10.1 shell energy balance; boundary condition convection...

1

combinedenergy flux

convectiveenergy flux

molecularwork flux

molecularheat flux

Combined energy fluxで収支を考える

§10.1 Shell Energy Balance; Boundary Condition

Convection（対流） Conduction(伝導)

work flux（粘性）

(9.8-6)

•電気抵抗発熱•化学反応 etc

2

境界条件Boundary conditions第1種境界条件

第2種境界条件

第3種境界条件

異なる材料面の境界条件

初回に配布したプリントを参照のこと

3

§10.2 Heat conduction with an electrical heat source

qvτve ][)2/( 2 Hv 固体の場合v=0なので，q（熱伝導）で収支を考える

問題の要約•半径R，電気伝導度keのワイヤーに電流が流れ発熱している．•電流密度をIとした場合の発熱速度Se[W/m3]は

Se=I2/ke (10.2-1)・ワイヤーの壁面温度はT0に保たれている•半径方向の温度分布を求めよ

初回配布のプリントと様に考えて，

熱収支式 0

erSdrdTkr

drd

境界条件： BC1 at r=0 finite

drdTkqr

BC2 at r=R 0TT

(10.2-9)

(10.2-12)0

drdT

(10.2-6)にFourier式を代入した式

4

22

0 14 R

rkRSTT e温度分布

Rr

o

T

T0

kRST e

4

2

0

(i) 最高温度(r=0)：

(ii) Average temperature（平均温度）

kRST e

4

2

0

V

V

dV

TdVT定義

drdzrddV 円柱座標では，

kRST

rdrL

rdrrTL

dzrdrd

dzrdrdzrTT e

R

R

L R

L R

82

)(2),,(2

0

0

0

0

2

0 0

0

2

0 0

(10.2-13)

rd

dr ro

5

(iii)Heat outflow at the surface (表面からの放熱)

•流入 = 0•生成 = 円柱長さをLとすると，円柱内の発熱量は，SeπR2L [W]•流出 = 生成 = SeπR2L [W]これは，円柱壁から流出する熱流量がSeπR2L であることを示す．

・Eq.(10.2-13)はこれを満たすか？

流入－流出+生成=0

壁での熱流束 RrRrr drdTkq

求めた解の妥当性はいろいろな面からチェックできる

円柱全体のマクロ熱収支

RrRrrRrr dr

dTkRLAqQ )2( 壁での熱流量

2

2 24 R

rkRS

drdT e k

RSR

RkRS

drdT ee

Rr 22

4 2

2

ee

RrrRrr LSRkRSkRLAqQ 2

2)2(

Eq(2-13)より

6

Ex.10.2-1 半径2mm，長さ5mの銅ワイヤの表面温度が20℃の時，ワイヤ中心の温度を10℃上げるには，両端に何ボルト加えればいいか

e

eekkRI

kRkI

kRSTT

44)/(

4

22222

0max

ekLEI/

を代入して，

2

2

22222

0max 44)/(

4

kk

LRE

kRkI

kRSTT eee

100max TT ℃として計算する

7

Ex.10.2-2 例題では壁面温度をT0に仮定したが，Newton’sの冷却の法則を与えた場合の温度を分布を求めよ．

)( airTThdrdTk 0TT

Tair =流体h = 熱伝達係数

0

erSdrdTkr

drd

BC1 at r=0 finite

drdTkqr

BC2 at r=R )( airTThdrdTk

0drdT

或いは

r r

9

§10.3 Heat conduction with a nuclear source

問題の要約•内側の球が核物質で発熱し，外側のアルミニウム製の球で覆われている．

•内球の発熱速度Se[W/m3]は

(10.3-1)

・外球の外壁温度はT0に保たれている•半径方向の温度分布を求めよ

2

)(0 1 Fnn RrbSS

ポイント

•領域が異なる物質から構成される場合には，それぞれの物質に対して収支式を立てる．→ 内球の温度=T(F)，外球の温度=T(C)

•材料の界面では，各材料の温度が等しい，各材料の熱流束が等しい

Sn0,bは定数

10

発熱Sを考慮した半径r方向のエネルギー収支式（球座標系）

011 2

)(0

)(2)(

2

Fn

FF

RrbS

drdTrk

drd

r内球のエネルギー収支式

01 22

S

drdTkr

drd

r

01 )(2)(

2

drdTrk

drd

r

CC外球のエネルギー収支式

必要な境界条件は？

0)(

drdT F

at r=0

at r=R(F)

at r=R(C)

drdTk

drdTk

CC

FF

)()(

)()(

)()( CF TT

0)( TT C

(F) (C)o R(F) R(C)

r

T=T0

15

§10.7 Heat Conduction in a cooling Fin

液体a 気体b

液体と気体の熱交換

ha大 hb小

熱伝達係数

bbaa

ba

AhAh

TTQ 11

熱流量Q

ba hh 一般に

)( babb TTAhQ 小さい熱流量

気体側の伝熱面積Abを大きくする→フィンを付ける

16

モデル化（modeling）1. 温度Tはx,y,zの関数だが，z方向がもっと重要

→Tはzのみの関数2. フィンの先端と両端（x-z面）から損失する熱量は小さい

（側面に比べて面積が小さいから）．→これらの面から損失する熱量は無視できる．

3. 側面における熱伝達係数は位置の関数である．→q=ha(T-Ta)で与え，haを一定とする．

Tw

TaHeat loss

2B

17

エネルギー収支式

z

x

z z+z

zzzq zzq

)( aTTh Ta = 流体温度h = 熱伝達係数

伝熱面積=2BW、側面積（熱損失のある面）=2×Wz

2B

L

0)()(2)2()2( azzzzz TThzWqBWqBW

)( az TTh

Bh

dzdq

)(2

2

aTTkBh

dzTd

zTkqz

より

Tw

モデル２より

0

zTkqz

at z=0

at z=L

wTT

0dzdT

(10.7-3)

(10.7-4)(10.7-5)

18

無次元化

Dimensionless temperature:

Dimensionless distance:

Dimensionless heat transfercoefficient:

aw

aTTTT

Lz

kBhLN

22

（代表温度） Ta = 流体温度, Tw =壁温度（代表距離） L=フィンの長さ

Eqs.(7-6)-(7-7)をEq.(7-3)-(7-5)に代入し，Eqs.(7-8), (7-9)-(7-11)を導出せよ

22

2N

dd

at =0

at =1

1

0d

d(10.7-10)

(10.7-9)

(10.7-11)

(10.7-6)

(10.7-7)

(10.7-8)

19

(10.7-9)の一般解は，（C.1-4）p.852より

)sinh()cosh( 21 NCNC

または，)exp()exp( 43 NCNC

)(21)cosh( xx eex

)(21)sinh( xx eex

at =0

at =1

1

0d

d(10.7-10)

(10.7-11)

を代入して，定数を求める

に，

・パラメータの数を減らすことができる．・系に影響する操作因子を纏めて表すことができる．・スケールアップ，スケールダウンの影響を容易に予測できる

20

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1ζ

Θ

温度分布は

NN

cosh)1(cosh

aw

aTTTT

Lz

kBhLN

2

N=0.5

N=1

N=10

T=Tw

T=Ta

z=L

(10.7-13)

21

フィン効率(effectiveness)

最大熱損失）（に保たれる時の熱損失フィンの温度が

実際の熱損失

wT

NN

dzdyTTh

dzdyTzThW L

aw

W La tanh

)(

))((

0 0

0 0

Eq.(7-13)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.01 0.1 1 10 100

N

ηkBhLN

2

Nが小さいほど，フィンは有効に働いている

22

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ζ

Θ

EX.10.7-1 温度測定の誤差

熱電対

保護管流体

N=0.5

N=1

N=10

T=Tw

T=Ta

保護管のN値が小さいと，保

護管の先端温度は流体温度を示さない．

測定誤差となる

T=Ta

T=Tw

×

kBhLN

2

23

問7.１有次元の基礎式Eq.(7-3)-(7-5)に，無次元変数Eqs.(7-6)-(7-7)を代入し，無次元基礎式Eqs.(7-8), (7-9)-(7-11)を導出せよ

問7.2 Eq（7.15）において，有次元の式に無次元変数Eqs.(7-6)-(7-7)を代入して，無次元の式を求めよ

問7.3 Eq.(7-9)-(7-11)を解いて，Eq.(7-13)を導出せよ．

d

d

dzdyTTh

dzdyTzThW L

aw

W La

1

0

1

0

0 0

0 0

)(

))((

28

問7.4 半径Rで長さLの円柱フィンのN2を求めよ．

r

z z+z

zzzq zzq 2R

L

Tw z

)(2

2

aTTkBh

dzTd

?

伝熱面積=？、側面積=？

2

2

2

Ndd

N=?

31

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ζ

Θ

問7.5 あなたは，あるN値におけるΘとζの関係をプロットして，あ

る先生に見せたら，「これは計算間違い」と即座に言われた．その先生はなぜそのように考えたか？

下の曲線はy=x2の

グラフです，と言っているようなもの

=1における境界条件

を考えればこの曲線はどの様な特徴を持つべきか？

y

x

33

§10.4 Heat Conduction with Viscous Heat Source問題の要約•非圧縮性Newton流体•同軸の内表面の温度がT=T0，外表面がT=Taに保たれている．Tはrだけの関数

•外表面が角速度Ωで回転しており，流体内に速度分布が生じて，粘

性消散(viscous dissipation)が生じている．•r方向の温度分布を求めよ．

円筒の半径は大きく，その一部は平板と見なせる

34

qvτve ][)2/( 2 Hv

流体内部の問題なので，combined energy fluxで収支を考える

熱流れはx方向のみなので，exの熱収支より

エネルギー収支式

xxxx qvτρH)vv(ρe ][2/ 2

vx=0,vy=0,vz=vz(x)よりさらに，

xxxe

xxe0

dxdex

zxzyxyxxxx vτvτvτvτ ][

z

vxvτ xz

xz

したがって，dxdTkv

dxdve z

zx

bxvv bz

b

0

xxxx qvτρH)vv(ρe ][2/ 2

zxzyxyxxxx vτvτvτvτ ][

z

vxvτ xz

xz

(10.4-2)

35

02

2

z

z vdxdv

dxd

dxTdk

bxvv bz より，

02

2

2

bv

dxTdk b

境界条件： BC1 at x=0

BC2 at x=b0TT (10.4-7)

(10.4-8)bTT

bx

bx

bxBr

TTTT

b

1

21

0

0

無次元温度無次元距離 Brinkman数)( 0

2

TTkvBr

a

b

T0≠Tbの時

(10.4-9)

36

0

1

2

3

4

0 0.5 1

x/b

(T-T

0)/(T

b-T 0

)

Br=0

Br=2Tb

T0

Br=5

度熱伝導による熱移動速

度粘性消散による発熱速

2

0

2

0

2

/)()/(

)( bTTkbv

TTkvBr

a

b

a

b

粘性消散が温度分布に影響するのは・高粘性流体

・速度分布が非常に大きな時など

37

02

2

2

bv

dxTdk b

境界条件： BC1 at x=0

BC2 at x=b0TT (10.4-7)

(10.4-8)bTT

問4.1 エネルギー方程式

0

0TTTT

b

bxX

に以下の無次元温度および無次元距離を代入して，無次元の支配方程式を導出せよ．その際，Brinkman 数が式中に現れるか否かも確認せよ．

38

§10.5 Heat Conduction with a Chemical Heat Source 問題の要約•半径Rの固定床反応器内を流体が流れている．•plug flowを仮定．→ 半径方向に速度分布が生じていない．•空塔速度（superficial velocity）はv0•反応器の壁は断熱•充填された粒子と流体の温度は等しい．•r方向の温度分布を求めよ．

)(1 FSS Cc 反応熱01

0TTTT

0vvz

39

空塔速度 superficial veloscity=the volume flow rate divided by the empty column cross section (p.189:Eq.(6.4-1)下）

体積流量V [m3/s] 流路面積S [m3]

流路断面に占める粒子の割合をとすれば，空隙を流れる流体の平均流速：

粒子がないとした場合の管内の平均流速（空塔速度）：

SVv

)1(

SVvs

有効熱伝導率 effective thermal conductvity keffp.281 §9.6

ΔT

q

ΔT

q

均質物質と仮定して，同じ温度差で同じ熱流束が流れるときの熱伝導率

2つ以上の材料から構成される不均質材料

bTkq eff

b = 平板厚さ

40

0222 czzzzz zSReReR

cz S

dzde

• 粒子間の伝熱• 粒子と流体の伝熱• 流体の伝熱

・熱的には，粒子層は固体と流体からなる均一材料（有効熱伝導率ｋｅｆｆ）

・流れに関しては，流体部分のみが流れる（空塔速度v0）

反応器壁は断熱

仮定：粒子と流体の局所温度は等しい

半径方向と周方向には熱は流れない

0 eerz方向に熱収支を取れば

(10.5-1)

(10.5-2)

41

ceffz

zzzpzz SdzdTk

dzdvvvppvTTCvv

dzd

2)()(

21 2

)(1)(ˆˆˆ ppTTCHH p

流体の密度が一定の場合

zzzz qvHve ][)2/( 2 vτ

zz

zzzzzzzrzrz vdz

dvvvvv 2][ vτより0 vvr

0dzdp

0dz

dvz 0dz

dvz

ceffp Sdz

TdkdzdTvC 2

20

また，反応器で粘性発熱を考慮しなければならないのは，非常に特殊なケース

何故？

p.848 Eq.(6-6)に0 vvr.constvz

(10.5-5)

(10.5-4)

→zone Ⅱ(10.5-7)

.constvz

42

zoneⅠとⅡでは，Sc=0とおけばいいので，Eq.(10.5-6）と(10.5-8)がエネルギー方程式として与えられる

境界条件• 入口の条件

z = -∞ Eq.(10.5-9)

• 各領域間の界面で，温度と熱流束がそれぞれ等しいz=0 Eq.(10.5-10, 11)

z=L Eq.(10.5-12, 13)

• 出口の条件z = ∞ Eq.(10.5-14)

問5.１ Eq(10.5-4)において，圧力の項が消える理由を運動方程式を用いて説明せよ．

43

強制対流伝熱と自由（自然）対流伝熱

44

§10.8 Forced Convection

問題の要約•非圧縮性Newton流体（物性値一定）の流体が半径Rの円管内を層流（laminar flow）で流れている．•z=0における流体温度T1（一様温度）•z>0において，管壁面から流体へq0の一様熱流束が加えられる．•流体の速度分布はEq.(10.8-1)で与えられる←p.48•流体内の温度分布を求めよ．

2

max,

220 11

4)(

Rrv

Rr

LRv z

Lz

(10.8-1)

vr=0，v=0，vz=vz(r), T=T(r, z)

45

qvτve ][)ˆ2/( 2 Hv 対流伝熱粘性仕事熱伝導

Combined energy flux

xxxx qvHve ][)2/( 2 vτ

yyyy qvHve ][)2/( 2 vτ


Cartesian座標におけるeの成分：

zxzyxyxxxx vvv ][ vτ

zyzyyyxyxy vvv ][ vτ

zzzyzyxzxz vvv ][ vτ

xTkqx

yTkqy

zTkqz

ここに、

i

vjv ji

ij (i, j = x, y, z)

円柱座標、球座標については、§B.1-B.2を参照のこと

x軸方向への総エネルギー流れ

22 mW

smJ


密度一定の場合

47

熱収支式

qvτve ][)2/( 2 Hv

流体内部の問題なので，combined energy fluxで収支を考える

rre rrre

zze

zzze z

r

zg

rにおける流入量： rrezr 2z

r

r+rにおける流出量： rrrezrr )(2

zにおける流入量： zzerr 2

z+zにおける流出量： zzzerr 2

重力によってなされる仕事： zz gvzrr 2rg W

vgrg dtd

dtdW

0222

)(22

zzzzzzz

rrrrr

gvzrrerrerr

ezrrezr

で割る．zr2

rr

zz ))(2( rrrre

0222

0)(22

zzzzzzz

rrrrr

gvzrrerrerr

ezrrezr

ではない

48

0)(

zz

zzzzzrrrrr gvrz

ee

r

errre

をとれば，0,0 zr

0)(1

zz

zr gvze

rre

r

rrrr qvHve ][)2/( 2 vτ vr=0，v=0，vz=vz(r), T=T(r, z)

zrzrrrrr vvv ][ vτ

rv

zv zr

rz

rTkv

rve z

zr

(10.8-9)

(10.8-7)

(10.8-8)

rrrr qvHve ][)2/( 2 vτ

zrzrrrrr vvv ][ vτ

rv

zv zr

rz

rTkqr

なので，

49

zz

zz

zP grvr

rrzpv

rv

zT

rTr

rrk

zTvC 11 2

2

2


zzzzrzrz vvv ][ vτ

zvz

zz

2zTkHvvve zzz

)2/( 2

zTkvTTCvppvve z

oPz

ozz

)()()2/( 2

テキストでは，ここで消えていないが，消しても良い

0)(1

zz

zr gvze

rre

r に，求めたer, ezを代入すれば，

運動方程式(p.848,B6-6)より


(10.8-11)

(10.8-10)

粘性消散（層流のゆっくりとした流れでは無視できる）


zzzzrzrz vvv ][ vτ

zvz

zz

2

zz

zz

zP grvr

rrzpv

rv

zT

rTr

rrk

zTvC 11 2

2

2

50

2

21zTk

rTr

rrk

zTvC zP

2

max, 1Rrvv zz

z方向への対流伝熱

r方向へ熱伝導

z方向への熱伝導

2

2

zTk

zTvC zP

強制対流では一般的に

rTr

rrk

zT

RrvCP

112

max (10.8-12)

51

境界条件：BC1 at r=0

BC2 at r=R

0or finiterTT (10.8-13)

0qrTk

BC3 at z=0 1TT

(10.8-14)

(10.8-15)

r

T

0

rTk 00 q

52

求められる温度分布は

247

414),( 42

Θ-4

ζ

ξ

kRqTT/0

1

Rr

kRvC

z

zP /2max,

ただし

(10.8-31)

(10.8-16.17.18)

(i) あるz面におけるAverage temperature（平均温度）

S

S

dS

TdST

(ii) Bulk temperature（バルク温度）

Sz

Sz

z

zb dSv

TdSv

vTvT

(10.8-32)

(10.8-33)

53

(ii) Bulk temperature（バルク温度）

Sz

Sz

z

zb dSv

TdSv

vTvT (10.8-33)

)(rvz

),( zrT

S

Cup-mixing temperature

S

S

dS

TdST温度分布を平均

しているだけ

54

(iii) 壁面からの熱伝達

q0

Tb

)( 00 bTThq T024114),1(0

4/0

1

kRq

TTbb

以上より， 2411

0 b

kDq

kRqTT 00

10 4811

2411

(D=2R)

1148

)( 10

0 TTkDq

Nuk

hDTTk

DTThTTk

Dq

)(

)()( 10

10

10

0

247

414),( 42

kRqTT/0

1

Eq. (10.8-33)より，

(10.8-35)

(10.8-34)

温度分布がわかるとヌセルト数（熱伝達係数）を理論的に予測できる

55

問8.1 Eq(10.8-9)と(10.8-10)をEq.(10.8-8)に代入して，Eq.(10.8-11)が導出されることを確認せよ

問8.2 Eq.(10.8-11)右辺最後の項が消えるのは，この項がまさしく運動方程式だからである．このことを，p.848．Eq.（B6-6)の不要な項を消すことによって確認せよ．

zzz

zP grvr

rrzp

rv

zT

rTr

rrk

zTvC 11 2

2

2

(10.8-11)


56

§10.9 Free Convection

問題の要約•密度粘度の流体が幅2Bの壁に挟まれている．•y= -Bにおける壁温度はT2，y=Bにおける壁温度はT1．ただし，T2>T1•流体内部に温度分布が生じ，y= -B付近の流体は上昇し，y=B付近の流体は下降する（自由対流）．•内部の温度分布と速度分布を求めよ．

heat

ed

cool

ed自然対流では，流れがゆっくり

粘性仕事は生じない

vx=0，vy=0，vz=vz(y), T=T(y)

57

熱収支

vy=0なので，y方向の熱移動は熱伝導だけを考えればよい

02

2

yTk

境界条件：BC1 at y=-B

BC2 at y=B

2TT

(10.9-1)

1TT

(10.9-2)

(10.9-3)

ByTTT

21

ただし，2

12 TTT 12 TTT

(10.9-4)

vx=0，vy=0，vz=vz(y), T=T(y)

平板内の熱伝導の問題と同じ

58

§2.1 Shell momentum balances and Boundary Condition

xxxΦxxxxΦ

yyxΦ

yyyxΦ

xx x

y

yy Combined momentum-flux

g

x-運動量の収支

定常状態（steady state）においてp.40

p.36 (1.7-3)

vv π

g

j-momentum（j-運動量）=i方向へ向かうj方向運動量

i

vjv ji

ij

59

vx=0，vy=0，vz=vz(y), T=T(y)xzzxxz vv

yzzyyz vv

zzzzzz vvp

zv

yv yz

yz

0)()()( gzyxyxzx zzzzzzzyyyzyyz

0

g

zyzzyz

0

gvvpzy

vy zz

z

gzp

yvz

2

2

密度の温度依存性をどのように表すか？

xv

zv zx

xz

yz

zz g

(10.9-5)

)(T

xzzxxz vv

yzzyyz vv

xv

zv zx

xz

zv

yv yz

yz

0

gvvpzy

vy zz

z

zzzzzz vvp

0

gvvpzy

vy zz

z

0 zxyxxx 0 zyyyxy

は各自確認のこと

60

)()( TTTTdTd

TTTTTT

平均温度回りで密度をTeylor展開すると，T

pp TTV

V

11

体積膨張係数：

, はにおける値T

)(2

2

TTggzp

yvz

(10.9-6)

(10.9-7)

(10.9-8)

境界条件： BC1 at y=- B

BC2 at y=B

0zv (10.9-10)

(10.9-11)0zv

ByTTT

21

ただし， (10.9-4)

61

ByTg

yvz

21

2

2

(10.9-9’)

境界条件： BC1 at y=-B

BC2 at y=B

0zv (10.9-10)

(10.9-11)0zv

自由対流では流れが緩やかなので，圧力勾配は流体質量にのみ依存する

gp=-gz静水圧 g

zp

By

ByTBgvz

32

12

zo

(10.9-15)

62

さらに，以下の無次元変数を用いて，Eq.(10.9-15)を無次元化するとGrashof数が式中に現れる．

z

zBvV

ByY

YYGrVz 3121

2

3

2

32 )(

gBBTgGr Grashof数

)( TTTT (10.9-6)

TTT

(10.9-17)

64

章末問題（p.320～）10A.2-10A.5の問題を和訳するとともに，各問題を解いて，レポートとして提出すること．締切：

10A.4の注意点：

発熱する銅線がプラスチック製被服材に覆われた系を取り扱っている．ので，まず，２つの領域に対して，それぞれ熱収支式を与え，温度分布を求める必要がある．§10.2のワイヤー発熱だけ扱った温度分布を用いることはできない．

銅線

被覆材

65

10.B.10(p.325)

問題の要約•密度粘度の流体が内壁(半径R)と外壁（半径R）に挾間まれた空間に充満している．•r= R における壁温度はT ，r=Rにおける壁温度はT1．T1>T•流体内部に温度分布が生じ，r=-R付近の流体は上昇し，r= R 付近の流体は下降する．

a) エネルギー収支から温度に関する微分方程式を求めよ．また，境界条件は？

b) 運動量収支から速度に関する微分方程式を求めよ．また，境界条件は？

c) 速度分布を求めよ

66

r

z

R R

T1

r

z

§10.9のCartesian座標系の解き方を参考にして，円柱座標系に対して問題を解く

67

10B.7(p.323)

問題の要約•非圧縮性Newton流体（物性値一定）の流体が幅2Bの平板内を層流（laminar flow）で流れている．•z=0における流体温度T1（一様温度）•z>0において，管壁面から流体へq0の一様熱流束が加えられる．

a) エネルギー収支から温度に関する微分方程式を求めよ．また，境界条件は？

b) 得られた微分方程式と境界条件を無次元化せよ

c) 温度分布を求めよ

§10.8の円柱座標系の解き方を参考にして， Cartesian座標系において問題を解く

68

温度分布を求める手順1) 速度，（圧力），温度はx, y, zのいずれの関

数か？

2) ex, ey, ezで不要なfluxを除く．

3) 収支式を取る

4) eの中で不要な項を消去する．

5) eを熱収支式に代入する． (不要な項を消去する．)

6) 温度に関するエネルギー方程式（必要であれば，運動量方程式）を導出する．

7) 境界条件を与える．

8) （無次元化する）

9) エネルギー方程式を解く

問題の趣旨から簡略化（モデリング）することを配慮．・強制対流か自然対流か？・粘性仕事必要か不要か？

・連続の式，運動方程式に相当する項はないか？・流体か固体か？（固体なら，eをqに置き換えて考える）

10.1 shell energy balance; boundary condition convection...

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