MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMTICAS

Libro 1

http://matemelga.wordpress.com/

Si A , B , C y D son cuatro vrtices consecutivos de un polgono regular tal que ADACAB111

+= ,

cuntos lados tiene este polgono?

SOLUCIN

Tengamos en cuenta las siguientes convenciones:

n es nmero de lados del polgono

0=n

pi es la mitad del ngulo central, y

NOPMONAOM === El radio del polgono es 1 O es el centro del polgono regular M , N y P son los puntos medios del los

segmentos respectivos AB , AC y AD Los tringulos OMA , ONA y OPA son

rectngulos, respectivamente, en M , N y P (vanse las mediatrices de los segmentos del enunciado, sealadas por lneas de puntos)

En estas condiciones,

en el tringulo rectngulo OMA se verifica que senABsenAM .2==

en el tringulo rectngulo ONA se verifica que 2.22 senACsenAN ==

en el tringulo rectngulo OPA se verifica que 3.23 senADsenAP ==

Por lo tanto,

+=+=+= 3

12

113.2

12.2

1.2

1111sensensensensensenADACAB

=

=

21

3.3

21

311

sensensen

sensen

sensensen

+==

2.

2cos.2

21

3..2cos.2 ba

senbabsenasenpues

sensensen

sen

==

32cos.2.2)0(2

132cos.2

sensensenpuessensen

( )aasenasenpuessensen cos..2234 == , lo que quiere decir, en el contexto del problema, que 7

7734 =====+ n

n

pipipi

El polgono tiene 7 lados

Dos matemticos se encuentran en la calle despus de mucho tiempo sin verse.

Cunto tiempo sin verte!

Vaya!, parece que fue ayer.

Y qu, te casaste?

Si, tengo tres hijas preciosas.

Qu edad tienen?

Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero s te dir que el producto de sus edades es 36 y que la suma es el nmero de la casa de enfrente.

El amigo mira el nmero del portal y saca papel y lpiz. Hace unos clculos y al cabo de unos segundos exclama:

Me faltan datos.

S, claro. La mayor toca el piano.

El amigo da inmediatamente la respuesta. Sers t capaz de darla t tambin?

SOLUCIN

Escribimos todos los productos de tres nmeros cuyo resultado sea 36:

1 x 1 x 36 = 36 El portal debera ser el 38 (=1+1+36)

1 x 2 x 18 = 36 El portal debera ser el 21 (=1+2+18)

1 x 3 x 12 = 36 El portal debera ser el 15 (=1+3+12)

1 x 4 x 9 = 36 El portal debera ser el 14 (=1+4+9)

1 x 6 x 6 = 36 El portal debera ser el 13 (=1+6+6)

2 x 2 x 9 = 36 El portal debera ser el 13 (=2+2+9)

2 x 3 x 6 = 36 El portal debera ser el 11 (=2+3+6)

3 x 3 x 4 = 36 El portal debera ser el 10 (=3+3+4)

La duda del amigo (falta de un dato) slo puede deberse a que el nmero de la casa que ve no muestra de

manera unvoca el resultado, por lo que el portal debe ser el 13, al haber dos conjuntos de edades que

determinan dicho nmero; 1, 6 y 6, y 2, 2 y 9 y existir, por tanto, una ambigedad.

La ltima afirmacin del padre seala que existe una nia mayor que las otras, por lo que

Las edades de las hijas son 2, 2 y 9 aos

Hace tres siglos, lejanas praderas del Oeste americano eran habitadas por diferentes tribus de indios como los SHYS, los BADMILKS y los HOTEGGS.

Los SHYS eran grandes guerreros y dotados de una increble inteligencia, equiparable a su prudencia. Sus defectos eran muy notorios: muy tmidos y, mongamos acrrimos (se casaban nada ms superar la pubertad), muy celosos, hasta tal punto que si se enteraban de que su mujer les haba engaado, al da siguiente de saberlo, LA MATABAN! Los BADMILKS se caracterizaban por las reivindicaciones permanentes sobre una parte del territorio ocupado por los SHYS: haban organizado

todos los domingos manifestaciones reivindicativas cerca del campamento de stos que degeneraban, indefectiblemente, en batallas campales en las que, casi nunca, llegaba la sangre al ro. Hasta tal punto lleg el mosqueo de los SHYS que, un sbado al amanecer, se encaminaron todos sus guerreros hacia el territorio de los BADMILKS a fin de dar a esta tribu un escarmiento tal que les dejase sin ganas de seguir con la monserga dominical. Slo quedaron en su campamento los ancianos y los nios, adems de las mujeres de los guerreros. No contaron los SHYS con que una avanzadilla de HOTEGGS, famosos en todos aquellos confines por las notables dosis de seduccin que ejercan sobre las mujeres, llegase a medioda de ese funesto sbado a su campamento. Para ser breve, dir que hubo all unos cuntos los de faldas entre las SHYS casadas y los atractivos HOTEGGS y que, al atardecer, dejaron unas cuantas caras risueas y cuerpos relajados en el campamento. Aunque no todo fueron alegras: un venerable anciano observ TODO lo que pas all, quedando escandalizado. Al llegar los guerreros, esa misma noche, de su victoriosa escaramuza contra los BADMILKS, el anciano decidi inmediatamente darles a conocer la gran desgracia con suma discrecin: a todos y cada uno de ellos les entreg, sin articular palabra, una lista en la que se encontraban los nombres de todas y cada una de las "alegres" mujeres excepto, en cada caso y si fuera una de ellas, la del receptor de la lista. Los guerreros SHYS entendieron el mensaje y uno de ellos, GRAND-BULL, recogi su lista, que contena cuatro nombres, y se sent inmediatamente en la entrada de su tienda cavilando sobre si haba sido engaado o no. Antes de la medianoche del da de autos, GRAND-BULL DEDUJO CMO Y CUNDO SABRA SI SU MUJER LE HABA ENGAADO O NO Y, ADEMS, DETERMIN EL DA EN QUE, EN CASO DE SER UNA MUJER INFIEL, TENDRA QUE MATARLA! Postdata: As me contaron la historia y as os la transmito. Le he dado vueltas durante mucho tiempo y me

he rendido: no s cmo, an siendo tan inteligente, pudo deducir GRAND-BULL todo eso.

SOLUCIN

Grand-Bull recibe una lista de cuatro nombres. Si su mujer le ha engaado habr listas de 5 nombres

recibidas por los no engaados.

Si no le ha engaado, habr listas de 3 y 4 nombres: 3 para los engaados y 4 para los no engaados.

Grand-Bull se pone en lo mejor (su mujer no le ha engaado) y, por tanto, en la situacin (hipottica) de

un indio que haya recibido una lista de 3 nombres. Al slo conocer esa lista este indio razonar de manera

idntica a Grand-Bull, por lo que supondr que puede haber listas de 2 y 3 nombres si su mujer no le ha

engaado y de 3 y 4 si le ha engaado.

Y siguiendo el mismo razonamiento se llegar a pensar en la posibilidad de que haya listas de 1 y 2

nombres, pues todos los indios han recibido lista.

Si alguien recibiese una lista con un solo nombre deducira el mismo domingo que su mujer lo haba

engaado, por lo que el lunes la matara.

Si no hubiera ninguna muerte el lunes no habra listas de 1, por lo que ese da sabra, quien tuviera una

lista con 2, que su mujer le engaaba y el martes la matara.

Sucesivamente y al no haber muertes ese da, quien tuviera una lista con 3 personas matara el mircoles a

su mujer si sta le hubiera sido infiel.

Grand-Bull, pues, esper al mircoles. Ese da supo si su mujer le engaaba o no. Si no hubo muertes se

convenci de que haba listas de 4 y de 5 personas y que su mujer le fue infiel, por lo que mat el jueves a

su mujer.

Grand-Bull supo el mircoles si su mujer le haba engaado o no y, en caso de infidelidad (si no hubieran

habido muertes dicho mircoles), la mat el jueves

La distancia por ferrocarril entre Madrid y A Corua es de 600 kilmetros. Un tren sale de Madrid hacia A Corua con una velocidad de 160 km/h, y, simultneamente, otro de A Corua a Madrid a 140 km/h.

En ese mismo momento un halcn peregrino (velocsimo), situado en la locomotora del primer tren, comienza a volar siguiendo la va frrea hacia A Corua a una velocidad constante de 175 km/h. Al cabo de cierto tiempo llega al tren que viene en sentido contrario, toca la locomotora y, sin perder tiempo, se vuelve hacia el primer tren repitiendo este vaivn hasta que los trenes se encuentran y, en el inevitable choque, aplastan al halcn, que muere. Cules son los kilmetros recorridos por el halcn desde que comienza el trayecto hasta que muere?

SOLUCIN

Segn la velocidad acumulada de los dos trenes (160 km/h + 140 km/h = 300 km/h), al cabo de dos horas

chocan, pues uno ha recorrido 320 km y el otro 280 km.

Esto quiere decir que el halcn ha estado volando durante 2 horas a una velocidad de 175 km/h, por lo que

habr recorrido exactamente 350 km.

El halcn ha recorrido 350 km

Con operaciones matemticas, hay que conseguir realizar todos los clculos con exactamente tres cifras iguales (de 1 a 9) que tengan, como resultado, 6 (Por ejemplo, con el 2: 2+2+2=6)

SOLUCIN

6)!111( =++ 6222 =++ 6333 =

6444 =+ 6555 =+ 6666 =+ 6777 =

6888 =+

6999 =

En la pared interior de un vaso cilndrico, de 10 cm de dimetro y 20 cm de altura, hay una gota de miel situada a 3 cm del borde del recipiente. En la pared exterior, y en el punto exactamente opuesto a la gota, se encuentra una mosca. (Ese punto es tal que el segmento que forma con la gota tiene de punto medio el del segmento-eje del vaso cilndrico) Cul es el camino ms corto que puede seguir la mosca para llegar a la gota de miel?, qu longitud debe recorrer la mosca?

SOLUCIN

Evidentemente, al estar el exterior del vaso, la mosca deber llegar al borde para poder entrar al interior y

llegar a la gota. Desplegando la superficie lateral del cilindro se observa la ruta ms corta:

El camino ms corto (en azul) es de la misma longitud que el segmento MG' , siendo 'G el punto simtrico de la gota de miel G respecto del lado superior de la superficie.

Se construye el tringulo rectngulo formado por los puntos 'G , M (mosca) y P (punto de interseccin del lado derecho de la superficie y de la recta paralela al lado superior).

La mitad de la anchura de la superficie es cmrPM pipi 5== y cmPG 20'=

Por tanto, por el teorema de Pitgoras, se obtiene que el camino mide ( ) cmx 43,25205 22 =+= pi

El camino ms corto que debe recorrer la mosca hasta la gota de miel mide 25,43 cm

Dos nmadas se detuvieron en un oasis a descansar y reponer fuerzas despus de una larga travesa por el desierto.

Cuando iban a ponerse a comer se les present un peregrino hambriento y sin provisiones. Los nmadas, solidarios, distribuyeron equitativamente entre los tres sus exiguos alimentos.

El primero llevaba 5 panes y el otro, 3. El peregrino, agradecido por su hospitalidad, les recompens con 8 monedas de plata. Cmo se las debieron repartir los dos nmadas de manera justa?

SOLUCIN

Al repartirse los 8 panes, cada uno comi 38

de los panes.

El primer nmada aport 5 panes, de los cuales se comi 38

y dio al peregrino 37

385 =

El segundo nmada aport 3 panes, de los cuales se comi 38

y dio al peregrino 31

383 =

La conclusin que se obtiene es que el peregrino comi 7 veces ms pan del primer nmada que

del segundo por lo que, para repartirse justamente las monedas del peregrino,

El primer nmada toma 7 monedas y el segundo nmada 1 moneda

Dado el sistema

=++

=++

=++

15.35.8.

zyzyzxzx

yxyx, hallar zyxzyx ..+++ si 0,, >zyx

SOLUCIN

Los tres trminos independientes son cuadrados menos una unidad, lo que da una idea de por

donde se puede continuar:

( )( )( )( )( )( )

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( )

=+++

=+++

=+++

=++

=++

=++

=+++

=+++

=+++

=++

=++

=++

5761.1.11441.1.1

3241.1.1

161.1361.191.1

161.361.91.

15.35.8.

2

2

2

zyx

zyx

zyx

zyzx

yx

zyzyzxzx

yxyx

zyzyzxzx

yxyx

( )( )( )

36..7127

8121291

649

5761

436

1441

481

163241

2

2

2

=+++

=

=

=

=+

=+

=+

==+

==+

==+

zyxzyxz

y

x

z

y

x

z

y

x

x+y+z+x.y.z=36

Reconstruir la divisin exacta siguiente, averiguando todas las cifras que intervienen en ella:

SOLUCIN

Si nos fijamos en el desarrollo de la divisin, observamos que, en dos casos, se

bajan dos cifras del dividendo, por lo que las segunda y cuarta cifras del

cociente sern iguales a cero

Por otro lado, la primera cifra del dividendo debe ser 1. Tenemos entonces

Al multiplicar el divisor (de tres cifras) por 8 obtenemos un nmero de tres

cifras, por lo que la primera cifra del divisor debe ser un 1. Adems, en la

primera resta que se produce en la divisin se obtiene un nmero de dos

cifras, por lo que el minuendo deber ser 10xx y el sustraendo 9xx, y lo mismo

pasa en la siguiente resta

Evidentemente, la segunda cifra del divisor debe ser un 2, la tercera del

dividendo un 0 y la segunda del primer sustraendo un 9 y en la segunda resta

igual, por lo que la quinta cifra del dividendo es un 0

Est claro ya que la primera cifra del cociente es un 8 y la ltima del divisor es

un 4, la cuarta del dividendo es un 2 (as como la tercera del primer y segundo

sustraendos) y la primera de la segunda resta es un 1 (igual que la primera del

ltimo sustraendo)

Por fin, al tener el ltimo sustraendo cuatro cifras, es inmediato deducir que la ltima cifra del

cociente es un 9 completndose entonces, al saber divisor y cociente, el resto de dgitos de la

divisin

Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras tales como OSA, FIN, VID, REY, ATE, SOL, MIA, ESA, CAE, GOL, PIO, SUR, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY y RIN. Cules son las letras de cada uno de los dados?

SOLUCIN

Numeramos los dados 1, 2 y 3

Al poderse escribir ATE, ESA, CAE, OSA, SOL y GOL, los dados tienes las letras:

1: A,L 2: T,S,C,G 3: E,O

Como se puede escribir PIO y DIA,

1: A,L 2: T,S,C,G,I 3: E,O

Al no poderse escribir DIA, pero s VID y MIA,

1: A,L,D 2: T,S,C,G,I 3: E,O,V,M

Retomamos PIO:

1: A,L,D ,P 2: T,S,C,G,I 3: E,O,V,M

De SUR y FIN deducimos que U, R, F y N completan los dados 1 y 3, por lo que Y completa el 2:

1: A,L,D ,P 2: T,S,C,G,I,Y 3: E,O,V,M

De REY y SUR obtenemos:

1: A,L,D ,P,R 2: T,S,C,G,I,Y 3: E,O,V,M,U

Y al no poderse escribir RIN y s FIN,

1: A,L,D ,P,R,N 2: T,S,C,G,I,Y 3: E,O,V,M,U,F

Los dados tienen las caras ADLNPR, CGISTY, EFMOUV

En una biblioteca, dispuestos de forma usual, hay cuatro tomos de una enciclopedia teniendo cada tomo un espesor de 4 centmetros, tapas incluidas. El espesor de cada tapa es de 0,25 centmetros.

Una polilla comienza a devorar lo que encuentra a partir de la primera pgina del primer tomo y se abre camino en direccin a la ltima pgina del cuarto

tomo, que tambin se come.

Suponiendo que tarda un da en recorrer medio centmetro, cuntos das tardar en realizar su destructora labor?

SOLUCIN

Teniendo en cuenta la disposicin habitual de los tomos, despus de la primera pgina del primer tomo se

encuentra la tapa y, a continuacin, el segundo y tercer tomos, la tapa del cuarto tomo y la ltima pgina

de dicho tomo.

En total devora 0,25+4+4+0,25 = 8,50 centmetros, adems de la ltima pgina.

En resumen, 8,50:0,50 = 17

La polilla tarda 17 das

Tres marineros y un mono llegan, tras un naufragio, a una isla desierta. Durante todo el da se dedican a recoger cocos, con los que forman un montn comn. Al llegar la noche, cansados por el trabajo hecho, se van a dormir dejando para el da siguiente el reparto de los cocos.

Durante la noche uno de los marineros, desconfiando de los otros dos, decide hacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardando uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono.

El segundo marinero despierta ms tarde y, teniendo la misma idea, hace lo mismo con los cocos que dej el primero. Al hacerlo tambin le sobra un coco y se lo da al mono.

Casi al amanecer se despierta el tercer marinero y hace lo mismo que sus compaeros con los cocos que an quedan en el montn. A ste tambin le sobra un coco que se lo da al mono.

Por la maana, aunque el montn de cocos est reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada sobre lo que han hecho durante la noche. Proceden al reparto de los cocos, les sobra uno y se lo dan al mono.

Cul es la mnima cantidad de cocos que haba en el montn inicial?, cuntos cocos se lleva cada uno de los marineros?

SOLUCIN

Llamemos N a la cantidad inicial de cocos y A , B , C a los que cogen, inicial y sucesivamente, los tres marineros.

El primer marinero hace los montones de A cocos, se lleva A cocos y da uno al mono: 13 += AN

El segundo marinero, con el resto, hace lo propio con los restantes: 131 += BAN

El tercer marinero, con el resto, hace lo propio con los restantes: 1311 += CBAN

Al final, se hacen tres montones de D cocos y sobra uno, que se lo dan al mono: 13111 += DCBAN

Con estas cuatro ecuaciones, obtenemos

De la primera y la segunda, 132 += BA

De ellas y la tercera, 132 += CB

Y de todas las anteriores y la ltima, 132 += DC

Despejando sucesivamente llegamos a +

=+

=+

=

81927

459

213 DADBDC

86581 +

=DN , usando tambin la ecuacin inicial.

De ah, 8

18108

6581 +++=

+=

DDDN y, para que este valor sea entero y mnimo, se deduce que

792617117 ===== NABCD Es muy sencillo recrear los repartos y hallar la cantidad de cocos que se llev cada uno.

Inicialmente haba 79 cocos y los marineros se llevaron, respectivamente, 33, 24 y 18 cocos. El mono se llev 4

Si una cuerda se corta en trozos de 20 centmetros, sobra un trozo de 15 centmetros.

Si la longitud de la cuerda hubiese sido el triple de la original, habra sobrado algn trozo?

SOLUCIN

Llamamos x a los trozos de 20 centimetros en los que se corta la cuerda. La cuerda medir entonces

20x+15 Si triplicamos su longitud medir ahora 3.(20x+15) = 60x+45 = 20.3x+20.2+5 = 20.(3x+2)+5,

por lo que

Sobrar un trozo de 5 centmetros

Un cazador camina 3 kilmetros hacia el sur, despus 1 kilmetro hacia el este y ve un oso. Asustado, corre 3 kilmetros hacia el norte volviendo al punto de partida. De qu color es el oso?

SOLUCIN

La trayectoria que lleva el cazador solo puede realizarse en el Polo Norte o en el Polo Sur, y en ste no hay

osos. Est, por tanto, en el Polo Norte y

El oso es de color blanco

Una cuerda, de 20 metros de longitud, tiene sus extremos atados a la parte superior de dos postes de 12 metros de altura cada uno. Si la cuerda cuelga a 2 metros del suelo, cul es la separacin entre ambos postes?

SOLUCIN

Con los datos que se dan, solo puede producirse esta situacin:

Los postes estn juntos

Un tren sale de Madrid hacia Barcelona a 120 kilmetros por hora. Simultneamente, otro tren sale de Barcelona a Madrid a 160 kilmetros por hora. En el preciso instante en que se encuentren, cul estar ms cerca de Barcelona?

SOLUCIN

Si se entiende bien lo que dice el enunciado,

Los trenes estarn a la misma distancia de Barcelona

Un barco, fondeado en un puerto, tiene desplegada una escala para poder desembarcar en los botes. La escala, desde la cubierta hasta el agua, tiene 22 escalones de 20 cm. de altura cada uno. Si la marea sube a razn de 10 cm. por hora, cuntos escalones cubrir al cabo de 10 horas?

SOLUCIN

La marea sube y con ella se lleva al barco hacia arriba tambin, por lo que

El agua no cubrir ningn escaln

Una araa teje su tela en el marco de una ventana, duplicando cada da la superficie hecha hasta entonces, y tarda 30 das en cubrir el hueco de la ventana. Si en vez de una araa fueran dos, al mismo ritmo de trabajo, cunto tiempo tardaran en cubrir dicho hueco?

SOLUCIN

El da 29 la araa llena la mitad de la superficie, por lo que dos araas cubriran la totalidad. Por tanto

Dos araas tardarn 29 das

Un caracol sube verticalmente por una tapia de 10 metros de altura. Durante el da sube 2 metros, y durante la noche resbala, retrocediendo un metro. Cuntos das tardar en subir la tapia?

SOLUCIN

Todos los das subir 2 metros y bajar por la noche 1 metro hasta el noveno da. Empezar con 8 metros

subidos y, al subir otros 2, llegar a la cima de la tapia y habr acabado su escalada.

La tapia la subir en 9 das

Con el nmero 2 y la raiz cuadrada podemos construir recursivamente estos bonitos nmeros:

...2.2.2.2.2=a y ...22222 +++++=b

Cul es el mayor de los dos?, cunto valen cada uno de ellos?

SOLUCIN

aaa .2...2.2.2.2.2...2.2.2.2.2 2 === , y como 20 = aa

Por otro lado, +=+++++=+++++= bbb 2...22222...22222 2

022 = bb , cuyas soluciones son 1 y 2 , y como 20 => bb y la conclusin es que

Los dos nmeros son iguales y su valor es 2

Tenemos 9 sacos que contienen bolas de 10 gramos cada una y un saco que contiene bolas de 9 gramos. No se sabe cul es este ltimo saco y se trata de determinarlo mediante una sola pesada en una balanza.

Cmo se har?

SOLUCIN

Se colocan en la balanza 1 bola del primer saco, dos del segundo, 3 del tercero y, as,

sucesivamente hasta poner 10 del dcimo. Se pesan y se observa el resultado.

Ese valor resultante nos dir los gramos que faltan hasta llegar a 900, que seran los hipotticos

que resultaran si todos los sacos tuvieran bolas de 10 gramos.

Ese nmero nos da la cantidad de bolas de 9 gramos pesadas y, por tanto, el nmero del saco que

las contiene.

El saco es el indicado por el nmero de gramos que faltan, en la pesada, para llegar a 900

En un huerto haba 49 rboles dispuestos como se ve en la figura adjunta.

Al hortelano le pareci que haba demasiados rboles y quiso despejar el huerto, cortando los que sobraban, para plantar mejor unos cuadros de flores.

Llam a un pen y le dijo: deja nada ms que 5 filas de 4 rboles cada una. Los dems rboles, crtalos y qudate con la lea.

Cuando termin, sali el hortelano y mir el trabajo. El huerto estaba casi arrasado!. En vez de 20 rboles, el pen slo haba dejado 10 y haba cortado 39.

Cmo haba cortado los rboles el pen?

SOLUCIN

SOLUCIN

Estudiemos el problema realizando un esquema.

t es el tiempo que tardaran en juntarse los barcos en el punto A, al poner los piratas el rumbo adecuado para alcanzarlos lo ms rpidamente posible.

El tringulo rectngulo AGP nos dar, por el teorema de Pitgoras, ese tiempo:

horasttt 29894,071,100

9)20(3)3,17( 222 ===+

y, por tanto, millasAP 9788,529894,020 == , distancia que recorrera el barco pirata.

Cuando estn a una milla de distancia podrn disparar los caones los piratas. Y eso suceder

cuando estn ambos en las posiciones B y C.

Como los tringulos ABC y AGP son semejantes, por lo que

millasAPACGPBC

APAC 9929,1

39788,5

31

====

En resumen, el barco pirata habr recorrido, hasta C,

millasACAPCP 9859,39929,19788,5 ===

Al marchar a 20 millas por hora, tardar en llegar a C

nutosmihorashorastmillast 122,0199,0209859,3

'9859,3'20 ====

Los piratas podrn disparar al cabo de 12 minutos de haber avistado el galen y puesto el rumbo adecuado

Cuatro exploradores, en una noche cerrada, necesitan cruzar un puente desde un mismo lado. Slo tienen una linterna, necesaria para marchar a travs del puente (en direccin a un lado o a otro) que, estrecho y dbil de estructura, no permite que ms de dos personas lo atraviesen a la vez. El puente es lo suficientemente largo para que sea imposible lanzar la linterna de un extremo a otro.

Los exploradores, de distintas edades, tienen una velocidad individual para cruzarlo de manera que uno slo lo podra cruzar en 1 minuto, otro en 2 minutos, el tercero en 5 minutos y el ltimo en 10 minutos.

Como los exploradores pueden caminar a velocidades diferentes, cada vez que una pareja de exploradores cruza el puente lo hace a la velocidad del que va ms lento.

Con estos datos, qu estrategia tienen que usar los exploradores para poder pasar todos de un lado del puente al otro en el mnimo tiempo?... y cul es ese mnimo tiempo que pueden tardar en cruzarlo?

SOLUCIN

1er

viaje: van los exploradores 1 y 2 con la linterna. En total, 2 minutos.

2o viaje: vuelve el explorador 2 con la linterna. Pasaron ya 2 + 2 = 4 minutos.

3er

viaje: van los exploradores 3 y 4 con la linterna. Tardan 10 minutos, y ms los 4 de antes suman

14 minutos.

4o viaje: vuelve el explorador 1 (que haba quedado en la otra orilla despus del primer viaje) con

la linterna. Ya suman 15 minutos.

5o viaje: Van de nuevo los exploradores 1 y 2. Total: 17 minutos.

Tardan 17 minutos (mnimo tiempo) en atravesar el puente con la estrategia citada anteriormente

Tengo 6 trozos de cadena, cada uno de 4 eslabones, y quiero hacer, con todos ellos, una nica cadena. El herrero me cobra 20 euros por soldar un eslabn y 5 euros por cortarlo. Por cunto dinero puedo tener la cadena unida completa?

SOLUCIN

Se deben cortar los cuatro eslabones de un trozo y unir los otros 5 trozos con ellos, por lo que el

precio ser: 5 euros x 4 cortes = 20 euros ms 20 euros x 4 soldaduras = 80 euros

El precio de unir la cadena es de 100 euros

Calcula el resultado de elevar al cuadrado el nmero 1234567890987654321234567890987654321 y restarle el producto de 1234567890987654321234567890987654322 por 1234567890987654321234567890987654320

SOLUCIN

Si llamamos p = 1234567890987654321234567890987654321, la operacin es

p2

(p + 1) x (p 1) = p2

(p2 1) = p

2 p

2 + 1 = 1

El resultado es 1

Dividir la figura amarilla con dos rectas en cuatro partes de manera que, unindolas, se construya un cuadrado.

SOLUCIN

Se corta por las lneas rojas que se muestran

y la figura queda dividida en cuatro partes, que reubicamos

quedando as un cuadrado:

En un campeonato de tenis se juega a eliminatoria nica con sus respectivos jugadores exentos en determinadas rondas, que pasan sin jugar.

Si se inscriben 67 jugadores, cuntos partidos debern jugarse hasta que se proclame un vencedor del torneo?

SOLUCIN

Si es a eliminatoria nica en cada partido se elimina un jugador y, como hay un ganador de 67

jugadores (66 perdedores),

Se juegan 66 partidos hasta determinar el ganador

En la cocina haba una tarta de cumpleaos que ha desaparecido. La familia tiene cinco hijos: Antonio, Benito, Conrado, Diego y Emilio, y la madre sabe que alguno, o varios, son los autores del desaguisado y les interroga.

He aqu sus respuestas:

Antonio: Ha sido uno solo de nosotros.

Benito: No, de dos de nosotros.

Conrado: No, de tres de nosotros.

Diego: No, de cuatro de nosotros.

Emilio: Entre todos nos la comimos.

La madre sabe que los inocentes dicen la verdad y que los culpables, que se la han comido, mienten. Quin o quines se comieron la tarta?

SOLUCIN

Como los cinco dicen frases incompatibles entre s solo caben dos posibilidades:

a) Que slo uno diga la verdad. Los otros cuatro mienten y son los que se han comido la tarta.

La afirmacin verdadera es "Cuatro de nosotros se la comieron". Diego dice la verdad y los

dems mienten.

b) Que no la diga ninguno. Pero, si todos mienten, la tarta no se la comi nadie y esto es

incompatible con lo que sabe la madre.

La tarta se la comieron Antonio, Benito, Conrado y Emilio

Cuenta la leyenda que un velero pirata lleg a una remota isla perseguido por galeones espaoles y, en ella, el capitn escondi el botn que llevaba a bordo, fruto de sus abordajes.

Desembarc, con sus secuaces, en una playa desierta donde haba una palmera y una roca. Clav en la playa su espada y, desde ella, camin en linea recta hasta la palmera. Estando en ella gir 90 en sentido contrario de las agujas del reloj y anduvo (siempre en lnea recta) la misma distancia anterior, en donde hinc una estaca.

Volvi a la posicin de la espada y camin, tambin en lnea recta, hasta la roca y, girando 90 en el mismo sentido de las agujas del reloj, repiti la misma distancia, y del mismo modo, hasta un punto en donde clav otra estaca.

Busc el punto medio entre las dos estacas y all orden enterrar el tesoro. De inmediato mand recoger la espada y las estacas para, as, proteger la situacin exacta del tesoro.

Volvi al barco con su tripulacin y sigui con sus fechoras hasta que pasaron diez aos. Entonces volvi a la isla y desenterr el tesoro.

Cmo consigui localizar el tesoro con la ayuda, nicamente, de la situacin de la palmera y de la roca, que an permanecan all?

SOLUCIN

Vemos en la imagen adjunta el esquema del problema.

Vamos a demostrar que la posicin del tesoro slo

depende de la posicin de la palmera y de la roca, que

permanecen en la isla en la segunda visita del pirata.

Con esos dos elementos determinaremos

inmediatamente la situacin del tesoro.

Para ello, consideramos el esquema sin elementos de

adorno y establecemos un sistema cartesiano en el que

el eje de abcisas es la recta que pasa por P y R y el eje de

ordenadas la perpendicular a la anterior pasando por M, punto medio de P y R:

Usando vectores, ),( qpaMSMPSP == y el perpendicular con el mismo mdulo (en sentido contrario a las agujas del reloj) es ),(1 paqPE = Por otro lado, ),( qpaMEMRER == y el perpendicular con el mismo mdulo (en el sentido de las agujas del reloj) es ),(2 paqRE += Por tanto, los vectores de posicin de los puntos correspondientes a las estacas son,

respectivamente, ),(11 paqaPEMPME +=+= , coordenadas cartesianas del punto 1E , y ),(22 paqaREMRME +=+= , coordenadas cartesianas del punto 2E

Evidentemente, el punto medio de 1E y 2E ser ),0( aM , punto de localizacin del tesoro. Claramente se ve que su situacin solo depende de la de la palmera y la de la roca.

El tesoro se encuentra en la mediatriz del segmento formado por la palmera y la roca y a la misma distancia del punto medio que la mitad de la distancia entre ellas

Qu rea es mayor, la parte roja o la parte blanca de la figura?

SOLUCIN

Basta dividir la figura en polgonos iguales (uno blanco y otro rojo) como se ve para determinar

que

Las reas son iguales

Mara est disfrutando de un viaje de placer de un mes en Roma con Lus. En este momento, el hijo de ambos tiene 21 aos menos que ella.

En 6 aos, el chico ser, exactamente, 5 veces menor que ella.

Qu estn haciendo, con seguridad, estos das?

SOLUCIN

El nio tiene hoy a aos y su madre b aos, 21 aos mayor que el hijo: por tanto, b = a+21. Si en 6 aos el

muchacho ser 5 veces menor que su madre se cumplir que 5.(a+ 6) = b+6

El sistema formado por las dos ecuaciones nos permite deducir (sustituyendo b en la segunda ecuacin)

que a=-3/4. Entonces, el nio tiene hoy -3/4 de ao, que representan -9 meses: dentro de 9 meses nacer

el nio, por lo que

Mara y Lus estn haciendo el amor (con xito de embarazo)

Juan, Jos y Jaime son tres amigos aficionados al atletismo que deciden competir entre ellos haciendo una carrera de 5 kilmetros cada da.

Para hacerlo ms interesante establecen que, en cada carrera, el primero obtendr 50 puntos, el segundo 20 y el tercero 10. Cuando acaben la temporada, el que tenga ms puntos ser invitado por los otros dos a una cena.

Juan queda segundo veinte veces ms que tercero y, finalmente, obtiene 2700 puntos.

Cuntos das compiten?

SOLUCIN

Llamamos x al nmero de veces que Juan queda tercero, x20 a las veces que queda segundo e y a las veces que gana la carrera. Entonces, yxyxxN +=++= 2120 ser el nmero de carreras realizadas y, por tanto, el nmero de das que compiten.

Si Juan obtiene 2700 puntos, es evidente que =+=++ 270050410270050202010 yxyxx

5854

541270270541 xxxyyx ===+

Como x e y indican las veces que ha quedado tercero y primero (respectivamente), esos nmeros deben ser enteros positivos por lo que debe cumplirse que 135 == yx , nicos valores que permiten la afirmacin anterior.

En conclusin, Juan queda 5 veces tercero, 100 veces segundo y 13 veces primero, por lo que

Compiten 118 das

Sustituye, en la suma siguiente, las letras por cifras (de 0 a 9) teniendo en cuenta que a cada letra distinta le corresponde una cifra diferente

SOLUCIN

Evidentemente M=1. Por tanto, las ltimas cifras de la izquierda implican que S vale 8 o 9, y O vale 0 o 1.

Si fuera S=8 tendramos que O=0 y E=9, lo cual es imposible pues se deducira que N=0, hecho

contradictorio al ser la letra N distinta de la letra O.

En resumen, M=1, S=9 y, en consecuencia, O=0 pues E no puede ser 9.

Se deduce entonces que E+1=N, por lo que

N+R=10+E, que conduce a que R=9, contradictorio con el hecho de que S=9 y R no es S

N+R+1=10+E, que permite deducir que R=8

De R=8 y E+1=N se obtiene por descarte, con las cifras que quedan, que N=6 y E=5.

Por ltimo, fcilmente puede obtenerse que Y=2 y D=7.

En conclusin la suma pedida es

Me encontr el otro da a un antiguo alumno. Despus de una agradable conversacin y, hablando de lo mucho que le gustaban las matemticas, le coment: Fjate. Tengo el doble de la edad que t tenas cuando yo tena la edad que t tienes

Cules son nuestras edades actuales si entre los dos tenemos 105 aos?

SOLUCIN

Llamemos x a mi edad e y a la del alumno. Cuando yo tena la edad que l tiene han pasado yx aos, por lo que yo tena y aos y l, ( ) xyyxy = 2 aos. En consecuencia, == xyxyx 24)2.(2

yx 43 =

Por otro lado, 105=+ yx . Tomando las dos ecuaciones se obtiene que ( )== xxxy 105.43105 == 420744203 xxx 60=x e 45=y

Por tanto

Tengo 60 aos y el alumno tiene 45 aos

Cuntos kilmetros nos quedan si, despus de haber recorrido la tercera parte de la carretera, faltan 50 kilmetros para llegar a la mitad?

SOLUCIN

Llamemos x al total de kilmetros de la carretera.

Segn lo que nos dice el enunciado, 506

5032

=++=xxx

x , luego la carretera tiene 300 kilmetros.

Entonces, hemos recorrido 1003

3003

==x

kilmetros y, por tanto,

Faltan 200 kilmetros

Un punto est situado en el interior de un cuadrado y su distancia respectiva a tres vrtices consecutivos es de 3, 4 y 5 cm. cunto mide el lado del cuadrado?

SOLUCIN

Sea x el lado del cuadrado. Trazamos las alturas OF y OG , respectivas de los tringulos AOB y BOC

Tambin, hacemos pBF = , qBG =

Por el teorema de Pitgoras, ( )( )

==

==

22222

22222

4543

qqxOGppxOF

=

+=

=

+=

=+

=+

x

xq

x

xp

xqxxpx

qqqxxpppxx

29

27

9272

162251629

2

2

2

2

222

222

Por otro lado, y por el mismo teorema, 222 4=+ qp . Sustituyendo queda

=+=++++

=

+

+ 2242

24242222

6413042164

81184914162

92

7xxx

x

xxxx

x

x

x

x

065340130682 2424 =+=+ xxxx

Resolvemos la ecuacin bicuadrada:

==

43,165,5

9666,1417651717 22x

xx , rechazando

los valores negativos que se obtienen dado el contexto del problema.

Evidentemente, la nica solucin vlida es la primera, pues el lado del cuadrado debe ser, al menos, mayor

que 3 , por lo que

El lado del cuadrado mide 5,65 cm

Teniendo en cuenta que todas las letras se corresponden con los diez dgitios del sistema decimal (de 0 a 9) y que a letras diferentes les coresponden dgitos diferentes, hallar el valor de la suma.

SOLUCIN

Haciendo la descomposicin numrica obtenemos que

++=++++++++ JJJIHGFEDCBA 10100101001010010100

( ) ( ) =++++++++ JIFCHEBGDA 11110100 ( ) ( ) JIHGFEDCBAHEBGDA 111999 =++++++++++++++

Por otro lado, sabemos que

=++++++++=+++++++++ JIHGFEDCBA 45459876543210

( ) ( ) ( ) ( ) =++++++=++++++ JHEBGDAJJHEBGDA 1124599911145999 (dividiendo por 9 ) ( )

911259 JHEBGDA =++++++

Como el primer miembro de la igualdad es un valor entero, el segundo tambin debe serlo. Y, entonces, si

112 y 9 son primos entre s, J debe ser un mltiplo de 9 por lo que, al ser un dgito, 9=J y

JJJ = 999

Un grupo de soldados, en una parada militar, va desfilando en formacin rectangular de 20 metros de largo y avanzando con paso uniforme. La mascota, una cabra, parte del centro de la ltima fila en lnea recta hasta el centro de la primera fila y regresa del mismo modo hasta el centro de la ltima fila. En el momento de alcanzar el centro de la ltima fila, los soldados han recorrido exactamente 20 metros. Suponiendo que se desplace con velocidad constante y que no pierda tiempo en los giros, cuntos metros ha recorrido la cabra?

SOLUCIN

Construimos el esquema:

La cabra, segn el esquema anterior, ha recorrido x220 + metros. Llamamos v a la velocidad de los soldados w a la de la cabra, ambas constantes. Teniendo en cuenta la

frmula espacio = velocidad x tiempo, planteamos las igualdades siguientes para el tiempo 1t transcurrido

en el que la cabra va en la misma direccin que los soldados: w

v

x

x

twx

tvx=

+

=+

=

2020 11

Para el tiempo 2t en el que van en direcciones opuestas: w

v

x

x

twx

tvx=

=

= 2020

2

2

Y, por igualacin obtenemos que 21040024002020

222===

=

+xxxx

x

x

x

x

Por tanto, la distancia recorrida por la cabra es 28,4822020220 =+=+ x metros

La cabra ha recorrido 48,28 m

Los nmeros primos se distribuyen de forma aleatoria (hasta la fecha, pues no se ha conseguido demostrar an que sigan alguna pauta regular) en el conjunto de los nmeros naturales y suelen aparecer habitualmente cuando recorremos dicho conjunto pero, existe algn conjunto de un milln de nmeros naturales consecutivos que no contenga ningn primo?... si existe, podras indicar uno?

SOLUCIN

Existe. Basta tomar el nmero 2!10000011 +=x y tomar la sucesin de nmeros consecutivos 1000000,...,2,1!1000001 =++= iixi .

Todos los nmeros son compuestos pues cada ix es divisible por 1000000,...,1,1 =+ ii

Un conjunto de un milln de nmeros naturales consecutivos y compuestos puede ser el que se cita

Estamos ante un grifo y tenemos dos cubos vacos en los que caben 3 y 5 litros respectivamente. Cmo podemos llenar, en el cubo de 5 litros, 4 litros exactos de agua si no tenemos ms medidas que esas?

SOLUCIN

Seguimos los siguientes pasos:

1. Llenamos el recipiente de 3 litros (R3) y volcamos su contenido en el de 5 litros (R5)

2. Repetimos la operacin otra vez: llenamos R3 y volcamos su contenido en R5 hasta

completarlo. En ese momento, R5 estar lleno y R3 contendr un litro.

3. Vaciamos R5 y volcamos el litro de R3 en R5

4. Por tercera vez llenamos R3 y volcamos su contenido en R5, que contendr exactamente los

4 litros.

Siguiendo los 4 pasos anteriores se soluciona el problema

Si un ciclista marcha con una velocidad de 20 kilmetros a la hora, llega a Fraga una hora despus del medioda.

Si la velocidad es de 30 kilmetros por hora, alcanza Fraga una hora antes del medioda. A qu velocidad debe ir para llegar a Fraga exactamente a medioda?

SOLUCIN

Llamamos t al tiempo que tardara el ciclista en llegar a Fraga a medioda.

Segn el enunciado, usando la frmula tiempovelocidadespacio = , ( ) ( ) 55010130120 ===+ tttt horas.

Por tanto, el recorrido es de ( ) 1201520 =+ kilmetros y, la velocidad que debe llevar para estar en Fraga a medioda es hkm

horaskilmetros

velocidad /245

120==

La velocidad debe ser de 24 kilmetros por hora para llegar a Fraga a las 12 del medioda

Cuatro matrimonios estn tomando tapas en un bar. Silvia toma una tapa, Raquel dos, Tere tres y Merche cuatro.

Rubn toma las mismas tapas que su mujer, Marcos el doble que la suya, Toms el triple que la suya y Sebastin cuatro veces ms que la suya.

Si en la mesa quedan 32 palillos, desechos de cada una de las respectivas tapas consumidas, cmo se llama la mujer de Toms?

SOLUCIN

Las mujeres consumen, en total, 10 tapas, por lo que los hombres comen 22.

Como 22 es par en la consumicin de los hombres, o bien 22 es la suma de cuatro impares, imposible por

las condiciones del problema, o de cuatro impares, tambin imposible, o de dos pares y dos impares, lo cual

nos determina cuatro posibilidades (1x1+2x2+3x3+4x4=30, 3x1+2x2+1x3+4x4=26, 1x1+4x2+3x3+2x4=26,

3x1+4x2+1x3+2x4=22), siendo la correcta la correspondiente a

Parejas Consumicin

Silvia-Toms 1+3x1=4

Raquel-Sebastin 2+4x2=10

Tere-Rubn 3+1x3=6

Merche-Marcos 4+2x4=12

que hacen un total de 32 palillos.

La mujer de Toms es Silvia

A Nazario le han encargado que decore, con plantas y flores a su gusto, un parterre ya delimitado en forma de corona circular, con una fuente en el centro.

Necesita saber los metros cuadrados que tiene, por lo que le pide a su hijo Pablo que haga las mediciones correspondientes.

Pablo, con notable eficacia, trae una nica medida de 8 metros dentro del parterre y asegura que, con ella, se puede determinar perfectamente el rea de la corona circular.

Cmo ha medido?, cul es el valor de la superficie del parterre?

SOLUCIN

Pablo mide la longitud de una cuerda, de la circunferencia exterior, tangente a la circunferencia interior.

Si r es el radio de la circunferencia interior y R el radio de la exterior puede observarse claramente que, por el teorema de

Pitgoras, 16428 222

222

==

+= rRrR .

Como el rea de una corona circular es la diferencia entre medidas

de la superficie del crculo mayor y la superficie del crculo menor, ( ) 22222 27,5016 mrRrRrea ==== pipipipi

La superficie del parterre es de 50,27 metros cuadrados

El radio del crculo inscrito en un triangulo rectngulo mide 2 cm y el del circunscrito 5 cm.

Cunto mide la suma de los catetos ?

SOLUCIN

Se trata de hallar la suma NQNPS += Si el radio del crculo circunscrito al tringulo rectngulo es 5 cm, la hipotenusa, que equivale al dimetro, mide 10 cm: 10=PQ cm. Consideramos los tringulos formados por el centro del crculo

inscrito y los vrtices del tringulo: NOP , POQ y QON . La suma de sus reas equivale al rea del tringulo rectngulo. Por tanto,

=++=++22

22

22

2 NQNPNQPQNPrearearea QONPOQNOP

210

2NQNPSNQNPNQPQNP =+=++

Por otro lado, ( ) 404102 22222 ++=++=+ SSNQNPNQNPNQNP , aplicando el teorema de Pitgoras en el tringulo rectngulo y la igualdad deducida anteriormente.

En resumen, 14014042 == SSS , nica solucin vlida en el contexto del problema (la otra es de valor negativo).

Por lo tanto,

La suma de los catetos es 14 centmetros

Mariano Gonzlez no ha cumplido an los 40 y ya tiene familia numerosa.

Si escribimos tres veces seguidas su edad, el nmero obtenido es el producto de su edad por la de su mujer y la de cada uno de sus cinco hijos.

Cul es la edad de todos los miembros de la familia?

SOLUCIN

Si ab es la edad de Mariano, el nmero resultante de escribir tres veces su edad es

abbababababaababab 10101)10(101011010110101011010010001000010000 =+=+=+++++= Si descomponemos factorialmente el nmero que se obtiene, 37137310101 = y, por tanto,

abababababab === 3713731137137310101 Por lo tanto no podemos saber la edad de Mariano, pero

La mujer de Mariano tiene 37 aos y sus hijos tienen 1, 1, 3, 7 y 13 aos

Se celebr un sorteo con premios en el que participaron 1958 personas. El 89% consigui un premio y del 11% restante la mitad obtuvo dos y la otra mitad ninguno. Cuntos premios se repartieron?

SOLUCIN

Es evidente: el promedio de premios del 11% restante de los participantes es 1, por lo que, teniendo en

cuenta que el 89% recibi un premio hubo tantos premios como participantes, por lo que

Se repartieron 1958 premios

Un viajante est reservando una habitacin en un hotel para una semana. Al ir a dar su tarjeta de crdito se da cuenta de que la ha perdido. Llama al banco y le dicen que tardarn una semana en darle una nueva.

Entonces propone al dueo del hotel pagarle con una cadena de oro de 7 eslabones, en la que cada eslabn vale exactamente el precio de una noche. En el momento en que reciba la tarjeta de crdito pagar con ella y el hostelero le devolver la cadena.

ste est de acuerdo, pero prefiere cobrar cada da con un eslabn.

Como luego va a tener que recomponer la cadena, el viajante piensa cortar el mnimo numero posible de eslabones. Cuntos cortar?

SOLUCIN

Basta que corte el tercer eslabn y deje tres trozos: uno de un eslabn (el cortado), otro de dos y otro de

cuatro.

As, el primer da pagar con un eslabn. El segundo entregar el trozo de dos eslabones y recibir el que

entreg el da anterior, que volver a entregarlo en tercer da.

El cuarto da entregar el trozo de cuatro eslabones y recibir los otros dos trozos. El quinto, sexto y

sptimo da repetir el proceso de los tres primeros das.

Slo tendr que cortar un eslabn

Intercalando las operaciones matemticas pertinentes (valen todas y los parntesis!) hay que conseguir

a) Con seis unos hacer 100, con seis doses hacer 100 y, as, hasta con seis nueves.

b) Con cinco unos hacer 10, con cinco doses hacer 10 y, as, hasta con cinco nueves.

c) Con cuatro nueves hacer 2, con cuatro ochos hacer 3, con cuatro sietes hacer 4, con cuatro seises hacer 5, con cuatro cincos hacer 6, con cuatro cuatros hacer 7, con cuatro treses hacer 8, con cuatro doses hacer 9 y con cuatro unos hacer 10

SOLUCIN

a) La expresin general, para cualquier dgito x de 1 a 9, es ( ) xxxxxx b) La expresin general, para cualquier dgito x de 1 a 9, es ( ) xxxxx c) La expresin general, para cualquier dgito x de 1 a 9, es xxxx

Las expresiones anteriores son las ptimas para determinar los valores con las condiciones indicadas

A Krans le entusiasma el submarinismo y, junto con unos amigos, ha descubierto un pequeo cofre del cargamento del galen espaol 'Mercedes' oculto entre los restos del naufragio. Uno de ellos, argumentando que no todos llevan el mismo tiempo buceando, propone repartirlo en base a sus edades dando dos monedas de oro al ms joven, cuatro monedas al siguiente, ocho, dieciseis... y as sucesivamente. Krans, que casualmente es el ms joven, consigue convencerles de hacer partes iguales (sus dos metros de altura ayudaron bastante). Cuntos submarinistas encontraron el tesoro teniendo en cuenta que eran menos de veinte?

SOLUCIN

Si son n submarinistas, con el reparto original 222...168642 1 =++++++ +nn ser el nmero de monedas que hay, con 2n .

Por otro lado, si hacen partes iguales, y recibe cada uno m monedas, se cumplir que nmn =+ 22 1

Entonces, ( ) nmnn ==+ 12222 1 es un nmero par, lo que indica que, al menos uno de los dos nmeros, m o n , es par y, adems,

( )n

mn 122

=

a) Si n es impar: n es divisor de 12 n , lo cual no se cumple para ningn valor impar menor a 20 .

b) Si n es par: 2/12

nm

n

= y 2/n debe ser impar, luego 18,14,10,6,2=n . Se cumple para 2=n

( )3=m , 6=n ( 21=m ) y 18=n ( 29127=m )

Hay tres soluciones posibles:

2 amigos que se reparten 3 monedas cada uno

6 amigos que se reparten 21 monedas cada uno

18 amigos que se reparten 29127 monedas cada uno

La serpiente del Paraso Terrenal menta los martes, jueves y sbados. Los dems das deca la verdad.

- Eva, cmete una manzana. - No puedo, lo tengo prohibido. -Aprovecha. Hoy es sbado y l est descansando. - No, no tal vez maana. - Maana es mircoles y ser tarde.

Y ella comi y as nos va a todos. Qu da de la semana fu?

SOLUCIN

Como la serpiente miente el sbado es imposible que sea sbado, por lo que est mintiendo y el da es el

martes o el jueves.

Si dice maana es mircoles y est mintiendo no puede ser martes, por lo que el da en el que se produce

la conversacin debe ser

Jueves

En el tringulo ABC dibujamos siete segmentos, paralelos al lado BC, que dividen en 8 partes iguales al lado AC. Si BC = 10 centmetros, cul es la suma de las longitudes de los 7 segmentos?

SOLUCIN

Basta girar 180 el tringulo original y adjuntarlo, construyendo as un

paralelogramo en el que se complementan todos los segmentos a la

misma longitud que el lado BC.

Por lo tanto, la suma pedida ser la mitad de la que suman los siete de

la nueva construccin, a razn de 10 centmetros cada uno.

Suman 35 centmetros

Teniendo en cuenta que a letras diferentes les corresponden dgitos diferentes y que O no es nulo, hallar el valor de la suma.

SOLUCIN

Debe estar claro que 30 < O y, por tanto, OS += 104 o OS += 204 o OS += 304 De ah, 2=O y , entonces, 3=S o 8=S , porque del caso OS += 204 no obtenemos valor vlido.

De lo anterior, y mediante deducciones elementales, llegamos a tres posibilidades cuando 3=S :

y a dos en el caso de 8=S :

A Josepha Braum le preguntaron en una ocasin: qu hacia usted el 30 de diciembre de 1829? Uffff, no tengo ni idea, contest. Eso s, s que tena tantos aos como los que suman las cuatro cifras del ao de mi nacimiento. Cul es la fecha de su nacimiento?

SOLUCIN

Vamos a calcular el ao de su nacimiento.

No pudo nacer en el siglo XVIII porque el mayor valor de la suma de las cifras sera 269971 =+++ y, sin embargo, su edad debera ser 30 . Aos anteriores aumentan la diferencia entre la suma de las cifras y la edad.

Por tanto, suponemos que naci en el ao ab18 y tena cumplidos los aos en 1829 . Entonces,

( ) ++=++=+++++= bababababaab 910299101800182981181829 20211 =+ ba , ecuacin diofntica que intentamos resolver:

2510

2112020211 aaabba ===+ . Si hacemos tbta 11102 == y, no existe ningn valor de

t para el que a y b sean cifras del sistema decimal: no hay, en este caso, solucin.

La nica posibilidad que queda es que naciese en ab18 pero an no hubiera cumplido aos en 1829 a 30 de diciembre.

En ese supuesto ( ) ++=+++++= bababaab 91018001828811811829

2159

211192111991028 aaabbababa +==+=++= .

Entonces, tbtata 114212

1+===

y las nicas cifras vlidas son para 0=t . En ese caso

1=a y 4=b , por lo que

Josepha Braum naci el 31 de diciembre de 1814

En una maratn han participado 6522 personas. El 56,56565656% de los que llegaron a la meta eran hombres y el 56,756756756% de quienes acabaron eran menores de 40 aos. Cunta gente abandon?

SOLUCIN

Escribamos, en forma de fraccin, los porcentajes dados respecto al nmero total s de personas que

acabaron la prueba: ssde99

5600%56,56 = son hombres y ssde37

2100%756,56 = son menores de 40

aos.

Son fracciones irreducibles y como s es entero debe ser mltiplo de 99 y de 37 (primos entre s) y menor que 4000 El nico valor vlido es 366399371 ==s personas alcanzaron la meta, por lo que

337 personas abandonaron la maratn

Al encontrarse en la celebracin de un cumpleaos, dos hombres se saludaban con un apretn de manos y tanto dos mujeres como mujer y hombre se daban un beso.

Alguien cont que se dieron, en total, 21 apretones de manos y 34 besos. Cuntas personas estaban en la fiesta?

SOLUCIN

Vamos a llamar h al nmero de hombres y m al nmero de mujeres. Echando mano de la combinatoria, si hubo 21 apretones de manos entre cada dos hombres se cumple que

( ) 7042212

12

22 ===

=

= hhhhh

hC h , nica solucin positiva. Hay 7 hombres.

Para el caso de los besos, stos se realizan con una mujer y una mujer o una mujer y un hombre, por lo que

el nmero de besos ser ( ) 4068133472

1347 22 ==+=+

=+ mmmmmm

mCm , nica

solucin positiva. Hay 4 mujeres.

Por tanto,

11 personas estuvieron en la celebracin

Los nmeros reales no nulos a y b verifican la igualdad 12 44

22

=

baba

. Encuentra,

razonadamente, todos los valores tomados por la expresin 22

22

baba

+

SOLUCIN

Sabemos que 0a y 0b .

Entonces, ====

002212

224442244442244

22

babbabababababa

ba

( )( ) ( ) 02222222 =++ babbaba , y como 2222222 200 babbaba ==+ En conclusin,

31

322

2

2

22

22

22

22

==

+

=

+

bb

bbbb

baba

, pues 02 b

Por tanto,

La expresin vale siempre 1/3

En la construccin de una casa dos albailes, Ramiro y Roque, se repartieron a ojo unos 100 ladrillos en dos montones de modo que quedaran los dos ms o menos parejos. Se pusieron a trabajar y mientras que Ramiro los colocaba en columnas de cinco ladrillos, Roque lo haca en columnas de siete. Cuando acabaron, a Ramiro le quedaban 2 ladrillos sin colocar y a Roque cuatro ladrillos. De cuantos ladrillos era cada montn ?

SOLUCIN

Sean a el nmero de columnas que puso Ramiro y b el nmero de las columnas que puso Roque. Entonces, 4855025 + aa y 4675047 + ab . De ah, podemos deducir, por defecto y por exceso que 109 oa = y 76 ob = . Los nicos valores que hacen que haya exactamente 100 ladrillos son

9=a ( )4725 =+a y 7=b ( )5347 =+b , por lo que

El montn de Ramiro era de 47 ladrillos y el montn de Roque era de 53 ladrillos

Tenemos las sucesiones

a) 1, 2, 3, 5, 16,

b) 1, 2, 3, 7, 16,

c) 1, 2, 3, 7, 22,

Cules son los dos siguientes trminos de cada una de estas sucesiones?, cul es la regla de construccin respectiva?

SOLUCIN

a) La sucesin se puede definir con los dos primeros nmeros de manera arbitraria y cada trmino, a

partir del tercero, es la diferencia entre los cuadrados de los dos trminos anteriores:

3,,2,1 2 22

121 === naaaaa nnn

b) La sucesin se puede definir con los dos primeros nmeros de manera arbitraria y cada trmino, a

partir del tercero, es la suma del precedente y el cuadrado del situado dos lugares antes:

3,,2,1 2 2121 +=== naaaaa nnn

c) La sucesin se puede definir con los dos primeros nmeros de manera arbitraria y cada trmino, a

partir del tercero, es el producto de los dos anteriores aumentado en una unidad:

3,1,2,1 2121 +=== naaaaa nnn

Por lo tanto, los dos trminos siguientes de cada sucesin sern

a) , 231, 53105,

b) , 65, 321,

c) , 155, 3411,

Un perro est persiguiendo a un conejo tratando de darle caza. Cada 5 saltos que da el conejo el perro da 4, pero 8 saltos de ste equivalen a 11 saltos de aqul.

Si el conejo lleva 66 saltos suyos de ventaja, cuntos saltos dar el perro para alcanzar al conejo?

SOLUCIN

Como los saltos perro-conejo estn en la proporcin de longitudes de 8

11, mientras el conejo da 5 saltos

el perro da 5,52

1148

11== saltos como el conejo. Es decir, el perro le gana medio salto al conejo cada 5

saltos de ste o, lo que es lo mismo, el perro gana un salto conejil cada 10 del conejo. Por tanto el perro, para llegar a alcanzarlo, necesitar que el conejo de 660 saltos si ste lleva 66 saltos de ventaja. El perro habr dado 72666066 =+ saltos de conejo que, segn la proporcin dada, equivalen a

528118726 = saltos perrunos.

El perro da 528 saltos hasta alcanzar al conejo

Tengo 2 hijos y uno de ellos es varn, cul es la probabilidad de que los dos lo sean?

SOLUCIN

Las posibilidades de hijos e hijas son VH, HV, VV, HH (V: varn y H: Hembra). Si hay un hijo

varn slo las tres primeras posibilidades son vlidas, de las cuales una (VV) es la que sera favorable, luego

La probabilidad de que sean dos varones es

Una atleta debe transportar una prtiga de 5 metros en un avin. La compaa no permite bultos con dimensiones superiores a los 3 metros. Cmo puede enviarla si la prtiga no puede plegarse ni doblarse?

SOLUCIN

Usando

una caja cbica cuyas dimensiones sean 3x3x3 metros

y colocando la prtiga en una diagonal de la caja. La diagonal vale

20,5333 222 =++=d metros, por lo que puede contener a la prtiga, que mide 5 metros.

En un almacn de frutas hay mucha actividad. Tanta que, un da, se equivocaron en el etiquetado de un encargo.

Tenan preparadas tres cajas: una slo de melocotones, otra slo de peras y otra con una mezcla de peras y melocotones. Pusieron las etiquetas en cada una de las cajas: melocotones, peras, peras y melocotones pero ninguna se corresponda con su contenido.

De qu caja hay que sacar una sola pieza de fruta para observarla y, despus, colocar cada etiqueta en la caja adecuada?

SOLUCIN

Se saca una pieza de la caja rotulada con peras y melocotones pues ah slo hay melocotones o slo peras al no estar la etiqueta acorde con su contenido.

Hay dos posibilidades:

Si sacamos una pera, esa caja debe rotularse con peras, la que dice peras debe rotularse con melocotones y la que dice melocotones debe rotularse con melocotones y peras.

Si sacamos un melocotn, esa caja debe rotularse con melocotones, la que dice melocotones debe rotularse con peras y la que dice peras debe rotularse con melocotones y peras.

Rosendo y Marisol tienen un cierto nmero de cromos cada uno (R y M). En la escuela estn aprendiendo las cuatro operaciones bsicas: Rosendo suma ambos nmeros (R+M) y Marisol los multiplica (RxM).

No contentos con eso, Rosendo resta el menor del mayor (R-M o M-R) y Marisol divide el mayor por el menor (R/M o M/R).

Por ltimo, suman los cuatro resultados y obtienen 243.

Cuantos cromos tiene cada uno?

SOLUCIN

Hagamos, suponiendo que MR > , la factorizacin de la ltima operacin efectuada:

( ) ( ) ++=

++=++=++++

MMMR

MMR

MRMRR

MRMRMRMR 12122

2

( ) ( ) 522 324311 ==+=+ MMR

MMR

De ah se deducen dos posibilidades:

a) ( ) 54,2273,931 322 ======+ RMMRM , y

b) ( ) 24,83,8131 42 =====+ RMMRM

Por tanto,

Rosendo puede tener 54 cromos y Marisol 2

o

Rosendo puede tener 24 cromos y Marisol 8

o viceversa

Un numero natural a est formado por ms de una cifra. Al multiplicar a por 29 se obtiene a, pero precedido y seguido por otra cifra B, es decir: ax29 = BaB.

Cul es el mnimo nmero a que cumple esas condiciones?

SOLUCIN

Si ( ) ( )19

11011019101029 +=+=++==n

nn BaBaBaBBaBa

De ah, mn =+ 19110 , pues B es una cifra. Es decir, 19

110 +=

n

m debe ser un nmero natural.

El mnimo que cumple las condiciones es 52631579=m , pues 110110000000005263157919 9 +=+=

Por tanto ( ) 5263157919

110=

+= BBa

n

y el mnimo nmero natural buscado es (para 1=B ),

52631579

Quiero construir un calendario con dos cubos, los cuales indicarn el da a da de los meses.

Qu cifras deber colocar en cada cara de los dos cubos para que se puedan indicar los 31 das de un mes cualquiera?

SOLUCIN

En un dado pueden ponerse las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y en el otro, las cifras 0, 1, 2, 6, 7 y 8.

En caso de necesidad del 9, se pone el 6 dndole la vuelta.

La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comeran en 24 das y 30 vacas en 60 das.

Cuntas vacas se comeran toda la hierba en 96 das?

SOLUCIN

Llamamos x al nmero de vacas que se pide y llamamos y al crecimiento diario de la hierba expresado en partes de la que hay inicialmente en el prado.

Si en un da hay un crecimiento de y , en 24 das habr un crecimiento de y24 . Tomando todo el pasto

como una unidad, en 24 das las 70 vacas comern y241+ . En un da, por tanto, comern 24241 y+

y una

de las vacas comer, en un da, 70.24

241 y+

Por el mismo razonamiento, una de las 30 vacas (que consumen toda la hierba en 60 das) comer en un

da, 60.30

601 y+

Evidentemente las cantidades deben ser idnticas, por lo que 4801

60.30601

70.24241

=+

=+ yyy

Es decir, cada da, una vaca consume 1600

160.304801601

60.30601

=

+=

+ y

Para x vacas, que consumen todo en 96 das, se cumplir que 201600

196

4801961

==

+x

x, por lo que

20 vacas se comeran toda la hierba del prado en 96 das

Cul es la sucesin que sigue en la siguiente lista de sucesiones?

4 14 24 30 31 32......

3 6 7 9 10 11......

5 6 7 10 15 16........

1 2 4 5 8 11........

SOLUCIN

Son sucesiones formadas por los nmeros naturales que contienen a cada una de las cinco vocales.

La primera sucesin es cuAtro, cAtorce, veinticuAtro, treintA,

La segunda, trEs, sEis, siEtE, nuEvE,

La tercera, cInco, seIs, sIete, dIez,

La cuarta, unO, dOs, cuatrO, cincO,

Por lo tanto, la ltima ser

1, 4, 9, 15, 19, 21,

Un nmero entero positivo se escribe con tres cifras distintas.

Obtenemos tres nmeros de dos cifras cada uno suprimiendo la cifra de las centenas, la de las decenas y la de las unidades.

La suma de esos tres nmeros es la mitad del nmero de tres cifras inicial. Cul es ese nmero?

SOLUCIN

Sea el nmero cbaabc ++= 10100 . El enunciado nos dice que

++

=++=+++++=++21010021120101010

2cba

cbacbcabaabcbcacab

baccba 420031260 == De ah se deduce que

1. 1=a y 53 b . Como las cifras son distintas slo cabe que 3=b y 8=c o bien 5=b y 0=c . 2. 2=a y 98 b . Como las cifras son distintas slo cabe que 9=b y 4=c

Por tanto, el nmero puede ser

138, 150 o 294

Cuntas cifras tiene el nmero N = 4994.51989 ?

SOLUCIN

( ) 5105525254 198819881988198999421989994 ====N . Esto es, N es el nmero formado por la cifra 5 seguida de 1988 ceros. Por tanto,

N tiene 1989 cifras

Un rayo ha partido una antena de comunicaciones que meda 25 metros y la parte superior ha quedado con el extremo en el suelo formando un tringulo rectngulo de 15 metros de base A qu altura se ha roto la antena?

SOLUCIN

Si llamamos x a la altura de la parte que ha quedado en pie, aplicando el teorema

de Pitgoras obtenemos:

( ) +=+=+ 22222 506252252515 xxxxx 840022562550 === xx

Por tanto,

La antena se ha partido a 8 metros de altura

Un agricultor tena 5 sacos de patatas y pidi a su hijo que los pesara para llevarlos al mercado.

El hijo, para enredar un poco, los pes de dos en dos de todas las maneras posibles y obtuvo 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56 y 57 kg

Cunto pesa cada saco sabiendo que todos los valores son enteros y distintos?

SOLUCIN

Vamos nombrar los pesos de los cinco sacos como V , W , X , Y y Z , ordenados de menor a mayor valor.

Si consideramos los dos primeros los de menos peso, lgicamente se verificar que 46=+WV y, de manera similar con los de mayor peso, 57=+ ZY En resumen, tambin deducimos de ah que 1035746 =+=+++ ZYWV Por otro lado en las diez pesadas los sacos intervienen cuatro veces cada uno, , por lo que

( ) 516575654535251504948464 =+++++++++=++++ ZYXWV , por lo que el peso total de los sacos ser la cuarta parte de ese valor: 129=++++ ZYXWV As, el peso 26103129 ==X kg, con lo que ya tenemos el peso del saco intermedio. Los pesos de los dems oscilarn, lgicamente, entre 2248 = X y 3056 = X al no intervenir X ni en la primera ni en la ltima pesada.

Como todos los sacos tienen distinto peso, los dos primeros deben cumplir 242246 +==+WV (no hay ms posibilidades lgicas con las condiciones establecidas y obtenidas), con lo que ya tenemos los pesos

22=V kg y 24=W kg

Con el mismo razonamiento debe verificarse que 292857 +==+ ZY o que 302757 +==+ ZY En el primer caso ( 29,28 == ZY ) debera aparecer, en la lista, el peso 552926 =+=+ YX y no aparece, por lo que no puede cumplirse esta posibilidad.

Por tanto, debe ser +==+ 302757ZY 27=Y kg y 30=Z kg Ya tenemos los pesos de los cinco sacos y es sencillo comprobar, sumando dos a dos, que coinciden las

sumas con los valores de la lista de pesadas indicada.

En conclusin,

Los pesos de los sacos son

22 kg, 24 kg, 26 kg, 27 kg y 30 kg

Un tipgrafo, para enumerar todas las pginas de un libro, ha empleado 2989 dgitos.

Cuntas pginas tiene el libro?

SOLUCIN

Hay 9 pginas de una cifra (de 1 a 9), 90 de dos cifras (de 10 a 99), 900 de tres cifras (de 100 a 999), 9000 de

cuatro cifras (1000 a 9999) que rebasan nuestros datos.

Para pginas de una cifra necesitaremos 9 dgitos, para pginas de dos cifras necesitaremos 90 x 2 = 180

dgitos, para pginas de tres cifras necesitaremos 900 x 3 = 2700 dgitos luego, hasta pginas de de tres

cifras se usan 9 + 180 + 2700 = 2889 dgitos.

Hasta los dgitos dados faltan 2989 2889 =100 dgitos para indicar pginas de cuatro dgitos, por lo que

habr 100/4 = 25 pginas que si empiezan por 1000 acabarn en 1024.

Por tanto,

El libro tiene 1024 pginas

Una agencia turstica ofrece tres tipos de viajes a China:

China Panormica, por 1600 euros/persona

China Esencial, por 1700 euros/persona

China Pais de Dragn, por 1800 euros/persona

Una semana la empresa recaudo 20000 euros por la venta de esos tipos de viaje.

Cuntos viajes de estos tipos se vendieron, en total, la citada semana?

SOLUCIN

Llamamos X , Y y Z a la cantidad de viajes vendidos de cada uno de los citados, y en el mismo orden, en esa semana.

Tendremos entonces que 20018171620000180017001600 =++=++ ZYXZYX Debe cumplirse tambin, por los datos indicados, que 120 X , 110 Y y 110 Z

162812

161817200200181716 ZYZYZYXZYX +===++ , y la ltima fraccin debe ser un

nmero entero.

Nombramos ahora al valor entero 2

842

168168216

28 Yt

YtZtZYZYt ===+= , por lo

que Y debe ser un nmero par.

Estudiamos ahora las posibilidades, siendo la cantidad de viajes siempre enteros y positivos o nulos:

Y t 284 YtZ = tZYX += 12 ZYX ++

0 0 4 8 12

0 -1 12 -1 Imposible

2 0 3 7 12

2 -1 11 -2 Imposible

4 0 2 6 12

4 -1 10 -3 Imposible

6 0 1 5 12

6 -1 9 -4 Imposible

8 0 0 4 12

8 -1 8 -5 Imposible

10 0 -1 3 Imposible

10 -1 7 -6 Imposible

Todas las posibilidades admisibles conducen al mismo resultado, por lo que se deduce que

12 viajes se contrataron en esa semana

Tres amigos intentan acertar el nmero de judas contenidas en un tarro de cristal.

Jos dice que hay 260, Mara cree que hay 274 y Carmen propone que hay 234 judas.

Ninguno ha acertado. Uno se ha equivocado en 9, otro en 17 y un tercero en 31 judas.

Cuntas judas contiene el tarro?

SOLUCIN

La cantidad de judas del tarro se obtendr segn los valores de las cantidades

propuestas ms/menos los desfases respecto a la cantidad correcta.

Calculamos las diferencias entre la cantidad menor y las restantes y comparamos el resultado con los

valores de los desfases:

260 234 = 26 = 9 + 17

274 234 = 40 = 9 + 31

Que nos invita a pensar que Jos y Mara se han excedido y Carmen ha dado el resultado por defecto.

Al comprobar la tercera diferencia, 274 260 = 14 = 31 17, confirmamos el hecho, por lo que se cumple que 234 + 9 = 260 17 = 274 31 = 243 y se deduce que

El tarro contiene 243 judas

Hay dos trozos de mecha que se consumen, cada uno de ellos al prenderlos, en un minuto.

Cmo medir 45 segundos con ellos si no se pueden cortar y su velocidad de quemado no es uniforme?

SOLUCIN

Tomamos la primera mecha y la encendemos por los dos extremos. A la vez, encendemos la segunda mecha por un extremo.

La primera se consume en 30 segundos. En ese instante encendemos el otro extremo de la segunda mecha. sta (que ya llevaba 30 segundos consumindose) se consumir, entonces, en 15 segundos ms, logrando nuestro propsito.

Manolo, Paco y Tobas pusieron el dinero que tenan encima de la mesa y empezaron a jugar a un juego en el que el que pierde divide el dinero que tiene en dos partes iguales y se lo entrega a los otros dos jugadores.

Hicieron seis jugadas y, al final, Manolo se qued con 11 euros, Paco con 3 euros y Tobas sin nada.

Con cunto dinero empez cada uno?

SOLUCIN

Es uno de los problemas en los que hay que empezar a pensar desde el final e ir hacia atrs, pero antes hay

que considerar que el dinero ni aparece ni desaparece, por lo que hay siempre 14 euros en juego.

Adems, el jugador que tiene menos, en cada jugada, es el que perdi en la jugada anterior y recibe y

tiene (al llegar a la jugada sin nada) la mitad de lo que se reparte en la jugada actual.

Es evidente que Tobas fue el que perdi en la ltima jugada (: la sexta), pues se qued sin nada y siempre

se queda as el que pierde. Adems, el que menos tiene (pero tiene algo) ha perdido el juego anterior (en

este caso, Paco), pues recibe lo que ahora tiene sin haber tenido nada y es la mitad de lo que tena Tobas.

En conclusin, al finalizar la quinta jugada, Tobas tena 6 euros (que reparti por mitades al perder la sexta), Paco no tena nada (haba repartido, al perder, 12 euros) y Manolo tena 8 euros. Al acabar la cuarta jugada, que perdi Tobas, ste no tena nada (haba repartido 4 euros, 2 a cada uno), Paco tena 12 euros y Manolo 2 euros y as sucesivamente

Hacemos un esquema, en forma de tabla, para ver como transcurri todo:

Jugada Manolo Paco Tobas

6 =+ 38 11 euros =+ 30 3 euros 0 euros (Pierde) Tobas ha repartido 6 euros ( 3 + 3 ) 5 =+ 62 8 euros 0 euros (Pierde) =+ 60 6 euros Paco ha repartido 12 euros ( 6 + 6 ) 4 =+ 20 2 euros =+ 210 12 euros 0 euros (Pierde) Tobas ha repartido 4 euros ( 2 + 2 ) 3 0 euros (Pierde) =+ 46 10 euros =+ 40 4 euros Manolo ha repartido 8 euros ( 4 + 4 ) 2 =+ 62 8 euros =+ 60 6 euros 0 euros (Pierde) Tobas ha repartido 12 euros ( 6 + 6 ) 1 =+11 2 euros 0 euros (Pierde) =+111 12 euros Paco ha repartido 2 euros (1 + 1)

1 euro 2 euros 11 euros Situacin inicial

Manolo empez con 1 euro,

Paco con 2 euros y

Tobas con 11 euros

Teniendo en cuenta que a letras distintas les corresponden dgitos diferentes, descifrar esta suma tan evidente:

SOLUCIN

De la primera columna se deduce que E debe ser una cifra par y, adems, al observar la primera y cuarta columnas de la suma es evidente que, en la ltima, se arrastra cifra por lo que debe ser 4>E

Veamos las posibilidades:

6=E o Entonces, 273 === OyDS . De ah solo cabe la posibilidad de 84 == CyI

8=E o Entonces, 94 == DS , y puede ser

216 === CyIO

7=O , y

05 == CyI , o

26 == CyI

Por lo tanto hay cuatro soluciones posibles:

Diez amigos ganan en la ruleta diferentes cantidades de dinero (siempre valores enteros) y deciden que el que ms ha ganado dar dinero a los restantes de modo que todos ellos (los restantes) tripliquen el dinero obtenido por cada uno. Una vez hecho esto observan que las cantidades son las mismas, solo cambia lo que tiene cada uno de ellos de modo tal que el que ms ha ganado es el que menos tiene. Si entre todos ellos han ganado 1180960 euros, cunto dinero tenian inicialmente?

SOLUCIN

Si las cantidades, antes y despus del reparto, son las mismas y todas (menos la mayor) se han triplicado,

dichas cantidades deben estar en una progresin geomtrica de razn 3 .

Si llamamos x a la menor de ellas, tenemos que 11809603...2793 9 =+++++ xxxxx . De la suma resulta

que 40118096029524131310

===

xxx .

Por tanto,

Tenan, de menor a mayor,

40 euros,

120 euros,

360 euros,

1080 euros,

3240 euros,

9720 euros,

29160 euros,

87480 euros,

262440 euros y

787320 euros

Si el nmero de mi casa fuera mltiplo de 3 sera un nmero entre 50 y 59.

Si no fuera mltiplo de 4, estara comprendido entre 60 y 69.

Si no fuese mltiplo de 6, sera un nmero entre 70 y 79.

Cul es el nmero de mi casa?

SOLUCIN

Est claro que el nmero debe estar comprendido entre 50 y 79, pues de lo contrario debera ser mltiplo

de 6 y no de 3, lo cual es imposible.

Por la primera condicin, si fuera mltiplo de 3 podra ser el 51, el 54 o el 57.

En ese caso, por la segunda condicin, debera ser mltiplo de 4 (al estar fuera del mbito entre 60 y 69) y

en ningn caso se cumple para los tres nmeros anteriores.

Por tanto, no es mltiplo de 3, ni (en consecuencia) tampoco de 6 y debe estar entre 70 y 79. Y debe ser

tambin mltiplo de 4 por la segunda afirmacin.

El nico nmero, entre 70 y 79, que cumple esas condiciones es el 76

En conclusin,

El nmero de mi casa es el 76

Un sultn dej a sus hijas un cierto nmero de perlas y determin que la divisin se hiciera del siguiente modo:

La hija mayor se quedara con una perla y un sptimo de lo que quedara. La segunda hija recibira dos perlas y un sptimo de lo restante, la tercera joven recibira tres perlas y un sptimo de lo que quedara. Y as sucesivamente.

Las hijas ms jvenes presentaron demanda ante el juez alegando que, por este complicado sistema de divisin, resultaban fatalmente perjudicadas. El juez, que era hbil en la resolucin de problemas, respondi prestamente que las reclamantes estaban engaadas y que la divisin propuesta por el viejo sultn era justa y perfecta.

Y tena razn. Hecha la divisin, cada una de las hermanas recibi el mismo nmero de perlas.

Cuntas perlas haba?, cuntas eran las hijas del sultn?

SOLUCIN

Llamemos x al nmero de perlas a repartir.

Segn el enunciado, la hija mayor se queda con 7

67

11 +=+ xx perlas. Quedan, entonces,

766

76

=

+

xxx perlas para repartir con las dems.

La segunda hija se queda con 49

78649

20627

27

66

2 +=+=

+xx

x

perlas.

Como ambas hijas se quedan, segn el juez, con la misma cantidad de perlas, se verifica que

367864277

786649

7867

6=+=+

+=+

+=

+xxx

xx

xx perlas son las que el sultn reparti

entre sus hijas.

A partir de aqu, el reparto se hace elemental: la mayor y la segunda se quedan, cada una, con 67

636=

+

perlas y se deduce que habr seis hijas

Vamos a comprobar que las dems tambin se quedarn con la misma cantidad:

Despus de las dos primeras quedan 24 perlas. La tercera hija se queda con 67

3243 =+ perlas y quedan

18 perlas. La cuarta se queda con 67

4184 =+ perlas y quedan 12 perlas. La quinta se queda con

67

5125 =+ perlas y quedan 6 perlas. Por ltimo, la sexta hija recibe 67

666 =+ perlas tambin,

acabndose el reparto.

En conclusin,

El sultn reparti 36 perlas

de manera equitativa entre sus 6 hijas

Sobre una mesa hay 7 dados, uno encima del otro, formando una torre de siete dados de altura.

Cuntos puntos hay a la vista sabiendo que la cara que est ms arriba de la torre es un 5?

SOLUCIN

Las caras opuestas de un dado siempre suman 7, por lo que las caras ocultas de los seis dados inferiores sumarn 7 x 6 = 42 puntos.

El dado superior tiene el 5 como cara descubierta, por lo que la cara tapada ser la de 2 puntos. En total habr 42 + 2 = 44 puntos ocultos.

La suma de las seis caras de de cada dado es de 21 puntos, por lo que hay, en total, 21 x 7 = 147 puntos. Y como hay 44 ocultos,

Hay 103 puntos visibles en la torre de dados

Un agricultor tiene un terreno, en forma cuadrada, de 10000 metros cuadrados.

Lo divide mediante tres rectas: una diagonal y otras dos, paralelas entre s, uniendo cada vrtice libre con el punto medio del lado opuesto. Queda as dividido el terreno en seis trozos.

Cul es valor del rea de uno de los dos trozos de mayor superficie?

SOLUCIN

Se observa claramente que, al realizar la construccin, se

obtienen seis trozos que son simtricos y de igual

superficie dos a dos (: se han nombrado con las mismas

letras).

Es evidente que, dada la superficie cuadrada y su valor, el

lado del terreno es de 10010000 = metros, y la mitad del lado mide 50 metros. As, las superficies mayores abarcan

( )CBCCBBAA +=+++=+ 210000)''(10000'metros cuadrados.

Como CB + es un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 100 y 50 metros, su rea es

25002

50100=

=+ CB metros cuadrados.

Entonces, 50002500210000' ==+ AA metros cuadrados Por lo tanto, al ser los dos trozos iguales,

Los trozos de mayor superficie tienen, cada uno,

2500 metros cuadrados de rea

En un torneo de ftbol han participado 4 equipos: Aviacin, Barcino, Celtas y Deportivo, y todos los equipos se enfrentaron una vez entre s. El campeonato finaliz con la siguiente clasificacin:

Puntos Goles favor Goles Contra

1. Aviacin 5 3 1

2. Barcino 5 4 3

3. Celtas 3 2 2

4. Deportivo 1 0 3

Determinar los resultados de todos los partidos jugados, sabiendo que cada partido ganado otorga tres puntos y cada empate otorga un punto.

SOLUCIN

Al ser un campeonato en el que los cuatro juegan entre s una sola vez, se han jugado todas las

combinaciones de cuatro elementos tomados dos a dos: 6!2!2

!424

2,4 =

=

=C partidos. Los indicamos:

a) Aviacin Barcino b) Celtas Deportivo

c) Aviacin Celtas d) Barcino Deportivo

e) Deportivo Aviacin f) Celtas Barcino

El Deportivo solo obtuvo un punto, por lo que empat un partido y perdi dos. El partido empatado tuvo de

resultado 0 0.

Aviacin y Barcino, al llegar a cinco puntos, debieron ganar un partido y empatar dos cada uno. Por tanto,

Celtas debi empatar uno o tres (para mantener la paridad de los empates) pero, al tener tres puntos,

fueron tres (todos) los que empat.

Se sigue entonces, vista la tabla de goles, que el partido b) Celtas Deportivo qued 0 0.

Aviacin y Barcino ganaron al Deportivo (nico que perdi partidos) y Barcino por un gol, por lo que

Aviacin le gan por dos segn la tabla de goles.

Evidentemente, como el Deportivo no meti ningn gol, el partido e) Deportivo Aviacin finaliz 0 2 y

el partido d) Barcino Deportivo, 1 0.

Quedan tres empates por determinar. Viendo la seccin de goles a favor y en contra, queda claro que solo

pudo suceder que el partido a) Aviacin Barcino quedase 1 1, el partido c) Aviacin Celtas, 0 0, y el

partido f) Celtas Barcino, 2 2.

En resumen, los resultados fueron:

Aviacin, 1 Barcino, 1 Celtas, 0 Deportivo, 0

Aviacin, 0 Celtas, 0 Barcino, 1 Deportivo, 0

Deportivo, 0 Aviacin, 2 Celtas, 2 Barcino, 2

En una excursin al campo me encuentro con un granjero. Al preguntarle qu nmero de animales tiene, me dice: "Todos son caballos menos seis, todos son cerdos menos seis y todos son patos menos seis" Cuntos animales tiene el granjero?

SOLUCIN

Llamamos x , y , z a las cantidades respectivas de caballos, cerdos y patos que posee el granjero.

Si t es el nmero total de animales, se cumple que

=

=

=

=++

666

tz

tytx

tzyx

. Sumando las tres ltimas

igualdades tenemos: 9182183 ===++= tttzyxt

Por lo tanto,

El granjero tiene 9 animales

Sea A la suma de las cifras del numero 44444444 y B la suma de las cifras de A. Cunto vale la suma de las cifras del nmero B?

SOLUCIN

El nmero de cifras que posee viene dado por 708,162104444log44444444log 4444 == : tiene 16211 cifras.

Por tanto, A es la suma de las 16211 cifras del nmero 44444444 En ese caso, A estar entre 1 (si sus cifras son todo ceros salvo la primera, cosa imposible) y

145899916211 = (si sus cifras son todo nueves, cosa imposible tambin), valores extremos. Siguiendo el razonamiento B , suma de las cifras de A , estar entre 1 y 45 (caso de 99999=A ), considerando tambin situaciones extremas. En resumen, la suma de las cifras de B se situar entre 1 y 12 (caso de 39=B ) Estudiamos ahora qu valor debe ser. Lo hacemos por congruencias con mdulo 9 . En dicho mdulo cualquier nmero es congruente con la suma de sus cifras:

)9(mod71644444444 =+++ , )9(mod4497744442 = , )9(mod1284744443 = , )9(mod71744444 . )9(mod47744445

Resumiendo,

=

+=

+=

3)9(mod1444423)9(mod4444413)9(mod74444

nsi

nsi

nsi

n

n

n

.

Como el exponente es )9(mod744441314814444 4444 += y la suma de sus cifras y la suma de la suma de sus cifras: )9(mod7)9(mod7 BA . Y la suma de las cifras de B tambin lo ser con 7 mdulo 9 . El nico nmero que cumple esas condiciones entre 1 y 12 (valores que puede tomar B ) es, precisamente, 7 .

Por lo tanto,

La suma de las cifras de B es 7

Una habitacin sin ventanas, con su puerta de entrada cerrada, tiene una bombilla en su interior que la puede iluminar. En la pared exterior, y a diez metros de la puerta de acceso a la habitacin, hay tres interruptores, uno de los cuales la enciende.

Cmo averiguar, entrando una sola vez en la habitacin, cul es el interruptor que enciende la bombilla?

SOLUCIN

Se pulsa el primer interruptor, dejndolo activado durante 5 minutos. Se le retorna a su posicin inicial y se pulsa el segundo interruptor. Se entra en la habitacin y

a) Si la bombilla est encendida, el segundo interruptor la activa

b) Si la bombilla est apagada y caliente, el primer interruptor la activa

c) Si la bombilla est apagada y fra, el tercer interruptor la activa

Joan compra lpices para sus alumnos (como recuerdo de su boda) a 18 cntimos cada uno. Al cabo de un rato vuelve a la papelera a comprar ms. En vista de que es un buen cliente, el dueo le rebaja el precio y compra los lpices a 17 cntimos cada uno.

En total Joan gasta 3,51 euros en los lpices. Cuntos lpices ha comprado?

SOLUCIN

Llamamos x al nmero de lpices comprados por 18 cntimos e y al nmero de lpices comprados a 17 cntimos.

Entonces, y segn el enunciado, 17

112017

183513511718 xxxyyx +===+

Si llamamos 17

11 xt

= se deduce que tx 1711= e ttxy 18920 +=+=

El nico valor de t que hace a x e y positivos (por ser cantidades de objetos) es 0=t . Por tanto, 11=x e 9=y y, en ese caso,

Joan compr 20 lpices

El coronel del regimiento ha hecho una apuesta con el capitn de una de las compaas. Ganar si averigua, sin verlo, las taquillas que quedarn abiertas en el cuartel en las condiciones que propone su subalterno.

Hay mil soldados, cada uno con su respectiva taquilla y todas stas cerradas.

El capitn coloca a todos los soldados en formacin y pide al primero que abra todas las taquillas. Despus, al segundo le pide que cierre las que tengan numeracin par. Ms tarde, al tercero le pide que cambie el estado (si est cerrada la abre, si esta abierta la cierra) de las taquillas numeradas con mltiplos de tres, al cuarto que haga lo mismo con las taquillas numeradas con mltiplos de cuatro y as, sucesivamente y con la misma peticin, hasta que el ltimo soldado de los mil hace la labor encomendada.

Qu nmero deber dar el coronel para acertar y ganar la apuesta?

SOLUCIN

Todas las taquillas estn, inicialmente, cerradas.

Al terminar todo el proceso, volvern a estar cerradas aquellas cuyo nmero de referencia tenga

un nmero par de divisores y abiertas las que tengan un nmero con una cantidad impar de

divisores.

Los nicos nmeros que tienen una cantidad impar de divisores son los cuadrados perfectos (los

dems tienen divisores que se van emparejando para, al multiplicarse entre s, dar dicho nmero)

menores que mil, por lo que las taquillas que quedarn abiertas sern la numeradas con 1=12,

4=22, 9=3

2, ... , 900=30

2 y 961=31

2

Definitivamente

Quedan 31 taquillas abiertas

Cul es el nmero ms grande que puede crearse a partir de tres ceros, usando las operaciones matemticas que se deseen y que no impliquen la aparicin de ningn otro dgito?

SOLUCIN

No hay lmite para crear nmeros tan grandes como se deseen. Basta escribir y calcular, por

ejemplo,

((((0!+0!+0!)!)!)!........)!

con la cantidad de factoriales que se quiera.

Una cuadrilla de jardineros deba segar dos prados, uno de los cuales tena doble superficie que el otro.

Durante media jornada del primer da todos los jardineros trabajaron en el prado grande. En la otra media, la mitad sigui en el prado grande y la otra mitad trabaj en el pequeo.

Al acabar ese da, el trabajo qued listo, faltando solo una parte del prado pequeo, que ocup toda la jornada siguiente a un solo jardinero.

Sabiendo que una jornada o da son ocho horas de trabajo, de cuntos jardineros constaba el grupo?

SOLUCIN

Llamamos S a la superficie del prado pequeo, S2 ser la del grande. Sea, tambin, x el nmero de jardineros.

En la primera media jornada se realiza doble trabajo sobre el prado grande que en la segunda media

jornada al estar trabajando en l el doble de jardineros.

Est claro, pues, que en la primera media jornada se ha segado SS342

32

= y en el da el doble, S38

,

quedando para el da siguiente SSS31

383 = de todo el terreno.

Por tanto, si el trabajo siempre es uniforme, cada jardinero siega, en toda una jornada, Sx3

8

Respecto al da siguiente, por consiguiente, se cumplir que 831

38

== xSSx

En conclusin,

haba 8 jardineros

Halla todos los nmeros enteros n tales que n+98 dividido por n+19 e