1000 exerccios-12ano

8/4/2019 1000 Exerccios-12Ano

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Probabilidades e Combinatria

Combinatria

1) Calcule:

a) 54!

b) 86!+3!

c) A26

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d) A35

e) A410

f) C030

g) C100100

h) C46

i) C1033P23A834C1025P15

j) C715+C815

k) C118+C218C1319+C1419

l) A'23

m) A'32

n)2) Simplifique:

o)a) 12!10!

b) 18!15!

c) n!(n+1)n-1!

d) 1n!-1n-1!

e) n!+n+1!n!-n-1!

f)

3) Decomponha em factores:g)

a) 8!+10!

b) 10!-9!

c) n+1!-n!

d)

4) Resolva cada uma das seguintes equaes:

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e)a) x!=72x-2!

b) 12x!=x+2!-5x+1!

c) x!=110x-2!, (x2)

d) A2n=420

p) 42A3n=A5n

q)

5) Num restaurante, a ementa constituda por 5 entradas, 12pratos e 8 sobremesas. De quantos modos diferentes se podeescolher uma refeio constituda por uma entrada, um prato euma sobremesa?

r)

6) Fizeram-se cdigos usando 2 smbolos: uma letra seguida de umalgarismo. Considerando que o alfabeto tem 26 letras, determineo nmero de cdigos diferentes que possvel fazer com:

s)

a) Todas as letras e algarismos;

b) Todas as consoantes e todos os algarismos;

c) Todas as vogais e todos os algarismos que representam nmerospares.

t)

7) Extraem-se 2 cartas de um baralho de 40 cartas. De quantasmaneiras diferentes se podem extrair as duas cartas,

considerando que uma um s e a outra uma carta de paus?u)

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8) Em Portugal, as matrculas dos automveis so constitudas pordois grupos de dois algarismos, seguidos de um grupo de duasletras, escolhidas de entre as 26 letras do alfabeto.

v)

a) Quantos carros so possveis de registar com matrculasdiferentes?

b) Supondo que as matrculas so constitudas por um grupo dedois algarismos, seguidos por dois grupos de duas letras,quantos carros seria possvel registar com matrculas diferentes?

w)

9) Com os 10 algarismos, 0, 1, 2, , 9, quantos nmeros de 4algarismos podem ser escritos, de modo que:

x)

a) Os nmeros sejam pares?

b) Os nmeros sejam mpares e formados por algarismosdiferentes?

c) Os nmeros sejam mltiplos de 5?

d) Os nmeros sejam mltiplos de 10 e formados por algarismosdiferentes?

y)

10) No campeonato Nacional de Futebol da Liga Sagres, participam16 equipas de futebol. Considerando que cada uma das equipas

joga com cada uma das outras equipas duas vezes em casa efora quantos jogos se realizam no campeonato?

z)

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11) Uma urna contm uma bola branca, uma bola encarnada, umabola verde, uma bola azul e uma bola preta. De quantas maneirasdiferentes podemos extrair trs bolas, considerando a ordem esupondo que:

aa)a) Depois de extrada uma bola ela colocada de novo na urna?

b) Depois de extrada uma bola ela no colocada de novo naurna?

c) A primeira bola extrada encarnada, e que cada bola extradano colocada de novo na urna?

ab)

12) Quantos nmeros de algarismos diferentes se podem escrevercom os algarismos 2, 4, 6 e 8, de modo que:

ac)

a) Os nmeros tenham 4 algarismos?

b) Os nmeros tenham 4 algarismos e sejam maiores do que 4000?

c) Os nmeros tenham 4 algarismos e sejam maiores do que 2500e menores do que 6500?

d) Os nmeros tenham 3 algarismos e sejam maiores do que 468?

ad)

13) O Filipe tem 6 livros de Matemtica, 3 de Fsica e 4 de Ingls. Dequantas maneiras diferentes pode o Filipe arrumar os livros numa

prateleira, considerando que:

ae)

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a) Qualquer um dos livros pode ocupar uma posio qualquer?

b) Os livros de cada uma das disciplinas devem ficar juntos?

c) Apenas os livros de Matemtica e os livros de Fsica devem ficarjuntos?

d) Apenas os livros de Ingls devem ficar juntos?

af)

14) De entre 8 pessoas, vo-se escolher algumas delas para formaruma comisso. Determine quantas comisses podemos formar,se:

ag)

a) Cada comisso tem 2 elementos;

b) Cada comisso tem 5 elementos;

c) Cada comisso tem 6 elementos;

ah)

15) Escolheram-se 4 consoantes e as 5 vogais do alfabeto. No

considerando o significado das palavras, quantas palavrasdiferentes se podem escrever com:

ai)

a) Todas as letras?

b) Duas consoantes e trs vogais?

c) Trs consoantes e uma vogal?

aj)

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16) Para se fazer uma aposta simples do Euro Milhes, tm de seescolher 5 de entre os 50 nmeros e 2 entre as 9 estrelasnumeradas. Quantas apostas simples diferentes se podem formarno Euro Milhes?

ak)

17) De 10 operrios vo ser escolhidos 5 para irem trabalhar parauma obra. Quantos grupos diferentes se podem formar?

al)

18) Num parque de campismo h vrias tendas. Cada tenda estligada a cada uma das outras por um caminho. Sabendo que h

120 caminhos diferentes, quantas tendas h no parque?am)

19) Considere um hexgono regular.

an)

a) Quantas rectas definem os pontos correspondentes aos vrtices?

b) Quantas diagonais tem um hexgono?

c) Quantas diagonais tem um polgono de n lados?

ao)

20) Cinco amigos vo dar um passeio num automvel de 5 lugares.Sabendo que s trs deles podem conduzir, qual o nmero deformas diferentes de ocuparem os lugares durante o passeio?

ap)

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21) Uma lista formada por 10 elementos e dentro desta vai ser umeleito para presidente e outro para secretrio. Quantas eleiesdiferentes possvel fazer?

aq)

22) Com os nmeros 0, 1, 2, 3, 4, 5 quantos nmeros pares, dequatro algarismos diferentes ou no, possvel fazer?

ar)

23) Suponha que cada um dos seis mil milhes de habitantes daTerra recebe um carto de identificao com uma sequncia deletras. Qual tem de ser o nmero mnimo de letras a usar em cada

carto, para garantir que as sequncias sejam todas diferentes?(Considere que o alfabeto tem 26 letras e que todos os cartestm o mesmo nmero de letras.)

as)

24) Os 30 alunos de uma turma, sendo 17 raparigas e 13 rapazes,decidiram constituir uma comisso formada por um presidente(rapaz), uma secretria (rapariga) e trs vogais, de qualquer dos

sexos. Qual o nmero de comisses que possvel formar,atendendo a que uma mudana de funes altera a comisso?

at)

25) Dez pessoas, 6 homens e 4 mulheres, sentam-se lado a lado emfila. De quantas maneiras se podem sentar de forma a que asmulheres fiquem juntas?

au)

26) Um empregado ao arranjar a montra de uma loja tem de colocar9 garrafas, 3 da marca A, 2 da marca B e 4 da marca C. de

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quantas maneiras diferentes pode colocar as garrafas de modoque fiquem:

av)

a) Em fila?

b) Em fila ficando juntas as da mesma marca?

c) Em fila ficando as da marca B nos extremos?

aw)

27) Quantos anagramas distintos so possveis fazer com as letrasda palavra:

ax)

a) LISBOA;

b) TELEMOVEL;

ay)

28) Seis amigos vo jantar a um restaurante chins. De quantasformas diferentes se podem sentar se escolherem:

az)

a) Uma mesa rectangular?

b) Uma mesa redonda?

ba)

29) Foi autorizada a abertura de uma nova empresa de telemveis,

satisfazendo as seguintes caractersticas:bb)

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O nmero de telemvel constitudo por 9 algarismos;

Os dois primeiros algarismos do nmero de telemvel so 94 poresta ordem;

O nmero de telemvel no pode utilizar algarismos repetidos,nem o algarismo zero.

bc) Quantos nmeros de telefone pode a empresa fornecer?bd)

30) O Jos Diogo ficou encarregue de criar um novo logtipo para asua equipa de futebol. O logtipo tem a forma de um quadradocom trs barras horizontais ou trs barras verticais e tem de ter ascores branca, azul e preto. Quantos logtipos diferentes pode o

Jos Diogo criar?be)

31) Dez amigos, 4 rapazes e 6 raparigas, vo ao cinema e ocupamdez lugares consecutivos. De quantas formas distintas se podemsentar:

bf)

a) Se qualquer um dos amigos se puder sentar em qualquer lugar?b) Se a Rita e o Pedro, que so namorados, ficarem juntos?

c) Se a Rita e o Pedro, ficarem juntos num dos extremos?

d) Se os rapazes ficarem todos juntos?

e) Se os rapazes ficarem juntos e as raparigas tambm ficaremjuntas?

bg)

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32) Para o primeiro intervalo da manh, o responsvel da rdioescolar de uma escola, dispe de 7 temas musicais, mas adurao do intervalo s permite tocar 5 desses temas. De quantasmaneiras diferentes pode o responsvel passar os 5 temas, semrepetir nenhum dos temas?

bh)

33) Com os elementos do conjunto 1,2,3,4, quantos nmerosdiferentes, com trs algarismos distintos, se podem escrever?

bi)

34) Quantos nmeros diferentes de 4 algarismos se podem escrever

se:bj)

a) Os algarismos so todos mpares?

b) Os algarismos so todos diferentes e mpares?

c) Usarmos todos os algarismos?

d) O nmero inferior a 7000?

bk)

35) Dez amigos, 3 benfiquistas, 4 portistas e 3 sportinguistas, foramjantar num restaurante. No final do jantar, resolveram posar parauma fotografia, de modo que os portistas ficassem, todos juntos,no meio. De quantas maneiras o podem fazer?

bl)

36) Numa turma, constituda por 30 alunos dos quais 20% soraparigas, escolhem-se, ao acaso, 5 alunos para organizarem um

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torneio de futebol. De quantas maneiras distintas se pode fazer aescolha sabendo que:

bm)

a) Qualquer aluno pode ser escolhido?

b) A comisso s formada por rapazes?

c) A comisso constituda por 2 raparigas e 3 rapazes?

bn)

37) Considere 5 pontos sobre uma circunferncia de raio r.Recorrendo aos pontos dados, quantos:

bo)

a) Segmentos de recta distintos possvel definir?

b) Segmentos de recta orientados distintos possvel definir?

c) Tringulos distintos possvel definir?

bp)

38) Pretende-se colocar, sobre um tabuleiro quadrado dezasseispeas, das quais dez so encarnadas e seis so brancas. Dequantas maneiras diferentes podem ser colocadas as peas notabuleiro?

bq)

39) Um estudante do ensino secundrio tem oito disciplinas escolha, das quais trs so lnguas estrangeiras. O estudante

pretende escolher cinco disciplinas.br)

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a) Quantas escolhas pode ele fazer?

b) Quantas escolhas pode ele fazer se tiver de se inscrever em:

bs)

i) Apenas uma lngua?ii) Pelo menos duas lnguas?

bt)

40) A Joana pretende criar uma blusa com trs riscas horizontais. Elagosta de seis cores. Quantas blusas diferentes pode ela criar comestas cores, de modo que duas riscas contguas no sejam damesma cor?

bu)

41) O Joo tem 4 marcadores, 5 lpis, 6 esferogrficas e 2 borrachas.De quantas maneiras pode ele colocar este material, em fila, nasua secretria, sabendo que tm cores diferentes?

bv)

42) O cdigo de um carto Multibanco uma sequncia de 4algarismos.

bw)

a) Quantos cdigos diferentes se podem formar?

b) Quantos cdigos com algarismos diferentes se podem formar?

c) Quantos cdigos diferentes, com um e s um algarismo 9 se

podem formar?bx)

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43) Nove amigos, cinco rapazes e quatro raparigas foram ao cinemae compraram cinco bilhetes na fila M e quatro na fila N. Dequantas maneiras diferentes os nove amigos se podem sentar:

by)

a) Se cada amigo puder ocupar qualquer lugar?

b) Se os rapazes ficarem todos juntos?

c) Se as raparigas ficarem todas juntas?

d) Se as raparigas ficarem juntas com o Rui no meio delas?

bz)

44) Numa pizzaria preparam-se pizzas com pelo menos 5 variedades.Dispondo-se de 8 ingredientes, qual o nmero de pizzas que sepodem preparar?

ca)

45) De quantas formas pode ser constituda uma comisso de 4mulheres, seleccionadas entre 9, de modo a incluir sempre aCatarina?

cb)

46) Uma bolsa contm 5 moedas diferentes (0,05; 0,10; 0,20;0,50; e 1,00). Quantas quantias diferentes possvel formarcom uma ou mais moedas?

cc)

47) Uma turma de 25 alunos ganhou 12 bilhetes para um concerto.Qual o nmero de formas de distribuir os bilhetes pelos alunos daturma?

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cd)

48) Numa estante esto colocados 3 livros de Ingls, 4 de Histria e2 de Filosofia. De quantas maneiras distintas possvel dispor oslivros na estante de modo que os da mesma disciplina estejam

juntos?ce)

49) Dez jogadores de tnis competem num torneio. Existindo apenasum campo de jogos, qual o nmero de maneiras distintas deorganizar o primeiro jogo do torneio?

cf)

50) Quantas capicuas de seis algarismos possvel fazer?

cg)

51) Um cantor preparou 9 temas para um espectculo. Quatro dostemas so cantados em ingls e os restantes em portugus.

ch)

a) De quantas ordens diferentes o cantor pode apresentar os 9

temas?

b) De quantas ordens diferentes pode o cantor apresentar oespectculo, iniciando e terminando com uma msicaportuguesa?

c) Se o cantor apresentar o espectculo alternando temas cantadosem portugus e em ingls, qual o nmero de ordens diferentesdo espectculo?

ci)

cj)

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52) Depois de bem baralhadas, das 40 cartas de um baralho,extraram-se cinco cartas. Determinar de quantas maneirasdiferentes se podem extrair as 5 cartas, de modo a obter:

ck)

a) Trs ases e duas damas;

b) Duas cartas de um mesmo naipe e as outras trs de outro naipe;

c) Pelo menos um valete;

d) No mximo trs cartas de ouros.

cl)

53) O Carlos tem 4 moedas, sendo os seus valores de 5, 10, 20 e 50cntimos. Com as moedas do Carlos, quantas quantias diferentesse podem formar?

cm)

54) Considere um prisma regular em que cada base tem n lados.Numa pequena composio, justifique que o nmero total dediagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases) dado

por 2C2n-n+2n.

cn)

55) Uma urna contm 7 bolas brancas, 4 bolas encarnadas e 8 bolasverdes. De quantas maneiras diferentes se podem extrair trsbolas, sendo:

co)

a) Todas brancas?

b) Duas verdes e uma encarnada?

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c) Uma de cada cor?

d) Pelo menos duas encarnadas?

e) No mximo duas brancas?

cp)

56) Determinar quantas rectas se podem definir com 9 pontoscomplanares, considerando que:

cq)

a) Os pontos situam-se sobre uma circunferncia;

b) Quatro dos 9 pontos so colineares;

c) Os pontos esto sobre 2 rectas paralelas, 4 sobre uma e 5 sobrea outra.

cr)cs)ct)cu)cv)

cw)cx)cy)cz)da)db)dc)dd)

de)

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a. Tringulo de Pascal e Binmio de Newton

df)

57) A soma dos dois ltimos nmeros de uma certa linha do tringulo

de Pascal 11. Qual o quarto nmero dessa linha?dg)

58) Uma certa linha do tringulo de Pascal tem quinze elementos.Qual o sexto elemento dessa linha?

dh)

59) O penltimo nmero de uma certa linha do tringulo de Pascal

17. Qual o terceiro elemento dessa linha?

di)

60) No tringulo de Pascal, existe uma linha com onze elementos.Seja a o maior nmero dessa linha. Qual o valor de a?

dj)

61) A soma os dois ltimos elementos de uma certa linha dotringulo de Pascal 22. Qual a soma dos trs primeiroselementos dessa linha?

dk)

62) O quarto nmero de uma certa linha do tringulo de Pascal 19600. A soma dos quatro primeiros nmeros dessa linha 20876. Qual o terceiro nmero da linha seguinte?

dl)

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63) a b c d e f g representa uma linha completa do tringulo dePascal, onde todos os elementos esto substitudos por letras.Qual o valor de c?

dm)

64) Qual a soma de todos os elementos de uma linha do tringulo dePascal que tem 15 elementos?

dn)

65) A soma dos trs primeiros elementos de uma certa linha dotringulo de Pascal 211. Qual o terceiro elemento da linhaseguinte?

do)

66) A soma dos elementos de uma linha do tringulo de Pascal 32768. Qual a soma de todos os elementos da linha anterior?

dp)

67) No tringulo de Pascal, considere a linha que contm oselementos da forma Ck2006. Quantos elementos desta linha so

menores que C42006?dq)

68) Calcule, utilizando a frmula do binmio de Newton:

dr)

a) 2x-1x7, x0

b) a-14

c) x+1x5, x0

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d) xy-2y7, y0

e)

69) Sem efectuar o desenvolvimento de y2-2y14, y0, determine:f)

a) O termo mdio do desenvolvimento;

b) O termo independente, caso exista;

c) O coeficiente, caso exista, do termo y10.

g)

70) Sem efectuar o desenvolvimento de 3y-1y29, y0, determine:h)

a) O terceiro termo;

b) O termo em y-6;

c) O termo independente, caso exista.

i)

71) Calcule o valor de n, sabendo que um dos termos do

desenvolvimento de +en 1207e3.

j)

72) A soma de todos os termos de uma determinada linha dotringulo de Pascal 524288. Qual o maior nmero da linhaseguinte?

k)

73) Calcule o termo mdio de 1x-x10, x0

l)

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74) Considere a seguinte potncia: xx+1x39, x>0

m)

a) Indique o nmero de termos do desenvolvimento da potncia;

b) Determine o termo de ordem 7 e o termo independente de x

n)

75) Determine o valor de n, sabendo que o desenvolvimento de x3-2yn tem um termo cuja parte literal x8y6.

o)

76) Determine o 4 termo do desenvolvimento de 3a+1n, sabendoque o coeficiente do 5 termo 15.

p)

77) Determine o coeficiente do termo de expoente 12 relativamente varivel x, no desenvolvimento de x3+3y10.

q)

78) Calcule o valor de n na expresso 1+xn, sabendo que a somados coeficientes dos termos de desenvolvimento do binmio 512.

r)

79) Determine o termo mdio do desenvolvimento de 3x+y6

s)

80) Determine o 3 termo do desenvolvimento de 3x+113, x0t)

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81) Determine, no desenvolvimento de 2x2-x15, x0, o termo em x-10.

u)v)w)x)y)z)aa)ab)ac)

a. Teoria de Probabilidades

ad)82) Seja o espao de resultados associado a uma experincia

aleatria. Seja A e B dois acontecimentos (A e B ) , comp(A)>0.

ae) Sejam A e B os acontecimentos contrrios de A e de B,respectivamente. Mostre que:

af)

ag) PA B-PA=PB-PA B

ah)

ai) (P designa probabilidade e A e B designam osacontecimentos contrrios de A e B).

aj)

83) Seja S o conjunto de resultados associados a uma experinciaaleatria. Seja A e B dois acontecimentos (A S e B S) .

ak) Pgina 23


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al) Prove que: PA+PB+PA B=1+P(A B) .

am)

an) (P designa probabilidade e A e B designam osacontecimentos contrrios de A e B).

ao)

84) Seja S o conjunto de resultados associados a uma experinciaaleatria. Seja A e B dois acontecimentos (A S e B S) . sabendoque A e B so independentes, prove que:

ap)

aq) PA B=PA +PBPA.

ar)

as) (P designa probabilidade e A designam o acontecimentocontrrio de A).

at)

85) Seja S o conjunto de resultados associados a uma experinciaaleatria. Seja A e B dois acontecimentos (A S e B S) . proveque:

au)

a) PA B=PA-P(A B) ;

b) Se B A ento PA B=PA-P(B)

c) Se B A ento P(B)PA

d) Se B um acontecimento possvel, ento

e) PA|B+PA|B=1

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f) Se A e B so incompatveis e possveis, ento

g) PA|B+PB|A=0

h) Se A e B so independentes ento

i) PA B=1-PAPBj) Se A e B so independentes ento A e B tambm so

independentes.

k)

86) Se A e B so dois acontecimentos independentes associados auma experincia aleatria e que PA=0,3 e PA B=0,58

l)Calcule PB.

m)

87) Num saco existem quinze bolas, indistinguveis ao tacto. Cincobolas so amarelas, cinco bolas so verdes e cinco so brancas.Para cada uma das cores, as bolas esto numeradas de 1 a 5.

n)

a) Retirando todas as bolas do saco e dispondo-as, ao acaso,numa fila, qual a probabilidade de as bolas da mesma corficarem todas juntas? Apresente o resultado na forma dedzima, com sete casas decimais.

b) Suponha agora que, esto apenas algumas das quinze bolas.Nestas condies, admita que, ao retirarmos, ao acaso, umabola do saco, se tem:

o)

A probabilidade de essa bola ser amarela 50%;

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A probabilidade de essa bola ter o nmero 1 25%;

A probabilidade de essa bola ser amarela ou ter o nmero 1 62,5%.p)

q) Prove que a bola amarela nmero 1 est no saco.r)

88) Sejam A e B so dois acontecimentos independentes associadosa uma experincia aleatria em que PA=0,4 e PB=0,6. Calcule ovalor de PA|B.

s)

89) Considere 2 caixas de bombons: a caixa A contm 7 bombons dechocolate preto e 5 de chocolate branco; a caixa B contm 6bombons de chocolate preto e 8 de chocolate branco. Considereainda um dado equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6.Sabe-se que: Se sair um nmero primo no par no lanamento dodado come-se um bombom da caixa A; se sair um nmero parcome-se um bombom da caixa B.

t)

a) A Marta comeu um bombom de chocolate branco, qual aprobabilidade de ter sido da caixa A?

b) Considere os acontecimentos:

u)

v) X: sair o nmero 2

w) Y: comer um bombom de chocolate preto

x)

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y) Sem aplicar a frmula da probabilidade condicionada,indique o valor de PY|X, justificando a sua resposta.

z)

90) Numa fbrica de montagem de peas para automveis, umapea construda por ao e ferro. A falta de um destes elementosimpede a montagem da pea. A probabilidade de faltar o ao 0,2 e a probabilidade de faltar o ferro de 0,3. Determine aprobabilidade de:

aa)

a) Faltarem, simultaneamente, o ao e o ferro;

b) A pea no poder ser montada;c) A pea ser montada.

ab)

91) Uma caixa, que designamos por caixa 1, contm trs bolasverdes. Uma segunda caixa, que designamos por caixa 2, contmuma bola amarela e duas bolas verdes. Tira-se uma bola, aoacaso, de uma das caixas. Calcule a probabilidade de tirar umabola verde.

ac)

92) Trinta soldados participam num exerccio. A Marina Santos umdos trinta soldados. necessrio escolher trs dos trinta soldadospara ficarem de sentinela durante a noite. Admitindo que aescolha feita ao acaso, qual a probabilidade de a Marina Santosficar de sentinela? Apresente o resultado na forma depercentagem.

ad)

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93) Considere todos os nmeros de quatro algarismos que se podemformar com os algarismos de 1 a 9. De todos estes nmeros,alguns deles cumprem as trs condies seguintes:

ae)

Comeam por 9;

Tm os algarismos todos diferentes;

A soma dos quatro algarismos par.af)ag) Quantos so esses nmeros?ah)ai) Uma resposta correcta a este problema 34A24+A34.aj)ak) Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas,explique porqu.al)

94) Lanam-se simultaneamente dois dados equilibrados com asfaces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os dois nmerossados. Qual a probabilidade do acontecimento o produto dos

nmeros sados 21?am)

95) Seja S o conjunto de resultados associado a uma experinciaaleatria. Sejam A e B dois acontecimentos (A S e B S ). Sabe-seque PA=0,3; PA B=0,1 e PA B=0,8 . Qual o valor de PB?

an)

96) Abre-se, ao acaso, um livro, ficando vista duas pginas

numeradas. Qual a probabilidade de a soma dos nmerosdessas duas pginas ser par?

ao) Pgina 28


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97) Seja A um acontecimento possvel, cuja probabilidade diferentede 1. Qual o valor da probabilidade condicionada PA|A?

ap)

98) Os acontecimentos A e B so independentes. A probabilidade deocorrerem simultaneamente 16 e a de no ocorrer nenhum 13.Determine PA e PB.

aq)

99) De um baralho de 40 cartas no viciadas extraem-se 4 cartas.Calcule a probabilidade de:

ar)

a) Trs e s trs serem reis;

b) Pelo menos trs sejam reis;

c) As quatro sejam reis.

as)

100) De um grupo de alpinistas, composto por 8 homens e 4

mulheres, escolhem-se, ao acaso, trs para iniciar uma escalada.calcule:

at)

a) A probabilidade dos escolhidos serem todos do mesmo sexo;

b) A probabilidade de exactamente dois dos escolhidos seremmulheres.

au)101) Numa turma com 12 raparigas e 8 rapazes vo ser

escolhidos quatro elementos para formar uma comisso.Pgina 29


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Admitindo que os 4 elementos so escolhidos por sorteio, qual aprobabilidade de que da comisso faam parte pelo menos duasraparigas e que seja constituda por alunos dos dois sexos?Apresente o resultado na forma de percentagem arredondado sdcimas.

av)

102) Considere o seguinte problema: Um saco contm dozebolas, indistinguveis ao tacto: trs bolas com o nmero 1, cincobolas com o nmero 2 e quatro bolas com o nmero 3. Retiram-se,do saco, trs bolas, ao acaso. Qual a probabilidade de a soma dosnmeros sados ser igual a cinco?

aw)ax) Uma resposta correcta para este problema C234+C253C312.

ay)

az) Numa pequena composio, com cerca de 10 linhas,explique esta resposta.

ba)bb) Nota: deve organizar a sua composio de acordo com osseguintes tpicos:

bc)

Referncia Regra de Laplace;

Explicao do nmero de casos possveis;

Explicao do nmero de casos favorveis.

bd)

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103) Numa caixa esto 15 lmpadas com igual aspecto exterior.Sabe-se que cinco (e s cinco) dessas lmpadas so defeituosas.

be)

a) Se tirarmos ao acaso 4 lmpadas da caixa, qual aprobabilidade de pelo menos uma ser defeituosa?

b) Dispondo as 15 lmpadas em fila, por uma ordem qualquer, qual a probabilidade de que as lmpadas defeituosas fiquem juntas?

bf)

104) Lanam-se simultaneamente dois dados equilibrados comas faces numeradas de 1 a 6 e multiplicam-se os dois nmeros

obtidos. Qual a probabilidade do acontecimento O produto dosnmeros sados maior que 20?

bg)

105) A Ana recebeu um novo carto Multibanco. Quando foiefectuar o primeiro pagamento no se lembrava do respectivocdigo. Sabia apenas que era formado por quatro algarismos dosquais faziam parte o zero e o nove, que apareciam uma s vez

cada um, no necessariamente por aquela ordem. Se a Ana tentarescrever o cdigo do seu carto, qual a probabilidade de acertar primeira tentativa?

bh)

106) Uma caixa tem nove bolas, numeradas de 1 a 9, sendoquatro brancas e cinco pretas. Retiram-se ao acaso trs bolas, deuma s vez. Qual a probabilidade de:

bi)

a) Uma e s uma bola ser preta?

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b) Pelo menos duas bolas serem pretas?

c) As trs bolas terem a mesma cor?

d) A soma dos nmeros inscritos nas trs bolas ser um nmero par?

bj)

107) Um jri composto por quatro membros escolhidos aoacaso numa lista de quatro homens e seis mulheres. Qual aprobabilidade de o jri:

bk)

a) Ter pelo menos um homem?

b) Ter representantes dos dois sexos?

bl)

108) Sabe-se que, num grupo de 12 professores, oito leccionamFsica e sete leccionam Qumica. Nesse grupo so escolhidos, aoacaso, dois professores. Qual a probabilidade de os doisprofessores escolhidos leccionarem a mesma disciplina?

bm)

109) Com os algarismos 1,2,3,4,5 formaram-se todos os nmerospossveis maiores que 1000 e menores que 3000. Escolhido umdesses nmeros ao acaso, qual a probabilidade de ser par e teros algarismos todos diferentes?

bn)

110) Num saco havia seis bolas sendo quatro brancas e duasamarelas. Depois de se terem introduzido algumas bolas pretas noreferido saco verificou-se que, na extraco sucessiva de duas

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bolas, o probabilidade de pelo menos uma ser branca era de 23.Quantas bolas pretas foram introduzidas no saco?

bo)

111) Uma caixa tem cinco bombons, dos quais apenas dois tmlicor. Tira-se da caixa, ao acaso, uma amostra de trs bombons.considere que X designa a varivel nmero de bombons comlicor existentes nessa amostra. Construa a tabela de distribuiode probabilidades da varivel X

bp)

112) Lana-se duas vezes um dado equilibrado, com as facesnumeradas de 1 a 6. Seja X o nmero de vezes que sai a face 6nos dois lanamentos. Calcule a distribuio da varivel X, atravsde uma tabela de distribuio.

bq)

113) Admita que, numa certa escola, a varivel Altura dosalunos do 12 ano de escolaridade segue uma distribuioaproximadamente Normal de valor mdio 175 cm e desvio-padro10 cm.

br)

a) Escolhe-se, ao acaso, uma aluno do 12 ano dessa escola. Quala probabilidade de a altura desse aluno: (apresente asrespostas em percentagens, com 1 casa decimal).

bs)

i) Ser superior a 195 cm?

ii) Estar compreendida entre 155 cm e 185 cm?

bt) Pgina 33


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b) Se a escola tiver 400 alunos do 12 ano, quantos alunos deesperar que tenham uma altura inferior a 165 cm?

bu)

114) Uma moeda equilibrada lanada 10 vezes. Qual aprobabilidade do acontecimento A face Euro sai exactamentequatro vezes?

bv)

115) Seja X a varivel aleatria que representa o nmero devezes que determinado indivduo vai ao cinema (por semana). Adistribuio de probabilidades de X a seguinte:

bw)

bx) xi by) 0 bz) 1 ca) 2 cb) 3 cc) 4

cd) PX=xi

ce) 0,10

cf) 0,45

cg) 0,20

ch) a ci) b

cj)

a) Determine a e b sabendo que to provvel o referido

indivduo no ir ao cinema durante a semana como ir 4 vezes;

b) Determine o valor mdio e o desvio-padro (comaproximao s centsimas) desta distribuio;

c) Qual a probabilidade de o nmero de idas ao cinemapertencer ao intervalo - , + ?

ck)

116) Uma caixa contm 6 bolas brancas e 4 bolas pretas,indistinguveis ao tacto. Tiram-se, ao acaso e de uma s vez, 4

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bolas da caixa. Seja X a varivel aleatria que representa onmero de bolas pretas tiradas na extraco das 4 bolas.

cl)

a) Defina a distribuio de probabilidades de X;

b) Calcule o valor mdio e o desvio-padro de X.

cm)

117) Acabou o tempo de um jogo de basquetebol e uma dasequipas est a perder por um ponto, mas tem ainda direito a doislances livres. O Manuel vai tentar encestar. Sabendo que este

jogador concretiza, em mdia, 70% dos lances livres que efectua

e que cada lance livre concretizado corresponde a um ponto, qual a probabilidade de o jogo terminar empatado?

cn)

118) Seja X a varivel aleatria que representa o nmero deraparigas nas famlias de dois filhos.

co)


b) Calcule o valor mdio e o desvio-padro.

cp)

119) Quando o Pedro chegou a casa verificou que no havia luznas escadas. Pegou, ento, no seu porta-chaves, com 3 chavesindistinguveis ao tacto e verificou que, para abrir a porta, teria de

experimentar sucessivamente e ao acaso cada uma das chaves,sem as repetir, at obter xito. Seja X a varivel aleatria querepresenta o nmero de tentativas que o Pedro ter de fazer atabrir a porta.

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cq)


b) Qual o nmero esperado de tentativas que o Pedro ter defazer at encontrar a chave certa?

cr)

120) Uma caixa contm bolas brancas e bolas pretas, num totalde 12 bolas. Considere a experincia aleatria que consiste naextraco sucessiva, com reposio, de duas bolas. Seja X avarivel aleatria que representa o nmero de bolas brancasextradas. Na tabela a baixo encontra-se representada adistribuio de probabilidades da varivel X.

cs)

ct)

cu) xi cv) 0 cw) 1 cx) 2

cy) PX=xi cz) 916 da) 38 db) 116

dc)a) Represente, atravs de uma tabela, a distribuio de

probabilidades da varivel Y: Nmero de bolas pretasextradas.

b) Quantas bolas brancas e quantas bolas pretas tem a caixa?Justifique a sua resposta.

dd)

121) A tabela de distribuio de probabilidade de uma varivelaleatria X :

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de)

df) xi dg) 1 dh) 2 di) 3

dj) PX=xi dk) a dl) 2a dm) a

dn)

do) Qual o valor de a?

dp)

122) Numa caixa h bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se aoacaso, e em simultneo, trs bolas da caixa. Seja X o nmero debolas brancas extradas. Sabe-se que a distribuio de

probabilidades da varivel aleatria X :dq)

dr) xi ds) 1 dt) 2 du) 3

dv) PX=xi dw) 115 dx) a dy) a

dz)

ea) Qual a probabilidade de se extrarem menos de trs bolasbrancas?

eb)

123) Uma certa varivel aleatria X tem a seguinte distribuiode probabilidades:

ec)

ed) xi ee) 1 ef) 2eg) PX=xi eh) a ei) b

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ej)

ek) Qual a mdia desta varivel aleatria?

el)

124) Numa caixa esto trs cartes, numerados de 1 a 3.Extraem-se ao acaso, e em simultneo, dois cartes da caixa. SejaX o maior dos nmeros sados. Construa a tabela da distribuiode probabilidades da varivel aleatria X.

em)

125) O sangue humano est classificado em quatro gruposdistintos: A, B, AB e O. Independentemente do grupo, o sangue

pode possuir, ou no, o factor Rhsus. Se o sangue de umapessoa possui este factor, diz-se Rhsus positivo (Rh+); se nopossui este factor, diz-se Rhsus negativo (Rh-). Na populaoportuguesa, os grupos sanguneos e os respectivos Rhsus estorepartidos da seguinte forma:

en)

eo) ep) A eq) B er) AB es) O

et) Rh+ eu) 40% ev) 6,9% ew) 2,9% ex) 35,4%

ey) Rh- ez) 6,5% fa) 1,2% fb) 0,4% fc) 6,7%

fd)

a) Escolhido um portugus ao acaso, qual a probabilidade de oseu grupo sanguneo no ser o O? Apresente o resultado sob a

forma de percentagem, arredondado s unidades.

b) Escolhido um portugus ao acaso, e sabendo que Rhsusnegativo, qual a probabilidade de o seu grupo sanguneo ser

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o A? Apresente o resultado sob a forma de percentagem,arredondado s unidades.

fe)

126) Uma caixa contm 3 bolas brancas e 9 bolas pretas.Considere a experincia aleatria que consiste na extracosucessiva, com reposio de duas bolas. Seja Y a varivel querepresenta o nmero de bolas brancas extradas. Represente,atravs de uma tabela, a distribuio de probabilidade da varivel

Y.

ff)

127) O Joo tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euroe quatro moedas de 50 cntimos. O Joo retira, simultaneamentee ao acaso, duas moedas do bolso.

fg)

a) Seja X a quantia, em euros, correspondente s moedasretiradas pelo Joo. Construa a tabela de distribuio deprobabilidades da varivel X, apresentando as probabilidadesna forma de fraco irredutvel.

b) Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o Jooinformou a sua irm Ins de que elas eram iguais. Ela apostou,ento, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual aprobabilidades de a Ins ganhar a aposta? Apresente oresultado na forma de fraco irredutvel.

fh)

128) Admita que a varivel peso, em quilogramas, das raparigasde 15 anos, de uma certa escola, bem modelada por umadistribuio normal, de valor mdio 40. Sabe-se ainda que, nessaescola, 20% das raparigas de 15 anos pesam mais de 45 kg.

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Escolhida, ao acaso, uma rapariga de 15 anos dessa escola, qual a probabilidade de o seu peso estar compreendido entre 35 kg e40 kg?

fi)

129) Num dado viciado com as faces numeradas de 1 a 6, aprobabilidade de sair 1 dupla da de sair qualquer uma dasrestantes faces.

fj)

a) Verifique que P1=27 e que

fk) P2=P3=P4=P5=P6=17

fl)

fm) (Pa designa a probabilidade de sair a face com o n a.)

fn)

b) Considere os acontecimentos:

fo)

fp) A: Sair um nmero mltiplo de 3;fq) B: Sair um nmero par;

fr)

fs) Determine PA|B e diga, justificando, se A e B soindependentes.

ft)

fu)fv)fw)

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fx)

a. Composies

130) Considere o seguinte problema.fy) Utilizando os cinco algarismos do nmero 41 123, quantosnmeros podem ser formados?fz)ga) C253! e A35 so duas respostas correctas.gb)gc) Numa pequena composio, com cerca de dez linhas,explique o raciocnio que conduziu a cada uma dessas respostas.gd)

131) De todos os nmeros de quatro algarismos que se podemformar com os algarismos de 1 a 9, alguns deles cumprem as trscondies seguintes:ge) Comeam por 9;Tm os algarismos todos diferentes; A soma dos quatro algarismos par.gf)gg) Quantos so esses nmeros?

gh)gi) Uma resposta correcta a este problema 34A24+A34.gj)gk) Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas,explique porqu.gl)

132) Considere o seguinte problema:gm)

gn) Vinte e cinco jovens (doze rapazes e treze raparigas)pretendem ir ao cinema. Chegados l, verificam que existemapenas vinte bilhetes (para duas filas com dez lugares

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consecutivos em cada uma delas). Comprados os bilhetes,distribuem-nos ao acaso. Como evidente, cinco jovens iro ficarsem bilhete. Qual a probabilidade de uma das filas ficar ocupadas com rapazes e a outra s com raparigas?go)gp) Uma resposta correcta para este problema :C1012C1013210!10!C202520!gq)gr) Numa pequena composio, com cerca de vinte linhas,explique esta resposta.gs)gt) Nota: deve organizar a sua composio de acordo com osseguintes tpicos:

gu) Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis; Explicao do nmero de casos favorveis.

gv)

133) Uma turma do 12 ano de uma Escola Secundria constituda por doze raparigas e dez rapazes pretende formaruma comisso organizadora de uma viagem de finalistas. Sabe-se

que a comisso ter obrigatoriamente trs raparigas e doisrapazes. A Ana e o Miguel, alunos da turma, no querem fazerparte da comisso em simultneo.gw)gx) Explique, numa composio, que o nmero de comissesdiferentes que se pode formar dado porgy)gz) C312C210-C2119

ha)134) Trs casais, os Pinto, os Coelho e os Reis, vo ao cinema.

Considere o seguinte problema:

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hb)hc) Depois de terem comprado os bilhetes, todos para a mesmafila e em lugares consecutivos, as seis pessoas distribuem-nos aoacaso entre si. Supondo que cada pessoa se senta no lugarcorrespondente ao bilhete que lhe saiu, qual a probabilidade de

os membros de cada casal ficarem juntos, com o casal Reis nomeio?hd)he) Numa pequena composio, com cerca de quinze linhas,explique por que razo 246! uma resposta correcta a esteproblema.hf)hg) Nota: deve organizar a sua composio de acordo com os

seguintes tpicos:hh) Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis; Explicao do nmero de casos favorveis.

hi)

135) Um saco contm doze bolas, indistinguveis ao tacto: trsbolas com o nmero 1, cinco bolas com o nmero 2 e quatro bolas

com o nmero 3. Retiram-se, do saco, trs bolas, ao acaso. Qual a probabilidade de a soma dos nmeros sados ser igual a cinco?hj)hk) Uma resposta correcta para este problema :C234+C253C312hl)hm) Numa pequena composio, com cerca de dez linhas,explique esta resposta.

hn)ho) Nota: deve organizar a sua composio de acordo com osseguintes tpicos:

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hp) Referncia Regra de Laplace; Explicao do nmero de casos possveis; Explicao do nmero de casos favorveis.hq)

136) Considere o seguinte problema:hr) Lana-se trs vezes um dado equilibrado, com as facesnumeradas de 1 a 6. E multiplicam-se os nmeros sados. Qual aprobabilidade de o produto obtido ser igual a 6?hs)ht) Uma resposta correcta a este problema 3!+363hu)hv) Numa pequena composio, explique porqu.

hw)hx) A sua composio deve incluir:hy) Uma referncia Regra de Laplace; Uma explicao do nmero de casos possveis; Uma explicao do nmero de casos favorveis.

hz)

137) Considere duas caixas: caixa A e caixa B.ia) A caixa A contm duas bolas verdes e cinco bolas amarelas.ib) A caixa B contm seis bolas verdes e uma amarela.ic) Lana-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de1 a 6. Se sair face 1, tira-se ao acaso, uma bola da caixa A. Casocontrrio, tira-se, ao acaso, uma bola da caixa B.id)ie) Considere os acontecimentos:if)

ig) X: Sair face par no lanamento do dadoih) Y: Sair bola verdeii)

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ij) Sem aplicar a frmula da probabilidade condicionada,indique o valor de P(Y|X) e, numa composio com cerca de dezlinhas, justifique a sua resposta.ik)il) Nota: comece por indicar o significado de P(Y|X), no

contexto da situao descrita.im)

138) Uma turma do 12 ano constituda por vinte e cinco alunos(quinze raparigas e dez rapazes). Nessa turma, vai ser escolhidauma comisso para organizar uma viagem de finalistas.in) A comisso ser formada por trs pessoas: um presidente,um tesoureiro e um responsvel pelas relaes pblicas.io) Suponha que a escolha dos trs elementos vai ser feita por

sorteio, da seguinte forma:ip) Cada aluno escreve o seu nome numa folha de papel. Asvinte e cinco folhas so dobradas e introduzidas num saco. Oprimeiro nome a sair corresponde ao presidente, o segundo, ao dotesoureiro, e o terceiro, ao do responsvel pelas relaes pblicas.iq)ir) Seja A, B e C os acontecimentos:is)

it) A: o presidente uma rapariga;iu) B: o tesoureiro uma rapariga;iv) C: a comisso formada s por raparigas.iw)ix) Indique o valor da probabilidade condicionada P(C|A B) e,numa pequena composio, com cerca de dez linhas, justifique asua resposta.iy)

iz) Nota: No aplique a frmula de probabilidade condicionada.O valor pedido dever resultar exclusivamente da interpretaode P(C|A B , no contexto do problema.

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ja)

139) Um baralho de cartas completo constitudo por cinquentae duas cartas, repartidas por quatro naipes de treze cartas cada:espadas, copas, ouros e paus. Cada naipe tem trs figuras: Reis,Dama e Valete.

jb) De um baralho completo extraem-se ao acaso,sucessivamente e sem reposio, duas cartas.

jc)jd) Sejam E1, C2 e F2 os acontecimentos:je)jf) E1: sair espadas na primeira extraco;jg) C2: sair copas na segunda extraco;jh) F2: sair uma figura na segunda extraco.

ji)jj) Sem utilizar a frmula de probabilidade condicionada,indique o valor de P(F2 C2|E1) .

jk)jl) Numa pequena composio, explicite o raciocnio queefectuou. O valor pedido dever resultar apenas da interpretaodo significado de P(F2 C2|E1) , no contexto da situao descrita.

jm)

140) De uma caixa com dez bolas brancas e algumas bolaspretas, extraem-se sucessivamente, e ao acaso, duas bolas, norepondo a primeira bola extrada, antes de retirar a segunda.

jn) Considere os seguintes acontecimentos:jo) A: a primeira bola extrada preta;jp) B: a segunda bola extrada branca.jq)jr) Sabe-se que PBA=12

js)

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jt) Quantas bolas pretas esto inicialmente na caixa? Numapequena composio, justifique a sua resposta, comeando porexplicar o significado de PBA, no contexto da situao descrita.

ju)

141) Numa sala de tempos livres, a distribuio dos alunos poridades e sexo a seguinte:

jv)jw) jx) 5

anosjy) 6anos

jz) 7anos

ka) Rapaz

kb) 1 kc) 5 kd) 2

ke) R

apariga

kf) 3 kg) 5 kh) 7

ki)kj) Escolhe-se um aluno ao acaso.kk)kl) Sejam A e B os acontecimentos:km)

kn) A: o aluno tem 7 anosko) B: o aluno rapazkp)kq) Indique, justificando, o valor da probabilidade condicionadaPBA. Apresente o resultado na forma de fraco irredutvel. Nocaso de utilizar a frmula da probabilidade condicionada, expliciteos valores das duas probabilidades envolvidas nessa frmula.

kr)

142) De entre todos os nmeros de trs algarismos diferentesque se podem formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9,

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em quantos deles o produto dos seus algarismos um nmeropar?ks) Uma resposta correcta a este problema : A39-A35. Numapequena composio explique porqu.

kt)

143) Um saco contm onze bolas, numeradas de 1 a 11. Aoacaso, tiram-se sucessivamente e sem reposio, duas bolas dosaco.ku)kv) Sejam A e B os acontecimentos:kw)kx) A: o nmero da primeira bola retirada parky) B: o nmero da segunda bola par

kz)la) Indique o valor de PBA, na forma de fraco irredutvel, semutilizar a frmula de probabilidade condicionada. Justifique aresposta, comeando por explicar o significado de PBA nocontexto da situao descrita.

lb)

144) Uma caixa contm bolas, indistinguveis ao tacto,numeradas de 1 a 20. As bolas numeradas de 1 a 10 tm cor

verde, e as bolas numeradas de 11 a 20 tm cor amarela.lc) Considere a experincia aleatria que consiste em retirar,sucessivamente, duas bolas da caixa, no repondo a primeira bolaretirada, e em registar a cor das bolas retiradas.ld)le) Considere os acontecimentos:lf)lg) A: A 1 bola retirada verde;

lh) B: A 2 bola retirada amarela;li) C: O nmero da 2 bola retirada par.lj)

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lk) Qual o valor da probabilidade condicionada PB CA ?ll)lm) A resposta correcta a esta questo PB CA=519ln)lo) Numa pequena composio, sem utilizar a frmula de

probabilidade condicionada, explique o valor dado, comeandopor interpretar o significado de PB CA , no contexto da situaodescrita e fazendo referncia:lp) Regra de Laplace; Ao nmero de casos possveis; Ao nmero de casos favorveis.lq)

lr)ls)lt)lu)lv)lw)lx)ly)

lz)ma)mb)mc)md)me)mf)mg)

mh)mi)mj)

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mk)ml)mm)mn)mo)

mp)

mq) Funes Reais de Varivel Real

mr)a. Expresses, Equaes e Inequaes comExponenciais e Logaritmos

ms)145) 2x2-5x=164

146) 4125=15x-2

147) 0,2x=1625

148) 152x=255

149) 0,001x-1


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154) x25x-95x>0

155) 3x2>3

156) 13x-1135

157) ex+2+e3x+2-2e2x+2=0

158) e6x+4+2e3x+2=3

159) 53-x21

161) 7e-x+ex8

162) 5x+1.x-5xx-30

163) 22x-12x

164) Considere fx=2x. Determine o conjunto dos valores de x:

165)

a) f2x+5=1024

b) fx-218

c) fx.(x2-1)>0

d) fx=-1

e)

166) Calcule log3181 Pgina 51


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167) Calcule log142

168) Calcule log2132+log1322

169) Calcule log216+log2132+log232

170) Calcule log2log416+10log5

171) Calcule lne2+lne-10+ln1

172) Calcule log3427818



175) Calcule log226

176) Calcule log55+3log40,25

177) Calcule log0,0001

178) Calcule log42log24

179) Calcule lne3

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181) log2x-3=4

182) ln1+x-e=1

183) log32+x-log3x2-4=0

184) log22x-1-3=log2x

185) log2x+1=8

186) logx3=12

187) 3x=5

188) 3-lne3x=0

189) ln3x2=lnx3

190) 2ex+e-x=3

191) lnx-3+lnx2=ln2x

192) ln2x+5lnx=6

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193) e2xe2x-5log2x

198) lnx+1lnx+10

199) 102x+11

204) 3+2x-1=4x

205)206)

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207)208)209)210)

211)212)213)214)215)216)217)

218)219)220)221)222)223)224)

225)226)

a. Derivadas227)

228) y=x+12x+1

229) y=ln2x+1

230) y=x2.3x Pgina 55


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231) y=x4.lnx

232) y=3x.lnx

233) y=x3+x+12x2-x+4

234) y=x-1.lnxx

235) y=e3x2+x

236) y=32x3-1

237) y=1x+3

238) y=3x+1x2-8x

239) y=3x2+4x2+9

240) y=x-1x+22

241) y=x2-12x3

242) y=x3-1x2+13

243) y=x-13.x+24

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244) y=x2+15

245) y=x+1.x2+1.x3-x

246) y=3x+12.x2+1-3

247) y=2x+1x2-1

248) y=2x+53x-2

249) y=2+xx-3

250) y=x21-x

251) y=2x-22-1x-2

252) y=x2-8x2+x+1

253) y=x31+x

254) y=x+1x-12

255) y=x2-x+1x2+x+1

256) y=1+xx+2

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257) y=x2+16x

258) y=x2.lnx

259) y=14.ln2+x2-x

260) y=x.ex

261) y=ln2x

262) y=x5ex

263) y=exx

264) y=x7.ex

265) y=exx2

266) y=e1+x2

267) y=lnx+1+x2

268) y=x-1.ex

269) y=ex-1x

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270) y=x2.e-2x

271) y=ln1+x1-x

272) y=lnx2ex

273) y=lnx2x-133x+25

274) y=lnx22

275) y=lnlnx

276) y=logx3

277) y=xex

278) y=ax2+bx+c

279) y=ax6+ba2+b2

280) y=x+ln2

281) y=atm+btm+n

282) y=ax+bcx+d

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283) y=a3x2-bx.3x

284) y=1+z1-z

285) y=3x-ex

286) y=ex+2

287) y=3ex+5

288) y=ex-23

289) y=ex+x-4x3

290) y=3x2+x2+1

291) y=16t-12t12

292) y=2ses-12ss2

293) y=t3+1t2

294) y=2x5-13x

295) y=t2+13t2

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61/221

296) y=2t+12-t+2

297) y=2r5r+2

298) y=e2xx2-1

299) y=lne2t+5

300) y=1+x

301) y=1e2t+t2

302) y=x2+1x2+3

303) y=-2t3+13t

304) y=x2e-3x

305) y=x+x

306) y=t+2+et

307) y=e1+2s2

308) y=lnln2t2

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309) y=lne3t+2t2+1e-3t

310) y=ex-e-xex+e-x

311) y=lnx1-lnx

312) Considera a funo real de varivel real h, definida por:

313) fx=3x-1 se x22xx-1 se x>2

314) Utilizando a definio de derivada de uma funo num

ponto, averigua se f derivvel no ponto de abcissa 2.Caracteriza f.

315)316) Caracterize a funo derivada da seguinte funo:

317)318) fx=ex-1 se x0x3 se x


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326) Aplicando a definio, calcule f'-3, com fx=1+3ex+3327)328)329)

330)331)332)333)334)335)336)

337)338)339)340)341)

a. Derivadas Trigonomtricas342)

343) y=sinxx

344) y=2sinx

345) y=sin2x

346) y=sinx2

347) y=sin2x

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348) y=sinx

349) y=sin2x

350) y=sinx

351) y=2sinx

352) y=1sinx

353) y=sin1x

354) y=sinx-1x+1

355) y=cosxx-1

356) y=lncosx+1cosx-1

357) y=lncosx

358) y=lnsin22x

359) y=sin23x

360) y=3sinx+12

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361) y=sinx2-cosx3

362) y=3cosx-32+sin2x-3

363) y=3cosx.tanx

364) y=5sin23x

365) y=tan2x+tansin2x

366) y=cosx3.sin21-x2

367) y=1-cosxsinx

368) Utilizando a definio de derivada num ponto, calcula f'0,sendo fx=x+sinx

369)

370) Determine, aplicando a definio de derivada num ponto, aderivada de fno ponto de abcissa 4, sendo fx=sin4x

371)372) Caracterize a funo derivada da seguinte funo:

373) fx=sint1+e1sintse t00 se t=0

374)375) Seja:

376) fx=x2cos1x se x00 se x=0

377) Pgina 65


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378) Mostre que f'0=0379)

380) Escreva uma equao da recta tangente ao grfico dafuno nx=sinx-2x no ponto de abcissa 0.

381)382) Escreva uma equao da recta tangente ao grfico dafuno

383) ox=sinx+cosx no ponto de abcissa 4.384)

385) Escreva uma equao da recta normal ao grfico dafuno

386) px=sin3x no ponto de abcissa .387)

388) Considere, para cada 0,1 , a funo, de domnio R+,definida por fx=x. Prove que, qualquer que seja o valor de

0,1 , o grfico da funo f tem a concavidade voltada parabaixo.

389)390)

391)392)393)394)395)

396)397)

398)399)400)

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401)402)403)404)

405)406)407)408)409)410)411)

a. Limites412)

413) limx +2x+50

414) limx -2x3+7

415) limx -2-1xx2

416) limx +-x2-x3-2

417) limx --1x+3

418) limx -3-1x+32

419) limx -x3+5x7x2-3

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68/221

420) limx -1-x5x4-3x5

421) limx -2x-4x32x2+x+1

422) limx +-3x2+5xx+5

423) limx +5x3-2x+11-x5

424) limx +3x-1x

425) limx +x2-3x+2x

426) limx -x2+12x

427) limx -x3-x3x

428) limx +x3-3x2+2

429) limx --3x5+x4+2

430) limx +x+3-x

431) limx +x2+x-x2+1

432) limx +1+x-x

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433) limx 21x-2-1x-2

434) limx 122x2-3x+12x2-5x+2

435) limx -39-x2x+3

436) limx 1x3-6x2+11x-62x2-8x+6

437) limx -1x3+1x+1

438) limx -31-x+4x+3

439) limx 9x-3x+7-4

440) limx 1x2-13x+2x-1

441) limx -1xx3+1

442) limx 1x-1x+1

443) limx 01+x2-1x

444) limx 5x-5x2-5

445) limx 1x5-1x2-1

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446) limx -1x3+3x2+3x+1x2+2x+1

447) limx 2+1x2-4

448) limx 2-1x2-4

449) limx 5+3x5-x

450) limx 5-3x5-x

451) limx 2x-12-x2

452) limx 1+8x2-7x+6

453) limx 6+8x2-7x+6

454) limx +-x2+x+12x3-4

455) limx --x2+72x2+1

456) limx +x-3-x+5

457) limx +5x3+34x3+1

458) limx -23x2-2x-52x3+2

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474) limx +3xex+x2

475) limx +3x2-x+1

476) limx -e-x2x

477) limx 0+xe3x

478) limx +ex-3x2x+1

479) limx 0e3x-1x

480) limx 0e5+x-e53x

481) limx 03e3x-31-ex

482) limx 1ex-1-11-x2

483) limx 0e2x-1x2

484) limx 0fx , sendo fx=e2x-1e3x-1 x>0x+22x+3 x


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487) limx 0e5x-13x

488) limx +2x5e-x

489) limx +2xex

490) limx +2x3x

491) limx -32x

492) limx -35x

493) limx +2xx4

494) limx +-xx2

495) limx +x33x

496) limx +5xx7

497) limx +ex-2x2

498) limx +x-ex+1x3

499) limx 0e5x-e7xx

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500) limx 0ex+2-e22x

501) limx 0e3x-3xex-1

502) limx 1ex-1-1x-1

503) limx 0ex-1x2+3x

504) limx 2ex-2-1x2-4

505) limx 3ex-3-12x-6

506) limx 0x3ex+3-e3

507) limx 0axebx-1

508) limx +e2x-11-e3x

509) limx 0eax-1ebx-1

510) limx 0lnx+13x

511) limx +ln2xx

512) limx +lnxx4

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513) limx 0+lnxx4

514) limx -xln-3x

515) limx +log3x+x2x2+3

516) limx 1lnx33x-3

517) limx 0ln3x+1x3

518) limx -4ln5+x4+x

519) limx 0+x-1lnx

520) limx 1x-1lnx

521) limx 1ln2x-1x-1

522) limx +x+1lnx-1-ln2+x

523) limx 0+xlnx

524) limx 0ln2x+13x

525) limx 0lnx+1x2

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526) limx 0lnx+1ex-1

527) limx 3x-3lnx-2

528) limx -2ln-1-xx+2

529) limx +ln5xx

530) limx 5lnx-4x-5

531) limx 03lnx+12x

532) limx 0lnx+12x

533) limx 0log2x+1x

534) limx +e-x+ln2xx

535) limx 0+2x2lnx

536) limx +2x+1lnx+1

537) limx +logx+3ex+1

538) limx 0sin3x2x

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539) limx 0cos2+2xx

540) limx 03xtan2x

541) limn +n2sin3n2

542) limx sinxx-

543) limx 0sin2xsin5x

544) lim 0 tan 1-cos

545) limx 0sin2x+cosx-13x2

546) limx 0e2x-13sin3x

547) limt 0sint2t

548) limx +x2sinx

549) limx 0x21-cos2x

550) limx 1sinx-ax-a

551) limx 12cosx2x-1

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552) limx 2cosxtan2x

553)

554)555)

556)

557)

558)

559)560)

561)

562)

563)

564)565)

566)

567)

568)

569)

570)

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571)

572)

573)

574)

a. Assimptotas575)

576) Determine, se existirem, equaes das assimptotas dogrfico de cada uma das funes e verifique os resultadosutilizando a calculadora.

577)

a) x 2x2x2-1

b) x x21-x

c) x x22x-2

d) x x4-18x2

e) x x2+x

f) x 51+4e-x

g) x ex-1x+1

h) x lnex-1

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i)

578) Considere a funo fde varivel real:

j)

k) f:0,+ R

l)x 2x-2+lnxx

m)

n) Mostre que a recta de equao y=2x-2 assimptota dogrfico de f.

o)

579) Mostre que a recta y=2x uma assimptota do grfico de g,sendo gx=x2ex+2x.

p)

580) Determine, caso existam, as equaes das assimptotas dogrfico de f, sendo fx=2e-x-3.

q)

581) Determine as equaes das assimptotas do grfico da

funo f, definida por: fx=x-lnx x1x2-3x+2x-1 x


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u) fx=lnx1-lnx.

v)

585) Considere a funo f, de Domnio R\0, definida por fx=ex-1x.Estude f quanto existncia de assimptotas do seu grfico,paralelas aos eixos coordenados.

w)

586) Para cada uma das seguintes funes, determine, seexistirem, as assimptotas verticais e estude o comportamento dogrfico da funo junto destas:

x)

a) fx=3-xx

b) gx=xx-22

c) hx=x2+1x(1-x2)

d) ix=x2-5x+6x2-2x

e) jx=1+x31+x

f) lx=lnx-1

g)

587) Considere uma funo f de domnio R+. Admita que f positiva e que o eixo Ox assimptota do grfico de f. Mostre queo grfico da funo 1f no tem assimptota horizontal.

h)

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588) De uma funo g, de domnio R+, sabe-se que a bissectrizdos quadrantes mpares uma assimptota do seu grfico. Seja h afuno, de domnio R+, definida por hx=g(x)x2

i)Prove que o eixo Ox uma assimptota do grfico de h.

j)

589) De uma certa funo g, de domnio R+, sabe-se que:

k)

No tem zeros;

A recta de equao y=x+2 assimptota do seu grfico.

l)

m) Seja h a funo, de domnio R+, definida por hx=x2g(x)

n)

o) Prove que a recta de equao y=x-2 assimptota do grficode h.

p)

590) De uma certa funo f, de domnio R, sabe-se que:

q)

f contnua;

A recta de equao y=x assimptota do grfico de f, querquando x + , quer quando x - .

Mostre que o grfico da funo g, definida, em R, por gx=x.f(x),no tem qualquer assimptota.

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591) Sejam f e g duas funes, ambas de domnio R+. Sabe-seque:

limx +fx-2x=0

A funo g definida por gx=fx+x2.

Prove que o grfico de g no tem assimptotas oblquas.

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o Estudo de Funes

592) Faa um estudo das seguintes funes (Domnio,Assimptotas, Monotonia e Extremos, Concavidades e Pontos de

Inflexo):

fx=ex2-1x2

gx=exx2-2x+1

hx=ex2x2-7x+7

ix=exx2-2x+1-ex2x2-7x+7

jx=xe-1x

kx=xe+e-x

mx=xlnx

nx=x2-18lnx

593) Estude o Domnio, Paridade, Assimptotas, Concavidades eExtremos das seguintes funes:

fx=21x-1

gx=ln(x2-1)x2-1

594)Estuda a monotonia da seguinte funo, indicando os extremosrelativos, caso existam: fx=xe1x

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595) Estuda as concavidades da seguinte funo, indicando ospontos de inflexo, caso existam: fx=xlnx

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o Continuidade

596) Determine kde modo que a funo fseja contnua em x=0

fx=8-8cosxxsin2x se x0

597) Indique o Domnio de g e estude a continuidade da funo

g:

gx=sin3x +tan5x2x se x Dg\04 se x=0

598) Considere a funo real de varivel real:

fx=1+x31+x se x-1

Estude a continuidade de fno ponto de abcissa -1.

599) Considere a funo f, real de varivel real, definida por: Pgina 87


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fx=ln2x-1x-1 x>1 -1 x 0,11-exx x0,(a>0)

Determine a de modo que a funo seja contnua em R

601) Estude a continuidade da funo definida por:

fx=x3-x x1

602) Estude a continuidade da funo seguinte, esquerda e direita dos pontos indicados:

ix=1-exx x1 , para x=0 e para x=1

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o Teorema de Bolzano

603) Seja fx=x2+3x+2, contnua no seu domnio. Utiliza oTeorema de Bolzano para mostrares que verdadeira a

preposio c -1,3:fc=7 .

604) Considera a funo real de varivel real hx=3x-x2. Provaque:

a) A equao hx=3 tem uma soluo pertencente ao intervalo 1,2.

b) O grfico de h intersecta o eixo dos xx num ponto de abcissapertencente ao intervalo -1,0

605) Considera a funo real de varivel real:

fx=x3+2x2-x-4.

Prova que esta funo tem pelo menos um zero no intervalo 1,2

606) Acerca da funo f, contnua e injectiva em R, sabe-se que

f(0) positivo e que f(2) negativo. Justifica que a equao fx=0tem uma e s uma soluo em R.

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607) Seja gx=25-50sin2x. Recorrendo ao Teorema de Bolzano,mostre que existe um valor de x compreendido entre 6 e 4 parao qual o valor de gx de 30.

608) A massa de uma substncia radioactiva diminui com apassagem do tempo. Supe-se que, para uma amostra de umadeterminada substncia, a massa, em gramas, ao fim de t horasde observao, dada pelo modelo matemtico

Mt=15e-0,02t, t0

Nota: em eventuais clculos intermdios, sempre que proceder aarredondamentos, use trs casas decimais.

a) Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a massa inicial daamostra da substncia radioactiva? Apresente o resultado em

horas e minutos, estes arredondados s unidades.b) Utilize o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo

menos, um instante, entre as 2 horas e 30 minutos e as 4 horasaps o incio da observao, em que a massa da amostra dasubstncia radioactiva atingiu os 14 gramas.

609) Seja f uma funo contnua, de domnio 0,5 e contradomnio3,4. Seja g a funo, de domnio 0,5, definida por gx=fx-x. Proveque a funo g tem, pelo menos, um zero.

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610) De uma funo g, contnua em R, sabe-se que 1 zero de ge que g3>0. Prove que a equao gx=g(3)2 tem, pelo menos,uma soluo no intervalo 1,3.

611) Considere a funo g, de domnio R+, definida porgx=e2x+lnx

a) Mostre, recorrendo a mtodos exclusivamente analticos, que afuno g tem, pelo menos, um zero no intervalo 0,1;0,3. Nota: Acalculadora pode ser utilizada em eventuais clculosnumricos.

b) O grfico de g contm um nico ponto A com abcissapertencente ao intervalo 0, 2 e cuja ordenada igual ao dobroda abcissa.

Traduza esta situao por meio de uma equao. Resolva a equao, recorrendo s capacidades grficas dasua calculadora.

Indique as coordenadas do ponto A, com aproximao sdcimas. Reproduza na sua folha de respostas, o grfico ougrficos, visualizado(s) na calculadora, devidamenteidentificado(s), incluindo o referencial.

Assinale o ponto A em que se baseou para dar a suaresposta.

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o Utilizao da Calculadora nas Funes(Composies)

612) Um pra-quedista salta de um helicptero. Ao fim de algumtempo, o pra-quedas abre. Admita que a distncia (em metros) aque o pra-quedista se encontra do solo, t segundos aps aabertura do pra-quedas, dada por:

dt=840-6t+25e-1,7t

a) Sabendo que, no momento em que o pra-quedas salta dohelicptero, este se encontra a 1500 metros do solo, determinea distncia percorrida em queda livre pelo pra-quedista (desdeque salta do helicptero at ao momento da abertura do pra-quedas).

b) Utilize a calculadora para determinar, com a aproximao aosegundo, quanto tempo, aps a abertura do pra-quedas,

demora o pra-quedista a atingir o solo. Explique comoprocedeu.

613) Doses teraputicas iguais de um certo antibitico soadministradas, pela primeira vez, a duas pessoas: a Ana e oCarlos. Admita que, durante as doze primeiras horas aps atomada simultnea do medicamento pela Ana e pelo Carlos, as

concentraes de antibitico, medidas em miligramas por litro desangue, so dadas, respectivamente, por:

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At=4t3e-t e Ct=2t3e-0,7t

A varivel t designa o tempo, medido em horas, que decorredesde o instante em que o medicamento tomado (t 0,12 ).

Considere as seguintes questes:

I. Quando a concentrao ultrapassa 7,5 miligramas por litro de

sangue, o medicamento pode ter efeitos secundriosindesejveis. Esta situao ocorrer, neste caso, com algumadestas duas pessoas? Caso afirmativo, com quem? E em quantosmiligramas por litro o referido limiar ser ultrapassado?

II. Depois de atingir o nvel mximo, a concentrao comea adiminuir. Quando fica inferior a 1 miligrama por litro de sangue, necessrio tomar nova dose do medicamento. Quem deve tom-

la em primeiro lugar, a Ana ou o Carlos? E quanto tempo antesdo outro?

Utilize as capacidades grficas da sua calculadora parainvestigar estas duas questes. Numa pequena composio, comcerca de dez linhas, explicite as concluses a que chegou,

justificando-as devidamente. Apresente, na sua resposta, oselementos recolhidos na utilizao da calculadora grfica: grficose coordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas s

dcimas).

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614) Uma pastilha elstica tanto mais saborosa quanto maiorfor a quantidade de aromatizante nela presente. Admita que aquantidade de aromatizante presente numa pastilha elstica damarca MastiBom, t minutos aps ter sido colocada na boca, dada, em certa unidade de medida, por:

At=5e-0,1t, t 0,+

Suponha que o responsvel pelo laboratrio da empresaprodutora das pastilhas MastiBom. Admita que a concorrncia

acabou de lanar no mercado trs tipos de pastilhas e que agerncia da sua empresa o encarregou de analisar essaspastilhas, para ver se algumas delas poderiam colocar em riscoposio de lder de mercado das pastilhas MastiBom. Da anliseque efectuou, concluiu que a quantidade de aromatizantepresente em cada uma delas, t minutos aps ter sido colocada naboca, dada por:

Pastilha X: B1t=4e-0,15t, t 0,+

Pastilha Y: B2t=7e-0,2t, t 0,+

Pastilha Z: B3t=6e-0,1t, t 0,+

Recorrendo sua calculadora, compare, no intervalo 0,15, cada

uma destas trs funes com a funo At, definida a cima (admitaque, ao fim de quinze minutos, a quantidade de aromatizantepresente em cada uma das pastilhas j no lhes d sabor).

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Elabore um relatrio, com cerca de dez linhas, que possa serapresentado gerncia da sua empresa, em que mencione, paracada uma das pastilhas concorrentes, durante quanto tempo que, nos primeiros quinze minutos, ela mais saborosa do que aMastiBom (Sempre? Nunca? A partir de um certo instante? Qual?

At um determinado instante? Qual?). apresente, na sua resposta,os elementos recolhidos na utilizao da calculadora: grficos ecoordenadas de alguns pontos (coordenadas arredondadas sdcimas).

615) Considere, num referencial ortonormado xOy, os grficosdas funes f e g, de domnio 0,3, definidas por:

fx=lnx+2 e gx=e-ex-1 (ln designa logaritmo de base e).

Determine a rea de um tringulo OAB, com aproximao sdcimas, recorrendo s capacidades grficas da sua calculadora.

Para construir o tringulo OAB, percorra os seguintes passos:

Visualize as curvas representativas dos grficos das duasfunes, no domnio indicado;

Reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvasvisualizadas na calculadora;

Assinale ainda:

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A origem O do referencial;

O ponto A de interseco dos grficos das duas funes,indicando as suas coordenadas, com aproximao sdcimas;

O ponto B de interseco do grfico da funo g com o eixoOx.

616) Considere a funo f, de domnio -12,+, definida por:

fx=ln2x+12x+1, e a funo g, de domnio R, definida por gx=x-2(ln designa logaritmo de base e).

Indique as solues inteiras da inequao fx>g(x), recorrendo scapacidades grficas da sua calculadora. Para resolver estainequao, percorra os seguintes passos:

Visualize as curvas representativas dos grficos das duasfunes;

Reproduza, na sua folha de respostas, o referencial e as curvasvisualizadas na calculadora;

Assinale, ainda, os pontos A e B, de interseco dos grficos dasduas funes, indicando as suas coordenadas, com

aproximao s dcimas.

617) Considere, num referencial o. n. xOy,

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A curva C, que representa graficamente a funo f, de domnio0,1, definida por fx=ex+3x

A recta r, de equao y=5

Recorrendo s capacidades grficas da sua calculadora, visualizea curva C, na janela 0,10,7 (janela em que x 0,1 e y 0,7 ).

Reproduza, na sua folha de respostas, o referencial, a curva C e arecta r, visualizados na calculadora. Assinale ainda os pontos O, Pe Q, em que:

O a origem do referencial;

P o ponto de coordenadas (0,e)

Q o ponto de interseco da curva C com a recta r;relativamente a este ponto, indique, com duas casas decimais, asua abcissa, que deve determinar com recurso calculadora.

Desenhe o tringulo OPQ e determine a sua rea. Apresenteo resultado final arredondado s dcimas. Se, em clculosintermdios, proceder a arredondamentos, conserve, no mnimo,duas casas decimais.

618) Considere a funo f, de domnio R+, definida por fx=3x-2lnx. O grfico de f contm um nico ponto cuja ordenada oquadrado da abcissa. Recorrendo calculadora , determine um

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valor aproximado s dcimas para a abcissa desse ponto.Explique como procedeu (deve incluir o grfico, ou grficos, queconsiderou para resolver esta questo).

619) Considere f:R+ R e g:R R , definidas por:

fx=lnx e gx=x2-3.

Utilizando as capacidades grficas da sua calculadora,investigue se todo o nmero x do intervalo 0,1;1,8 soluo dainequao fx>g(x). Indique a concluso a que chegou e expliquecomo procedeu. Dever incluir na sua explicao os grficosobtidos na calculadora.

620) Considere a funo f, de domnio R+, definida por fx=lnxx.

A equao fx=x-12 tem exactamente duas solues.Recorrendo sua calculadora, resolva graficamente esta equao.Apresente as solues com aproximao s dcimas. Expliquecomo procedeu, apresentando o grfico ou grficos, em que sebaseou para dar a sua resposta.

621) Um laboratrio farmacutico lanou no mercado um novoanalgsico: o AntiDor. A concentrao deste medicamento, emdecigramas por litro de sangue, t horas aps ser administrado auma pessoa, dada por

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Ct=t2e-0,6t, t0.

Este laboratrio, aps o lanamento deste analgsico,realizou uma campanha de promoo deste medicamento.Baseada no slogan AntiDor Aco rpida e prolongada!

Numa breve composio, de sessenta a cento e vintepalavras, comente o slogan, tendo em conta que:

Para a maioria das dores, o AntiDor s produz efeito se a sua

concentrao for superior a 1 decigrama por litro de sangue.

De acordo com uma associao de defesa do consumidor, umbom analgsico deve comear a produzir efeito, no mximo,meia hora aps ter sido tomado, e a sua aco devepermanecer durante, pelo menos, cinco horas (aps tercomeado a produzir efeito).

Nota: na resoluo desta questo, deve utilizar ascapacidades grficas da sua calculadora e enriquecer a suacomposio com o traado de um ou mais grficos.

622) Admita que o custo de produo, em euros, de xquilogramas (x1) de um certo produto dado por:

Cx=2+3x-lnx, x1 (ln designa logaritmo de base e).

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Sabendo que a funo estritamente crescente, recorra calculadora para determinar graficamente a soluo da equaoque lhe permite resolver o seguinte problema:

Qual a maior quantidade, em quilogramas, que se podeproduzir desse produto, para que o custo dessa produo noultrapasse mil euros?

Apresente todos os elementos recolhidos na utilizao da

calculadora, nomeadamente o(s) grfico(s) obtido(s), bem comoa(s) coordenada(s) relevante(s) de algum (ou de alguns) ponto(s).apresente o resultado na forma de dzima, arredondado sdcimas.

623) De uma funo f, de domnio R, sabe-se que a sua derivada dada por

f'x=x+1ex-10x

Seja A o nico ponto de inflexo do grfico de f. Recorrendos capacidades grficas da sua calculadora, determine a abcissado ponto A, arredondada s dcimas. Explique como procedeu.

Inclua, na sua explicao o grfico ou grficos que obteve nacalculadora.

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624) De uma funo f, de domnio -,, sabe-se que a suaderivada est definida igualmente no intervalo -, e dada por:

f'x=x+2cosx

O grfico de f contm um nico ponto onde a rectastangente paralela ao eixo Ox. Recorrendo sua calculadora,determine um valor arredondado s centsimas para a abcissadesse ponto. Explique como procedeu.

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o Interpretao de Grficos (Escolha Mltipla)

Grficos

625) Na figura est representada parte de uma parbola, que ogrfico de uma certa funo g, domnio R.

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Seja h a funo, de domnio R, definida por hx=gx.(x+3)2

Qual pode ser o conjunto dos zeros da funo g?

(A) 2, 3, 4 (B) -3, 1, 4 (C) -3, 2, 3, 5 (D) -1, 5, 9

626) Na figura esto representadas graficamente as funes s et.

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Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) A funo t no tem zeros;(B) 2 um zero da funo s

(C) 5 um zero da funo st;(D) 3 um zero da funo s-t

627) Em qual das figuras seguintes pode estar representadaparte do grfico de uma funo par, de domnio R e contradomnio-, 0?

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628) Indique qual dos grficos seguintes pode ser o de umafuno mpar e injectiva.

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629) Na figura est representada parte do grfico de uma funof, de domnio R.

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Em qual das figuras seguintes poder estar representadaparte dos grficos de duas funes, g e h, de domnio R, tais quef=gh?

630) Na figura esto parcialmente representados os grficos deduas funes polinomiais, r e s.

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Qual dos seguintes conjuntos pode ser o domnio da funors ?

(A) R (B) R\0 (C) R\-1, 1 (D) R\-1,0, 1

631) Na figura esto representados, em

referencial o. n. Oxyz:

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O Ponto A, de coordenadas (0,0,4)

A superfcie esfrica de equao x2+y2+z2=9

A circunferncia que resulta da interseco dessa superfcieesfrica com o plano xOy.

Um ponto P percorre essa circunferncia, dando uma voltacompleta. Considere a funo f que faz corresponder, abcissa doponto A, a distncia de P a A. Qual dos seguintes grficos o grfico da funo f?

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632)Na figura esto representadas parte dos grficos de duasfunes polinomiais, g e h, ambas de domnio R.

Qual das expresses seguintes pode definir uma funo f,de domnio R, tal que fg=h?

(A) x-1 (B) -x+1 (C) x+1 (D) -x-1

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633) Na figura esto representadas,

em referencial o. n. xOy, partes dos grficos de duas funes, f eg, contnuas em R. Tal como a figura sugere,

Nenhum dos grficos intersecta o eixo Ox; Os grficos de g e de f intersectam o eixo Oy nos pontos de

ordenadas 0,5 e 2, respectivamente.

Apenas uma das equaes seguintes impossvel. Qualdelas?

(A) fx+gx=0 (B) fx-gx=0

(C) fxgx=0 (D) fxgx=1

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634) Na figura est representada parte

dos grficos de duas funes, f e g, contnuas em R.

O grfico de f intersecta o eixo Ox no ponto de abcissa 3.

Indique o valor de limx 3-g(x)f(x)

(A) 0 (B) 1 (C) - (D) +

635) Na figura est a representao grfica de uma funo f, daqual a recta t assimptota.

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O valor de limx +fx-x-2

(A) - (B) 0 (C) 1 (D) +

636) Na figura est a representao grfica de uma funo f, dedomnio R+. A recta s, que contm os pontos (-2, 0) e (0, 1), assimptota do grfico de f.

Indique o valor de limx +fxx

(A) -2 (B) 0 (C) 12 (D) 1

637) Considere uma funo g, de domnio 0, +, contnua emtodo o seu domnio. Sabe-se que:

O grfico de g tem uma nica assimptota;

limx +gxx=12

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Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas,em referencial o. n. xOy, parte do grfico da funo g e, atracejado, a sua assimptota?

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638) Na figura abaixo est

parte da representao grfica de uma funo f, par e positiva, daqual a recta de equao y=0 assimptota.

Qual o valor de limx -1f(x) ?

(A) 0 (B) 1 (C) + (D) -

639) Na figura esto representadas graficamente duas funes: fe g.

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Qual dos seguintes grficos poder ser o da funo fg?

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640) Na figura abaixo est parte da representao grfica deuma funo s de domnio R.

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Indique qual das figuras seguintes pode ser parte darepresentao grfica da funo t, definida por tx=1s(x)

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641) De uma funo h sabe-se que:

O domnio de h R+;

limx +h(x)=0 ;

limx 0h(x)=- .

Indique qual dos grficos seguintes poder ser o grfico de h.

642) Seja f uma funo polinomial de terceiro grau, cujo grficose encontra parcialmente representado na figura.

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Quantas so as solues da equao fx=2 ?

(A) Uma (B) Duas (C) Trs (D) Quatro

643) Na figura est parte da representao

grfica de uma funo g, polinomial de terceiro grau.

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A funo g admite mximo relativo igual a 3 para x=1 e admitemnimo relativo igual a -2 para x=1.

Qual o conjunto dos valores de b para os quais a equao gx=btem trs solues distintas?

(A) -, 3 (B) -2,+ (C) -2, 3 (D) -2, 3

644) Na figura est parte da representao grfica de umafuno g de domnio R e contnua em R\0.

Considere a sucesso de termo geral un=1n

Indique o valor de limx +g(un) .

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(A) + (B) 0 (C) 1 (D) 2

645) Na figura est desenhada parte da

representao grfica de uma funo f, cujo domnio R\1.

A recta de equao x=1 uma assimptota vertical do grfico def.

Considere a sucesso de termo geral xn=1+1n

Seja un=f(xn)

Qual das seguintes afirmaes verdadeira?

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(A) limun=- (B) lim un=+ (C) lim un=1 (D) No existe lim un

646) Na figura est desenhada parte

da representao grfica de uma funo f, cujo domnio R\2.

As rectas de equao x=2, y=1 e y=0 so assimptotas de grficode f.

Seja xn a sucesso de termo geral xn=2-n2

Indique o valor de limf(xn)

(A) + (B) 0 (C) 1 (D) -

647) Na figura est representada parte do grfico de uma funog, de domnio R, contnua em R\3.

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As rectas de equao x=3

e y=-4 so as nicas assimptotas do grfico de g.

Seja xn uma sucesso tal que limg(xn)=+

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Qual das expresses seguintes pode ser o termo geral de xn?

(A) 3-1n (B) 3+1n (C) -4-1n (D) -4+1n

648) De duas funes, f e g, sabe-se que:

O grfico de f uma recta, cuja ordenada na origem igual a 2;

O grfico de g uma hiprbole.

Nas figuras seguintes esto representadas parte dessa recta eparte dessa hiprbole.

A recta de equao x=1 assimptota do grfico de g.

Indique o valor de limx 1+f(x)g(x)

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(A) 0 (B) 2 (C) + (D) -

649) Na figura est parte da

representao grfica de uma funo f, de domnio R.

Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a recta de equao y=1 soassimptotas do grfico de f.

Seja g a funo, de domnio R, definida por gx=lnf(x).

Numa das opes seguintes est parte da representao grfica

de g. Em qual delas?

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650) Na figura est parte da representao grfica de uma

funo f, real de varivel real.

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Qual das afirmaes seguintes verdadeira?

(A) limx 31f(x)=0 (B) limx 31f(x)=12 (C) limx 31f(x)=-12 (D) No existe limx 31f(x)

651) Na figura est parte da representao grfica de umafuno g, real de varivel real. Tal como a figura sugere, a rectade equao x=1 assimptota do grfico de g.

Seja h:R R a funo definida por hx=x-1.

O valor do limx 1h(x)g(x) :

(A) - (B) + (C) 0 (D) 1

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representao grfica de uma funo f, de domnio -, 1, contnuaem todo o seu domnio. Tal como a figura sugere, tem-se:

O grfico de f contm a origem do referencial;

As rectas de equao y=0 e x=1 so assimptotas do grfico de f.

Em qual das opes seguintes poder estar representada partedo grfico de 1f ?

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653) Na figura est parte da representao grfica de umafuno f, de domnio 0, +. A recta r, de equao y=13x+2 assimptota do grfico de f.

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Seja h a funo definida em 0, + por hx=xf(x)

O grfico de h tem uma assimptota horizontal.

Qual das equaes seguintes define essa assimptota?

(A) y=13 (B) y=12 (C) y=2 (D) y=3

654) Na figura est parte da representao grfica de umafuno f, de domnio -, 2.

A recta t, de equao y=-x-1,

assimptota do grfico de f quando x tende para -

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Qual o valor de limx -(fx+x+1) ?

(A) + (B) 1 (C) 0 (D) -1


representao grfica de uma funo g, de domnio R e contnuaem R\-2.

As rectas de equaes x=-2 e y=1 so as nicas assimptotas dogrfico de g.

Seja xn uma sucesso tal que limn +g(xn)=+

Qual das seguintes expresses pode ser o termo geral dasucesso xn ?

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(A) 1-1n (B) 1+1n (C) -2-1n (D) -2+1n

656) Na figura est parte da representao grfica de uma

funo f, de domnio R, sendo a recta de equao y=-1 a nicaassimptota do seu grfico.

Qual o valor de limx -3f(x)

(A) 3 (B) -1 (C) -3 (D) -

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657) Na figura est representado o grfico de uma funo f, dedomnio R+.

Tal como a figura sugere, a recta de equao y=1 assimptotado grfico de f.

Indique o valor de limx +lnxx-f(x)

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) +

658) De uma funo g, de domnio R+, sabe-se que:

limx 0g(x)=- e limx +gx-x=0

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Em cada uma

das alternativas apresentadas abaixo, est representado o grficode uma funo e, a tracejado, uma assimptota desse grfico. Emqual das alternativas pode estar representado o grfico de g?

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659) Na figura esto representadas parte do grfico de uma

funo f, de domnio -3, +, e parte da recta r, que a nicaassimptota do grfico de f.

Qual o valor de limx +f(x)x

(A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2

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660) A representao grfica de uma funo g :

Podemos ento concluir que:

(A) g'1=0 (B) g'1=+ (C) g'1=1 (D) no existe g'1

661) Na figura abaixo esto representadas:

Parte do grfico de uma funo f diferencivel em R;

Uma recta r tangente ao grfico de f no ponto de abcissa 3.

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O valor de f'3, derivada da funo f no ponto 3, pode ser igual a

(A) -1 (B) 0 (C) 1f(3) (D) 1

662) Na figura junta est a representao grfica de uma funoh e de uma recta t, tangente ao grfico de h no ponto de abcissaa.

A recta t passa pela origem do referencial e pelo ponto decoordenadas 6, 3.

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O

1000 exerccios-12ano

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