahl der Schwingungen / Zeit
[f] = 1 Hertz 1 Hz= 1 s-1
T
1f
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10. Schwingungen
10.1.1 Schwingung des Federpendels:Beispiele für harmonische Schwingungen:
Wir vergleichen die Projektion einer Kreisbewegung mit der Schwingung eines Federpendels.
Federpendel:
Fy = – k·y
- weil F, y antiparallel
Kreisbewegung u. deren Projektion
rmF 2
Fy = – mω2r·cosωt r = y0
Fy = – m ω2y0cosωt
k y
Fy = – ky0·cosωt
φ = ωt
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10. Schwingungen
Sc hwingung des Federpendels
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1212'
11'
10'
9'
8'
m ax.
Ruhe-
m ax.
unten
oben
la ge
Pro jektion Kreisbewegung
Ausl.
Ausl.
Fy
F
rmF 2
Fy = – mω2r·cosωt
φ = ωt
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10. Schwingungen
Sc hwingung des Federpendels
1'
2'
3'
4'
5'
6'
7'
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
1212'
11'
10'
9'
8'
m ax.
Ruhe-
m ax.
unten
oben
la ge
Pro jektion Kreisbewegung
Ausl.
Ausl.
vy
v
rv
vy = –ωy0·sinωt
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10. Schwingungen
Elongation: y(t) = y0.cosωt
Schwingungsdauer: ω = 2π/T ; k = mω2 ; ω2 = k/m
km2T
Geschwindigkeit der Elongation: vy(t) = - y0·ω·sinωt
Beschleunigung: hat die Richtung der Kraft, ist also y entgegengesetzt.
ay(t) = - y0·ω2·cosωt
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10. Schwingungen
10.1.2 Das Fadenpendel (mathemat. Pendel)
l
xgmsingmFT
Bei sehr kleiner Auslenkung ist s ≈ x.
Das heißt, die Kraft ist proportional der Auslenkung wie beim Federpendel.
l
xgmxk Das Hooksche
Gesetz ist erfüllt.
l
gmk
l
g
m
k
Aus der Formel für die Schwingungsdauer des Federpendels wird:
km.2T
gl.2T Schwingungsdauer
des Fadenpendels.
FG
FN
FT
x
l
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10. Schwingungen
Schülerversuche zu Feder- und Fadenpendel
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10. Schwingungen
Federpendel
• Aufbau:
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10. Schwingungen
Federpendel• Aufgabe:
– Miss die Federkonstante
Δl
Miss den Abstand vom Tisch bis zum Gewichtsteller
Lege 50 g auf den Gewichtsteller und miss wieder den Abstand
Berechne die Differenz
Δl = ...... cm = ..... m
F = 0,05·9,81N
m
N............
l
Fk
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10. Schwingungen
Federpendel
• Aufgabe:– Miss die
Schwingungsdauer von 10 Schwingungen
Zieh dazu die Feder um ca. 7 cm nach unten und las sie los.
Beginne bei der Zählung mit 0.
Dividiere durch 10
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10. Schwingungen
Versuch 2:Wir versetzen diese Anordnung in Schwingung und messen die Zeitdauer für 10 Schwingungen: 10·T = ..... sSchwingungsdauer T = ..... s
Vergleiche dieses Ergebnis mit der Formel
km2T
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10. Schwingungen
Fadenpendel
• Bestimme die Schwingungsdauer des Fadenpendels– Bei unterschiedlicher
Amplitude– Unterschiedlicher
Masse– Unterschiedlicher
Fadenlänge
Aufbau
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10. Schwingungen
Schwingungsdauer beim Fadenpendel:Fertige eine Skizze an!Versuch 1:Pendellänge l = 0,6m; Auslenkung ca. 5cm; 2 Schlitzgewichte (2·50 g + 10 g)10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s
Versuch 2:wie Versuch 1 jedoch Auslenkung ca. 10cm10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s
Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Amplitude .....
Versuch 3:Pendellänge l = 0,6m ; 4 Schlitzgewichte (4·50g + 10g)(Beachte den Schwerpunkt !!)10·T = ..... s Schwingungsdauer T = ..... s
Erkenntnis: Die Schwingungsdauer ist von der Masse .....
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10. Schwingungen
Versuch 4: Pendellänge l = 0,3m 10·T = ..... s T = ..... s
Versuch 5:Pendellänge l = 1,2m10·T = ..... s T = ..... s
gl.2T
Erkenntnis: Bei vierfacher Pendellänge ist die Schwingungsdauer...
Vergleiche mit der Formel:
Zusatz: Ermittle aus der Schwingungsdauer des Fadenpendels die Erdbeschleunigung!
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10. Schwingungen
Harmonische Schwingungen sind Schwingungen, deren Weg-Zeit-Diagramm eine Sinus- oder Kosinusfunktion darstellen.
Bei ihnen gibt es keinen Zusammenhang zwischen Amplitude und Schwingungsdauer.
Beispiele: Federpendel, Fadenpendel, Stimmgabel, Blattfeder, ...nicht: schwingende Saite.
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10. Schwingungen
10.2 Energie des harmonischen Oszillators.
)EE(ky2
1mv
2
1E potkin
22y
)ym
kv(m
2
1E 22
y
220
220 m
k)tcosy()tsiny(m
2
1E
22220 )t(cos)t(sinmy
2
1E
1
220my
2
1E Die Energie wächst mit dem Quadrat der
Amplitude und mit dem Quadrat der Frequenz.
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10. Schwingungen
10.3 Überlagerung von Schwingungen
-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,502,002,50
0,00 5,00 10,00 15,00
Zeit
Au
sle
nk
un
g
10.3.1 Die Phasenkonstante
Loslassen nach Auslenkung.
2
)
2tsin(yy 0
-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,502,002,50
0,00 5,00 10,00 15,00
Zeit
Au
sle
nk
un
g
φ = 0 y = y0sin(ωt)
Anstoßen in Ruhelage:
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10. Schwingungen
-2,50-2,00-1,50-1,00-0,500,000,501,001,502,002,50
0,00 5,00 10,00 15,00
Zeit
Au
sle
nk
un
g
4
)4
tsin(yy 0
Auslenken und Anstoßen:
Die Phasenkonstante gibt die anfängliche Auslenkung durch einen Winkel an.
Unterscheiden sich zwei Schwingungen in ihrer Phasenkonstante, so spricht man vom Phasenunterschied Δφ = φ1 - φ2
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10. Schwingungen
10.3.2 Addition von Schwingungen
10.3.2.1 Addition kollinearer Schwingungen gleicher Frequenz
Versuch:
Zwei gleiche Stimmgabeln werden angestoßen. Mit Mikrophon und Oszillograph veranschaulichen.
Ergebnis: Manchmal wird der Ton lauter, manchmal leiser.
Mathematische Beschreibung:
1. Schwingung: y1 = y01sin(ωt)2. Schwingung: y2 = y02sin(ωt + φ) φ ... Phasenverschiebung
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10. Schwingungen
Sonderfälle:
Überlagerung von Schwingungen
-5
0
5
10
15
0 5 10 15
Zeit
Elo
ng
atio
n
Schwingung1
Schwingung2
Überlagerung
a) φ = 0 Gleichphasigkeit:y = y1 + y2 = (y01 + y02).sin(ωt)
Konstruktive Interferenz
Die resultierende Schwingung besitzt die größtmögliche Amplitude
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10. Schwingungen
b) φ = π y = y1 + y2 = y01·sin(t) + y02·sin(ωt+π) = y01·sin(ω t) - y02·sin(ωt) = (y01 - y02)·sin(ω t)
Überlagerung von Schwingungen
-5
0
5
10
15
0 5 10 15
Zeit
Elo
ng
atio
n
Schwingung1
Schwingung2
Überlagerung
Die resultierende Schwingung besitzt kleinstmögliche Amplitude.
bei y01 = y02 ist die resultierende Amplitude 0.
Destruktive Interferenz.
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10. Schwingungen
Die Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz und gleicher Schwingungsrichtung ergibt stets wieder eine harmonische Schwingung, deren Amplitude von den Amplituden der Einzelschwingungen und von ihrer Phasendifferenz abhängt.
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10. Schwingungen
10.3.2.2 Lissajoussche Figuren
Sie entstehen, wenn zwei aufeinander normal stehende Schwingungen mit rationalem Frequenzverhältnis überlagert werden.
Zwei Blattfedern, auf denen sich je ein Spiegel befindet werden normal zueinander befestigt und mit einem Laser angeleuchtet. Das reflektierte Signal wird an die Wand projiziert.
Versuch:Laserstrahl
Spiegel
Schirm
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10. Schwingungen
Mathematische Beschreibung: x - Schwingung: x = x0sin(ω1t)
y - Schwingung: y = y0sin(ω2t+φ) φ ... Phasenverschiebung
Sonderfälle:
1. ω1 = ω2 = ω ; x0; y0 ; φ = 0
00 x
x
y
y x
x
yy
0
0 Gerade
2. ω1 = ω2 = ω ; x0 = y0 ; φ = π/2
x - Schwingung: x = r.sin(ωt)y - Schwingung: y = r.sin(ωt + π/2) = r.cos(ωt) → Kreis
x0 ≠ y0 → Ellipse
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10. Schwingungen
3. ω1 = 2ω ω2 = ω ; x0; y0 ; φ = 0
x - Schwingung: x = x0sin(2ωt)
y - Schwingung: y = y0sin(ωt)
Betrachte auch den Fall = φ = π/2
Faustformel: Berührungspunkte vertikal : Berührungspunkte horizontal = fx : fy
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10. Schwingungen
10.4 Gedämpfte Schwingung Eine harmonische Schwingung hat eine konstante Amplitude und sollte unaufhörlich sein.Reale Schwingungen verhalten sich nicht so.
Pendel wird in Schwingung versetzt.
Das Weg-Zeit Diagramm wird mit dem Computer aufgezeichnet.
Versuch:
Die Amplitude der gedämpften Schwingung nimmt mit der Zeit ab.
Die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung ist etwas größer als bei der ungedämpften Schwingung.
Vgl. B. 6RG S. 76
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10. Schwingungen
Mathematische Beschreibung:
y = y0.e-δt·sin(ωt) δ ... Dämpfungsfaktore- δt ... Dämpfungsglied
Gedämpfte Schwingung
-10,00
-8,00
-6,00
-4,00
-2,00
0,00
2,00
4,00
6,00
8,00
10,00
0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Zeit [s]
Elo
ng
ati
on
[c
m]
Gedämpfte Schw.
Harmonische Schw.
Dämpfungsglied 1
Dämpfungsglied 2
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10. Schwingungen
Gib im TI 83+ ein: Achtung MODE Radiant
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10. Schwingungen
Um die Dämpfung zu vermeiden z. B. bei Uhren verwendet man
Rückkopplungseinrichtungen.
Sie führen die in Reibung umgewandelte Energie wieder zu, dass die Amplitude konstant bleibt.
Beispiel: Pendeluhr
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10. Schwingungen
Steigrad
Anker
Gewicht
Pendel
Pendeluhr
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10. Schwingungen
Dämpfung kann aber auch erwünscht sein:
Zeiger eines Analogmessgeräts,
Stoßdämpfer.
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10. Schwingungen
10.5 Erzwungene Schwingung - Resonanz
Schülerversuch:Die Spule mit 800 Windungen wird an den Funktionsgenerator angeschlossen.Einstellung: Frequenzbereich 1Hz, SinusErhöhe mit dem Frequenzdrehknopf (links) die Frequenz sehr sorgfältig und beobachte was passiert. Miss die Auslenkungen der Blattfeder und trage sie in Abhängigkeit von der Frequenz auf. Beachte: Interessante Ereignisse müssen sich nicht mit "ganzzahligen" Frequenzen decken.
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10. Schwingungen
Frequenz [Hz]
Auslenkung in [mm]
Trage die Werte in einem Diagramm auf.
y
0 1 2 3 5 8 10
f [Hz ]
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10. Schwingungen
f0
–2
klein
Dämpfung:
mittel
groß
Resonanzkurven
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10. Schwingungen
Die Amplitude der Blattfeder hängt von der Frequenz des Erregers ab.
Ist die Frequenz des Erregers gleich der Eigenfrequenz der Blattfeder spricht man von Resonanz.
Vgl. Abb. 77.3 (BW 6RG)
Die Resonanzkurve ist um so höher, je geringer die Dämpfung ist. Im schlimmsten Fall (ungedämpft) → Resonanzkatastrophe.
Lies Beispiele Buch Basiswissen 6 RG Seite 78.
Gebäudeschwingungen, Rotierende Maschinenteile, Resonanz von Tragflügeln, Resonanzkörper,Zungenfrequenzmesser
Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge
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10. Schwingungen
Tacoma Narrows Bridge Tacoma Narrows Bridge
7. November 19407. November 1940
Tacoma Narrows Bridge
heuteheute
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10. Schwingungen
Zungenfrequenzmesser