10. sinif matematikÖrneğin, bir sınıfta 8 erkek, 12 kız öğrenci varsa sınıf mevcudu 8 + 12...

10. SINIF

DERS ANLATIM REHBERIMATEMATIK

2

KÜ

NY

E

10. Sınıf Matematik Ders Anlatım Rehberi

OK00-10.02DER05

978-605-2000-30-4

İnci Baykal - Saadet Çakır - Rafet Özdemir

Bilal Çakır - Nilgün Anbarlı

TestOkul Dizg i Servisi

Kısmet Gül Albayrak

Erkan Kılıç - Ömer Faruk Erdem

Özge Burhan

Nilgün Aydoğan

Aykut Matbaası / Firuzköy Mah. Mezarlık Üstü Cad. No: 24 / 26

A Blok Avcılar / İST. tlf: 0 212 428 52 74 - 428 54 26

0 212 275 00 35 www.testokul.com / [email protected]

Gülbahar Mah. Cemal Sururi Sok. No:15 / E Halim Meriç İş

Merkezi Kat: 9 Mecidiyeköy / İST.

Fikir ve Sanat Eserleri Kanunu’na göre her hakkı Ek-

sen Yayıncılık ve Eğitim Malz. San. Tic. AŞ’ye aittir. Eksen

Yayıncılık’ın yazılı izni olmaksızın, kitabın herhangi bir şekilde

kısmen veya tamamen çoğaltılması, basım ve yayımı hâlinde

gerekli yasal mevzuat uygulanır.

ürün adı

ürün no

isbn

yazarlar

katkıda

bulunanlar

dizgi-mizanpaj

grafik tasarım

dijital içerik

editör

yayın yönetmeni

baskı

iletişim

Copyright ©

3

MER

HA

BA

Sevgili Öğrenciler,

Her gün birçok farklı dersle karşı karşıya kalıp hepsinden notlar tutan, bu sıra-

da dersi ve öğretmeni takip edip konuyu iyice anlamaya uğraşan, sonrasında ise

tekrar etmek için çaba sarf eden sizlere işinizi çok kolaylaştıracak yeni bir ürün

sunuyoruz: Matematik Ders Anlatım Rehberi.

Ders Anlatım Rehberi, adı üstünde, size dersi öğrenme süreciniz boyunca rehber-

lik yapacak. Nasıl mı?

Öğretmeniniz akıllı tahtada ders anlatıyor, siz de not tutuyorsunuz ama “Ders

Anlatım Rehberi” sizi yönlendiriyor hangi notları tutacağınız hususunda. Temel

mantığı bu. Böylelikle uzun uzun yazıp hem yorulmamış hem de yazarken konu-

nun önemli noktalarını kaçırmamış oluyorsunuz.

Öncelikle her bir ünitede neler öğreneceğinizi, hangi konularla karşı karşıya ka-

lacağınızı gösteriyoruz ünitelerin ilk sayfasında. Bu sayede derse bir ön hazırlık

sağlanmış oluyor. Sonra küçük alt başlıklara ayrılmış şekilde konuları öğrenmeye

başlıyorsunuz. Çözümlü örnekler ve etkinliklerle size anlatılanlar somutlaşıp zih-

ninize yerleşiyor. Ayrıca konunun önemli noktalarını, konuyla ilgili daha ayrıntılı

ve ilginç bilgileri renkli bölümlerle size sunuyor Ders Anlatım Rehberi. Kare kod-

ları kullanarak anlatımlardaki boşluklara, örneklerin ve etkinliklerin cevaplarına

ulaşıyorsunuz.

Ders Anlatım Rehberi, akıllı tahtada, konunun kavranmasına ve iyice anlaşılması-

na yardım edecek görsel ögeler ve videolar içeriyor.

Konu anlatımını pekiştirmeye yönelik çok sayıda etkinlik bulacaksınız bu kitapta.

Bu etkinlikler hem yoğun konu anlatımına boğulmamanızı, soluk almanızı sağla-

yacak hem de size anlatılanları daha iyi kavramanıza yardımcı olacak.

Konu anlatımının sonunda, gerekli yerlerde sorular yer alıyor testler hâlinde.

Bunlar, hem konunun tam öğrenilmesini sağlıyor hem de istenirse tekrar ve ödev

amaçlı kullanılabiliyor.

Size düşen anlatım rehberinizin yönlendirmelerine uymak ve kararlı adımlarla

hedefe yürümek.

Güzel ve başarılı bir gelecek sizleri bekliyor...

4

DERS ANLATIM REHBERİ KULLANIM İPUÇLARI

Ünite içindeki her bir bölü-mü bu başlıkla ayırdık.

Mor zeminli bu bölümü fen lisesi müfredatına göre

hazırladık.

Kitaptaki örnek soruların çözümle-rine ve etkinlikle-rin cevaplarına bu karekodlarlaulaşmanızı sağla-dık.

Bazı yerleri boş bırakılmış (pembe yazılı) anlatımlarla konuya sağlam bir temel atmanızı istedik.

Öğretmenin ayrıca belirtmek istediği önemli gördüğü her şeyi yazabil-meniz için bu bölümü ayırdık.

Bir sayfadan akıllı tahtaya yansıtılan ilk slaytı burada numaralandırdık.

Konu Başlığı

Ekstra Bilgi

Karekod

Slayt NumarasıAnlatım Bölümü

Not Alanı

5

DERS ANLATIM REHBERİ KULLANIM İPUÇLARI

Konuyu pekiştirmeniz için çeşit çeşit alıştırma sorusuna yer verdik.

Çoktan seçmeli soruları da unutmadık elbette.

Mor zeminli sorularla fen lisesi müfredatını sorguladık.

Alıştırmalar

Konu Değerlendirme Testi

Fen Lisesi Soruları

Konuyla ilgili önemli noktaları bu alanda size sunduk.

Anahtar Bilgi

6

İÇİNDEKİLER

Bölüm 1: Sayma Kuralları ............................................................................. 10

Bölüm 2: Faktöriyel ...................................................................................... 15

Bölüm 3: Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon ........................................ 17

Bölüm 4: Dönel (Dairesel) Permütasyon ..................................................... 23

Bölüm 5: Kombinasyon ................................................................................ 26

Bölüm 6: Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı ................................................... 33

Bölüm 7: Olasılık .......................................................................................... 39

1. ÜNİTE SAYMA VE OLASILIK

Bölüm 1: Fonksiyon Kavramı ve Gösterimi ................................................. 50

Bölüm 2: Fonksiyon Türleri .......................................................................... 57

Bölüm 3: Fonksiyonlarda İşlemler ............................................................... 65

Bölüm 4: Fonksiyon Grafikleri ..................................................................... 68

Bölüm 5: Fonksiyon Grafiklerini Okuma ve Yorumlama ............................ 75

Bölüm 6: İki Fonksiyonun Bileşkesi .............................................................. 84

Bölüm 7: Bir Fonksiyonun Tersi ................................................................... 90

2. ÜNİTE FONKSİYONLAR

Bölüm 1: Polinom Kavramı .......................................................................... 104

Bölüm 2: Polinomlarla İşlemler ................................................................... 118

Bölüm 3: Polinomlarda Kalan Bulma .......................................................... 124

Bölüm 4: Polinomların Çarpanlara Ayrılması .............................................. 128

Bölüm 5: Rasyonel İfadelerin Sadeleştirilmesi ............................................ 140

3. ÜNİTE POLİNOMLAR

7

Bölüm 1: Çokgenler ..................................................................................... 178

Bölüm 2: Dörtgenler ve Özellikleri ............................................................. 188

Bölüm 3: Yamuk ........................................................................................... 200

Bölüm 4: İkizkenar Yamuk - Dik Yamuk ...................................................... 207

Bölüm 5: Yamuğun Alanı ............................................................................. 213

Bölüm 6: Paralelkenar .................................................................................. 221

Bölüm 7: Paralelkenarda Benzerlik Uygulamaları ...................................... 228

Bölüm 8: Paralelkenarın Alanı ..................................................................... 233

Bölüm 9: Eşkenar Dörtgen ........................................................................... 244

Bölüm 10: Eşkenar Dörtgenin Alanı .............................................................. 248

Bölüm 11: Dikdörtgen ................................................................................... 251

Bölüm 12: Dikdörtgenin Alanı ...................................................................... 258

Bölüm 13: Kare ............................................................................................... 264

Bölüm 14: Karede Uzunluk ............................................................................ 268

Bölüm 15: Karenin Alanı ................................................................................ 272

Bölüm 16: Deltoid .......................................................................................... 275

Bölüm 17: Dörtgenlerin Sınıflandırılması ..................................................... 281

5. ÜNİTE DÖRTGENLER VE ÇOKGENLER

Bölüm 1: Dik Prizmalar ................................................................................ 288

Bölüm 2: Dik Piramitler ................................................................................ 297

6. ÜNİTE KATI CİSİMLER

Bölüm 1: İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ........................... 150

Bölüm 2: Karmaşık Sayılar ........................................................................... 156

Bölüm 3: Kök - Katsayı İlişkisi ...................................................................... 167

4. ÜNİTE İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

CEVAP ANAHTARI

Cevap Anahtarı ................................................................................................ 311

1

1. ÜNİTESAYMA VE OLASILIK

Bölüm 1: Sayma Kuralları ........................................................... 10

Bölüm 2: Faktöriyel .................................................................... 15

Bölüm 3: Permütasyon ve Tekrarlı Permütasyon ...................... 17

Bölüm 4: Dönel (Dairesel) Permütasyon ................................... 23

Bölüm 5: Kombinasyon .............................................................. 26

Bölüm 6: Pascal Üçgeni ve Binom Açılımı ................................. 33

Bölüm 7: Olasılık ........................................................................ 39

Konu Değerlendirme Testi - 1 ............................................ 43



9

10

2

3679

BÖ

LÜM 1 SAYMA KURALLARI

1. Eşleme Yoluyla Sayma

Bir kümenin elemanları ile sayma sayıları kümesinin

elemanlarını eşleyerek, verilen kümenin eleman sa-

yısını bulmaya

denir.

Örneğin, bir sınıftaki öğrencileri 1, 2, 3, ... ile eşleyip

sınıf mevcudunu bulmak eşleme yolu ile saymadır.

3. Çarpma Yoluyla Sayma

m farklı biçimde gerçekleşen bir işleme bağlı olarak

ikinci bir işlem n farklı biçimde gerçekleşiyorsa bu

iki işlemin birlikte farklı yollarla gerçekleşme sayısı

m.n dir. Bu tür saymaya

denir.

Örneğin, 3 pantolon ve 2 gömleği olan bir kişinin

bunlar arasından 1 pantolon ve 1 gömleği kaç farklı

biçimde seçip giyebileceğini bulalım.

Pantolonlara: P1, P

2, P

3

Gömleklere: G1, G

2

diyelim.

Seçme işlemi P1G

1, P

1G

2, P

2G

1, P

2G

2 ve P

3G

1, P

3G

2

olmak üzere 6 değişik şekilde yapılabilir.

Pantolon seçeneği 3 tane, gömlek seçeneği 2 tane

olduğundan, bu sonucu 3.2 = 6 şeklinde buluruz.

Örnek 1

Aşağıdaki şekil bir kenarı 1 birim olan eşkenar üçgen-lerden oluşturulmuştur.

1

2

31

Buna göre, şekildeki kenar uzunluğu 1 birim olan eşkenar üçgenlerin sayısını eşleme yoluyla sayarak bulunuz.

Örnek 2

Bir lokantada 3 çeşit sıcak, 2 çeşit ılık ve 4 çeşit soğuk içecek bulunmaktadır.

Bu içeceklerden sadece birini içmek isteyen bir kişinin kaç farklı seçeneği vardır?

Çözüm 1

Çözüm 2

2. Toplama Yoluyla Sayma

Ayrık iki kümenin eleman sayılarının toplamını bul-

maya denir.

A ile B sonlu ve ayrık iki küme olsun.

s(A ∪ B) = s(A) + s(B)'dir.

Örneğin, bir sınıfta 8 erkek, 12 kız öğrenci varsa sınıf

mevcudu 8 + 12 = 20'dir.

11

7

3680

Örnek 3

A şehrinden B şehrine 4 farklı yol, B şehrinden C şehri-ne 2 farklı yol vardır.

A CB

Buna göre, A şehrinden C şehrine, B şehrinden geç-mek şartıyla kaç farklı şekilde gidilebilir?

Örnek 5

3 doktor, 4 hemşire ve 2 hasta bakıcı arasından 1 doktor, 1 hemşire ve 1 hasta bakıcı kaç farklı yolla seçilebilir?

Örnek 4

Akif Bey, İstanbul’dan Ankara’ya oradan da Konya’ya gidecektir. Akif Bey’in her bir yolculuğu için uçak, tren ve otobüs seçenekleri mevcuttur.

Buna göre, Akif Bey İstanbul-Ankara-Konya yolculu-ğunu kaç farklı yolla yapabilir?

Örnek 6

20 kişilik bir sınıfta bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçilecektir.

Bu işlem kaç farklı yolla yapılabilir?

Çözüm 3

Çözüm 5

Çözüm 4

Çözüm 6

12

11

3681

Örnek 7

A = {1, 2, 3, 4, 5}

kümesindeki rakamlar kullanılarak üç basamaklı

a. kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Örnek 8

A = {1, 2, 3, 4, 5} kümesindeki rakamlar kullanılarak üç basamaklı rakamları tekrarsız 300'den büyük kaç farklı doğal sayı yazılabilir?

Çözüm 8

b. kaç farklı tek doğal sayı yazılabilir?

c. rakamları tekrarsız kaç farklı çift doğal sayı yazıla-bilir?

Bu tip soruları çözerken basamak sayısı kadar kutu yan yana çizilir. Kutulara kaç farklı rakam gelebile-ceği yazılır. Bu işlem yapılırken “rakamları farklı” ya da “rakamları tekrarsız” ifadeleri kullanılmamışsa rakamların her biri tüm kutularda kullanılabilir. Bazı kutulara yazılabilecek sayılar belli şartları gerektiri-yorsa, öncelikle o kutular dikkate alınır.

A n a h t a r B i l g i

13

14

3682

Örnek 9

A = {0, 1, 2, 3, 4} kümesinin elemanları kullanılarak üç basamaklı rakamları tekrarsız kaç farklı çift doğal sayı yazılabilir?

Örnek 10

3 öğrenci, 4 sınıftan birine kaydedilecektir.

a. Bu işlem kaç farklı biçimde yapılabilir?

b. Bir sınıfa 1 den fazla öğrenci kaydetmemek şartıy-la, bu işlem kaç farklı yolla yapılabilir?

Çözüm 9 Çözüm 10

14

16

3683

1. I II III IV V

Şekildeki gibi birbirine bitişik olan beş binanın duvarları sarı, mavi, yeşil renkli boyalardan biri ile boyanacaktır.

a) Kaç farklı şekilde boyama yapılabilir?

b) Yan yana olan binalar farklı renkte olmak şar-tıyla kaç farklı şekilde boyama yapılabilir?

2. 7 sporcunun katıldığı bir yarışta ilk üç derece kaç farklı şekilde oluşabilir?

3. Beş farklı renkteki boyalardan bazıları kullanıla-rak üç katlı bir binanın dış yüzü boyanacaktır.

Ardışık katların farklı renkte olması şartıyla en çok kaç farklı görünüm elde edilebilir?

4. ABA biçimindeki üç basamaklı sayılara üç basa-maklı polindromlar denir.

A ≠ B olmak şartıyla en çok kaç tane üç basamaklı polindrom yazılabilir?

5. A = {2, 4, 6, 8, 9} kümesinin elemanları kullanıla-rak doğal sayılar yazılacaktır.

a) Dört basamaklı rakamları tekrarsız kaç doğal sayı yazılabilir?

b) Üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir?

c) İki basamaklı rakamları farklı kaç sayı yazılabi-lir?

d) 400 den küçük rakamları tekrarsız üç basamak-lı kaç doğal sayı yazılabilir?

e) Birler basamağı 9 olan, dört basamaklı, rakam-ları farklı kaç doğal sayı yazılabilir?

6. A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} kümesinin elemanları kullanı-larak doğal sayılar yazılacaktır.

a) Üç basamaklı rakamları tekrarsız kaç tek sayı yazılabilir?

b) Dört basamaklı 5 ile bölünebilen ve rakamları tekrarsız kaç sayı yazılabilir?

c) Aynı rakamın yan yana kullanılmadığı üç basa-maklı kaç sayı yazılabilir?

7. Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesinin en az bir rakamı tek sayıdır?

8. 5 gömleği, 3 pantolonu ve 2 ceketi olan bir kişi, bir gömlek, bir pantolon ve bir ceketi kaç farklı şekilde giyebilir?

Alıştırmalar - 1

15

24

3684

2

BÖ

LÜMFAKTÖRİYEL

4 farklı çiçek, yan yana bulunan dört vazoya yerleşti-

rilecektir. Her vazoya 1 çiçek yerleştirileceğine göre,

bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?

1. çiçek 4 vazodan birine, 2. çiçek geri kalan 3 vazo-

dan birine, 3. çiçek geri kalan 2 vazodan birine ve 4.

çiçek en son kalan vazoya yerleştirilir. Dolayısıyla 1.

çiçek için 4 seçenek, 2. çiçek için 3 seçenek, 3. çiçek

için 2 seçenek ve son çiçek için 1 seçenek olduğun-

dan tüm çiçekler 4.3.2.1 = 24 farklı şekilde yerleşti-

rilebilir.

4.3.2.1 işlemi kısaca 4! şeklinde gösterilir. “Dört fak-

töriyel” olarak okunur.

n bir doğal sayı olmak üzere, 1'den n'ye kadar olan

sayma sayılarının çarpımına denir

ve ile gösterilir.

Yani,

n! = 1.2.4.5. ... . (n – 1).n dir.

Özel olarak 0! = 1 , 1! = 1 dir.

Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.

2! = 1.2 = 2 4! = 1.2.3.4 = 24

3! = 1.2.3 = 6 5! = 1.2.3.4.5 = 120

n! = n(n-1)! veya n! = n. (n – 1)(n – 2)! dir.

Buna göre;

7! = 7.6! veya 7! = 7.6.5! veya 7! = 7.6.5.4!

şeklinde yazılabilir.

Örnek 1

Aşağıda verilen işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

a. 7!5!

b. 8.7! – 8.7.6!

c. 9!

7! .2! d. 15! + 14!

e. 8! + 7!7! – 6!

Örnek 2

Aşağıdaki ifadeleri sadeleştirelim.

a. n!(n – 1)!

b. n!(n – 2)!

c. (n + 1)!(n – 1)!

d. n! – 2(n – 1)!(n + 1)! + n!

Çözüm 1

Çözüm 2

16

27

3685

1. 11!9!

+ 9!7!

işleminin sonucu kaçtır?

2. 21! sayısı 19! sayısının kaç katıdır?

3. 8!5!.3!


4. 2!0! + 1!


5. 9! – 7!71


6. 8! + 6!19.5!


7. Aşağıda verilen ifadelerin en sade biçimini bulu-nuz.

a) (n + 3)!n(n + 2)!

– 3n

b) (a + b + 1)!(a + b)!

c) a – 1 (a – 1)!

– 1(a – 2)!

d) n(n – 1)! + n!(n + 1)!

8. n!(n – 2)!

= 42

olduğuna göre, n kaçtır?

Alıştırmalar - 2

17

35

3686

3

BÖ

LÜM

PERMÜTASYON VE TEKRARLI PERMÜTASYON

Permütasyon

n ≥ r permütasyon olmak üzere, n elemanlı sonlu bir

A kümesinin birbirinden farklı r tane elemanından

oluşan sıralı r'lilerden her birine

denir.

n elemanlı bir kümenin r'li permütasyonlarının sayısı

P(n, r) şeklinde gösterilir. P(n, r) = n!(n – r)!

Yani P(n, r), n tane elemandan seçilen r tanesinin

yan yana farklı diziliş sayısıdır. O hâlde, n tane nes-

nenin yan yana farklı dizilişlerinin sayısı P(n, n) dir.

P(n, n) = n!(n – n)!

= n! dir. Yani P(n, n) = n!

Örneğin, P(5, 3) = 5!(5 – 3)!

= 1.2.3.4.52!

= 1202

= 60

P(10, 2) = 10!(10 – 2)!

= 10.9.8!8!

= 90

P(9, 1) = 9!(9 – 1)!

= 8!.98!

= 9

Örneğin üç elemanlı {a, b, c} kümesinin üçlü permü-

tasyonları abc, acb, bac, bca, cab ve cba olup 6 ta-

nedir.

Bu sonuç P(3, 3) = 3! = 6 işlemiyle de bulunabilir.

{a, b, c} kümesinin ikili permütasyonları ab, ba, ac,

ca, bc ve cb olup 6 tanedir.

Bu sonuç P(3, 2) = 3!(3 – 2)!

= 3!1!

= 6 işlemiyle de

bulunabilir.

Örnek 1

A = {1, 2, 3, 4} kümesinin tüm ikili permütasyonlarını yazınız.

Örnek 2

B = {a, b, c, d, e} kümesinin dörtlü permütasyonlarının,

a. sayısı kaçtır?

b. kaç tanesinde a harfi bulunmaz?

c. kaç tanesinde a harfi bulunur?

Örnek 3

5 farklı kitap bir rafa yan yana kaç farklı şekilde dizi-lerek yerleştirilebilir?

Örnek 4

5 kitaptan 3 tanesi seçilip, sıraya dizilerek okunacaktır.

Bu işlem en çok kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm 2

Çözüm 3

Çözüm 4Çözüm 1

18

40

3687

Örnek 5

6 öğrenci yan yana dizilerek fotoğraf çektireceklerdir.

a. Bu öğrenciler yan yana kaç farklı biçimde dizilebi-lirler?

b. Bu öğrencilerden belli ikisi yan yana bulunmak şar-tıyla kaç farklı biçimde dizilebilirler?

Örnek 7

Anne, baba ve üç çocuk yan yana dizilerek bir bankta oturacaklardır.

Anne ile babanın, bankın uç kısımlarına oturması şar-tıyla bu işlem kaç farklı sıralamayla gerçekleşebilir?

Örnek 8

“SÜLEYMAN” kelimesinin harfleri yan yana dizilerek 8 harfli anlamlı ya da anlamsız kelimeler üretiliyor.

Bu sıralamaların en çok kaç tanesinde, herhangi iki sesli harf yan yana bulunmaz?

Örnek 6

4 matematik, 2 fizik, 3 kimya kitabı bir rafa yan yana dizilecektir.

a. Bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm 5 Çözüm 7

Çözüm 8b. Matematik kitapları bir arada olmak şartıyla, kitap-

lar kaç farklı şekilde dizilebilir?

c. Aynı dersin kitapları bir arada olmak şartıyla, kitap-lar kaç farklı şekilde dizilebilir?

19

44

3688

Örnek 9

"MARMARA" kelimesindeki harfler kullanılarak 7 harfli, anlamlı ya da anlamsız, kaç farklı kelime oluş-turulabilir?

Örnek 11

"344400" sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 6 basamaklı kaç farklı doğal sayı oluşturulabilir?

Örnek 10

"DERECE" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirile-rek, anlamlı ya da anlamsız, 6 harfli;

a. D ile başlayan E ile biten,

b. C ile başlayan E ile bitmeyen

kaç farklı kelime yazılabilir?

Çözüm 9

Çözüm 11

Çözüm 10Tekrarlı Permütasyon

n1 tanesi kendi aralarında özdeş, n

2 tanesi kendi ara-

larında özdeş, ...., nr tanesi kendi aralarında özdeş

olmak üzere n1 + n

2 + ... + nr = n tane nesnenin n'li

dizilişlerinin her birine

denir.

Bu şekilde özdeş n tane nesnenin farklı dizilişlerinin

sayısı n!

n1! .n

2! . .... .nr!

ile hesaplanır.

20

48

3689

Örnek 12

A

B

C

D

Yukarıdaki şekilde çizgiler üzerinden ve en kısa yol-dan giderek;

a. A'dan D'ye,

b. B'den geçmek şartıyla, A'dan D'ye,

c. B ve C'den geçmek şartıyla, A'dan D'ye

kaç farklı şekilde ulaşılabilir?

Örnek 13

A

B

A noktasında bulunan bir çocuk şekildeki çizgiler üze-rinden giderek en kısa yoldan B noktasına kaç farklı şekilde ulaşabilir?

Çözüm 12

Çözüm 13

Örnek 14

Yanda birbirine iple bağ-lı şekilde duran balonlar, her seferinde en alttan bir balon patlatılmak su-retiyle, kaç farklı sırala-mayla patlatılabilir?

Çözüm 14

44

4

21

3690

51Alıştırmalar - 3

1. Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.

a. P(5, 5) + P(4, 4) + P(3, 3)

b. P(6, 2) + P(6, 3) + P(6, 4)

c. P(7, 5) + P(4, 2)

2. Aşağıdaki eşitlikleri sağlayan n sayılarını bulu-nuz.

a. P(n, 2) = 20

b. P(n, 3) + P(n, 2) = 36 P(n, 1)

c. P(n, n – 1) = 24

3. A = {1, 2, 3, 4} kümesinin sırasıyla 4'lü, 3'lü ve 2'li permütasyonlarının sayısını bulunuz.

4. 5 erkek ve 2 kız öğrenci yan yana sıralanacaktır.

Kızların yan yana olması şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler?

5. Ahmet ile Kasım’ın da aralarında bulunduğu 10 kişi, Ahmet ile Kasım’ın art arda gelmemesi şar-tıyla, bir kuyrukta kaç farklı şekilde dizilebilirler?

6. Aysel’in 6 farklı renkte boya kalemi vardır. Bu kalemlerden üçüyle aşağıdaki kutucukların her birini farklı renkte boyaması isteniyor.

Buna göre, Aysel kaç farklı desen elde edebilir?

7. A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesindeki rakamlarla oluş-turulan üç basamaklı doğal sayıların kaç tanesin-de 1 rakamı bulunmaz?

8. K = {a, b, c, d, e, f} kümesinin dörtlü permütasyon-larının kaç tanesinde,

a. a ve b harfleri bulunur?

b. a ve b harfleri yan yana bulunur?

44

4

22

3691

59

9. "TENCERE" kelimesindeki harflerin yerleri değişti-rilerek E ile başlayan kaç farklı kelime yazılabilir?

10. "ANKARA" kelimesindeki harflerin yerleri değiş-tirilerek K ile başlayan R ile biten kaç farklı kelime yazılabilir?

11. 2250115

sayısının rakamlarının yerleri değiştirilerek 7 ba-samaklı kaç farklı doğal sayı oluşturulabilir?

12. Düz bir rafa birbirinin aynısı olan 3 matematik kitabı ile birbirinin aynısı olan 5 fizik kitabı kaç farklı şekilde sıralanır?

13. 3 özdeş kırmızı kalem, 2 özdeş mavi kalem, 4 öz-deş yeşil kalem yan yana sıralanıyor.

Yeşil kalemler bir arada duracağına göre, bu şartı sağlayan kaç farklı sıralama vardır?

14. A

B

C

Yukarıdaki şekilde çizgiler üzerinden gidilerek, B noktasından geçmek şartıyla, A'dan C'ye en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir?

15. B

A

Yukarıdaki şekilde A noktasından B noktasına, çizgiler üzerinden ve en kısa yoldan kaç farklı şekilde gidilebilir?

23

3692

664

BÖ

LÜMDÖNEL (DAİRESEL) PERMÜTASYON

E k s t r a B i l g i

Örnek 3

4 profesör ve 3 asistan yuvarlak masa etrafında pro-fesörlerin dördü de yan yana olmamak şartıyla kaç farklı şekilde otururlar?

Örnek 4

Anne, baba ve 3 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masaya oturacaklardır.

Anne, baba ve en küçük çocuk yan yana olmak şar-tıyla kaç farklı şekilde otururlar?

Çözüm 3

Çözüm 4

Örnek 1

4 öğrenci yuvarlak masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?

Çözüm 1

Örnek 2

3 kız, 4 erkek öğrenci yuvarlak masa etrafında kızlar yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde sıralanır?

Çözüm 2

Dönel (Dairesel) Permütasyon

n farklı elemanın çember üzerindeki birbirlerine göre farklı dizilişlerine n elemanlı

denir.

n farklı elemanın dönel (dairesel) permütasyonlarının sayısı ile hesaplanır.

24

3693

71

Örnek 5Bir alışveriş merkezinde düzenlenen anne-çocuk etkin-liğinde 5 anne, birer çocuğuyla yuvarlak masa etrafın-da oturacaktır.

Her çocuk annesinin yanında oturacağına göre, anne ve çocuklar yuvarlak masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler?

Örnek 7

5 farklı anahtar bir halkaya kaç farklı şekilde sırala-nır?

Örnek 8

5 farklı anahtar halka şeklindeki maskotlu bir anah-tarlığa kaç farklı şekilde sıralanır?

Örnek 6

4 kırmızı, 4 beyaz sandalye yuvarlak bir masanın etra-fına herhangi iki kırmızı sandalyenin arasına bir beyaz sandalye yerleştirilmek suretiyle kaç farklı şekilde dizilebilir?

Çözüm 5

Çözüm 7

Çözüm 8

Çözüm 6

n tane farklı anahtar halka şeklindeki maskotsuz bir

anahtarlığa (n – 1)!2

farklı şekilde sıralanır.

A n a h t a r B i l g i

44

4

25

3694

76Alıştırmalar - 4

1. Anne, baba ve 5 çocuktan oluşan bir aile yuvarlak masa etrafında

a) Kaç farklı şekilde otururlar?

b) Anne ile baba yan yana olmak şartıyla kaç farklı şekilde otururlar?

2. 3 doktor, 2 hemşirenin bulunduğu bir yuvarlak masada doktorların hepsi yan yana olmamak şar-tıyla kaç farklı şekilde oturabilirler?

3. 5 öğretmen, 5 öğrenci yuvarlak bir masada öğ-rencilerin hiçbiri yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı sıralama ile otururlar?

4. Anne, baba ve 4 çocuktan oluşan bir aile, anne ile baba arasında en az bir çocuk oturması şartıyla, yuvarlak masa etrafında kaç farklı şekilde sırala-nırlar?

5. Gizem, 6 karton parçasına A, B, C, D, E, F harflerini ayrı ayrı yazarak bunları dairesel bir şekilde sıralı-yor.

Gizem her seferinde sesli harfleri yan yana koy-duğuna göre, kaç farklı dairesel sıralama oluşur?

6. Bir toplantıya her yönetici 2 yardımcısı ile katıla-caktır. Bu toplantıya 3 yönetici katılacaktır.

Daire şeklindeki toplantı masasına her yönetici sağında ve solunda kendi yardımcıları olacak şe-kilde kaç farklı sıralama ile otururlar?

7. Farklı renklerdeki 7 anahtar ile halka şeklindeki bir anahtarlık hazırlayan Beril, anahtarları kaç farklı şekilde dizebilir?

8. 4 farklı anahtar halka şeklindeki maskotlu bir anahtarlığa kaç farklı şekilde sıralanır?

26

3695

84 BÖ

LÜM 5 KOMBİNASYON

Örnek 1

6 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

Örnek 2

7 elemanlı bir kümenin en az 5 elemanlı alt kümeleri-nin sayısı kaçtır?

Çözüm 1

Çözüm 2

n ≥ r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı

alt kümelerine de-

nir.

n

r veya C(n, r) şeklinde gösterilir.

f

n

rp =

n!

r!(n – r)!

A = {a, b, c, d} kümesinin 2'li kombinasyonları ile 2'li permütasyonlarını karşılaştıralım.

A kümesinin 2'li kombinasyonları {a, b}, {a, c}, {a, d},

{b, c}, {b, d}, {c, d} olmak üzere 6 tanedir.

2'li kombinasyonlar

{a, b}

{a, d}

{b, d}

{a, c}

{b, c}

{c, d}

2'li permütasyonlar

(a, b) (b, a)

(a, d) (d, a)

(b, d) (d, b)

(a, c) (c, a)

(b, c) (c, b)

(c, d) (d, c)

2'li kombinasyonların her biri 2! = 2 farklı şekilde sı-

ralanacağı için A kümesinin 2'li permütasyonlarının

sayısı 2'li kombinasyonlarının sayısının 2! katı kadar-

dır.

Bu sonuçlara göre şunu söyleyebiliriz.

Bir kümenin kombinasyonu, o kümenin alt kümesi

anlamına gelir. Alt kümedeki elemanların yerlerinin

değişmesi, alt kümeyi değiştirmediği için kombinas-

yonda sıralama yoktur. Yani kombinasyonla bir kü-

meden belirli sayıdaki elemanın kaç farklı şekilde

seçilebileceği bulunur.

Her farklı sıralama bir permütasyon olduğu için,

permütasyonda sıralama sayısı öne çıkar. Permütas-

yonla, kombinasyonla bulduğumuz her bir alt küme-

yi toplam olarak kaç farklı şekilde sıralayacağımızı

hesaplarız.

27

3696

88

Özellikler

1 fn

0p = f

n

np = 1 → f

6

0p = f

6

6p = 1

2 fn

1p = f

n

n – 1p = n → f

10

1p = f

10

9p = 10

3 fn

rp = f

n

n – rp → f

7

3p = f

7

4p

4 fn

ap = f

n

bp → a = b veya a + b = n

5 fn

0p + f

n

1p + f

n

2p + ... + f

n

np = 2n

6 fn

rp + f

n

r + 1p = f

n + 1

r + 1p → f

8

2p + f

8

3p = f

9

3p

Örnek 4

f12

2n – 1p = f

12

n + 1p

olduğuna göre, n'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

Örnek 5

f8

3p + f

8

4p + f

9

5p = f

n

5p


Örnek 3

fn

2p = f

n

8p


Çözüm 4

Çözüm 5Çözüm 3

28

3697

92

Örnek 6

f7

2p + f

7

3p + f

7

4p + f

7

5p + f

7

6p + f

7

7p


Örnek 8

3 erkek ve 4 kız öğrencinin bulunduğu bir gruptan,

a. 2 erkek ve 2 kız öğrencinin bulunduğu bir ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

b. içerisinde en az 1 tane kız öğrencinin bulunduğu 3 kişilik bir ekip kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Örnek 7

8 öğrenci arasından 4 öğrenci seçilecektir.

Bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm 6

Çözüm 8

Çözüm 7

Örnek 9

Aralarında Emre ve Hakan'ın da bulunduğu 8 kişilik basketçi grubundan 5 kişilik bir takım oluşturulacak-tır.

a. Bu takım kaç farklı şekilde kurulabilir?

b. Emre ile Hakan'ın ikisinin de bulunmadığı kaç farklı takım kurulabilir?

c. Emre ile Hakan'ın birlikte takımda bulunduğu kaç farklı seçim yapılabilir?

d. Emre ve Hakan'dan en az birinin bulunduğu kaç farklı takım kurulabilir?

Çözüm 9

29

3698

96

Örnek 10

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin 4 elemanlı alt kümele-rinin,

a. kaç tanesinde 1 rakamı bulunur?

b. kaç tanesinde 6 rakamı bulunmaz?

c. kaç tanesinde 2 ve 3 rakamları bulunur?

Örnek 13

A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} kümesinin elemanları ile abc biçiminde üç basamaklı doğal sayılar yazılacaktır.

a > b > c olmak şartıyla kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm 10

Çözüm 13

Örnek 11

6 öğrenciden en az 3 tanesi seçilip tatile gönderile-cektir.

Kaç farklı tatil ekibi oluşturulabilir?

Örnek 12

10 öğrenciden 2'si İngiltere'ye, 2'si Almanya'ya eğitim için gönderilecektir.

Eğitime gönderilecek olan 4 öğrenci kaç farklı şekilde seçilebilir?

Çözüm 11

Çözüm 12

30

369910

0

Örnek 14

7 kişilik gruptan 4 kişilik bir ekip ve bu 4 kişilik ekipten bir ekip başkanı seçilecektir.

Bu iş kaç farklı yolla yapılabilir?

Örnek 15

Kerem 7 soruluk bir sınavdaki soruların 5 tanesini çö-zecektir.

İlk 4 sorudan 2 tanesinin çözülmesi zorunlu olduğuna göre, Kerem çözeceği 5 sorunun seçimini kaç farklı şekilde yapabilir?

Çözüm 14

Çözüm 15

Örnek 17

A

D

B

E

FC

Herhangi üçü doğrusal olmayan 6 noktanın herhangi ikisinden geçen kaç farklı doğru çizilebilir?

Çözüm 17

Örnek 16

Asım ve Nihat'ın da aralarında bulunduğu 8 kişiden 3'ü Afyon'a, 5'i Antalya'ya tatile gönderilecektir.

a. Bu işlem kaç farklı şekilde yapılabilir?

b. Asım ile Nihat Antalya'ya gideceğine göre, bu iş-lem kaç farklı şekilde yapılabilir?

Çözüm 16

31

3700 10

4

Örnek 18

A

D

B

EF

CG

Çember üzerindeki 7 noktadan üçünü köşe kabul eden,

a. Kaç üçgen çizilebilir?

b. Üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktasıdır?

Örnek 19

Aşağıdaki şekil, ABCD dikdörtgeninin içine yatay ve dikey doğru parçaları çizilerek oluşturulmuştur.

D

A

C

BBuna göre, bu şekilde kaç tane dikdörtgen bulunur?

Örnek 20

A

D

d1

d2

B

E F

C

G

Birbirine paralel olan d1 ve d

2 doğruları üzerinde 7

nokta işaretlenmiştir.

a. Buna göre, köşeleri bu noktalardan üçü olan kaç üçgen çizilebilir?

b. Bu üçgenlerden kaç tanesinin bir köşesi A noktası-dır?

Çözüm 18

Çözüm 19

Çözüm 20

32

370110

7 Alıştırmalar - 5

1. 8 elemanlı bir kümenin en az üç elemanlı alt kü-melerinin sayısı kaçtır?

2. Bir kutuda 5'i kırmızı, 4'ü mavi olan 9 farklı bilye vardır.

Bu kutudan 2'si kırmızı ve 2'si mavi olan 4 bilye kaç farklı şekilde seçilebilir?

3. 8 kişilik öğrenci grubundan 4 kişilik olimpiyat eki-bi oluşturulacaktır.

Ekibe girecek 1 kişi belli olduğuna göre, bu takım kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

4. Bir okulda 6 seçmeli dersten 2'si aynı saatte veril-mektedir.

Bu derslerden 3'ünü seçecek olan bir öğrenci kaç farklı seçim yapabilir?

5.

A

G

D

B

H

E

KF

C

Şekildeki üçgen üzerinde 9 nokta işaretlenmiştir.

Bu noktalardan üçünü köşe kabul eden kaç üçgen çizilebilir?

6.

d8

d1

d3

d2

d4

d5

d6

d7

Yukarıdaki şekilde kaç tane dik yamuk bulunmak-tadır?

7. Bir düzlemdeki 7 doğrudan 4'ü birbirine paralel

olduğuna göre, bu 7 doğru en çok kaç farklı nok-tada kesişir?

8. n tane sporcudan 2 kişi 5n2

farklı yolla seçilebil-

diğine göre, n kaçtır?

10. sinif matematikÖrneğin, bir sınıfta 8 erkek, 12 kız öğrenci varsa sınıf mevcudu 8 + 12...

Documents