100404 programacion lineal contenidos actualizados al 2010

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA CONTENIDO DIDCTICO DEL CUSO: 100404 PROGRAMACION LINEAL

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIA

PROGRAMA DE CIENCIAS BASICAS

AUTOR DEL MATERIAL

GLORIA LUCIA GUZMAN ARAGON

100404 PROGRAMACION LINEAL

EDGAR MAURICIO ALBA VALCARCEL

(Director Nacional)

LUIS GERMANA HUERFANO

Acreditador

SOGAMOSO

Junio de 2010


ASPECTOS DE PROPIEDAD INTELECTUAL Y VERSIONAMIENTO

El presente mdulo fue diseado en el ao 2004 por La Esp. Gloria lucia Guzmn

Aragn, docente de la UNAD, y ubicado inicialmente en el CEAD de Neiva, ella es

Licenciada en Matemticas y Fsica, Especialista en matemticas Avanzadas,

Especialista en Docencia Universitaria, Magister en Direccin y Gestin de

Recursos Humanos, Maestrante en educacin con especialidad en ONLINE, se ha

desempeado como docente de la UNAD desde el 2004 y como tutor desde 1984

hasta la fecha, adems ha sido catedrtico de diversas Universidades de

Cundinamarca y del Huila, ha desempeado cargos de docencia administrativa

como Rectora de varios colegios, Coordinadora Acadmica, Asesora pedaggica y

en la actualidad es investigadora principal de los grupos Delta 515 y generacin

21.

El presente mdulo ha tenido cinco actualizaciones, desarrolladas por la

docente Gloria Guzmn en los aos 2006, 2007, 2008 y 2009 con los aportes de la

red de tutores que ella dirige y en 2010 por Edgar Mauricio Alba V. tutor del Cead

Sogamoso y en equipo con el grupo de tutores del curso.

Este documento se puede copiar, distribuir y comunicar pblicamente bajo las condiciones siguientes:

Reconocimiento. Debe reconocer los crditos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra).

No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Sin obras derivadas. No se puede alterar, transformar o generar una obra

derivada a partir de esta obra. Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los trminos de la

licencia de esta obra.

Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor

Nada en esta menoscaba o restringe los derechos morales del autor.


INDICE DE CONTENIDOS

INTRODUCCIN

JUSTIFICACIN

INTENSIONALIDADES FORMATIVAS

a. PROPOSITOS

OBJETIVOS

Objetivo general

Objetivos especficos:

b. METAS

c. COMPETENCIAS

UNIDAD 1

INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL

CAPITULO 1

LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

Introduccin

Leccin 1 Antecedentes y origen de la I.O Leccin 2 Qu es la Investigacin de operaciones? Leccin 3 Metodologa de la I.O.

Leccin 4 Componentes de investigacin de Operaciones

CAPITULO 2

CONJUNTOS CONCAVOS Y CONVEXOS

Introduccin Leccin 5 Concepto de conjunto convexo Leccin 6 Propiedades de los conjuntos convexos


Leccin 7 Ejercicios de aplicacin Leccin 8 Funciones cncavas convexas

CAPITULO 3.

CONCEPTUALIZACION DE LA PROGRAMACION LINEAL

Introduccin Leccin 9 Concepto

Leccin 10 Formulacin del problema de programacin lineal Leccin 11 Modelo general de programacin lineal Leccin 12 Otras formas de modelos de P.L.

Leccion 13 Terminologa y conceptos basicos

UNIDAD 2

METODOS DE SOLUCION

CAPITULO 1

METODO GRAFICO

Leccin 14 Introduccin mtodo Grafico

Leccin 15 Definicin

Leccin 16 Concepto general del Mtodo Grafico

Leccin 17 Pasos para solucin mediante el mtodo grafico

Leccion 18 Ejemplos

CAPITULO 2

METODO ALGEBRAICO

Introduccin

Leccin 19 Pasos para utilizar un mtodo Algebraico Leccin 20 Ejemplos desarrollados Leccin 21 Taller

CAPITULO 3

METODO SIMPLEX

Introduccin

Leccin 22 Pasos para desarrollar el mtodo Simplex


Leccin 23 Dualidad Leccin 24 Comparacin entre el mtodo simplex y dual simplex Leccin 25 Anlisis de sensibilidad

Leccin 26 Taller del mtodo Simplex Leccin 27 Taller Dualidad Leccin 28 Degeneracin

Leccin 29 Problemas de programacin lineal con variables acotadas Leccin 30 Algoritmo de descomposicin Leccin 31 La Programacin Lineal basada en los computa


INTRODUCCIN

El curso de Programacin Lineal Componente de Formacin Disciplinar y tiene

carcter bsico en los programas de Ingeniera que oferta la UNAD, adems es de

tipo terico. Tiene como objetivo Formular, obtener y analizar soluciones a

problemas de programacin lineal, como apoyo a la industria y la ingeniera,

optimizando los recursos disponibles y facilitando la toma de decisiones.

El curso tiene 2 crditos acadmicos los cuales comprenden el estudio

independiente y el acompaamiento tutorial, con el propsito de:

Comprender los elementos tericos que sustentan la programacin lineal.

Identificar y utilizar los mtodos de programacin lineal para la solucin de problemas.

Identificar y manejar los algoritmos utilizados en la optimizacin de funciones lineales sujetas a restriccin de tipo general.

Identificar diferencias entre la formulacin de modelos y tcnicas de solucin.

Este curso est compuesto por dos Unidades didcticas a saber:

Unidad 1. Introduccin a la Programacin Lineal donde se pretende que el

estudiante valore la importancia que tiene la investigacin de operaciones en

proporcionar herramientas para la construccin de modelos matemticos en

particular los de programacin lineal, adems de la conceptualizacin y las

diferentes formas de presentacin de un problema de programacin lineal.

Unidad 2. Mtodos de Solucin se plantean los diferentes mtodos empleados

para solucionar problemas a nivel grfico, algebraico, simplex, con los que se

pretende que el estudiante posea herramientas para que busque la solucin


ptima a problemas simples y complejos que se le puedan presentar tanto en la

cotidianidad como en el ejercicio de su vida profesional y/o laboral.

El curso es de carcter terico y la metodologa a seguir ser bajo la estrategia de

educacin a distancia. Por tal razn es importante planificar el proceso de:

Estudio independiente: Se desarrolla a travs del trabajo personal y del trabajo en pequeos grupos colaborativos de aprendizaje.

Acompaamiento tutorial: Corresponde al acompaamiento que el tutor realiza al estudiante para potenciar el aprendizaje y la formacin.

El Sistema de evaluacin del curso es a travs de la evaluacin formativa, que

constituye diferentes formas de comprobar el avance en el auto aprendizaje del

curso.

En este sentido se realizarn tres tipos de evaluacin alternativas y

complementarias, estas son:

Autoevaluacin: evaluacin que realiza el estudiante para valorar su propio proceso de aprendizaje.

Coevaluacin: Se realiza a travs de los grupos colaborativos, y pretende la socializacin de los resultados del trabajo personal.

Heteroevaluacin: Es la valoracin que realiza el tutor.

El sistema de interactividades vincula a lo9s actores del proceso mediante

diversas actividades de aprendizaje que orientan el trabajo de los estudiantes

hacia el logro de los objetivos que se pretenden, de la siguiente manera:

Tutor-estudiante: a trasvs del acompaamiento individual Estudiante-estudiante: mediante la participacin activa en los grupos

colaborativos de aprendizaje. Estudiantes-Tutor: a travs del acompaamiento a los pequeos grupos

colaborativos de aprendizaje.

Tutor-Estudiantes: mediante el acompaamiento en el grupo de curso. Estudiantes-Estudiantes: en los procesos de socializacin que se realizan

en el grupo de curso.

Para el desarrollo del curso es importante el papel que juega los recursos

tecnolgicos como medio activo e interactivo, buscando la interlocucin durante

todo el proceso de dilogo docente-estudiante


Los materiales impresos en papel, se han convertido en el principal soporte para favorecer los procesos de aprendizaje autodirigido.

Sitios Web: propician el acercamiento al conocimiento, la interaccin y la produccin de nuevas dinmicas educativas.

Sistemas de interactividades sincrnicas: permite la comunicacin a travs de encuentros presenciales directos o de encuentros mediados ( Chat,

audio conferencias, videoconferencias, tutoras telefnicas) Sistemas de interactividades diferidas: permite la comunicacin en forma

diferida favoreciendo la disposicin del tiempo del estudiante para su proceso de aprendizaje, mediante la utilizacin de correo electrnico, foros

grupos de discusin, entre otros.

El acceso a documentos adquiere una dimensin de suma importancia en tanto la

informacin sobre el tema exige conocimientos y planteamientos preliminares, por

tal razn es imprescindible el recurso a diversas fuentes documentales y el

acceso a diversos medios como son: bibliotecas electrnicas, hemerotecas

digitales o impresas, sitios Web especializados.

En la medida en que usted adquiera el rol de estudiante, interiorice y aplique los

puntos abordados anteriormente, podr obtener los logros propuestos en este

curso, as como un aprestamiento en los enfoques y mtodos de la programacin

lineal, mediante la estrategia de la educacin a distancia.


JUSTIFICACIN

No es del todo fcil definir qu es la investigacin de operaciones. Existen

diversas definiciones en textos, pero se podra decir que la investigacin de

operaciones es un enfoque cientfico interdisciplinario para la solucin de

problemas, que envuelve la interaccin compleja, dinmica y sujetiva de hombres,

mtodos y sistemas, a los cuales, en algunos casos no se les puede proporcionar

una solucin exacta por medio de los procedimientos matemticos o por medio de

tcnicas de ensayo y error. Utilizando modelos matemticos como un recurso

primario, la metodologa de la investigacin de operaciones est diseada para

cuantificar y acotar estos problemas dentro de un marco de restricciones

especficas, medidas, objetivos y variables, de tal forma que se busquen controles

ptimos de operacin, decisiones, niveles y soluciones.

La programacin matemtica es quizs el rea ms desarrollada de la

investigacin de operaciones. Cubre tpicos tales como: Programacin lineal,

programacin de redes y programacin entera, adems de otras variantes de

mtodos de programacin tales como programacin de metas, en este curso nos

ocuparemos de la programacin lineal y sus diversos mtodos y tcnicas de

solucin para una adecuada toma de decisin.

Un modelo de programacin lineal proporciona un mtodo eficiente para

determinar una decisin ptima, (o una estrategia ptima o un plan ptimo)

escogida de un gran nmero de decisiones posibles. La decisin ptima es la que

Satisface un objetivo de administracin, sujeto a varias restricciones.

Las competencias que promueve el curso y que son necesarias son:

COGNITIVA: Capacidad de apropiarse de un conjunto de conocimientos a travs

del desarrollo, monitoreo y aplicacin de procesos de pensamiento.

COMUNICATIVA: Capacidad de comprender, expresar mensajes y de desarrollar

procesos argumentativos, apoyados por la asertividad en las relaciones

interpersonales.

CONTEXTUAL: Capacidad de ubicar el conocimiento en el contexto cientfico,

poltico, cultural, tecnolgico, social y en el plano nacional e internacional, as


como la disposicin y capacidad para aplicarlo en procesos de transformacin que

inciden en la calidad de vida de la poblacin.

VALORATIVA: Capacidad de apropiarse de valores como el respeto a la vida. La

dignidad humana, la convivencia la solidaridad, la tolerancia y la libertad que

orientan las acciones del individuo como persona, como ser social y como

profesional.

Para el logro de estas competencias, es necesario que se planifique de manera

responsable el proceso de auto estudio por parte del estudiante si se quieren

lograr resultados positivos en el aprendizaje de los conceptos incluidos en el

curso, este proceso se puede planificar de la siguiente manera:

Auto estudio: Estudio individual del material sugerido y consulta de otras fuentes ( documentales, consulta en biblioteca, Internet, bibliografa recomendada, consulta a bases de datos documentales, entre otros)

Trabajo en grupo: Creacin de grupos de estudio o discusin con el propsi8to de preparar consultas estructuradas al docente tutor.

Consultas al tutor de las inquietudes surgidas en el punto anterior. Retroalimentacin: Una vez el tutor haya resuelto las inquietudes, estudia

nuevamente el tema, teniendo en cuenta las sugerencias o respuestas dadas por el tutor.

Procesos de evaluacin: Una vez se halla realizado el proceso de retroalimentacin, desarrolle los diferentes momentos de evaluacin propuesta para el curso como son la auto evaluacin, la coevaluacin y la

heteroevaluacin.

De esta manera se pretende alcanzar los objetivos propuestos del curso y de la

programacin lineal en la solucin de problemas de aplicacin.


INTENSIONALIDADES FORMATIVAS

PROPOSITOS

Construir modelos de programacin lineal que permita describir una

situacin dada en forma apropiada y as manipular los datos en forma ordenada y eficiente.

Apropiarse de los diferentes mtodos y tcnicas para resolver problemas de

programacin lineal.

Operar las soluciones planteadas a travs de los diferentes mtodos y tener

en cuenta las condiciones variables, es decir realizar el anlisis de sensibilidad correspondiente.

Permitir que los estudiantes resuelvan problemas del campo de la ciencia, la tecnologa e ingeniera, con los conocimientos interiorizados del curso acadmico en mencin.

Fomentar en el estudiante caractersticas que deben identificarlo en su desempeo y actuacin profesional de la Ingeniera.

OBJETIVO GENERAL

Formular, obtener y analizar soluciones a problemas de programacin lineal, como

apoyo a la industria y la ingeniera, optimizando los recursos disponibles y

facilitando la toma de decisiones.

OBJETIVOS ESPECFICOS:

Comprender los elementos tericos que sustentan la programacin lineal.

Identificar y utilizar los mtodos de programacin lineal para la solucin de

problemas.

Identificar y manejar los algoritmos utilizados en la optimizacin de funciones lineales sujetas a restriccin de tipo general.

Identificar diferencias entre la formulacin de modelos y tcnicas de solucin.


METAS

Al terminar el curso de programacin lineal, el estudiante:

Identificar conceptos fundamentales de la programacin lineal

Reconocer los diversos mtodos y tcnicas para solucionar problemas de programacin lineal.

Valorar la importancia que tiene la programacin lineal en situaciones organizacionales para las empresas en el mundo moderno.

Plantear y resolver problemas en diferentes campos del saber, haciendo

un proceso de abstraccin de escenarios conocidos a escenarios desconocidos de las temticas estudiadas.

COMPETENCIAS

El estudiante comprende e interpreta adecuadamente los conceptos de programacin lineal, como funcin objetivo, restricciones, variables,

optimalidad, sensibilidad.

El estudiante identifica y maneja los diferentes mtodos y tcnicas para

solucionar problemas que involucran la programacin lineal.

El estudiante aprende a compartir los conocimientos adquiridos con sus compaeros, con su tutor y en general con la comunidad educativa.

El estudiante adquiere destreza en el manejo de las TIC, en su formacin acadmica, por medio del uso de medios y mediaciones que la UNAD le

ofrece.


UNIDAD UNO

INTRODUCCIN A LA PROGRAMACIN LINEAL


CAPITULO 1

LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

INTRODUCCION LECCION 1 ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA I.O.

LECCION 2 QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES? LECCION 3 METODOLOGA DE LA I.O. LECCION 4 COMPONENTES DE LA I.O.

INTRODUCCION

Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la divisin de trabajo y la

separacin de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin embargo esta revolucin creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los

componentes a convertirse en imperios relativamente autnomos, con sus propias metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigacin de

Operaciones.

La Investigacin de Operaciones aspira determinar la mejor solucin (optima) para un problema de decisin con la restriccin de recursos limitados.

En la Investigacin de Operaciones utilizaremos herramientas que nos permiten

tomar una decisin a la hora de resolver un problema, tal es el caso de los modelos de Investigacin de Operaciones que se emplean segn sea la necesidad.

Actualmente la investigacin de operaciones a incursionado en la administracin

con muy buenos resultados en este campo pues el ambiente de negocios al que

se est sometido y los mltiples cambios que ellos generan, los ciclos de vida de

los productos se hacen ms cortos, la abrumadora y acelerada era de la nueva

tecnologa y la internacionalizacin creciente, son razones suficientes para

desarrollar modelos que optimicen los resultados en estos campos del saber


LECCION 1 ANTECEDENTES Y ORIGEN DE LA INVESTIGACION DE

OPERACIONES

La investigacin de operaciones se origino en la segunda guerra mundial como

una necesidad de dar solucin a los problemas de carcter militar, los primeros

interesados en estos aspectos fueron los britnicos y los americanos quienes

asignaron esta tarea a un grupos de fsicos, matemticos, bilogos, estadsticos,

psiclogos entre otros para emplear el mtodo cientfico en la solucin de

problemas estratgicos y tcticos.

Despus de la guerra atrajo la atencin de la industria que buscaba soluciones a

problemas de complejidad y especializacin ascendente en las organizaciones.

Los primeros esfuerzos se dedicaron a desarrollar modelos apropiados y

procedimientos correspondientes para solucionar problemas que surgan en reas

tales como: la programacin de refineras de petrleo, la distribucin de productos,

la planeacin de productos, el estudio de mercados y la planeacin de inversiones.

Un factor importante de la implantacin de la Investigacin de Operaciones en

este periodo es el mejoramiento de las tcnicas disponibles en esta rea. Muchos de los cientficos que participaron en la guerra, se encontraron a buscar resultados sustanciales en este campo; un ejemplo sobresaliente es el mtodo Simplex para

resolucin de problemas de Programacin Lineal, desarrollado en 1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas utilizadas en la Investigacin de Operaciones como la Programacin Lineal, la Programacin Dinmica, Lneas de

Espera y Teora de Inventarios fueron desarrolladas al final de los aos 50.

Un segundo factor importante para el desarrollo de este campo fue el advenimiento de la revolucin de las computadoras. Para manejar los complejos problemas relacionados con esta disciplina, generalmente se requiere un gran

nmero de clculos que llevarlos a cabo a mano es casi imposible. Por lo tanto el desarrollo de la computadora digital, fue una gran ayuda para la Investigacin de Operaciones.

En la dcada de los 80 con la invencin de computadoras personales cada vez ms rpidas y acompaadas de buenos paquetes de Software para resolver problemas de Investigacin de Operaciones esto puso la tcnica al alcance de

muchas personas. Hoy en da se usa toda una gama de computadoras, desde las computadoras de grandes escalas como las computadoras personales para la Investigacin de Operaciones.


LECCION 2. QUE ES LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

La investigacin de operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o

sistemas, a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de la organizacin.

Algunos aspectos relacionados con la definicin:

Una organizacin es un sistema formado por componentes que se interaccionan, unas de estas interacciones pueden ser controladas y otras no.

La complejidad de los problemas que se presentan en las organizaciones

ya no encajan en una sola disciplina del conocimiento, se han convertido en multidisciplinario por lo cual para su anlisis y solucin se requieren grupos compuestos por especialistas de diferentes reas del conocimiento que

logran comunicarse con un lenguaje comn.

La investigacin de operaciones es la aplicacin de la metodologa cientfica a travs de modelos matemticos, primero para representar al

problema y luego para resolverlo.

La investigacin de operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coordinacin de operaciones (o actividades) dentro de una organizacin.

La investigacin de operaciones intenta encontrar una mejor solucin, (llamada solucin ptima) para el problema bajo consideracin.

Un enfoque de la investigacin de operaciones abarca:

Construir un modelo simblico que por lo general es un modelo matemtico,

pretende extraer los elementos fundamentales de un problema de decisin que es complejo e incierto de tal manera que pueda optimizar una solucin

viable para la consecucin de los objetivos de acuerdo al analista.

Examinar y analizar las relaciones que determinan las consecuencias de la

decisin realizada y comparar el mtodo relativo de acciones alternas con los objetivos de quien va a tomar la decisin.

Desarrollar una tcnica de decisin que comprenda teoras matemticas y

que conduzca a la optimizacin de los resultados.


La investigacin de operaciones se aplica tanto a problemas tcticos como estratgicos de una organizacin. Los primeros tienen que ver con actividades diarias y los segundos tienen una orientacin y una planeacin organizada

generalmente se apoyan en operaciones de carcter indirecto.

LECCION 3. METODOLOGIA DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

El uso de mtodos cuantitativos para solucionar problemas, generalmente implica

a mucha gente de toda la organizacin. Los individuos de un equipo de proyectos

proporcionan informacin de sus reas respectivas respecto a diversos aspectos

del problema. El proceso de aplicar mtodos cuantitativos requiere de una

sucesin sistemtica de pasos:

NO

Definicin del

problema

Formulacin de un

modelo matemtico. Resolucin del

modelo

matemtico.

Solucin

Es vlida la

solucin? Modelo

modificado

Implementacin


LECCION 4. COMPONENTES DE LA INVESTIGACION DE OPERACIONES

4.1. DEFINICION Y FORMULACION DEL PROBLEMA:

Esto incluye determinar los objetivos apropiados, las restricciones sobre lo que se

puede hacer, las interrelaciones del rea bajo estudio con otras reas de la

organizacin, los diferentes cursos de accin posibles, los lmites de tiempo para

tomar una decisin, etc. Este proceso de definir el problema es crucial ya que

afectar en forma significativa la relevancia de las conclusiones del estudio.

4.2 FORMULACION DE UN MODELO MATEMATICO:

La forma convencional en que la investigacin de operaciones realiza esto es

construyendo un modelo matemtico que represente la esencia del problema.

Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una

aproximacin abstracta de la realidad con consideraciones y simplificaciones que

hacen ms manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las

alternativas de solucin.

4.3 OBTENCION DE UNA SOLUCION APARTIR DEL MODELO

Depende de las caractersticas del modelo. Los procedimientos de solucin

pueden ser clasificados en tres tipos: a) analticos, que utilizan procesos de

deduccin matemtica; b) numricos, que son de carcter inductivo y funcionan en

base a operaciones de prueba y error; c) simulacin, que utiliza mtodos que imitan o,

emulan al sistema real, en base a un modelo.

Resolver un modelo consiste en encontrar los valores de las variables

dependientes, asociadas a las componentes controlables del sistema con el

propsito de optimizar, si es posible, o cuando menos mejorar la eficiencia o la

efectividad del sistema dentro del marco de referencia que fijan los objetivos y las

restricciones del problema.

La seleccin del mtodo de solucin.


4.4 PRUEBA DEL MODELO:

Antes de usar el modelo debe probarse exhaustivamente para intentar identificar y

corregir todas las fallas que se puedan presentar.

4.5 VALIDACION DEL MODELO:

Es importante que todas las expresiones matemticas sean consistentes en las

dimensiones de las unidades que emplean. Adems, puede obtenerse un mejor

conocimiento de la validez del modelo variando los valores de los parmetros de

entrada y/o de las variables de decisin, y comprobando que los resultados de

modelo se comporten de una manera factible.

4.6 ESTABLECIMIENTO DE CONTROLES DE LA SOLUCION:

Esta fase consiste en determinar los rangos de variacin de los parmetros dentro

de los cuales no cambia la solucin del problema.

Es necesario generar informacin adicional sobre el comportamiento de la

solucin debido a cambios en los parmetros del modelo. Usualmente esto se

conoce como ANLISIS DE SENSIBILIDAD.

Esta fase consiste en determinar los rangos de variacin de los parmetros dentro

de los cuales no cambia la solucin del problema.

Es necesario generar informacin adicional sobre el comportamiento de la

solucin debido a cambios en los parmetros del modelo. Usualmente esto se

conoce como ANLISIS DE SENSIBILIDAD.

4.7 IMPLEMENTACION DE LA SOLUCION:

El paso final se inicia con el proceso de "vender" los hallazgos que se hicieron a lo

largo del proceso a los ejecutivos o tomadores de decisiones.


CAPITULO DOS

CONJUNTOS CONVAVOS Y CONVEXOS

INTRODUCCIN

LECCION 5. CONCEPTO DE CONJUNTO CONVEXO

LECCION 6. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS

LECCION 7. EJERCICIOS DE APLICACIN

LECCION 8. FUNCIONES CONCAVAS CONVEXAS

. INTRODUCCIN

En el presente captulo podr valorar la importancia que tiene el anlisis de la

convexidad de conjuntos as como los diferentes tipos de convexidad o

concavidad de funciones toda vez que ellos constituyen los instrumentos

fundamentales para el desarrollo de la Teora de la Optimizacin Matemtica.

En primera instancia abordaremos el concepto de conjuntos convexos, su

definicin y propiedades fundamentales para luego analizar el comportamiento de

las combinaciones lineales convexas.

LECCION 5. CONCEPTO DE CONJUNTO CONVEXO.

Para analizar el concepto de conjunto convexo vamos a plantear el siguiente

ejemplo


.

EJEMPLO.

Consideremos los siguientes CONJUNTOS:

CONJUNTO P

P

CONJUNTO Q

Q

CONJUNTO R


R

CONJUNTO T.

T

Definimos la idea de conjunto convexo como aquel conjunto que contiene

cualquier segmento que une dos puntos del conjunto.

As por ejemplo segn esta idea GRAFICA, el conjunto P

x

P

y

Obsrvese que para cualquier par de puntos (x, y) que estn dentro del conjunto

P, el segmento que une dichos puntos siempre queda dentro del conjunto, en

consecuencia P sera un conjunto convexo.


Consideremos el conjunto Q:

Q

x y

Obsrvese que para cualquier par de puntos (x,y) que estn dentro del conjunto Q,

el segmento que une dichos puntos no queda dentro del conjunto, en

consecuencia Q no sera un conjunto convexo.

Consideremos el conjunto R:

x R

y

En este caso para cualquier par de puntos (x,y) de esta recta R, el segmento que

los une queda dentro del conjunto, en consecuencia R es un conjunto convexo.

Por ltimo sea el conjunto T:


x

T

y

Es claro grficamente que para cualquier par de puntos x, y, el segmento que los

une est totalmente contenido en dicho conjunto.

Consideremos un ltimo ejemplo en el plano, sea el conjunto T

T

(conjunto poligonal delimitado por los puntos (0,0),(5,3),(0,8),(7,4),(6,3),(7,1 )

Se puede ver que existen segmentos, como el indicado en la figura que se sale del

conjunto por lo que este conjunto no sera CONVEXO.

T


EJERCICIOS

Determinar si los siguientes conjuntos son o no convexos, dibujndoles

previamente:

a. Conjunto poligonal determinado por los puntos (0,1),(1,0),(1,3),(0,1)

b. Conjunto poligonal determinado por los puntos (1,1),(2,1),(2,3),(-1,2), (-1,0),(1,1)

SOLUCION:

a. es convexo

b. no es convexo

Podemos definir conjuntos en el plano de una manera ms compleja:


As por ejemplo si consideramos el conjunto

Qu hacemos para dibujar este conjunto?

Primero dibujamos la curva que delimita el conjunto.

Para delimitar la regin del plano basta considerar un punto que no est en la

curva, por ejemplo (1,2) si ese punto satisface la ecuacin entonces ese es el

recinto a considerar, en nuestro caso como 2 s es mayor o igual que 1. Entonces

el recinto es

Obsrvese que es claramente convexo pues cualquier par de puntos que estn en

S3 el segmento que los une est claramente contenido en S3.


Qu sucedera si no podemos representar grficamente el conjunto, como

sucede con conjuntos de dimensin superior a 3?

En esos casos es necesario dar una definicin analtica de conjunto convexo, para

lo cual efectuamos la siguiente definicin:

CONJUNTO CONVEXO:

Diremos que un subconjunto S Rn es convexo si para cualquier par de

puntos y para cualquier [0,1] se cumple que est

en S, es decir que si llamamos segmento de extremos por

S es convexo si para cualesquiera ,

Cul es el significado de z= x+(1- )y?

Vamos a verlo en un ejemplo:

EJEMPLO:

Estudiar analticamente si el conjunto anterior

es un conjunto convexo.

Para ello consideremos dos vectores de S3

(x1,y1), (x2,y2),


Habra que comprobar si b(x1,y1)+(1-b)(x2,y2) es un vector que pertenece a S3 para

cualquier valor de b en [0,1]

Es decir tendremos que comprobar si

.bx1+(1-b)x2 , by1+(1-b)y2

Como x1,y1 entonces bx1,by1 (pues b es positivo o cero)

Y como x2,y2 entonces (1-b)x2,(1-b)y2

Sumando ambas expresiones se obtiene la desigualdad por tanto S3 es un

conjunto convexo.

Y comprobando si el vector

Que una vez simplificado nos da

Y al expandirle

Si es un vector del conjunto S3.


EJERCICIO

Estudiar de forma grfica si los siguientes conjuntos son o no conjuntos convexos.

a.

b.

SOLUCIONES:

a. Lo hacemos grficamente, representando el conjunto.

Para ello dibujamos los dos lmites del conjunto x2+y2=1 y x2+y2=4 (circunferencias de radio 1 y radio 2)

Definimos las expresiones

Y luego las representamos como aparece.

cul es el recinto?

Ahora debemos determinar en que lado de las circunferencias se sita el

conjunto.


Tomemos un punto fuera de ambas circunferencias, por ejemplo (0,0),. Y

comprobemos si se verifica la primera desigualdad para ese punto

Efectivamente no se verifica, por tanto el conjunto se sita hacia fuera de la

circunferencia.

Por otro lado

Es cierta por tanto el conjunto es la corona circular situada entre la

circunferencia de radio 1 y la circunferencia radio 2.

Este conjunto es convexo?

Claramente se ve que no, tomemos dos puntos cualesquiera por ejemplo (-

1,1/2) y (2,0), ambos pertenecen al conjunto, sin embargo el segmento que

los une como se ve no pertenecen al conjunto.

b. Consideremos las expresiones que definen los lmites del conjunto:


Representemos ambas rectas:

Para saber cul es exactamente el recinto, tomemos un punto que no est en

dichas rectas, por ejemplo (0,0).

Comprobemos a qu lado de la recta x+y=1 se encuentra nuestro conjunto x+y=1,

comprobamos para (0,0), y observamos que 0+0= 1 verifica la ecuacin, por tanto

el recinto x+y=1 est al lado del (0,0).


Y por otro lado para determinar el conjunto x-y=1 comprobamos que 0-0= 1 por

tanto tambin es de la recta hacia el (0,0), con lo cual tendremos que el recinto

ser:


LECCION 6. PROPIEDADES DE LOS CONJUNTOS CONVEXOS.

Vamos a estudiar qu sucede con la UNIN y la INTERSECCIN de conjuntos

convexos. Comencemos con la INTERSECCIN de conjuntos convexos.

INTERSECCIN DE CONJUNTOS CONVEXOS.

EJEMPLO.

Sean los siguientes conjuntos convexos:

Si los representamos tendremos:


Cul es la interseccin de estos dos conjuntos?

Se puede ver que la interseccin es el conjunto

Se puede ver grficamente que es un conjunto convexo.

Y este ejemplo se puede generalizar con la siguiente propiedad:

LA INTERSECCIN DE CONJUNTOS CONVEXOS ES UN CONJUNTO

CONVEXO.

UNIN DE CONJUNTOS CONVEXOS.


A partir de los conjuntos convexos anteriores S y T, veamos cul es el conjunto

unin.

Este conjunto no es convexo pues si considero dos puntos del conjunto por

ejemplo

(1.04, -1.57) y (2.43,-0.3)

Si representamos el segmento que une dichos puntos editando

Obtenemos


Segmento que no est totalmente contenido en el conjunto. Luego:

LA UNION DE CONJUNTOS CONVEXOS EN GENERAL NO ES UN CONVEXO

LECCION 7. EJERCICIOS DE APLICACION

CONJUNTOS CONCAVOS Y CONVEXOS

Representar los siguientes conjuntos de R2 e indicar cules son convexos:

a.

b.

c. d. R2

e.

f.

g.

h.

i.

Probar que todo subespacio vectorial de R3 es un conjunto convexo.


LECCION 8. FUNCIONES CONCAVAS Y CONVEXAS

Las funciones cncavas y convexas representan un papel fundamental en la

Teora de la Optimizacin ya que pueden garantizarnos la GLOBALIDAD de los

ptimos locales. Por ello vamos a iniciar este apartado introduciendo el concepto

de funcin cncava y convexa para luego ms tarde introducir condiciones que

nos permitan reconocer si una funcin es cncava o convexa dependiendo de sus

propiedades de diferenciabilidad.

EJEMPLO.

Consideremos la siguiente funcin:

Si dibujamos esta funcin y obtenemos

Observemos la grfica de esta funcin en el intervalo [0,3 ]


Podemos ver que en esta grfica si dibujamos cualquier segmento que una dos

puntos de la misma, ste siempre queda por debajo de la grfica. Por ejemplo,

consideremos los puntos

Si dibujamos el segmento que une dichos puntos en la grfica obtenemos

Qu claramente queda por debajo de la grfica.

Consideremos otros pares de puntos de la grfica por ejemplo:

Al dibujar el segmento que une dichos puntos tenemos:

Consideremos otro par de puntos por ejemplo

Si los dibujamos considerando


Obtenemos

Se puede observar que para cualquier par de puntos de la grfica que toman

valores en el segmento considerado el segmento que une dichos puntos siempre

queda por debajo de la grfica por ello podemos efectuar la siguiente definicin:

FUNCIONES ESTRICTAMENTE CONCAVAS Y CONCAVAS

DEFINICIN:

Diremos que una funcin f es estrictamente cncava en un conjunto M convexo si

todo segmento que une dos puntos de la grfica esta estrictamente por debajo de

la grfica.

Diremos que una funcin es CONCAVA (no estricta) si no todas las cuerdas que

unen puntos de la grfica en dicho intervalo quedan estrictamente por debajo.

Vamos ahora a introducir el concepto de funcin CONVEXA.

Consideremos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO.

Consideremos la misma funcin anterior


pero ahora considerada en

que debemos enfocarnos es:

Consideremos ahora nuevamente varios puntos de esta grfica en dicho intervalo

por ejemplo

si dibujamos el segmento que los une por medio de la matriz

se obtiene


si ahora dibujamos el segmento que une los puntos

Obtendremos

Obsrvese que los segmentos quedan siempre por encima de la grfica de la

funcin.

En estos casos, diremos que la funcin es convexa en el intervalo dado.

Por ello podemos realizar la siguiente definicin:

FUNCIN CONVEXA.

DEFINICION: Sea f una funcin definida en un intervalo de R, diremos que dicha

funcin es convexa en el intervalo si todo segmento que une dos puntos de la

grfica queda por encima de la grfica. Si siempre queda estrictamente por

encima decimos que la funcin es estrictamente convexa.

EJERCICIO

Estudiar el carcter de las siguientes funciones en los recintos que se indican:

(a) En toda la recta real:

(b) En toda la recta real:


( C) En el intervalo (0,1 )

(d) En el intervalo (-1 ,0)

(e) En el recinto (-3 ,0)

(f) En el recinto (0,3 )

SOLUCIONES:

a. ESTRICTAMENTE CONVEXA


b. ESTRICTAMENTE CONVEXA

c. ESTRICTAMENTE CONVEXA

d. ESTRICTAMENTE CONCAVA


e. estrictamente CONCAVA

f. ESTRICTAMENTE CONVEXA


CAPITULO 3

CONCEPTUALIZACION DE LA PROGRAMACION LINEAL

Introduccin

LECCION 9. Concepto LECCION 10. Formulacin del problema de programacin lineal LECCION 11. Modelo general de programacin lineal

LECCION 12. Otras formas de modelos de P.L. LECCION 13. Terminologa y conceptos bsicos

INTRODUCCION

Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programacin Lineal (PL) entre

los avances cientficos ms importantes de mediados del siglo XX. En la

actualidad es una herramienta comn que ha ahorrado miles o millones de dlares

a muchas compaas y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos

pases del mundo. Cul es la naturaleza de esta notable herramienta y qu tipo

de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo ms comn de

aplicacin abarca el problema general de asignar recursos limitados entre

actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma ptima).

Este problema de asignacin puede surgir cuando deba elegirse el nivel de ciertas

actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La variedad de

situaciones a las que se puede aplicar esta descripcin es sin duda muy grande, y

va desde la asignacin de instalaciones productivas a los productos, hasta la

asignacin de los recursos nacionales a las necesidades de un pas; desde la

planeacin agrcola, hasta el diseo de una terapia de radiacin; etc. No obstante,

el ingrediente comn de todas estas situaciones es la necesidad de asignar

recursos a las actividades.

LECCION 9. CONCEPTO

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deber

ser funciones lineales. En este caso, las palabra programacin no se refiere a

programacin en computadoras; en esencia es un sinnimo de planeacin. As, la

programacin lineal trata la planeacin de las actividades para obtener un

resultado ptimo.


La programacin lineal es una tcnica de investigacin de operaciones para la

determinacin de la asignacin optima de recursos escasos cuando la funcin

objetivo y las restricciones son lineales. Es una manera eficiente de resolver estos

problemas cuando se debe hacer una eleccin de alternativas muy numerosas

que no pueden evaluarse intuitivamente por los mtodos convencionales.

LECCION 10. FORMULACION DEL PROBLEMA DE PROGRAMACION LINEAL

10.1 INTRODUCCION

Los trminos clave son recursos y actividades, en donde m denota el nmero de

distintos tipos de recursos que se pueden usar y n denota el nmero de

actividades bajo consideracin.

Z = valor de la medida global de efectividad.

Xj = nivel de la actividad j (para j = 1,2,...,n).

Cj = incremento en Z que resulta al aumentar una unidad en el nivel de la

actividad j.

bi = cantidad de recurso i disponible para asignar a las actividades (para

i = 1,2,...,m).

aij = cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.

10.2 ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PROGRAMACION LINEAL

1. Funcin objetivo. Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situacin la cual es una funcin lineal de las diferentes actividades del

problema, la funcin objetivo se maximizar o minimiza.

2. Variables de decisin. Son las incgnitas del problema. La definicin de las variables es el punto clave y bsicamente consiste en los niveles de todas las actividades que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.


3. Restricciones Estructurales. Diferentes requisitos que debe cumplir cualquier solucin para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de

materiales, etc.

4. Condicin tcnica. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos.

LECCION 11. MODELO GENERAL DE PROGRAMACION LINEAL

Formulacin de modelos de Programacin Lineal.

Aunque se ponga en duda, la parte ms difcil de PL es reconocer cundo

sta puede aplicarse y formular el problema matemticamente. Una vez hecha esa

parte, resolver el problema casi siempre es fcil.

Para formular un problema en forma matemtica, deben expresarse

afirmaciones lgicas en trminos matemticos. Esto se realiza cuando se

resuelven problemas hablados al estudiar un curso de lgebra. Algo muy


parecido sucede aqu al formular las restricciones. Por ejemplo, considrese la

siguiente afirmacin: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si

deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restriccin ser:

3A + 2B = 100

Sin embargo, en la mayora de las situaciones de negocios, no es

obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de obra).

Ms bien la limitacin es que se use, cuando mucho, lo que se tiene disponible.

Para este caso, la afirmacin anterior puede escribirse como una desigualdad:

3A + 2B 100

Para que sea aceptable para PL, cada restriccin debe ser una suma de

variables con exponente 1. Los cuadrados, las races cuadradas, etc. no son

aceptables, ni tampoco los productos de variables. Adems, la forma estndar

para una restriccin pone a todas las variables del lado izquierdo y slo una

constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algn reacomodo

de los trminos. Si, por ejemplo, la restriccin es que A debe ser por los menos el

doble de B, esto puede escribirse como:

A 2B A - 2B 0

Ntese que pueden moverse trminos de un lado a otro de las desigualdades

como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una desigualdad por -1, el

sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser necesario hacer esto para que

los coeficientes del lado derecho sean positivos. Por ejemplo, si se quiere que A

sea por lo menos tan grande como B - 2, entonces:

A B 2

A B -2

Por ltimo B A 2


Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad en una

ecuacin. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una variable extra.

Por ejemplo:

B - A 2 es lo mismo que B - A + S = 2

En donde S representa la diferencia, o la holgura, entre B - A y 2. S se llama

variable de holgura. Por otro lado, se restara una variable de supervit en el caso

siguiente:

A - 2B 0 es lo mismo que A - 2B -S = 0

Algunos mtodos de solucin (como el Mtodo Simplex) y la mayora de

los programas de computadora (como el MathProg, que viene en el

ORCourseware, que acompaa al libro Introduccin a la Investigacin de

Operaciones de los autores Hillier y Lieberman) requieren que todas las

desigualdades se conviertan en igualdades.

La metodologa de PL requiere que todas las variables sean positivas o

cero, es decir, no negativas. Para la mayora de los problemas esto es real, no se

querra una solucin que diga: prodzcanse menos dos cajas o contrtense

menos cuatro personas.

Mientras que no existe un lmite en el nmero de restricciones que puede

tener un problema de PL, slo puede haber un objetivo. La forma matemtica del

objetivo se llama funcin objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar

alguna medida numrica. Podra ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la

contribucin marginal o los contactos con los clientes. Podra ser minimizar el

costo, el nmero de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el

objetivo es evidente al observar el problema.


Como el valor de la funcin objetivo no se conoce hasta que se resuelve el

problema, se usa la letra Z para representarlo. La funcin objetivo tendr,

entonces, la forma:

Maximizar Z = 4A + 6B

Minimizar Z = 2x1 + 5x2

Se analiza una aplicacin para ilustrar el formato de los problemas de Programacin Lineal.

FORMA ESTNDAR DE LOS MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL.

Supngase que existe cualquier nmero (digamos m) de recursos limitados de

cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier nmero (digamos n) de

actividades competitivas de cualquier clase. Etiqutense los recursos con nmeros

(1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea xj (una variable de

decisin) el nivel de la actividad j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z la medida de

efectividad global seleccionada. Sea c j el incremento que resulta en Z por cada

incremento unitario en xj (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea bi la cantidad disponible

del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por ltimo defnase aij como la cantidad de

recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i = 1, 2, ..., m y j = 1, 2,

..., n). Se puede formular el modelo matemtico para el problema general de

asignar recursos a actividades. En particular, este modelo consiste en elegir

valores de x1, x2, ..., xn para:

Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

sujeto a las restricciones:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn b2


am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm y

x1 0, x2 0, ..., xn 0

sta se llamar nuestra forma estndar (porque algunos libros de texto adoptan

otras formas) para el problema de PL. Cualquier situacin cuya formulacin

matemtica se ajuste a este modelo es un problema de PL.

En este momento se puede resumir la terminologa que usaremos para los

modelos de PL. La funcin que se desea maximizar, c1x1 + c2x2 + ... + cnxn, se

llama funcin objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones como

restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una funcin del tipo ai1x1

+ ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i) reciben el

nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las restricciones xj 0

se llaman restricciones de no negatividad. Las variables xj son las variables de

decisin. Las constantes de entrada, aij, bi, cj, reciben el nombre de parmetros del

modelo.

LECCION 12. OTRAS FORMAS DE MODELOS DE PROGRAMACIN LINEAL.

Es conveniente agregar que el modelo anterior no se ajusta a la forma

natural de algunos problemas de programacin lineal. Las otras formas legtimas

son las siguientes:

1. Minimizar en lugar de maximizar la funcin objetivo:

Minimizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,

2. Algunas restricciones funcionales con desigualdad en el sentido mayor o igual:

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, bi, para algunos valores de i,

3. Algunas restricciones funcionales en forma de ecuacin:


ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, = bi, para algunos valores de i,

4. Las variables de decisin sin la restriccin de no negatividad:

xj no restringida en signo para algunos valores de j.

Cualquier problema que incluya una, varias o todas estas formas del modelo

anterior tambin se clasifica como un problema de PL, siempre y cuando stas

sean las nicas formas nuevas introducidas. Puede ser que la interpretacin que

se ha dado de asignacin de recursos limitados entre actividades que compiten no

se aplique, pero independientemente de la interpretacin o el contexto, lo nico

que se necesita es que la formulacin matemtica del problema se ajuste a las

formas permitidas. Se ver que estas otras cuatro formas legales se pueden

reescribir en una forma equivalente para que se ajuste al modelo que se present.

Entonces, todo problema de PL se puede poner en nuestra forma estndar si se

desea.

FORMULACION ALGEBRAICA: FORMA CANONICA

Todo problema de PL puede representarse como:

Max (z) =c1x1+c2x2+...+cnxn

sujeto a:

a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn b1

a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn b2

...

am1x1 + am2x2 +...+ amnxn bm

x1, x2, ...,xn 0


siendo:

xj: Nivel de actividad de la variable xj

cj: Contribucin unitaria de xj a funcin objetivo

aij: Coeficiente tcnico, unidades de recurso i que se consumen por

unidad de variable j

bi: Cantidad disponible de recurso i

Otra representacin:

En forma matricial: Max (z) = C x

sujeto a:

Ax b

x 0

A esta forma se la denomina forma cannica

IMPORTANCIA DE LA FORMA CANONICA

La forma cannica es importante porque todos los desarrollos e interpretaciones econmicas del problema pueden referirse a la misma.

Es posible transformar un problema de PL a un problema equivalente en forma cannica.

Un problema de PL puede consistir en: Buscar un mximo o un mnimo de la funcin objetivo

n ... 2, 1, j 0x

m ... 2, 1,i donde bxa

:a sujeto

xc (z)Max

j

i

n

1j

jij

n

1j

jj


Restricciones de tipo , e = Variables positivas, negativas o no restringidas en signo

Conversin de un problema lineal general a su forma cannica:

Cambiar el sentido de la optimizacin Cambiar el sentido de la desigualdad

Cambiar una desigualdad en igualdad Variable de holgura o slack Variable surplus

Cambiar igualdades en desigualdades Cambiar variables sin restriccin de signo a otras de signo positivo o

nulo

LECCION 13. TERMINOLOGIA Y CONCEPTOS BASICOS

Conjunto factible Es el conjunto de puntos que satisfacen simultneamente todas las

restricciones (o filas) del problema

Actividades, columnas o variables (xj) Representan los usos alternativos que deben competir entre s para la

obtencin de los recursos de forma que se optimice la funcin objetivo

Recursos (bi) Son productos, tiempo, etc. Se cuantifican en el trmino independiente o

Right Hand Side (RHS) del problema

El conjunto factible de un problema de PL, si existe, es representable mediante un poliedro convexo


UNIDAD 2

METODOS DE SOLUCION


CAPITULO 1

LECCION 14. INTRODUCCION METODO GRAFICO

LECCION 15. DEFINICION

LECCION 16. CONCEPTO GENERAL DEL METODO GRAFICO

LECCION 17. PASOS PARA LA SOLUCION MEDIANTE EL METODO

GRAFICO

LECCION 18. EJEMPLOS

LECCION 14. INTRODUCCION METODO GRAFICO

Antes de entrarnos por completo en los mtodos analticos de la investigacin de

operaciones es muy conveniente ver un poco acerca de las desigualdades de una

ecuacin lineal.

Por ejemplo tenemos la ecuacin

2X + 3Y = 60 en donde X, Y 0

Es decir que para que se cumpla la igualdad de la ecuacin nos tocara adquirir 15

unidades de X y 10 unidades de Y respectiva mente:

2(15) + 3(10) = 60


Y la solucin se dara por la misma lnea recta.

Pero por otra parte si en la ecuacin no se quiere llegar a la totalidad del resultado

se dar la ecuacin en una forma diferente llamada inecuacin:

2X + 3Y 60 en donde X, Y 0

Dndose como solucin factible un rea sombreada que depende del signo de la

desigualdad. Si el signo es el la solucin ser el rea inferior esa se sombrear o

si por el contrario el sigo es el rea a sombrear ser la de todos los puntos por

encima de la lnea obtenida.

En la anterior grafica la solucin ms factible es la de los puntos ms cerca del eje

X (bajo la recta de la solucin lineal ya que la ecuacin es precedida por el signo

.


LECCION 15. DEFINICION:

Por definicin de algunos libros una desigualdad entre dos variables es una

desigualdad que puede escribirse de la forma:

ax + by +c < 0 (o bien 0, 0, >0)

En donde a, b, c son constantes mientras que a y b son diferentes de cero

En trminos geomtricos, la solucin de una desigualdad lineal en x y y consiste

en todos los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la desigualdad.

Observemos a continuacin las desigualdades y las regiones descritas por ellas:

EJEMPLO 1:

Determinar la regin descrita por la desigualdad y 5

Cuando veamos un problema como este no nos asustemos porque el hecho de

que no aparezca la x en ningn lugar de la ecuacin solo quiere decir que x es

cierto en cualquier punto de x.

SOLUCION

La regin sombreada es la solucin factible para la desigualdad planteada.


EJEMPLO 2:

Describir la regin definida por la desigualdad: x -2

EJEMPLO 3:

Dando valores a x y y determinamos las rectas con las reas correspondientes a

las desigualdades planteadas.

2x + y > 3

x y

y 1 > 0

Este sistema es equivalente

y > -2x + 3 x =0; y =3

Y=0; x= 3/2

y x x= 0; y= 0

x=1 ; y= 1

y > 1/2


Obsrvese que se ha escrito cada desigualdad de manera que y queda

despejada. Consecuencia las regiones apropiadas con respecto a las rectas

correspondientes restaran evidentes. En primer lugar se trazan las rectas

y = -2x + 3,

y = x Y

y = y

Despus se sombra la regin que se encuentra simultneamente por encima de la

recta, sobre o por debajo de la segunda de ellas y por encima de la tercera esta

regin es la solucin.

Entonces la solucin para el anterior ejercicio seria la regin sombreada.


LECCION 16. CONCEPTO GENERAL DEL METODO GRAFICO

Ahora se considerara la forma en que se pueden resolver problemas de tipo lineal,

en donde la funcin dada se tendr que maximizar o minimizar. Una funcin lineal

en x y y tiene la forma:

Donde a y b son constantes. Tambin se requerir que las restricciones

correspondientes estn representadas mediante un sistema de desigualdades

lineales o ecuaciones en x y en y y que todas las variables sean no negativas.

A un problema en el que intervienen todas estas condiciones se le denomina

problema de programacin lineal.

La programacin lineal fue desarrollada por George B. danzing a fines de la

dcada de 1940 y se utilizo primero en la fuerza area de losa estados unidos

como auxiliar en la toma de decisiones. En la actualidad tiene amplia aplicacin en

el anlisis industrial y econmico.

En un problema de programacin lineal a la funcin que se desea maximizar o

minimizar se le denomina funcin objetivo. Aunque por lo general existe una

cantidad infinitamente grande de soluciones para el sistema de restricciones (a las

que se denomina soluciones factibles o puntos factibles), el objetivo consiste en

encontrar una de esas soluciones que represente una solucin ptima (es decir

una solucin que del valor mximo o mnimo de la fusin objetivo)

En conclusin con lo que acabamos de revisar en la parte anterior sobre las

inecuaciones nos da para definir literalmente el mtodo grafico y el mtodo

algebraico dentro del mbito de la programacin lineal.

ax+by=0


Entonces el mtodo grafico en la programacin lineal es simplemente sacar de

una situacin (problema) ecuaciones lineales y convertirlas en desigualdades o

inecuaciones para poder graficarlas y as sacar la regin mas optima dependiendo

del signo de la desigualdad esa rea se sombreara y esa ser la solucin mas

optima del problema.

LECCION 17. PASOS PARA LA SOLUCION MEDIANTE EL METODO

GRAFICO

Para llegar a una solucin ptima en el mtodo grafico se requiere seguir con una

serie de pasos que podemos dar a continuacin:

1. formulacin del problema

El primer paso para la resolucin por mtodo grafico es expresar el problema

en trminos matemticos en el formato general de la programacin lineal

(desigualdades) con un solo fin maximizar la contribucin a la ganancia.

2. graficar las restricciones El prximo paso de la solucin por mtodo grafico es la graficacin de las

restricciones en el plano cartesiano para establecer todas las posibles

soluciones.

3. obtencin de la solucin optima Para encontrar la solucin ptima, se grafica la funcin objetivo en la misma

grfica de las restricciones. Se graficara siempre la funcin objetivo del

problema y se dar la solucin de acuerdo con el smbolo que este presente en

las restriccin de la funcin objetivo.

LECCION 18. EJEMPLOS

EJEMPLO: 1

Maximizar la funcin objetivo:


Z= 3x + y

Sujeto a las restricciones:

2x + y 8

2x + 3y 12

x, y 0

a continuacin graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones as:

2x + y 8 x=0; y=8

y=0; x=4

2x + 3y 12 x=0; y=4

Y=0; x=6

x, y 0


Se observa que la regin factible esta conformada por los puntos A(0,0); D(0,4);

B(4,0) y el punto C que es el resultado de la interseccin de las 2 inecuaciones

cuyo valor aproximadamente en el plano esta dado por las coordenadas (3,2).

Ahora bien el problema solicita la maximizacin de Z = 3x + y que se obtiene

precisamente en el punto C(3,2).

EJEMPLO: 2

Minimizar la funcin objetivo:

Z= 2x + 3y

Sujeto a las restricciones:

x +2y 10

3x + 2y 18

x, y 0


a continuacin graficamos las desigualdades planteadas en las restricciones as:

x + 2y10 x=0; y=5

y=0; x=10

3x + 2y18 x=0; y=9

Y=0; x=6

x, y 0

Regin Factible

(4,3)

Se observa que la regin factible esta conformada por los puntos (0,9); (4,3);

(10,0), donde el punto (4,3) es el resultado de la interseccin de las dos

ecuaciones dadas como restricciones.

Ahora bien el problema solicita la maximizacin de Z = 3x + y que se obtiene

precisamente en el punto C(3,2).


CAPITULO 2

METODO ALGEBRAICO

INTRODUCCION

LECCION 19. PASOS PARA UTILIZAR EN METODO ALGEBRAICO

LECCION 20. EJEMPLOS DESARROLLADOS

LECCION 21. TALLER

INTRODUCCION

En ocasiones nos encontramos con problemas de ndole magnitud, a los cuales se

desea maximizar o minimizar una funcin sujeta a ciertas restricciones.

Muchas personas califican al mtodo algebraico, como uno de los mtodos ms

importantes en el campo de la programacin lineal. En la actualidad es una

herramienta comn, que se ha prestado para resolver problemas de gran

magnitud; por su simplicidad, sencillez y estilo de uso cientos de empresas,

compaas de todo el mundo han ahorrado miles y miles de pesos.

En este captulo se tratara la formulacin de problemas utilizando el mtodo

algebraico para la solucin de problemas de programacin lineal. Se hace un

enfoque a la variedad de aplicaciones del mtodo para que el estudiante

interesado pueda tener una visin y ejercitar sus conocimientos.

El mtodo algebraico contempla en su desarrollo al mtodo grafico y de la misma

manera el mtodo grafico no estara completo sin la rigurosidad del mtodo

algebraico pues la apreciacin visual que da el grafico en la solucin ptima puede

estar sujeta a error por parte del analista.


LECCION 19. PASOS PARA UTILIZAR EN METODO ALGEBRAICO

Dado que tenemos un problema de dos variables, podemos graficar las

soluciones posibles y comprender algunos puntos interesantes respecto a las

relaciones lineales. Veremos la siguiente manera de obtener grficamente las

soluciones al problema planteado y luego veremos como obtenerlas

algebraicamente.

1. Exprsense los datos del problema como una funcin objetivo y

restricciones.

2. Graficar las restricciones.

3. Definir el conjunto factible.

4. Encontrar la solucin ptima

A continuacin se presentan el anlisis algebraico y grafico de algunos problemas

de programacin lineal:

LECCION 20. EJEMPLOS DESARROLLADOS

PROBLEMA 1:

Supngase una compaa fabrica 2 tipos de artefactos, manuales y elctricos.

Cada uno de ellos requiere en su fabricacin el uso de 3 maquinas: A, B y C. un

artefacto manual requiere del empleo de la maquina A durante 2 horas, de una 1

en B y una 1 en C, un artefacto elctrico requiere de 1 hora en A, 2 horas en B y 1

hora en C. supngase adems que el numero mximo de horas disponible por

mes para el uso de las tres maquinas es 180, 160 y 100, respectivamente. La

utilidad que se obtiene con los artefactos manuales es de 4000 pesos y de 6000

pesos para los elctricos. Si la compaa vende todos los artefactos que fbrica,

Cuntos de ellos de cada tipo se deben elaborar con el objeto de maximizar la

utilidad mensual?


A B C UTILIDAD

MANUALES(X) 2 1 1 4000

ELECTRICOS(Y) 1 2 1 6000

HORAS

DISPONIBLES

180 160 100

SOLUCIN:

1. Paso: Planteamos la funcin objetivo y las restricciones correspondientes:

MAX Z= 4000X + 6000Y

SUJETO A:

2X + Y 180

X + 2Y 160

X + Y 100

2. Paso: Elaboramos el grfico correspondiente a las restricciones con el fin de precisar la regin factible y determinar los puntos que la conforman:


2X + Y 180 X=0 Y= 180

Y=0 X= 90

X + 2Y 160 X=0 Y=80

Y=0 X=160

X + Y 100 X=0 Y=100

Y=0 X=100

3. Paso: Resolvemos el sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas del punto B y C as:


Para B: X + 2Y 160 Para C: 2X + Y 180

X + Y 100 X + Y 100

Y= 60 X = 80

X= 40 Y = 20

4. Paso:

Con los puntos de la regin factible:

O(0,0) ; B(40,60) ; C(80,20) ; A(0,80); D(90,0) Maximizamos la funcin

objetivo :

MAX Z = 4000x + 6000 y

(0,0) 4000(0) + 6000(0) = 0

(0,80) 4000(0) + 6000(80) = 480000

(40,60) 4000(40) + 6000(60)= 520000

(90,0) 4000(90) + 6000(0) = 360000


5. Paso: La solucin para el problema est representada por la fabricacin de 40 artefactos manuales y 60 artefactos elctricos generando una mxima utilidad de $ 520.000.

EJEMPLO 2:

Un granjero va a comprar fertilizante que contiene tres ingredientes nutritivos, A, B

Y C. Las necesidades mnimas son 160 unidades de A, 200 de B y 80 de C.

Existen en el mercado dos marcas populares de fertilizante. El llamado

crecimiento rpido que cuesta $ 4000 el costal y contienen 3 unidades de A, 5 de

B y 1 de C, y el de crecimiento normal que cuesta $3000 y contiene 2 unidades de

cada ingrediente. Si el granjero desea minimizar el costo al tiempo que mantiene

el mnimo de los ingredientes nutritivos que se requieren, cuantos costales de

cada marca debe comprar?.

A B C COSTO

CRECI/RAPIDO 3 5 1 4000

CRECI/NORMAL 2 2 2 3000

REQUERIMIENTO 160 200 80

SOLUCIN:

1. Paso: Determinamos la funcin objetivo y sus restricciones:

MIN Z= 4000X + 3000Y


SUJETO A LAS RESTRICCIONES:

3X + 2Y 160

5X + 2Y 200

X + 2y 80

2. Paso: Elaboramos la grfica y determinamos la regin factible:

3X + 2Y 160 X=0 Y= 80

Y=0 X= 53,33

5X + 2Y 200 X=0 Y= 100

Y=0 X= 40

X + 2y 80 X=0 Y=40

Y=0 X=80


3. PASO: Determinar las coordenadas de los puntos A y B:

Para A: 3X + 2Y 160 Para B: 3X + 2Y 160

5X + 2Y 200 X + 2y 80

-2X = -40 2X = 80

X = 20 X= 40

Y = 50 Y = 20

4. Paso: Optimizamos la funcin objetivo:


Z= 4000X + 3000Y

(80,0) 4000(80) + 3000(0) = 320000

(40,20) 4000(40) + 3000(20) = 220000

(20,50) 4000(20) + 3000(50) = 230000

(0.100) 4000(0) + 3000(100) = 300000

5. Paso: La solucin del problema para el granjero est en comprar 40 unidades de crecimiento rpido y 20 de crecimiento normal, con un costo mnimo de $ 220.000.


LECCION 21. TALLER

1. MAXIMIZAR

P= 10x + 12y

Sujeta a:

x + y 60

x - 2y 0

x, y 0

2. MAXIMIZAR

P= 5x + 6y

Sujeta a

x + y 80

3x + 2y 220

2x + 3y 210

x, y 0


3. MAXIMIZAR

Z= 4x - 10y

Sujeta a

x 4y 4

2x y 2

x, y 0

4. MINIMIZAR

Z= 7x + 3y

Sujeta a

3x y -2

x + y 9

x y = -1

x, y 0

5. Un fabricante de juguetes que esta preparando un programa de produccin

para 2 nuevos artculos, maravilla y fantstico, debe utilizar la i informacin respecto a sus tiempos de construccin que se proporcionan en la siguiente


tabla. Por ejemplo, cada juguete maravilla requiere de 2 horas en la maquina A. las horas de trabajo disponibles de los empleados por semana, son: para la maquina A, 70 horas; para la B, 40 horas; para terminado, 90 horas. Si las

utilidades de cada juguete maravilla y cada juguete fantstico son de $40.000 y $60.000, respectivamente, Cuntas unidades de cada uno deben fabricarse por semana con el objeto de maximizar las utilidades? cual seria la

utilidad mxima?

MAQUINA A MAQUINA B TERMINADO

MARAVILLA 2h 1h 1h

FANTASTICO 1h 1h 3h


CAPITULO 3

METODO SIMPLEX

INTRODUCCION LECCION 22. PASOS PARA DESARROLLAR EL METODO simplex

LECCION 23. DUALIDAD LECCION 24. COMPARACION ENTRE EL METODO SIMPLEX DUAL Y EL DUAL-SIMPLEX

LECCION 25. ANALISIS DE SENCIBILIDAD LECCION 26. TALLER METODO SIMPLEX LECCION 27. TALLER DUALIDAD

LECCION 28. DEGENERACION LECCION 29. PROBLEMAS DE PL CON VARIABLES ACOTADAS LECCION 30. ALGORITMOS DE DESCOMPOSICION

LECCION 31. LA PROGRAMACION LINEAL BASADA EN LOS COMPUTADORES

INTRODUCION

En los captulos 1 y 2 de esta unidad vimos como resolver problemas de

programacin lineal a travs del mtodo grafico y el mtodo algebraico, surgen

grandes limitaciones a la hora de trabajar con estos dos mtodos, es decir que no

es posible darle ptima solucin a un problema. Esto se debe a que el mtodo

grafico no resulta prctico cuando el nmero de variables se aumenta a tres, y con

ms variables resulta imposible de utilizar. Por otra parte el mtodo algebraico

tarda demasiado tiempo aun para problemas de pocas variables y restricciones.

El mejor mtodo para resolver un problema de programacin lineal es el mtodo

simplex, ya que es un mtodo de fcil aplicacin, de tipo algortmico y conduce a

una eficiente solucin del problema.


CONCEPTO

El mtodo simplex fue desarrollado por George dantzig (1947) y es un mtodo

algebraico que se utiliza para resolver problemas de programacin lineal en un

nmero finito de pasos en una computadora. Este mtodo establece una solucin

factible y luego prueba si es ptima o no. Si no lo es busca una mejor solucin y si

esta no es optima entonces repite el proceso hasta hallar una solucin ptima.

LECCION 22. PASOS PARA EL DESARROLLO DEL METODO SIMPLEX

1. Elaborar la tabla simplex inicial.

X1 X2 X3 S1 S2 S3 S4 Z b

S1 a11 a12 a13 1 0 0 0 0 b1

S2 a21 a22 a23 0 1 0 0 0 b2

S3 a31 a32 a33 0 0 1 0 0 b3

S4 a41 a42 a43 0 0 0 1 0 b4

Z -C1 -C2 -C3 0 0 0 0 1 0

Indicadores

Existen cuatro variables de holgura, S1, S2, S3, y S4; una para cada restriccin.

2. Si todos lo indicadores del ltimo rengln son no negativos, entonces Z tiene un mximo cuando X1=0, X2=0 y X3=0. El valor mximo es 0. Si existen indicadores negativos, localizar la columna en la que aparezca el indicador

ms negativo. Esta columna seala la variable entrante.


3. Dividir cada uno de los elementos de la columna de b que se encuentran por encima de la recta punteada entre el correspondiente elemento de la columna de la variable entrante. Se debe realizar esta divisin solo en los casos en los

que el elemento de la variable que entra sea positivo.

4. encerrar en un crculo el elemento de la columna de la variable entrante que corresponde al menor cociente del paso 3. Este es un elemento pivote. La

variable saliente es la que se encuentra al lado izquierdo del rengln del elemento pivote.

5. Utilizar operaciones elementales sobre renglones para transformar la tabla en otra tabla equivalente que tenga un 1 en donde se encuentra el elemento

pivote y 0 en las dems posiciones de esa columna.

6. la variable entrante debe reemplazar a la variable saliente en el lado izquierdo de esta nueva tabla.

7. si todos los indicadores de la tabla nueva son no negativos, ya se tiene una

solucin ptima. El valor mximo de Z es el elemento del ltimo rengln y la ltima columna. Ocurre esto cuando las variables se encuentran del lado izquierdo de la tabla son iguales a lo elementos correspondiente de la ltima

columna. Todas las dems variables son ceros. Si cuando menos uno de los indicadores es negativo, se debe repetir el mismo proceso con la nueva tabla, comenzando con el paso 2.

EJEMPLOS DESARROLLADOS

EJEMPLO 1

Maximizar Z= 5X1+4X2

100404 programacion lineal contenidos actualizados al 2010

Documents