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MODULO

ECUACIONES DIFERENCIALES

CARLOS IVAN BUCHELI

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD – ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS Bogotá D. C, 2007

COMITÉ DIRECTIVO

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Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Gloria Herrera Vicerr ectora Académica

Roberto Salazar Ramos Vicerr ector De Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero Secretar ia General

MÓDULO

CURSO ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMERA EDICIÓN

© opyright Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2007 Bogotá. Colombia

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Bienvenidos al curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinar ias de la Univer sidad

Nacional Abier ta y a Distancia UNAD. Este curso contiene el desarrollo de las

temáticas propias para programas de Ingeniería que impar te en esta Universidad.

Por ser las Ecuaciones Difer enciales una herr amienta fundamental en el estudio de

muchos fenómenos físicos, este curso es par te integral de los planes de estudios de las

carreras de Ciencias Básicas e Ingenier ía .

Es per tinente aclarar que la propuesta del curso, esta sujeta a todas las

observaciones, ya que por ser un mater ial dinámico, puede ser ajustado en el

momento que se requiera.

El Autor

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PRESENTACION Las ecuaciones que has encontrado hasta ahora responden en su mayor parte a la necesidad de obtener los valores numéricos de ciertas magnitudes. Cuando, por ejemplo, al buscar los máximos y los mínimos de funciones se resolvía una ecuación y se encontraban los puntos para los cuales se anulaba la velocidad de variación de una función, o cuando se considera el problema de hallar las raíces de un polinomio, se trata siempre de hallar números concretos.

Pero en las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.

Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas.

La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones.

Sucede con frecuencia que las leyes que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, leyes que representan un problema económico y otros, se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

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PROLOGO

En este material sobre Ecuaciones Diferenciales para los estudiantes de la facultad de ciencias basicas e ingenieria que he construido , a lo largo de estos últimos a˜ nos, he observado que, además, resulta útil para otras carreras, Visto que estos apuntes podían ser aprovechados por diversas personas con diferentes objetivos, y puesto que podían tener un publico no demasiado restringido, me decidí a darle vida en forma de Modulo.

El modulo consta fundamentalmente de tres partes, de acuerdo a una primera clasifcacion general de la ecuaciones que se estudian: ecuaciones explłicitas de primer orden, ecuaciones en las que la derivada aparece implłcitamente, y ecuaciones en las que se puede reducir el orden. Cada una de estas partes abarca diversos tipos de ecuaciones, que aparecen en lo que hemos denominado “Apartados”, Por otra parte, todos los metodos de resolucion se basan, en esencia, en aplicar transformaciones diversas hasta llegar a una ecuacion de variables separadas, cuya resolucion requiere solo calcular integrales. Varios de los tipos que se estudian se subdividen a su vez en subtipos. En todo caso, siempre se analizan los procesos que hay que seguir para llegar a la resolucion, a veces por diferentes caminos hasta manejar las ecuaciones diferenciales mediante series matemáticas.

Un resumen de los metodos que se emplean, para recordarlos de un vistazo, Estos esquemas permiten clasificar facilmente las ecuaciones estudiadas y tener una rapida indicacion de como abordar su resolucion. Asł mismo, con cada tipo de ecuaciones se muestra un ejemplo tipico completamente resuelto.

En en modulo aparece una peque˜ na bibliografła con libros exclusivamente en castellano. Al contrario que en muchos otros temas de matematicas, existen, en nuestro idioma, bastantes textos dedicados a las ecuaciones diferenciales, asł que solo he incluido unos pocos. Entre las obras citadas, no he considerado necesario indicar cuales son teoricas y cuales se dedican fundamentalmente a la resolucion de problemas, ya que me ha parecido que sus titulos son bastante descriptivos.

Hay que tener presente que este es un modulo , dedicado a un tema bastante puntual, con un łndice detallado, y cuyo proposito es permitir que, cuando nos encontramos ante una ecuacion diferencial, podamos facilmente distinguir su tipo para proceder a resolverla.

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GLOSARIO

Condiciones Iniciales

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n­1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n­1) (x0) = y(n­1) se llaman condiciones iniciales.

Condiciones De Linealidad

Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n­1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n­1).

Las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

i) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo término donde aparece y es 1.

ii) Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.

Conjunto Fundamental De Soluciones

Todo conjunto y1, y2,..., yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Dependencia O Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que

C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Ecuación Auxiliar

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Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden

ay + by + cy = 0 (2)

Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y = m2emx, de modo que la ecuación (2) se transforma en

am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx (am2 + bm + c) = 0

Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática

am2 + bm + c = 0

Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica.

Función Complementar ia

La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces,

Y = función complementaria + cualquier solución particular

Difer encial Exacta

Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Dependencia O Independencia Lineal

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Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que

C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

Der ivadas Totales.

En algunos casos x, y no son variables independientes en la función Q=f(x,y) ya que tanto x como y pueden estar en función de una tercera variable t es decir, X =f (x), y = f(t) valores que se sustituyen en la función Q, esta se convierte en una función de una sola variable “t” y su derivada puede encontrarse de manera ordinaria o mediante la expresión.

De la misma forma se obtiene para una función de un número cualquiera de variables, esto es:

Ecuaciones Exactas.

La igualdad M (x,y) dx + N(x,y)dy = 0 es una ecuación diferencial exacta el primer miembro es una diferencial total.

Es decir: Si df = fxdx + fydy por lo tanto fxdx + fydy = 0 es una ecuación diferencial exacta y fx = M(x,y), y fy = N(x,y).

Encontrar la solución de una ecuación diferencial exacta es hallar una función f(x,y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada.

Ecuación Integral Con Factor Integrante.

Si existe una función F(x,y) tal que f(x,y)M(dx) + f(x,y)N(dy) = 0 es exacta entonces f(x,y) se llama factor de integración de la ecuación diferencial Mdx + DNI = 0

Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios factores de integrantes es decir, puede convertirse en exacta

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial

Y’ + P(x)y = f(x)yn

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n es cualquier número real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1­n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.

Ecuaciones Lineales No homogéneas

Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yp = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27.

Ecuación Diferencial

Es una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o mas variables independientes es una ecuación diferencial.

Factor Integrante

El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo Bernoulli para poder obtener su solución.

Familia De Curvas

Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas.

Función Seccionalmente Continua

Una función es continua por tramos en [ 0, ") si, en cualquier intervalo 0 " a " t " b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos tk , k = 1, 2, .... , n (t k­1 < t k ) en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto t k­1 < t < t k.

Fracciones Parciales

Usted ya sabe como combinar dos o más expresiones racionales a fin de obtener una expresión racional mediante adición o sustracción.

En ocasiones es necesario invertir el proceso, es decir, representar una expresión racional simple como una suma de dos o más cocientes simples, denominado fracciones racionales. En cálculo se necesita hacer esto a fin de efectuar la operación de integración de algunas funciones racionales. Con frecuencia se emplean sistemas de ecuaciones para descomponer una expresión racional en fracciones parciales.

H(x) = P(x)

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Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Se asumirá que se tiene una fracción propia, esto es, una fracción por la cual el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x). Si se tiene una función racional para la cual el grado del numerador no es menor que el grado del denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador entonces se tiene una fracción impropia, y en este caso se divide el numerador entre el denominador hasta que se obtenga una fracción propia.

Función Homogénea

Cuando una función f tiene la propiedad

F(tx,ty) = ta f(x,y)

Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.

Intervalo De Convergencia

Toda serie de potencias tiene un intervalo de convergencia, que es el conjunto de los números para los cuales converge la serie.

Operador Difer encial

En calculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es dy/Dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función

Punto Ordinar io

Se dice que un punto xo es punto ordinario de la ecuación diferencial si P(x) y Q(x) son analíticas en xo.

Punto Singular

Se dice que un punto que no es ordinario es un punto singular de la ecuación. Es singular real si tanto (x ­xo)P(x) como (x ­ xo)Q(x) son analíticas en xo. Se dice que es un punto singular que no es regular es un punto singular irregular de la ecuación.

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Soluciones Explicitas e Implícitas

Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función .

Solución General

Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, ya,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n­paramétrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

Solución Par ticular

Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y = cex también satisface la ecuación.

Solución Singular

En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno de los parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.

Teorema De Existencia Y Unicidad

Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un intervalo I,

Ser ies De Potencias

Una serie de potencias en x ­ a es una serie infinita de la forma no cn(x ­ a)n. También, se dice que esa serie es una serie de potencias centradas en a.

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TABLAS DE DERIVADAS E INTEGRALES

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CONSIDERACIONES PREVIAS

Definición Formal de la Integral:

f(x) dx = lim (d ­> 0) (k=1..n) f(X(k)) (x(k) ­ x(k­1)) cuando...

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b d = max (x1­x0, x2­x1, ... , xn ­ x(n­1)) x(k­1) <= X(k) <= x(k) k = 1, 2, ... , n

F '(x) dx = F(b) ­ F(a) (Teorema Fundamental para Integrales de Der ivadas)

a f(x) dx = a f(x) dx (si a es una constante)

f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx

f(x) dx = f(x) dx | (a b)

f(x) dx + f(x) dx = f(x) dx

f(u) du/dx dx = f(u) du (integración por substitución)

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CONTENIDO

UNIDAD I.

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1.1. Conceptualización de una ecuación diferencial 1.1.2. Resolución de una ecuación diferencial 1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales 1.1.4. Campos de aplicación de las ecuaciones diferenciales

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN 1.2.1. De variables separables 1.2.2. Homogéneas 1.2.3. Ecuaciones exactas 1.2.4. El factor integrante 1.2.5. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden.

Unidad II.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y DE ORDEN SUPERIOR

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN 2.1.1. Ecuaciones diferenciales de segundo orden reducibles a primer orden. 2.1.2. Solución general de ecuaciones diferenciales de segundo orden 2.1.3. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes 2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no ­ homogéneas con coeficientes constantes 2.1.5. Operador para la solución de ecuaciones de segundo orden. 2.1.6. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 2.2.1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 2.2.2. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de orden superior

Unidad III.

ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

3.1. SERIES DE POTENCIAS 3.1.1. Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 3.2. SERIES DE TAYLOR 3.2.1. Solución de ecuaciones diferenciales mediante series de Taylor

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UNIDAD UNO

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

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1.1. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La enseñanza de las ecuaciones diferenciales en los cursos tradicionales está dedicada a la resolución. Al dejar de lado la interpretación geométrica la conceptualización de las Ecuaciones Diferenciales es parcializada. Esto se observa en el hecho de que los estudiantes no pueden resolver problemas que involucren simultáneamente distintos registros de representación.

Entre las actividades que pueden ser propuestas dentro de la enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales deben ser destacadas las de visualización, ya que enfrentan al estudiante a dar consistencia a los resultados que obtenga.

Ciertamente una alternativa didáctica muy extensa en este tema se encuentra en proporcionando un juego de marcos para solución a las ecuaciones diferenciales (numérico, gráfico y algebraico).

Deseamos conocer con más detalle cuál es el efecto de las actividades Propuestas en la coordinación de los diferentes registros de representación al solucionar ecuaciones diferenciales de primer orden y orden superior.

Muchas de las leyes de la naturaleza, encuentran su expresión más natural en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales. Son así mismo abundantes en la propia matemática, especialmente en la geometría.

Es fácil comprender la razón que se oculta tras la amplia gama de aplicaciones de las

ecuaciones diferenciales. Recuerde que si es una función, su derivada se puede

interpretar como la razón de cambio de con respecto a . En cualquier proceso natural, las variables involucradas y sus razones de cambio están relacionadas entre sí por medio de los principios científicos básicos que gobiernan dicho proceso. Al expresar tal conexión en el lenguaje matemático, el resultado es con frecuencia una ecuación diferencial.

La medición de razones y proporciones tiene gran aplicación en varias áreas de la ingeniería, es necesario saber tal magnitud para dar una aproximación a problemas de la vida real. Es posible realizar calcular diferencias para cualquier arreglo de datos. En probabilidad y estadística se obtiene razón de interés compuesto, en física el trabajo que se requiere en determinada condición de tiempo y espacio, crecimientos poblacionales, circuitos eléctricos, temperatura etc. Es prudente hacer la observación los eventos anteriores están en función del tiempo "t"

Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la

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solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:

1. Existencia: ¿Existirá una solución al problema? 2. Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única? 3. Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos?

Nos ocuparemos de los interrogantes.

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1.1.1. CONCEPTUALIZACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Qué es una ecuación diferencial?

Definición [Ecuación Diferencial]

Hemos identificado varias veces problemas y situaciones susceptibles de ser descritas por

una ecuación diferencial. Así, vimos que problemas relativos a la desintegración

radiactiva, al crecimiento de poblaciones, a reacciones químicas, a la ley de enfriamiento de

Newton o a la fuerza gravitatoria, se pueden formular en términos de ecuaciones

diferenciales.

Una ecuación difer encial es una ecuación en la que interviene una función y una o varias de sus derivadas. Si la función tiene sólo una variable independiente, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinar ia. Por ejemplo,

d 2 y + 3 dy __ 2y = 0

dx 2 dx

En una ecuación diferencial ordinaria en la cual la variable dependiente y = f(x) es una función dos veces derivable de x. Una ecuación diferencial en la que interviene una función de varias variables independientes se dice que es una ecuación diferencial en der ivadas parciales. En este capítulo restringimos nuestra atención a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

Además del tipo (ordinaria o parcial), las ecuaciones diferenciales se clasifican según su orden. El orden de una ecuación diferencial viene determinado por la derivada de orden más alto que aparezca en ella.

Clasificación de ecuaciones diferenciales

EJEMPLO 1:

ECUACIÓN TIPO ORDEN

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a) y´´´ + 4y = 2 Ordinaria 3

b) d 2 s = ­ 32 Ordinaria 2 dt 2

c) (y´)2 – 3y = ex Ordinaria 1

d) ∂ 2 u + ∂ 2 u = 0 Parcial 2 ∂x 2 + ∂y 2

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en varias categorías, como ya vimos, según su tipo en ordinarias y parciales, o según su linealidad u orden, como veremos.

Por tanto, El orden de una ecuación diferencial es igual al de la derivada de más alto orden que aparece de manera no trivial en la ecuación.

Una ecuación diferencial ordinaria de orden es lineal si se puede escribir de la forma

Donde los coeficientes para son funciones reales, con . Una ecuación diferencial ordinaria que no se pueda expresar de esta forma es no lineal.

Ejemplo La ecuación diferencial

es de primer orden, no lineal y no homogénea.

Ejemplo La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes constantes y no homogénea. Esta ecuación diferencial surge en el estudio de circuitos eléctricos que consisten de un inductor , un

resistor y un capacitor , al cual se aplica una fuerza electromotriz .

Ejemplo La ecuación

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es de orden 3, lineal con coeficientes constantes y homogénea.

La ecuación

es de primer orden, no lineal y no homogénea.

La ecuación

es de segundo orden, lineal con coeficientes variables y no homogénea.

El concepto de orden también se extiende a las ecuaciones parciales como se muestra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo

La ecuación

se conoce como la ecuación de calor y es de primer orden en y de segundo orden en .

La ecuación

se conoce como la ecuación de Laplace y es de segundo orden en e .

La ecuación

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se conoce como la ecuación de onda y segundo orden en , y .

1.1.2. RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Una función y = f(x) se dice que es una solución de una ecuación diferencial si la ecuación se satisface al sustituir en ella y y sus derivadas por f(x) y sus derivadas respectivas. Por ejemplo, derivando y sustituyendo es fácil comprobar que y = e ­2x es una solución de la ecuación diferencial

y + 2y = 0 Se puede demostrar que toda solución de esta ecuación diferencial es de la forma y = Ce­ 2x , Donde C denota cualquier número real. Diremos que e­ 2x es la solución general de esa ecuación diferencial. (Algunas ecuaciones diferenciales tienen soluciones singulares que no se pueden escribir como casos particulares de la solución general).

s(t) = ­ 16t 2 + C1t + C2

Que contiene dos constantes arbitraries. Puede demostrarse que la solución general de una ecuación diferencial de orden n contiene n constantes arbitrarias.

Verificación de soluciones

Averiguar si las funciones dadas son solución de la ecuación diferencial y´´ ­ y = 0. Probemos: a) Como y = sen x, y´= cos x e y´´ = ­ sen x, se sigue que

y´´ ­ y = ­ sen x – sen x = ­ 2 sen x ≠ 0

Por tanto, y = sen x no es solución.

b) Como y = e 2x , y´= 2e 2x , e y´´ = 4e 2x , se sigue que

y´´ ­ y = 4e 2x – e 2x = 3e 2x ≠ 0

Por tanto, y = e 2x no es solución.

c) Como y = 4e­ x , y´= ­4e­ x , e y´´ = 4e­ x , se sigue que

y´´ ­ y = 4e­ x – 4e­ x = 0

Por tanto, y = 4e­ x es solución.

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d) Como y = Ce x , y´= Ce x , e y´´ = Ce x , se sigue que

y´´ ­ y = Ce x – Ce x = 0

Por tanto, y = Ce x es solución para todo valor de C.

Más adelante veremos que la solución general de la ecuación diferencial del Ejemplo es y = C1e x + C2e ­x . Una solución par ticular de una ecuación diferencial es cualquier solución que se obtenga dando valores específicos a las constantes arbitrarias de la solución general.

Verificación de soluciones

Para la ecuación diferencial xy´­ 3y = 0, verificar que y = Cx 3 es solución y hallar la

solución particular determinada por la condición inicial y = 2 cuando x = ­3.

Sabemos que y = Cx 3 es una solución, ya que y´= 3Cx 2 , así que

xy´­ 3y = x(3 Cx 2 ) – 3(Cx 3 ) = 0

Además, la condición inicial y = 2 cuando x = ­ 3 implica que

y = Cx 3 2 = C(­3) 3 C = ­2/ 27

Luego concluimos que la solución particular es y = ­2x 3 /27.

Nota : para determinar una solución particu la r, el número de condiciones inicia les ha de coincidir con el de constan tes

arbitra rias en la solución general.

INTERPRETACION GEOMETRICA DE LA SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL

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Geométricamente, la solución general de una ecuación diferencial de primer orden representa una familia de curvas, conocidas como curvas solución, una para cada valor asignado a la constante arbitraria. Por ejemplo, es fácil comprobar que toda función de la forma y = C/x es solución de la ecuación diferencial xy´+ y = 0. La figura muestra varias curvas solución correspondientes a diversos valores de C.

Las soluciones particulares de una ecuación diferencial se obtienen de las condiciones iniciales que dan el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas para una valor particular de la variable independiente. El término “condiciones iniciales” proviene de que, con frecuencia, en problemas donde interviene el tiempo, se conoce el valor de la variable dependiente o de alguna de sus derivadas en el instante inicial t = 0. Por ejemplo, la ecuación diferencial de segundo orden s´´(t) = ­32, con solución general

s(t) = ­ 16t 2 + C1t + C2

podria tener las siguientes condiciones iniciales.

s(0) = 80, s´(0) = 64 Condiciones iniciales

En este caso, las condiciones iniciales dan como solución particular

s(t) = ­ 16t 2 + 64t + 80

Soluciones de una ecuación diferencial. Constantes de integración

Una solución o integral de una ecuación diferencial es una relación entre las variables, que define a una de ellas como función de la otra, que satisface a la ecuación así.

Es una solución general de la ecuación diferencial

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Ejemplo

Del problema anterior hallar una solución cuando y=2 dy/dx=­1 x=0

La solución general de la función es para y=2 e dy/dx=­1 cuando x=0 aplicando relación entre variables

Sustituyendo los valores encontrados de c1 y c2 en la solución general encontramos nuestro resultado

Una ecuación diferencial se considera resuelta cuando se ha reducido a una expresión en términos de integrales, pueda o no efectuarse la integración.

Ejemplo

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La función

es solución de la ecuación diferencial .

Observe que para calcular debemos usar el teorema fundamental del cálculo 1.2

Sustituyendo

Si la solución de una ecuación diferencial de orden tiene constantes diferentes, diremos que dicha solución es la solución general de la ecuación diferencial. Si asignamos valores a algunas o todas esas constantes obtenemos lo que se conoce como una solución particular.

Ejemplo

La familia de parábolas es la solución general de la ecuación diferencial

.

Derivando implícitamente

Sustituyendo

En la figura se muestran algunas curvas solución.

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Ejemplo

Encontrar una ecuación diferencial cuya solución general sea la familia de círculos con

radio 1 y centro en .

La ecuación de la familia de círculos con centro en y radio 1 es

Derivando implícitamente respecto a

Despejando el término de la ecuación y sustituyéndolo en la ecuación de la familia obtenemos

la cual no contiene a constante . Para eliminar la constante , despejemos el término

De donde, derivando implícitamente y simplificando obtenemos la ecuación diferencial deseada

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Observe que el lado derecho de la ecuación es la fórmula de curvatura y efectivamente la curvatura de los círculos es 1.

1.1.3. Clasificación de las ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se clasifican en:

Ordinar ias: cuando la función desconocida o incógnita depende de una variable.

Parciales: cuando la función desconocida o incógnita depende de mas de una variable.

Otr a clasificación:

Por el orden: el orden de una ecuación diferencial, es el de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Por el grado: el grado de una ecuación diferencial es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación.

Soluciones singular es

Una solución de una ecuación diferencial se llama singular si no se puede obtener de la solución general al sustituir las constantes por valores, es decir, no es una solución particular.

Ejemplo

La familia de rectas es la solución general de la ecuación diferencial

. La parábola es una solución singular.

1.1.4. CAMPOS DE APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales

31

del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

Otros Campos de aplicación en la solucion de problemas de las ciencias naturales y sociales como lo es: la Salud, la medicina, la contaduría, la administración, etc. las ciencias sociales como tal. SEÑOR ESTUDIANTE ANALICE ESTE ASPECTO PARA REALIZAR SU TRABAJO INDEPENDIENTE EN FUNCION A LA APLICACIÓN EN SU MEDIO.

32

EJERCICIOS PROPUESTOS

Clasificar las ecuaciones diferenciales de acuerdo con su tipo y orden.

1. dy + 3xy = x 2 2. y´´ + 2y´+ y = 1 3. d 2 x + 2 dx ­ 4x = e t

dx dt 2 dt

4. d 2 u + du = sec t 5. y (4) + 3 (y´) 2 – 4y =0 6. x 2 y´´ + 3xy´= 0

dt 2 dt

7. (y´´) 2 + 3y´­ 4y = 0

Verificar que la función dada es solución de la ecuación diferencial.

8. y = C1cos x + C2 sen x, y´´ + y = 0

9. y = C1e ­x cos x + C2e ­x sen x, y´´ + 2y´+ 2y =0

10. u = e –t sen bx, b 2 ∂u = ∂ 2 u

∂t ∂x 2

Hallar la solución particular que pasa por el punto indicado en la grafica.

11 . y 2 = Cx 3 , 2xy´­ 3y =0

33

1.2. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Una ecuación de primer orden puede reducirse a la forma

Siendo M y N funciones de X e Y

Las ecuaciones diferenciales de primer orden pueden dividirse en 4 grupos

1.2.1. Solución problemas implican Ecuaciones con var iables separables.

En esta sección comenzamos estudiando técnicas para resolver familias específicas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En primer lugar vamos a presentar un procedimiento que permite resolver una ecuación diferencial de primer orden que se puede escribir en la forma: M(x) + N(­y) dy = 0

dx

donde M es una función continua de x solamente, y N una función continua de y solamente.

Para este tipo de ecuaciones, todos los términos en x se pueden unir con dx y todos los

términos en y con dy, y se obtiene una solución por integración. Tales ecuaciones se

llaman separables y el procedimiento de resolución se denomina separación de var iables.

Los pasos necesarios son los siguientes.

SEPARACIÓN DE VARIABLES

1. Expresar la ecuación en forma diferencial

M(x)dx + N(y) dy = 0, es decir M(x)dx = ­N (y)dy

2. Integrar para obtener la solución general

34

∫M(x)dx + ∫N(y) dy = C

O sea

∫M(x) dx = ­∫ N(y) + C

EJEMPLO

Hallar la solución general de: (x 2 + 4) dy = xy dx

Solución: Para empezar, observamos que y = 0 es una solución. Con el fin de hallar otras soluciones, supongamos y ≠ 0 y separamos las variables como sigue.

(x 2 + 4) dy = xy dx Forma diferencial

dy = ___x__ Separar variables y x 2 + 4

Integrando, obtenemos ahora

∫dy = ∫__x__ dx Integrar y x 2 + 4

ln |y| =_1/2 ln (x 2 + 4) + C1

= ln x 2 + 4 +c1

= |y| = e C1 x 2 + 4

y = + e C1 x 2 + 4

Como y = 0 también es solución, podemos escribir la solución general como

35

Y = C x 2 + 4 Solución general

En el ejemplo puede verificar que y = x 2 + 4 es solución, derivando y sustituyendo en la

ecuación original.

En ocasiones no es posible escribir la solución general en la forma explícita y = f(x). El

próximo ejemplo es de esa clase. Se puede utilizar derivación implícita para verificar la

solución.

Cálculo de una solución particular por separación de variables.

Dada la ecuación inicial y(0) = 1 hallar la solución particular de la ecuación diferencial

xydx + e ­x2 (y2 – 1) dy = 0

Solución: Nótese que y = 0 es solución de la ecuación diferencial dada, pero esta solución

no cumple la condición inicial impuesta. Por tanto supondremos y ≠ 0. Para separar

variables hemos de liberar al primer término de y y al segundo de e ­x2 . Así pues,

multiplicamos por ex2/y, con lo que obtenemos:

(e x2 ) xy dx + (e x2 ) e ­x2 (y 2 – 1) dy = 0, y ≠ 0 y y

xe x2 dx + ( y – 1_) dy = 0 y

∫ xe x2 dx + ∫ (y – 1_) dy = 0 y

36

1_ e x2 + y 2 ­ ln |y| = C1

2 2

e x2 + y 2 ­ ln y 2 = 2C1 = C

Exigimos que y = 1 para x = 0, lo cual lleva a 1 + 1 + 0 + 2 = C. En consecuencia, la solución particular tiene la forma implícita

e x2 + y 2 ­ ln y 2 = 2

Hallando una curva solución particular

Hallar la ecuación de la curva que pasa por el punto (1.3) y tiene pendiente y/x 2 en cada

uno de sus puntos (x,y).

Al ser la pendiente de la curva y/x 2 , tenemos

dy = y dx x 2

con la condición inicial y(1) = 3, separando variables e integrando, se llega a

∫dy = ∫__dx__ y ≠ 0 y x 2

ln|y| = ­ 1 + C1

x

y = e ­(1/x)+C1 = Ce –1/x

Como y = 3 para x = 1, deducimos que 3 = Ce –1, o sea C = 3e. Por tanto, la ecuación de la

curva pedida es y = (3e)e ­1/x = 3e (x­1)/x , x>0

37

1.2.2 ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Algunas ecuaciones diferenciales que no son separables en x e y, se convierten en

separables tras un cambio de variables. Este es el caso para las ecuaciones diferenciales de

la forma y´= f(x,y), siempre que f sea una función homogénea.

DEFINICIONES DE FUNCIONES HOMOGÉNEAS

La función dada por z = f(x,y) es homogénea de grado n si

f(x,y) = t n (x,y), donde n es un número real.

Verificando el carácter homogéneo en funciones

a) f(x,y) = x 2 y ­ 4 x 3 + 3xy 2 es una función homogénea de grado 3 porque

f(tx,ty) = (tx) 2 (ty) 2 ­ 4 (tx) 3 + 3(tx)(ty) 2

= t 3 (x 2 y)­ t 3 (4x 3 )+ t 3 (3xy 2 ) = t 3 (x 2 y ­ 4x 3 + 3xy 2 ) = t 3 f(x,y)

b) f(x,y) = xe x/y + y sen (y/x) es una función homogénea de grado 1 porque

f(tx,ty) = txe tx/ty + ty sen ty = t(xe x/y + y sen y/x) = tf (x,y) tx

c) f(x,y) = x + y 2 no es homogenea porque f(tx,ty) = tx +t 2 y 2 = t(x+ty 2 ) ≠ t n (x+y 2 )

d) f(x,y) = x/y es homogénea de grado cero porque f(tx,ty) tx t 0 x_

ty y

DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS

Una ecuación diferencial homogénea es cualquier ecuación de la forma M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0

donde M y N son funciones homogéneas del mismo grado.

38

Para resolver una ecuación diferencial homogénea por separación de variables, usaremos el siguiente cambio previo de variables.

CAMBIO DE VARIABLES PARA ECUACIONES HOMOGÉNEAS Si M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es homogénea, se puede transformar en una ecuación

diferencial separable por medio de la sustitución y = vx donde v es una función derivable de x.

Resolución de una ecuación diferencial homogénea

Hallar la solución general de la ecuación diferencial homogénea

(x 2 – y 2 ) dx + 3 xydy = 0

Como (x 2 – y 2 ) y 3 xy son ambas homogéneas de grado 2, hacemos y = vx, lo que implica dy = x dv + v dx. Entonces por sustitución llegamos a

dy

(x 2 – v 2 y 2 ) ∂x + 3x(vx)(x dv + v dx) = 0

(x 2 + 2v 2 x 2 ) dx + 3 x 3 v dv =0 x 2 (1 + 2v 2 ) dx + x 2 (3vx)dv = 0

Dividiendo por x 2 y separando variables se obtiene

(1+2 v 2 ) dx = ­3vx dv

∫dx =∫ __­3v___ dv x 1+ 2v 2

ln |x| = ­ 3_ ln (1+ 2v 2 ) + C1 4

4 ln |x| = ­3 ln (1+ 2v 2 ) + ln |C| ln x 4 = ln |C(1+2v 2 ) ­3 | x 4 = C (1+2v 2 ) ­3

Sustituyendo v, vemos que la solución general es

(1 + 2 y 2 ) 3 x 4 = C x 2

(x 2 + 2y 2 ) = C x 2

39

Mas sobre Ecuaciones diferenciales homogéneas con otro cambio de var iable. Y = uz

Una ecuación lineal homogénea tiene la forma donde "P" y "Q" son funciones

De "X"

La solución de estas ecuaciones se obtiene haciendo

Z y U son funciones de x que deben determinarse por lo tanto

Determinamos "u" integrando la ecuación

Resolviendo la ecuación anterior obtenemos que

Integrando y sustituyendo en los valores anteriores obtenemos

1.2.3. ECUACIONES EXACTAS

40

En esta sección introducimos un método de resolución de la ecuación diferencial de primer orden

M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 En el caso especial en que dicha ecuación representa la diferencial exacta de una función z = f(x,y).

Definición de ecuación diferencial exacta La ecuación M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 Es una ecuación diferencial exacta si existe una función f de dos variables x e y, con derivadas parciales continuas, tal que fx(x,y) = M(x,y) y fy(x,y) = N (x,y) La solución general de la ecuación es f(x,y) = C

Por la sección 15.3 sabemos que si f tiene derivadas parciales segundas continuas, entonces ∂M = ∂ 2 f = ∂ 2 f = ∂N ∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x

Esto sugiere el criterio de exactitud siguiente

Criterio de exactitud

Si M y N tienen derivas parciales continuas en un disco abierto R, entonces la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 es exacta si y solamente si

∂M = ∂N ∂y ∂x

La exactitud es una condición frágil en el sentido de que alteraciones aparentemente sin importancia en una ecuación exacta pueden destruir su exactitud. Veamos esto en el ejemplo siguiente.

COMPROBANDO LA EXACTITUD

a) La ecuación diferencial (xy 2 + x) dx + yx 2 dy = 0

es exacta porque ∂M ∂N ∂y ∂x

_∂_ [xy 2 + x] = 2xy = _∂_ [yx 2 ] ∂y ∂x

Pero la ecuación (y2 + 1)dx + xy dy = 0 no es exacta, a pesar de que se obtiene dividiendo por x ambos lados de la primera ecuación.

41

b) La ecuación diferencial cos y dx + (y 2 – x sen y) dy = 0

es exacta porque

∂M ∂N ∂y ∂x

_∂_ [cos y ] = ­ sen y = _∂_ [y 2 – x sen y] ∂y ∂x

Pero la ecuación cos y dx + (y 2 + x sen y ) dy = 0 no es exacta, a pesar de que difiere de la primera ecuación solamente en un signo.

Nota. Toda ecuación diferencia l de la forma M(x) dx + N(y) dy = 0 es exacta . En otras palabras, una ecuación de variables separadas es de hecho un tipo especia l de ecuación exacta .

Esto significa que puede obtenerse una solución general f(x,y) = C de una ecuación diferencial exacta por el método usado para hallar una función potencial para un campo vectorial conservatorio. Insistimos en este procedimiento en los dos ejemplo siguientes.

Resolviendo una ecuación diferencial exacta

Probar que la ecuación diferencial (2xy – 3x 2 ) dx + (x 2 – 2y) dy = 0

es exacta, y hallar su solución general.

Solución: La ecuación diferencial dada es exacta, ya que

∂M ∂N ∂y ∂x

_∂_ [2xy ­ 3x 2 ] = 2x = _∂_ [x 2 – 2y] ∂y ∂x

Podemos obtener la solución general f(x,y) = C como sigue:

F(x,y) = ∫M (x,y) dx = ∫ (2 xy – 3x 2 ) dx = x 2 y – x 3 + g(y) determinamos g(y) integrando N(x,y) con respecto a y e igualando las dos expresiones de f(x,y). Si Derivamos parcialmente esta versión de f(x,y) con respecto a y y comparar el resultado con N (x,y). En otras palabras,

N(x,y)

42

fy(x,y) = ∂ [ x 2 y – x 3 + g(y)] = x 2 + g´(y) = x 2 ­ 2y ∂y

Luego, g´(y) = ­2y y se sigue que g(y) = ­ y2 + C1. Por tanto, F(x,y) = x 2 y – x 3 – y 2 + C1 y la solución general es x 2 y – x 3 – y 2 = C

Resolviendo una ecuación diferencial exacta

Hallar la solución particular de

(cos x – x sen x + y 2 ) dx + 2xy dy = 0

que satisface la condición de contorno y = 1 cuando x = ∏

Solución: La ecuación dada es exacta, ya que

∂M ∂N ∂y ∂x

_∂_ [cos x – x sen x + y 2 ] = 2x = _∂_ [ 2xy] ∂y ∂x

En este caso N(x,y) es más simple que M(x,y), y procedemos como sigue:

f(x,y) = ∫N (x,y) dy = ∫ 2 xy dy = xy 2 + g(x) M(x,y)

fx(x,y) = ∂ [ xy 2 + g(x)] = y 2 + g´(x) = cos x – x sen x + y 2

∂y

Así pues, g´(x) = cos x – x sen x y

g(x) = ∫(cos x – x sen x) dx = x cos x + C1

lo cual implica que f(x,y) = xy 2 + x cos x + C1 y la solución general es

xy 2 + x cos x = C

g´ (y) = ­2y

g´ (x) = cos x – x sen x

43

Aplicando la condición de contorno dada, tenemos ∏(t)2 + ∏ cos ∏ = C, que nos lleva a que C = 0. Luego la solución particular es

xy 2 + x cos x = 0

1.2.4. EL FACTOR INTEGRANTE

En otras palabras, llamamos a M dx + N dy = 0 no es exacta, puede que se transforme en exacta multiplicando por un factor apropiado u(x,y), llamado factor integrante de la ecuación diferencial. Por ejemplo, si la ecuación diferencial

2y dx + x dy = 0 Ecuación no exacta se multiplica por el factor integrante u(x,y) = x, la ecuación resultante

2xy dx +x 2 dy = 0 Ecuación exacta es exacta, siendo el lado de la izquierda la diferencial total de x 2 y. De forma similar, si la ecuación

y dx – x dy = 0 Ecuación no exacta se multiplica por el factor integrante u(x,y) = 1/y 2 , la ecuación resultante 1 dx ­ x dy = 0 Ecuación exacta y y 2

Hallar los factores integrantes puede ser un problema difícil. Sin embargo, hay dos clases de ecuaciones diferenciales cuyos factores integrantes pueden hallarse de forma rutinaria – a saber, aquellas que poseen factores integrantes que son función, bien de x solamente, bien de y solamente.

Factores integrantes Para la ecuación diferencial M(x,y) dx + N(,y) dy =0:

1. Si

1 __ [ My(x,y) ­ Nx(x,y)] = h(x) N(x,y)

Es una función de x solamente, entonces e ∫k(x)dx es un factor integrante.

2. Si

1 __ [ Nx(x,y) ­ My(x,y)] = k(y) M(x,y)

Es una función de y solamente, entonces e ∫k(y)dy es un factor integrante.

44

Hallando un factor integrante

Hallar la solución general de la ecuación diferencial (y 2 – x) dx + 2y dy = 0

Solución: La ecuación no es exacta, ya que Mx(x,y) = 2y y Nx(x,y) = 0

Sin embargo como

My(x,y) ­ Nx(x,y) = 2y – 0 = 1 = h(x) N(x,y) 2y

Se sigue que e ∫k(y)dy = e x es un factor integrante. Multiplicando la ecuación diferencial dada por e x , obtenemos la ecuación exacta

(y 2 e x – x e x ) dx + 2y e x dy = 0

cuya solución se obtiene como sigue:

f(x,y) = ∫ N(x,y) dy ∫ 2ye x dy = y 2 e x + g(x) M(x,y)

fx(x,y) = y 2 e x + g´(x) = y 2 e x – x e x

Por tanto, g´(x) = ­ x e x + e x +C1 , lo cual implica que

f(x,y) = y 2 e x ­ xe x + e x +C1

y la solución general es

y 2 e x ­ xe x + e x = C1 y 2 ­ x + 1 = Ce­ x

1.2.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

Una aplicación a los campo de fuerza

Dibujar el campo de fuerzas dado por

g´ (x) = ­ x e x

45

F(x,y) = 2y___ i ­ __ y 2 ­ x j x 2 + y 2 x 2 + y 2

hallando y dibujando la familia de curvas tangentes a F. Solución: En el punto (x,y) del plano, el vector F(x,y) tiene pendiente dy = ­ (y 2 ­ x) / x 2 + y 2 = ­ (y 2 ­ x) dx 2y / x 2 + y 2 2y

que en forma diferencial es 2y dy = ­(y 2 – x)dx (y 2 – x)dx + 2y dy = 0

Por el Ejemplo 4, sabemos que la solución general de esta ecuación diferencia es y 2 ­ e x +1 = Ce ­x o sea

y 2 = x – 1 + Ce ­x

Esta función nos muestra varias curvas representativas de esta familia. Nótese que el vector fuerza en (x,y) es tangente a la curva que pasa por (x,y).

Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales

1. Un cuarto tiene 60 m3 de aire, originalmente libres de monóxido de carbono. Se prende un cigarrillo y el humo, con un contenido de 4.5% de monóxido de carbono, se introduce con una rapidez de 0.002 m3/min y se deja salir la mezcla con la misma rapidez. Encontrar:

2. Una expresión para la concentración de monóxido de carbono en el cuarto cualquier instante.

y la ecuación es

, es decir, ec. Lineal no homogénea.

46

con solución general

para t=0, c=0 entonces , con solución particular.

3. La concentración de monóxido de carbono a bajos niveles, por ejemplo 0.00012 puede ser perjudicial para los seres humanos.

Encontrar el tiempo en el cual se alcanza esta concentración.

Para c=0.00012 tenemos

De donde t=81.11 min.

t=1 hr 21 min.

4. Una masa de 98 kg de peso se cuelga de un resorte con lo que éste interrumpe su estado de reposo. Sabiendo que k=4.9 kg/m, hallar el movimiento de la masa si al soporte del

resorte se le imprime una fuerza metros.

Se toma el origen del sistema en el centro de gravedad de la masa cuando esta en reposo y sea x el desplazamiento de la masa en un tiempo t.

El alargamiento del resorte es (x­y) entonces.

por lo tanto

de donde la solución de la E homogénea es

calculando,

47

xp por el met. de coeficientes indeterminados

Tenemos:

y como x=xnxp la solución general es:

Derivando:

cuando

Son dos movimientos armónicos con amplitudes diferentes.

5. Un hombre y su barca pesan 98 N. La fuerza ejercida en la dirección del movimiento es 4.9 kg y la resistencia al movimiento es igual al doble de la velocidad, determinar:

la velocidad 20 seg después de que la barca haya empezado a moverse

Ec lineal no homogénea

integrando

48

para

entonces

para

la distancia recorrida al cabo de los 20 seg.

integrando

para t=0, x=0

entonces es la solución particular

para t=20, x=36.79 metros.

6. Un circuito consta de una inductancia de 0.5H, una resistencia de 20!, un condensador cuya capacidad es de 2.5mF y una FEM de 100V.

Hallar la carga y la corriente sabiendo que Q(t)=0 para I(t)=0

49

Entonces de donde con solución general:

y

entonces

con las condiciones dadas tenemos por lo tanto

7. En la conservación de alimentos, el azúcar sufre un proceso de inversión y se transforma en glucosa y fructuosa. En las soluciones diluidas, el ritmo de inversión es proporcional a la concentración y(t) del azúcar inalterada. Sí la concentración es de 1/50 cuando t = 0 y 1/20 tras 3 horas, hallar la concentración del azúcar inalterada después de 6 y 12 horas.

Por ser el ritmo de inversión proporcional a y(t), se ha de cumplir la ecuación diferencial

dy = ky dx

Separando variables e integrando vemos que:

∫1 dy = ∫ k dt y

ln |y| = kt + C1 y = Ce kt

De las condiciones dadas se desprende que

y(0) = 1_ C = 1_ 50 50

50

y(3) = 1_ 1__ = _ 1_ e 3k k = ­ ln 4 200 200 50 3

Por tanto, la concentración del azúcar inalterada viene dada por y(t)= _ 1_ e ­(ln4)t/3

50

= _ 1_ (4 ­t/3 ) 50

Cuando t = 6 y t = 12, resultan unas concentraciones y(6) = 1_ (4 ­2 ) = 1__ Tras 6 horas

50 800

y(12) = 1_ (4 ­4 ) = _ 1__ Tras 12 horas 50 12800

8. Un problema común en electrostática, termodinámica e hidrodinámica requiere saber hallar una familia de curvas, ortogonal. Ejemplo una familia de círculos

(x 2 + 2y 2 ) = C Familia de círculos cada uno de los cuales corta a las rectas de la familia

y = Kx Familia de rectas en ángulo recto. Dos familias de curvas de ese tipo se dice que son mutuamente or togonales, y cada curva de una de las familias se llama una trayector ia or togonal a la otra familia. En electrostática, las líneas de fuerza son ortogonales a las curvas equipotenciales. En termodinámica, el flujo del calor a través de una superficie plana es ortogonal a las curvas isotermas. En hidrodinámica, las líneas de flujo (o de corriente) son trayectorias ortogonales a las curvas potenciales de velocidades.

Hallando trayectorias ortogonales.

Describir las trayectorias ortogonales a la familia de curvas dada por y = C/x para C ≠ 0. Dibujar varias curvas de ambas familias.

Solución: En primer lugar, despejamos C en la ecuación dada y escribimos xy = C. Derivando ahora implícitamente respecto de x se obtiene la ecuación diferencial

xy´ + y = 0 dy = ­ y_ Pendiente de la familia dada dx x

Como y´ representa la pendiente de la familia dada de curvas en (x,y), se deduce que la familia ortogonal ha de tener pendiente recíproca negativa de esa, es decir, x/y, por lo que

51

dy = x Pendiente de la familia ortogonal dx y Ahora podemos hallar la familia ortogonal por separación de variables e integración.

∫y dy = ∫ x dx y 2 = x 2 + C1 2 2

Por tanto, cada trayectoria ortogonal es una hipérbola de ecuación.

y 2 ­ x 2 = 1 k k

2C1 = k ≠ 0 Tienen sus centros en el origen y ejes transversales verticales para K>0 y horizontales para K< 0.

52

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar la solución general de la ecuación diferencial dada.

1. dy = x 2. dy = x 2 + 2 dx y dx 3y 2

3. (2+ x)y´= 3y 4. xy´= y

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial dada.

Ecuación diferencial Condición inicial 5. yy´ ­ ex = 0 y(0) = 4 6. x + yy´ = 0 y(1) = 4 7. y(x+1) + y´= 0 y(­2) = 1 8 xyy´­ ln x = 0 y(1) = 0

Averiguar si la función es homogénea, y si es así, hallar el grado. 9. f(x,y) = x 3 – 4xy 2 + y 3

10. f(x,y) = 2 ln xy 11. f(x,y) = tg (x+y) 12. f(x,y) = 2 ln _x_

y Resuélvase la ecuación diferencial homogénea 13. y´= x + y 14. y´= 2x + y

2x y Hallar las trayectorias ortogonales a la familia dada y dibújense varios miembros de cada familia.

15 x 2 + y 2 = 0 17 2x 2 ­ y 2 = C 16 x 2 = Cy 18 y 2 = 2Cx

19. La cuantía A de una inversión P se incrementa a un ritmo proporcional al valor de A en el instante t. a) Obtener la ecuación de A como función de t. b) Si la inversión inicial es de 1000,00$ y el interés del 11 por 100, calcular el capital al

cabo de 10 años. c) Si el interés es del 11 por 100, calcular el tiempo necesario para doblar la inversión.

20. La tasa de crecimiento de una población de moscas de la fruta en un instante dado es proporcional al tamaño de la población en dicho momento. Si hay 180 moscas después del segundo día del experimento y 300 moscas después del cuarto día. ¿cuántas moscas había originalmente?

53

UNIDAD DOS

ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN Y ORDEN

SUPERIOR

54

55

2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

Recordemos:

DEFINICION DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN

Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a toda ecuación de la forma dy + P(x) y = Q(x) dx

donde P y Q son funciones continuas de x.

Las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, se dice que están en forma canónica .

Para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden usaremos una factor integrante u(x) que convertirá el lado izquierdo en la derivada del producto u(x)y. Es decir, necesitamos un factor u(x)

SOLUCION DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN Un factor integrante para las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y´+ P(x) = Q(x) es u(x) = e ∫P(x)dx . La solución de la ecuación diferencial es

y´e ∫P(x)dx ∫Q (x) e ∫P(x)dx dx + C

EJEMPLO Resolviendo una ecuación diferencial lineal de primer orden

Hallar la solución general de xy´­ 2y = x 2

Solución: la forma canónica de la ecuación dada es y´ ­ _ 2_ y = x

x Por tanto, P(x) = ­ 2/x, y resulta

∫ P(x) dx = ­ ∫2 dx = ­ ln x 2 x

e ∫P(x)dx = e ­ln x2 = 1_x 2

EJEMPLO Hallar la ecuación general de y´ ­ y tg t = 1

Solución: Como P(t) = ­tg t, tenemos

56

∫P(t) dt = ­ ∫tg t dt = ln |cos t|

e ∫P(t)dt = e ln |cos t = |cos t|

Una rápida comprobación nos muestra que cos t también, es un factor integrante. Luego, multiplicando y ´­ y tg t = 1 por cos t, obtenemos d [y cos t] = cos t dt

y cos t = ∫ cos t dt = sen t + C y = tg t + C sec

Hasta aquí hemos estudiado varios tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden. De éstas, el caso de variables separables generalmente es el más sencillo, y la solución mediante un factor integrante siempre está a mano como último resorte. En el resumen siguiente aparecen los diferentes tipos de ecuaciones que hemos estudiado.

RESUMEN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Método Forma de la ecuación

1. Variables separadas M(x)dx + N(y)dy =0 2. Homogéneas M(x,y)dx + N(x,y)dy =0 donde M y N son

homogéneas de grado n.

3. Exactas M(x,y)dx + N(x,y)dy =0, donde ∂M/∂y = ∂N/∂x

4. Factor integrante u(x,y)M(x,y)dx + u(x,y)N(x,y)dy = 0 es exacta

5. Lineales y´+ P(x)y = Q(x)

57

2.1.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN REDUCIBLES A PRIMER ORDEN.

Ecuaciones de Bernoulli

Una ecuación no lineal muy conocida, que se reduce a una lineal con una sustitución apropiada, es la ecuación de Bernoulli, que recibe su nombre en honor de James Bernoulli. ¡ BUSCA SU BIOGRAFIA. ¡

y ´ + P(x)y = Q(x) y n Ecuación de Bernoulli

Esta ecuación es lineal si n = 0, y de variables separables si n = 1. Por tanto, en el desarrollo que sigue, suponemos que n ≠ 1. Comenzamos multiplicando por y ­n y(1­n) para obtener

y ­n y´ + P(x) y 1­n = Q(x) (1 – n)y ­n y´ + (1 – n)P(x) y 1­n = (1 – n)Q(x) d _ [y 1­n ] + (1 – n)P(x)y 1­n = (1 – n)Q(x) dx

Que es una ecuación lineal en la variable y 1­n . Luego, si hacemos z = y 1­n , obtenemos la ecuación lineal dz + (1 – n)P(x)z = (1­n)Q(x) dx

Finalmente con lo conocido anteriormente, la solución general de la ecuación de Bernoulli es

y 1­n e ∫(1­n)P(x)dx = ∫ (1 – n)Q(x)e ∫(1­n)P(x)dx dx + C EJEMPLO Hallar la solución general de y´+ xy = xe ­x2 y ­3 . Para esta ecuación de Bernoulli, n = ­3, y usamos la sustitución Z = y 1­n = y 4 z´= 4y 3 y´

Multiplicando la ecuación original por 4y 3 , tenemos 4y 3 y´ + 4xy 4 = 4xe ­x2 z´ + 4xz = 4xe ­x2 Ecuación lineal: z´+ P(x)z = Q(x)

Puesto que esta ecuación es linean en z, tenemos P(x) = 4x y

∫ P(x)dx = ∫ 4x dx = 2x 2

lo cual implica que e ­x2 es una factor integrante. Multiplicando por este factor, obtenemos

58

d [ze 2x2 ] = 4xe x2

dx

ze 2x2 == ∫ 4xe x2 dx = 2e x2 + C z = 2e ­x2 + Ce ­2x2

Luego sustituyendo z = y 4 , la solución general es

y 4 = 2e ­x2 + Ce ­2x2

2.1.2. SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

DEFINICION DE ECUACION DIFERENCIAL LINEAL DE ORDEN

Sean g1, g2….,gn y f funciones de x con un dominio común. Una ecuación de la forma Y( n ) + g 1(x) y (n­1) + g2(x) y (n­2) …+ gn – 1(x)y´ + gn (x)y = f(x)

Se llama una ecuación diferencial lineal de orden n. si f(x) = 0, se dice que la ecuación es homogénea en caso contrario, se llama inhomogénea.

Empezaremos definiendo la noción de independencia lineal. Decimos que las funciones y1, y2,….,yn son linealmente independientes si la única solución de la ecuación.

C1Y1+ C2 y2+… + Cnyn= 0

es la trivial, a saber C1 = C2 = … = Cn = 0. En caso contrario, las funciones se dice que son linealmente dependientes. Por ejemplo, las funciones y1(x)= sen x ey2 = x, son linealmente independientes, porque los únicos valores de C1 y C2 para los cuales.

C1 senx + C2x = 0 para todo x

son C1 = O Y C2 = O. Se puede demostrar que dos funciones son linealmente dependientes si y sólo si una de ellas es múltiplo constante de la otra. Así y1(x) = ey2(x) = 3x son linealmente dependientes, porque C1(x) + C2 (3x) = 0 admite la solución no nula C1 = ­3, C2 = 1.

El teorema siguiente señala la importancia de la independencia lineal al construir la

solución general de una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con

coeficientes constantes.

59

Por tanto:

LA SOLUCION GENERAL COMO COMBINACION LINEAL DE SOLUCIONES

LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

y1 e y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial y´´ + ay´+ by = 0, entonces la solución general es

y = C1y1 + C2y2 siendo C1 y C2 constantes.

Para hallar dos soluciones linealmente independientes, observamos que la naturaleza de la ecuación y" + ay' + by =0 sugiere que debe tener soluciones de la forma y = e mx . Si así es, entonces y' = me mx e y" = m 2 e mx . Luego, por sustitución, y = e mx es una solución si y solamente si

y" + ay' + by = 0

m 2 e mx +ame mx + be mx = 0

e mx (m 2 + am + b) = 0

Como e mx .nunca se anula, y = e mx es una solución si y solamente si

m 2 + am + b = 0 Ecuación característica.

Esta ecuación se conoce ecuación caracter ística de la ecuación diferencial y" + ay' + by = 0. nótese que la ecuación característica puede determinarse a partir de su ecuación diferencial simplemente sustituye y" por m 2, y' por m e y por 1.

2.1.3. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES HOMOGÉNEAS CON COEFICIENTES CONSTANTES

Ahora analicemos la ecuación caracteristica en terminos de ecuaciones homogeneas de acuerdo a la solución del descriminante.

ECUACIONES CARACTERISTICA CON RAICES REALES DISTINTAS.

Resolver la ecuación diferencial y´´ ­ 4y = 0

Solución: En este caso la ecuación característica es

60

m 2 ­ 4 = 0 Ecuación característica

así que m 2 = 4 o sea m = ­ + 2 luego y1 = e m1x = e 2x ey2 = e m2x = e ­ 2x son soluciones particulares de la ecuación diferencial dada. Además, como estas dos

soluciones son linealmente independientes, podemos aplicar el teorema 18.5 para concluir

que la solución general es.

Y = C1 e 2x + C2e­ 2x solución general

La ecuación característica del ejemplo 1 tiene dos raíces diferentes. Por el álgebra sabemos que estas es una de las tres posibilidades de las ecuaciones cuadráticas. En general, la ecuación cuadrática.

m 2 +am + b = 0 tiene raices.

M1 = ­a + a 2 – 4b y m2= ­a ­ a 2 – 4b 2 2

Que pertenece a uno de los tres casos:

1. dos raíces reales diferenciales, m1 ≠ m2

2. dos raíces reales iguales, m1 = m2

3. dos raíces complejas conjugadas m1 = α + βi y m2 = x – βi

En términos de la ecuación diferencial y" + ay' + by = 0.estos tres casos corresponde a tres tipos diferente de solución general.

SOLUCION DE y" + ay' + by = 0

Raíces reales diferentes: si m1 ≠m2 son raíces reales diferentes de la ecuación característica, entones la solución general.

y = C1 e m1 x + C2e m2x

Raíces reales iguales: si m1 = m2 son raíces iguales de la ecuación característica, entones la solución general.

y = C1 e m1x + C2xe m1x = (C1 + C2x) e m1x

61

Raíces complejas: Si m1 = x + βi m2 = x – βi son raíces complejas de la ecuación característica, entones la solución general.

y = C1 e xx cos βx + C2 e xx sen βx

ECUACION CARACTERISTICA CON RAICES COMPLEJAS

Hallarlas la solución general de la ecuación diferencial y" + 6 y" + 12 y = 0

Solución: la ecuación característica

m 2 + 6m + 12 = 0

tiene dos raíces complejas.

m = ­ 6 +­ 36 ­ 48 2

= ­6 +­ ­12 2

= ­3 + ­3 = ­3 + 3i

Así pues, x = ­3 y β = 3, y la solución general es. y = C1e ­3x cos 3x + c2e ­3x sen 3x

la ecuación característica tiene dos raíces complejas, la solución de la ecuación diferencial

es real.

ECUACION CARACTERÍSTICA CON RAICES REPETIDAS

Resolver la ecuación diferencial

y" + 4y'+ 4y = 0 sujeta a la condiciones iniciales y (0) n= 2 e y'(0) = 1 Solución: la ecuación característica

m 2 + 4m + 4 = 0 (m + 2) 2 = 0

tiene dos raíces reales m = ­2 repetidas luego la solución general es y = C1 e ­2 x + C2xe ­2x solución general

Ahora bien como y = 2 cuando x = 0, tenemos 2 = C1 (1) + C2(0) (1) = C1

Además, como y' = 1 cuando x =0 tenemos

62

y' = ­2 C1 e ­2 x + C2( ­2xe ­2 x + e ­2 x ) 1 = ­2(2)(1) + C2 [ ­2(0)(1) + 1] 5= C2

Por tanto la solución es y = 2e ­2 x +5xe ­2 x solución particular

Ahora analicemos las no homogeneas

2.1.4. Ecuaciones diferenciales lineales no ­ homogéneas con coeficientes constantes

Veamos un ejemplo fisico:

Las oscilaciones de un muelle por las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

homogénea

d 2y + p (dy) + k y = 0 movimiento libre dt 2 m (dt) m

A las oscilaciones de este tipo les llamamos libres porque vienen determinadas solamente por el muelle y por la gravedad, pero están libres de otras fuerzas externas. Si este sistema está sujeto a la acción de una fuerza periódica externa tal como asen bt, causada por vibraciones en el otro extremo del muelle, el movimiento se llama forzado y queda caracterizado por la ecuación in homogénea: d 2y + p (dy) + k y = a sen bt movimiento forzado dt 2 m (dt) m

Ejemplo que nos deja continuar con el tema y describir dos métodos para hallar la solución general de una ecuación diferencial lineal in homogénea. En ambos método el primer paso consiste en hallar la solución general, denotada por yh de la correspondiente ecuación homogénea. Una vez hecho eso, intentamos hallar una solución particular Yp de la in homogénea. Combinando esos dos resultados parciales obtenemos que la solución general de la ecuación in homogénea es y = yh + Yp por tanto:

SOLUCION GENERAL DE UNA ECUACION LINEAL NO HOMOGENIA

Sea y" + ay' + by = F(x) una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden. Si yp es una solución particular de esta ecuación e yh es la solución general de la ecuación correspondiente, entonces

y = yh + Yp

63

es la solución general de la ecuación no homogénea.

METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

Puesto que ya tenemos las herramientas para hallar yh , enfocamos nuestro estudio a la forma de hallar la solución particular yp' Si F(x) en y" + ay' + by = F(x)

Entonces podemos hallar una solución particular yp por el,.método de los coeficientes indeterminados. La clave del método estriba en conjeturar que la solución yp es una forma generalizada de F(x). Por ejemplo:

1. Si F(x) = 3x 2 , escogemos yp = A x 2 + Bx + C.

2­ Si F(x) = 4xe x , escogemos yp = A xe x + Be x .

3­ Si F(x) = x + sen 2x, escogemos yp = (Ax+ B) + C sen 2x + D cos 2x

Entonces, por sustitución, determinamos los coeficientes de esta solución generalizada.

Ejemplo: Método de los coeficiente indeterminados

Hallar la solución general de la ecuación y" ­ 2y' ­ 3y = 2 sen x.

Solución: Para hallar yh , resolvemos la ecuación característica

m 2 – 2m – 3 = (m+1)(m­3) = 0 m = ­1 y m = 3 Así pues, yh = C1e ­x + C2e 3x ­ A continuación, hacemos que yp sea una forma generalizada de 2 sen x. Esto es, hacemos.

yp = A cosx + B senx

y´´ p = ­A senx + B cosx

y"p = ­A cosx ­ B senx

Sustituyendo en la ecuación dada obtenemos

­A cos x ­ B sen x + 2A sen x ­ 2B cos x ­ 3Acos x ­ 3B sen x = 2 sen x

(­4A ­ 2B) cos x + (2A ­ 4B) sen x = 2 sen x

64

En consecuencia, yp es una solución, una vez igualados los coeficientes de cos x y de sen x, que dan lugar al sistema.

­4A ­ 2B = 0 y 2A ­ 4B = 2

con soluciones A = 1 y B = ­2 Luego la solución general es 5 5

y = yh + yp= C1e ­x + C2e 3x +1cos x ­2sen x 5 5

Ejemplo . Método de los coeficientes indeterminados

Hallar la solución general de y" ­ 2y' = x + 2e x

Solución: La ecuación característica m 2 ­ 2m = 0 tiene por soluciones a

m= 0 y m = 2. Luego yh = C1 + C2e 2x

Puesto que F(x) = x + 2e x nuestra primera elección de yp seria (A+Bx) + Ce x . sin embargo, como yh ya contienen un termino constante C1 multiplicando la parte polinómica por x y usamos.

yp = Ax + Bbx 2 + Ce x

y' p = A +2Bx + Ce x

y"p = 2B + Ce x

Situación en la ecuación diferencial, resulta

(2B+ Ce x ) – 2(A+2Bx + Ce x ) = x + 2e x

(2B­ 2A) – 4Bx ­ Ce x = x + 2e x

Igualando los coeficientes de términos análogos, obtenemos el sistema

2B – 2A = 0 ­4B = 1, ­C = 2

Con solución A = B = ­ ¼ y C = ­2. En consecuencia.

yp = ­ 1 x– 1_ x 2 – 2e x 4 4

65

Siendo la solución general.

y= C1 + C2e 2x – 1 x – 1 x 2 ­ 2e x

4 4

LA FORMA DE LA SOLUCION PARTICULAR

Determine una formula apropiada de Yp para la siguiente situación

y" + ay' + by = F(x) yh

a. y" = x 2 C1 + C2 x

b. y" + 2 y' + 10y = 4 sen 3x C1e ­x cos 3x + C2e ­x sen 3x

c. y" ­ 4 y' + 4 = e 2x C1e 2x + C2e 2x

solución

a)como F(x) = x 2 la eyección normal de yp seria

A + Bx + C x 2

Sin embargo como Yh = C1 + C2 x ya contiene un termino lineal multiplicamos por x 2 para

obtener

yp = Ax 2 +B X3 +Cx 4

b) como F(x) = 4 sen 3x y puesto que cada termino en yh contiene un factor de e ­x , hacemos simplemente.

yp = A cos 3x + B sen 3x

c) como F(x) = e 2x la elección normal de yp seria de Ae 2x pero como.

yh = C1e 2x + C2xe 2x

ya contienen un termino xe 2x , multiplicamos por x 2 para concluir que

yp = Ax 2 e 2x

66

También podemos usar el método de los coeficientes indeterminados para ecuaciones no

homogéneas de orden superior.

2.1.4. OPERADOR PARA LA SOLUCION DE ECUACIONES DE SEGUNDO

ORDEN

Aunque es inmediato el reconocimento de la dependencia o independencia lineal de dos soluciones de una ecuación lineal de 2º orden, se van a introducir unos criterios de independencia basados en el wronskiano , pensando en su generalización al caso de n soluciones de las ecuaciones lineales de orden n.

Definición: Dadas n funciones f1(x), ..., fn(x) ∈ Cn(I), se llama wronskiano ( o determinante de Wronski) de las mismas, y se designa por W[f1, ... ,fn] a:

[ ] ) 1 n

n ) 1 n

2 ) 1 n

1

' n

' 2

' 1

n 2 1

n 1

f f f

f f f f f f

f ..., , f W

• • •

• • • • • • • • • • • •

• • •

• • •

− − −

=

Es también una función real: W(x); x∈I

Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares y1(x), y2(x) de la ecuación homogénea [6] L[y] = 0 (donde p(x), q(x) ∈ C(I) ), sean linealmente dependientes en I, es que exista algún xo ∈ I tal que W [y1(xo), y2(xo)] = 0. Entonces W[y1(x), y2(x)] ≡ 0 en I

Condición necesaria y suficiente para que 2 soluciones particulares y1(x), y2(x) de la ecuación homogénea L[y] = 0, sean linealmente independientes en I, es que:

W [y1(x), y2(x)] ≠ 0 ∀ x∈I.

Si y1(x) e y2(x) son soluciones de 0 y ) x q( y ) x p( y = + ′ + ′ ′ en (a,b) y xo∈(a,b), entonces:

[ ] ∫

= − x

o x t d ) t p(

o 2 1 e ) x W( ) x ( y ), x ( y W

67

EJEMPLO ¿Puede ser W(x) = 3(x­1)2 el wronskiano en (0,2) de dos soluciones de alguna ecuación de 2º orden lineal homogénea: 0 y ) x q( y ) x p( y = + ′ + ′ ′ con p(x), q(x) continuas en (0,2)?.

W(x) sólo se anula para x = 1 en el intervalo (0,2) y debería anularse en todos o ningún punto del intervalo. Luego W(x) no puede ser tal wronskiano en ningún intervalo abierto que contenga a x = 1

2.1.5. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

APLICACIÓN

1. Un depósito contiene 50 litros de una solución compuesta por 90 por 100 de agua y 10

por 100 de alcohol. Al mismo tiempo, se vacía en el depósito a razón de 5 litros/min,

suponiendo que la solución del depósito se agita constantemente, ¿cuánto alcohol queda en

el depósito después de 10 minutos?

Solución: Se ay el número de litros de alcohol en el depósito en un instante arbitrario t. Sabemos que y = 5 cuanto t = 0. puesto que el número de litros de solución en el deposito en un instante dado t es 50 – t y puesto que el depósito pierde 5 litros de solución por minuto, perderá

(___5__) y 50 – t

litros de alcohol por minuto. Por otro lado, como en el depósito entran 2 litro de alcohol por minuto, la razón de cambio de alcohol en el depósito viene dada por

__dy__ = 2 – ( 5 ) y _ dy + ( 5 ) y = 2 dt 50 – t dt 50 ­ t

Para resolver esta ecuación lineal, hacemos P(t) = 5/(50 ­ t) Y obtenemos

∫ p(t) dt = ∫ 5_ dt = ­5 ln l50­ t| 50 ­ t

Al ser t < 50, podemos omitir el signo de valor absoluto, concluyendo que

68

e∫P(t)dt = e ­5ln(50­t)= ____1____ (50 – t) 5

Por tanto, la solución general es

_ y___ = 2___ dt = 1___ + C (50 ­ t) 5 (50 ­ t) 5 2(50 ­ t) 4

y = 50 ­ t + C(50 ­ t) 5 2

Como y = 5 cuando t = O. tenemos

5 = 50 + C(50) 2 _ _20_ = C 2 50 5

lo cual significa que la solución particular es

y = 50 – t ­ 20 50­t 2 50

Finalmente, cuando t = 10, la cantidad de alcohol en el depósito es .

Y = 50 – 10 ­ 20 (50­ 10) 5 = 13,45 litros 2 50

lo cual representa una solución conteniendo 33,6 por 100 de alcohol.

2. Problemas de valor inicial y de frontera

En la mayoría de las aplicaciones estamos interesados no en la solución general de una ecuación diferencial, sino en una solución particular que satisfaga ciertas condiciones dadas. Esto da origen a los problemas de valor inicial o de frontera.

Ejemplo

Una partícula se mueve a lo largo del eje de manera tal que su aceleración en cualquier

tiempo está dada por . Encuentre la posición de la partícula en cualquier tiempo , suponiendo que inicialmente la partícula está localizada en y está

viajando a una velocidad de .

69

Recuerde que la primera derivada de la posición nos da la velocidad y la segunda derivada la aceleración. De donde el problema de valor inicial sería

Integrando con respecto a obtenemos

y usando la condición podemos hallar que , con lo cual la velocidad en cualquier tiempo sería

Integrando de nuevo

y usando la condición podemos determinar que y obtener la posición de la partícula en cualquier tiempo

70

EJERCICIOS PROPUESTOS

Resolver la ecuación de Bernoulli.

1. y + 3x 2 y = x 2 y 3

2. y + 2xy = xy 2

3. y´+ (1) y = xy 2 x

4. yy ­ 2y 2 = e x

Hallar la solución general de la ecuación diferencial lineal.

1. y" + 2y' = 0

2, y" + 6y' + 5y = 0

3 y" + 6y' + 9y = 0

4. 9y" ­ 12y'+ 4y = 0

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial lineal. 1. y" ­ y' ­ 30y = 0 y(0) = 1, y'(0)= ­4

2. y" + 2y'+3y=0 y(0) = 2, y'(0) = 1

Usar el wronskiano y verificar la independencia lineal de las dos funciones.

1. y1 = e ax sen bx, y = e ax cos bx, b ≠ 0

2.. y1 = x, y2 = x 2

Resolver por el método de los coeficientes indeterminados.

1. y" + 9y = sen3x

2. y" + 4y' + 5y = sen x + cos x

3. y'" ­ 3y' + 2y = 2e ­2x

71

2.2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Dos tipos especia les de ecuaciones difer encia les de orden super ior

Este tipo de ecuaciones diferenciales tiene la forma

En donde "X" es una función de "x" únicamente, o una constante para integrar

El proceso anterior se repite (n­1) veces, de esta manera se obtendrá la solución general, que contendrá "n" constantes arbitrarias

Ejemplo –

72

Las siguientes ecuaciones tiene la forma

Donde "Y" es una función de "y" únicamente

Lo anterior es valido por

El segundo miembro es una función de y. Extrayendo la raíz cuadrada, las variables "x" e "y" quedan separadas. Y podemos integrar otra vez

2.2.1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N

Una ecuación diferencial lineal de orden n , es una ecuación de la forma:

a x y a x y a x y a x y g x n n n n 0 1

1 1 ( ) ( ) .... ..... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + ′ + = −

−

o en forma canónica:

. ) x ( h y ) x ( p y ) x ( p ..... y ) x ( p y n 1 n ) 1 n (

1 ) n ( = + ′ + + + −

−

que en forma simbólica se escribirá: [ ] ) x h( y L =

siendo L el operador lineal: L d dx

p x d dx

p x d dx

p x n

n

n

n n n ≡ + + + −

− − 1

1

1 1 ( ) .. ..... .. ( ) ( )

La correspondiente ecuación diferencial lineal homogénea o incompleta es :

[ ] 0 y L =

73

La teoría asociada a estas ecuaciones es análoga al caso en que n=2.

Se supondrá en lo sucesivo que las ecuaciones lineales utilizadas cumplen las condiciones del teorema de existencia y unicidad en un intervalo I= (a,b).

Se verifica:

El operador L es una aplicación lineal del espacio vectorial C n (I) en el espacio vectorial C(I).

Para ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de orden superior, hallamos la solución general de forma similar a como la hemos hecho para la ecuación de segundo orden. Esto es, comenzamos hallando las n raíces de la ecuación característica y, a continuación, basados en estas n raíces, formamos un conjunto linealmente independiente de las n soluciones. La mayor diferencia consiste en que con ecuaciones de tercer orden o mayor, la raíces de la ecuación característica puede repartirse mas de dos veces. Cuando sucede esto, las soluciones linealmente independientes se forman multiplicando por potencias crecientes de x.

EJEMPLO Resolviendo una ecuación de tercer orden

Hallar la solución general de y'" + 3y"+ 3y' + y = 0 Solución: La ecuación característica es m 3 + 3m 2 + 3m+ 1 = (m + 1) 3 = 0

Puesto que la raíz m = ­1 es triple, la solución general es

y = C1e ­x + C2x e ­x + C3x 2 e ­x Solución general

EJEMPLO Removiendo una ecuación de cuarto orden

Hallar la solución general de . y (4) + 2y" + y = 0.

Solución: La ecuación característica es m 4 + 2m 2 + 1 = (m 2 + 1) 2 = 0 m = + i

Puesto que las raíces m1 = α +βi = o + iy m2 = α –βi = 0 – i son dobles, la solución general es

y = C1 cosx + C2 senx + C3 x cosx + C4x senx Solución general

74

2.2.2. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

De acuerdo con la ley de Hooke, un muelle que se extiende (o se comprime) y unidades de su longitud natural 1 tiende a volver por sí mismo a su longitud natural, mediante una fuerza F que es proporcional a y. Esto es, F(y) = ­ky, donde k es la constante del muelle que indica la rigidez de un muelle dado.

Supóngase que se ata al extremo de un muelle un objeto rígido de masa m y que causa un

desplazamiento. Se considera que la masa del muelle es despreciable frente a m.

Ahora tiramos del objeto hacia abajo, soltándolo a continuación. Las oscilaciones resultantes son consecuencia de dos fuerzas opuestas –la fuerza del muelle F(y) = ­ky y el peso MG del objeto­. Bajo tales condiciones, podemos usar una ecuación diferencial para hallar la posición y del objeto como función del tiempo t. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza que actúa sobre el peso es F = ma, donde a = d 2 y/dt 2 es la aceleración. Suponiendo que el movimiento no es amor tiguado ­­esto es, no hay otras fuerzas externas que actúen sobre el objeto­ se sigue que m(d 2 y/dt 2 ) = ­ky, y tenemos. d 2y + (k) y = 0 dt 2 (m) Movimiento no amortiguado de un muelle

MOVIMIENTO NO AMORTIGUADO DE UN MUELLE

Supóngase que un peso de 4 libras estira un muelle, desde su posición natural, en 8 pulgadas. Si se estira el muelle hacia abajo otras 6 pulgadas y se suelta con una velocidad inicial hacia arriba de 8 pies por segundo, hallar la fórmula para la posición del peso en función del tiempo t.

Solución: Por la ley de Hooke, 4 = k(2/3), luego k = 6. Además, como el peso w viene dado por MG, se sigue que M = w/g = 4/32 = 1/8. Por tanto, la ecuación diferencial resultante para el movimiento no amortiguado es

d 2 y + 48y = 0 dt 2

Puesto que la ecuación característica m2 + 48 = 0 tiene raíces complejas m = 0 + 4 3i, la solución general es y = C1e o cos4 3t + C2e o sen 4 3t = C1cos4 3t + C2sen 4 3t

Usando las condiciones iníciales se tiene:

75

1 = C1 (1) + C2 (0) = C1 1 y(0) = 1 2 2 2

y'(t) = ­ 4 3 C1 sen4 3t + 4 3 C2 cos4 3t

8 = ­4 3 (1) (0) + 4 3 C2 (1) => C2 = 2 3 y´(0) = 8 (2) 3

En consecuencia, la posición en un tiempo t viene dada por

y= 1 cos 4 3t + 2 3 sen4 3t 2 3

76

EJERCICIOS PROPUESTOS

Descríba el movimiento de un peso de 32 libras suspendido de un muelle. Supóngase que el peso estira el muelle 1de pie de su posición natural.

1. Se tira del peso ½ pie por debajo de la posición de equilibrio y se suelta.

2. Se eleva el peso2/3 de pie por encima de la posición de equilibrio y se suelta.

Hallar la solución general de y'" + 3 y"+ 3 y'+ y = x Sugerencia: sabemos que la solución homogénea es

yh = C1e ­x + C2xe ­x + C3x 2 e ­x Por coeficientes indeterminados.

77

UNIDAD TRES

ESTUDIO DE SERIES Y FUNCIONES ESPECIALES

78

3.1.1. ESTUDIO DE SERIES DE POTENCIAS

Conceptualización

En este tema se trata únicamente de efectuar un breve repaso de las series de potencias. Se expondrán los conceptos y propiedades, sin realizar las demostraciones.

Se suponen conocidas las series numéricas y también los conceptos fundamentales relativos a las series de potencias.

Definiciones : Una serie de potencias en torno al punto xo es una expresión de la forma:

( ) ... ) x x ( a ... ) x x ( a a x x a n 0 n 0 1 0

0 n

n 0 n + − + + − + = − ∑

∞

=

donde los an son constantes.

­ La serie converge en el punto x = a , si converge la serie numérica : ( ) a a x n

n

n −

=

∞

∑ 0 0 , es

decir, si existe y es finito el límite : ( ) lim

N n n

n

N a a x

→∞ = − ∑ 0

0 , que se designa suma de la serie en x = a.

­ En otro caso se dice que la serie diverge en x = a.

­ La serie [1] puede converger para algunos valores de x y no para otros. Siempre converge para x = xo, siendo ao su suma en dicho punto.

¿Dónde converge la serie? A esta pregunta responde el teorema de Abel, que se enuncia sin demostrarlo.

79

Teorema de Abel

Una serie de potencias ( ) ∑

∞

= −

0 n

n 0 n x x a

converge siempre para todo valor de x de un

cierto intervalo abierto I=(x0­R, x0+R) y diverge si R x x 0 > − . En los extremos del intervalo puede converger o no.

Además en I la convergencia es absoluta, es decir, que converge en I la serie

( ) ∑ ∞

= −

0 n

n 0 n x x a

I = (x0­R , x0+R) recibe el nombre de intervalo de convergencia

¿Cómo obtener el radio de convergencia R?

Criterio:

Si existe λ =

∞ → n n

n a lim

, entonces R = λ 1

Si existe λ = +

∞ → n

1 n n a

a lim , entonces

λ = ∞ → n n

n a lim

y R = λ 1

( Se entiende que si λ = 0 es R = ∞ y si λ = ∞ , es R = 0 )

Ejemplo 1:

¿ Dónde converge la serie

( ) ( ) ∑ ∞

= −

+ −

0 n

n n

3 x 1 n

2

?

Es

( ) a n n

n

= −

+ 2 1 . Luego

lim lim ( ) ( ) n

n

n n

a a

n n →∞

+

→∞ =

+ +

= = 1 2 1 2

2 λ

Luego R =

1 2 y por tanto la serie converge y además absolutamente en

3 1 2

3 1 2

− +

, , es

decir I =

5 2

7 2 ,

En x = 5 2 , la serie es

1 1 0 n n + =

∞

∑ que diverge por ser la armónica.

80

En x = 7 2 , es

( ) − + =

∞

∑ 1 1 0

n

n n que converge (armónica alternada)

Como la serie [1] converge para los puntos x ∈ I , su suma al variar x en I , será una función S(x) que se llama suma de la serie en I.

Ahora resolvamos ecuaciones diferenciales por medio de series.

3.1.2. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS

Mostrando cómo pueden usarse las series de potencias para resolver ciertos tipos de

ecuaciones diferenciales. Por brevedad, limitaremos nuestro estudio al enunciado y manejo

del método, omitiendo el desarrollo teórico.

Comenzamos con el método general de solución por ser ies de potencias. Recuérdese del Capitulo 10 que una serie de potencias representa a una función f en un intervalo de convergencia, y que podemos derivar la serie de potencias sucesivamente, para obtener series para f, f", etc. Por ejemplo,

∞

f(x) = ao + a1x + a2x 2 + a3x 3 + ... = ∑ anx n n=0

∞

f´(x) = a1+2 a2x 2 + a3x 3 + + 4ª4x 3 + ... = ∑ nanx n­1 n=0

∞

f"(x) = 2 a2 + 6a3x + 12a4x 2 + 20a5x 3 + ... = ∑ n(n ­1 ) an x n­2 n=0

Solución en ser ie de potencias

Usar una serie de potencias para hallar la solución general de la ecuación diferencial y' – 2y =0. Solución: Supongamos que

∞

y = ∑ an x n n=0

es una solución. Entonces

81

∞

y = ∑ nan x n­1 n=1

sustituyendo en ´y –2y, obtenemos la forma de serie siguiente para la ecuación diferencial dada

∞ ∞

y´­ 2 = ∑ nan x n­1 – 2 ∑ an x n = 0 n=1 n=1

∞ ∞

∑ nan x n­1 = 2 ∑ an x n n=0 n=0

A continuación ajustamos los índices de la suma de forma que aparezca x n en cada serie. En este caso basta sustituir n por n + 1 en la serie de la izquierda para obtener

∞ ∞

∑ (n + 1)an + 1x n = 2 ∑ an x n n=­1 n=0

Igualando los coeficientes de términos correspondientes, obtenemos la fórmula de recurr encia (n + 1) an+1 = 2an´ de donde an+1 = 2 an , n ≥ 0

n + 1 Está formula genera los resultados siguientes en términos de a0 a1 = 2 a0 a2 = 2a1 = 2 2 a0

2 2 a3 = 2a2 = 2 3 a0 = 2 3 a0

2 2 . 3 3!

a4 = 2ª3 = ___2 4 a0 = 2 4 a0 2 2 . 3 . 4 4!

.

.

. an = 2 n a0

n! Usando estos valores como coeficientes de la serie solución, tenemos

∞ ∞

y= ∑ 2 n a0 x n = a0 ∑ 2 n x n = a0e 2x n=­0 n! n=0 n!

82

Solución en serie de potencias

Usar una serie de potencias para resolver la ecuación diferencial y´´ + xy´+ y =0

Solución: Suponemos que

∞

∑ anx n es solución. Entonces n=0

∞ ∞ ∞

y´= ∑ nanx n­1 xy´= ∑ nanx n y´´= ∑ n (n­1)anx n­2 n=0 n=0 n=0

Sustituyendo y´´, xy´e y en la ecuación diferencial dada, obtenemos las series siguientes:

∞ ∞ ∞

y´= ∑ n(n­1)anx n­2 + ∑ nanx n + ∑ anx n = 0 n=0 n=0 n=0

∞ ∞

∑ n(n­1)anx n­2 = ­ ∑ (n+1)anx n n=0 n=0

Para igualar las potencias de x, ajustamos los índices de la suma sustituyendo n por n+2 en la suma de la izquierda, obteniendo

∞ ∞

∑ (n+2)(n+1)an+2x n = ­ ∑ (n+1)anx n n=­2 n=0

Igualando coeficientes, resulta que (n+2)(n+1)an+2 = ­(n+1)an, de donde se obtiene la formula de recurrencia

an+2 = ­ __(n+1) an = ­ an_ n ≥0 (n+2)(n+1) n +2

y los coeficientes de la serie solución son

a2 = ­ a0 a3 = ­ a1 2 3

a4 = ­ a2 = a0 a3 = ­ a1 = a1 4 2.4 5 3.5

83

a6 = ­ a4 = a0____ a7 = ­ a5 = a1___ 6 2.4.6 7 3.5.7

.

.

. a2k = (­1) k a0 = = (­1) k a0_ a2k+1 = ­ ____(­1) k a1 ___

2.4.6 ... (2k) 2 k (k!) 3.5.7… (2k +1)

Luego, podemos representar la solución general como suma de dos series, una para las

potencias para con coeficientes en términos de a0, y otra para las potencias impares con

coeficientes en términos de a1.

y = a0( 1­x 2 + x 4 ­ ...) + a1 (x – x 3 + _x 5 _ ­...) 2 2.4 3 3.5

∞ ∞

= a0 ∑ (­1) k x 2k + a1 ∑ ___(­1) k x 2k+1 k=0 k=0 3.5.7…(2k+1)

Obsérvese que la solución tiene dos constantes arbitrarias, ao y a1 tal como esperaríamos en la solución general de una ecuación diferencial de segundo orden.

3.2. SERIES DE TAYLOR

3.2.1. Solución de ecuaciones difer enciales mediante ser ies de Taylor

Un segundo tipo de método de resolución por series de potencias se refiere a una ecuación diferencial con condiciones iniciales, y hace uso de las series de Taylor.

EJEMPLO Aproximación por el teorema de Taylor

Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de

y'=y 2 ­x

con la condición inicial y = 1 en x = 0. A continuación, usar los primeros seis términos de esta solución en serie para aproximar los valores de y en 0 ≤ x ≤ 1

Solución: Recuérdese de la Sección 10.10 que, para C = 0

84

y = y(0) + y' (0)x + y´´ ( 0) + y"' (0) x 3 +… 2! 3!

Como y(0) = 1 e y' = y 2 ­ x, se sigue que

y(0) = 1 y' = y 2 –x y´(0) =1

y" = 2y y' – 1 y´´(0) =2­1=1

y"' = 2 y y" + 2 (y) 2 y´´´ (0) = 2+2=4

y (4) = 2 y y"' + 6 y' y" y (4) (0) = 8+6=14

y (5) =2yy (4) + 8 y' y"' + 6 (y') 2 y (5) (0= 28+32+6=66)

y(0) = 1

Por tanto, podemos aproximar los valores de la solución mediante la serie y= y(0) + y´(0)x +y´´(0)x 2 + y´´´ (0) x 3 + y(4)(0) x 4 + y(5) (0) x 5 + ...

2! 3! 4! 5! = 1 + x + 1 x 2 + 4 x 3 + 14 x 4 66 x 5 + ...

2 3! 5!

Usando los seis primeros términos de esta serie, calculamos varios valores de y en el intervalo 0 ≤ x ≤ ,como muestra la Tabla.

x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 y 1.0000 0

1.105 7

1.226 4

1.369 1

1.543 2

1.762 0

2.042 4

2.406 2

2.880 5

3.498 5

4.300 0

85

EJERCICIOS PROPUESTOS

Usar series de potencias para resolver la ecuación diferencial.

1. y'­y= 0 2, y' ­ ky = 0

3. y" ­ 9y = 0 4. y" – k 2 y = 0

Usar el teorema de Taylor para hallar la serie solución de la ecuación diferencial con las condiciones iniciales especificas. Usar n términos de la serie con el fin de aproximar y para el valor de x dado.

5. y' + (2x ­ 1) y= 0, y(0) = 2,

n = 5, x = 1 2

6. y' ­ 2xy = 0,y(0)= 1, n = 4, x = 1

Verificar que la serie converge a la función dada sobre el intervalo que se indica.

∞

1. = ∑ x n = e x, (∞ , ∞) n=0 n!

Ecuación diferencial: y' ­ y = 0

∞

2. ∑ _____(2n)! x 2n+1 = arcsen x, (­1 ,1) n=0 (2 n n!)2(2n + 1)

Ecuación diferencial: (1 – x 2 )y" ­ xy' = 0

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MISCELANIA DE EJERCICIOS

Hallar la solución general de la ecuación diferencial de primer orden.

1. dy + xy = 2y dx

2. y´­ 2y = y´ x x

3. (y + x 3 + xy 2 )dx ­ xdy = 0

4. ye xy dx + xe xy dy = 0

5. y' = x 2 y 2 ­ 9x 2

Hallar la solución general de la ecuación diferencial de segundo orden:

1. y´´ + y = 2 cos x

2. y´´ ­ 2y´+ y = 2xe x

3. y´´ + 2y´+ y = 1__ x 2 e x

Hallar la familia de trayectorias ortogonales a la familia dada y dibujar varias curvas de ambas familias.

1. (x – C) 2 + y 2 = C 2

3. y – 2x = C

Hallar la solución en forma de serie de la ecuación diferencial.

1. y´´ + 3xy´­ 3y = 0

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BIBLIOGRAFÍA

ZILL, Dennis, CULLEN, Michael. Ecuaciones Diferenciales, con problemas de valores en la frontera. Thomsom­Learning. Mexico, 2002

CAMPBELL, Stephen y HABERMAN, Richard. Introducción a las ecuaciones diferenciales. Mc Graw Hill, Mexico 1998

DIPRIMA, Boyce. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera. Limusa. México 1998

KREYZIG, Erwin. Matemáticas avanzadas para ingeniería, Vol. 1. Limusa. México 2000

TAKEUCHI, RAMIREZ, RUIZ. Ecuaciones Diferenciales. Limusa, Bogotá, 2.000