◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations

Chapter 1 Mathematical Background 1.1 Classification of ODE ◙ W.T.Math.KKU 1

บทท 1 พนฐานทางคณตศาสตร (Mathematical Background) ___________________________________________________________________ พจารณาจากแผนผงโครงสรางในกระบวนการของคณตศาสตรประยกต (Applied Mathematics) จะเหนวา สมการเชงอนพนธสามญ (Ordinary Differential Equation) ซงนยมเขยนยอวา ODE. และ สมการเชงอนพนธยอย (Partial Differential Equations) ซงนยมเขยนยอวา PDE. เปนตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical Model)ทส าคญอนหนง ทเกยวของกบอตราการเปลยนแปลงของฟงกชนหนงตวแปร หรอ หลายตวแปร ซงมการประยกตในหลายสาขาวชา

ลกษณะของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธมอย 2 อยางคอ ผลเฉลยเชงวเคราะห (Analytic solution) หรออาจเรยกวา ผลเฉลยแมนตรง (Exact solution) การหาผลเฉลยลกษณะนมขอจ ากดมากมาย และอาจจะไมสามารถหาไดในกรณทฟงกชน และ โดเมนมความซบซอน ผลเฉลยอกลกษณะหนงคอ ผลเฉลยเชงตวเลข (Numerical Solution) หรออาจเรยกวา ผลเฉลยเชงคณนา (Computational Solution) ผลเฉลยชนดนจะเปนผล

Problems And Physical phenomena ………………….

Mathematical Tools Set Logic Computer ………

Mathematical Model ODE PDE …………… …… Law Formula Theorem Method …………

Optimization Optimal Control

Math Modeling

◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations

Chapter 1 Mathematical Background 1.1 Classification of ODE ◙ W.T.Math.KKU 2

เฉลยโดยประมาณ ซงความแมนย ายอมขนอยกบระเบยบวธทใช ในการแกปญหา แตสามารถหาไดแมวา ฟงกชน หรอ โดเมน จะมความซบซอนกตาม อยางไรกตามถงแมการหาผลเฉลยเชงตวเลขพรอมดวยประสทธภาพของคอมพวเตอรจะอ านวยความสะดวกไดในระดบหนง แตถาเราไมรเลยวาสมการเชงอนพนธนนมผลเฉลยจรงหรอไม จงเปนไปไดวาการหาผลเฉลยดงกลาวอาจจะไมมความหมาย ดงนนนอกจากเราจะศกษาถงระเบยบวธในการหาผลเฉลยโดยประมาณแลวเราจะตองศกษาทฤษฎบทตางๆเพอทจะน าไปวเคราะหสมการเชงอนพนธนนวามผลเฉลยจรงหรอไม และถามผลเฉลยจรง จะตองวเคราะหตอไปวาสมการเชงอนพนธนนจะมผลเฉลยเพยงผลเฉลยเดยวเมอมเงอนไขอยางไรบาง ในบทนเราจะวางพนฐานทางคณตศาสตรทส าคญ เพอน าไปสรางทฤษฏบทตางๆทจะน าไปสการหาเงอนไขทจ าเปน และเพยงพอในการทสมการเชงอนพนธ มผลเฉลย และ มเพยงผลเฉลยเดยว

1.1 การจ าแนกสมการเชงอนพนธ ( Classification of Ordinary Differential Equations)

ในหวขอนเราจะกลาวถงบทนยามพนฐานทเกยวของกบสมการเชงอนพนธสามญ และการจ าแนกชนดของสมการเชงอนพนธสามญ ซงเปนการนยามพอสงเขปดงน บทนยาม 1.1.1 สมการเชงอนพนธสามญ หมายถงสมการทเกยวของกบอนพนธของตวแปรตาม (Dependent variable) ทมตวแปรอสระ(Independent variable) เพยง 1 ตว เทานน ตวอยางเชน

2

22 3

d u dut

dt dt เปน ODE ทม u เปนตวแปรตาม และ ม t เปนตวแปรอสระ

22

23 2 4

d y dyy x

dx dx

เปน ODE ทม y เปนตวแปรตาม และ ม x เปนตวแปรอสระ

บทนยาม 1.1.2 อนดบ (Order) ของสมการเชงอนพนธสามญ หมายถง อนดบสงสดของการหาอนพนธในสมการนน ตวอยางเชน

2

22 3

d u dut

dt dt เปน ODE ทมอนดบ 2

◙ 323731 Theory of Ordinary Differential Equations

Chapter 1 Mathematical Background 1.1 Classification of ODE ◙ W.T.Math.KKU 3

2

33 2 4dy dy

y xdx dx

เปน ODE ทมอนดบ 1

บทนยาม 1.1.3 สมการเชงอนพนธสามญเชงเสน (Linear ODE) หมายถง สมการเชงอนพนธ ทตวแปรตาม และ อนพนธอนดบตางๆ มก าลง (Power) เปน 1 เทานน นอกจากนจะตองไมมเทอมใดเปนผลคณของตวแปรตาม หรอ อนพนธยอยของมนดวย บทนยาม 1.1.4 สมการเชงอนพนธยอยไมเชงเสน (Non-linear ODE) หมายถง สมการเชงอนพนธยอย ทไมเปนสมการยอยเชง ตวอยาง 1.1 จงพจารณาวาสมการเชงอนพนธตอไปน เปน Linear หรอ Non-linear

1. 2

22 3

d u duu t

dt dt

2. 2

22 3

d u duu t

dt dt

3. 2

22 3

d u duu t

dt dt

4. 2

2

22 3

d u duut t

dt dt

5. 2

2

22 3

d u dut ut t

dt dt

6. 2

22 3

d u duu u t

dt dt

7. 22

22 3

d u duu t

dt dt

หมายเหต สมการเชงอนพนธสามญเชงเสนอนดบ n ทม x เปนตวแปรอสระ และ y เปนตวแปรตาม สามารถเขยนในรป

1

0 1 11( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

n n

n nn n

d y d y dya x a x a x a x y b x

dx dx dx

เมอ 0 ( ) 0a x