10 sin 03 fasikul - idea-filesidea-files.com/bekup_pdf/10sinif/10_03_fasikul.pdfz polinomlar da...

POLİNOMLAR

Polinomun Tanımı ve Polinomlarda Değer Bulma

Polinomlarda Temel Kavramlar

Polinomlarda Toplama , Çıkarma ve Çarpma İşlemi

Polinomlarda Bölme İşlemi

P(a x + b) Polinomunun px + q ile Bölümünden Kalanı Bulma

P(x)’in (x2+a), (x – a ) · (x – b ) ve (x – a ) · (x – b ) · (x – c ) ile Bölümünden Kalanı Bulma

BÖLÜM-1

POLİNOMLARBeküp Yayınları

Örnek 1

2

Örnek 2

Örnek 3

POLİNOMUN TANIMI VE POLİNOMLARDA DEĞER BULMA

1. Polinomun tanımı :

n doğal sayı, x değişken ve

, , , , .... ,a a a a a an n0 1 2 3 1- gerçel sayılar olmak üzere,

...P x a x a x a x ann

nn

11

1 0= + + + +--^ h

ifadesine x değişkenine bağlı gerçek katsayılı polinom denir.

P(x) = 5 x3 + 2 polinom 'dur.

Q(x) = 5 x – 2 – 3 polinom değildir.

Çünkü x ' in üssü negatiftir.

T x x x3 12 $= + +^ h polinom değildir.Çünkü ikinci terimdeki x ' in üssü doğal sayı değildir.

...P x a x a x a x ann

nn

11

1 0= + + + +--^ h

polinomun 'da,

z an xn , an – 1 x

n – 1 , · · · , a1 x , a0

ifadelerine polinomun terimleri denir.

z , , .... , , ,a a a a an n 1 2 1 0-

ifadelerine polinomun terimlerinin katsayıları denir.

an gerçek sayısına baş katsayı,

a0 gerçek sayısına sabit terim denir.

2. Polinomlar da değer bulma :

a gerçek sayı olmak üzere,

P(x) veya P[Q( x )] polinomları verilmiş olsun;

P(a) soruluyorsa,

x = a veye Q(x)= a eşitliklerinden elde edilen x değerleri polinomda yerine yazılarak sonuca gidilir.

z P(x) polinomunda P(2) 'yi bulmak için x yerine 2 yazılır.

z P(2x +3) polinomunda P(1) ' i bulmak için,

2x + 3 = 1 denilirse, 2 x = – 2 ise x = – 1 bulunur.

Bulunan bu değer polinom da yerine yazılır.

x = –1 için P[2 ( – 1 ) +3] = P(1) değeri bulunur ve işleme devam edilir.

mP x x x x5 3 2 14m 3 := + + +-12

^ hifadesi bir polinom belirttiğine göre, m 'nin alacağı de-ğerler toplamını bulalım.

Çözüm :

Polinomun tanımında belirtildiği gibi x değişkeninin üstleri doğal sayı olmalıdır.

, , ,

m vem

do al say

m ise

3 012

33

124

126

121212

ð ý$

$

-

m 'nin alacağı değerlerin toplamı:

3 + 4 + 6 + 12 = 25 bulunur.

P x x x3 1 9 6 42+ = + +^ hpolinomu veriliyor.

Buna göre, P(0) ' ı bulalım.

Çözüm :

3 x + 1 = 0 diyelim. Buradan x31

=- 'ü polinom da yerine

yazalım.

P 331

1 931

631

42

: : :- + = - + +d dn n

P(0) = 1 + 2++4

= 7 bulunur.

x P x x x1 2 1 3 22:- - = - +^ ^h holduğuna göre, P(1) ' i bulalım.

Çözüm :

(x – 1) · P(2x – 1) = x2 – 3 x + 2

(x – 1) · P(2x – 1) = (x – 1) · (x – 2)

P(2x – 1) = (x – 2)

x = 1 için P(2 · 1 – 1) = 1 – 2

P(1) = – 1 bulunur.

Polinomlar10. Sınıf Matematik Temel Test3

5: C 6: D 7: B 8: A 1: E 2: C 3: E 4: B

1. I.

3P x x x x3 23 2= - +2^ h

II. Q x xx

xx

12

3 12= +++ +^ h

III. T x 3 2= +^ hifadelerinden hangileri polinomdur?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III

D) II ve III E) I ve III

4. (x + 1) · P( x – 1) = x3 + x2 + x + 1

olduğuna göre, P(– 3) 'ün değeri kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

5. P x a x x x2 5 6 1b4 2:= - + + --^ ^h hifadesi üçüncü dereceden bir polinomdur.

Buna göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 3 B) 2 C) 1 D) – 1 E) – 2

2. nP x x x x4 2n

5 2= + + +- -

3^ h

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, n sayısı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

6. aP x x x x4 13= ++ + +

6^ h

ifadesi bir polinom belirttiğine göre a 'nın alacağı değer-ler toplamı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

8.

z Q x

P xx x

2

13 4 22

+

-= - +^

^hh

z Q(2) = 3

olduğuna göre, P(– 1) kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. P(x2 + 1) = (x2 + 1)3 – x2 – 3

olduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) x2 – x B) x3 – x – 2 C) x3 – x

D) x3 + x – 2 E) x3 + x + 2

3. P x x m x n2 2= + +^ hpolinomunun sabit terimi 6, katsayılar toplamı 3 ' tür.

Buna göre, m + n toplamı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

ÖDEV 10. SINIF MatematikPOLİNOMLAR4

5: B 6: E 7: D 8: E 1: A 2: D 3: B 4: A

1. I. P x x x x3 2 14 2:= - + -^ h

II. Q x x x2 33 := + +^ h

III. T x xx2

22= + +^ h

ifadelerinden hangileri polinomdur?


D) I ve II E) II ve III

2. P x x x6 5 94 3:= + -^ hpolinomunun baş katsayısı ile sabit teriminin toplamı kaçtır?

A) 4 B) 3 C) – 4 D) – 3 E) – 2

5. P x x x3 3m 1:= + +-^ hifadesi bir polinomdur.

Buna göre, m 'nin alacağı en küçük iki değerin toplamı kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

6. P x x x x2 3m m1 5:= + + +- -^ hifadesi bir polinom belirtmektedir.

Buna göre, m 'nin alacağı değerler toplamı kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 15

7. P x x x x6 2 5m m2 1 8:= - + +- -^ hpolinomunun derecesi 5 ' tir.

Buna göre, P(x) ' in katsayılar toplamı kaçtır?

A) – 5 B) – 3 C) 7 D) 2 E) 1

3. P x x x x2 23 2= - + +^ holduğuna göre, P P0 1+^ ^h h toplamı kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

4. P x x x2 32= - -^ hBuna göre, P x 1-^ h aşağıdakilerden hangisine eşittir?

A) x2 – 4x B) x2 – 3x C) x2 – 3

D) x2 – 4x + 3 E) x2 + 4x – 6

8. P( x – 2) = x3 – 2 x + 3

olduğuna göre, P(– 2) + P(1) toplamı kaçtır?

A) 12 B) 18 C) 20 D) 24 E) 27

Polinomlar ÖDEV

5

12: C 13: E 14: C 9: A 10: D 11: E

9. P x x x3 4 73= - +^ hpolinomu veriliyor.

Buna göre, P P1 0+^ ^h h toplamı kaçtır?

A) 13 B) 11 C) 10 D) 9 E) 6

12. P x x x x2 4 54 2= + - +^ hpolinomu veriliyor.

Buna göre, der P x P 0+^ ^h h6 @ toplamı kaçtır?A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

13. ( x – 2 ) · P(x + 1) = x2 – x – 2

olduğuna göre,

I. P(1) = 1 'dir.

II. P(2) = 2 'dir.

III. P(3) = 3 ' tür.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II

D) I ve III E) I , II ve III


I. P(1) = 6 'dır.

II. P(–1) = – 2 'dir.

III. P(0) = 5 ' tir.



D) I ve II E) I ve III

14. P(x) + P(– x) = (a – 3) x3 + a + 4

polinomu veriliyor.

Buna göre,

I. P(1) = 4 ' tür.

II. a = 3 ' tür.

III. P(1) + P(–1) = 7 'dir.


A) Yalnız II B) Yalnız III C) II ve III


10. P( 3 x ) + P( 2 x+ 1 )=3 x3 + x + 4

polinomu verildiğine göre,

I. P(3) = 4 ' tür.

II. P(0) = 0 'dır.

III. P(0) + P(1) = 4 ' tür.



D) I ve III E) II ve III

Örnek 2


Örnek 1

6

Örnek 3

POLİNOMLARDA TEMEL KAVRAMLAR

1. Polinomun Katsayılar toplamı :

z Polinomlarda katsayılar toplamını bulmak için değişken-lerin yerine 1 yazılır.

P(x) = a x3 + b x2 + c x + d ise

P(1) = a 13 + b 12 + c 1 + d= a + b + c + d ' dir.

z Polinomlarda çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı,

' .PP P

dir2

1 1Ç =

+ -^ ^h h

z Polinomlarda tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı,

' .PP P

dir2

1 1T =

- -^ ^h h

2. Sabit Polinom:

Sabit terim hariç diğer terimlerinin katsayısı sıfır olan poli-noma sabit polinom denir.

z Sabit polinomun derecesi sıfırdır.

z Polinomlar da sabit terimi bulmak için değişkenlerin yeri-ne sıfır yazılır.

P(x) = a x3 + b x2 + c x + d polinomunun sabit terimi,

P(0) = a 03 + b 02 + c 0 + d = d 'dir.

3. Sıfır Polinomu:

Bütün terimlerinin katsayıları sıfır olan polinoma sıfır poli-nomu denir.

z Sıfır polinomunun derecesi yoktur.

4. Polinomların eşitliği:

Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerin katsayıları karşılıklı olarak eşit olan polinomlara eşit polinomlar denir.

P(x) = a x3 + b x2 + c x + d

Q(x) = 5 x3 + 4 x2 + 3 x + 2

polinomları için,

, , , .

P x Q x

a x b x c x d x x x ise

a b c d dir

5 4 3 2

5 4 3 2

3 2 3 2

=

+ + + = + + +

= = = =

^ ^h h

P x x x 333

= + -^ ^h hpolinomunun çift dereceli terimlerin katsayılar toplamını bulalım.

Çözüm :

.

pP P

bulunur

2

1 1

2

1 1 3 1 1 3

21 125

63

3 3

Ç =+ -

=+ - + - - -

=- -

=-

^ ^

^ ^

h h

h h

a pozitif bir sayı olmak üzere,

P x ax ax2 22 2:= - +^ ^ ^h h hpolinomunun katsayılar toplamı 25 ise a 'yı bulalım.

Çözüm :

Katsayılar toplamı,

.

P a a

a a

a

a ise a bulunur

1 2 2 25

2 2 25

4 5

9 3

2 2

2

2

2

:

:

= - + =

- + =

- =

= =

^^^

^^h

hh

hh

6 @

a x b x x c x c1 3 42 3 2 2- = - - + +^ holduğuna göre, a + b + c toplamını bulalım.

Çözüm :

x a x b x c x c0 1 3 43 2 3 2: + - = - + - +^ ^h hİki polinomun eşitliğinden

, ,b a c c

b a

0 3 4 1

3 1 4

= - = - - =

= =- -

Buna göre, a + b + c = – 5 + 3 – 1= – 3 bulunur.


4: D 5: B 6: C 1: E 2: A 3: E

1.��

P x x x1 2 14= + + -^ ^h h polinomu veriliyor.


A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

2. P x x x2 3 52+ = - +^ hpolinomu veriliyor.


A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

5��

��

��

P x x 233

= +^ ^h hpolinomunun tek dereceli terimlerinin katsayılar toplamı kaçtır?

A) 12 B) 13 C)15 D) 21 E) 27

6. P x x x a2

5= - +^ ^h h

polinomunun çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamı sıfır olduğuna göre, a kaçtır?

A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 2

4.

��

P x a x b x c

P x x1 6

2

2

= + +

+ = -

^^ ^hh h

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 25 B) 27 C) 32 D) 36 E) 45

3. P x x x c 2a b4 3= + + +- -^ hpolinomu sıfır polinom olduğuna göre, a + b + c top-lamı kaçtır?

A) 12 B) 9 C) 8 D) 6 E) 3


5: C 6: B 7: E 8: B 1: A 2: D 3: B 4: C

3. P x x x5 42=- + +^ h

Buna göre, P x 3+^ h 'ün sabit terimi kaçtır?

A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 6

5. P x 4=^ h olduğuna göre,

P P3 5- +^ ^h h toplamı kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

8. P(x) = 2x3 – Ax + B

Q(x) = K x3 + 6x – 2

Polinomları veriliyor.

P(x) = Q(x)

olduğuna göre, A + B + K toplamı kaçtır?

A) – 8 B) – 6 C) – 4 D) 6 E) 8

2. P x m n x m n x4 2 52= + + + - + +^ ^ ^h h h

polinomu sabit polinom olduğuna göre, m . n çarpımı kaçtır?

A) 12 B) 8 C) 6 D) 3 E) 2

1. P x a x x x2 5 5b4 2= - + --^ ^h h

polinomu sıfır polinom olduğuna göre, a · b çarpımı kaç-tır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

6. x ax bx c8 5 2 2- = + +^ h

olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?

A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

4. P x x x3 42= + +^ hpolinomu veriliyor.

Buna göre, P( x + 1) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

7. P(x) = kx – 5

Q(x) = 6x – 7

Polinomları veriliyor.

olduğuna göre, P(x) + Q(x) toplamı sabit polinom oldu-ğuna göre, k 'nın değeri kaçtır?

A) 6 B) 5 C) – 4 D) – 5 E) – 6

Polinomlar ÖDEV

9

12: B 13: C 14: E 9: A 10: E 11: D

13. P(x) ikinci dereceden bir polinom,

z ' ý .P P d r0 1 0= =^ ^h h

z ' ý .P d r2 6=^ hBuna göre, P( 3) kaçtır?

A) 15 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22

10. P x x x x4 2 4 75 3= - + +^ hpolinomu veriliyor.

I. der P x 5=^ h6 @ ' tir. II. P(x) ' in baş katsayısı 5 ' tir.

III. P(x) ' in katsayılar toplamı 13 ' tür.




11. P(x + 1) = x2 – x + 2

olduğuna göre,

I. P(3) = 5 ' tir.

II. P(x) in sabit terimi 4 ' tür.

III. P(x) in katsayılar toplamı 2 'dir.



D) II ve III E) I , II ve III

12. P x P x x1 1 6 10+ + - = +^ ^h h


A) 3x – 5 B) 3x + 5 C) 2x + 3

D) 2x – 3 E) 3x + 4

9. P(x) = 4x5 + x3 – 2x2 + 5

polinomunun

z Katsayılar toplamı A,

z Çift dereceli terimlerin katsayılar toplamı B,

z Tek dereceli terimlerin katsayılar toplamı C

olduğuna göre, A + B + C toplamı kaçtır?

A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 E) 12

14. P( 5 – 2x) = mx2 – x3

polinomu veriliyor,

P(3x – 4) polinomunun katsayılar toplamı – 9 'dur.

Buna göre,

I. m = 2 ' tir.

II. P(3) = 1 'dir.

III. P(x) in katsayılar toplamı 0 'dır.




Örnek 2


Örnek 1

10

Örnek 3

POLİNOMLARDA TOPLAMA, ÇIKARMA VE ÇARPMA İŞLEMİ

1. Toplama - Çıkarma İşlemi:

İki polinom toplanırken veya çıkartılırken dereceleri aynı olan terimlerin katsayıları toplanarak ve çıkartılarak sonuca gidilir.

z polinomların toplama ve çıkarma işlemlerinde derecelerle ilgili işlemler aşağıdaki gibidir.

,der P x m=^ h6 @ der Q x n=^ h6 @ ve m > n olsun.

der P x Q x m" =^ ^h h6 @ dir.

2. Çarpma İşlemi:

İki polinomun çarpımı, polinomlardan birinin her teriminin di-ğer polinomun bütün terimleri ile ayrı ayrı çarpımından elde edilen terimlerin toplamına eşittir.

z polinomların çarpma işleminde derecelerle ilgili işlemler aşağıdaki gibidir.

Sıfırdan farklı polinomların çarpımının derecesi bu iki polino-mun dereceleri toplamına eşittir.

,der P x m=^ h6 @ der Q x n=^ h6 @ ve m > n olsun.

' .

der P x Q x der P x der Q x

m n dir

: = +

= +

^ ^ ^ ^h h h h6 6 6@ @ @

3. Polinomun Derecesi:

z polinomların bölme işleminde derecelerle ilgili işlemler aşağıdaki gibidir.

' .

derQ x

P xder P x der Q x

m n dir

= -

= -

^^

^ ^hh

h h> 6 6H @ @

' .

der P Q x der P x der Q x

m n dir

:

:

=

=

^ ^ ^ ^h h h h6 6 6@ @ @

' .der P x der P x k m dirk k := =^ ^h h6 6@ @

P(x) üçüncü dereceden bir polinomdur.

Buna göre, x p x x1 32 2: :- +^ ^h h polinomunun derece-sini bulalım.

Çözüm :

P x x olsun3=^ h ...

... ...

... .

der x x x

der x x x

der x bulunur

1

9

2 2

2 6

9

: :

: :

= - +

= + +

= + =

^^

hh

666 @

@@

P x P x x x2 8 6 12: = - +^ ^h holduğuna göre, P(x) polinomunu bulalım.

Çözüm :

Verilen eşitliğe göre P x ax b= +^ h şeklinde olmalıdır.

a x b a x b x x

a x a b x a b x b x x

a ab b

a a b

2 8 6 1

2 2 8 6 1

2 8 3 6 1

4 2

2

2 2 2 2

2 2

2:

:+ + = - +

+ + + = - +

= =- =

= =-

^ ^h h

,

,

a ise b P x x

a ise b P x x

2 1 2 1

2 1 2 1

= =- = -

=- = =- +

^^hh

Şeklinde iki farklı P(x) polinomu bulunur.

P x x x

Q x x x x

2

2

3

4 3 2

= +

= - +

^^hh

polinomları verildiğine göre, P x Q x2 -^ ^h h polinomunu bulalım.

Çözüm :

.

P x Q x x x x x x

x x x x x

x x x bulunur

2 2

2 2

2 2 3 2 4 3 2

6 2 4 3 2

6 4 3

$- = + - + -

= + - + -

= - +

^ ^ ^h h h


5: B 6: A 7: C 1: C 2: E 3: D 4: C

1.

P x x x

Q x x x x

3 1

2 3 1

3 2

3 2

= - +

= + - -

^^hh

olduğuna göre, P(x) + Q(x) ' in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x2 + x B) 2x2 – x C) 3x3 – x

D) 3x2 – 2x E) 2x2 + 3x

7. P x x 13= +^ h

��

Q x x2 32= -^ hpolinomları veriliyor.

P x Q x T x3: =^ ^ ^h h holduğuna göre,

der T x^ h6 @ ' in değeri kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

6. P x x x32= +^ h

Q x x 2= -^ hpolinomları veriliyor.

Buna göre,

P x Q x 12- +^ ^h hpolinomu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x + 1 B) 2x – 1 C) 3x2 + x

D) 3x – 2 E) 2x2 – x

2.

P x x a x a x

Q x x x

1

2 1

4 2

3

= + + +

= - +

^^

^hh

h

P x Q x:^ ^h h çarpımından elde edilen polinomun x5 ' li

terimin kat sayısı 13 olduğuna göre, a kaçtır?

A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

5. (x + 5) · (x + p) = x2 + 2x + k

eşitliğinde ,

I. p=3 ve k=5 ' tir.

II. p=– 3 ve k=–15 ' tir.

III. p=– 3 ve k=15 ' tir.


A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II


3. ( ax + b ) · (5x2 – bx + 4) = 20x3 +3x2 + 7x + 12

olduğuna göre, a · b çarpımı kaçtır?

A) – 8 B) – 6 C) 10 D) 12 E) 13

4. z der P x Q x 9: =^ ^h h6 @

z der P x Q x 132 : =^ ^h h7 Aolduğuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


5: A 6: D 7: B 8: B 1: B 2: D 3: C 4: D

1. P x P x x x1 2 4 6 12:+ = + -^ ^h h

olduğuna göre, P(2) 'nin pozitif değeri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8

2. x A x x B x C7 2 12 :+ + = + +^ ^h h

olduğuna göre, A + B + C kaçtır?

A) 16 B)17 C) 19 D) 22 E) 23

7. der x P x der P x13 2:- =^ ^ ^h h h7 6A @

olduğuna göre, P(x) polinomunun derecesi kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7

5. P(x) polinomu aşağıdaki gibi tanımlanıyor.

x > 0 için, P(x) = x5 + x4 – 36x – 36

x < 0 için, P(x) = – x5 + x4 + 36x – 36

Buna göre, P(–1) + P(1) toplamı kaçtır?

A) – 140 B) – 70 C) 0

D) 72 E) 140

6. x2 – 2x + 6

polinomuna aşağıdakilerden hangisi eklenirse sonuç 3x2 + 7x olur?

A) 2x2 – 5x + 6 B) 2x2 + 9x + 6 C) x2 + 9x – 6

D) 2x2 + 9x – 6 E) 3x2 + 5x + 6

3. P(x) = (2 + n) x2 + ( m – 5) x

polinomu sıfır polinomu olduğuna göre, m · n kaçtır?

A) – 6 B) – 8 C) – 10 D) 6 E) 10

4. x ax bx cx d5 1 3 3 2- = + + +^ h

olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?

A) 48 B) 52 C) 56 D) 64 E) 68

8. x

xx

Ax

B

16

84 42 -

-=-++

olduğuna göre, A + B toplamı kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 21

E) 23

-

Polinomlar ÖDEV

13

13: A 14: B 15: D 9: C 10: D 11: A 12: E

10. P x P x x1 1 5 1- + + = +^ ^h h

olduğuna göre, P P2 2- -^ ^h h kaçtır?

A) 6 B)7 C)8 D) 10 E) 12

11. P x P x x1 1+ - - =^ ^h h

eşitliği veriliyor.

Buna göre, P ise P4 6 8=^ ^h h kaçtır?

A) 18 B)15 C)14 D) 12 E)11

9. P x P x x1 4 6+ - = +^ ^h h

olduğuna göre, P(5) kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 16

12. ,der P x m der Q x 5= =^ ^h h6 6@ @

der P x Q x 223 2: =^ ^h h6 @

olduğuna göre, m 'nin değeri kaçtır?

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

14. P(x) bir polinom olmak üzere,

P x P x3 4 4: = +^ ^h h

olduğuna göre, P(8) aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) –10 B) – 9 C) – 7 D) 6 E) 7

13. P(x) = 5x2 – 3

P(x + a) =5x2 +30x + 42

olduğuna göre, a 'nın pozitif değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

15. P(x) = x6 – 2x5 + 4

Q(x) = – x5 + x4 + 1

K(x) = P(x) + Q(x)

T(x) = P(x) · Q(x)

polinomları için,

I. der[K(x)] = 6 'dır.

II. der[T(x)] = 10 'dur.

III. T(x) ' in katsayılar toplamı 3 ' tür.





Örnek 1

14

Örnek 2

Örnek 3

POLİNOMLARDA BÖLME İŞLEM

z der P x der Q x 12 H^ ^h h6 6@ @ ise P(x) polinomu Q(x) polinomuna bölünebilir.

P(x)Bölünen Bölen

Bölüm

Kalan K(x)

Q(x)

T(x)

Burada,

z P x Q x T x K x:= +^ ^ ^ ^h h h h

z der Q x der K x2^ ^h h6 6@ @

zQ x

P xT x

Q x

K x= +^

^^

^^

hh

hhh

z K x ise P x0=^ ^h h polinomu Q x^ h polinomuna tam bölünür.

z Bölme işlemi yapmadan kalan bulma

P(x) polinomunun x – a 'ya bölümünden elde edilen bölüm T(x) kalan K olsun.

P(x)

K

x – a

T(x)

P x x a T x k:= - +^ ^ ^h h h olur.P(x) polinomunun (x – a) ya bölümünden elde edilen kalanı bulurken, (x – a) ifadesi sıfıra eşitlenir ve bulunan x değeri P(x) polinomunda x yerine yazılır.

x – a = 0 ise x = a 'yı polinom da yerine yazalım.

P(x) = (x – a) · T(x) + k

P(a) = (a – a) · T(a) + k

P(a) = 0 · T(a) + k

P(a) = k bulunur.

der p x ve der Q x6 2= =^ ^h h6 6@ @

olduğuna göre, derQ x

p x

2

2

^^^hhh> H ' i bulalım.

Çözüm :

... ...

... ...

.

derQ x

p xder p x der Q x

der x der x

der x der x

bulunur

12 4

8

2

22 2

2 6 2 2

12 4

= -

= + - +

= + - +

= -

=

^^^

^ ^

^ ^

hhh

h h

h h

> 7 6

7 76 6

H A @

A A@ @

P x x x x3 2 43 2= - + -^ h polinomunu Q x x 2= -^ h polinomuna bölelim.

Çözüm :

x2 2x

x3 – 3x2 + 2x – 4 x – 2

x2 –x +4x3 2x2+–

+– +––x2 + 2x – 4

–4x 8+– 4x – 4

4

x x x x x x3 2 4 2 4 4b l nen b len b l m kalan

3 2 2

ö ü ö ö ü

:- + - = - - + + +^ ^h h1 2 34444 4444 1 2 3444 444\ V

a

a a

2

3 22

4 2

+

+ +

ifadesinin sonucunu bulalım.

Çözüm :

a4 + 3a2 + 2

a4 2a2+–

0 0

+–

a2 + 2

a2 + 1

a2 + 2a2 2+–+–

.a

a aa bulunur

2

3 21

2

4 22

+

+ += +


5: B 6: E 7: A 8: C 1: B 2: E 3: C 4: E

1. P x x x x2 3 4 13 2= - + +^ hpolinomunun x2 – 1 ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3x + 2 B) 2x – 3 C) 3x – 1

D) 2x – 1 E) 3x – 5

5.

P(x)

2

x2 + 3

2x – 1

olduğuna göre, P(x) ' in katsayılar toplamı kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E)10

3. P x x x x4 2 13 2= + - -^ h P(x) ' in x – 1 ile bölümünden kalan A,

P(x – 2) 'nin x + 1 ile bölümünden kalanı B

olduğuna göre, A + B kaçtır?

A) 13 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18

7. P x x x x m4 3 13 2= - + + -^ hpolinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen kalan 7 ol-duğuna göre , m 'nin değeri kaçtır?

A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

2. P x x x x2 5 23 2= - + -^ hpolinomunun 2x – 1 ile bölümünden elde edilen bölüm ve kalanın toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + 2 B) x2 – 3 C) 3x2 – 2

D) x252 + E) x2 + 3

6. x3+ 3x2 + 2x + 4

k

x2 + 2

x + a

olduğuna göre, a + k kaçtır?

A) 6 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

4. P x x x m x2 43 2= - - -^ hpolinomunun x + 2 'ye bölümünden kalan 8 'dir.

Buna göre, m 'nin değeri kaçtır?

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

8.P x^ h polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan 5 ' tir.Buna göre, T x x P x22 := -^ ^ ^h h h polinomunun x – 3 ile

bölümünden kalan kaçtır?

A) 25 B) 28 C) 35 D) 38 E) 40


5: E 6: D 7: C 1: A 2: B 3: A 4: B

2. P x x x3 52= - +^ h

polinomunun ( x – 2 ) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 15

3. P x x a x x2 53 2= - - +^ h

polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 9 ise a kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 3

6. P(x) polinomun da c sabit bir sayıdır.

P x x x x c4 11 12 63= - + + - -^ ^ ^h h h

olduğuna göre, P(x) polinomu x ile tam bölünebiliyorsa c 'nin değeri kaçtır?

A) 7 B) 5 C) – 4 D) – 8 E) – 9

7. P( x ) = x3 + a x2 – a x + 4

olduğuna göre,

I. P(2) = 6 ise a = – 3 ' tür.

II. P(1) = 4 ise a = 3 ' tür.

III. P(x) in katsayılar toplamı 5 ' tir.


A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve III


4. P x x x2 33= - +^ h

polinomunun x – 2 ile bölündüğünde bölüm B(x) ' tir.

Buna göre, B(2) 'nin değeri kaçtır?

A) 12 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7

1. P x x2 3 7 1- + = -^ h


A) – 22 B) – 18 C) – 14 D) 12 E) 20

5. P x x x3 22= + +^ h

olduğuna göre, P x 1+^ h polinomunun x – 2 ile bölümün-

den kalan kaçtır?

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

Polinomlar ÖDEV

17

11: E 12: C 13: E 8: A 9: B 10: D

9. P(x) ikinci dereceden bir polinom ve

P(4) = 0

olduğuna göre,

I. x + 4 , P(x) ' in bir çarpanıdır.

II. x – 4 , P(x) ' in bir çarpanıdır.

III. P(x) polinomunun derecesi 4 ' tür.




11. P(x) ve Q(x) polinomlarının ( x + 3) ile bölümünden kalan-lar sırasıyla – 3 ve 5 ' tir.

Buna göre,

K(x) = P(x) + Q(x) – P(x) · Q(x) ise,

K(x) polinomunun (x + 3) ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 10 B) 12 C) 13 D) 15 E) 17

10. P(x) birinci dereceden bir polinom olmak üzere,

P( 2) = 4

P(– 2) = 8

olduğuna göre,

I. P(1) = 5 ' tir.

II. P(x) ' in x – 3 ile bölümünden kalan 9 'dur.

III. P(2x– 3) ' ün x + 1 ile bölümünden kalan 11 'dir.




8. P(x + 1) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan 4 ' tür.

Buna göre, P(x + 3) polinomu x + 5 ile bölümünden ka-lan kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) – 3 E) – 4

13. P(x) = x2 – 4x

Q(x) = 16 – x2

R(x) = x2 – 8x + 16

polinomları veriliyor.

Buna göre,

I. Üç polinom da x – 4 ile tam bölünür.

II. P(x) · Q(x) çarpımı x2 + 4x ile tam bölünür.

III. Q(x) – R(x) polinomu x ile tam bölünür.



D) I ve II E) I , II ve III

12. P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 3 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 1 ve 6 'dır.

T(x) = Q(x) – a · P(x)

T( x) polinomunun x – 3 ile tam bölünebilmesi için a kaç olmalıdır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) – 3 E) – 4


Örnek 1

18

Örnek 3

Örnek 2

P(a x + b) POLİNOMUNUN px + q ile BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA

z P( x ) polinomunun çarpanlarından biri

x – a ise P( x ) polinomu x – a ile tam bölünür.

Yani P( a ) = 0 'dır.

z P(x) bir polinom olmak üzere,

P( x ) = 0

denkleminin köklerine polinomun sıfırları denir.

z P(ax + b) polinomunun (px + q) polinomu na bölümün-den kalan k ise,

��

��

�

�

px + q = 0 ise xp

q=-

P(ax + b) = (px + q) · Q(x) + k

( )

( )

.

P ap

qb p

p

qq Q x k

Q x k

k bulunur

0

: :

:

-+ =

-+ +

= +

=

d d

^

n n

h

P x x x3 1 3 73 2+ = + +^ hpolinomu veriliyor.

Buna göre, P(x) ' in x + 2 'ye bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

P(x) ' in x+2 'ye bölümünden kalan P(– 2) 'dir.

,

' .

x i in

P

p dur

1

3 1 1 1 3 1 7

2 1 3 7 9

ç

3 2: :

=-

- + = - + - +

- =- + + =

^ ^^

^ ^hhh h h

P x x x Q x x2 1 5 12 :+ = - - + +^ ^ ^h h heşitliği veriliyor.

Q(x) in sabit terimi – 3 olduğuna göre, P(x) ' in x – 2 ile bölümünden kalanı bulalım.

Çözüm :

Q(x) ' in sabit terimi – 3 ise Q(0) = – 3

.

x için P Q

P

P bulunur

0 0 2 0 1 0 5 0 1

2 1 3 1

2 4

: :

:

= + = - + +

=- - +

=

^ ^ ^^ ^^

h h hh hh

x x

xxA

x

B x C

1

2 3

12 2+

+= +

+

+

^ holduğuna göre, A B + C 'yi bulalım.

Çözüm :

x x

xxA

x

B x C

x x

1

2 3

1

1

2 2

2

+

+= +

+

+

+

^

^

h

hPaydaları eşitlenirse payları da eşit olur.

x A x A B x C x

x A B x C x A

2 3

2 3

2 2

2

+ = + + +

+ = + + +^ h

İki polinom eşitliğinden,

,

.

A B C ve A ve B

A B C bulunur

0 2 3 3

3 3 2 7: :

+ = = = =-

+ = - + =-^ h


5: D 6: C 7: E 1: A 2: B 3: D 4: E

1. P x x x8 2 33= - +^ hpolinomunun 2x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

5.��

P x x x m2 3 5 4 12- = - + +^ hpolinomu veriliyor.

P(x) polinomun çarpanlarından biri (x – 3) ise m'nin de-ğeri kaçtır?

A) 18 B) 12 C) – 24 D) – 34 E) – 36

3. P x x x x3 4 23 2= - + +^ hpolinomu veriliyor.

P(3x + 2) polinomunun 3x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15

6. P x x x2 4 2 12= - -^ holduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) x2 – x + 1 B) x2 + x – 1 C) x2 – x – 1

D) x2 + x + 1 E) x2 – x – 2

2. P x x x2 2 13 2+ = + -^ hpolinomu veriliyor.

P(x) ' in x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

4.

Q x

P xx x

23 12

+= + +

^^ hh

polinom eşitliği veriliyor.

Q(x) ' in x – 1 ile bölümünden kalan 3 ' tür.

Buna göre, P(x) ' in x – 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

7.

x

xx

Ax

B

4

62 22 -

-=-++

olduğuna göre, A ∙ B çarpımı kaçtır?

A) 5 B) 3 C) – 4 D) – 3 E) – 2


5: A 6: D 7: B 8: E 1: A 2: C 3: B 4: A

4. P x x x1 3 32 4 2+ = - +^ h


A) 27 B) 26 C) 24 D) 22 E) 20

1. P x a x x b2 23= - - +^ ^h h

polinomunun çarpanlarından biri (x – 1) ise a + b 'nin değeri kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 9

3. P x x ax x b23 2= + - +^ h

polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 4 ' tür.

Buna göre, P(x) ' in x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

2 P x x x2 1 32+ = + - +^ ^h h


A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

5. P x x x3 2 52= - +^ h

polinomu veriliyor.

P(x) polinomunun x + 6 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 15 B) 13 C) 12 D) 10 E) 9

6. P(x)= x3 + (m – 2) x2 – 4 + a

polinomu x 'e tam bölünüyor.

Buna göre P(x) ' in x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) – 4 B) 0 C) 4 D) 4m E) 4m + 4

7. Q x

x P xx x

2

6 12 32

:

-

+ += - +^

^ ^h

h h

eşitliği veriliyor.

P(x) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 7 'dir.

Buna göre, Q( x ) ' in x + 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 21 B) 14 C) 10 D) 12 E) 7

8. P( x ) = 2 x3 + k x + 1 polinomu veriliyor.

P( x ) ' in x – 2 ile bölünmesinin kalanının 10 ise k 'nın de-ğeri kaçtır?

A) 0 B) 2 C) 3 D) 27

E) 27

-

Polinomlar ÖDEV

21

12: D 13: B 14: C 9: C 10: E 11: D

9. P xx

x x cx

23

2 32

=-

+ ++ +^ h

ifadesi bir polinomdur.

Buna göre,

I. P( 2) =14 ' tür.

II. c = – 10 'dur.

III. P(x) ' in sabit terimi 3 ' tür.


A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II


12. I. P(x) = 8x2 – 2

II. Q(x) = 2x2 – 9x + 4

III. T(x) = 4x3 + 2x2 – 6x – 3

Yukarıda verilen polinomlardan hangileri 2x + 1 ile bö-lünür?



13. P(x), herhangi bir polinom ve

P(3) = 0 'dır.

Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) P(x), 3 ile bölünebilir.

B) x – 3, P(x) ' in bir çarpanıdır

C) P(x), x + 3 ile bölünebilir.

D) P(x) , 3x ile bölünebilir.

E) P(x) ' in derecesi 3 ' tür.

11. P(x) polinomun da,

P( 2) = − 5 ' tir.

P(4) = 0 'dır.

Buna göre,

I. P(x), x + 4 ile tam bölünür.

II. x – 4, P(x) ' in bir çarpanıdır.

III. P(x) ' in x – 2 ile bölümünden kalan −5 ' tir.


A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II


14. Baş katsayısı 4 olan ikinci derecen bir P(x) polinomu için,

P(2) – P(0) = 6

olduğuna göre,

I. P(x) ' in sabit terimi 2 'dir.

II. P(1) – P( – 1) = – 10 'dur.

III. P( 0) – P( 1 ) = 1 'dir.


A) Yalnız II B) Yalnız III C) II ve III


10. a

a a a a

1

2 12

5 3 2

+

- + - +

işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) a3 – 2a B) a3 + 2 C) a2 – 2a

D) a3 – 2a – 2 E) a3 – 2a + 1


Örnek 1

22

P(x)’in (x2+a), (x – a ) · (x – b ) ve(x – a ) · (x – b ) · (x – c ) ile

BÖLÜMÜNDEN KALANI BULMA

Polinomlarda bölme işlemi yapmadan,

P(x) = Q(x) · B(x) + K(x)

özdeşliğinden yararlanılarak K(x) kalan polinomunu bulmak için bölen polinom olan Q(x) sıfıra eşitlenerek bulunan en büyük dereceli x değeri,bölünen P(x) polinomun da yerine yazılarak sonuca gidilir.

z Q x x a ise2= +^ h

x a ise x a02 2+ = =-

değeri bölünen polinom da yerine yazılarak kalan bulunur.

z P(x) polinomu (x – a) · (x – b) çarpımı ile tam olarak bö-lünebiliyorsa,

(x – a) · (x – b)

çarpanlarıyla ayrı ayrı tam olarak bölünür.

�

��

��

�

P(x) = (x – a) · (x – b) · Q(x)+ 0

(x – a) · (x – b) = 0 ise

x – a = 0 ise x1 = a ise P(a) = 0 'dır.

x – b = 0 ise x2 = b ise P(b) = 0 'dır.

z P(x) polinomunun x a x b x c- - -^ ^ ^h h h çarpımı ile tam bölünüyorsa,

P(a) = 0 , P(b) = 0 , P(c) = 0

eşitliklerinden sonuca gidilir.

Örnek 2

P(x) polinomunun (x – 2) ye bölümünden kalan 3, (x + 3) 'e bölümünden kalan 13 ' tür.

Buna göre, P(x) ' in (x – 2) (x + 3) çarpımına bölümün-den kalanı bulalım.

Çözüm :

Kalan K(x) = a x + b şeklinde olacaktır.

Buna göre,

P(2) = 3 ise K( 2 ) = 2a + b = 3

P(– 3) = 13 ise K(– 3) = – 3a+ b = 13

Bu iki denklemi birlikte çözüldüğünde,

a = – 2 ve b = 7 'dir.

O halde kalan ax + b = – 2x+ 7 bulunur.

P(x) = 5x3 + ax2 + bx + 8

polinomunun x2 + 2 ile bölümünden elde edilen kalan 2x + 2 olduğuna göre, a + b toplamını bulalım.

Çözüm :

x2 + 2 = 0 ise x2 = – 2

P(x ) = 5 x2 · x + a x2 + b x + 8 ise,

5 (– 2) · x + a (– 2) + bx + 8 = 2 x + 2

– 10 x – 2 a + b x + 8 = 2 x + 2

(b – 10) x + 8 –2 a = 2 x + 2

iki polinomun eşitliğinden,

b – 10 = 2 ise b = 12

8 – 2 a = 2 ise a = 3

Buna göre, a + b = 15 bulunur.


4: B 5: A 6: D 1: E 2: C 3: B

1.��

P(x) = x4 + 2 x2 – 3x + 2

polinomunun x2 – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 3x + 5 B) 3x – 5 C) 4x – 5

D) – 2x + 3 E) – 3x + 5

5.

x

P x x Q xx

2

14 1

:

-

+ -= -

^ ^h h

polinom eşitliği veriliyor.

P(x) ' in x+2 ile bölümünden kalan 4 ' tir.

Buna göre, Q(x) ' in x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) – 16 B) – 8 C) –4 D) 16 E) 18

4.��

P(x) bir polinom ve,

x P x x a x1 32:- = + +^ ^h hifadesi verildiğine göre, P(2) kaçtır?

A) –2 B) –1 C) 0 D) 4 E) 5

2. P x x x x m x3 34 3 2= - + +^ hpolinomu x2 + 1 ile kalansız bölünebildiğine göre, m kaçtır?

A) – 3 B) – 2 C) – 1 D) 1 E) 3

6. z P x ve Q x^ ^h h iki polinomdur. z der P x Q x 8: =^ ^h h6 @

z derQ x

P x2=^

^hh> H

olduğuna göre, der P x Q x+^ ^h h6 @ kaçtır?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3.Bir P(x) polinomunun x – 3 ile bölümünden kalan k 'dır.

[ P(x2 + 2)]2– 6 P(x + 4) = – 9

olduğuna göre, k 'nın değeri kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6


5: E 6: B 7: A 8: D 1: C 2: D 3: E 4: B

4. P x x Q x x x2 1 2 22:- = + - +^ ^h h

polinomu veriliyor.

Buna göre, P(x) ' in x – 3 ile bölümünden kalan 6 ise,

Q(x) ' in x – 2 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) – 2 B) – 1 C) 1 D) 2 E) 3

1. P(x) ve Q(x) polinomlarının x – 2 ile bölümünden kalanlar sı-rasıyla 2 ve – 3 ' tür.

Buna göre, P x Q x2 :-^ ^h h polinomunun x – 2 ile bölü-münden kalan kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

2. P x x Q x x1 1 2 3:= + - + +^ ^ ^h h h

Buna göre, P(x) ' in x – 2 ile bölümünden kalan 13 ise Q(x) ' in x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) – 3 B) – 2 C) 0 D) 2 E) 6

8. Baş katsayısı 2 olan ikinci dereceden bir P(x) polinomu için

P(2) – P(0)= 4

olduğuna göre, P(3) – P(2) değeri kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

6. İkinci dereceden gerçek katsayılı bir P(x) polinomunun kök-leri – 2 ve 1 'dir.

P(0)= 6

olduğuna göre, x2 ' li terimin katsayısı kaçtır?

A) – 4 B) – 3 C) – 2 D) 3 E) 4

7. P(x) = 2x3 + x2 – 6x + 3 polinomu,

P(x) = (x + 2) · Q(x) + k

şeklinde yazılabiliyor.

Buna göre, k 'nın değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7


Buna göre, P x-^ h polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 7 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14

5. Baş kat sayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu x2 + 3 ile kalansız bölünebilmektedir. P(2x) polinomunun 2x – 1 ile bölümünden elde edilen ka-lan 20 dir.

Buna göre, P(– 3) kaçtır?

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

Polinomlar ÖDEV

25

12: C 13: B 14: C 9: C 10: A 11: B

9. P(x) = (x – 3)m +(x – 2)m – 1

polinomunun (x – 3) · (x – 2) çarpımına tam bölünebil-mesi için m nasıl bir sayı olmalıdır?

A) Pozitif tek tam sayı B) Negatif tek tam sayı

C) Pozitif çift tam sayı D) Negatif çift tam sayı

E) Herhangi bir pozitif tam sayı

10. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,

P(x) = (x – 5)2a+1 + ( x + 1)a + 4b–1 veriliyor.

P(x) polinomunun (x – 3) ile tam bölünebiliyor.

Buna göre, a ve b sayıları arasındaki bağıntı aşağıdaki-lerden hangisidir?

A) a = b – 1 B) a = b C) a – 1 = b

D) 2 a = b E) 2 a + 1 = b

11. P( x ) = 2x3 + 6x2 + 4x

Q( x ) = x2 + 3x + 2

Şeklinde P(x) ve Q(x) polinomları verilmiştir.

Buna göre, aşağıdaki polinomların hangileri 2x + 3 ile tam bölünür?

A) H( x ) = P( x ) + Q( x ) B) T( x ) = P( x ) + 3 Q( x )

C) R( x ) = 2 P( x ) + 3 Q( x ) D) S( x ) = 2 P( x ) – Q( x )

E) K( x ) = 3 P( x ) + 2 Q( x )

12. P( x ) = 2x5 + x3 polinomu veriliyor.

I. P(x) = P(– x)

II. P(– x) = – P(x)

III. der P2(x) = der P(x2)


A) Yalnız I B) Yalnız II C) II ve III


14. P x x x7 86 3= - -^ h polinomu, I. x – 2

II. x + 1

III. x + 2

ifadelerinin hangilerine bölünemez?



13. P x a x b2= +^ h

Q x x

P Q x x x

2

2 2 3:

= +

= + +^^^ ^ ^hhh h h

olduğuna göre, a ∙ b kaçtır?

A) – 5 B) – 4 C) 8 D) 10 E) 12

TEST 01 10. SINIF MatematikPOLİNOMLAR

26

5: E 6: A 7: D 8: D 1: D 2: C 3: E 4: C

1. A = x2 + 4x + 9

B = x3 + 6x – 2

olduğuna göre, Ax – B 'nin değeri aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 2x2 – 9x – 2 B) 2x2 – x + 2 C) x2 – 9x + 6

D) 4x2 + 3x + 2 E) – 2x2 + 6x – 2

6. k ve b sıfırdan farklı bir gerçek sayı olmak üzere,

(x2 + kx – 3) (x – 4) = x3 + b x2 + 5x + 12

Denklemi x ' in tüm değerleri için doğruysa, k + b 'nin de-ğeri kaçtır?

A) – 8 B) −6 C) −2 D) 3 E) 6

8. P x x x1 3 22 4 2+ = + +^ holduğuna göre, P(x) kaçtır?

A) 2x2+ 1 B) x2+ 2 C) x2+ 1

D) x2+ x E) x2 – x

2. P x a x b x x3 1 1 13= - + + + + +^ ^ ^h h h

ifadesi bir polinom belirttiğine göre, a + b toplamı kaçtır?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. P x P x x2 2 9+ - = +^ ^h h


A) 2x – 3 B) x + 3 C)3x – 2

D) – 2x – 3 E) – 2x + 3

5. P x x x m2 1 4 2 12+ = - + -^ h

P( x ) ' in sabit terimi – 5 olduğuna göre, P(x + 1) ' in kat-sayılar toplamı kaçtır?

A) 5 B) 4 C) – 3 D) – 6 E) – 7

4. a , b ve c sabitler.

z P(x) = 3x (5x – 2)

z Q(x) = 4 (2 – 5x)

P(x) – Q(x) = ax2 + bx + c

özdeşliğini sağlayan tüm x değerleri için b + c kaçtır?

A) 10 B) 7 C) 6 D) – 6 E) – 8

7. P(x) = (3x2 – x)4 + (2x – 1)3

Polinomun da tek dereceli terimlerin katsayıları toplamı kaçtır?

A) 98 B) 96 C) – 72 D) – 106 E) – 120

TEST - 01Polinomlar

27

12: E 13: C 14: C 9: D 10: E 11: A

9. Bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden elde edilen ka-lan P(a) 'dır.

P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden kalan 4 ' tür.

Q(x – 4) = (3x – 2) ∙ P(2 – x) – 2x + 5

Bu bilgilere göre, Q(x) polinomunun katsayılar topla-mı kaç tır?

A) 38 B) 42 C) 44 D) 47 E) 49

13. P(x) ve Q(x) birer polinomdur.

z der[x3 · P2(x) · Q( x )] = 20

z ( ) ( )

derx

P x Q x14

2

3:

=> H

Yukarıdaki verilenlere göre, der[P(x)] – der[Q(x)] işle-minin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

14. Huzur sokağının ortasına görme engellilerin rahat yürümesi için (x + 3) cm uzunluğunda ve (x – 1) cm genişliğinde olan plastik parke döşenecektir.

��

��

Döşenecek yolun uzunluğu x2 + 3x + 5x + 15 cm 'dir.

Buna göre, yola döşenecek plastik parke sayısı x cinsin-den aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x + 5 B) 2x + 3 C) x + 5

D) 2x – 3 E) x + 6

11. Bir iş makinesinin ön tekerleğinin çevresi (x – 2) metre, arka tekerleği-nin çevresi ise (x + 1) metredir.

Bu iş makinesi

2x2 + mx2 – 3x + n

metre yol gidiyor.

Her iki tekerleğin aynı yoldaki tur sayıları tam sayı oldu-ğuna göre, m + n toplamı kaçtır?

(Ön ve arka tekerlek arasındaki uzak dikkate alınmayacaktır.)

A) – 5 B) – 4 C) 4 D) 5 E) 6

10. a, b, c ve d sıfırdan farklı gerçek sayılar olmak üzere,

(2x2 + 5x – 3) (4x – 1) = ax3 + bx2 + cx + d

olduğuna göre,

I. a + b + c + d = 12 'dir.

II. b – a + d – c = 30 'dur.

III. b + d = 21 'dir.




12. P x x x x34 3 2= - +^ hpolinomu x2 + 2x ile bölündüğünde bölüm polinomu B(x) aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + x B) 2 x2 – 5x C) x2 – x + 1

D) x2 – x + 2 E) x2 – 5x + 11

TEST 02 10. SINIF MatematikPOLİNOMLAR28

5: A 6: C 7: E 1: D 2: C 3: A 4: B

6. P(x) üçüncü dereceden bir polinom olmak üzere,

P(– 2 ) = P( 3) = P(– 4) = 0

P( 0 ) = 6


A) 4 B) 5 C) 6 D) 10 E) 12

4. P(x) polinomu,

P(x) = – 2 (x2 – 6x – 12) + 3 (k – x)

şeklinde veriliyor.

P(x), x ile tam bölünebiliyorsa, k 'nın değeri kaçtır?

A) – 9 B) – 8 C) – 3 D) 3 E) 4

7. Gerçek katsayılı P(x), Q(x) ve T(x) polinomlarının sabit te-rimleri sıfırdan farklıdır.

Q(x) = P(x) · T(x – 1)

eşitliği doğrudur.

Q(x) ' in sabit terimi P(x) ' in sabit teriminin üç katıdır.

Buna göre, T(x) ' in x + 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

1. P(x) = 8x2 – 2

Q(x) = 2x2 – 9x + 4

R(x) = 4x3 + 2x2 – 6x – 3

polinomlardan hangileri 2x + 1 ile bölünebilir?

A) Yalnız P(x) B) Yalnız Q(x) C) P(x) ve Q(x)

D) P(x) ve R(x) E) Q(x) ve R(x)

3. P x x x3 22= + +^ h

olduğuna göre, P x 1+^ h ' in sabit terimi kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

2. P( 2 x2 + 1 ) = x6 – 3 x4 – 2

olduğuna göre, P(– 1) kaçtır?

A) – 9 B) – 7 C) – 6 D) 2 E) 4

5. P( 2x – 6) = 4x – 5


A) 2x + 7 B) x + 5 C) 3x + 4

D) 2x – 6 E) 4x + 6

TEST - 02Polinomlar29

11: A 12: B 13: E 8: D 9: A 10: C

8. Bir P(x) polinomunun x2 + 3x ile bölümünden bölüm T(x) ve kalan 4x + 3 ' tür.

Buna göre, P(x) polinomunun x + 3 ile bölümünden elde edilen bölüm aşağıdakilerden hangisidir?

A) x · T(x) – 1 B) x · T(x) + 2 C) (x + 1) · T(x)

D) x · T(x) + 4 E) T(x) + 4x

12. Bir P(x) polinomu x – a ile bölümünden kalan P(a) 'dır.

. . .P x P x P x P x P xtan

n

n e: : :=^ ] ] ] ]h g g g g1 2 34444444 4444444

eşitliği tanımlanıyor.

P(x) = x2 – 3x

olduğuna göre, P5(x) ' in x – 2 ile bölümünden kalan kaç-tır?

A) – 44 B) – 32 C) – 30 D) 12 E) 36

9. P( P(x)) bir polinom olduğuna göre,

I. P(x) + 2x,

II. P(x · P(x)),

III. P P x Px

21

+] dg n5 ?

ifadelerinden hangileri polinom 'dur?

A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I

D) Yalnız II E) Yalnız III

13. Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu,

z x2 + 3 ile kalansız bölünebilmektedir.

z P(3x) polinomunun 3x – 2 ile bölümünden elde edi-len kalan 35 ' tir.

Buna göre,

I. P(0) = 9 'dur.

II. P(1) = 16 'dır.

III. P(x – 2) 'nin katsayılar toplamı 8 'dir.




10. x > 0 olmak üzere, Kayseri ile Ankara arasında ki uzaklık

x3 + 6x2 + 7x – 2 kilometredir.

��

��

��

Aynı anda, Ankaradan (x2 + 2x) km hızla hareket eden bir otomobil ile Kayseriden (2x – 1) km hızla hareket eden bir minibüs kaç saat sonra karşılaşırlar?

A) x2 + 2 B) 2x + 1 C) x + 2

D) 3x + 2 E) 2x + 4

11. Bir P(x) polinomunda P(a) = 0 eşitliğini sağlayan a sayısı-na bu polinomun sıfırı denir.

Üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olan bir P(x) polino-munun tüm sıfırları – 3 ve 2 'dir.

P(x) polinomunun sabit terimi – 18 olduğuna göre, kat-sayılar toplamı kaçtır?

A) – 16 B) – 10 C) – 5 D) 8 E) 12

TEST 03 10. SINIF MatematikPOLİNOMLAR30

4: A 5: C 6: E 1: B 2: A 3: B

3. P(x) = 3x3 – 2x2 + 3 polinomu veriliyor.

Buna göre,

I. P(x) polinomunun x + 2 ile bölümünden kalan 30 ' dur.

II. P(x – 3) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan – 2 'dir.

III. x · P2(x – 2) polinomunun x – 3 ile bölümünden ka-lan 48 'dir.


A) I ve II B) II ve III C) Yalnız I

D) Yalnız II E) Yalnız III

4. P(x) ve Q(x) polinomlarının x + 1 ile bölümünden kalanlar sırasıyla 4 ve 6 'dır.

(m – 8)·P(3 – x) – m·Q(3 – x)

polinomu x – 4 ile tam bölünebildiğine göre m değeri kaçtır?

A) – 16 B) – 12 C) – 6 D) 8 E) 16

1. Bir P(x) polinomunun x – a ile bölümünden elde edilen ka-lan P(a) değeridir.

q bir gerçel sayı olmak üzere,

P(x) = x2 – qx + 3q – 5

polinomunun x – q ile bölümünden elde edilen kalan 13 olduğuna göre, q kaçtır?

A) 4 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

5. Üçüncü dereceden baş katsayısı – 1 olan gerçel katsayılı P(x) polinomu

P(1) = P(2) = P(– 3) = 9

eşitliklerini sağlıyor.

Buna göre, P(0) + P(– 2) değeri kaçtır?

A) – 3 B) – 1 C) 0 D) 6 E) 10

6. P(x) bir polinom olmak üzere, P(m) = 0 eşitliğini sağlayan m sayısına bu polinomun bir kökü denir.

P(x) ve Q(x) polinomları için,

z P(x) = 2x2 – 1

z Q(x) = P [P(x)] – 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

I. – 1 ve 2

II. 0 ve 1

III. – 1 , 0 ve 1

ifadelerinden hangileri Q(x) polinomunun kökleridir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve III


2. P(3x+2) in polinomunun sabit terimi 8 'dir.

Q(x+2) polinomunun katsayılar toplamı – 4 ' tür.

Buna göre,

4 ∙ P(3x – 1) – Q(2x + 1)

polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

A) 36 B) 37 C) 38 D) 40 E) 42

31

TEST - 03Polinomlar31

10: A 11: D 12: B 7: C 8: E 9: C

10. Üçüncü dereceden gerçel katsayılı P(x) polinomunun kök-leri – 2, 1 ve 3 ' tür.

P(0) = 18

olduğuna göre, x ' li terimin katsayısı kaçtır?

A) – 15 B) – 12 C) – 10 D) 6 E) 12

9. 3. dereceden bir P(x) polinomu ile ilgili aşağıdaki bilgiler ve-rilmiştir.

z P(x) polinomu x2 + 1 ile tam bölünen bir polinomdur.

z P(x) polinomunun baş katsayısı 3 ' tür.

z P(x) polinomunun sabit terimi – 8 'dir.

Bu bilgilere göre,

I. P(x) polinomunun katsayılar toplamı 7 'dir.

II. P(x + 2) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalan 10 'dur.

III. (3x2 + 2) + 3 P(x – 2) polinomunun x – 2 ile bölü-münden kalan – 10 'dur.




11. P(x) = x3 – bx + 1 polinomu veriliyor.

P(x – 2) polinomunun x + 1 ile bölümünden kalan ile

P(x + 2) polinomunun x – 1 ile bölümünden kalanlar bir-birine eşittir.

Buna göre, b 'nin değeri kaçtır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

8. En yüksek dereceli teriminin katsayısı 1 olan ikinci derece-den gerçel katsayılı bir P(x) polinomunun iki farklı kökü

P(0) ve P(– 2) değerleridir.

Buna göre, P(4) değeri kaçtır?

A) 13 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24

12. Bir P(x) polinomu x – k ile bölümünden kalan P(k) ' dır.

P x P P P P xn : : :=^ ] ]h gg6 @

eşitliği tanımlanıyor.

Örneğin : n = 2 için P2(x) = P(P(x))

n = 3 için P3(x) = P(P[P(x)])

P(x) = x · (3 – x)

olduğuna göre, P15(x) ' in x – 1 ile bölümünden kalan kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. k gerçek sayı olmak üzere,

(x – 3) ∙ P(x + 2) = x3 – 3x2 +kx – 6

eşitliğini sağlayan P(x + 2) polinomunun x – 3 ile bölü-münden kalanı bulunuz.

A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

10. SINIF MatematikPOLİNOMLAR

32

TEST 04

5: A 6: E 7: B 1: C 2: A 3: D 4: A

7. P x x x3 12= - +^ h

Q x x x2 3 13 2= - +^ h

olduğuna göre, P(x2) – Q(x) ' in sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2x3 + x2 B) x4 – 2x3 C) x3 – 1

D) x3 – x – 1 E) 2x4 – 1

1. P x a x a b x x5 4c3 2 3= + + - - +-^ ^h h

polinomu sabit polinom olduğuna göre, b + c + P(5) kaçtır?

A) 8 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

6. P x x x2 3 23 2= - +^ h

Q x x x 32= + -^ h

olduğuna göre, P x x Q x:-^ ^h h ifadesinin sonucunu aşa-

ğıdakilerden hangisidir?

A) 2 x2 + x + 2 B) x3 – 2 x2 – 3 x + 1

C) x3 – 2 x2 + 1 D) x3 – 4 x2 + 3 x – 2

E) x3 – 4 x2 + 3 x + 2

3. P(x) = x3 + 2x2 – mx + 6

polinomunun x – 2 ile bölümünden elde edilen kalan 6x olduğuna göre, m kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

4. P(x) birinci dereceden bir polinom, Q(x) = k sabit polinom-dur.

z P(x) – Q(x) = 3x + 2

z P[Q(x)] = 6

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, k 'nın değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 21

D) 32

E) 43

2. P(x) = x3 + m x2 + n

polinomu, x + 1 ile tam bölünebiliyor.

Buna göre, m + n toplamı kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. x P x x x1 2 33:+ = + +^ ^h h


A) 2 x2 – 2x + 3 B) 2x + 3 C) 2x – 3

D) 2x2 – 3 x+ 3 E) 3x2 – 3

33

Polinomlar33

TEST - 04

11: D 12: B 13: E 8: C 9: A 10: C

13. P x^ h bir polinomdur.

x P x x a x1 52:- = + -^ ^h h

ifadeleri veriliyor.

I. a 'nın değeri 4 ' tür.

II. ' .P dir2 7=^ h III. P x^ hin sabit terimi 5 ' tir.yargılarından hangileri doğrudur?


D) I ve II E) I, II ve III

10. P x x x x2 43 2= - + +^ h

Q x x x32= -^ hpolinomları veriliyor.

T x P x Q x 1:= +] ^ ^g h holduğuna göre,

I. T(1) = – 12 'dir.

II. T(– 1) = – 1 'dir.

III. T(x) polinomu x + 1 'e tam bölünür.


A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve III


11. x P x x x m2 23:- = - +^ ^h holduğuna göre, P(x) polinomu aşağıdakilerden hangi-sidir?

A) x2 + 1 B) x2 + 2x C) x2 + 2

D) x2 + 2x + 2 E) x2 – 2x + 2

9. x x

xx

Ax

B

2 3

3 12 3:- +

-=-++^ ^h h

olduğuna göre, A + B kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

8. P(x) = ax2 – bx – 2c

polinomunun, x2 – 1 ile tam bölünüyor.

Buna göre,

I. b = 0 'dır.

II. a = 2c 'dir.

III. a + c = 3 ' tür.




12. P(x) polinom olmak üzere, P(k) = 0 eşitliğini sağlayan k sa-yısına bu polinomun bir kökü denir.P(x) ve R(x) polinomları için,

P(x) = x2 – 1

K(x) = P(P(x)) eşitlikleri veriliyor,

Buna göre,

I. – 1

II. 0

III. 1

Sayılarından hangileri K(x) polinomunun köküdür?



10. SINIF MatematikPOLİNOMLAR

34

3: C 4: E 1: C 2: D

TEST 05

4. Bir P(x) polinomu için aşağıdaki bilgiler bilinmektedir.

z P(x) polinomu 3. dereceden bir polinomdur.

z P(x) polinomunun sıfırları (kökleri) – 2, – 1 ve 3 ' tür.

z P(x) polinomunun katsayılar toplamı – 6 'dır.

Verilen bu bilgilere göre,

I. P(3x2 + 1) polinomunun sabit terimi – 6 'dır.

II. P(x – 1) polinomunun katsayılar toplamı – 3 ' tür.

III. P(x) +(3x2 + 2) polinomunun x – 2 ile bölümünden kalan 8 'dir.




2. Gerçel katsayılı ve baş katsayısı 1 olan dördüncü dereceden bir P(x) polinomu her x gerçel sayısı için

P(x) = P(– x)

eşitliğini sağlamaktadır.

P(3) = P(4) = 0

olduğuna göre,

I. P(0) =144 ' tür.

II. P(1) = 120 'dir.

III. P(– 1) = 100 'dür.




1. Baş katsayısı – 1 olan dördüncü dereceden bir polinomun köklerinin birer tam sayı olduğu bilinmektedir.

Bu polinomun grafiğinin, dik koordinat düzleminde eksenleri kestiği noktalara ait bazı parçaları aşağıda verilmiştir.

�

��

�

��

Buna göre, bu polinomun katsayıları toplamı kaçtır?

A) 30 B) 24 C) – 32 D) – 34 E) – 36

3. m ve n tam sayılar olmak üzere,

P(x) = x3 – mx2 + (n – 2 )x – 3n

Q(x) = x2 + 2m x – n

polinomları için

z P(– 3) = 0

z Q(– 3) ≠ 0

olduğu biliniyor.

Q(x) polinomunun kökleri aynı zamanda P(x) polinomu-nun da kökleri olduğuna göre, m ·n çarpımı kaçtır?

A) 6 B) 3 C) 2 D) – 2 E) – 3

ÇARPANLARA AYIRMA

BÖLÜM-2

Ortak Çarpan Parantezine Alma

Tam Kare Özdeşliği

İki Kare Farkı Özdeşliği

İki Küp Toplamı ve Farkı Özdeşliği

Ax2 + Bx + C Üç Terimlisinin Çarpanlara Ayrılması

Özdeşliklerden Yararlanarak Sayı Değeri Bulma

Değişken Değiştirme Ve Terim Ekleyip Terim Çı-karmak Suretiyle Çarpanlara Ayırma

Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi

Rasyonel İfadelerde Dört İşlem

A. ÇARPANLARA AYIRMA B. RASYONEL İFADELER

ÇARPANLARA AYIRMA Beküp Yayınları

Örnek 1

36

Örnek 3

Örnek 2

ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA

Bir P(x) polinomunun A(x) ve B(x) gibi polinomların çar-pımı şeklinde yazılmasına P(x) polinomunun çarpanlara ay-rılması denir.

1. Ortak Çarpan Parantezine Alma Bir polinomun her teriminde ortak olan bir çarpan varsa bu çarpan, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğinden ya-rarlanılarak çarpanlara ayrılır.

P(x) = x · (x + 2) – 5 (x + 2)

ifadesinde x + 2 ortak çarpandır. O halde;

P(x) = (x + 2) · (x – 5) şeklinde çarpanlarına ayrılır.

z x (x + 1) – y (a + 1)= (a + 1) · (x – y)

z ax2 – 2a x = a x x – 2 ax

= ax · ( x – 2 )

z x (a + b) – a – b = x (a + b) – (a + b)

= (a + b) · (x – 1)

2. Gruplandırarak Çarpanlara AyırmaTerim sayısı en az dört tane olan cebirsel ifadelerde kullanılır.

Her terimde ortak çarpan olmadığı durumda, terimler uygun şekilde gruplandırılarak, bu gruplar kendi arasında ortak çar-pan parantezine alınarak sonuca gidilir.

z a a b b a a b a a b3 3 3 32 3 2 3+ - - = - + -1 2 344 44 \ = a2 (b – a) – 3 (b – a)

= (b – a) · (a2 – 3)

3. Parantez

z a b b a- =- -^ h

z a b b a 22- = -^ ^h h

A x a b y b a2 2: := - - -^ ^h h

ifadesini çarpanlara ayıralım.

Çözüm :

A x a b y a b2 2:= - - - -^ ^h h6 @

= x · (a – 2b) + y · (a – 2 b)

=x · ( a – 2b ) · (x + y)

z a x b x b a x3 2- + -


Çözüm :

ax bx ax b x

x

ax b ax b

ax b 1

3 2 2

2

:

:

- - + = -

= -

- -

- ^

^ ^

^ h

h h

h1 2 344 44\

z a b b a3 32 2: :+ - +^ ^h hifadesini çarpanlara ayıralım.

Çözüm :

ab a ba b ab ba a b

a b

ab

b a b a

b a

3 3 3 3

3

3

2 2 2 2

:

:

+ - - = - + -

= -

= -

- -

- ^^ ^

^ hh h

h

1 2 344 44 \

x y x y2+ - -^ h


Çözüm :

x y x y x y

x y

x y x y

x y 1

2:

:

+ - - = + -

= + -

+ +

+

^ ^^ ^^

h hh hh 6 @

Çarpanlara Ayırma10. Sınıf Matematik Temel Test37

5: A 6: C 7: D 1: E 2: B 3: A 4: E

1. a x y x y- - +^ h

ifadesinini çarpanlara ayrılmış hali aşağıdakilerden han-gisidir?

A) (x – y) · (a + 1) B) (a – x) · (a + y)

C) (x + y) · (a – 2) D) (x + y) · (a + 1)

E) (x – y) · (a – 1)

3. a b

a c

5

3

� �

� �

olduğuna göre, a b b c a c c2- + - ifadesinin değeri kaç-tır?

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

6.

A x

B y

1

1

= -

= -

olduğuna göre, 1– A – B + A B ifadesinin eşiti aşağıda-kilerden hangisidir?

A) x + y B) x – y C) x y D) x y + 1 E) 1 – x y

2.

a b

a b

3

3 4

: =

- =

olduğuna göre, a b b a3 2 2- ifadesinin değeri kaçtır?

A) 15 B) 12 C) 10 D) 9 E) 8

5. a b b c 4- = - = olduğuna göre,

a a b b c a c2 - + -

ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 32 B) 30 C) 27 D) 25 E) 20

7.

x

y

3 1

2 3

- =

+ =

olduğuna göre, 12 2 6 3 2- - + ifadesinin eşiti aşağı-

dakilerden hangisidir?

A) x + y B) 2x – y C) x – 2y

D) x y2 E) x y2 $

4. I. a b a b- =- +^ h

II. x y y x2 2- = -^ ^h h

III. x y y x3 3- = -^ ^h h


A) I ve II B) II ve III C) I ve III

D) Yalnız I E) Yalnız II

ÖDEV 10. SINIF MatematikÇARPANLARA AYIRMA38

1: D 2: D 3: A 4: B 5: A 6: E 7: B 8: C

2. a – b = 3

a – x = 2

olduğuna göre,

a ax bx ab2 - + -


A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

5. a b b a 242 2- - + =

a b 3- =

olduğuna göre, b kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

3. a x b 1+ = olduğuna göre,

a x a x y a b x b y2 2 + + +


A) ax + y B) ax – y C) x + y

D) x – y E) y – ax

4. a b1 3- + = olduğuna göre,

a b a b a b2 2+ - ifadesinin sonucu kaçtır?

A) a b B) 3 a b C) a + b

D) 2 a b E) 2 a + b

1. I. a a b a a b2 :- = -^ h

II. a x a b x a x x b2 :- = -^ h

III. a a a a a a3 2 2:+ + = +^ h




7. a a a2 5 103 2- + -

ifadesinin çarpanlara ayrılmış hali aşağıdakilerden han-gisidir?

A) (a – 2) · (a2 – 5) B) (a – 2) · (a2 + 5)

C) (a – 1) · (a2 – 2) D) (a2 – 2) · (a + 5)

E) (a + 2) · (a2 + 5)

8. x y a y x2 2:- - -^ ^h h


A) (x – y) · (a – 2) B) (a – 1) · (x2 – y)

C) (x – y)2· (a – 1) D) (x + y )2·( a – 1)

E) (x – y)2 · (a + 1)

6. (x – 2)3 – (2 – x)2

ifadesinin çarpanlarına ayrılmış hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – 2)2 – 3 B) (x2 – 4) C) (x2 – 2)·(x – 3)

D) (x + 2) · (x2 – 3) E) (x – 2)2· (x – 3)

39

Çarpanlara Ayırma ÖDEV

39

13: C 14: E 15:E 9: E 10: D 11: B 12: A

9. a, b, c gerçel sayılardır.

a b c

a c b

7

13

:

:

- =

- =

olduğuna göre, b c a 1:+ -^ ^h h çarpımı kaçtır?

A) 91 B) 72 C) 33 D) 21 E)20

10. a a b b2 92: - + -^ h

ifadesinin çarpanlarından biri aşağıdakilerden hangisi-dir?

A) a + b – 3 B) a + b C)a – b

D) a – b – 3 E) a + b + 3

13. a + b = 5

a + c = 3

ifadeleri veriliyor.

I. a2 + ac + ba + bc = 12 'dir.

II. b2 + ab – bc – ac = 10 'dur.

III. c2 + ca – ab – bc = – 6 'dır.



D) I ve III E) I ve II

12. x + y = 3

y – a = 5

olduğuna göre,

x y + y2 – ax – ay

işleminin sonucu kaçtır?

A) 15 B) 13 C) 12 D) 10 E) 7

11. x ≠ – y olmak üzere,

ax +x2 = y2 – ay

olduğuna göre, a ' nın x ve y cinsinden değeri aşağıda-kilerden hangisidir?

A) x + y B) y – x C) x – y + 1

D) 2y – x E) x + 2y

14. a, b, k sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere,

(ax + 7) ∙ (bx – 1) = 12x2 + kx + b – 13

özdeşliği tüm x değerleri için doğrudur.

Buna göre, k ' nın değeri kaçtır?

A) 8 B) 20 C) 25 D) 30 E) 40

15.

z (ax + 2) (bx +7) = 15x2 + cx + 14

z a + b = 8

olduğuna göre, c 'nin iki olası değeri aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 ve 10 B) 5 ve 15 C) 10 ve 21

D) 31 ve 35 E) 31 ve 41

Örnek 2


Örnek 1

40

Örnek 3

TAM KARE ÖZDEŞLİĞİ

İçerdikleri değişkenlere verilen her sayı için doğru olan eşit-liklere özdeşlik denir.

a · ( x + 2 ) = a x + 2 a

x · ( x – 1 ) = x2 – x

Tam Kare Özdeşliği: z ( a + b )2 gibi tam kareli bir ifadenin açılımını yapmak için,

" Birinci terimin karesi, artı birinci terim ile ikinci terimin çar-pımının iki katı, ikinci terimin karesi " şeklinde işlem yapılır.

a b a a b b22 2 2+ = + +^ h

a b a a b b22 2 2- = - +^ h

a b c a b c a b a c b c22 2 2 2+ + = + + + + +^ ^h h

z a2 – 2 ab + b2 açılımı verilen bir ifadenin tam kare şeklin-

de yazılımı yapılırken aşağıdaki yöntem uygulanır.

��

��

��

��

��

��

�

�

Üç terimli bir ifadenin 1. ve 3. terimleri aynı işaretli ise uy-gun düzenlemeler yapılarak karekökleri alınır. Karekökleri-nin çarpımının iki katı 2. terimi veriyorsa bu ifade tam karedir.

��

��

Aradaki işaret artı olursa,

��

��

��

a, b, c pozitif gerçek sayılardır.

ba

cb

ve a a c a b2 92= + + =

olduğuna göre, a + b 'yi bulalım.

Çözüm :

ba

cb

ise b a c2 := =

a2 + a · c + 2 a b = 9 a2 + b2 + 2 a b = 9

( a + b )2 = 9 ise a + b = 3 ' tür.

510 502 511 501: :-

işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm :

502 = a olsun,

( ) ( ) ( )A a a a a8 9 1: :� � � � �

( )A a a a a a8 9 92 2= + - - + -

)

.

A a a a a a

bulunur

8 9 9

9 3

2 2= + - + - +

= =

2x2 – 4x + 2 xy + y2 + 7

ifadesinin en küçük değeri için y 'yi bulalım.

Çözüm :

x y y xx x2 4 34–22 2+ + + + +1 2 34444 4444 1 2 3444 444

(x + y)2 + (x – 2)2+ 3

Bu ifadenin en küçük değerini alması için tam karelerin içi sıfır olmalıdır.

x – 2 = 0 ise x = 2

x + y = 0 ise y = – 2 bulunur.


5: D 6: A 7: B 8: C 1: B 2: E 3: D 4: A

1.

a 5 1= + olduğuna göre,

a a1 22 + - ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

5.

z a b c 62 2+ = +

z a b c 3: = -

olduğuna göre, (a + b)2 'nin değeri aşağıdakilerden han-gisidir?

A) 12 B) 6 C) 2c D) 3c E) 2c – 6

3.

z x 3 2= -

z y 3 2= +

olduğuna göre, (x – y)2 + 4 x y ifadesinin sonucu kaçtır?

A) – 6 B) – 4 C) 8 D) 12 E) 16

7. 26 – 25 + 2x

ifadesi bir tam sayının karesine eşittir.

Bu eşitliği sağlayan x ' in tam sayı değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6

2.

z a ab 52 - =

z b ab 42 - =

olduğuna göre, a – b 'nin pozitif değeri kaçtır?

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

6.

49

2516

512

+ -


A) 107

B) 57

C) 65

D) 37

E) 25

4. I. x2 – 6 x + a + 1

II. y2 – ( a – 4 ) y + b

III. z2 – ( b – 2 ) z + c

ifadeleri tam kare olduğuna göre, a + b + c kaçtır?

A) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

8. z (p + q)2 = 78

z (p – q)2 = 50

olduğuna göre, p ∙ q kaçtır?

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9


5: B 6: A 7: D 8: A 1: C 2: B 3: A 4: B

4. 567 563 4: +


A) 570 B) 565 C) 562 D) 560 E) 557

2. (2a + b)2 – (a + 2b)2 = x (a2 – b2)

olduğuna göre, x ' in değeri kaçtır?

A) 4 B) 3 C) – 5 D) – 4 E) – 3

1. 3 2 1 3 2 12 2- + +_ _i i


A) 28 B) 36 C) 38 D) 40 E) 42

3 x 7 2= -

A = x2 + 4 + 4x

olduğuna göre, A 'nın değeri kaçtır?

A) 7 B) 10 C) 14 D) 21 E) 35

5. a b b c a c 13+ + =

a b c 8+ + =

olduğuna göre, a b c2 2 2+ + kaçtır?

A) 40 B) 38 C) 35 D) 32 E) 30

6. a a 12 = -

olduğuna göre, a5 ' in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) 1 – a B) a C) a+2 D)1+a E) 1 + a

7. (a – b)2 + (a + b)2= 24

olduğuna göre, a2 + b2 sayısı kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

8. Aşağıda büyük karenin bir kenar uzunluğu x + 2 cm küçük karenin bir kenar uzunluğu ise x cm ' dir.

��

Buna göre, büyük karenin alanı küçük karenin alanından ne kadar fazladır?

A) 4x + 4 B) 4x + 3 C) 3x + 4

D) 4x + 2 E) x2 + 4

43


43

13: C 14: B 15: D 9: B 10: D 11: C 12: A

14. x2 + x + 1 = 0

olduğuna göre, x5 ' in eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) – x + 1 B) – x – 1 C) 2x + 1

D) – x + 2 E) x + 1

12. 2x – y = 4

x · y = 2

olduğuna göre, x y21 1 2-d n ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 21

E) 31

10. xx1

3+ =

olduğuna göre, xx

122

+ 'nin değeri kaçtır?

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

9. A2 = 537 · 545 + 16

olduğuna göre, A sayısı kaçtır?

A) 539 B) 541 C) 542 D) 8 E) 16

15. Yandaki ABCD kare şeklindeki

��

� �

��

� �

��

kartondan bir kenarı (x – 3) cm olan EFGH kare şeklindeki parça kesilip çıkartılıyor.

Kalan parçanın alanı 14x + 7

polinomu ile ifade ediliyor.

Buna göre,

ABCD kare şeklindeki kartonun kesilmeden önceki alanı aşağıdakilerden hangisidir?

A) x2 + 8x B) 2x2 – 9x C) x2 + 10x

D) x2 + 8x + 16 E) x2 + 9x + 18

11. 133 139 9: +


A) 133 B) 135 C) 136 D) 142 E) 266

13. xx y y

4 4 9

4 2 2

- +


A) x y

2 3- B)

x y

2 3+ C)

x y

2 3

2-

D) x y

3 2- E)

x y

3 2

2+

Örnek 2


Örnek 1

44

Örnek 3

İKİ KARE FARKI ÖZDEŞLİĞİ

İçerdikleri değişkenlere verilen her sayı için doğru olan eşit-liklere özdeşlik denir.

a · ( x + y ) = a x + a y

x2 · ( b – 1 ) = x2 · b – x2

İki Kare Farkı Özdeşliği:

A B A B A B

A B

2 2 $� � � �. .

^ ^h hS S

Fark şeklinde yazılan her ifade bu özdeşlik yardımıyla çar-panlara ayrılabilir.

x y x y x y2 2 :- = - +^ ^h h

x y x y x y:- = - +_ _i i

a b a b a b2 :- = - +_ _i i

a2 – 9 = a2 – 32

= ( a – 3 ) · ( a + 3 )

9 x2 – 25 = ( 3 x )2 – 52

= ( 3 x – 5 ) · ( 3 x + 5 )

İki kare farkı özdeşliğini şekil üzerinden daha anlaşılır bir şe-kilde izah etmek gerekirse,

Yandaki şekilde bir kenarı

��

��

�

��

��

��a cm olan karenin bir kenarı

b cm olan kare çıkarıldığında

geriye taralı alanlar kalır

Taralı alanların toplamı:

T = a ∙ (a – b) + b ∙ (a – b)

= a2 – ab + ab – b2

=a2 – b2 bulunur.

k23 4 192 2- =

olduğuna göre, k ' nın değerini bulalım.

Çözüm :

.

k

k

k

k bulunur

23 19 4

23 19 23 19 4

4 42 4

42

2 2

:

:

- =

- + =

=

=

^ ^h h

a2 – b2 = 24

a b a b1 1 2+ =

-

olduğuna göre, a · b çarpımını bulalım.

Çözüm :

a ba b

a bise a b a b

222 2 : :

$

+=-

- =

24 = 2 · a · b

12 = a · b bulunur.

A = 6 · ( 52 + 1 ) · ( 54 + 1 )

olduğuna göre, 58 – 1 ' in A cinsinden işitini bulalım.

Çözüm :

( ) ( )A1

6 5 1 5 14

4 2 4: : : := + +

( ) ( )( ) ( )A1

5 1 5 14

5 1 5 1 2 4: : : := + +- +1 2 34444 4444

4 · A = ( 52 – 1 ) · ( 52 + 1 ) · ( 54 + 1 )

4 · A =( 54 – 1 ) · ( 54 + 1 )

4 · A =( 58 – 1) bulunur.


5: D 6: E 7: A 1: A 2: C 3: B 4: C

5. ( a – x )2 – 1


A) (a – x + 1) · (a – x + 2)

B) (a – x – 1) · (a + x + 1)

C) (x – a – 1) · (a – x + 1)

D) (a – x – 1) · (a – x + 1)

E) (a + x – 1) · (a – x + 1)

2.A + B + C= 1 olduğuna göre,

A · B – B · C + A2 – C2

işleminin sonucunu aşağıdakilerden hangisidir?

A) 3 B) A C) A – C D) B – A E) A + C

6.

z a 3 2� �

z b 3 1=- +

olmak üzere,

( a – b )2 + 4 ab


A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

1.

a b

a b

4

242

- =

- =

olduğuna göre, a b+ 'nin değeri kaçtır?

A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15

4.

z a b 2- =

z a b 8 2+ = +

olduğuna göre, a2 – 2 a – b2 + 2 b ifadesinin değeri kaç-tır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

3.

x 58= için ,

(x – 1) · (x2 + 1) · (x4 + 1) · (x + 1)


A) 3 B) 4 C) 5 D) 8 E) 10

7. z x = 3n + 3– n

z y = 3n – 3– n

olduğuna göre, ( x2 – y2 )3 işleminin sonucu kaçtır?

A) 64 B) 49 C) 36 D) 27 E) 8


5: C 6: D 7: C 8: C 1: D 2: E 3: A 4: B

1. I. a a a1 1 12 - = - +^ ^h h

II. x x x9 3 32- = - +^ ^h h

III. x x x4 2 2- = - +^ ^h h




3. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere,

a b 172 2� �

olduğuna göre, a ∙ b kaçtır?

A) 72 B) 64 C) 56 D) 54 E) 48

2. I. a a a4 2 2·- = - +^ ^h h

II. a b a b a b·- = - +_ _i i

III. x x x3 3 3·2 - = - +_ _i i




4. 3 1 3 1 3 1 3 1· · ·8 8 4- + + +_ _ _ _i i i i


A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5. a – b = b – c = 3

olduğuna göre, a2 + c2 – 2 b2 işleminin sonucu kaçtır?

A) 13 B) 16 C) 18 D) 19 E) 20

7. a b 4- =

a b ab 1+ - =

olduğuna göre, a ab a b b2 2 2 2+ - - ifadesinin sonucu kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8

6. m2

197 97 100 28812

2 2 :- -=

^ h

olduğuna göre, m kaçtır?

A) 15 B) 20 C) 22 D) 25 E) 27

8. (x + y)2 – (x – y)2 = 28

olduğuna göre, x ∙ y kaçtır?

A) 1 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10

47


47

13: A 14: D 15: B 16: A 9: A 10: E 11: A 12: D

12. a a a1 1 1 7· ·4 4+ - + =^ ^ ^h h h

olduğuna göre, a 13 + kaçtır?

A) 6 13 + B) 33 C) 4 D) 3 E) 2

13. 4 a3 1+ =1

olduğuna göre,

8 8

23 1

3 1 3 1

-

- +

1

1 1

a

a a

k

k k

işleminin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) a1

B) a2

C) a D) a + 1 E) a – 1

9. a b a b c2 12 2 2+ + -


A) ab – c + 1 B) a + b – c + 1 C) ab + 1

D) a – b + c + 1 E) ab + c – 1

10. ( 93 )2 – ( 57 )2 = 72 · A

olduğuna göre, A kaçtır?

A) 60 B) 64 C) 65 D) 70 E) 75

11. 151

151

1251

15

1· ·

x- + + = -d d dn n n

olduğuna göre, x kaçtır?

A) 4 B) 3 C) 2 D) – 3 E) – 4

15. a3 141� � olduğuna göre,

23 1-1

ifadesinin a cinsinden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?

A) a2 – 2 B) a2 – 2a C) 2 a – 1

D) a – 1 E) a2 + 2a

14. a b a b b1 5 2 1·2 2+ - - - = -^ ^ ^h h h

olduğuna göre, 2a – 1 kaçtır?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

16. x2 – y2 + 2x – 4y – 3

ifadesinin çarpanları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (x – y – 1) (x + y + 3) B) (x + y – 1) (x + y – 2)

C) (x + y – 1) (x + y + 1) D) (x + y – 1) (x – y – 1)

E) (2x – y – 1) (x + y + 3)


Örnek 1

48

Örnek 2

İKİ KÜP TOPLAMI VE FARKI ÖZDEŞLİĞİ

İki Küp Toplamı ve Farkı:

a b a b a a b b

a b a b a a b b

3 3 2 2

3 3 2 2

- = - + +

+ = + - +

^ ^

^ ^h h

h h

z a3 – 1 = a3 – 13

= (a – 1) · (a2 + a + 1)

z x3 – 8 = x3 – 23

= (x – 2) · (x2 + 2x + 4)

z a3 + 27 = a3 + 33

= (a + 3) · (a2 – 3a + 9)

z 8 x3 + 125 = (2x)3 + 53

= (2x + 5) · (4x2 – 10x + 25)

İki Terimin Toplam ve Farkının Küpü:

x y x x y x y y

x y x x y x y y

3 3

3 3

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

+ = + + +

- = - + -

^^

hh

z (x + 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1

z (a + 2)3 = a3 + 3 a2 2+ 3 a 22 + 23

= a3 + 6a2 + 12a + 8

z x 4 13= + içn,

x3 – 3x2 + 3x – 1 ifadesin değerini bulmak için;

x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x – 1)3

= 4 1 133

+ -_ i

= ' ü .t r4 433=_ i

a, b gerçel sayılar olmak üzere,

a a b

b ab

3 13

3 77

3 2

3 2

- =

- =

olduğuna göre, b – a 'yı bulalım.

Çözüm :

İkinci denklemi ( – 1 ) ile çarpıp taraf tarafa toplayalım.

a3 – 3 a2 b = 13

– b3 + 3 a b2 = –77

a3 – 3 a2 b + 3 a b2 – b3 = – 64

(a – b)3 = (– 4)3

a – b = – 4

ise b – a = 4 bulunur.

x x 1 02 - + =

olduğuna göre, xx

199

+ 'u bulalım.

Çözüm :

Verilen eşitliğin her iki tarafını x+1 ile çarpalım.

.

x x x x

x ise x dir

1 1 0 1

1 0 1

· ·2

3 3

+ - + = +

+ = =-

^ ^ ^h h h1 2 344444 44444

Buna göre,

.

xx

xx

bulunur

1 1

11

1

1 1

2

99

3 3

3 3

33

+ = +

= - +-

=- + -

=-

^^

^^

^

hh

hh

h


5: D 6: C 7: E 8: B 1: C 2: D 3: A 4: B

1.

a 113= olduğuna göre,

(a – 2) · (a2 +2a + 4) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

5.x = 999 olduğuna göre,

A = x3 +3 x2 + 3 x+ 1

olduğuna göre, A sayısının sondan kaç basamağı sıfır-dır?

A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

3.

x x 1 02 + + =

olduğuna göre, x x x18 9 3+ + 'nin değeri kaçtır?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

7.x

x33

2+ = olduğuna göre,

(x + 1)3 + 3 (x + 1)2 + 3 (x + 1) + 1


A) 25 B) 27 C) 50 D) 64 E) 125

2.

z a b 263 3- =

z a b ab 62 2- =

olduğuna göre, a – b kaçtır?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

6. z x y 293 3+ =

z

10 sin 03 fasikul - idea-filesidea-files.com/bekup_pdf/10sinif/10_03_fasikul.pdfz polinomlar da...

Documents