1000 problemas de fisica general - j. fidalgo y m fernandez

7/21/2019 1000 Problemas de Fisica General - J. Fidalgo y M Fernandez

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J. A. FIDALGOM. R. FERNNDEZ

O

o o

Mecnica

Electricidad

Electromagnet ismo Ondas

Electrnica

Relatividad

Radiactividad

Termodinmica


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1 000 PROBLEMAS DEFSICA GENERAL


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Autores: Jos A. Fidalgo SnchezM anuel R . Fernndez Prez

Coordinacin editorial:Juan Carlos Carrascosa Calpena

Nlaquctacin: Francisco Fontecha Al/er

Ilustraciones: Jos Luis GinerArchivo Everest

Diseo de cubierta: Alfredo Anievas

Fotografa de cubierta: AGFFotostock

No est permitida la reproduccin total o parcialde este libro, ni su tratamiento informtico, ni latransmisin de ninguna forma o por cualquiermedio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia,

por registro u otros mtodos, sin el permiso previoy por escrito de los titulares del Copyright.Reservados todos los derechos, incluido el derechode venta, alquiler, prstamo o cualquier otra formade cesin del uso del ejemplar.

OCTAVA EDICIN, segunda reimpresin, 2004

Manuel R. Fernndez. Prez,Jos A. Fidalgo Snchez y

EDITORIAL EVEREST, S. .

Carretera Lcn-l-i Corua. km 5 - LEONISBN: 84-241-7603-0Depsito legal: LE. 400-2001Printed in Spain - Impreso en Espaa

EDITORIAL EVERGRFICAS. S. L.Carretera Len-La Corua, km 5LEN (Espaa)


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PRESENTACIN

E l estudio de la Fsica, ente ndid a en una de su s prim eras definic io nes c o m o Ciencia de la m edida, exige siem pre u no s criterios cuan titativos a la ho ra d e plantear, desarro-

llar e interpretar los m ltiples fen m en os de la Naturaleza, objetivo ltim o de todainvestigacin. Nada m s significativo qu e lo expresado p o r lord Kelvin en el siglo X IX

y h o y tan actual c om o entonces:

Suelo decir con frecuencia que cuando se puede m edir aquello de q ue se habla y expresarlo en n meros, se sab e algo de ello: pero nuestro saber es defi-

ciente e insatisfactorio mientras no so m o s capaces de expresarlo en nmeros; lo dem s pued e s igni ficar el co m ienzo del conocimiento, pe ro n uestros con-

ceptos apenas habrn avan zado e n el cam ino de la ciencia, y esto cualquiera

que sea la materia d e q ue se trate.

L a enseanza d e la Fsica, evid ente mente , obliga, com o p u n to d epartida , a la adqui-si ci n de uno s conte nidos te ricos cuya clarid ad conceptu al s irva d e soporte a la hora de interpretar y solucionar cua lquier pro blem a propuesto; prob lema que, en definit iva,no es otra cosa qu e una po sible situacin real ms o m eno s idealizada en la que, para

fa cil itar la so lu ci n, se ha p rescin did o, o se han controla do, alg unas variables.

Este m n im o d e contenidos, c o m o d ice lo rd Kelv in , s ignif ica e l com ienzo del con o-

cimiento; pe ro resulta insuficiente s i n o con du ce a un a interpretacin cuantitativa del

fen m en o (problem a) objeto d e estu dio .Con frecuencia asistimos, un tanto atnitos, al asom broso espectculo de ver cm o

alum nos d e Bachillerato, e incluso de p rimer os cursos d e carreras universitarias, pr e-tenden enfocar los prob lem as de Fsica co m o si se tratara d e u na sim ple y directa apli-

cacin de frm ulas vacias de contenido, o, lo q ue es m s grave, sin intentar siquiera labsqueda de un a correcta interpretacin d el fen m en o y del significado fsico de los

resultados obtenidos.A l p lantearse la confe cci n de este libro , com o m aterial d e apoyo a los estudia ntes

de Fsica General, he m os preten dido consegu ir tres ob jetivos bsicos:

O frecer una com prens in e interpretacin lgicas de la realidad fsica, dan do una visin pan ormica de aquellos m ode los y teoras de m ay or inters cientfico.

P oner a l lecto r en conta cto con aquellos proble m as que, d e hecho, so n o pueden ser situacio nes reales, explicita ndo s u trata miento c onceptual y su signif icado f s i-

co tanto en el pro ceso d e desarrollo co m o en los resultados obtenidos.

Fom enta r una m anera de p ensar seria, razonada y crtica.5


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Para e llo h em o s ten ido m u y en cuenta lo s s iguie nte s cr iterios:

Una evaluacin objetiva del niv el de conocimientos, tanto f s icos co m o m atem -ticos, exigiles a los alumnos que pretenden acceder a niveles superiores en el

estu dio de la Fsica.

E vitar, e n la m ed id a de lo p osib le , e l crear una im agen fa ls a , p o r supu es to de

qu e la Fsica es una ap licac in sin m s de las Ma temticas; insistiendo, eso si ,en la neces idad de un lenguaje matem t ico para a lcanzar los obje t ivos propu es-

tos.

Para facil itar la seleccin de cuest iones y prob lem as a los a lum nos de 2 . "curso

de Bachil lerato, se ha n sealado c on un asterisco aquel las y aq uel los q u e ha n sido p ro pu esto s e n sucesiv as convocatoria s d e E xa m en d e Sele ctivid ad en divers as

Universidades.

E s n uestro d eseo q u e tanto a pro fesores co m o a a lu m n os le s sea til es ta public aci n,

esperando que sea acogida tan favorablem ente com o lo han s ido nues tros anter iores tra-

bajos. A su gen erosidad e inters apelam os de nu evo pa ra recibir todas las sugerencias

qu e est im en conven iente indicarnos: tengan la seguridad d e qu e las aceptaremos co n el

m xim o agradecimiento .

LOS AUTORES


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1. ANLISISDIMENSIONAL.LA MEDIDA. ERRORES.

FORM ULAR IO MATEM TICO (REPASO)

b

* T ; 1

cos a = ; ctg a =

| s en2a + eos2 = l |

0 30 45 60 90 180 270

sen a 0 1/2 V2/2 V5/2 1 0 - 1

eos a 1 V /2 Z2/2 1/2 0 - 1 0

t g a 0 I 3 co 0 -0 0

c t g a 00 V T 1 0 -co 0

sen (a b) = sen a eos b eos a sen b sen 2a = 2 sen a eo s a

eos (a b) = eos a eos b + sen a sen b eos 2a = eos2 a - sen2 a

! g ( a b) tg a Ig b

lg 2a2 t g a

1 + tg a tg b 1 tg2 a

du = ^ - d xdx

fd u = u + Cd (au) = a du Ja d u = a J d u + C

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1. AN LISIS D IME N SION AL .LA MEDIDA. ERRORES.

1.1. Explica brevem ente la diferencia entre observaci n y experim enta ci n.

Solucin: La observacin consiste en el estudio del fenmeno tal como severifica en la Naturaleza, interviniendo normalmente todas las variables que

pueden influir en l. La experimentacin consiste e n el estudio del fenmenoreproducido artificialmente, controlando en cada proceso las variables queinteresa estudiar.

1.2. Q u e en tiendes p o r m odelo ? Expl ca lo con un eje mplo .

Solucin: Un modelo es una interpretacin lgica y, por tanto, vlida deun fenmeno. No se pretende que el modelo sea la verdad, sino que interprete satisfactoriamente lo observado.

Ejemplos: Los modelos atmicos (Dalton , Bohr, Rutherford, etc .); elmodelo del calrico (naturaleza del calor); modelos acerca de la naturalezade la luz; modelos acerca del porqu de la electrizacin, etc.

1-1. ha y teoras objetivas, sino explicaciones validas. Q ue qu iere decir esto? E x-plcalo con un ejem plo .

Solucin: El investigador debe estar convencido de que slo puede conoce r la realidad subjetivamente. Po r tanto, todas las conclusiones que obtengaen sus observaciones sern subjetivas; lo cual quiere decir que sern satisfactorias y vlidas durante un determinado perodo histrico. Al descubrirsenuevos fenmenos y al mejorar los mtodos de observacin esas teoras de

bern ser corregidas o modificadas.

1.1. Q ue vena la s ti ene el t n itor la tuerza i on io m n itnitu d fu n dam enta l? ' el inulto lo maso ' Raznalo con m i ejemplo

Solucin: La fuerza es fcil de determ inar con un dinam metro, pudiendoreproduc irse su unidad con relativa facilidad. La masa ofrece la ventaja de su

prctica invariabilidad.

Solucin: Cuando se expresa una medida debe indicarse cuntas vecescontiene a la unidad empleada y cul es esta unidad. Asi, no puede decirseque la masa de un cuerpo es 5, sino 5 g o 5 kg, etc.

Solucin: La ecuacin de dimensiones representa la dependencia que existe entr e una magnitud derivada y las fundamentales. E sta dependencia la ex

presa en sus dos aspectos: cualita tivo y cuantitativo. Las ecuaciones de d-

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mensiones sirven para comprobar la homogeneidad de las frmulas fsicas,as como para deducir algunas de ellas.

1.7. Hallar la ecuacin de d im ensiones de la super fic ie de una lmina rectangular dedimensiones a y b.

Solucin: Como S = a b, y tanto a como b son longitudes.

| [S| = L L = L2 |

1.8. Hallar la ecuacin de dimensiones de la velocidad.

Solucin: Como v = resulta.j [v] = LT~~|

1.9. H allar la ecuacin de dimensiones de la aceleracin.

V V V [------------------------I T lSolucin: Ya que a = ----- = = , tenemos que: |(a] - LT~*[

Esia ecuacin de dimensiones significa que la aceleracin es directamenteproporcional a la longitud e inversamente proporcional al cuadrado deltiempo.

1.10. Calcular las ecuaciones de dimensin de las siguientes magnitudes: ai trabaja; b) potencia; c) presin.

Solucin:

a) Como W = F s eos 9, resulta:

[W] = [F s eos 9] = (m a s eos 9) = MLT~2 L = 1ML^T-2!

b) Ya que P = -y - y |W | = ML*T'! , resulta:

[P] = MLl-r J = ! ML^r-|

c) Sabemos que p = -y -. Como |F | = MLT-2 y [S] = L . se obtiene:

(p) = = |m l t - 2|

1. 11. Q u ecuacin de dim ensiones tien en las razones trigonomtricas?

Solucin: Como las razones trigonomtricas son el cociente entre dos longitudes. carecen de dimensiones.

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1.12. Q u ecuaci n de dim ensiones tiene e l nm ero ~?

Solucin: El nmero r.viene dado por el cociente entre la longitud de unacircunferencia y su dimetro. Por consiguiente, al tratarse de un cociente en

tre dos longitudes, carece de dimensiones.

1.13. (*) Com probar que las dimen siones de la energa cintica so n las de u n trabajo.

Solucin: La ecuacin de dimensiones del trabajo es: (WJ = M L'T-2(vase problema 1.10). y la de la energa cintica:

[Ecl = [ 4 - m v ] = M


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b) Utilizando los conceptos de carga, potencial y energa elctrica,resulta que estas magnitudes estn relacionadas mediante la

Wexpresin: V = ~ q - . por lo que es evidenic que el producto de

una carga por un potencial tenga las dimensiones de una energa.

1.16. E s correcta o err nea la expresin T = Para e l periodo d e un

pndulo lea la que T representa un tiempo: I, una longitud, y g . una acele ra-cin)?

Solucin:

|T] = T;

[ V r J - V ^ - ^La ecuacin es homognea y. en principio, pudiera ser acepta

ble , pero es errnea, deb ido a que falta en ella el coeficiente numri

co 271. La frmula correcta sera: T = 2 . Estos coeficientes

que no afectan a la homogeneidad de una frmula reciben el nombre de

coeficientes adimensionales.

Tardamos si u frm ula del periodo deI pendido

( orno se podra saber cul de las dos e \ la correcta'/

Solucin: Comprobando cul de las dos es homognea; es decir, con los

dos miembros dimensionalmente iguales. Procediendo de esta forma (verproblema anterior), vemos que la prim era frmula es la correcta.

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Solucin: Dicha frmula, expresada dimcnsionalmente. es:

MT~2 = MT~2 + M L -'T "2


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Por tanto, no es correcta, ya que carece de homogeneidad, puesto que elsegundo sumando de la derecha no tiene iguales dimensiones que los otrosdos.

Para que fuese correcta, se podra multiplicar este segundo sumando poruna longitud, con lo que quedara de la forma siguiente:

- 2 - 5 - = p . I + 1,5 p _V_ (V = volumen)

o bien:

-J2J-2- = p . , + 1,5 _ID_

1.19. (*) E n el Sistema Internacional (SI) el valor numrico de la constante de gra-vitacin universal es 6,67 0 . Obtener su valor numrico en un sistemaen el que las unidades fund am enta les sean e l kilmetro, la tonelada y la hora.

Solucin: La expresin matemtica de la ley de gravitacin universal es:

donde G = 6,67 10

Por consiguiente:

kg2

G = 6 ,67 . 1 0 - L = 6,67 1 0 - kg ^kg2 kg2

1(1' kg / 3 .6 - O3 \ 2

1 ton \ 1 h / ton h2

1.20. (*) El valor num rico de la permitividad elctrica ( c j en el vacio es 8,85 10 en e l V/ )htni;ti\e m i \ alor en u n sistema cuyas unidades fun da m en tales seckilmetro, tonelada, hora v culombio.

Solucin: La expresin matemtica de la ley de Coulomb es:

1 O , Q2Ar.t

c

donde t = 8.85 1 0 '12 N m2

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s = 8,85 10-12 N m2

3,6 10-' s

1 h 103 m

1 km

1.21.


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conduciendo la resolucin del sistema a: p = 3/2; q = 1/2; r = 1/2.Con ello, el perodo de revolucin del planeta vendr dado por:

T - k - (2a) M , -* G -W . fc N/8 -

' VEl coeficiente adimensional k' vale 2-.

Queda con esto demostrado que el perodo de revolucin depende de lalongitud del semieje mayor de la rbita, de la masa del Sol y de la constantede gravitacin universal. G.

1.25. Co n una balanza ha s obtenido los siguientes valores a l determinar la ma sa de un cuerpo: 2,350 g; 2,352 g; 2,348 g. y 2,350 g. Cul es el valor m s probable ocorrecto?

Solucin:

a = 2.350 g + 2.352 g + 2.348 g + 2.350 g =

1.26. E l error absolu to n o in dica la precis in de una medida. Q u quiere decir esto?P on u n ejemplo que lo explique.

Solucin: El error absoluto solamente indica la cuanta del error; pero nosi la equivocacin puede ser aceptable o no. As. por ejemplo, equivocarseen 5 m al medir una longitud de 10 m es un error inaceptable; mientras queesc mismo error (5 m) en una medida de 100 km apenas se aprecia.

1.27. P la nteay resuelve dos ejercicios don de tenga s que c alcular el error absoluto y elerror relativo cometidos a l efectuar un a medicin.

Solucin:a) La longitud de una mesa es 112.8 cm. AI medirla hemos obtenido

113,4 cm. Hallar el error absoluto y el error relativo cometidos.

x = m, - M = 113,4 cm - 112.8 cm = | 0,6 cm (por exceso) [

0,600 = 100 = 0,05 '

l .29. E s aceptable tlar a g el valor de 10 m r , en vez de 9.S I mis2? Razona la contes-tacin.

Solucin: Ser aceptable si el error relativo cometido no supera el 2 %.

x, = m. - M - 10 ny/s2 - 9,81 ny/s2 = 0,19 m/s2 (por exceso)

0,19 m/s2X, = 100 = VV - 100 = 1.94 % < 2 %

M 9,81 nVs2 1--------------------1

Por tanto, s es aceptable.

1.30. Un alum no A mide la longitud de un hilo de 5 m y halla u n valor de 6 m . (Uroalum no B mide la longitud de un paseo de 500 m y halla un valor de 501 ni.Q u error a bsolu to se cometi en cada caso? Q u med ida fu e m s precisa?

Solucin: Ambos alumnos cometieron el mismo er ro r absoluto: 1 metropor exceso, y la medida ms precisa fue la del alumno B, ya que cometi unerror relativo menor.

Alumno Error absoluto Error relativo

A 1m exceso - i- 100 = 20 %

B 1m exceso - ~ r io = o,2%

1.31. Q u medida es ms precisa: la de un qum ico que pesa 20 cg con una balanzaque aprecia el miligramo o la de un tendero que pesa 2 kg de arroz con una balanza qu e aprecia el gramo?

Solucin: Ser ms precisa aquella pesada cuyo error relativo sea menor.

Para el qumico: = 2 0 0 ^ 100=

Para el tendero: x , , = 2 ^ g 100 = 0.05 % .

Por tanto, es ms precisa la medida del tendero.

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Ip recis i n: la de un n in a d e .idi

Solucin:

Para el nio:

Para el hombre:

30 meses

1 ao38 aos -

Por consiguiente, la edad del hombre ten dr dada con mayor precisin.

Solucin: Como x,m i = 100. se ha de cumplir que:

- - - 100 < 0 . 1

de donde:x ,< 0.00314...

El erro r absoluto ha de afectar a la tercera cifra decimal. Por tan to, debemos tomar r.con tres cifras decimales.

- s o n cuantas ei/ ras decim ales dchenw sam el lan sea m eno r d e l n.Oi t

Solucin: Anlogamente al problema anterior:

^ - 100 < 0,01V T

de donde:

X| < I M F < O-000173 -

Po r consiguiente, debemos tom ar V3 con cua tro cifras decimales.

1.35. E xp resa r correctam en te las siyu ientes m edic io nes:

ai 12.11= 11.0551 m : bi l lJ .J d b ~ I l .l l .l6h y;ci 157 0.551 s: d> 15.2 5957 1 0.110751 ky.

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Solucin:

a) (2,80 0.06) m;

c) (37,0 + 0,6) s;

b) (13.45 0.04) g;

d) (3.289 0.008) kg.

Mediciones Errores, X , W *:

4,556 m m 0.001 0,000001 0 ,2 %c

4,559 m m +0,002 0,000004 0,4 %*

4.553 m m 0 .0 0 4 0,000016 0,9%*

4,561 m m +0,004 0,000016 0.9%*

4,562 m m +0,005 0,000025 1,1%*

4,555 m m 0 .00 2 0,000004 0,4 %o

4,557 m m +0,000 0,000000 0,0%*

4.553 mm 0.0 04 0,000016 0,9%*

4,556 m m 0,001 0,000001 0,2%*

4,558 m m +0,001 0,000001 0,2%*

M = 4 ,5 57 m m2Jr,-| = 0.024

3 ^ 0,0024= 0,000084

S ,= 0 , 5 % * =

0.0024 ,

4,557 ' 00

C o m o se deb e exp resa r e l resallado f in a l d e las m edicio nes?

Solucin: El error probable de una medicin aislada es:

0.6745 = 0 002 ,

y el erro r probable del resultado ser: 0,0007.

Expresaremos, por tanto, el resultado final de la forma:

(4,557 0,0007) mm

Del concepto de error probable se deduce que hay un 50 % de probabilidades de que el verdadero valor del resultado final est comprendido entre4,5563 mm y 4,5577 m.

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1.37. Se han hecho las siguientes pesadas con una balanza:

2.4682 g 2,4716 g 2.4682 g 2.4700 g2.4670 g 2.4670 g 2.4666 g 2.46VH g

2.4686 g 2.4686 g 2.4694 g 2.4680 g2.4702 g 2.4694 g 2.4690 g 2.4696 g

Cmo debem os expresar e l resul tado f in a l de la pesada?

Solucin: Tabulemos los dalos anteriores:

Medidoras Errores, s, W* n

2.4682 g -0.0010 0,00000100 0 , 0 4 %

2.4716 g 0,0024Q.00000576 0 . 1 0 %

2.4682 g -0,0010 0,00000100 0 . 0 4 %

2,4700 g 0,0008 0,00000064 0,03 %

2,4690 g -0.0002 0,00000004 0,01 %

2.4690 g -0.0002 0.00000004 0,01 %

2,4686 g -0 ,0006 0.00000036 0 .0 2 %

2.4698 g 0,0006 0.00000036 0 ,0 2 %

2.4686 g -0 .0006 0.00000036 0,02 %

2,4686 g -0,0006 0.00000036 0 .02%

2.4694 g 0.0002 0,00000004 0,01 %

2.4680 g -0 .0012 0,00000144 0 ,0 5 %

2.4702 g 0,0010 0,00000100 0 ,04%

2,4694 g 0,0002 0.00000004 0.01 %

2,4690 g -0,00020.00000004 0,01 %

2,46% g 0,0001 0.00000016 0,02%

M = 2,4692 g

2 |x,| = 0.0112

j = .. 1X|L = 7 -1 0- 2|x ,|! = 1 284 10-"

S, = 0,028 % -

El error probable del resultado ser:

x = 0.6745 l2 f64 .' |15l! - > * ,0 ' 4 0-"002

Expresaremos, por tanto, el resultado final de la forma:

[(2.4692 0,0002)7]

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1.38. A l p esa r 20 veces consecutivas un dete rmin ado obje to con una bala nza de pocaprecisin se han obtenid o los s ig uiente s resultados en g ram os: 25. 26. 24, 24. 26,22, 27. 2 5, 25, 24. 25. 23. 28. 24, 23 , 24, 24 . 25, 27, 23.

a) Co nstruir la tabla de frec uen cias , tanto absolutas como relativas.b) Determ inar el valor medio de las mediciones.

c) Ind ica r los valores correspondientes a la mediana y a la muda.d) Co nstruir el diagrama de barras y el histograma correspondiente.

Solucin:

a)TABLA DE FRECUENCIAS

Mediciones Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

1 0.05

3 0.1565 0,252 0.102 0,10

28 g 1 0.05

b ) El valor medio de las mediciones se puede obtener as:

M = ~ ~ ~ ~ ~

= (22 g-l) + (23g-3) + (24g-6) + (25g-5) + (26g-2) + (27g-2) + ( 2 8 g l)

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c) La mediana es 25 g y la moda 24 g.

d) En la figura 1.1 podemos ver el diagrama de barras y en la 1.2 el correspondiente histograma.

JZL22 23 24 25 26 27 28(91

f g . 1.1

22 23 24 25 26 27 28 191Fig. 1.2

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1.39. (*) Sobre un cuerpo qu e pesa (3.75 0,03) kg s e aplica una fuerza d e 12,6 iV.valor escrito con todas sus cifras correctas. Cul es, escrito correctamente, elvalor d e la aceleracin que adquiere?

Solucin: Si el cuerpo pesa (3,75 0.03) kg, ello implica que su masa es(3,75 0,03) kg. La aceleracin que dicho cuerpo adquiere al actuar sobrel una fuerza de 12,6 N es:

Para calcular el error absoluto cometido en la determinacin de la aceleracin tomamos, en primer lugar, logaritmos neperianos en los dos miembrosde la expresin de la aceleracin, obteniendo:

Por tanto, la aceleracin que adquiere el cuerpo, escrita correctamente,es:

1.40. Las dim ensio nes de una sala , med idas con la aproxim aci n del centm etro , son:5,45 m ; 4,05 m; 3,25 m . H allar el volumen d e dicha sala con todas las cifrasexactas.

Solucin: Llamemos a. b y c a las dimensiones de la habitacin. El volumen ser:

V = a b c = 5,45 m 4,05 m 3,25 m = 71,735625 m3

Calculemos ahora el error absoluto cometido en la determinacin del volumen. Tomando logaritmos neperianos en los dos miembros de la expresinV = a b c, tenemos:

In a = In F - ln m

La diferenciacin de la anterior expresin logartmica conduce a:

da dF _ dmF m

Reemplazando las diferenciales por los errores absolutos, tenemos:

Aa _ AF Am c + ~F mDe aqu que:

a = 0,0159 3,36 mjs1= 0,053 m/s2 = 0,05 m/sJ

a = (3,36 0,05) ny's1

In V = In a + In b + In c

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1.43. (*) Se t ienen do s fuerz as de 5 ,45 y 3 ,26 kp , expresadas con todas sus c ifrascorrectas, y cuyas l ineas de accin fo rm a n entre s i un n gu lo de 90c. Cu l es el valor, con todas sus ci fras correctas, que debe tener u na tercera fue rza para que.con las dos anteriores, produzca equilibrio sobre el cuerpo que acte?

Solucin: La fuerza ped ida. P, ha d ten er el mismo mdulo y la mismadireccin, pero sentido contrario que la resultante de las dos fuerzas dadas.Por consiguiente, dicha fuerza valdr (fig. 1.3):

Fig. 1.3

F = Vf? + ff = V(5,45 kp)2 + (3,26 kp)2 = 6,3505984 kp

Para calcular el erro r absoluto cometido en la determinacin de la fuerzatomaremos logaritmos neperianos en los dos miembros de la expresin ante-

In F = - i - In (ff + f)

Diferenciemos ahora. Se obtiene:

1 d (ff + f |) _ I 2f, - df, + 2f2 df? f, df, + f2 df2

2 ff + f | 2 ff + f | F2

Reemplazando las diferenciales por los errores absolutos, llegamos ;

AF f, Af, + f2 Af2

D e aqu:

f, Af, + f2 f2 5,45 kp 0,01 kp + 3,26 0,01 kp______

,AF = ------------F-------------" ~ 6,3505984-kp-------------~ = '0137 kP

Por tan to, el valor de la fuerza, escrito con todas sus cifras correctas, es:

[ F = (6,35 0,01) kp

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1.44. (*) C u l es e l va lor en newlo ns, escri to corr ectamente , de la f u erza centrifugacuando se trata de un cuerpo que pesa 4,25 kg, que se mueve uniformemente

sobre una circunfe rencia de 35 ,7 cm de radio ta m bos va lores expre sa dos contodas sus cifras correctas), si la velocidad que lleva, medida varias veces, haconducido a los valores de 33 ,6: 34,1; 35,2; 33 .3; 34.1; 32 ,5 cm s '?

Solucin: El valor medio de la velocidad es:J. XXS\

- = 33,9 cm/s(33,6 + 34,1 + 35,2 + 33,3 + 34,1 + 32,8) cm/s

6

y su er ror absoluto medio:

(0,3 + 0,2 + 1,3 + 0,6 + 0,2 + 1,1) cm/s: 0,6 cm/s

Por otra parte:

Fc = m = 4,25 kg = 1,3681 N(0.339 mjs)2

0,357 m

Tom ando logaritmos neperianos en la expresin anterior y diferenciandoa continuacin, se obtiene:

dFc _ dm ^ 2 dv drln Fc = ln m + 2 ln v - ln r;

Reemplazando las diferenciales por los errores absolutos, llegamos

AFC Am 2Av Ar __ 0,01 kg 2 - 0,6 cm/s~ F C m - "* v "* r 4,25 kg + 33,9 cm/s

+ Cm = 4,055 I0 235,7 cm

De aqu que:

Fc = 4,055 1 0 '2 1,3681 N = 0,05548 N = 0,06 N

Por tanto, el valor de la fuerza, escrito correctamente, es:

Fc = (1,37 0,06) N

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2 . INTRODUCCIN AL

CLCULO VECTORIAL

F O R M U L A R I O - R E S U M E N

( A = AJ + A y J + Aje

Vector A < _( A (A ,, A,, A,)

Mdulo: A = V a * + A * + A*

COSENOS DIRECTORES

A, A y A ,eos a = eos ? = eos Y =

A = A , 7 + A , j + Aj

B = B ,7 + B , j + B ,k

PRODUCTO ESCALAR

A B = A - B cosO= AxBx + A , B , + A XB X

- r c e o s

PRODUCTO VECTORIAL

7 7 IP = A A B = Ax A, A,

B , B y B ,

P = A B sen 0; = P ; Stnnulo = ~ 2~ P

PRODUCTO MIXTOA x A y A ,

A (B A C ) = B x B , B , = Vo lum en del pa raleleppedo determinado por

C , C C, ls tres vectores.

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M O M E N T O D E U N V E C T O R R E S P E C T O A U N P U N T O

M = r A A ; (r vector de posicin con respecto a dicho punto del punto de aplicacin del vector A).

M = A d ; (d = distancia mnima del punto de referencia a la recta de accin de A).

t e o r e m a d e V A R tG N O N : M B = X M A , s i e n d o = X A,

D ERI V A D A D E U N V ECTO R RES P EC TO A U N ES CALA R

Si R = R ( t) = R , (t) T + Ry (t) T + R, (t) k,

dR R dR, , , dR, , dRz r= = - d r ' + - ^ ' + - d r k


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2 . INTRODUC CIN AL CLCU LO

VECTORIAL

2.1. Ide ntifica r e l carcte r vecto ria l o escala r de las sigu ien tes m agnitudes fsicas: m asa, trabajo, velocidad, peso, potencia mecn ica, f lu jo , intensidad de corrien-te. presin y aceleracin .

Solucin: Son magnitudes escalares: masa, trabajo, potencia mecnica,flujo, intensidad de corriente y presin. Vectoriales: la velocidad, el peso y laaceleracin.

2.2. E s posib le q u e la sum a de dos vectores de m dulos 5 y 7 sea otro vecto r dem dulo 2? Y de mdu lo 0?

Solucin: Si se trata de dos vectores de la misma direccin y de sentidoscontrarios, el vector suma tendr por mdulo 2. En cambio, nunca es posible que el vector suma sea nulo.

2.3. E x iste a lg n caso e n q u e e l producto de dos vecto res d e m dulo s 10 y 25 sea nulo?

Solucin: Habr que distinguir dos casos, segn que se trate de un producto escalar o de uno vectorial.

a) El producto escalar de dos vectores es nulo si ambos son perpendiculares.

b) En cambio, el producto vectorial ser nulo si los dos vectores sonparalelos.

2.4. Q u m agnitudes f s ic a s pued en defin ir se com o un producto escala r? Y como un producto vectorial?

Solucin: Se pueden definir mediante un producto escalar el trabajo(W = P s). el flujo elctrico (4 = E S), el flujo magntico (4 = B ^S),etctera, y mediante un producto vectorial_el momento de una fuer/a (M == r A P), el momento cintico (L = r A mv), etc.

2.5. P o r q u una fu e rz a cu and o se desp la za parale la m ente a s i m ism a no realiza trabajo?

Solucin: Porque, al ser perpendiculares los vectores fuerza y desplazamien to. su p roducto escalar, que corresponde al traba jo, es nulo.

2.6. C m o se podria representa r vecto rialm ente e l m ovim iento d e l m inute ro de u n reloj?

Solucin: Por medio de un vector axial perpendicular al plano del reloj,sentido el que determine la aplicacin de la regla de Maxwell y de mdulo:

w rad/s


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Solucin:

Si a = 30 (fig. 2.2):

R = V F i + F + 2 F ,F2 eos a =

= 9 N)2 + (12 N)2 + 2 9 N 12 N = |2 0 ,3 n |

Fig. 2 .2

b) Cuando = 45 (fig. 2.3):

Fig. 2 .3

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R = V F i + F l + 2 F ,F2 eos o =

= V (9 N)2 + (12 N)2 = [TJ ] Fig 2 4 0 T

l l n c o m p o n t r " " v e cl .ir l u c : : i r ih n \ r/i

rriiiiinii, in ri rccloilgii!arc\ luir, qtu \n \ m od uln s sn n t igiwU1*.

Solucin: Para que las componentes rectangulares sean iguales, la fuerza de 100 Ndebe formar un ngulo de 45 con cada unode los ejes (fig. 2.6). Por tanto:

F = Fy = 100 N - sen 45 = | 70.7 N

O tambin:

y como F, = Fy. resolviendo el sistema, se obtiene:

\ y (9 N)2 + (12 N)2 2 9 N 12 N

c) Si i = 90 (fig. 2.4), resulta:

r = V fF T f | =

Solucin: C om o R = V F 2 + F2 (fig.2.5), resulta:

F2 = V R 2 - F? =

= V (1 0 N )2 - (8 N)2 = [ N | Fig. 2.5

Fig. 2 .6

V F 2 + F2 = 100 N

| F . = Fy = 70,7 N

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2.13. Dos vectores A y B vienen expresados por:

A = 3 1 + 4 J + k ; B = 4 1 5 j + 8k

Deducir s i son perpendiculares.

Solucin: Dos vectores son perpendiculares si^su producto escalar es nulo.Por tanto, calcularemos el producto escalar A B:

B = A*BX+ AyBy + AZB, =

= 3 4 + 4 (- 5 ) + 1- 8 = 12 - 2 0 + 8 = 0

En consecuencia, ambos vectores son perpendiculares.

2.14. Calcu lar los mdu los y los cosenos directores de los vectores anteriores.

Solucin:

= 10.58831

= 10.7844)

= 10.1961 I

Para el vector A

eos f '

* = V 3 2 + 42 + l2

V42 + (-5)2 + 82

A. 3

A V EAy 4

A V EA, 1

A V E

B, 4

B VTD5

B> - 5

B V I05B, _ 8

B V5

= 0,3904

2.15. Dados los vectores A (3 , 2 , 01 y t (5 , / . 2), deducir: ai sus mdul>pro ducto esc ala r y c) e l ngulo que form an.

Solucin:

a) A = V 9 + T = 1V l3 1 ; B = V25 + 1 + 4 = |V3C]

b) A B = 3 5 + ( -2 ) 1 + 0 (-2 ) = 15 - 2 = [ ]

A B _ 13c) eos a =

A B V - V W= 0,6583; a = are eos 0.6583 = 48.83

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2.16. D educir e l va lo r de x para que los vectores (5 , / . 2 ) y B (2. x , 6) seanperp endiculares.

Solucin: Bastar hallar el producto escalar B e igualarle a cero; puesto que si dos vectores son perpendiculares, su producto escalar ser nulo.

5 2 + 1 x + (-2) -6 = 0

de donde:

F ^ r i

2.17. H allar un vec tor cuyas compo nentes sean proporc ionales a 2 , 3 y 4 , re spec tiva -mente, y cuyo m dulo sea V 116.

Solucin: De acuerdo con los datos del enunciado, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones:

Ax _ Ay _ A,2 ~ ~ 3 T

V A j + A l + A = vTT

La resolucin de este sistema conduce a:

A, = 4; Ay = 6; A , = 8

Por tanto, el vector pedido ser:

| A = (4 T + 6 J + 8k) |

2.18. Dados los rectores: A 3 2 j + 4 k ; B 2 1 + 3 j 6:

aICalcular el produ cto escalar A B.b)Ca lcular el produ cto vectorial A AB.c) Comp robar qu e el producto vectorialA B es perpendicular a los vectores y B.

Solucin:

a) - B = 3 2 + (- 2 ) 3 + 4 (- 6 ) = 6 - 6 - 24 = |-241

b) Resolviendo el determinante:

T 7 E3 -2 4

2 3 - 6

se tiene:

P = A A 8 = 1 2E + 8 f + 9t - 1 2 f + 1 8 f + 4 t = |2 6 j + I 3k |

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c) Habr que comprobar que los producios escalares P A y P B sonnulos.

P A = 0 3 + 26 -( -2 ) + 13 4 = - 5 2 + 52 = 0

P B = 0 - 2 + 26 - 3 + 13- ( -6 ) = 78 - 78 = 0

2.19. D eterm in ar el rea deI para le logramo que defin en los vectores del p ro blema an-terior.

Solucin: El rea del paralelogramo coincide con el mdulo del productovectorial A A 8:

P = |A A B| = V262 + 132 = V676 + 169 =

= 29.1 unidades de superficie |

2.20. Los vecto res 13. I . 5 ) y B 12, 6 . 3) fo rm a n entre s i un n gulo de 111,3. Deducir e l m dulo de su pro ducto vectorial: al a p arti r de la definic in: b) re solviendo e l determinante.

Solucin:

a) A = V 3 5 + l 2 + (-S )2 = V35 ; B = V 2 2 + (- 6 )2 + 32 = 7

Deacuerdo con la definicin de producto vectorial:

|A AB| = A - B sen a = V5s - 7 sen 111,3 =

b) A 8 =i j k3 1 - 52 - 6 3

= - 2 7 - 19j - 20

A A B| = V ( 27)2 + ( - 19)2-v(-20)' = 38,60l

2.21. Los vectores A 13, 2 , -51. B 16, 4 . 01 y C 10, 7, 4) estn sometidos a esta operacin:

V= 2 + B + C

Calcular: al el mdu lo de V; bl el producto escalar V.

Solucin:

a) El vector V es:

V = 2A + 8 + C = 2 (3, 2. - 5 ) + (6. -4 . 0) + (0. 7.4 ) = (12,7. -6 )

y su mdulo:

V = V l2 2 + 72 + (6)2 = 11S.133

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b) X \> = A ,V , + AyVy + A,V , = 3 12 + 2 7 + ( - 5 ) - ( - 6 ) =

= 36 + 14 + 30 = |80|

2.22. Para qu valores de x el vector 13x3, 2 x , i x + 5)1 es perp end icular al vec-tor B 12, I , 4)?

Solucin: Para que los vectores X y B sean perpendiculares su productoescalar ha de ser nulo. En consecuencia:

3x2 2 + 2x 1 - (x + 5) 4 = 0

6x2 - 2x - 20 = 0

: = 2; = -5/3|

2.23. D educir e l producto esc alar d e los vectores A 12, I . 3 ) y B , e l cual e s sum a delos vectores C (3 , I , I ) y D 1 5 , 3 . 4).

Solucin: El vector 8 es:

B = C + 5 = ( 3 , 1 , 1 ) + ( - 5 , - 3 , 4) = ( - 2 , - 2 , 5)

Hallemos aho ra el producto escalar de X y 8:

X - 8 = 2 ( - 2 ) + 1 ( -2 ) + (- 3 ) 5 = - 4 - 2 - 15 = [^2]

2.24. H allar u n vector que sea perpendicula r a los vectores A = 4 i + 3 j + 2ky B = 3 i + 2 j + 2 k , y tal que su mdulo sea igual a 6.

Solucin: Este problema se puede resolver empleando dos mtodos diferentes:

a) Primer mtodo: Hallemos el vector A A B, que es perpendicular a A y

X a B =t T E4 3 23 2 2

= 2 1 - 2 7 -S

Para obtener un vector unitario perpendicular a X y 8 dividiremos elanterior vector entre su mdulo:

1Xa B| = V4 + 4 + 1 = 3

X a B _ 2 T - 2 J - E _ 2 e 2 1 | .

|XA B | 3 3 3 3

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El vector pedido, de mdulo igual a 6, ser:

C = 6 u = 4 7 - 4 j - 2k

Otra solucin ser el vector opuesto:- C = - 4 + 4 j + 2c

Podemos agrupar las dos soluciones del problema en una sola:

1 C =


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C = 3 l + 2 j + 4t y 5 = 2 7 + 2J+ 3c

Para calcular el rea del paralelogramo tendremos que hallar el p ro

ducto vectorial de C y B:

C A 5 =' 1 k3 2 42 2 3

= - 2 l - j + 2k

El rea del paralelogramo es el mdulo de dicho p roducto vectorial.Como:

|C A 5 | = V ( 2)2 + ( - 1)2 + 22 - 3

el rea del paralelogramo es 3 unidades.

b) Calculemos en primer lugar el rea del parale logramo O PQR (fig. 2.11),

que es igual al mdulo del producto vectorial - j A - j .

T 7 k5/2 2 7/21/2 0 1/2

En la figura vemos que S(nlnfuo

V i 2 + (1/2)2 + l2 ^ SpmfclojramoO P O R

3 unidades. Por consiguiente:

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2.26. Com probar qu e los siguientes vectores: = 3 + 2 j k , = i + 3 j Sky C = 2 i j + 4 k form an un tringulo rectngulo.

Solucin: Primero tenemos que demostrar que los vectores citados forman un tringulo, para lo cual tendr que cumplirse que uno de ellos sea laresultante o suma de los otros dos. o bien que la resultante de los tres sea

Tras sencillos ensayos, podemos comprobar que A = B + luego lostres vectores forman tringulo.

Para que el tringulo sea rectngulo tendr que cumplirse que los vectores representativos de los catetos sean perpendiculares, lo cual suceder si su

producto escalar es cero. Dado que:

B = 3 1 + 2 - 3 + ( - 1 ) ( - 5 ) = 14

A C = 3 2 + 2 (1) + (1) *4 = 0B C - 1 2 + 3 ( - 1 ) + ( - 5 ) 4 = - 2 1

se ve que el tringulo es rectngulo, ya que los vectores A y C son perpendiculares.

Se puede llegar a esta misma conclusin considerando que:

|A | = V 3 2+ 22 + (1 )2 = V i?

|B | = V i 2+ 32 + (5)2 = V35

P | = V 2 2+ ( -1 )4 + 4 2 = V2

pud iendo com probarse que B|2 - |A |2+ |C|2. de acuerdo con el leorem a dePitgoras. En consecuencia:

Los vectores A, B y C forman un tringulo rectngulo, en el que elvector B es la hipotenusa y A y los catetos.

2.27. Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 12 kmfh y la marea lo arrastra hacia el este con un a velocidad de 9 km /h. C u l es en valor, direcciny sentido la velocidad re al de l barco?

Solucin: En la figura 2.12 se puede apreciar que:

v = V(9 knVh)2 + (12 knVh)2 = [ 15 knyTi |

* ng Ig = | 53.131

Por lanto, la velocidad real del barco serde 15 knyh, dirigida hacia el nordeste, formando un ngulo de 53,13 a partir del este. % 2 /2

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2.28. L a velo cid ad d e la corr ie nte d e un ro es 4 k m /h . U n barc o es capaz d e navegar a8 km /h y quiere atravesar el r io perpendicularmente a la corriente , con objeto dealcanza r un punto s ituado en la oril la opu esta, ju sto enfrente d el de part ida.Q u n gulo debe fo rm a r con la oril la la d ir ecci n d e la velo cid ad propia delbarco?

Solucin: De acuerdo con la figura2.13, vemos que:

_ 4 km/h _ 1COS * " 8km/h T

de donde:

1* = 60I Fig. 2.13

2.29 . Q u fue rza parale la a u n p lano ind inad o, de pendiente 27 ,8 %, se debe e jercer para conseguir que un cuerpo de 90 kg , colo cado en l, n o deslice?

Solucin: Para que e l cuerpono deslice (fig. 2.14) la fuerza Faplicada ha de ser igual a lacomponente del peso paralela al

plano:

= 90 kg 10 m/s2 0,278 = | 250,2 N ] Fig. 2.14

2.30. Un autom vil c ircula a una velocidad de 54 k m /h y desde l se t ira una piedra perpendic u la rm ente a! suelo d e la carrete ra con u n a velo cid ad de 5 m is . C u l es el valor de la velocidad de la piedra en el instante de salida?

Solucin: En primer lugar hemos de teneren cuenta que 54 knyh = 15 m/s.

De acuerdo con el diagrama de la figura2.15, la velocidad de la piedra en el instante desalida ser:

v = V f s v T M S m A )1 = | 15,8 m /s \ Fig. 2.15

?.3i. I na fu e r z a de 400 V acta veriicnhnente hacia arriba sobre un cuerpo >. -

fu erza , sim u ltnea t o ; 'o anterior, di alar 250 \ tem a >br< el m i c u e p o fo t m undo u n ng u lo tu '>0 con tu horizon ta l hacia u o te . '.to' la fuerza que tiende o elevar


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Fig. 2.16

.32. Dados los redores.4 (3 , - / , 2) y B (I , 1. 2 ) , calcular: a) su produelo escalar;b) el ngulo que form an sus direcciones.

Solucin:a)

A 3 - A .B, + A,B, + A,B, = 3 1 + ( -1 ) 1 + 2 ( -2 ) = -2

| A - B = - 2 |b) Como:

A = V 32 + ( -1 )2 + 22 = V I?, y B = V i 2 + l 2 + (-2 )2 = V6

por aplicacin de la definicin de producto escalar, resulta:

eos = AJL = z l = -0,2182A B V 4 - V6

de donde: | a = 102 36'

.33. H ollar e l vo lumen /le para le le -pp edo /le la fi g ura 2.1 7.sabien-do que los verdees explieli/idosson: t . II,. II U. 2. (7. I . 41 y l> l l . I . / , . coorde-nadas rodas ellas exprradas enno.dad de \ist em o i:;.ni

Solucin: Las tres aristasdel paraleleppedo que concurren en el vrtice D vienen dadas por los vectores: Fig. 2.17

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2.35. E l vecto rB I I , 2 , 31 est aplicad o en e l pu n to P (2 , I , 2 ). Calcula r s u momento respecto al origen de coordenadas. Cunto valdr su mdulo?

Solucin: El momento del vector R respecto ai origen de coordenadas es:

Mn = r A B =7 , k2 1 2

1 - 2 3

= I 7 T - 4 j - Slt = (7, -4 , -5)1

y su mdulo:

M = V7 2 + ( -4 )2+


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- ^ L | = V l 2 2 + (3 V ? )2 + 5* = [ U ]

2.39. ma celeracin es la derivada segun da del espacio respecto al tiempo. S i la tcin de un determinado movimiento es:

dond e A y I k2t - t 2 21 - 1t2 - (2t + 5) 0

A A B =

= (4l2 + 8! - 5) T + (2t3 - t2) 7 + (t4 - 4t! - 101) k

- i - (A A B) = (81 + 8) T + (l2 - 21) 7 + (4l3 - 81 - 10) k


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= 16 T + 4 J - 14k

De oir manera:

_ L ( A B) = A B + A - ^ 5 - = (2 T - 2tj + 2k) A

A (I2! -


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3. CINEMTICA

DEL PUNTO

FORMULARIO-RESUMEN

Celeridad inedia (velocidad media escalar):

v - i s Al

nVs

Celeridad instantnea (velocidad instantnea escalar):

_ i As ds '- o t dT

Velocidad media vectorial:

- = ArAt

Velocidad instantnea vectorial: mdulo:

- _ |jm Ar _ dr direccin: tangente a la trayectoria

At dt sentido: el del movimiento

Aceleracin media:

AvAt

Aceleracin instantnea:

- Av dva = i 1? - T = dT

m/s2

CO M P O N EN TES I N TR N SECA S D E LA A CELERA CI N

/yAceleracin tangencial: a, =

v2Aceleracin normal: an = y ~

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3. CINEM TICA DEL PUNTO

3.1. D esde u n punto d e vista conceptu al e s lo m is m o decir trayectoria recorrida quedesplazamiento efectuado? Y desde un punto de vista prctico? Puede darse algn caso en qu e el desplazamiento coincida co n la trayectoria?

Solucin:Trayectoria es la lnea originada por los extremos de los distintos vec

tores posicin del punto en cada instante. Fsicamente representa la lneadescrita por un punto mvil en su movimiento.

Desplazamiento o, mejoran. vector desplazamientoes la diferencia entre dos vectores posicin (Fig. 3.1).

Por consiguiente, la trayectoria y el desplazamiento sonmagnitudes diferentes, ya quela primera es una magnitud escalar y el segundo vectorial.

Nunca pueden coincidir eldesplazamiento y la trayectoria. Sin embargo, en el caso deun movimiento rectilneo y sinretroceso, o si se supone undesplazamiento infinitesimal,la longitud de la trayectoria recorrida por el mvil coincidecon el mdulo del vector desplazamiento. Fig. 3 J

3.2. Ex is te a lg n m ovim iento en que permanecie ndo constante e l valo r d e la ve lo ci-dad tenga, sin embargo, aceleracin?

Solucin: S; el movimiento circular uniforme.En este movimiento no se modifica el valor de la velocidad (a, = 0);

pero s se modifica su direccin y sentido (an 4 )-

3.3. Q u clase d e m ovim iento posee un cuerpo q u e presenta acele ra ci n consta nte en mdu lo y perpendicular a la trayectoria del mvil?

Solucin: Se trata de un movimiento circular uniforme. En este movimiento la aceleracin radial es constante, puesto que no vara el mdulo dela velocidad. La direccin de la aceleracin radial es perpendicular a la direccin de la velocidad.

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3.4. Q u dif ere ncia s cnncepluale s hay entre ce leridad y velocidad?

Solucin: La celeridad es una magnitud escalar, definida por la relacin:longitud recorrid^tiempo empleado. Fsicamente representa la rapidez delmovimiento.

La velocidad es una magnitud vectorial, definida por un mdulo (el valorde la celeridad), una direccin (la de la tangente a la trayectoria) y un sentido (el del movimiento).

3.5. E s la ace lera cin una m agnitu d vec torial?

Solucin: La aceleracin viene definida por la relacin: variacin develocidacVtiempo invertido.

Como la velocidad es una magnitud vectorial y el tiempo es una magnitudescalar, el cociente de un vector entre un escalar es siempre un vector.

3.6. Un ciclista va por un a regin dond e existen subidas y bajadas, am bas de iguallongitud. En las subidas marcha a 5 km li y en las bajadas a 20 km li. Calcular

su cele ridad media en km h .

Solucin: Vamos a llamar I a la longitud de una subida o de una bajada.El camino total recorrido por el ciclista ser, entre una subida y una bajada,igual a 21, y el tiempo total empleado ser la suma del que invierte en subirms el que invierte en bajar.

Por tanto:

Tiempo de subida = ~ horas

Tiempo de bajada = horas

Tiempo total invertido: j + horas

En consecuencia, la celeridad media vendr dada por:

21 km1/4 horas = 8 km h

3.7. La ecuaci n de u n dete rm in ado movim ie nto es:

s = 4t* + 2i + 8 (S I)

C u l e s su cele ridad al cabo de 2 segundos? Y su acele racin?

Solucin: La celeridad es la derivada del espacio respecto al tiempo:

= 8t + 2 (SI)

Al cabo de 2 segundos:

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V . .2 , = 8 2 + 2 = I 18 m / s |

La aceleracin es la derivada de la celeridad respeclo al liempo:

a = - - = 8 (S l)


a,.2, = 8nyV

2.8. C ul es la velocidad, en ra d/s . d e ana rueda que gir a a ra zn de 3110 r .p .n Solucin:

2e rad 1 mi1 rev ' 60 s

= [31,4 rad/s

3.9. Siend o 30 cin el radia de las ruedas de un coche V056 las revoluciones que danp o r m inu to , calcle se: a ) la velocidad angu la r de las m ismas: b) la velocidad d elcoche en mis y en kntlh; el la aceleracin radial de u n pun to situado en la

peri fe ria de dichas ruedas.

Solucin:

a) to =956 -IL 2 loo racVs

b) v = o r = 100 . 0,3 m = |3 O n 0

m 1 km 3 600s I 000 m I h

v2 _ (30 m/s)

= | 108 knvh

= 13 103m/s2 1

3.10. L a ecuaci n de u n dete rm in ado movim ie nto viene dada p o r la expresin:

s = W + S t + t ' (S I)

Calclese: la distancia a l origen, la velocidad y la aceleracin a l cabo de 5 se-gundos de in ic iado el movim iento .

Solucin: La distancia al origen se calcula sustituyendo directamente eltiempo por su valor:

s5 = 10 + 5 - 5 + 53 = 1160 m |

Para calcular la velocidad es preciso determinar previamente su ecuacin,y despus sustituir en ella t por su valor correspondiente:

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v5, = 5 + 3 52 80 m/s

Procediendo de forma similar, se calcula la aceleracin:

a 5l = 6 - 5 = [ 30 ny's2

3.11. Justi fi qese que s i en un determinado movim iento las dos componentes del vectoraceleracin son n ulas, el movimiento h a de se r rectilneo y uniform e.

Solucin: Si la aceleracin tangencial es nula, quiere decir que no haymodificacin en el valor del mdulo del vector velocidad (celeridad). Portanto, el movimiento debe ser uniforme.

Si la aceleracin radial es nula, quiere decir que no se modifican ni ladireccin ni el sentido de la velocidad. Por tanto, la trayectoria debe serrectilnea.

3.12. lln tren elctrico de jug ue te da vueltas en una pista circular de 2 m de radio, conun a velocidad constante de 4 m /s. Tien e aceleracin? Cu nto vale?

Solucin: Existe aceleracin, puesto que hay un cambio en la direccindel vector velocidad. Esta aceleracin es la radial, normal o centrpeta. Suvalor viene dado por:

3.13. Un automotor parte del reposo en una va circular de 400 m de radio y va mo-vindose con m ovimiento uniformem ente acelerado hasta que a los 50 segundos de iniciada su marcha alcanza la velocidad de 72 km/h, desde cuyo momento conserva tal velocidad. Calcular: al la aceleracin tangencial en la primera eta-

pa de su movimiento: b) la acelerac in radial en el m omento de conseguir los72 km/h;c) la aceleracin total en ese instante.

Solucin: Previamente transformaremos la velocidad en m/s:

1 0001km

a) a,

3v

31 50 s

c) i

b)

laT + "af = V (0 .4 m/s2)2 + (1 nVs2)2 = | 1.08 n^s2

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3.14. La dista ncia alcanzada por u n proyecti l disparado verticalm en te hacia arriba viene dada p o r la expresin:

s = 800t 5 r

Deducir: a ) las frm ula s de su velocidad y de su aceleracin: b ) el tiempo para elcu al se anu la la velocidad (s, m edido en m; t, medido en s).

Solucin:

- - - - 1 0 n V f c *

I - 101= 0; de donde: 1 = -J- = | 80 s |10

3.15. Una ru eda d e 15 cm de dimetro gira a razn d e 3011 r.p .m . y en 15 segund os,mediante la accin de un fren o, logra detenerse. Calclese su aceleracin ang u-la r y la aceleracin lineal de un pun to de su periferia.

Solucin: Expresaremos, en primer lugar, todos los datos en unidades delSistema Internacional:

= 30 55H t t ~ ' = lO" J T ~

r = 7,5 cm = 0,075 m

Apliquemos ahora la expresin correspondiente al movimiento circularuniformemente variado: = & + xt. D e ella se deduce:

= -S -- - 0 - J - f e j g f t . | - 2 ,1 rad,V~|

Ya que toda magnitud lineal es igual a su correspondiente magnitud angular multiplicada por el radio, la aceleracin lineal de un punto de la periferiade la rueda valdr:

a = x r = -2 ,1 0,075 m = | -0,1 57 nys2 |

3.16. L a ecuacin d e un determ inado m ovim ie nto es:

s = 6 t'+ S2+ 2 t 5 (SI)

Calclese el espacio recorrido, la velocidad y la aceleracin al cabo de 3 seg un-dos de iniciado el movimiento. Qu espacio recorri el mvil durante el tercersegundo?

Solucin: El espacio recorrido al cabo de 3 segundos de iniciado el movimiento ser la diferencia entre las posiciones del mvil en los instantes t = 0Y t = 3:

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que pone de manifiesto que dicha velocidad se anula (2t - 6 = 0) cuandot = 3 s. Por tanto, en ese instante tiene lugar un cambio en el sentido delmovimiento de la partcula: durante los tres primeros segundos se desplazaen sentido negativo del eje OX. y luego en sentido positivo.

En consecuencia, tendremos que descomponer el movimiento en dos etapas: la prim era, de t = 0 a t = 3, tiempo durante el cual la partcula recorreun espacio

s, = x3 xo = 4 m - 5 m = - 9 m = 9 m

en sentido negativo del eje OX. El espacio recorrido por la partcula en lasegunda etapa ser:

s2= x5 - x3= 0 m - ( - 4 m) = 4 m

Por tan to, el espacio recorrido en los cinco primeros segundos es:

s = 9 m + 4 m = 113 m |

3.18. Las trayectorias de dos mviles tienen p o r ecuacio nes:

(SI)S i = 4t* + 3 t 2

s2 = 2 t*+ .3 f 2 *2t + 3 J

Q u rela ci n exis te entre los e spacios recorridos po r am bos y en tre sus velocida-des al cabo de 5 segundos?

Solucin: Los espacios recorridos por ambos mviles al cabo de 5 segundos sern la diferencia entre sus posiciones en los instantes t = 0 y t = 5.Procediendo de esta forma, resulta:

Para el primer mvil: S| = 115 m.Para el segundo mvil: s2= 60 m.Por consiguiente:

Las ecuaciones de la velocidad de los dos mviles s

v, = J f ! _ = 8, + 3 j1 di

v2 = = 41 + 2(SI)

v, = 8 5 + 3 = 43 nVs

v2 = 4 5 + 2 = 22 mj%

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3.20. L a ecuacin de un determinado movimiento es:

s = lOt2 + S t 4 (SI)

Calclese el espacio recorrido por e l m vil y su velocidad a l cabo de 4 segundosde iniciado el movimiento. Qu espacio recorri durante el cuarto segundo?

Solucin: El espacio recorrido por el mvil al cabo de 4 segundos serigual a la diferencia entre las posiciones del mvil en los instantes t = 0 yt = 4, ya que en dicho intervalo no tiene lugar variacin alguna en el sentidodel movimiento.

Para t = 0: s0 = 10 O2 + 5 0 - 4 = - 4 m.Para t = 4: s4 = 10 42 + 5 4 - 4 = 176 m. _______Por tanto: As = s4 - sc = 176 m - ( - 4 m) = | 180 m |

La ecuacin de la velocidad ser:

El espacio recorrido por el mvil durante el cuarto segundo se obtiene

restando sus posiciones al cabo de 4 s y 3 s:Para t = 4 s: s4 = 10 42 + 5 4 - 4 = 176 m.Para t = 3 s: s3 = 10 32 + 5 3 - 4 = 101________m._Por tanto: As = s4 - s3 = 176 m - 101 m = ] 75m |

3.21. E n qu instante tendrn la misma velocidad dos mviles cuya s respectivas ecua-ciones de movimiento son:

Solucin: Las ecuaciones de la velocidad correspondientes a estos movimientos son:

v = - A . = 20 I + 5 (SI)


v4 = 20 4 + 5 = | 85 m i

(SI)

Igualando ambas expresiones, se obtiene:

6t + 5 = 6, de donde: t = - i - sO

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3.22. (* E l vector de posicin de u n pu nto en fun ci n del tiempo est dado por:

r = t l + ( i 2 + 2) j + r 'k (SI)

a) S u posicin, su velocidad y su aceleracin en e l instante t = 2.b) E l n gu lo que form an el vector velocidad y e l vector aceleracin en ese ins

Solucin:a) Hallemos, en primer lugar, las expresiones correspondientes a la veloci

dad y a la aceleracin:

v = - - = T + 2 .T + 2 ,k

S = - = 2 ! + 2E

En el instante t = 2 s:

(SI)

r , = 2 + (22 + 2) ) + 2 ^ = | 2 T + 6 j + 4k

v2 = T + 2 - 2) + 2 2t = | T + 4 J + 4lt > (SI)

b) Los mdulos de los vectores velocidad y aceleracin al cabo de 2 segundos son:

v2 = V F + T T ? = V33 m/s

a2 = V 2: + 22 = VS = 2 V 2nVs!

Por consiguiente, el ngulo que forman los vectores v y jtante t = 2 s es:

v2 a2 8 + 8 16

v2 a2 V33" 2 V2 2 V66 V66

de donde:

| 3 = 10

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3.23. L a posici n de una partcu la , en fu n c i n del tiempo, viene dada po r las siguien-tes ecuaciones paramtricas:

H a llar la velo cid ad y la acele racin de la p artcu la , a s i com o el ra dio de curvatu -ra d e la trayectoria, a l cabo de 2 segundos de iniciarse el mo vimiento.

Solucin: Dado que el vector posicin de la partcula es:

r = I2? + 3 tJ + 5t (SI)

el vector velocidad ser:

V = -Sj- = 2.1 + 3 J (SI)

y su mdulo:

v = V (2 t)2 + 32 = V 4 t2 + 9 (m/s)

AI cabo de 2 segundos:

| Vh = 5 m s 1 |

El vector aceleracin es:

5 = 4 - = 2 7


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Por tanto, la aceleracin normal de la partcula al cabo de 2 segundos es:

a = V a i - a2, = V


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y la normal:

41 (m s 2); a (m s-')

Vc) Como an = ---- , resulla:P

P =4 (1 + t2)*2 (m) |

3.25. E l vector de posicin d e u n punto material respecto a un sistema de ejes coorde-nados O X Y viene dado por:

estando expresadas todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional.Hallar:

a) Los vectores velocidad y aceleracin del pu nto material, as i com o sus m du-los respectivos.

b) Las componentes intrnsecas de la aceleracin.c) E l radio de curvatura de la trayectoria.

Solucin:a) Ya que el enunciado del problema nos da el vector de posicin del punto

material, el vector velocidad ser:

7 = 4 1 1 - eos 2 t)~i + 4 (2 t ~ sen 2t)J

8 sen 2t T + 8 (1 - eos 2t) j (SI)

siendo su mdulo:

v = V (8 sen 2l)2 + (8 (1 - eos 2l)]2 =

= 8 V 2 (1 - eos 21) = 16 sen i (m s " ')

1 V = 16 sen I (m s VHallemos ahora el vector aceleracin:

a' = = 16 eos 21T + 16 sen 21] (SI)

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a = V (16 eos 2l)2 + (16 sen 2t)2 = 16 i

b) Llegado esle mom enlo, vamos a calcular las componentes intrnsecas dela aceleracin. La aceleracin tangencial es:

a, = = 16 eos t (m s~ 2)

y la normal:

a = V a 2 - a? = V (16 m s ' 2)2 - [(16 eos t) m s2]2 =

= 16 sen t (m s~2)

| a = 16 sen t (m s"2)

v2c) Como: a = -----.

v2 (16 sen t)2 . . . . , ,~ a T 16 sen t = 16 n t (m)

| p ~ 16 sen t (m) |

3.26. (*) Un pu ni se m ueve sobre una circunferencia de acuerdo con la ley:

s = t*+ 2 r

siendo s la lo ngitud del arco recorridoy I e l ti em po. S i la acele racin to ta l de!

p u n to a l cabo de 2 segundos e s J6 \ 2 m s 2. cu l e s e l ra dio de la cir cunfe-rencia?

Solucin: La velocidad sigue la ley:

V = = 3t2 + 4t (SI)

siendo su valor al cabo de 2 segundos:

v& = 20 m s~

La aceleracin tangencial viene dada por la expresin:

dva, = = 61 + 4 (SI)

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valiendo al cabo de 2 segundos:

a,s = 16 m s-2

Teniendo en cuenta que las dos componentes intrnsecas de la aceleracinson perpendiculares, se deduce que:

r5 )r = 16 m s-2

Por o tra parte, como an = =. resulta:Kr = =

a 16 m s---------

3.27. a iecuacin de la celeridad en u n determinado m ovimiento es:

i = 6 + St

Suponiendo que el origen de los espacios coincida con el de los tiempos . qulong itud habra recorrido el mvil a los 5 segundos de iniciado el m ovimiento? I ven m s y t en segundos i.

Solucin: La ecuacin del espacio recorrido viene dada por:

s =j 'V dt = f '(6 + 81) di = |6t + 4i2]g = |130 m |3.28. Sobre un cuerpo de 2 kg d e m asa acta una fue rza variable con el tiempo dada

por la expre si n:

en la que I se expresa en segundos y F en n ewtons. Sabiendo que en el instanteinicial s0 = J m . v = 5 m s 1, calcular la velocidad adquirida po r el m vil y

su posic i n a l cabo de 5 segundos.

Solucin: La aceleracin que adquiere el cuerpo es:

Dado que:

dt

: sigue:

= lt + 3

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v = / d v = / a dt = j (lOt + 3) di = 5t; + 3t + v

= 5t2 + 3t + 5 (SI)

Para I = S s:

|v = 145 m

Por otra parte, como v =

s = fds j v dt = j (Si2 + 3t + 5) dt =

= - - '3 + - - t2 + 51 + s = t3 + j t2 + 51 + 3 (SI)

Para t = 5 s:

3.29. La ace le raci n del m ovim iento de una particula cuya trayectoria es rectilnea vie-ne dada po r la expresin:

a = 24t* 16en la que el tiempo se expresa en segundos y la aceleracin en m s *. Sabiendoqu e en el instante en qu e el cronm etro comienza a contar el tiempo, la partculam vil se encuentra a 5 m del origen y qu e al cabo de 2 segundos su velocidad esde 36 m s ' , calcular:

a) La ecuacin de la velocidad y d e la posicin de la particula mvil.

b) S u velocidad media entre los instantes t = I s y t = 3 s.Solucin:

dva) Ya que: a = r, resulta:

Para hallar el valor de la constante de integracin hemos de tener encuenta que cuando t = 2s, v = 36 m/s. Si sustituimos estos valores en laecuacin anterior, se obtiene: cte = 4 m/s. que es el valor de la veloci-

dv = a dt = (24t2 - 16) dt

Por tanto:

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da d inicial. Po r tanto , la ecuacin d e la velocidad de la par t cula es:

v = 8t3 - 161 + 4 (SI)

Ya que v = resulta:

ds = v di = (8t3 - 16t + 4) dt

Por tanto:

s = j (8t3 - 16t + 4) dt = 2t4 - 8t2 + 4t + cte

Para hallar, en este caso, el valor de la constante de integracin, quecoincide con el espacio ya recorrido por la partcula cuando se empieza acontar el tiempo, tenemos que, como en esc momento la partcula se encuentra a 5 metros del origen, s = cte = 5 m. En consecuencia, la ecuacin de la posicin de la partcula mvil es:

| s = 2t4 - 8t2 + 4t + S (SI) |

b) Para t = 1 s. Si = 3 m, mientras que para t = 3 s , s3 = 107 m. Por tanto, la velocidad media de la partcula entre ambos instantes es:

3.30. Una partcula se desplaza a travs de un plano XY con una velocidadv = (2t 2 ) 1 + 3 j, expresada en unidades internacionales. C uando t = 2 s

su vec tor de posici n es r = 2 i + 3 j (m). Determinar la ecuacin de latrayectoria de dicha partcula.

Solucin: La posicin de la partcula viene dada en todo momento por elvector:

F = / v d t =I | (2t - 2) T + 371 dt = (I2 - 2 t)T + 3t7 + r

Para el clculo de F hemos de tene r en cuenta que cuando t = 2 s,? =


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de donde:

Por consiguiente, la ecuacin vectorial del movimiento es:

r = (t2 - 2t) T + 3t j + r0 = (t2 - 2t + 2) T + (3t - 3) j

que se puede descomponer en las dos ecuaciones paramtricas siguientes:

x = t2 - 2t + 2>y = 3t - 3 /

Si en estas dos ecuaciones eliminamos el tiempo, obtenemos la ecuacin de la trayectoria de la partcula:

| y* - 9 + 9 = ]

que es la ecuacin de una parbola.

3.31. (*) Una partcula P se mueve en u n plano, siendo su trayectoria la cu n a xy = I(x e y en metros). L a proyeccin de su vector velocidad sobre el eje O Y es cons-tante e igual a 1 0 cm/s, y para t = 4, x = 2. Se pide:

a)Ecuacio nes del movim ie nto : x = x (t) e y = y (t).

b) Posicin, velocidad y aceleracin de la partcula en los instantes t = I y t = 5.

Solucin:

a) La componente v^ de la velocidad es constante (vy = 0,1 n\/s); en consecuencia. el movimiento segn el eje OY es rectilneo uniforme, siendos ecuacin: y = - 0 , l t + yQ.

Para el clculo de yDhemos de tener en cuenta que cuando t = 4.

x = 2 e y = Sustituyendo en la ecuacin anterior, resulta:

J _ = -0 ,1 - 4 + y

de donde:

y = 0,9

Por tanto , las ecuaciones paramtricas del movimiento de la partcula

y = -0 . l t + 0 ,9 )

1 1 > (SI)

y - 0 ,l t + 0.9

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r = - = 0 4 W T + < - '11 + 0 ' 9 > ' < S I)

y la velocidad y la aceleracin vendrn dadas por los vectores respectivos:

; =----------------------------- T - o . i j ( S i )dt (0,lt + 0,9)2

; = J L = -------^ --------T (si)dt (- 0 ,l t + 0,9)J

b) E l vector d e posicin de la p artcu la es:

Al cabo de 1 s:

?, = 1,25 T + 0,8 j (SI)v, = 0,16 T0,1 j (SI)a, = 3,9 - 10 2 i (SI)

Al cabo de 5 s:

5 = 2,5 T + 0.4 j (SI)v5 = 0,625 - 0,1 j (SI)a, = 0,3125 i (SI)

3.32. Sobre u n cilindro de 25 cm de dimetro, que gira en torno a su eje, dispuesto hori-

zo nta lm ente . con una velocidad angular constante de ^ r.p .m .,e s t enrollada

una c uerda, de tal form a q ue sta se va desenrollando a medida que e l cilindrogira. E n e l ex trem o de la cuerda est sujeto un pequeo vagn de juguete , que sedesliza, al desenrollarse la cuerda, sobre uno s railes en form a de arco de parbo-la, de ecuacin r f = 4y (fig. 3.2). Hallar la aceleracin de l vagn en e l mom en-to en qu e lleva descendido I m.

Solucin: La velocidad angular del cilindro, expresada en unidades internacionales, es:

_ 240 rev 2r.rad . 1 min _ g radw z ntin 1 rev 60 s s

siendo la velocidad lineal de un punto de su periferia;

v = co - R = 8 - 0,125 m = 1 m/s

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Fig. 3.2

Esta misma velocidad lineal constante es con la que el vagn se desliza lo largo de los rales. Tenemos que:

V = VXT + v j

siendo:

v = Vv* + = cte = 1 m/sPor otra parte:

dy d (x2/4) _ x dx _ x' di- - di 2 ' di 2 ' Vx

V ^ ( x - r - V ^ 4 - -

_ V S T ? - i - 5 -

de donde:

= 2V 4 + x2

_ _X _ _ X

v 2 V 4 + xJ


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En consecuencia, el vector velocidad lineal del vagn en un punto cualquiera d e su trayectoria sobre los rales definido por la abscisa x vendr dadopor:

i + vyJ = - 7 (si)

Calculemos ahora el vector aceleracin:

dt (4 + x2)w di (4 + x2)V2 di

(4 + x2)M (4 + x2)*2

(4 + x2)w V 4 + x2

4x(4 + x2)2

(4 + x2)9'2 V 4 + x2

7 ( S I)(4 + x2)2

Para y = l m , x = 2 m ,y sustituyendo en la expresin general del vectoraceleracin, tenemos:

5,-2 5- T + - -7 ( s i)

siendo su mdulo:

V F T F i + r - ^ '

Nota: Esta aceleracin es radial, ya que, como la velocidad con que se deslizael vagn es constante en mdulo, no existe aceleracin tangencial.

3.33. Com prubese que la ecuacin de la aceleracin radial t iene las dimensiones deuna aceleracin.

Solucin: Como an = -

M - [ ]

. resulta:

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3.34. Una rueda que gira a 900 r.p.m. mediante la accin de u n fre n o gira a 300 r.p.n,tardando en este proceso I4 de minuto. A qu aceleracin angular estuvo s me tida? Si el dimetro de la rueda es 60 cm, cul es la aceleracin lineal de i

pu n to de su per iferia?

Solucin: Expresemos, en primer lugar, todos los datos en unidades c

Sistema Internacional:

mina,0 = 900

= 300 - * ? - . . _ ! L = 1(k ractfsmm 1 rev o s

t = - - min = 15 s4

La aceleracin angular de la rueda es:

10a racty's - 30a rad/s5s

-4 ,2 rad/s2

Calculemos ahora la aceleracin lineal de un punto de su periferia:

a = i r = - - i - a 0 ,3 m = - 0,4a m/%1 = \ -1,26 m/s2]

3.35. Un m vil toma una curva con un a aceleracin tangencial constante de 3 m/s2. E lradio de la curva es 50 m. A qu aceleracin total estar sometido el mvil en el instante en qu e su velocidad sea 90 km/h?

Solucin: En el instante pedido, en que la velocidad del mvil es90 km/h = 25 m/s, su aceleracin radial valdr:

= = = 12.5 0 ^

Como la aceleracin tangencial y la radial son perpendiculares, el valorde la aceleracin total ser:

a = Va,2 + ai = V (3 m/s2)2 + (12,5 nVs2)2 = 12,85 nVs2

3.36. La velocid ad tangencia l adecuada para trabaja r e l hie rr o fu n d id o es 0,6 m aproximadam ente. A cuntas r.p.m. debe girar en u n torno una pieza de 5 cde dimetro?

Solucin: Como r = 2,5 cm = 0,025 m, tenemos:

= J L = 6 n ^s = 24 = 24 r 0.025 m s s

= 229.18 - 2 ^ - = I 230 r.

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3.37. Demustrese que en e l m ovim iento uniform em ente ace le rado la acele racin es igu al a l doble del espacio recorrido en la primera unida d de tiempo.

Solucin: En el movimiento uniformemente acelerado, si el mvil partedel reposo, se cumple que:

El espacio que recorre el mvil en la primera unidad de tiempo es:

de donde se deduce que:

3.38. Por qu u n m ovim iento uniform e no puede in ic iarse a parti r de l reposo?

Solucin: Si un cuerpo est en reposo, para iniciar su movimiento ha deposeer una cierta aceleracin y, en consecuencia, el movimiento no podr seruniforme.

3.39. Imfig ur a 3 .3 representa un movim iento rectilneo y uniform e. A purtir de losdatos expuestos en ella deduce la ecuacin de ese mo vim iento.

Solucin: La ordenada en el origen corresponde al espacio inicial sD. Portanto, s0 = 5. La pendiente de la recta coincide con el valor de la velocidad:

0 1 2 3 4 5 6 7

t e n s e g u n d o s

Fig. 3.3

lg*7 - 5

19 - 5

2

La ecuacin ser: I s

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3.40. D ete rm inar las constante s d e un m ovim iento uniform em ente acele rado, sabiendoque e l m vil tiene u na velocidad de 17 m /s a los 4 segundos de haberse comenza-do a contar el t iempo, y que en los instantes 2 y 4 segundos dista del origen 12 y40 m, respectivamente.

Solucin: Sustituyendo los datos en las ecuaciones de la velocidad y delespacio, se tiene:

17 = v + 4a12 = s + 2v + 2a40 = s + 4v + 8a

Resolviendo el sistema, se obtienen los siguientes resultados:

a = 3 m/s2: Vp = 5 m/s; s = - 4 m

3.41. E n un m ovim ie nto rectilineo la dis ta ncia a l orig en viene dada por la expre sin:

s = 10 + 2 t + r1

D ete rm in ar la s caracter sticas del m ovim ie nto , la dis ta ncia a l orig en , la velocida d y la aceleracin a los 2 segund os de iniciado el movimiento.

Solucin: La ecuacin de la velocidad viene dada por:

v = = 2 + 312dt

y la de la aceleracin por:

Al ser variable la aceleracin se tratar de un movimiento variado no uni

formemente.Los valores de s, v y a se obtienen directamente de sus ecuaciones al sustituir t por su valor (2 segundos):

s = 22 unidades de longitudV = 14 unidades de velocidada = 12 unidades de aceleracin

3.42. Un m vil parle d e un pu nto con u na velocidad inicial de 1,10 m/s y recorre unatrayectoria rectilnea con aceleracin constante de 0.1 m/s2. Cunto tiempo tardar en p asa r po r un pu nto situado a 1.05 m del origen? Interpretar f sica -m en te los resultados obtenidos.

Solucin: Basta sustituir los datos en la ecuacin del espacio:

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1,05 m = 1,1 (m/s) t 0.1 (m/s2) t2

Despejando t, se obtienen los siguientes resultados:

t, = l st2 = 21 s

Esto quiere decir que el mvil pasa dos veces por el mismo punto: una a laida y otra a la vuelta.

3.43. Calclese la velocidad inicial y el espacio inicial en un movim iento uniforme-m ente variado, de aceleracin 8 m/s2, sabiendo que la velocidad se anula parat = 3 s y que e l espacio se anula para t = 11 s.

Solucin: Consideremos las dos frmulas fundamentales del movimientouniformemente variado:

v = vG+ at

s = s + vI + -y- ai2

Como a = - 8 m/sz, sustituyendo resulta:

v = v - 8t [1]

s = s,, + vt - 4t2 (2 ]

Teniendo en cuenta en la ecuacin [1] que cuando t = 3 s, v = 0, se obtiene:

0 = v - 8 3

de donde:

|~v = 24 m/s |

Como, por otra parte, para t = 11 s. s = 0, sustituyendo en la ecuacin[2], tenemos:

0 = s0 + 24 11 - 4 l l 2

de donde:

| -S, = 220 m |

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3.44. Un coche marcha a 45 km /h y apretando el acelerador se logra que a l cabo demedio minu to se ponga a 90 km /h. Calcular la aceleracin del vehculo y el espa-cio recorrido en ese tiempo.

Solucin: Expresemos, en primer lugar, todos los datos en unidades delSistema Internacional:

V = 45 J22- - 1 _____ = 12,5 m/sv h 1 km 3 600 s v

v - 90 km . 1 000 m , 1 h - 25m/sv - 9 0 n : fT ST ^ 3 600 s " nVS

I = 0,5 min = 30 s

La aceleracin del coche ser:

a = v ~ v 2 5 n V s - q 5 n y s _ = Q 4 1 ft? ^ = I 0,42 m /s ' It 3 U S '

y el espacio recorrido:

s = vt + j - at2= 12,5 30 s + J - 0,42 - 2 - . (30 s)2=12 s 2 s2 1---------

3.45. Una rueda gira a razn de I 200 r.p.m. y mediante la accin de un fren o selogra detenerla despus de dar 50 vueltas. Ded ucir la aceleracin angular de fr e -nado y el tiempo empleado en el fenmeno.

Solucin: En primer lugar hay que expresar los datos en unidades SI:

1 200 r.p.m. = 40n rad/s; 50 vueltas = 100n rad

Sustituyendo estos datos en las ecuaciones de la velocidad angular y del

ngulo descrito:

0= 40* + a t

100n = 40n I + -y- e t2

y resolviendo el sistema formado, se deduce:

t = 5 s; , = 8~ rad/s2

3.46. Un volante necesita 3 segundos para conseguir un giro de 234 radianes. S i su ve-locidad ang ular al cabo de ese tiempo es de IOS rad/s, cu l f u e su aceleracinangu lar, supuesta constante? Y su velocidad angular inicial?

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Solucin: Sustituyendo los datos en las ecuaciones de la velocidad angulary del ngulo, se tiene:

3,47 . Un volante gira a razn d e 60 r.p.m . y al cabo de5segundos p osee una velocidadan gu lar de 37 ,7 rad!s. C un tas vueltas dio en ese tiempo?

Solucin: Calculemos, en primer lugar, la aceleracin angular del volante,teniendo en cuenta que:

3.48. () Un automvil, partiendo del reposo, acelera uniformemente para alcanzaruna velocidad de 20 m/s en 250 m de recorrido; a partir de este instante y ma nte-niendo constante la velocidad recorre un a distancia de l 500 m , para detenerse acontinuacin en 50 m , m ediante un m ovimiento uniformem ente retardado, ca-racterizado po r un a aceleracin negativa de 400 cm /s2. D eterminar los tiemposempleados en cada un a de las tres fa se s del movimiento y d ibujar la representa-cin grfica de la velocidad en fu n ci n de l tiempo.

Solucin: En la primera fase el movimiento es uniformemente acelerado,cumplindose las ecuaciones de dicho movimiento:

108 = o, + 3a

234 = 3oi + 4,5)

Resolviendo el sistema, se obtienen los siguientes resultados:

o, - "o 12 rat(/s - 2 rat^s

= 2r. rad/s25 s

El ngulo girado por el volante en 5 segundos es:

y = o>0 t + o t2 = 2 ' 2* (5 s)2 = 35 rad =

= 35 rad 1 vuel'a - = I 17,5 vueltas2n rad I------------------

= 35^ rad 17,5 vueltas

v = vG+ at

s = Vt + -i- at2

De acuerdo con los datos del problema:

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20= ai

250 = - i - ai2

Resuello este sistema de ecuaciones, obtenemos:

En la segunda fase el movimiento es uniforme, de acuerdo con la (cin: s = vt. De aqu:

20 nVs- = 75 s; t = 75 s

Por ltimo, en la tercera fase el movimiento es uniformemente retardado.Como v = v + at:

v - v0 0 m/s - 20 m/s

- 4 iq/s2

Obsrvese cmo en esta tercera fase del movimiento el enunciado delproblema nos suministra datos en exceso.

La representacin grfica de la velocidad en funcin del tiempo se recogeen la figura 3.4.

H*. 3.4

3.49. Deducir lus velocidades, supues tas constantes, de d os mviles Ay II. separadospor una distanc ia de 30 km , sabiendo que si se mueven en la misma direccin y sentido, se encuen tran a 10 km de B. pero que si se mueven en sentidos opues-tos, tardan 40 minutos en encontrarse.

Solucin: Expresaremos todos los datos en unidades del Sistema Internacional:

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b) Como A y B distan 2 km, el espacio recorrido por A ser:

SA = 3 025 m + 2 000 m = 5 025 m

Por otra parte, el movimiento de A tambin es uniformemente varia

do. En consecuencia:Sa- -y- aA t2

de donde:

2 SA 2 5 025 m I n ~aA = - -------------- = I 0,0053 m/s

t2 (1 375 s) L- i --------------1 1

c) Calculemos, por ltimo, las velocidades de los dos cuerpos en el momen

to del encuentro:

vA = vQa+ aA t = 0 m/s + 0,0053 1 375 s = | 7,3 n^s

vB = vG| + aB t = 0 m/s + 0,0032 - y - 1 375 s = | 4,4 r

3.51. Un coche lleva una velocidad de 72 km /h y los fren os que posee son capaces deproducir le una decelera cin m xim a de 6 m/s2. E l conductor ta rd a 0 ,8 segundosen reaccionar desde qu e ve un obstculo hasta que fre n a adecuadamente. A qudistancia h a de estar el obstculo para qu e el conductor pueda evitar el choque e n las circun stancias citadas?

Solucin: Mientras dura el tiempo de reaccin, el coche, con movimientouniforme, avanza un espacio:

Una vez que el coche comienza a frenar el espacio que recorre hasta pararse ser:

y 2 _ ,

S2 = 2a 2 ( 6 nVs2)Por tanto, para evitar el choque, el obstculo ha de estar

s = s, + s2 = 16 m + 33,3 m = | 49,3 m 1

3.52. E n u n movim iento unifo rm em ente variado l os espacio s recorridos p o r e l m vil tlos instantes I , 3 y 5 segundos son, respectivamente, 55 cm , 225 cm y 555 enCalcu lar el espacio inicial, la velocidad inicial y la aceleracin.

Solucin: En el movimiento uniformemente variado se cumple que:

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S = S + Vt + - y al2

De acue rdo con los datos del problem a, tenemos:

0,55 m = s + v0 1 s + - i - a (1 s)2 \

2,25 m = s + v 3 s + - i - a (3 s)2 >

5,55 m = s + v 5 s + - | - a (5 s)2 1

La resolucin de este sistema de ecuaciones conduce a:

I s = 0,3 m; v = 0.05 m/s; a = 0.4 m/s2 |

3.53. E n e l m in u to 3 2 d e l p rim er tiem po, correspondie n te a l p a rtid o de f tb o l Espaa E ire , j u g a d o e l d ia 16 d e noviem bre d e 1988, A n d r in a lanz un ba ln a ra s de su e lo , en p a se rec to , a u n a velo cid ad de 2 7 k m /h . B u tra g u e o , q u e se enco n tra -ba 10 m de trs de Andr ina, en la misma direcc in de lanzamiento de l baln ,

sa li tra s de l co n in tenc i n d e a lcanzarlo y pa srselo a M a n o lo . L a velo cid adde B utragueo era de 36 k m /h .

Q u distancia h u b o d e recorrer E l B u itre p a ra a lcan zar e l baln? C u n -to t iempo emple?

D a to : E l rozam ie nto d e! bal n contra e l suelo le produ jo a ste u n a decelera-c in con s tante de 2 m /s2.

Solucin: Expresemos ambas velocidades en unidades SI:

27 km/h = 7,5 n\/s; 36 knVh = 10 m /s

El espacio recorrido por el baln hasta ser alcanzado por Butragueo es:

s , = 7,5l + (- 2 ) t2 = 7,5t - t2

mientras que la distancia que recorre el jugador ser:

s2 = lOt

Como s2 = S| + 10, sustituyendo resulta:

7,5t - t2 + 10 = lOt

de d onde:

1 t = 2 ,15 s 1

(La otra solucin de la ecuacin carece de significado fsico.)

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La distancia que tuvo que recorrer el jugador es:

Sj = 10 t = 10 2,15 s = | 21,5 m

Un conejo corre h a da su ma driguera a la velocidad de 72 km /h. C uand o seencuentra a 2 0 0 m de ella, un perro, situado 40 m ms atrs, sale en su p ersecu-cin, recorriendo 90 m con la aceleracin de 5 m/s2 y continuando luego con velocidad constante.

a) De duc ir cinemticamente si salvar su pie l el conejo.b) R azon ar matemticamente qu sucedera si la ma driguera estuviera 100 m

ms lejos.

Solucin:

a) Calculemos los tiempos invertidos por el conejo y el perro en llegar hastala madriguera.Como el conejo corre a velocidad constante de 72 kn\/h = 20 m / s , su

movimiento es uniforme y el tiempo que emplea es:

El perro en la primera etapa de su movimiento emplea un tiempo:

adquiriendo al cabo de estos 6 segundos una velocidad:

v = vG+ at = 0m/s + 5 6 s = 30 Vssz

Durante la segunda etapa recorre: 240 m - 90 m = 150 m, a la velocidad constante de 30 m / s ,inviniendo un tiempo de:

2 J ^ = 6 s5 m /s

. _ 150 m _ - 30 m/s

El tiempo total que emplea el perro es:

tp = tp, + lp, = 6 s + 5 s = l i s

mayor que el del conejo. Por tanto, ste se salvar,

b) El razonamiento es anlogo al del caso anterior:


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_ 340 m - 90 m _ 250 m30nVs ~ 30 m/s

tp = tPi + tPj = 6s + 8,33 s = 14,33 s

Como tp < tc, el conejo ser capturado por el perro.

3-55. Desde un punto situado a 10 ni sobre e l suelo se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 30 m /s. Con qu velocidad llenar al suelo?

Solucin: Calcularemos, primero, el tiempo que tardar la piedra en alcanzar la mxima altura, momento en que se anula su velocidad. Por tanto:

t _ v - v _ 0 nt/s - 30 n\/s _ 3sg - 1 0 m/s2

La altura que alcanza la piedra al cabo de este tiempo (que ser la alturamxima) vale:

h = h + vt + - i - gt2=

= 10 rn + 30 -! 2 - 3 s + - i - . / -1 0 . (3 s)2 = 55 m

Hallemos, por ltimo, la velocidad con que llega la piedra al suelo:

V = V3h = 2 10 - 2 - 55 m = 133,17 m/s |

Tambin se puede resolver el problema de una manera ms sencilla, considerando que cuando la piedra efecta su movimiento de descenso, al pasarpor el punto de lanzamiento su velocidad es de 30 m/s.Todo se reduce, pues,a calcular su velocidad cuando ha recorrido 10metros desde dicho punto:

v = Vvq + 2gh = (30 m/s)1+ 2 10 10 m = | 33,17 m/s

3.56. S e lanzan dos piedras verticalmente hacia arriba: una desde 20 m ms arriba quela otra. Si ambas piedras alcanzan la misma altura mxima, qu relacin existe entre su s velocidades iniciales?

Solucin: Si la ms alta se lanza con una velocidad vQy alcanza una alturah, la ms baja, que se lanza con una velocidad v, recorrer una distanciavertical h + 20. Ambas piedras al alcanzar la mxima altura anulan su velocidad. Por tanto:

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Para I = 1/4 s, h = 20,09 m; v =Para t = 1/2 s, h = 20,37 m; v =Para t = 1 s , h = 19,1 m; v = 5 iVs (hacia abajo).P a ra l = 2 s, h = 9,2 m; = -14 ,8 (hacia abajo).

b) Cuando el saco de lastre llegue a tierra, h = 0. La ecuacin de la posicin queda reducida a:

0 = 19.2 + 4,8 t - 4,9 t2

de donde:

| ( = 2.53 s |

c) La velocidad del saco al llegar al suelo ser:

v = 4,8 m/s 9,8 m/s2 2,53 s = | 20 m/s (hacia abajo)~|

3.60. (*l Dos m viles se encuentran sobre u na m isma horizontal separados 20 metros.E n e l m is m o insta nte se la nza n verticalm en te hacia arr iba con ve locidad de 100vISO m/s.

a) A qu distancia se encontrarn u no de otro a! cabo de 10 segundos de

iniciarse el movimiento?b) E n qu instante se encontrarn a la misma altura? Cu l es esta altura?

Solucin:

a) AI cabo de un cierto tiempo t, la altura alcanzada por el primer mvil es:

h , = v ,t - -y - gt2

mientras que la que alcanza el segundo, lanzado simultneamente, es:

h2 = v2t - - i - gt2

La diferencia de alturas que alcanzan ambos mviles al cabo de 10segundos de iniciarse el movimiento es:

3h = h2 - h, = (v3v,) - 1 = (150 m/s - 100 m/s) 10 s = 500 m

Al cabo de 10 segundos la distancia entre ambos mviles (vase lafigura 3.5) es:

d = V(500 m)2+ (20 m )2 = | 500,4 m |

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Fig. 3.5

b) Cuando am bos mviles se encuentren a la misma altura se cumplir quehi = h2, de donde se deduce que v ,t = v2t, lo cual, dado qu e v, ^ v2,

slo es posible cuando 11 = 0 1. Para este valor de t,| h, = h 2= 0 |.

3.61. Desd e u n pun to sit uado a u n a altura d e 78 ,4 m p o r encim a de un p la n o horizon-tal s e deja caer una pelota de gom a, que, tras chocar con el plan o, rebota,consenando la mitad de su velocidad. Calcular:

a) L a altura que alcanza la pelota en su rebote.b) E l tiempo total transcurrido desde qu e se dej caer la pelota hasta que choca

p o r segun da vez con e l pla no.

Solucin:a) La velocidad con la que la pelota llega al suelo es:

V = V^gh = V 2 9.8 m s~ 2 78.4 m = 39.2 m/s

Al rebotar conserva la mitad de su velocidad, siendo, por tanto, lavelocidad inicial de ascenso:

v'a= - i - 39,2 m/s = 19,6 m/s

Con esta velocidad inicial la altura q ue alcanzar la pelota en su rebote es:

h ' = y 2 ~ v* = (0 m/s)2 - (19,6 m/s)2 = H2g 2 (-9,8 m/s2) 1 1------- 1

b ) El tiempo invertido en la primera cada es:

i = v ~ v = 39,2 m/s - 0 m/s =

' g 9,8 tVs2

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El tiempo empleado en el primer ascenso es:

Por ltimo, el tiempo que invierte la pelota en su segunda caida esel mismo que el del ascenso anterior.

3.62. I l Dete rm in ar la profu ndid ad d e u n pozo cuando e l sonido producid o por una piedra que se suelta en su brocal, al chocar con su fo n d o , se oye 3 segun-dos despus. (Considrese: g = 10 m s~2; velocidad del sonido en elaire = 3 4 0 m s~.)

Solucin: Llamemos h a la profundidad del pozo. Es evidente que el tiempo de 3 segundos es la suma del tiempo empleado por la piedra en su cadacon movimiento uniformemente acelerado y velocidad inicial nula (V 2 tyg) ydel que invierte el so

1000 problemas de fisica general - j. fidalgo y m fernandez

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