1023 4 $# 5) bdcfehgjikilg>m nlopgjqfm2r cfstcvu w-xzyfrey/papers/levelsets/malladi r., sethian...

30

Upload: others

Post on 21-Aug-2020

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

� ����������� ���������������������������! "�$#%�'&���(*),+-#.��/��102�3�4�����$�#�����5)����768�4���9�: ;��$�5&<�$�>=�?A@

BDCFEHGJIKILG>M�NLOPGJQFM2R�CFSTCVU�W-XZY�N[GJQ\]WA^FG`_ZXbacWAQ�X�dJefEHGJXbY�WAagG`XZN[hAi

GJQjMkGAl8_ZWAQFhmWTn�W-_Zo�WAIKWAprq�GJXbNsdtQFGJIukG`vVdt_wG`XZd>_bp

x]Q�Nsy�W-_wizNKX�pTdJe|{<GJIsN}e~d>_bQ�NLG��Fn�WA_Zo�WAIKWAp���{<S��`���`�t����[���w���L���Z�3�����}���`�L� �~�z�~�`�}�w�������,�w����� �t�� �¡m������¢A� ���`£

\]W`h¤W-a¥vFWA_,¦J�§�5¦A�t�>�

¨ª©j«z¬Z­w®t¯w¬° ��±` ����~���A�8�]£`�`�³²t���r��±`±` ~´A�wµ��T�~´D�`´¤���~�� ~���]´w¶m�w�L�>�����w·¤���z�`�t�w�Jµ����,�z�-�Z�¸���`�¹�~�>�w±>�8 ~��µ�´w¶¤�� ~¢T���9�����w·m�z�b�º �`�u£`�`�`�� ���¢-���`·8�w±J±` ~´A�wµ��� ~���������5´m�����`�u���z¶m���������5»K´¤ ~�8£`�}���~��´m��´w»�µ�£` ~¶¤���w�`���~£J L»[��µ����,´¤�~��´m���w¼5�`��µ��,���b�w�J�5�~´,�µ��}�w�~�u´�»¾½F¿uÀ��L�t�w�����Á����·m´m ����~�`�]�b�5Â$��·m���`�J���J·,¼5���~�9���9�����w·m�¤�A�~�`��²t ��~�u�~���w·¤�<´�»�~�`�����w±J±` ~´A�wµ��D ~�z�,´w¶m�z�P�`´¤������w�`�¹���JµÃ�>�w�`µ��z�,�~�J�3�����w·m���A¢9�z¶m´m��¶A���`·D���`�,���3��·m��£`�`�`�z �Ät´w¼�µ�´¤�-�� ~´¤�������¹�A¢¹�]���>Åw�3�ZÆ�µ�£J ~¶m�w��£` ~�]Ät´w¼����`��-¢����`�8�,�b����µ�£` ~¶m���~£` ��m� º �`���u�~�Ã��·m�������w±J±`����µZ�w�`������´3�>´m���9���w���L�~�w�J�A�[±>��±`±>�� �·¤ ~��¢¤�L�~µb�����<�`´¤���~�8�w�`�4»K£`���³�[���,��·m�µ�´m�A�~���A£`´¤£`�P�`´¤���~��±` ����~�z�-�Ç���4�`�}�wµ�¡D�w�`�D¼5�J�����<�����w·m�z�b�`·¤ ~��¢¤�L�~µb�����<���3��·m���Z�`����ÆA�~£` ��<���3��·m���P���`�Dµ�´¤��´m P�����w·m�z�b�º �`�u�`´m���~�� ~���]´w¶m�w�}Åw�z�`�t�w�Jµ����,�z�-����µÃ�J���,���P��±`±`�������,���]�~�`���5�~���w·¤��µz´m�A�Ã�����J�´¤�`��¢8´m�`�����`�t���`µ����]���A�5±t�w ��w�,�z�~�� Z�¼5�`��µÃ�T���9�]´m���Pµb���~�������f��£`�~´¤�3���~��µb�w����¢8µ��`´m���������w�`�¹���~´¤±Á��£`�~´¤�3�w����µb�w����¢,�w����´m�]��´m±`�����3�w��±t´¤���-�Z�8È$´m�A�~���A£`����w±`±`����µb���~��´m�T´w»P���`�,��µÃ�J���,�]±` ~´A�`£`µz���,�`´É»K£` ~���`�� 8µ��t���`·m�m� º �`�]�~��µz´m�`�c�~���w·¤�,´w»P´¤£` 8�w±`±` �´-��µÃ�¥�����~�`�����t�w±>� ~��µ�´w¶¤�� ~¢¥´w»��D�`�z�~�� ~���c´¤�mÊ���µ��ZË5¼���w·A�w���¹��ÆA±`��´m�����~�`������¶m�z�5�~���,��±`±` ~´A�wµ��r��´9�z¶m´m��¶¤�3�w�¥���`���~�}�w�$µ�£` �¶m�bÅ��~£` Ì»[�wµ���~´w¼5�w ~�J�F�~�`�u�`�z�~�� ~�����>´m£`�J�t�w �¢-�¤�` ~��¶¤���,�A¢8�w�,�����w·m���[�`�z±t���J�`���A�F�~±>�����]»K£J�`µ��~��´¤�,¼5�`��µ��,�w£`��´m���w�~��µb������¢u���~´m±J�¾����~�`�u�`������ ~���D�>´m£J�`�t�w �¢-�

Í5Î,Ï�Ð�ѹÒ>Ó�Ô3Õ�Öm×<Ï�Ø�Ù`Ú³Û

Ø$Öm×�Ô�Ü�Ý�ÝzÜ�Þ>Ò¹ß�ÞDà�Ó�Õ>á�Ü�Ýbâcßbâ>Ü�Ý<ã`Õ>Ýzßb×�ãAäwßuÝ�Ömà�ã`×zãAß�Öwá�å¹Ü�Ý�æt×�ã`ÒJß�ÖwçFÚ

è�é�ê�ëLë~ì�í�îsïðêzñ,í~ïðîLòZîsïðêzñtóFô8òzõöõðòb÷�ï}øtù5ú³ø-òzñ-÷8ûwì�îsümïðòzñtø�ý¤ú þ�úðømÿ��������>ë~òzñ��LòZíÃîsïðêzñ��5êzñ,ÿ��uòbì���ë~êwíÃì ���sïöñ�mø��wø���Zø����tú������������� ��mø�� � �¤ú! û"����`ê�ë~îLì�÷]ïöñ#�-òzë~î%$�&<îsüAìPþ'���¤õöïðìÃ÷�ô8òZîsü-ì �uòbîsïðí �Pû("�$��¤ë~ê�zë~ò��ê*)�îsüAì,+'-�í�ìPê�)���ñAì~ë�&8ùFì �Lì�ò�ë~íÌü."¤ñ-÷mì�ë0/%���Kþ$é21�3��54���û76�1�11 ��¤øòzñ-÷8îsü-ì�8$òZîsïðê�ñAò�õ¸û�í~ïðì�ñAíÃì96Aê*"¤ñ-÷mòZîsïðêzñ:/Fþ$ù��`þ;"mñA÷mì�ë��ë~òzñmî�/$ô,û�<� �� 1(4��mú= 8¾û76>��ê��LîL÷¤êwí�îLê�ë~òzõ�6Aì~õöõðê�?rïöñ3éjê��9��"AîLòbîsïðêzñ-òzõ¸ûwí�ïðì�ñ-í�ìuòzñ-÷@��ñ�zïöñ-ì�ì�ëLïöñ�Ù

Page 2: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

A BDCFEDG�H.IKJ.L%ENM*HOC

Ï~Ò ßbâ>Ü�ÝÉà�ãJà�Öm×QP'R�ÖDà�×�ÖwÝzÖmÒ`ß�ãrÓ�Ò>ÜTS�Öwç ãJà�à�×�ÞtãAäwâcß�ÞrÒ>Þ`Ü�Ý�ÖT×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá�PVÜ Ô4ãAæ`ÖDÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔÉÖmÒ`ß�P5ã`Ò>ç Ýbâ�ã`à�ÖT×�ÖwäwÞ�U`Öm×�årÜ}ÒÜ}ÔDãAæ`ÖwݤÚWVÇâ>ÖFX~Ó�Ò>ç�ã`Ô�ÖmÒJßbãAá�á�Ü}Ò�YDÜ�Ýußbâ>Ö�á�ÖQUJÖwá¸ÝzÖwß�XLÞt×�Ô�Ó>á}ãAß�Ü�ÞtÒ4Þ�Xà�×�Þtà�ãAætã*ß�Ü}Ò>æ3Ü}ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖwÝ�P[R<â>Ü�äwâDÜ�Ý�ã�ÔDãAßbâ>ÖmÔDã*ß�Ü�ämãAáXLÞt×�Ô�Ó>á}ãAß�Ü�ÞtÒrãJÒ>çrÒtÓ�Ô�Öm×�Ü�ämã*á¾ãAá�æ`Þ>×�Ü�ßbâ�Ô\XLÞt×ußZ×�ãAäQY`Ü}Ò>æDßbâ>Ö�Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒ Þ�X5ämÓ�× U`ÖwÝ8ã`Ò>çrÝbÓ�×]XÌãAäwÖwݤÚ�Ï�Ò¹ßbâ>Ö^R�Þ>×*YDà�×�ÖwÝ�ÖmÒJß�Öwçâ>Öm×�Ö�Pußbâ>Ü�ÝKX[Þ>×�Ô�Ó>á ã*ß�Ü�ÞtÒ á�ÖmãAç�Ý9ßzÞ2ãcäwá}ãAÝ�ÝTÞ�X,Ø5Î,Í%_ÃÕ�ã*Ý�Öwç ãAá�æ`Þt×�Ü�ßbâ�ÔÉÝ`R<â>Ü�äwâ ã`×�Ö¹Ü Ô4ãAæ`Ö_~ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒJßrã`Ò>ç äwÞtÒ`ßZãAÜ}ÒÓ>Ý�Öm×Z_~äwÞ>Ò`ßb×�Þ`á�á�ÖwçcÝ�ämã*á�Ö_~ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒ`ß�à�×�Þtà�Öm×�ß�Ü�ÖwÝmÚaV�â>ÖwÝ�Ö3à�ãJ×�ß�Ü}ãAáFç�ÜTbFÖm×�ÖmÒJß�Ü}ãAáÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ>Ý8ã`×�Ö,Ó>ÝzÖwç Ü}Ò ß]RuÞ�Ý�ßbã*æ`ÖwÝ�P[S¸×�Ýzß�Pß�Þ9×�ÖmÔ�Þ�U`Ö|Ò>ÞJÜ�ÝzÖ3ã`Ò>ç¹ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖ]Ü}ÔDãAæ`ÖwÝ�P�ã`Ò>çrÝ�ÖwäwÞ>Ò>ç�P�ß�Þ9×�ÖwäwÞ�U`Öm×�Ýbâ�ãJà�ÖwÝ�Ü Ò ßbâ>Ö,à�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Öwç¥Ü Ô4ãAæ`Ö`Ú

Ï�Ò9Ñ>ßZãAæ`Ö<Ï�P`æ`ÜdU`ÖmÒTã`Ò4Ü Ô4ãAæ`Ö�P�RuÖ8×�ÖmÔ�Þ�U`Ö<Ò>ÞJÜ�ÝzÖ|ã`Ò>ç4ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖ8ßbâ>Ö�Ü Ô4ãAæ`Ö<ÕJåDÖQU`Þ`ádU>Ü}Ò>æ3ßZâ>Ö|Ó�Ò>ç�Öm×fe�Þ�R äwÞtÒJßb×�ÞJá�á�ÖwçÕJårÔ�Ü}Ò�g`ÔDã�h¹ämÓ�× UAãAßbÓ�×�ÖOe�Þ�R,ÚFiu×�Ü�Öe�å�P�ßbâ>Ö3Ô�Ü}Ò�g`Ô4ã�hrã`à�à�×�Þtã*ä�âTÖQU`ÞJájUJÖwÝ<ÖQc�Ó�ãAá$Ü Ô4ãAæ`Ö,Ü}ÒJß�ÖmÒ>Ý�Ü�ß�å¹äwÞtÒJß�ÞtÓ�×�Ý�Ü}Ò¹ßbâ>ÖwÜ}×Ò>Þt×�Ô4ãAá`ç�Ü}×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ>Ý5Ó�Ò>ç�Öm×5ã9e�Þ�Rgßbâ�ãAßVç�Ömà�ÖmÒ>ç�Ý5ÞtÒ�ßbâ>ÖwÜ}×Vá�ÞtämãAá>ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Öuã`Ò>ç,ÞtÒ8Õ�ã*ä(YJæt×�ÞtÓ�Ò>ç]Ü}ÒkX[Þt×zÔDãAß�Ü�ÞtÒ�ÖQh>ßb×�ãAäwßzÖwçX~×�ÞtÔ ßbâ>Ö�Ó�Ò>ç�Öm×�á�åtÜ}Ò>æ,ç�Þ>ÔDãAÜ}Ò2l`ßbâ>Ü�ÝPã`à�à�×�ÞtãAäwâ8Ü�Ý5ç�ÖwÝ�äm×�Ü}Õ�ÖwçTÜ}Ò]Ý�ÞtÔ�Öuç�ÖwßbãAÜ�á>Ü}ÒDÑ>Öwäwß�Ü�ÞtÒ�Ï�ÏÃÏzÚmV�â>ÖFYAÖwå8ßzÞ<ßbâ>Ü�ÝPã`à�à�×�ÞtãAäwâ×�ÖwÝ�ßzÝ,ÞtÒ ãrÔ�Ü}Ò�g`Ô4ã�hgÝ*R�Ü�ß�äwânXÌÓ�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ ßZâ�ãAß,ç�Öwß�Öm×zÔ�Ü}Ò>ÖwÝ3ßZâ>ÖÁã`à�à�×�Þtà�×�Ü}ãAß�Ö¹Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒ�Ú;o8Ó�×3ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hpe�Þ�R â�ã*Ý3ßZâ>ÖXLÞ`á�á�Þ�R�Ü}Ò>æTä�â�ãJ×�ãAäwß�Öm×�Ü�Ý�ßzÜ�äwÝ�q

ÙJÚFV�â>Ö,Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hKe�Þ�R ×�ÖmÔ�Þ�U`ÖwÝuÝbÔ4ãAá�ár_~ÝzämãAá�ÖÉÒ>ÞJÜ�ÝzÖ3ÕJå9Ý�Öwá�Öwäwß�Ü}Ò>æ¹ßbâ>Ö8äwÞ>×�×�Öwäwß�ÖQU`ÞJá Ó>ßzÜ�Þ>Ò¹ÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ�Ú

s ÚFV�â>Ö8á}ã`×�æ`Öm×QP�æ`á�ÞtÕ�ãAáà�×�Þ>à�Öm×�ß�Ü�ÖwÝ�ÞtX¾Ýbâ�ãJà�ÖwÝ�Ü Ò ßbâ>Ö8Ü}ÔDãAæ`ÖOS�Öwá�ç ã`×�Ö,Ô4ãAÜ}Ò`ßbã*Ü Ò>ÖwçFÚ

u Úav¸Ó�×�ßbâ>Öm×zÔ�Þt×�Ö�P`ã`Ò>ç�ÖQc�Ó�ãAá�á�åDÜ}ÔDà�Þt×�ßbã`ÒJß�á�å�P`ßbâ>Ö9e�Þ�RHÝ�ß�Þtà>Ý$ÞtÒ>äwÖ�ßZâ>Ü�ÝuÒ>Þ`Ü�Ý�Ö�Ü�Ý�×�ÖmÔ�Þ�U`Öwç�qÐuÞ>Ò`ß�Ü}Ò>Ó>ÖwçDã`à�à>á�Ü�ämã*ß�Ü�ÞtÒÞ�Xßbâ>Ö]Ý�ä�â>ÖmÔÉÖ,à�×�Þtç�Ó>äwÖwÝ8Ò>ÞwX~Ó�×�ßbâ>Öm×uäwâ�ã`Ò>æ`Ö`Ú

x Ú�Í5ç�æ`Ö8ç�ÖS¸Ò>Ü�ß�Ü�ÞtÒ¥Ü�Ý|Ô4ãAÜ}Ò`ßbã*Ü Ò>Öwç�P�ã`Ò>ç�P�Ü}Ò¹Ý�Þ>Ô�Ö8æ`á�ÞtÕ�ãAáFÝzÖmÒ>Ý�Ö�P�ã`×�ÖmãÉÜ Ò>ÝzÜ�ç�ÖDÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�Ü�ÖwÝ8Ü�Ý<à�×�ÖwÝ�Öm×�U`ÖwçFÚ

y ÚFV�â>Ö<Ò>Þ`Ü�Ý�Ö<×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá�ämã`à�ãJÕ>Ü�á�Ü�ß�Ü�ÖwÝ�Þ�X�ßbâ>Ö<Ô�Ü}Ò�g`Ô4ã�h^e�Þ�RHÜ�Ý�Ý�ämãAá�Ö_~ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒJß�P�ã`Ò>ç4ämã`ÒDâ>Ü�Öm×�ã`×�äwâ>Ü�ämãAá�á�åÁãAç�z�Ó>Ý�ß�ÖwçFÚ

{ ÚFV�â>Ö8Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö3×�ÖQc�Ó>Ü}×�ÖwÝ�ÞtÒ>á�åÁãDÒ>ÖmãJ×�ÖwÝ�ß<Ò>ÖwÜ�ætâ>Õ�Þt×ÇÝ�ß�ÖmÒ>äwÜ�á$ÖQU-ãAá}Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò�Ú

| UAã`×�Ü}ãAß�Ü�ÞtÒ ÞtÒ ÞtÓ�×TÕ�ãAÝ�Ü�äcÝ�äwâ>ÖmÔ�Ö�P<×�Öwá�å>Ü}Ò>æ ÞtÒ ÖQU-ãAá}Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò>ÝrÞ�X3Ô�ÖmãJÒHämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ögã`Ò>ç�ãAÝ�ÝzÞtäwÜ}ãAß�Öwç ÖQU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ>Ý�ämã`ÒrÕ�ÖÉÓ>ÝzÖwç ßzÞDÝ�Öwá�Öwäwß�ÜdU`Öwá�åcÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖ�ç�ÜrbFÖm×�ÖmÒJß8ãAÝbà�ÖwäwßzÝ<Þ�XPßZâ>Ö,Ü}ÔDãAæ`Ö�P�ã`Ò>ç¥Ü�Ý8Ó>Ý�ÖX~Ó>á}R�â>ÖmÒ ã4à�ã`×�ß�Ü�ämÓ>á}ã`×ß�å§à�Ö�Þ�XFÒ>Þ`Ü�Ý�Ö|×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá�gAÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔÉÖmÒ`ß�Ü�Ý�ç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçFÚao8Ó�×Pã`à�à�×�Þ>ãAä�â]Ü�Ý�ãJà�à>á�Ü�ämã`Õ>á�Ö]ß�Þ,Õ�Þ`ßZâ�ÝbãAá�ß _Ãã`Ò>ç[_Ãà�Ömà�à�Öm×�æt×�Öwåk_~Ý�ämãAá�ÖÒ>Þ`Ü�Ý�ÖDã`Ò>ç;X~Ó>á�áT_~Ü}ÔDãAæJÖDäwÞtÒJß�Ü}ÒtÓ>ÞtÓ>Ý,Ò>ÞJÜ�ÝzÖÉà�×�ÖwÝ�ÖmÒ`ß�Ü}ÒcÕ>á ã*ä(Y¥ã`Ò>çpR<â>Ü�ß�Ö�Ü Ô4ãAæ`ÖwÝ�P�æt×�Öwåk_~Ý�ämãAá�Ö�Ü}ÔDãAæ`ÖwÝ�P�ßzÖQhtßbÓ�×�Ö,Ü}ÔDãAæ`ÖwÝã`Ò>ç¹äwÞ`á�Þt×ÇÜ}ÔDãAæ`ÖwݤÚ

s

Page 3: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

Ï�Ò;Ñ>ßbãAæ`ÖgÏ�ÏTÞ�X3ßZâ>Ö à�×�ÞtäwÖwÝ�Ý�P~RuÖg×�ÖwäwÞ�U`Öm×TÞtÕ�zÃÖwäwß�ÝKX~×�ÞtÔ ßbâ>Ögà�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Öwç�Ü}ÔDã*æ`Ö`Ú�VÇâ>Ögæ`ÞtãAá8â>Öm×�ÖgÜ�ݹß�Þ�S�ßrãÕ�Þ>Ó�Ò>ç�ã`×�årßzÞÁÔDã*ß�ä�â ßbâ>Ö�Ýbâ�ã`à�Ö3ÞtXPßbâ>Ö�ç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçcÞtÕ[z�ÖwäwßmÚ#o8Ó�×8ã`à�à�×�ÞtãAäwâ�RuÞt×�Y`Ý<ÕJårÖQUJÞ`ádUtÜ}Ò>ærã`Ò¥Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�X~×�ÞtÒJß<Ó>Ý�Ü}Ò>æßbâ>Ö�á�ÖQU`ÖwáFÝ�Öwß�Ô�Öwßbâ>Þ>ç�Þ`á�Þ`æ`åTÞ�X¾à�×�Þtà�ãAætãAßzÜ Ò>æ]Ü}Ò`ß�Öm×]XÌãAäwÖwÝ�P�R�Ü�ßbâTã,ÝZà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒTÝ�å�ÒJßbâ>ÖwÝ�Üd�wÖwç�X~×�ÞtÔ ßbâ>Ö8Ü}ÔDãAæ`Ö`Ú�V�â>Ü�ÝÝbà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ Ü�Ý9äwÞtÒ>Ýzßb×�Ó>äwß�ÖwçHÝ�Þcßbâ�ã*ß3Ü�ßwXLÞt×�äwÖwÝ4ßbâ>Ö9ÖQUJÞ`ádUtÜ}Ò>æHÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å2ß�ÞcÝ�ßzÞtàHãAß�ßbâ>Ö¹ÞtÕ[z�ÖwäwßDÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ãJ×�å ÕJåÖQh�à>á�ÞJÜ�ßzÜ Ò>æTÜ}ÒkX[Þ>×�ÔDãAß�Ü�ÞtÒTã`Õ�ÞtÓ>ßußbâ>Ö<Ü}ÔDã*æ`Ö<æ>×�ãAç�Ü�ÖmÒ`ߤÚ0o8Ó�×�á�ÖQUJÖwá¸ÝzÖwßfãJà�à�×�ÞtãAäwâDßzÞ,Ýbâ�ã`à�Ö,×�ÖwäwÞ�U`Öm×�åDâ�ãAÝußbâ>Ö�X[ÞJá�á�Þ�R�Ü}Ò>æäwâ�ã`×�ãAäwß�Öm×�Ü�Ýzß�Ü�äwÝ�qÙJÚF��Þcà�×�ÖQUtÜ�ÞtÓ>Ý�Ü}ÒkXLÞt×�ÔDãAßzÜ�Þ>Ògã`Õ�Þ>Ó>ß3ßZâ>ÖDß�Þtà�Þ`á�Þ`æ`åcÞ�X�ßbâ>ÖTÝbâ�ã`à�Ö¹Õ�Þ>Ó�Ò>ç�ã`×�ågÜ�Ý3×�ÖQc§Ó>Ü}×�Öwç�l�ç�Ó>Ö9ßzÞrßbâ>ÖDá�ÖQU`ÖwáuÝ�ÖwßX[Þt×zÔ3Ó>á}ãAßzÜ�Þ>Ò2P`ßbâ>Ö�ÖQU`Þ`ádU>Ü Ò>æ4Ýbâ�ã`à�Ö8Õ�Þ>Ó�Ò>ç�ã`×�åDämã`ÒTÕ�×�Ömã�YDP>ä�â�ãJÒ>æ`Ö<ßzÞtà�Þ`á�Þ`æJå�Ptã`Ò>ç¹Ô�Öm×�æ`Ö8ãAÝ�Ü�ßuÝ�ÖmãJ×�ä�â>ÖwÝ9XLÞt×5ßZâ>ÖÞtÕ[z�ÖwäwßfÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å`Ú

s ÚFV�â>Ö,×�ÖwäwÞ�U`Öm×�åTß�Öwäwâ�Ò>Üjc�Ó>ÖwÝ8ã`×�Ö,ã`à�à>á�Ü�ämã`Õ>á�ÖDß�ÞDÕ�ÞJßbâ¹ß RuÞ3ã`Ò>ç¥ßbâ�×�ÖwÖ_~ç�Ü}Ô�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ã*áÜ}ÔDãAæJÖ#S�Öwá�ç�ÝmÚu Ú�Ï~Ò¹ã`×�Ömã*Ý<ã�Rfã¤åwX~×�ÞtÔ:ßbâ>Ö,Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å�P�ßbâ>Ö@X~×�ÞtÒJßuÖQU`Þ`ádU`ÖwÝ�ÖQhtßb×�ÖmÔ�Öwá�å`c�Ó>Ü�ä(YJá�å`Úx ÚFV�â>Ö<Ü}ÔDã*æ`Ö<à�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æmgAÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß�Ü ÒTÑ>ßbãAæJÖ|Ï$ämã`ÒTÕ�Ö�á�Ü}Ò�YAÖwç�R�Ü�ßbâKR�Ü�ßbâTßbâ>Ö�Ý�å�ÒJßbâ>ÖwÝ�Üd�wÖwç¹Ýbà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒß�ÞDãAäwäwÖmÒ`ßZÓ�ãAß�Ö8ç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçcÞtÕ[z�Öwäwß�Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ãJ×�Ü�ÖwÝ,ã`Ò>çrãAÜ�çrÜ}Ò¹ÝZâ�ã`à�Ö�×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å`Ú

Ï�ÒTßbâ>Ü�Ý|à�ãJà�Öm×QP�RuÖ,à�×�ÖwÝzÖmÒ`ß<ãÉäwÞ`á�á�ÖwäwßzÜ�Þ>ÒrÞtX¾×�ÖwÝbÓ>á�ß�Ý�ß�Þ�ç�ÖmÔ�ÞtÒ>Ý�ßZ×�ãAß�Ö8ßbâ>Ö@XLÖmãAßbÓ�×�ÖwÝ�Þ�Xßbâ>Ü�Ý�Ý�å>Ý�ß�ÖmÔ¹Ú%�gÖ�Õ�Öwæ`Ü}ÒrÕJåã`à�à>á�å>Ü Ò>æTÞtÓ�×�ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hDÝ�äwâ>ÖmÔ�Ö@XLÞt×uÒ>Þ`Ü�Ý�Ö3×�ÖmÔ�Þ�U-ãAáFã`Ò>çTÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß<ßzÞÉã^UAã`×�Ü�Öwß�å9Þ�X5Õ>á ã*ä(Y¹ã`Ò>ç�R<â>Ü�ß�Ö�P�ãJÒ>ç¹æt×�ÖwåÝ�ämãAá�Ö�Ü}ÔDãAæ`ÖwÝmÚ%�gÖÇßbâ>ÖmÒwXLÞ`á�á�Þ�R�R�Ü�ßbâ4Ýbâ�ã`à�Ö|×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å,Þ�XFÞtÕ[z�Öwäwß�ÝfXÌ×�Þ>Ô�R�Ü�ßbâ>Ü}ÒTÖmÒ>ä�â�ã`Ò>äwÖwçTÜ}ÔDãAæ`ÖwݤÚ��gÖ�ßbâ>ÖmÒ4à�Ó>ß�ßZâ>ÖÖmÒJß�Ü}×�ÖDÝ�ÖQc�Ó>ÖmÒ>äwÖ9ßzÞ`æ`Öwßbâ>Öm×QPFãJÒ>çgÝbâ>Þ�R ÖmÒ>ä�â�ãJÒ>äwÖmÔ�ÖmÒ`ß�PÝzÖwætÔ�ÖmÒJßbãAß�Ü�ÞtÒ2P$ã`Ò>çgÝbâ�ã`à�Ö9×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å¥Þ�X�ämãJ×�ç�Ü}ãAä9ç�ã*ßbãKXÌ×�ÞtÔß RuÞÉãJÒ>ç¹ßbâ�×�ÖwÖ_~ç�Ü}Ô�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ãAá5Ü}ÔDã*æ`Ö@S�Öwá�ç�Ý8ÞtÕ>ßbãAÜ}Ò>Öwç�X~×�ÞtÔ ÐFVOP§ãJÒ>ç�����Ï5Ýzämã`Ò>ÝmÚ

VÇâ>ÖÁÔ�ÖwßZâ>Þtç�ÝDà�×�ÖwÝ�ÖmÒJß�ÖwçHÜ}Ò ßbâ>Ü�Ý9à�ã`à�Öm×�ã`×�ÖTç�Öm×�ÜdU`Öwç�XÌ×�ÞtÔ�ßbâ>Ö�o�ÝZâ>Öm×Z_ÃÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò�� s��7� á�ÖQU`ÖwáuÝ�Öwß^XLÞt×�Ô�Ó>á}ãAß�Ü�ÞtÒ Þ�XX~×�ÞtÒJßÁà�×�Þ>à�ãAætãAß�Ü�ÞtÒ2P@R<â>Ü�äwâ;æt×�ÖQR Þ>Ó>ß¹Þ�X3Ömã`×�á�Ü�Öm×¥Õ`å;Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò�� u�y�� ÞtÒ ßbâ>ÖgÔDãAßbâ>ÖmÔDã*ß�Ü�ämãAá@X[Þ>×�Ô�Ó>á ã*ß�Ü�ÞtÒ Þ�X3ämÓ�× UJÖã`Ò>ç ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖ¹Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒ�ÚpV�â>Ö¹ç�ÖwÝ�Ü�ætÒ Þ�X|ãcØ5Î,ÍW_ÃÕ�ãAÝ�ÖwçHã`à�à�×�Þtã*ä�âcßzÞ Ü}ÔDã*æ`Ö9ÖmÒ�â�ãJÒ>äwÖmÔ�ÖmÒ`ßTã`Ò>ç Ò>ÞJÜ�ÝzÖr×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá9R�ãAÝÜ}Ò`ßZ×�Þtç�Ó>äwÖwçHÜ}Ò ß R�Þrà>ÜdU`ÞJßbãAá�à�ãJà�Öm×�Ý�l'ßbâ>Ö>RuÞt×*Y¥Þ�X | ájUAã`×�ÖQ��P0�jÜ�Þ>Ò>ÝÉãJÒ>ç��cÞt×�ÖwáF� u�� ã`Ò>ç ßbâ>Ö`RuÞt×�Y¹Þ�X~o�Ýbâ>Öm×Z_]�ÇÓ>ç�Ü Ò� s��7� Ú���â>Ü�á�ÖDßZâ>ÖÉÔÉÜ Ò�gJÔDã�h¹Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö�ç�ÖwÝ�äm×�Ü}Õ�Öwç â>Öm×�Ö�Ý�ßbã`×�ßzÝaXÌ×�ÞtÔ ßZâ>Ö,Þt×�Ü�æ`Ü}Ò�ãAá5ämÓ�×�U`Ö,ÖQU`ÞJá Ó>ßzÜ�Þ>ÒpRuÞt×*Y4æ`ÜdU`ÖmÒ¥Ü Ò�� ukyQ�ã`Ò>ç2à�×�ÞtäwÖwÖwç�Ý�ãAá�ÞtÒ>æ¹ç�ÜTbjÖm×�ÖmÒ`ß]á�Ü}Ò>ÖwÝ�P$Ü�ß,Þ�RuÖwÝ,ãTäwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×�ãJÕ>á�ÖTç�ÖmÕ>ß,ßzÞ¹ßbâ>ÖDã`Õ�Þ�U`ÖwRuÞt×*YJÝmÚwV�â>Ö9ã`à�à>á�Ü�ämãAß�Ü�ÞtÒ Þ�X�ßZâ>ÖÝbã`ÔÉÖ,á�ÖQU`Öwá5Ý�Öwß8à�Öm×�ÝZà�Öwäwß�ÜdU`ÖTß�ÞDÝbâ�ãJà�Ö9×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å9Ü}ÒgÑ>ßbã*æ`Ö3Ï�Ï�Rfã*Ý�ç�ÖQU`Öwá�Þtà�Öwç Õ`å;� ã*á�á}ãAç�Ü�P$Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2PFã`Ò>çp�5ÖmÔ�Ó�×�ÜÜ}Òà�×�ÖQU>Ü�ÞtÓ>ÝaR�Þ>×*Y�lJÝ�ÖwÖw� s�x P s�y�� Ú�V�â�ãAß0RuÞt×�Y#R�ãAÝ�ÔÉÞ`ß�ÜdU-ãAßzÖwçÁÕJå�ßbâ>Ö<á}ã`×�æ`Ö|Õ�Þtç�å4Þ�X�R�Þ>×*Y]ÞtÒ�ÖmÒ>Öm×�æ`åTÔ�Ü}Ò>Ü ÔÉÜj�mã*ß�Ü�ÞtÒ2P�ÝzÖwÖ� � P u�� P u Û�PFÙmÛ[PFÙ u P x Ù � Ú

u

Page 4: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

VVÞ Õ�Ö¹ÝbÓ�×�Ö�P$ßbâ>Öm×�ÖTÜ�ÝDã�RÇÜ�ç�Ö¹ÝZà�Öwäwßb×�Ó�Ô�Þ�X�Ü}ÔDãAæJÖÁà�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æ2ãJÒ>ç2Ýbâ�ãJà�Ö¹×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å2ãAá�æ`Þ>×�Ü�ßbâ�Ô�Ý,Ü}Ò ÖQh>Ü�Ý�ß�ÖmÒ>äwÖ�PÝ�ÞtÔÉÖ,Þ�XaR<â>Ü�ä�âcã`×�ÖDÕ�×�Ü�Öe�ågÔ�ÖmÒJß�Ü�ÞtÒ>ÖwçcÜ}Òcßbâ>Ö^X[ÞJá�á�Þ�R�Ü}Ò>æ¹Ý�Öwäwß�Ü�ÞtÒ�Ú^V�â>Ü�Ý.RuÞt×*YKX~ãAá�á�Ý,Ó�Ò>ç�Öm×8ßbâ>Ö]ämãAß�Öwæ`Þt×�å¹Þ�Xfà�ã`×�ß�Ü}ãAáç�ÜTbFÖm×�ÖmÒ`ßzÜ ã*á�ÖQc§Ó�ã*ß�Ü�ÞtÒ>Ý _ÃÕ�ãAÝ�ÖwçHÝzä�â>ÖmÔ�ÖwݤÚ2Ï~Ò ç�ÜTbFÖm×�ÖmÒJß9ã`à�à>á�Ü�ämãAß�Ü�ÞtÒ>ݹã`Ò>çHç�ÜTbFÖm×�ÖmÒ`ß4äwÜ ×�ämÓ�Ô�Ý�ßbã`Ò>äwÖwÝ�PPÞ`ßZâ>Öm×,Ýzä�â>ÖmÔ�ÖwÝÔDã¤årÕ�ÖTà�×�ÖX[Öm×zã`Õ>á�Ö`Ú.V�â>Ö�æ`ÞtãAá$Þ�XPßbâ>Ü�Ý�à�ã`à�Öm×�Ü�Ý,Ò>Þ`ß8ß�Þ¹à�×�ÞtÔÉÞ`ß�Ö,Þ>Ò>ÖÉãJà�à�×�ÞtãAäwâ¹Ü}ÒgãAá�á5Ý�Ü�ßbÓ�ã*ß�Ü�ÞtÒ>Ý�PFÕ�Ó>ß8Ü}Ò>Ý�ß�ÖmãAç ß�ÞÞ�bFÖm×uã�äwÞtâ>ÖwÝ�ÜdU`Ö�ã`à�à�×�Þtã*ä�â¹Õ�ãAÝzÖwçrÞtÒ¹ãDÓ�Ò>ÜTS�ÖwçgÔDãAßZâ>ÖmÔDãAß�Ü�ämãAáFà�Öm×�Ýbà�Öwäwß�ÜdU`Ö`Ú

VÇâ>Ö<ÞtÓ>ßzá�Ü}Ò>Ö8Þ�XFßbâ>Ü�Ý�à�ã`à�Öm×PÜ�Ý<ã*Ý�XLÞ`á�á�Þ�R�ݤھÏ�Ò¹Ñ>Öwäwß�Ü�ÞtÒTÏÃÏ�P�RuÖ�ç�ÖwÝ�äm×�Ü}Õ�Ö3Õ�ãAäQY`æ>×�ÞtÓ�Ò>ç>RuÞt×*Y]Ü}ÒTßbâ>Ü�Ý�ã`×�Ömã�lJÜ}Ò>äwá Ó>ç�Ü}Ò>æÜ}ÒDà�ã`×�ßzÜ�ämÓ>á}ã`×5à�×�ÖQUtÜ�ÞtÓ>Ý9R�Þ>×*Y8Ó>Ý�Ü}Ò>æ8á�ÖQU`Öwá�Ý�Öwß5ß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝ�Ü ÒÉßbâ>Ü�Ý5äwÞtÒ`ßzÖQhtßmÚ$Ï~Ò�Ñ>Öwäwß�Ü�ÞtÒDÏ�Ï�Ï*PkRuÖ�ç�ÖwÝzäm×�Ü}Õ�Ö�ÞtÓ�×5ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hÝ�äwâ>ÖmÔ�Ö#XLÞt×uÜ}ÔDã*æ`Ö8ÖmÒ>ä�â�ãJÒ>äwÖmÔ�ÖmÒ`ß8ã`Ò>çcÒ>Þ`Ü�Ý�Ö3×�ÖmÔÉÞ�UAãAáFßbâ�ã*ß�äwÞ>ÔDà�×�Ü�Ý�ÖwÝ8Ñ>ßbãAæ`Ö,Ï�Þ�X5ßbâ>Ö3à�×�ÞtäwÖwÝ�ݤÚPÏ~Ò¥Ñ>Öwäwß�Ü�ÞtÒcÏ��wP�RuÖç�ÖwÝ�äm×�Ü}Õ�Ö,ßbâ>Ö�á�ÖQU`Öwá�Ý�Öwß�ã`à�à�×�ÞtãAäwâ4ß�Þ,Ýbâ�ãJà�Ö8Ý�ÖwætÔÉÖmÒ`ßbã*ß�Ü�ÞtÒDã`Ò>ç¹×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å`Ú5Ï~Ò¹Ñ>ÖwäwßzÜ�Þ>Ò��:P[RuÖ�äwÞtÔDà�ãJ×�Ö<Þ>Ó�×�ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hã`à�à�×�Þ>ãAä�âTßzÞ9Ü}ÔDãAæJÖ,ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ¹ã`Ò>çrÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß@R�Ü�ßbâ¹Þ`ßZâ>Öm×<ã`à�à�×�ÞtãAäwâ>ÖwÝ�P�ã`Ò>ç¥ç�ÖmÔ�ÞtÒ>Ý�ßb×zãAß�Ö8ßbâ>Ö^U`Öm×�ÝbãAßzÜ�á�Ü�ß�å¹Þ�Xßbâ>ÖuÝbâ�ã`à�Ö<×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å]Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö`Ú5Ï~ÒDÑ>Öwäwß�Ü�ÞtÒK�8Ï*P�RuÖ�ã`à�à>á�å3ßZâ>Ö<Ó�Ò>ÜTS�ÖwçÁÔ�Þ>ç�Öwá[XLÞt×5Ò>Þ`Ü�Ý�Ö<×�ÖmÔÉÞ�UAãAá�P`Ü}ÔDãAæJÖ�ÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJßã`Ò>ç¹Ýbâ�ãJà�Ö3×�ÖwäwÞ�UJÖm×�å9ßzÞÉãÉÝ�Öm×�Ü�ÖwÝ<ÞtX'ã`à�à>á�Ü�ämãAß�Ü�ÞtÒ>ݤÚ

� ���FL2�.��G�HOJwC.I`�a �G�¡f¢.M*H#J.£�¤ H�G2�¥}¦Z§ ¨�©�ª2«~©N¬®­�¯°ª�±%²�³W¯�©�©�´tµ9¶�·f±�¸N¹w·0º�µ9ª2·0º�²�¯°²�·'´`ª2·0»¼³Wµ9ª2½F²�¾p²Dº�©�¿}²DÀ�Á

V�â>Ö�ÖwÝ�Ý�ÖmÒJß�Ü}ãAá`Ü�ç�Ömã�Ü}ÒªÜ Ô4ãAæ`ÖPÝZÔ�ÞtÞJßbâ>Ü}Ò>æ�Ü�Ýß�ÞÂS�á�ßzÖm×Ò>Þ`Ü�Ý�Öuà�×�ÖwÝ�ÖmÒJßÜ}Òªßbâ>Ö5Ü}ÔDãAæ`Ö�Ý�Ü�ætÒ�ãAá�R�Ü�ßbâ>Þ>Ó>ßÝbã*äm×�ÜTS�äwÜ Ò>æ�ßbâ>ÖuÓ>Ý�ÖXÌÓ>áç�ÖwßbãAÜ�áLÚrÏ�ÒgäwÞtÒJßb×�ã*Ý�ß�P�Ü}ÔDãAæ`Ö4ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß.XLÞ>ämÓ>Ý�ÖwÝ�ÞtÒgà�×�ÖXLÖm×�ÖmÒJß�Ü}ãAá�á�åHâ>Ü�ætâ>á�Ü�ætâ`ßzÜ Ò>æ äwÖm×�ßbãAÜ}Ò Ü Ô4ãAæ`ÖwXLÖmãAßbÓ�×�ÖwݤÚ�VÇâ>ÖÝbÓ�Õ[z�ÖwäwßPÜ�Ý9U-ãAÝ�ß�Ptã`Ò>ç>RuÖ�×�ÖXLÖm×5ß�Þ8ßZâ>Ö�Ü}Ò`ß�Öm×�ÖwÝ�ß�Öwç¹×�ÖmãAç�Öm×$ß�Þ]Ý�ßbã`Ò>ç�ã`×�ç:RuÞt×�Y`Ý5Ü}Ò4ßbâ>ÖaS�Öwá�ç�P>Ý�ÖwÖ.�}Ù { P�Ù ��� ã`Ò>ç9×�ÖXLÖm×�ÖmÒ>äwÖwÝßbâ>Öm×�ÖwÜ}Ò�Ú@V×�ã*ç�Ü�ßzÜ�Þ>Ò�ãAá�á�å�P$Õ�Þ`ßZâgÙ_~Î ã`Ò>ç s _~Î ÝzÜ�æ>Ò�ãAá�Ý,ã`×�Ö8ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>ÖwçcÕ`å¹äwÞ>Ò�U`ÞJájU>Ü}Ò>æ¹ßbâ>ÖmÔÃR�Ü�ßbârã�Ä,ã`Ó>ÝzÝ�Ü}ã`Ò�YAÖm×zÒ>Öwá5lßbâ>ÖDç�Öwæ>×�ÖwÖ9ÞtXÇÕ>á}Ó�×�×�Ü Ò>æ Ü�Ý�äwÞtÒJßb×�ÞJá�á�ÖwçHÕ`åcßbâ>ÖTäwâ�ã`×�ãAäwß�Öm×�Ü�Ýzß�Ü�ä`R�Ü�ç�ßbâ Þ�X�ßbâ>Ö`Ä]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`ÒnS�á�ß�Öm×wÚrÑ>Ü}Ò>äwÖTßbâ>Ö�Ä,ã`Ó>Ý�ÝzÜ ãJÒYAÖm×�Ò>Öwá$Ü�Ý,ã`Ò¹Ü�Ý�ÞJßb×�Þtà>Ü�ä�Þtà�Öm×zãAß�Þt×QP�Ü�ß8ÝZÔ�ÞtÞJßbâ>Ý<ãAäm×�ÞJÝ�Ý<ßZâ>Ö3×�Öwæ`Ü�ÞtÒcÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�Ü�ÖwÝ8ßbâ>Öm×�ÖmÕJåräwÞ>ÔDà�×�ÞtÔ�Ü�Ý�Ü}Ò>æ¹ßbâ>ÖwÜ}×ÇÝbà�ãAß�Ü}ãAáà�ÞJÝ�Ü�ß�Ü�ÞtÒ�Ú | U-ãJ×�Ü�ÖwßÃå Þ�X8ß�Öwäwâ�Ò>Üjc�Ó>Öwݹâ�ã�UJÖrÕ�ÖwÖmÒHÜ}ÒJßb×�Þ>ç�Ó>äwÖwç ß�Þ Ü Ô4à�×�Þ�U`ÖrÓ�à�ÞtÒ ßZâ>Ü�ÝTÜ�ç�Ömã�PuÜ}Ò>äwá}Ó>ç�Ü Ò>æ ãJÒ>Ü�ÝzÞ`ßb×�Þtà>Ü�äç�ÜTbÓ>Ý�Ü�ÞtÒ Ý�ä�â>ÖmÔÉÖwÝ�P�Ý�ÖwÖgØ$Öm×�Þ>Ò�ãgã`Ò>ç��gãAá�ÜÅY°� s Û � Pußbâ>Ö¥Þtà>ß�Ü}ÔDãAá@�;Ü�ÖmÒ>Öm×KS�á�ßzÖm×p�}Ù x�� P�ã`Ò>ç�Ô�Þt×�Ö ×�ÖwäwÖmÒJß�á�å�R�ã�U`Öwá�Öwßà�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æp� u Ù � Ú

VVÞ`æ`ÖwßZâ>Öm×QPFÝbÓ>äwâgÒ>Þ`Ü�Ý�Ö¹×�ÖmÔ�Þ�UAãAá�gAÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ ãJÒ>çgÜ}ÔDãAæ`ÖDÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJßDãAäwß3ã*Ý3à�×�ÖwämÓ�×�ÝzÞt×�Ý,ßzÞrÔDã`ÒJå á�Þ�R á�ÖQU`ÖwáU>Ü�ÝzÜ�Þ>Ò à�×�ÞtäwÖwç�Ó�×�ÖwÝ]ÝbÓ>äwârãAÝ�Öwç�æ`Ö^S¸Ò>ç�Ü}Ò>æ�� s�{ P �7� P�ÝZâ�ã`à�Ö�Ý�ÖwætÔÉÖmÒ`ßbã*ß�Ü�ÞtÒ��}Ù¤ÛmP s�y P�Û�PÙ�Æ � P�ã`Ò>çcÝbâ�ãJà�ÖD×�Ömà�×�ÖwÝ�ÖmÒJßbãAßzÜ�Þ>Ò� s�s7� Ú@Ç�Öm×�Ö�P�ßbâ>Ö�æ`Þ>ãAáFÜ�Ý8ÖQhtßZ×�ãAäwß<ã4ç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçgÝbâ�ãJà�Ö^XÌ×�ÞtÔ ã`Ò¥Ü}ÔDãAæ`Ö�P�ã`Ò>çg×�Ömà�×�ÖwÝzÖmÒ`ß�ßbâ�ãAß�Ýbâ�ã`à�Ö3Ü}Ò¥ÝbÓ>äwârãKR�ãmå¹ßZâ�ãAßX~Ó�×�ßbâ>Öm×�Ô�ÖmãAÝbÓ�×�ÖmÔÉÖmÒ`ß8ã`Ò>çrßzÖwÝ�ß�Ü}Ò>æ¹ämã`ÒrÕ�ÖDà�Öm×ZXLÞt×�Ô�ÖwçFÚ@V�å§à>Ü�ämãAá5ß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝ@XLÞt×ÂS¸Ò>ç�Ü}Ò>ærã`Ò>çg×�Ömà�×�ÖwÝ�ÖmÒJß�Ü}Ò>æ¹ÞtÕ[z�Öwäwß

x

Page 5: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

Ýbâ�ã`à�ÖwÝuÜ Ò>äwá}Ó>ç�Ö�Õ�Þ`ßbâ4à�ãAÝ�Ý�ÜdU`Ö8ã`Ò>ç¹ãAäwß�ÜdU`Ö8Ô�Þtç�Öwá�ÝmÚf� Þ>ç�Öwá�ÝuÞ�XFÝbâ�ã`à�Ö�ÝbÓ>äwâ9ã*ÝPæ`ÖmÒ>Öm×�ã*á�Üd�wÖwç¹äwå>á�Ü Ò>ç�Öm×�Ý�P�Ü}Ò`ßZ×�Þtç�Ó>äwÖwçrÕJåi�Ü}ÒkX[Þt×�ç�� {7� PFã`Ò>çcá}Ó�ÔDà�Öwç[_Ãà�ãJ×�ã`Ô�Öwß�Öm×ÈXÌãJÔ�Ü�á�åcÞ�XuÝbâ�ã`à�ÖwÝ,ÝbÓ>äwâcãAÝ8ÝbÓ�à�Öm×�c§Ó�ãAç�×�Ü�äTÔ�Þtç�Öwá�Ý�� y�� ã`×�ÖDà�Ó�×�Öwá�åcæ`ÖwÞtÔ�Öwßb×�Ü�ä�Pâ>ÖmÒ>äwÖ3à�ã*Ý�Ý�ÜdU`Ö�l�ßbâ>Öwå¹ãAß�ßzÖmÔDà>ßuß�Þ�ç�Ü ×�Öwäwß�á�årÕ�Ó>Ü�á�çcßbâ>Ö8Ýbâ�ãJà�Ö@X~×�ÞtÔ:ßbâ>Ö8Ü}ÔDãAæ`Ö8æ>×�ãAç�Ü�ÖmÒ`ßzÝmÚ0Ä8ÖmÒ>Öm×zãAá�Üj�wÖwçcäwå>á�Ü Ò>ç�Öm×�Ý|ã`×�ÖÓ>Ý�Öwçcß�ÞrÔ�Þ>ç�Öwá$Öwá�Þ>Ò>ætãAß�ÖwçcÝbâ�ã`à�ÖwÝ.R�Ü�ßbâcã�h>Ü}ãAá$Ý�å§Ô4Ô�Öwßb×�å�PDR<â>Ü�á�Ö9ßbâ>Ö�ÝbÓ�à�Öm× c�Ó�ãAç�×�Ü�äDÝbâ�ã`à�ÖDÔ�Þtç�Öwá�Ý�ã`×�Ö.RuÖwá�á5ÝbÓ>Ü�ß�ÖwçXLÞt×uÞtÕ[z�Öwäwß�×�ÖwäwÞ`ætÒ>Ü�ß�Ü�ÞtÒ ßbãAÝ�YJÝ<Õ�Öwämã`Ó>Ý�Ö,Þ>Ò>Ö8ämã`ÒTÖQh§à�×�ÖwÝ�Ý<ßZâ>ÖmÔ!äwÞtÔDà�ãAäwßzá�å¹Ó>Ý�Ü}Ò>æ¹ã�ÝbÔDãAá�áFÝzÖwß�Þ�XPà�ã`×�ã`Ô�ÖwßzÖm×�ÝmÚ

Ï�ÒcäwÞtÒJßb×�ãAÝzß�PãAäwßzÜjUJÖ9Ô�Þ>ç�Öwá�ÝwRuÞt×*YcÕJågãAß�ß�ÖmÔDà>ßzÜ Ò>æ¥ß�Þ¹ÖQU`Þ`ádU`Ö¹ã¹ÝZâ�ã`à�Ö9Ó�ÒJß�Ü�áuÜ�ß,Ü�ÝDãAß�ßb×�ã*äwß�Öwçgã`Ò>ç2Ýzßbã`Õ>Ü�á�Üj�wÖwÝTãAßà>á}ãAäwÖwÝwR<â>Öm×�ÖDßZâ>ÖDÜ}ÔDãAæ`ÖDæ>×�ãAç�Ü�ÖmÒ`ß]ä�â�ãJÒ>æ`ÖwÝ3ÔDãJ×*YAÖwç�á�å`Ú`V�â>Ó>Ý�P$ÞtÒ>Ö9Ó>ÝzÖwÝ3ã`ÒcÜ}ÔDã*æ`Ö_ÃÕ�ãAÝ�ÖwçgäwÞ>Ò>Ý�ßb×�ãAÜ}ÒJß#X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ ß�ÞÔ�Þ`á�çcßbâ>Ö]ßb×�Ü}ãAá$Ýbâ�ã`à�ÖDÓ�ÒJß�Ü�áÜ�ß,×�ÖwäwÞ>Ò>Ý�ßb×�Ó>äwß�Ý�ßbâ>Ö]ç�ÖwÝ�Ü}×�Öwç2×�Öwæ`Ü�ÞtÒ�Ú@Ä8ÖmÒ>Öm×�ã*á�Üd�wÖwçgÝZà>á�Ü}Ò>ÖwÝ^R�Ü�ßbâ¥Öwá ã*Ý�ß�Ü�äwÜ�ßÃå¥äwÞtÒ>Ý�ßb×zãAÜ}Ò`ß�Ý� � P u�� P x Ù � ã`×�Ö8à�×�Ü}Ô�Ö]ÖQh§ã`Ô4à>á�ÖwÝ�Þ�X5ßbâ>Ö,ãAäwß�ÜdU`Ö]Ýbâ�ã`à�Ö,Ô�Þtç�Öwá�Ü}Ò>ærà�ã`×�ã*ç�Ü�æ>Ô¹Ú¥}¦É¥ Ê@²�¿}²D«@³W²Ë´�ÌͲ�´�µ9©�»0ÎK¬�©�Àp­�¯�ªD±}²Ï³W¯�©�©2´�µ9¶�·�±f¸N¹w·0º�µ9ªN·9º�²�¯�²�·'´�ªN·9»¼³Wµ9ªN½�²�¾p²�º�©Ë¿}²�ÀtÁÐ�Ñ�Ð'ÑÓÒ Ô�Õ[Ö2Õ�×ÂØNÕ[Ù`Ú�Õ[Ù�ÛNÜ�Ý%Þ

V�â>ÖFo�Ýbâ>Öm×Z_ÃÑ>ÖwßZâ>Ü ãJÒDá�ÖQU`Öwá�Ý�ÖwßPÔ�Öwßbâ>Þ>ç^X[Þt×5à�×�Þtà�ãAætãAßzÜ Ò>æ8Ü}ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖwÝ�R�ãAÝ$Ü ÒJßb×�Þ>ç�Ó>äwÖwçTÜ Òß� s��7� P`Õ�ãAÝ�Öwç4ÞtÒ�ÔDãAßbâ>ÖmÔDã*ß�Ü�ämãAáã`Ò>ç,Ò>Ó�Ô�Öm×�Ü�ämãAá[RuÞt×*Y�ÕJå|Ñ>ÖwßZâ>Ü ãJÒ>� u�y7� Þ>Ò�ämÓ�× U`ÖPã`Ò>ç]ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖPÔ�Þ`ß�Ü�ÞtÒ�Ú$ÏLßFÞtbjÖm×�ÝjãÇâ>Ü�æ>â>á�å�×�ÞtÕ�Ó>Ý�ß$ã`Ò>ç,ãAäwämÓ�×�ãAßzÖPÔ�Öwßbâ>Þ>çXLÞt×8ßb×zãAä(YJÜ}Ò>ærÜ}ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖwÝ3Ô�Þ�U>Ü}Ò>æ Ó�Ò>ç�Öm×]äwÞtÔ4à>á�ÖQh Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒ>ÝmÚ¹ÏÌß�Ý3ÔDãtzÃÞ>×@UtÜ}×�ßbÓ>ÖTÜ�Ý�ßbâ�ãAß8Ü�ßDÒ�ãAßbÓ�×�ãAá�á�ågäwÞtÒ>Ýzßb×�Ó>äwß,ßZâ>ÖX~Ó�Ò>ç�ã`Ô�ÖmÒJßbãAá�RuÖmã�Y]Ý�Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ�ßzÞ8ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖ<à�×�Þtà�ã*ætãAß�Ü�ÞtÒDà�Þ`Ý�Öwç9ÕJåDÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò;� u�x P u�y�� Ú$Ï~Ò4Ý�ßbã`Ò>ç�ãJ×�ç�PAß�å§à>Ü�ämãAá�ß�Öwä�â�Ò>Üdc�Ó>ÖwÝ�Pßbâ>Ö8Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒÉÞ�Xã8ämÓ�× U`Ö�Þt×'ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖ<Ü�Ý�×�Ömà�×�ÖwÝzÖmÒ`ß�Öwç¹ÕJåÉã]ç�Ü�Ý�äm×�ÖwßzÖ|à�ã`×zã`Ô�Öwß�Öm×�Üd�mãAßzÜ�Þ>ÒDÞ�XFßbâ>ÖÇÞtÕ[z�Öwäwß�ÕJå9ã8Ý�Öwß�Þ�X¾à�Þ`Ü}Ò`ß�ÝR<â>Þ`ÝzÖ�à�ÞJÝ�Ü�ß�Ü�ÞtÒ>Ý�ã`×�Ö�Ó�à�ç�ã*ß�ÖwçDãAäwäwÞt×�ç�Ü}Ò>æ8ß�Þ<ã�æJÜjUJÖmÒ8Ý�Öwß5Þ�X�ÖQU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒÉÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò>ÝmÚ�V�â>Ü�Ý5Ü�Ý5ã@�FãAæt×�ãJÒ>æ`Ü}ã`Ò�à�Öm×�Ýbà�Öwäwß�ÜdU`Ö�Pã`Ò>çDÜ�Ý�×�ÖXLÖm×�×�ÖwçTß�Þ,ÕJåÉãOU-ã`×�Ü�Öwß�åDÞtXVÒ�ãJÔ�ÖwÝ�P`Ü}Ò>äwá}Ó>ç�Ü}Ò>æ9ÝZÒ�ã�YAÖwÝ�PJÝ�ßb×�Ü}Ò>æ3ÔÉÖwßbâ>Þtç�Ý�Ptã`Ò>ç¹ÔDã`×*Y*Öm×5à�ã`×�ß�Ü�äwá�ÖwÝmÚ0VaRuÞ]äwÖmÒ`ßb×zãAáç�×�ã�R<Õ�ãAäQYJÝ�ÞtXÝbÓ>äwâTß�Öwä�â�Ò>Üdc�Ó>ÖwÝ<ã`×�Ö8ßZâ�ãAßPßbâ>Öwå¹×�Öwá�åTÞtÒ9ãÉäwÞtÒ`ßzÜ Ò>Ó�ãAáF×�Ömà�ã`×zã`Ô�Öwß�Öm×�Üd�mãAßzÜ�Þ>ÒTÞ�Xßbâ>Ö�ämÓ�× U`Ö�gAÝZÓ�×ZXÌã*äwÖ,ãAÝuÜ�ßÕ�ÖwäwÞ>Ô�ÖwÝPÔ�Þt×�ÖuäwÞtÔ4à>á�ÖQh2P`ã`Ò>ç�ßbâ�ãAß5à�×�Þ�XLÞtÓ�Ò>ç�ç�ÜTà9ämÓ>á�ß�Ü�ÖwÝuÞtäwämÓ�×%R<â>ÖmÒ]ßbâ>Öuß�Þ>à�Þ`á�Þ`æ`å8ÞtX¸ßbâ>ÖuÖQU`Þ`ádU>Ü}Ò>æ8Ýbâ�ã`à�Öuäwâ�ã`Ò>æ`ÖwÝmÚ

Ï�ÒDäwÞ>Ò`ßb×zãAÝ�ß�PJßbâ>Ö<á�ÖQU`ÖwáVÝ�Öwß9X[Þt×zÔ3Ó>á}ãAßzÜ�Þ>ÒDÞ�bFÖm×�Ýuã`Ò¹ãAá�ß�Öm×�Ò�ã*ß�ÜdU`ÖFX~×�ã`ÔÉÖQR�Þ>×*Y�P`Õ�ã*Ý�Öwç¹ÞtÒ4ßbâ>Ö~U>Ü�ÖQR�ßbâ�ãAßußbâ>Ö8Ô�Þ�U>Ü Ò>æX~×�ÞtÒJß9ämã`Ò Õ�Ö�U>Ü�ÖQR�Öwç ãAݹßbâ>Ö��wÖm×�ÞHá�ÖQU`Öwá]Ý�Öwß¹Þ�XDâ>Ü�æ>â>Öm×¹ç�Ü}Ô�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ãAá^X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ�ÚÍV�â>ÖgÖQUJÞ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ;Þ�X�ßbâ>Ü�Ý â>Ü�ætâ>Öm×ç�Ü}Ô�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ãAá'X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒr×�ÖwÝzÖmÔ3Õ>á�ÖwÝ<ãKÇ<ã`ÔÉÜ�á�ß�Þ>Òk_�átãAäwÞtÕ>ÜFÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ�RÇÜ�ßZârà�ã`×�ãJÕ�Þ`á�Ü�ä3×�Ü�ætâJß _Ãâ�ã`Ò>ç¹ÝzÜ�ç�ÖwݤÚ�Ï�ÒTßbâ>Ü�Ý�Ý�Öwß�ß�Ü}Ò>æ�PÝbâ�ã`×zàgæt×zãAç�Ü�ÖmÒ`ß�ÝTã`Ò>ç2ämÓ>ÝZà>ÝDämã`ÒnX[Þt×zÔ%Ömã*Ý�Ü�á�å�Puã`Ò>çHßbâ>ÖTÖbFÖwäwß�Ý�Þ�X<ämÓ�× UAãAßbÓ�×�ÖrÔ4ãmå Õ�Ö¹ÖmãAÝ�Ü�á�å Ü Ò>äwÞ>×�à�Þt×zãAß�ÖwçFÚ�VÇâ>ÖYAÖwå¹ÒtÓ�ÔÉÖm×�Ü�ämãAáÜ�ç�Ömã4Ü�Ý�ßbâ>ÖmÒ¹ßzÞ9Õ�Þt×z×�Þ�R"ßZâ>Ö8ß�Öwä�â�Ò>ÞJá�ÞJæ`å�XÌ×�ÞtÔ:ßbâ>Ö3Ò>Ó�Ô�Öm×�Ü�ämãAáFÝzÞ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ¹Þ�XPâJå§à�Öm×�Õ�Þ`á�Ü�ä�äwÞtÒ>Ý�Öm× UAãAß�Ü�ÞtÒá}ã�R�Ý�ã`Ò>çTßb×�ãJÒ>Ý X[Öm×'ßbâ>ÖwÝ�Ö�Ü�ç�ÖmãAÝuß�Þ]ßbâ>Ö#Ç<ã`ÔÉÜ�á�ß�Þ>Òk_�átãAäwÞtÕ>Ü�Ý�Öwß�ßzÜ Ò>æDP�R<â>Ü�äwâTßbâ>ÖmÒDæ>Ó�ã`×�ã`ÒJß�ÖwÖwÝ5ßbâ�ãAß�ßbâ>Ö�äwÞt×�×�Öwäwß�ÖmÒ`ßb×�Þtà`åÝbãAßzÜ�Ý�X[å>Ü}Ò>æ8Ý�Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ^R�Ü�á�á�Õ�ÖuÞtÕ>ßbãAÜ}Ò>ÖwçFÚ�Ä8ÜdU`ÖmÒ]äwÞtÔ4à>á�ÖQh]Ýbà�ÖwÖwç®XÌÓ�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ>Ý�R�â>Ü�äwâ�ÔDã¤å8ç�Ömà�ÖmÒ>çDÞ>Ò8ßbâ>Ö�á�Þ>ämãAá�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö�P

y

Page 6: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

Ò>Þt×�Ô4ãAáPç�Ü}×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ2P�à�Ó�×�ÖrãAç�U`Öwäwß�Ü�ÞtÒâU`Öwá�Þ>äwÜ�ßzÜ�ÖwÝTã`Ò>ç Ó�Ò>ç�Öm×�á�å>Ü}Ò>æ à�âJå>Ý�Ü�äwÝ�P5ßbâ>Ü�ÝDã`à�à�×�Þtã*ä�â â�ãAÝ3Õ�ÖwÖmÒHÓ>Ý�ÖwçHß�Þ¥Ý�ßbÓ>ç�åãpR�Ü�ç�ÖpU-ãJ×�Ü�ÖwßÃåHÞtX|Ü}ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖ à�×�Þ>à�ãAætãAß�Ü�ÞtÒHà�×�ÞtÕ>á�ÖmÔ�Ý�P�Ü}Ò>äwá}Ó>ç�Ü}Ò>æ ßbâ>Ö¥æ`ÖmÒ>Öm×�ãAßzÜ�Þ>ÒHÞ�X,Ô�Ü}Ò>Ü}ÔDãAá8ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖwÝ�� Ù`Ù � P9XÌã*Ý�ßÜ}Ò`ßzÖm×ZXÌã*äwÖ8ß�Öwä�â�Ò>Üdc�Ó>ÖwÝ.�}Ù � Ptäwâ�ã`×�ã*äwß�Öm×P×�ÖwäwÞJætÒ>Ü�ß�Ü�ÞtÒ�� sksQ� PtÝzÜ Ò>æ>Ó>á ãJ×�Ü�ß�Ü�ÖwÝ|ã`Ò>ç¹æJÖwÞtç�ÖwÝ�Ü�äwÝ�Ü}Ò¹Ô�Þ�U>Ü}Ò>æDämÓ�× U`ÖwÝ�ã`Ò>ç¹ÝbÓ�×]XÌãAäwÖwÝÜ}Ò��}Ù sQ� P[e¸ã`Ô�Ö,à�×�Þ>à�ãAætãAß�Ü�ÞtÒ;� x Æ[P x[s�� P>æt×�Ü�çræJÖmÒ>Öm×�ãAß�Ü�ÞtÒp� uk�Q� P§ãJÒ>çrÝ�ÖmÔ�Ü�äwÞtÒ>ç�Ó>äwßzÞt×<Ô4ã`ÒtÓkX~ãAäwßbÓ�×�Ü Ò>æ;� s7� ÚÐ�Ñ�Ð'Ñ�Ð ã�ä%ä}×Óå<ætç�Ù�å�Ü'è�Ü�é.Ô�Õ[Ö2Õ�×ÈØNÕ[Ù�Ú�Õ[Ù�Û2Ü�Ý%Þ�ÙQÜ�ê�ëpç�ì�Õ�Ø%ëíÜ2ÜDÙ�Û�åÉèNì'î�ïOè�ækÛ2ç2è�ætÕ�ëpÕ�èDÙ�ç2è�ÝðØ}Û2ç�ä%Õ�ñKÕmò

æ�Ü�Ö2Õ�ó�ô

| ÝzÜ�æ>Ò>ÜrS�ämãJÒ`ß�ãAç�U-ã`Ò>äwÖmÔÉÖmÒ`ß]Ü Ò Ü Ô4ãAæ`Ö�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>ærã`Ò>çcÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß.R�ãAÝ8ÔDãAç�ÖDÕ`å | ádUAã`×�ÖQ��P���Ü�ÞtÒ>Ý�P$ã`Ò>çp� Þ>×�Öwáõ | �2��ö.� uQ� P�R<â>Þ¹à�×�ÖwÝ�ÖmÒJß�ÖwçcãDäwÞtÔ4à�×�Ömâ>ÖmÒ>Ý�ÜdU`Ö9Ô�Þ>ç�Öwá'X[Þt×fÜ Ô4ãAæ`Ö�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ�R<â>Ü�ä�â¥Ü}Ò>äwá}Ó>ç�ÖwÝ,ßbâ>Ö�Þ`ßbâ>Öm×ÇÔ�Þtç�Öwá�Ý,ãAÝÝbà�ÖwäwÜ ã*áämãAÝzÖwÝmÚ

VÇâ>Ö | �2��Ô�Þ>ç�ÖwáFäwÞtÒ>ÝzÜ�Ýzß�Ý<ÞtX¾Ý�ÞJájU>Ü}Ò>æÁãJÒTÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>ÒTÞ�X¾ßZâ>Ö@X[Þt×zÔ

÷ø�ùûú õ*üþýwÿ�� ÷ ü ö�� ü ý ÷ ü � R�Ü�ßbâ ÷ õ�� ����� ù�Æ�ö�ù�÷ � õ�� ��� ö � õ Ù�ö

R<â>Öm×�Ö ÿ�� ÷Dç�ÖmÒ>ÞJß�ÖwÝ<ßZâ>Ö,Ü}ÔDãAæ`Ö]äwÞtÒkU`Þ`ádU`Öwç�RÇÜ�ßZârã>Ä]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`Ò�S�á�ßzÖm×wÚFV�â>Ö,æJÖwÞtÔ�Öwßb×�Ü�ä]Ü ÒJß�Öm×�à�×�ÖwßbãAß�Ü�ÞtÒ Þ�X¾ßZâ>Ö3ã`Õ�Þ�UJÖç�ÜTbÓ>Ý�Ü�ÞtÒcÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒcÜ�Ý8ßbâ�ãAß8ßZâ>Ö3Ü�Ý�ÞJÜ ÒJß�ÖmÒ>Ý�Ü�ß�åcäwÞtÒJß�ÞtÓ�×�Ý�Þ�X�ßZâ>Ö3Ü}ÔDã*æ`ÖDÔ�Þ�U`Ö.R�Ü�ßbâ Ýbà�ÖwÖwçpú õ*üþý®ÿ�� ÷ ü ö��'P�R<â>Öm×�Ö��pùç�ÜdU����� ��� � Ü�Ý8ßbâ>Ö4á�Þ>ämãAá5ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö`Úwo8Ò>Ö>UAã`×�Ü}ãAß�Ü�ÞtÒcÞtXPßbâ>Ü�Ý,Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö�äwÞtÔ�ÖwÝ@X~×�ÞtÔ ×�Ömà>á}ãAäwÜ}Ò>æ¥ßbâ>Ö�ämÓ�× U-ãAßZÓ�×�ÖDß�Öm×�Ô RÇÜ�ßZâÜ�ß�Ý,ã�àÁÒ>Ö�Ü}ÒkU-ã`×�Ü}ã`ÒJß.UJÖm×�Ý�Ü�ÞtÒ õ Ý�ÖwÖDÑ�ã`à>Ü}×�Þrã`Ò>ç�V$ã`Ò�Ò>ÖmÒ>Õ�ã`Ó�Ô � u�s�� öwÚ#iPåße�Þ�R�Ü}Ò>æ¹ßbâ>Ö�Ü�ÝzÞ`Ü}Ò`ß�ÖmÒ>ÝzÜ�ß�åcäwÞtÒJß�ÞtÓ�×�Ý8Ò>Þt×�Ô4ãAáß�Þ�ßbâ>ÖmÔ�ÝzÖwájUJÖwÝ�P>ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æDÜ�Ý<à�Öm×]X[Þt×zÔ�ÖwçÁà�Öm×�à�ÖmÒ>ç�Ü�ämÓ>áKãJ×�ß�Þ,Öwç�æ`ÖwÝÇßbâ>Öm×�ÖmÕJå9×�ÖwßbãAÜ}Ò>Ü}Ò>æTÖwç�æ`Ö<ç�ÖS¸Ò>Ü�ß�Ü�ÞtÒ�Ú | ß�ßZâ>Ö<äwÞt×�ÖÞ�X�Õ�Þ`ßbâgÒ>Ó�Ô�Öm×�Ü�ämãAá5ß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝ]Ü�Ý8ßbâ>Ö>o�Ýbâ>Öm×Z_ÃÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò á�ÖQU`Öwá5Ý�Öwß,ãAá�æ`Þt×�Ü�ßZâ�ÔÃX[Þt×Âe�Þ�R�Ü}Ò>æ¹ßbâ>Ö�Ü�Ý�Þ`Ü}Ò`ßzÖmÒ>Ý�Ü�ßÃåcäwÞtÒJß�ÞtÓ�×�Ý�lßbâ>Ü�Ý�ß�Öwä�â�Ò>Üdc�Ó>Ö.R�ãAÝ<ã*á�ÝzÞ9Ó>Ý�ÖwçrÜ}Ò¥×�Öwá}ãAß�Öwç�RuÞt×*YDÕJå���Ó>ç�Ü}Ò2P2o�Ýbâ>Öm×<ãJÒ>ç�v¸ãAß�ÖmÔÉÜW� u Æ � Ú

�fÖwäwÖmÒ`ß�á�å�P�ã8Ò>ÖQR ÝzÖwßPÞ�X�á�ÖQUJÖwá�Ý�Öwß _ÃÕ�ã*Ý�ÖwçDÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ�ã`Ò>ç�ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß�ßzÖwä�â�Ò>Üdc�Ó>ÖwÝ,RuÖm×�ÖuÜ}ÒJßb×�Þ>ç�Ó>äwÖwçÁÕJåw� ã*á�á}ãAç�Üã`Ò>ç�Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P�Ý�ÖwÖ�� s Æ[P s Ù � Ú�V�â>ÖwÝ�Öcß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝr×�ÖwßZÓ�×�Ò ß�Þ2ßZâ>Ö Þ>×�Ü�æ`Ü}Ò�ãAá<á�ÖQU`Öwá8ÝzÖwß�P�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö;e�Þ�R à�Öm×�Ýbà�Öwäwß�ÜdU`Ö�Pã`Ò>çcç�ÖwÝ�Ü�ætÒgãJÒrÜ}ÔDã*æ`ÖDà�×�ÞtäwÖwÝzÝ�Ü}Ò>æ¹Ý�ä�â>ÖmÔÉÖ:R�â>Ü�äwâgã`Ó>ßzÞtÔDãAß�Ü�ämãAá�á�åräwâ>Þ>Þ`Ý�ÖwÝ8ßbâ>Ö�äwÞt×�×�ÖwäwßFe�Þ�R ÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ>Ý8ß�Þ¹à�Öm×ZXLÞt×�ÔÜ}Ò`ßZ×�ã`×�Öwæ`Ü�ÞtÒ]ÝbÔÉÞtÞ`ßZâ>Ü Ò>æ#R�â>Ü�á�Ö<Ô4ãAÜ}Ò`ßbã*Ü Ò>Ü}Ò>æ]Öwç�æ`Öuç�ÖS¸Ò>Ü�ßzÜ�Þ>Ò�Ú0V�â>ÖFYAÖwå,Ü�ç�Ömã8×�ÖwÝzß�Ý5Ü}Ò,ßZâ>Ö�äwÞ>Ò>Ý�ßb×�Ó>äwß�Ü�ÞtÒ]Þ�X¸ã8ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hÝ*R�Ü�ß�äwââR<â>Ü�ä�â ÖQU`Þ`ádU`ÖwÝ�ÖQc�Ó�ãAáPÜ}ÔDãAæJÖ9Ü}ÒJß�ÖmÒ>Ý�Ü�ß�ågäwÞtÒJß�ÞtÓ�×�Ý]Ü Ò ßbâ>ÖwÜ}×�Ò>Þt×�ÔDã*á5ç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ>Ý9Ó�Ò>ç�Öm×�ãße�Þ�R:ßbâ�ãAß8ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÝÞtÒTßbâ>ÖwÜ}×uá�Þ>ämãAá�ämÓ�× U-ã*ßbÓ�×�Ö,ã`Ò>ç¹ÞtÒ¹Õ�ã*ä(YJæt×�ÞtÓ�Ò>çTÜ}ÒkX[Þ>×�ÔDãAß�Ü�ÞtÒTÖQh>ßb×�ã*äwß�Öwç>X~×�ÞtÔ:ßbâ>Ö,Ó�Ò>ç�Öm×�á�å>Ü}Ò>æ9ç�Þ>ÔDãAÜ}Ò�Ú,VÇâ>Ü�ÝÇÝ*R�Ü�ß�äwâXLÞt×�äwÖwÝ�ßbâ>Ö@e�Þ�R�ßzÞ3Ýzß�Þtà¹ã`Ó>ß�Þ>ÔDãAß�Ü�ämãAá�á�å9Þ>Ò>äwÖ,ßbâ>Ö8Ý�ämã*á�Ö_~äwâ>Þ`Ý�ÖmÒ á�ÖQU`ÖwáFÞ�X5ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æmgAÖmÒ�â�ãJÒ>äwÖmÔ�ÖmÒ`ß�Ü�Ý<ãAäwâ>Ü�ÖQU`Öwç�l�ßZâ>Öç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçgÝzämãAá�Ö_~ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒ>ämÖ¹Ü�Ý�ãwX~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ Þ�XPßbâ>Ö9à>Üdh>ÖwáP×�Ömà�×�ÖwÝ�ÖmÒJßbãAß�Ü�ÞtÒ ã`Ò>çcämã`ÒcÕ�ÖDäwâ>Þ`Ý�ÖmÒgã*ß|ã`ÒJårá�ÖQU`Öwá�Þ�XPç�ÖwßbãAÜ�áLÚV�â>Ö¹×�ÖwÝbÓ>á�ß�Ü}Ò>ægß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>Ö¹Ü�ÝDã`Ò ã`Ó>ß�ÞtÔ4ãAß�Ü�ä�P$ÖQhtßb×�ÖmÔ�Öwá�å2×�ÞtÕ�Ó>Ý�ß�PäwÞ>ÔDà�Ó>ßbãAß�Ü�ÞtÒ�ã*á�á�å Öà9äwÜ�ÖmÒ`ß�PPã`Ò>ç Ý�ßb×�ãAÜ�ætâJß XLÞt× R�ã`×�ç

{

Page 7: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö`ÚPÏÌß�Ü�Ý�ßbâ>ÖwÝ�Ö8Ý�ÖwßÇÞ�X¾Ýzä�â>ÖmÔ�ÖwÝÇßbâ�ãAß�ã`×�Ö�ç�Ü�Ý�ämÓ>Ý�Ý�ÖwçcÜ}Ò¹Ñ>Öwäwß�Ü�ÞtÒrÏ�Ï�Ï*P�ã`Ò>ç�R<â>Ü�äwârã`×�Ö,Ó>Ý�Öwç¹Ü}Ò¹ÞtÓ�×uÓ�Ò>ÜTS�ÖwçgÔ�Þtç�ÖwáÞ�XÜ}ÔDã*æ`Ö8ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æmgAÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß8ã`Ò>ç¹Ýbâ�ã`à�Ö,×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å`Ú5Î8Öwßbã*Ü�á�Ý<ãJÕ�ÞtÓ>ß�ßZâ>ÖwÝ�Ö8Ý�äwâ>ÖmÔ�ÖwÝ�P�ã`Ò>ç¹ßZâ>ÖwÜ ×Çã`à�à>á�Ü�ämãJÕ>Ü�á�Ü}ß�åß�Þ,ã@R�Ü�ç�Ö<×zã`Ò>æ`Ö�Þ�X�Ü}ÔDãAæ`ÖwÝ�PAÜ}Ò>äwá}Ó>ç�Ü}Ò�æDÝZãAá�ß _Ãã`Ò>ç[_Ãà�Ömà�à�Öm×�æt×�Öwå,ÝzämãAá�Ö<Ò>Þ`Ü�Ý�Ö�P�Ô�Ó>á�ßzÜ à>á�Ü�ämãAß�ÜdU`Ö,Ò>ÞJÜ�ÝzÖ<ã`Ò>ç`Ä]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`Ò�Ò>Þ`Ü�Ý�Öã`à�à>á�Ü�Öwçcß�Þ9Õ>á}ãAäQY9ã`Ò>ç;R<â>Ü�ß�Ö�P�æt×�Öwå9Ý�ämã*á�Ö�P�ß�ÖQhtßZÓ�×�Öwç�P�ã`Ò>ç¥äwÞ`á�Þt×uÜ}ÔDãAæ`ÖwÝ�ÔDã¤åÁÕ�Ö@X[ÞtÓ�Ò>ç¥Ü}Ò�� s Ù � Ú

VÇâ>ÖÉãJà�à>á�Ü�ämãAßzÜ�Þ>ÒgÞ�Xuá�ÖQU`Öwá5Ý�Öwß,Ô�Öwßbâ>Þ>ç�Ý,ßzÞ¹Ýbâ�ã`à�ÖD×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å ã`Ò>çg×�ÖwäwÞtÒ>Ýzßb×�Ó>äwß�Ü�ÞtÒpR�ãAÝ�ç�ÖQU`Öwá�Þtà�Öwç2Ü}Ò ãDÝ�Öm×�Ü�ÖwÝ]Þ�Xà�ã`à�Öm×�Ý�P$Ý�ÖwÖ�� stx P s�y P s�u�� l5ã`à�à>á�Ü�ämã*ß�Ü�ÞtÒgßzÞrÝbâ�ã`à�ÖÁ×�Ömà�×�ÖwÝ�ÖmÒJßbãAß�Ü�ÞtÒgãJÒ>ç2×�ÖwäwÞ`ætÒ>Ü�ß�Ü�ÞtÒ ÔDã¤ågÕ�ÖwXLÞtÓ�Ò>ç Ü}Ò�� sksQ� Ú9ÏLß�Ü�Ý3ãÒ�ãAßbÓ�×zãAáã`Ò>çcã`à�à�ÖmãAá�Ü}Ò>ærã`à�à>á�Ü�ämãAß�Ü�ÞtÒcÞtX¾ßbâ>Ö]á�ÖQU`ÖwáÝzÖwß<ã`à�à�×�Þtã*ä�â2P�Ý�Ü}Ò>äwÖ�ßbâ>Ö,ã`Õ>Ü�á�Ü�ß�å¥ß�Þ9äwâ�ã`Ò>æ`Ö8ßzÞtà�Þ`á�Þ`æJårã`Ò>ç�XLÞ`á�á�Þ�RÜ}Ò`ßZ×�Ü�ämãAß�Ö�U-ã`×�Ü}ãAßzÜ�Þ>Ò>Ý,Ü}ÒgÖQUJÞ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ�UJÖwá�Þ>äwÜ�ß�Ü�ÖwÝ9ã`×�Ö4Ý�ßb×�ÖmÒ>æ`ßZâ>Ý,Þ�Xußbâ>Ü�ÝÉãJà�à�×�ÞtãAäwâ�Ú9Ï�Ògßbâ>Ü�ÝwRuÞt×*YDPFã`ÒcÜ}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�Ýbâ�ãJà�ÖDÜ�Ýäwâ>Þ`Ý�ÖmÒ2PFã`Ò>çcãDÝbà�ÖwÖwçpX~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ¥Ü�Ý8Ýzå§ÒJßbâ>ÖwÝ�Üd�wÖwçpX~×�ÞtÔ ßbâ>Ö,Ü}ÔDã*æ`Ö�Ü Ò¥ÝbÓ>äwâcãwXLÞt×�Ô ßbâ�ãAßÇßbâ>Ö�ÖQU`Þ`ádUtÜ}Ò>æ�X~×�ÞtÒJß<Ýzß�Þtà>Ý8ãAßßbâ>Ö<Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å`Ú9V�â>Ü�ÝfÔÉÖwßbâ>Þtç¹â�ãAÝuÕ�ÖwÖmÒTÓ>Ý�Öwç`RÇÜ�ßZâDäwÞtÒ>ÝzÜ�ç�Öm×zã`Õ>á�Ö8ÝbÓ>äwäwÖwÝ�Ý�PJÜ Ò>äwá}Ó>ç�Ü}Ò�æTã@X~ãAÝ�ß�Ò�ãJ×�×�Þ�R Õ�ã`Ò>ç�U`Öm×�Ý�Ü�ÞtÒ�Ü}Ò� s�y7� P>ã`Ò>ç9ãOU`Öm×�Ý�Ü�ÞtÒ^XLÞt×$ßbâ�×�ÖwÖ_~ç�Ü ÔÉÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ãAáFÝbâ�ãJà�Ö<×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å3Ü}Ò�� s�u7� Ú | ×�Öwá ã*ß�Öwç9ÖbFÞt×�ß5ÖQh§à>á�Þ`Ü�ß�Ü}Ò>æ�ßbâ>Ö~o�Ýbâ>Öm×]_ÃÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Òá�ÖQU`Öwá$Ý�Öwßuß�Öwä�â�Ò>Üdc�Ó>ÖwRfã*Ý�æJÜjUJÖmÒ¹Ü}Ò��ðÛ � ãJÒ>çrá}ãAß�Öm×uÜ}ÔDà�×�Þ�UJÖwç¹Ü Òâ�}Ù�Æ � Ú

Ï�Ò]ßbâ>Ü�Ý�R�Þ>×*Y�P�RuÖuäwÞtÓ�à>á�Ö�ßbâ>Ö�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hOe�Þ�R ãAá�æ`Þ>×�Ü�ßbâ�Ô�Ý5ß�Þ�á�ÖQU`Öwá�Ý�Öwß5Ýbâ�ã`à�Ö�×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å,Ýzä�â>ÖmÔ�ÖwÝ5ßzÞ|Õ�Ó>Ü�á�çÁã�Ó�Ò>ÜTS�ÖwçÔ�Þ>ç�Öwá2XLÞt×�Ò>Þ`Ü�Ý�Ö�×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá�P�ÖmÒ>äwâ�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß�P�ãJÒ>ç¹Ýbâ�ã`à�Ö�×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å`Ú

� �@E2�F�~¡ÃB��>B� ���~¡���� H^HFE��OM(CO� �@C.I�� C.L �.�@C.L�¡�� ¡ÂCFE!��"#�.¡�$ MC>�%$ ��&�')(*H+*Ï~Ò ßbâ>Ü�ÝrÝ�Öwäwß�Ü�ÞtÒ2P@RuÖgÝbÓ�Ô4ÔDã`×�Üd�wÖgßbâ>ÖcÜ�ç�ÖmãAÝcÕ�Ömâ>Ü}Ò>ç ã`Ò>ç�Ü}ÔDà>á�ÖmÔ�ÖmÒJßbãAß�Ü�ÞtÒ Þ�X3ßbâ>Ö Ô�Üdh�g`Ô4ã�h Ý�äwâ>ÖmÔ�ÖpXLÞt×TÜ}ÔDãAæJÖà�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æ;S¸×�Ý�ß,à�×�ÖwÝzÖmÒ`ß�Öwç Ü Òû� s Æ � Ú>VÇâ>Ö9Õ�ãAÝ�Ü�äTÜ�ç�Ömã¥Ü�Ý,ßzÞ¹Ý�Þ`ádU`Ö9ãTß�Ü}Ô�Ö_~ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒ`ßTà�ã`×�ß�Ü}ãAá�ç�ÜrbFÖm×�ÖmÒJß�Ü}ãAá�ÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>ÒR<â>Ü�äwâ ç�ÖwÝ�äm×�Ü}Õ�ÖwÝDßZâ>Ö9ÖQU`ÞJá Ó>ßzÜ�Þ>Ò Þ�X�Ü�ÝzÞ`Ü}Ò`ß�ÖmÒ>ÝzÜ�ß�å äwÞtÒJß�ÞtÓ�×�Ý�P5Ó>Ý�Ü}Ò>ægã¥Ý*R�Ü�ß�äwâpX~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ�R<â>Ü�äwâ2ã*Ý�Ý�ÖwÝ�Ý�ÖwÝ�ßbâ>ÖTÝ�ämãAá�ÖTÞ�Xßbâ>Ö9Ò>ÞJÜ�ÝzÖÁã`Ò>ç äwâ>ÞtÞ`ÝzÖwÝ,ßbâ>Ö9ãJà�à�×�Þtà�×�Ü}ãAß�Ö4ß�Öm×�Ô�Ý]Ü Ò ßbâ>ÖDç�ÜTbFÖm×�ÖmÒJß�Ü}ãAáuÖQc§Ó�ã*ß�Ü�ÞtÒ>ÝmÚ¹ÐuÞtÔDà>á�Öwß�ÖTç�ÖwßbãAÜ�á�ÝDã`Ò>çgÖQh>ß�ÖmÒ>Ý�ÜdU`ÖÖQh�ã`ÔDà>á�ÖwÝ|Ô4ãmåTÕ�Ö#XLÞtÓ�Ò>ç¥Ü Òâ� s Ù � Ú,�¦Z§ -�À�©'·�´).>À�©�½9ª�±%ª�´�¶Z©�·0/0·9»0²�À21�/9À�¿�ª�´3/9À�²| Ý3ãTÝ�ßbãJ×�ß�P�äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×�ãTäwá�ÞJÝ�Öwç�P5Ò>ÞtÒ>Ü}Ò`ß�Öm×�Ý�Öwäwß�Ü}Ò>æcämÓ�× U`Ö�Ü}Ògßbâ>ÖTà>á ãJÒ>Ö9Ô�Þ�UtÜ}Ò>æ;R�Ü�ßbâcÝbà�ÖwÖwç54 õ ��ö]Ò>Þt×�ÔDã*áß�Þ¹Ü�ß�ÝzÖwárX�Ú�cÞt×�Ö,à�×�ÖwäwÜ�Ý�Öwá�å�P�á�Öwß76 õ Æ�öPÕ�Ö3ã�ÝbÔÉÞtÞ`ßZâ2Ptäwá�Þ`ÝzÖwç Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá$ämÓ�× U`Ö]Ü Ò98;:�P�ã`Ò>çrá�Öwß76 õ öuÕ�Ö]ßbâ>Ö8ÞtÒ>Ö_Ãà�ã`×�ãJÔ�Öwß�Öm×9X~ã`Ô�Ü�á�å¹Þ�XämÓ�× U`ÖwÝÇæ`ÖmÒ>Öm×�ãAß�Öwç¹ÕJåÁÔ�Þ�U>Ü}Ò>æ<6 õ ÆköPãAá�ÞtÒ>æDÜ�ß�Ý�Ò>Þt×zÔDãAá2U`Öwäwß�Þt×fS�Öwá�ç�RÇÜ�ßZâTÝbà�ÖwÖwç�4 õ �DöwÚ0ÇÇÖm×�Ö�P=4 õ �Dö�Ü�Ý8ã]æ`ÜdU`ÖmÒTÝ�ämãAá}ã`×X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ¥Þ�X¾ßZâ>Ö,ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö>�FÚFV�â>Ó>Ý�P@?BA � ø ùC4 õ �DöQPDR<â>Öm×�Ö � Ü�Ý�ßbâ>Ö3à�Þ`Ý�Ü�ß�Ü�ÞtÒ;U`Öwäwß�Þt×fÞ�XPßbâ>Ö8ämÓ�× U`Ö�P Ü�Ý8ß�Ü}Ô�Ö�P¸ãJÒ>ç?¥Ü�Ý<ßbâ>Ö,Ó�Ò>Ü�ß8Ò>Þt×�ÔDã*áFß�Þ�ßbâ>Ö8ämÓ�× U`Ö`Ú

Page 8: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

VÇâ>Ö�ã`à�à>á�Ü�ämãAß�Ü�ÞtÒ�ÞtX�ßbâ>Ü�ÝPà�×�ÞtÕ>á�ÖmÔ�ßzÞ<Ü}ÔDãAæJÖ�à�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æ,äwÞ>Ô�ÖwÝ�X~×�ÞtÔ äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×�Ü}Ò>æ3ã�U`Öm×�å8Ýbà�ÖwäwÜTS�ä�Ýbà�ÖwÖwç^X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ2PÒ�ã`Ô�Öwá�å>4 õ ��ö�ù0D%�'P`ãAÝ$Ýbâ>Þ�R<Ò8Ü}Ò]ßbâ>ÖPÝzÖmÔ�Ü}Ò�ãAá§à�ãJà�Öm×5ÕJå | ádU-ãJ×�ÖQ��P��cÞt×�Öwátã`Ò>ç>��Ü�ÞtÒ>Ý�PAÝ�ÖwÖ~� u�� Ú}V�â>Ü�Ý5ämãAÝzÖPäwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ýß�Þ¹ãTämÓ�× U`Ö]äwÞ`á�á ãJà>Ý�Ü}Ò>æ Ó�Ò>ç�Öm×�Ü�ß�Ý8ämÓ�×�U-ãAßbÓ�×�Ö`Ú,ÏLß8ämã`ÒcÕ�Ö3ÝZâ>Þ�R�ÒrßZâ�ãAßFXLÞt×�ã`Òcã`×�Õ>Ü�ßb×�ãJ×�å¹ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ Ý�Ü}ÔDà>á�ÖDämÓ�× U`Ö�P õ ÝzÖwÖÄ,ã*æ`Ö:� Ù y�� P�Ä,×zãmå>Ý�ÞtÒ;�}Ù �7� ö7PtÝZÓ>ä�â¥ã�ämÓ�× U`Ö8äwÞ`á�á}ã`à>Ý�ÖwÝ�ß�Þ9ãÉÝ�Ü}Ò>æ`á�Ö3à�ÞJÜ ÒJßmÚ

Ï�Ò�v5Ü�ætÓ�×�ÖDÙmã�PkRuÖ8Ýbâ>Þ�R R�â�ãAß�â�ã`à�à�ÖmÒ>Ý�ß�ÞDã]ç�ÞtÓ�Õ>á�Ö,Ý�ßbãJ×Z_~Ýbâ�ã`à�Öwçr×�Öwæ`Ü�ÞtÒTÓ�Ò>ç�Öm×�ßbâ>Ü�Ýae�Þ�R,Ú%�gÖ#U>Ü�ÖQR�ßbâ>Ö,×�ÖwæJÜ�Þ>ÒÕ�Öwß RuÖwÖmÒ�ßbâ>Öuß RuÞ8ämÓ�× U`ÖwÝPãAÝ5ßZâ>ÖFE�Ü}Ò>Ý�Ü�ç�ÖHGDã`Ò>ç^X[Þ`á�á�Þ�R ßbâ>Ö�Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒ]Þ�X�ßbâ>Ö<Õ�Þ>Ó�Ò>ç�ã`×�åDÕ�Öwß RuÖwÖmÒ�Ü}Ò>Ý�Ü�ç�Ö|ãJÒ>çDßbâ>ÖuÞtÓ>ß�Ý�Ü�ç�Öà�×�Þtà�ã*ætãAß�Ü}Ò>æ,Ü}ÒTÜ�ß�ÝuÒ>Þt×�ÔDãAá�ç�Ü}×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ�R�Ü�ßbâ4Ýbà�ÖwÖwç¹ÖQc�Ó�ãAá�ß�Þ,ßbâ>Ö8Ò>ÖwætãAßzÜjUJÖ�Þ�Xßbâ>ÖÇämÓ�× U-ãAßZÓ�×�Ö`Ú0ÇÇÖm×�Ö�P[R�Ö�â�ã�UJÖ<ÖQU`ÞJájUJÖwçßbâ>ÖaX~×�ÞtÒJß�Ó>ÝzÜ Ò>æ�ßbâ>Ö@o�Ýbâ>Öm×Z_ÃÑ>Öwßbâ>Ü}ã`ÒTá�ÖQU`Öwá�Ý�ÖwßuÔ�Öwßbâ>Þ>ç�P`Ý�ÖwÖw� s��7� Ú�iu×�Ü�Öe�å�P�ßbâ>Ü�ÝPßzÖwä�â�Ò>Üdc�Ó>Ö#R�Þ>×*Y`ÝPã*Ý�XLÞ`á�á�Þ�R�ݤÚ0Ä8ÜdU`ÖmÒDãÔ�Þ�U>Ü Ò>æ�äwá�Þ`Ý�Öwç9âJå�à�Öm×�ÝbÓ�×]XÌãAäwÖ%I õ öQP¤ßbâ�ãAß$Ü�Ý�PJI õ ù�Æköaq��rÆ ��K ö LM87NwP�RuÖ0R�Ü�Ýbâ]ß�Þ8à�×�Þ>ç�Ó>äwÖfãJÒ,ÍPÓ>á�Öm×�Ü}ã`Ò:X[Þt×zÔ3Ó>á}ãAßzÜ�Þ>ÒXLÞt×�ßZâ>Ö3Ô�Þ`ßzÜ�Þ>Ò¹Þ�XPßbâ>Ö�â`å�à�Öm×�ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖDà�×�Þtà�ãAætã*ß�Ü}Ò>æ9ãAá�ÞtÒ>æTÜ�ßzÝ,Ò>Þt×�ÔDãAáVç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒpR�Ü�ßbâ Ýbà�ÖwÖwçO4wP2R<â>Öm×�Ö>4:ämã`ÒrÕ�ÖÉãX~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ¥Þ�X0U-ã`×�Ü�Þ>Ó>Ý,ã`×�ætÓ�Ô�ÖmÒJß�Ý�P�Ü}Ò>äwá}Ó>ç�Ü Ò>æcßbâ>Ö�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö�P�Ò>Þt×�Ô4ãAáç�Ü}×�ÖwäwßzÜ�Þ>Ò2PFÖ`ÚößmÚ ä`Ú~V�â>Ö�ÔDãAÜ}Ò¥Ü�ç�ÖmãTÜ�Ý8ß�ÞTÖmÔ�Õ�Öwçßbâ>Ü�Ý3à�×�Þtà�ãAætãAßzÜ Ò>æ¥Ü}Ò`ß�Öm×]XÌãAäwÖTãAÝ8ßbâ>Ö>�wÖm×�Þ¥á�ÖQU`ÖwáPÝ�Öwß]Þ�Xfã¥â>Ü�ætâ>Öm×]ç�Ü ÔÉÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ãAá9XÌÓ�Ò>äwßzÜ�Þ>ÒOP$Ú`��Öwß>P õ�� �� ù�ÆköQP�R<â>Öm×�Ö�9Q 87N�Ü�Ý<ç�ÖS¸Ò>ÖwçcÕ`å P õR� �� ù�Æ�ö�ù#S;T õ s öR<â>Öm×�ÖBTcÜ�Ý�ßbâ>ÖTç�Ü�Ýzßbã`Ò>äwÖKXÌ×�Þ>Ô � ß�Þ)I õ ù Æ�öQP$ã`Ò>ç ßbâ>ÖÁà>á}Ó>Ý õ Ô�Ü}ÒtÓ>Ý�ö]Ý�Ü�ætÒ Ü�ÝDäwâ>Þ`Ý�ÖmÒ ÜrX�ßbâ>ÖÁà�Þ`Ü}Ò`ß � Ü�Ý�ÞtÓ>ß�Ý�Ü�ç�Öõ Ü}Ò>Ý�Ü�ç�Ö�ö�ßbâ>Ö�Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAáPâ`å�à�Öm×�ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖFI õ ù�Æ�öwÚFVÇâtÓ>Ý�PDRuÖ3â�ã�U`Ö�ã`Ò¹Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ)P õR� �U ù�Ækö~qV8 N LW8�RÇÜ�ßZârßZâ>Öà�×�Þtà�Öm×�ß�å9ßZâ�ãAß I õ ù�Æ�ö�ù õX�%ü P õR� �U ù�Æ�ö�ù°Æ�ö õ u öÏLßÇämã`Ò¹ÖmãAÝzÜ�á�årÕ�Ö,Ýbâ>Þ�R<ÒTßbâ�ã*ß�ßZâ>Ö8ÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò¹Þ�XPÔ�Þ`ß�Ü�ÞtÒTæJÜjUJÖmÒ¹Õ`å

PDø=YZ4 üþý P ü ù°Æ � õ x ö

P õR� �� ù°Æ�öÃú\[^]J_`? õ y öÝbÓ>äwâDßZâ�ãAßPßbâ>Ö�ÖQU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒTÞtXjßZâ>Ö~�wÖm×�Þ�á�ÖQU`Öwá�Ý�Öwß�Þ�X!P¹ãAádR�ã¤åtÝuäwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ýuß�Þ]ßbâ>Ö8Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒ�ÞtXßbâ>Ö�Ü Ò>Ü�ß�Ü}ãAáFâJå§à�Öm×�ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖÓ�Ò>ç�Öm×ußbâ>ÖÇæ`ÜdU`ÖmÒTÝbà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒa4�Ú0V�â>Ü�Ý�ÖQU`ÞJá Ó>ßzÜ�Þ>ÒDÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒTÍ�c�Ò�Ú y Ü�Ý�ÝzÞ`ádU`ÖwçÁÕJå9Ô�ÖmãJÒ>ÝPÞ�Xç�ÜTbFÖm×�ÖmÒ>äwÖ8Þtà�Öm×�ãAß�Þ>×�ÝÞtÒ¥ã^S�htÖwçgÍ�Ó>á�Öm×�Ü ãJÒræ>×�Ü�çFÚ�Ð�ã`×�Ö,Ô�Ó>Ý�ß<Õ�Ö�ßbã�YAÖmÒTÜ}Ò¥ßbâ>Ö,ämã*Ý�Ö.R<â>Öm×�Ö,ßbâ>Ö]Ýbà�ÖwÖwçßXÌÓ�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ)4 äwÞtÒ`ßZãAÜ}Ò>Ý|ãTâ`å�à�Öm×zÕ�Þ`á�Ü�ääwÞtÔDà�ÞtÒ>ÖmÒJßmÚ�v�Þ>×uç�ÖwßbãAÜ�á�Ý�P�Ý�ÖwÖ�� s�� P u�{7� Ú

� ÖÉÒ>Þ�R Ô�Þ>ç�ÜTX[åcßbâ>ÖTã`Õ�Þ�U`Ö^e�Þ�R,ÚDÏ~Ò Þt×�ç�Öm×�ß�ÞrÕ�Ö9ämã`×�ÖXÌÓ>áPã`Õ�ÞtÓ>ß8Ý�Ü�ætÒ>Ý�P'RuÖDÝ�Ü}ÔDà>á�å2Ò>Þ`ß�Ö�ßbâ�ã*ß8ßbâ>ÖDÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�åÞ�X<ã¥ç�Ü�Ý�YgÜ}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�Üd�wÖwç;Ý�Þrßbâ�ã*ß,ßbâ>ÖTÜ}Ò>Ý�Ü�ç�ÖrÞ�X<ßZâ>Ö9ç�Ü�Ý�YcäwÞ>×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ý�ß�ÞgãrÒ>ÖwætãAßzÜjUJÖ`UAãAá}Ó>Ö�X[Þtתßbâ>ÖTÝ�Ü�ætÒ>ÖwçHç�Ü�Ý�ßbã`Ò>äwÖ

Page 9: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒOP ã`Ò>ç2ã¹à�ÞJÝ�Ü�ß�ÜdU`Ö>U-ã*á Ó>ÖKXLÞt×�ßZâ>ÖDÝ�Ü�ætÒ>Öwçgç�Ü�Ý�ßbãJÒ>äwÖwXÌÓ�Ò>äwßzÜ�Þ>ÒOPgÞ>ÒrßZâ>ÖDÞtÓ>ß�Ý�Ü�ç�ÖDÞtX�ßbâ>Ö�ç�Ü�Ý�Ycâ�ãAÝ,ã¹Ò>Þt×�Ô4ãAáý P;R<â>Ü�äwâ à�Þ`Ü}Ò`ßzÝ�ÞtÓ>ß R�ã`×�ç�Ý<ã�R�ã¤å.X~×�ÞtÔ1ßbâ>Ö,äwÖmÒJß�Öm×uÞ�X5ßbâ>Ö]ç�Ü�ÝY�P�ãJÒ>ç ã�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö]ç�ÖS¸Ò>ÖwçgãAÝ ý A ý Pcb üþý P ü R<â>Ü�ä�âÜ�Ý|ã*ájR�ã¤å>Ýfà�Þ`Ý�Ü�ß�ÜdU`Ö�ÞtÒ¹ãAá�áFßZâ>Ö8äwÞtÒ�UJÖQh9á�ÖQU`Öwá$äwÞtÒJß�ÞtÓ�×�ÝmÚ�V�â>Ó>Ý�P�ã:e�Þ�R Ó�Ò>ç�Öm×�Ýbà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ�4�ù�� äwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ý�ß�Þßbâ>Ö]äwÞ`á�á ãJà>Ý�Ü}Ò>ærämÓ�× UAãAßbÓ�×�ÖOe�Þ�R^P�Ý�Ü}Ò>äwÖ�ßbâ>Ö�Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å Ô�Þ�U`ÖwÝ�Ü}Ò¥ßbâ>Ö]ç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒcÞ�X5Ü�ß�Ý,Ò>Þt×�ÔDã*á�R�Ü�ßbârÒ>Öwæ>ãAß�ÜdU`Ö,ÝZà�ÖwÖwç�Pã`Ò>çrâ>ÖmÒ>äwÖDÔ�Þ�U`ÖwÝuÜ}Ò�R�ã`×�ç�ÝmÚ

� Ö9Ò>ÖwÖwç2ßzÞrÕ�ÖKXÌÓ�×�ßZâ>Öm×8ämã`×�ÖX~Ó>áPã`Õ�ÞtÓ>ß,Ý�Ü�ætÒ>ÝDã`Ò>ç ã`Ô�ÖmÒ>çHã¹à�×�ÖQUtÜ�ÞtÓ>Ý�ç�ÖS¸Ò>Ü�ß�Ü�ÞtÒ�Ú�� Ö9Ýbâ�ã*á�áu×�ÖXLÖm×8ß�Þrã Ýbà�ÖwÖwçX~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ�4 Ü Ò ßbâ>Ö8äwÞtÒJß�ÖQh>ß�Þ�Xßbâ>Ö]á�ÖQU`ÖwáFÝ�Öwß�ÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ

PDø}ù�4 üþý P ü õ { ö

ßbâ>Ó>Ý�PËXÌ×�Þ>Ô Ò>Þ�R ÞtÒ2P4 RÇÜ�á�á5æ`ÜdU`Ö]ßbâ>Ö,ÝZà�ÖwÖwçcÞ�XPßbâ>ÖOXÌ×�Þ>Ò`ß�Ü}Òcã4ç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ¥Þtà�à�Þ`ÝzÜ�ßzÖ3ßzÞDÜ�ß�Ý,Ò>Þt×�ÔDã*áFç�Ü}×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ�Ú~VÇâtÓ>Ý�Pã4ämÓ�× U`Ö�äwÞ`á�á}ã`à>Ý�Ü}Ò>æ Ó�Ò>ç�Öm×�Ü�ß�Ý8ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö^R�Ü�á�áPäwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç¥ß�ÞTÝbà�ÖwÖwç54�ù0�VÚ#V�â>Ü�Ý#R�Ü�á�áPÕ�Ö�ÞtÓ�×�äwÞ>Ò�U`ÖmÒJß�Ü�ÞtÒßXLÞt×�ßZâ>Ö×�ÖmÔDã*Ü Ò>ç�Öm×ÇÞ�X5ßbâ>Ü�Ý<à�ã`à�Öm×wÚ

�ÇÞ�R.P>äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×Çß]RuÞ^e�Þ�R�Ý�P�Ò�ã`Ô�Öwá�å

d 4 õ ��ö�ù�ÔÉÜ Ò õ � � ÆVerÆ�öd 4 õ ��ö�ù�Ô4ã�h õ � � Æ\erÆ�öVÇâ>Ö3ÖbFÖwäwß8Þ�X�e�Þ�R Ó�Ò>ç�Öm×�4 õ ��öFù!Ô�Ü}Ò õ � � ÆVeTÆ�öuÜ�Ý,ß�Þ¹ãAá�á�Þ�R Ü ÒkR�ã`×�çcäwÞtÒ>ämã�U`Ö^S¸Ò>æ`Öm×�Ý8ßzÞ¹æt×�Þ�R Þ>Ó>ß]R�ã`×�ç�Ý�P�R<â>Ü�á�Ö

ÝbÓ�à�à�×�ÖwÝzÝ�Ü}Ò>æ9ßbâ>Ö�Ô�Þ`ß�Ü�ÞtÒTÞtXßbâ>Ö,Þ>Ó>ß]R�ã`×�çDäwÞtÒkU`ÖQhÁ×�Öwæ`Ü�ÞtÒ>ÝmÚaV�âtÓ>Ý�PtßZâ>Ö3Ô�Þ`ßzÜ�Þ>Ò¹â�ãAá�ß�Ý<ãAÝ�ÝzÞtÞtÒ¹ã*Ý�ßbâ>Ö8äwÞtÒkU`ÖQh¹âtÓ>á�áFÜ�ÝÞtÕ>ßbã*Ü Ò>ÖwçFÚDÐfÞtÒ�UJÖm×�Ý�Öwá�å�PFßbâ>Ö4ÖbjÖwäwß8ÞtX0e�Þ�R Ó�Ò>ç�Öm×f4 õ �Dö~ù!ÔDãth õ � � ÆVeTÆ�öuÜ�Ý,ß�Þ¹ãAá�á�Þ�R ßbâ>ÖDÞ>Ó>ß]R�ã`×�ç ×�Öwæ`Ü�ÞtÒ>Ý8ßzÞ¹æt×�Þ�RÜ}Ò�R�ã`×�ç�Ý,R�â>Ü�á�Ö8ÝbÓ�à�à�×�ÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æ9ßZâ>Ö|Ô�ÞJß�Ü�ÞtÒDÞtXjßZâ>Ö<Ü}ÒkRfãJ×�ç9äwÞ>Ò>ämã�UJÖ|×�ÖwæJÜ�Þ>Ò>ÝmÚ0ÇÇÞ�RuÖQU`Öm×7P`ÞtÒ>äwÖ�ßbâ>Ö�Ýbâ�ã`à�Ö,Õ�ÖwäwÞtÔ�ÖwÝaX~Ó>á�á�åäwÞtÒkU`ÖQh2P`ßbâ>Ö�ämÓ�× U-ã*ßbÓ�×�Ö�Ü�Ý�ãAádR�ãmå>Ý�à�Þ`Ý�Ü�ß�ÜdU`Ö8ã`Ò>çTßbâtÓ>Ý�ßbâ>Öae�Þ�R"Õ�ÖwäwÞtÔ�ÖwÝußbâ>Ö�Ýbã`Ô�Ö�ãAÝ�×�Öwæ>Ó>á ãJ×5ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö�e�Þ�R.ltâ>ÖmÒ>äwÖßbâ>Ö]Ýbâ�ã`à�Ö�äwÞ`á�á}ã`à>Ý�ÖwÝ8ßzÞ9ã9à�Þ`Ü}Ò`ߤÚF�gÖ]ämã`Ò¹ÝbÓ�Ô4ÔDã`×�Üd�wÖ3ÕJå¹Ýbã¤å>Ü Ò>æTßbâ�ãAß�P[X[Þ>×ußbâ>ÖDã`Õ�Þ�U`Ö8äwâ>Þ`Ü�äwÖ�Þ�XPÝ�Ü�ætÒ>Ý�PËe�Þ�R Ó�Ò>ç�Öm×4�ù Ô�Ü}Ò õ � � Æ\erÆ�öuà�×�ÖwÝ�Öm× UJÖwÝ<Ý�Þ>Ô�Ö,Þ�XPßZâ>Ö,Ý�ßb×zÓ>äwßbÓ�×�Ö�Þ�X5ßbâ>Ö�ämÓ�× U`Ö�PDR<â>Ü�á�Ö®e�Þ�R Ó�Ò>ç�Öm×;4�ù ÔDã�h õ � � ÆVerÆköPäwÞ>ÔDà>á�Öwß�Öwá�åç�ÜTbÓ>Ý�ÖwÝ|ã�R�ã¤åDãAá�áÞ�X$ßbâ>Ö,Ü}ÒkXLÞt×�ÔDãAßzÜ�Þ>Ò�Ú

Ï�Ò;v5Ü�æ>Ó�×�Ö¹ÙmÕ2P2RuÖ,Ýbâ>Þ�R ÞtÓ�×�Þt×�Ü�æ`Ü}Ò�ãAá5ç�ÞtÓ�Õ>á�ÖDämÓ�×�U`Ö,äwÞ`á�á}ã`à>Ý�Ü}Ò>ægÓ�Ò>ç�Öm×;4 ù:Ô�Ü}Ò õ � � ÆVerÆ�ö7l�â>Öm×�Ö�P�ßbâ>Ö�ÞtÓ>ß�Öm×8à�ãJ×�ßÞ�XPßbâ>Ö^X~×�ÞtÒJß|ÔÉÞ�UJÖwÝ<ß�Þ¹ßZâ>Ö3äwÞ>Ò�U`ÖQhrâ>Ó>á�á�P}R�â>Ü�á�ÖDßZâ>Ö3Ü}Ò�Ò>Öm×]à�ã`×�ß�äwÞ`á�á ãJà>Ý�ÖwÝ3ã`Ò>çcç�Ü�Ýbã`à�à�Ömã`×�ÝmÚwV�â>Ö�á}ãAÝ�ß8Ýbâ>Þ�R<Ò¥Ý�ßZãAß�ÖÜ�Ý,Ý�ßZã`Õ>á�Ö`Ú3Ï�Òpv5Ü�ætÓ�×�ÖrÙwä�P2RuÖ�Ýbâ>Þ�R ßbâ>Ö�Ýbã`ÔÉÖ3ämÓ�×�U`ÖDäwÞ`á�á}ã`à>Ý�Ü}Ò>ægÓ�Ò>ç�Öm×f4\ù Ô4ã�h õ � � Æ\erÆ�öQl�â>Öm×�Ö�PFßbâ>ÖDÞ>Ó>ß�Öm×8à�ã`×�ß�Þ�Xßbâ>Ö�X~×�ÞtÒJß3Ô�Þ�U`ÖwÝ�Ü}ÒkRfãJ×�ç�Ý>R<â>Ü�á�Örßbâ>ÖTÜ}Ò�Ò>Öm×9à�ãJ×�ß�ÖQh§à�ã`Ò>ç�Ý4ß�ÞcÜ�ßzÝDäwÞtÒkU`ÖQh â>Ó>á�áLÚ ÍfU`ÖmÒJßbÓ�ãAá�á�å�PPßbâ>Ö¹ß RuÞ ÔÉÖwÖwß�P�ãJÒ>ç

Û

Page 10: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

ßbâ>ÖKXÌ×�ÞtÒ`ß]ç�Ü�Ýbã`à�à�ÖmãJ×�ÝmÚ;v5Ü Ò�ã*á�á�å�PuÜ}Òâv5Ü�æ>Ó�×�Ö Ù�ç�P�RuÖDÝ*R�Ü�ß�äwâgßZâ>ÖÁ×�ÞJá�ÖwÝ�Þ�X8Õ>á ã*ä(YgãJÒ>ç�R<â>Ü�ß�Ö�l�ßbâ>Ó>Ý#e�Þ�R\R�Ü�ßbâ Ýbà�ÖwÖwç4\ù!ÔDã�h õ � � ÆVerÆ�öuäwÞ>×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ý,ß�Þ¹ßZâ>ÖDÝbã`Ô�Ö^e�Þ�R ãAÝ8Ü}Òâv5Ü�æ>Ó�×�Ö¹ÙmÕ2l$ä�â�ã`Ò>æJÜ Ò>æ¥ßbâ>ÖDäwÞ`á�Þt×�Ý8äwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ý,ßzÞ¹ä�â�ã`Ò>æJÖX~×�ÞtÔ:ßbâ>Ö3Ô4ã�htÜ}Ô�Ó�Ô¼e�Þ�R�ß�Þ�ßbâ>Ö,ÔÉÜ Ò>Ü}Ô�Ó�ÔÃe�Þ�R,Ú,�¦É¥ g�µ0²�ÌͶ�·Â¸NÌͪh¼³�i�¶�´�º�µo8Ó�×$æ`Þtã*átÜ�Ý5ß�Þ�Ý�Öwá�Öwäwß5ßbâ>ÖuäwÞt×�×�Öwäwß$äwâ>Þ`Ü�äwÖ�Þ�X�e�Þ�R2ÝzÞ8ßbâ�ãAß$ämÓ�× U`ÖwÝ5ã`×�Ö>E�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>ÖwçVGDPmßbâ�ã*ßÜ�Ý�PJÝ�Þ<ßZâ�ãAßÝZÔDãAá�átÞJÝ�äwÜ�á�á}ãAßzÜ�Þ>Ò>Ýç�Ü�Ýbã`à�à�Ömã`×,Õ�Ó>ß�ßbâ>Ö�ÖwÝ�Ý�ÖmÒJß�Ü}ãAáPà�×�Þtà�Öm×�ß�Ü�ÖwÝ8Þ�XPßbâ>Ö^X~×�ÞtÒJß|ãJ×�Ö3ÔDã*Ü ÒJßbãAÜ}Ò>ÖwçFÚ#� Ö3ç�ÖS¸Ò>Ö4ßbâ>Ö#XLÞ`á�á�Þ�RÇÜ Ò>æ¥Ýbà�ÖwÖwç;X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ2PÜ}Ò`ßZ×�Þtç�Ó>äwÖwç¥Ü}Ò�� s Æ � ãJÒ>ç ×�ÖS¸Ò>Öwç¥äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×�ã`Õ>á�årÜ}Òâ� s Ù � q

4;j øXk�lnmporqts@uvxwzy={|vx}�~ ù�� Ô�Ü}Ò õ � � Æ�ö ÜrX��7]J_�� s@u �������� ����� ÆÔDãth õ � � Æ�ö.ÜrX��7]J_�� s@u �������� ����� Æ õ � ö

R<â>Öm×�ÖF�7]J_�� scu �������� ��� Ü�Ý8ç�ÖS¸Ò>ÖwçHãAÝ<ßZâ>ÖÉã�U`Öm×zãAæ`Ö.UAãAá}Ó>ÖDÞ�X%PgÜ}ÒgãTç�Ü�Ý�Y¥Þ�X�×�ã*ç�Ü Ó>Ý>8�ù��V� äwÖmÒ`ßzÖm×�Öwçgã`×�ÞtÓ�Ò>çcßbâ>ÖDà�ÞJÜ ÒJßõR� ��� öwÚ�ÇÇÖm×�Ö�P��HÜ�ÝDßbâ>Ö¹Ý�ßzÖmà Ý�Üd�wÖrÞ�X8ßbâ>Ö¹æt×�Ü�çFÚ�VÇâtÓ>Ý�P'æ`ÜdU`ÖmÒ ã�EbÑ>ß�ÖmÒ>äwÜ�á���ãAç�Ü}Ó>Ý�G��V��P�ßbâ>Örã`Õ�Þ�UJÖ¹åtÜ�Öwá�ç�ÝÁã Ýbà�ÖwÖwçX~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ�R�â>Ü�äwâcç�Ömà�ÖmÒ>ç�Ý3Þ>Òcßbâ>Ö>UAãAá}Ó>Ö9Þ�X%PHãAß8ßbâ>Ö9à�Þ`Ü}Ò`ß õR� � � ö7P�ßbâ>ÖTã�UJÖm×�ãAæ`ÖwU-ã*á Ó>Ö4Þ�X�PgÜ}Ò Ò>ÖwÜ�æ>âtÕ�Þt×�â>Þ>Þtç Þ�Xfãæ`ÜdU`ÖmÒ Ý�Üd�wÖ�P�ã`Ò>çrßZâ>Ö#U-ãAá}Ó>Ö�Þ�Xßbâ>Ö]ämÓ�× U-ã*ßbÓ�×�Ö8Þ�X5ßbâ>Ö8á�ÖQU`Öwá$ämÓ�× U`Ö8æ`Þ`Ü}Ò>æDßZâ�×�ÞtÓ>ætâ õR� ��� öwÚ

� Ö8ämã`Ò¹ÖQh�ã`Ô�Ü}Ò>Ö�ßbâ>Ü�Ý<ÝZà�ÖwÖwç;XÌÓ�Ò>äwßzÜ�Þ>Ò¹Ü}Ò¥Ý�ÞtÔ�Ö8ç�Öwßbã*Ü�áLÚ�v�Þt×uÖmã*Ý�Ö8Þ�XPÖQh�à�Þ`Ý�Ü�ß�Ü�ÞtÒ2P�äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×8ãDÕ>á}ãAäQYr×�Öwæ`Ü�ÞtÒ¹ÞtÒ¹ãR<â>Ü�ß�Ö�Õ�ãAä(YJæt×�Þ>Ó�Ò>ç�P�äwâ>Þ`Ý�ÖmÒ Ý�Þ9ßZâ�ãAß�ßbâ>Ö]Ü ÒJß�Öm×�Ü�Þt×�â�ãAÝ8ã9Ò>Öwæ>ãAß�ÜdU`Ö.UAãAá}Ó>Ö�Þ�X�Pgã`Ò>ç¥ßbâ>Ö,ÖQh>ß�Öm×�Ü�Þt×�ãDà�ÞJÝ�Ü�ß�ÜdU`ÖwU-ãAá}Ó>Ö�Þ�XP$Ú

d Ñ>ß�ÖmÒ>äwÜ�áÅ�ÇãAç�Ü}Ó>Ý:ù#ÆÏÓX5ßbâ>Ö,×�ãAç�Ü}Ó>Ý�8�ù�Æ õ �:ù°Æ�öQP>ßbâ>ÖmÒTäwâ>Þ`Ü�äwÖ,Þ�XPÔ�Ü}Ò õ � � Æ�ö�Þt×uÔDã�h õ � � Æ�ö5ç�Ömà�ÖmÒ>ç�Ý<Þ>Ò>á�å¹ßZâ>Ö~UAãAá}Ó>Ö3ÞtX!P$Ú | á�áFßZâ>Öá�ÖQUJÖwáFämÓ�× U`ÖwÝ�Ü}Ò¹ßbâ>Ö,Õ>á}ãAäQY¹×�Öwæ`Ü�ÞtÒßR�Ü�á�á5ãAß�ßzÖmÔDà>ßuß�ÞwXLÞt×�Ô:ßbâ>ÖwÜ}×�äwÞ>Ò�U`ÖQh¹â>Ó>á�á�P2R<â>ÖmÒ Ý�ÖwÖmÒ�X~×�ÞtÔ:ßbâ>Ö�Õ>á}ãAä(Y4Ý�Ü�ç�Ö�Pã`Ò>ç ãAá�áFßZâ>Ö,á�ÖQU`Öwá$ämÓ�× U`ÖwÝ�Ü Ò¥ßbâ>Ö^R<â>Ü�ß�Ö3×�Öwæ`Ü�ÞtÒ�R�Ü�á�á5ãAß�ß�ÖmÔDà>ßÇß�ÞwXLÞt×�Ô��p�J�`�X�uäwÞ>Ò�U`ÖQhrâ>Ó>á�áLÚ~V�â>Ö�Ò>Öwß<ÖbFÖwäwßFR�Ü�á�áÕ�Ö3Ò>ÞTÔ�Þ`ß�Ü�ÞtÒTÞ�X$ßbâ>Ö.�wÖm×�Þ4á�ÖQUJÖwáFÝ�Öwß�Ü�ß�Ý�ÖwáTX*P¸ãJÒ>ç¹ßbâ>Ö3Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å�R�Ü�á�á¾Ò>Þ`ß�Ô�Þ�U`Ö`Ú

d Ñ>ß�ÖmÒ>äwÜ�áÅ�ÇãAç�Ü}Ó>Ý�ù;�ÏÓXPßbâ>Ö,ã�U`Öm×�ã*æ`Ö8Ü�Ý<ßbãkYAÖmÒTÞ�U`Öm×�ã�Ý�ßzÖmÒ>äwÜ�á$Þ�X�×�ã*ç�Ü Ó>Ý;��P�ßbâ>ÖmÒ¹Ý�Þ>Ô�Ö3Ô�Þ�U`ÖmÔÉÖmÒ`ßuÞ�XPßbâ>Ö#�wÖm×�Þ9á�ÖQU`Öwá$äwÞt×�×�ÖwÝZà�ÞtÒ>ç�Ü}Ò>æß�Þ9ßZâ>Ö9Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ãJ×�årÜ�Ý3à�Þ`Ý�Ý�Ü}Õ>á�Ö`Ú9Ï5X�ßbâ>Öm×�Ö9ã`×�Ö]Ý�ÞtÔ�Ö�Þ`Ý�äwÜ�á�á}ãAß�Ü�ÞtÒ>Ý�Ü}Òcßbâ>ÖwX~×�ÞtÒJß8Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å Þ>ÒrßZâ>Ö3Þ>×�ç�Öm×�Þ�X�Þ>Ò>ÖÞt×�ß]RuÞDà>ÜdhtÖwá�Ý�P�ßbâ>ÖmÒTÜ�ß8ÔDã¤å9Õ�Ö�à�Þ`Ý�ÝzÜ Õ>á�Ö^XLÞt×�ßbâ>Ö,ã�U`Öm×�ãAæ`Ö@U-ã*á Ó>Ö]Þ�X�P ã*ß�ßZâ>Ö,à�Þ`Ü}ÒJß õR� ��� ö5ß�ÞTÕ�Ö8Þ�XPã�ç�ÜTbFÖm×�ÖmÒ`ßÝ�Ü�ætÒ¹ßbâ�ãJÒTßbâ>Ö.UAãAá}Ó>Ö3ãAß õ�� ��� ö�Ü�ß�Ý�ÖwáTX�Ú�Ï�Ò¹ßbâ>Ü�Ý�ämãAÝ�Ö�P�ßZâ>Ö#e�Þ�R�R�Ü�á�á¾ã*äwß<ãAÝ�ÜTXPÜ�ß~RuÖm×�Ö8ÝzÖwá�ÖwäwßzÖwç�X~×�ÞtÔ1ßbâ>Ö�E�ÞJßbâ>Öm×

Ù�Æ

Page 11: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

4°ù�� õp� ù°Æ�ö 4�ù#� õp� ù Ù�ö 4�ù�� õp�<� ? [^?@�=_ T[ö

4�ù�Ô�Ü}Ò õ � � ÆVerÆkö õp� ù�Ækö�4�ù Ô�Ü}Ò õ � � ÆVerÆkö õp� ù Ù�ö�4�ù Ô�Ü}Ò õ � � ÆVerÆkö õp�>� ? [¡?@�=_`Tmö

4�ù�Ô4ã�h õ � � Æ\erÆ�ö õ¢� ù�Æ�öW4�ù�ÔDã�h õ � � ÆVerÆkö õp� ù Ù�ö�4�ù ÔDã�h õ � � ÆVeTÆ�ö õp�>� ? [¡?@�=_`Tmö

4�ù�Ô4ã�h õ � � Æ\erÆ�ö õ¢� ù�Æ�öW4�ù�ÔDã�h õ � � ÆVerÆkö õp� ù Ù�ö�4�ù ÔDã�h õ � � ÆVeTÆ�ö õp�>� ? [¡?@�=_`Tmöv5Ü�ætÓ�×�ÖDÙ�qf� ÞJß�Ü�ÞtÒTÞ�X¾ÐuÞ>ÔDà>á�ÖQh��uÖwæ`Ü�ÞtÒrÓ�Ò>ç�Öm×��Pã`×�Ü�ÞtÓ>Ý@v5á�Þ�R�Ý

Ù`Ù

Page 12: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

Ý�Ü�ç�ÖHG�PFã`Ò>çrÝzÞtÔ�Ö3ÔÉÞ`ß�Ü�ÞtÒ;R�Ü�á�áPÕ�ÖDãAá�á�Þ�RuÖwçgÓ�ÒJß�Ü�áßbâ>ÖwÝzÖ.S¸×�Ý�ß _~Þt×�ç�Öm×ÇÞ`Ý�äwÜ�á�á}ãAß�Ü�ÞtÒ>Ý�ã`×�Ö3×�ÖmÔ�Þ�U`Öwç�P¸ãJÒ>ç ãTÕ�ãAá}ã`Ò>äwÖÕ�Öwß RuÖwÖmÒTßbâ>Ö8ß R�Þ�Ý�Ü�ç�ÖwÝ�Ü�Ý|ãAæ>ãAÜ}Ò>Öwç ×�ÖmãAäwâ>ÖwçFÚ0o8Ò>äwÖ]ßbâ>Ü�Ý|Õ�ãAá}ã`Ò>äwÖwç¥Ü�Ý|×�Ömã*ä�â>Öwç�P�Ò>ÞTÔ�Þ`ß�Ü�ÞtÒTÜ�Ý8à�Þ`Ý�ÝzÜ Õ>á�Ö`Ú

d Ñ>ß�ÖmÒ>äwÜ�áÅ�ÇãAç�Ü}Ó>Ý:ù;�V�iPå ßbã�YJÜ Ò>æcã�U`Öm×�ãAæ`ÖwÝ]Þ�U`Öm×,ã á ãJ×�æ`Öm×�ã`Ò>ç á ãJ×�æ`Öm×8Ýzß�ÖmÒ>äwÜ�á5P�á}ã`×�æ`Öm×�ã`ÔÉÞtÓ�Ò`ßzÝ,Þ�X�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>ægã`×�ÖTã`à�à>á�Ü�Öwç ß�ÞrßZâ>ÖÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�åNlVÜ Ò Þ`ßbâ>Öm×@RuÞt×�ç�Ý�P�ç�ÖwäwÜ�Ý�Ü�ÞtÒ>ÝDã`Õ�ÞtÓ>ß#R<â>Öm×�Ö®X[ÖmãAßZÓ�×�ÖwÝ,Õ�Öwá�ÞtÒ>æcã`×�ÖDÕ�ãAÝ�ÖwçgÞ>Òrá}ã`×�æ`Öm×,ã`Ò>çcá}ã`×�æJÖm×8à�Öm×Z_Ýbà�Öwäwß�ÜdU`ÖwݤÚ0o8Ò>äwÖ#XLÖmãAßbÓ�×�ÖwÝuÞtÒ4ßbâ>Ö�Þt×�ç�Öm×�Þ�XÝzÜj�wÖ>�9ãJ×�Ö|×�ÖmÔ�Þ�U`Öwç>X~×�ÞtÔ:ßbâ>Ö8Õ�Þ>Ó�Ò>ç�ã`×�å�P�Õ�ãAá}ã`Ò>äwÖ8Ü�Ý<×�ÖmãAä�â>ÖwçrãJÒ>çßbâ>Ö^e�Þ�R:Ý�ß�Þtà>Ý,ãJÓ>ß�ÞtÔDãAßzÜ�ämã*á�á�å`Ú | Ý,ã`Ò ÖQh§ã`Ô4à>á�Ö�P$á�Öwß<�pù K Ú9Ñ>Ü}Ò>äwÖTßbâ>Ö9ã�U`Öm×�ã*æ`Ö.R�Ü�á�áPäwÞ>ÔDà�Ó>ß�ÖDß�ÞrãßU-ãAá}Ó>Öäwá�ÞJÝ�Ö<ßzÞ3ßZâ>Ö|Õ�ãAäQYJæt×�ÞtÓ�Ò>çTäwÞ`á�Þt×QP�Þ>ÒDßbâ>Ü�ÝuÝ�ämãAá�Ö,ãAá�á�Ý�ßb×zÓ>äwßbÓ�×�ÖwÝ�ã`×�Ö�Ü}Ò>Ý�Ü�ætÒ>ÜTS�ämã`Ò`ß�P�ßbâ>Ö8ÔDã�h®e�Þ�R�R�Ü�á�áÕ�Ö8ä�â>Þ`ÝzÖmÒÖQU`Öm×�å[R<â>Öm×�Ö�P[XLÞt×�äwÜ}Ò>æDßbâ>Ö,Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å¹ßzÞDç�Ü�Ýbã`à�à�ÖmãJ×wÚ

� Ö<Ýbâ>Þ�R ßbâ>Ö,×�ÖwÝbÓ>á�ß�ÝuÞ�XßZâ>Ü�Ý�â>Ü�Öm×�ã`×�ä�â>Ü�ämãAá2e�Þ�R�ÝuÜ}Ò�v5Ü�ætÓ�×�Ö s l[RuÖ<Ý�ßZã`×�ß�R�Ü�ßbâ¹ã`Ò4Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAáFÝbâ�ã`à�Ö8Ü}Ò�v5Ü�æ>Ó�×�Ö s ã3ãJÒ>çS¸×�Ý�ßuà�Öm×ZXLÞt×�Ô:ßbâ>Ö�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hwe�Þ�R;Ó�Ò>ç�Öm×uÝ�ß�ÖmãAç�åk_~Ý�ßbã*ß�ÖuÜ�Ý�×�Ömã*ä�â>Öwç�R�Ü�ßbâ4Ý�ß�ÖmÒ>äwÜ�áFÝ�Üd�wÖ@�wÖm×�Þ�Ü ÒKv5Ü�ætÓ�×�Ö s Õ2l>Ü}ÒDßbâ>Ü�ÝuämãAÝ�Ö�PÒ>Þ ÔÉÞ`ß�Ü�ÞtÒcÜ�ÝDà�Þ`ÝzÝ�Ü}Õ>á�Ö`Ú;�gÖTßbâ>ÖmÒgà�Öm×ZX[Þ>×�Ô ßbâ>Ö¹Ô�Ü}Ò�g`ÔDãth�e�Þ�R!Ó�Ò`ß�Ü�á�Ý�ß�ÖmãAç�åk_~Ý�ßbãAßzÖDÜ�Ý3ãAäwâ>Ü�ÖQU`Öwç�R�Ü�ßbâcÝ�ßzÖmÒ>äwÜ�áuÝ�Üd�wÖ�>ù Ù�Ü}Ò�v5Ü�ætÓ�×�Ö s ä�P�ã`Ò>ç¥ßbâ>Ö8äwÞtÒJß�Ü}ÒtÓ>Ö�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hKe�Þ�R RÇÜ�ßZârã]á}ã`×�æ`Öm×uÝzß�ÖmÒ>äwÜ�á¾Ó�ÒJß�Ü�áFÝ�ß�Ömã*ç�å�_~Ý�ßZãAß�Ö�Ü�Ý8ãAætã*Ü Ò¹ã*ä�â>Ü�ÖQU`ÖwçÜ}Ò�v5Ü�ætÓ�×�Ö s çFÚ

� Ö8ämã`ÒTÝbÓ�ÔDÔDãJ×�Üd�wÖ,ÞtÓ�×�×�ÖwÝbÓ>á�ß�Ý<ãAÝaXLÞ`á�á�Þ�R�Ý�q

d V�â>Ö9ÝzÜ Ò>æJá�ÖrÔÉÜ Ò�gJÔDã�hpe�Þ�R ÝzÖwá�ÖwäwßzÝ3ßZâ>Ö9äwÞt×z×�ÖwäwßDÔ�Þ`ß�Ü�ÞtÒcßzÞrç�ÜTbÓ>Ý�Ö¹ßbâ>ÖTÝbÔDãAá�áT_~Ý�ämãAá�Örà>ÜdhtÖwá�Ò>Þ`ßzä�â>ÖwÝ�Ü}Ò`ßzÞ ßZâ>ÖÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å`Ú

d V�â>Ö8á}ã`×�æ`Öm×QP�æ`á�ÞtÕ�ãAáà�×�Þ>à�Öm×�ß�Ü�ÖwÝ�ÞtX¾ßbâ>Ö]Ýbâ�ã`à�Ö8Ü�Ý8ÔDãAÜ}ÒJßbãAÜ}Ò>ÖwçFÚ

d v¸Ó�×�ßbâ>Öm×zÔ�Þt×�Ö�P5ã`Ò>ç ÖQc§Ó�ã*á�á�åHÜ}ÔDà�Þt×�ßbã`ÒJß�á�å�P5ßbâ>ÖKe�Þ�R!Ý�ß�Þtà>Ý�ÞtÒ>äwÖTßbâ>ÖwÝ�ÖrÒ>Þ`ßzä�â>ÖwÝDã`×�ÖTç�ÜTbÓ>Ý�ÖwçHÜ}Ò`ß�Þcßbâ>ÖrÔ4ãAÜ}ÒÝ�ßb×�Ó>äwßbÓ�×�Ö`Ú

d Í5ç�æ`Ö8ç�ÖS¸Ò>Ü�ß�Ü�ÞtÒ¥Ü�Ý|Ô4ãAÜ}Ò`ßbã*Ü Ò>Öwç�P�ã`Ò>ç�P�Ü}Ò¹Ý�Þ>Ô�Ö8æ`á�ÞtÕ�ãAáFÝzÖmÒ>Ý�Ö�P�ßbâ>Ö�ã`×�Ömã]Ü}Ò>Ý�Ü�ç�Ö3ßZâ>Ö3Õ�Þ>Ó�Ò>ç�ã`×�åTÜ�Ý8à�×�ÖwÝ�Öm×�U`ÖwçFÚ

d V�â>Ö<Ò>Þ`Ü�Ý�Ö<×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá�ämã`à�ãJÕ>Ü�á�Ü�ß�Ü�ÖwÝ�Þ�X�ßbâ>Ö<Ô�Ü}Ò�g`Ô4ã�h^e�Þ�RHÜ�Ý�Ý�ämãAá�Ö_~ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒJß�P�ã`Ò>ç4ämã`ÒDâ>Ü�Öm×�ã`×�äwâ>Ü�ämãAá�á�åÁãAç�z�Ó>Ý�ß�ÖwçFÚ

d V�â>Ö8Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö3×�ÖQc�Ó>Ü}×�ÖwÝ�ÞtÒ>á�åÁãDÒ>ÖmãJ×�ÖwÝ�ß<Ò>ÖwÜ�ætâ>Õ�Þt×ÇÝ�ß�ÖmÒ>äwÜ�á$ÖQU-ãAá}Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò�Ú

Ù s

Page 13: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

÷£?@[ [¡¤£¥5¦ � �?@TJ¤£§ � ¨ [¡?@b ¨ ¤ � 4;¥ ��© qE ª � [^« �­¬z¬�® �=¤`¯=_ ®x _`?@°H[¡¥Z±²[¡T �>ù�ÆËl õp� ù K ö

¨ [¡?@b ¨ ¤ � 4;¥ ��© q �>� ? [¡?@�=_`T ¨ [¡?@b ¨ ¤ � 4;¥ �n© q®x _ ?@°H[¡¥Z±²[¡T �Kù Ù�l õp� ù K ö ®x _`?@°H[¡¥Z±²[¡T �>ù s l õp� ù K öv5Ü�ætÓ�×�Ö s q%� ÞJß�Ü�ÞtÒTÞ�XPÑ>ßbã`×�Ñ�â�ã`à�Öwçí�uÖwæJÜ�Þ>Ò�R�Ü�ßbâ��ÇÞ`Ü�Ý�Ö3Ó�Ò>ç�Öm×��cÜ}Ò�g��gã�h`v5á�Þ�R ãAßa�Pã`×�Ü�Þ>Ó>Ý|Ñ>ß�ÖmÒ>äwÜ�á���ÖQU`Öwá�Ý

Ù u

Page 14: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

VÇâ>Ö|ã`Õ�Þ�U`Ö8ß�Öwäwâ�Ò>Üjc�Ó>Ö3ãJà�à>á�Ü�ÖwÝ�ß�ÞDÕ>á}ãAä(YTã`Ò>ç�R<â>Ü�ß�Ö8Ü}ÔDã*æ`ÖwÝmÚ | ÒTÖQhtßzÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ¹ß�Þ�æt×�Öwå�_~Ý�ämã*á�Ö8Ü}ÔDã*æ`ÖwÝ�ämã`Ò¹Õ�Ö8ÖmãAÝ�Ü�á�åÔDãAç�Ö�Õ`år×�Ömà>á ã*äwÜ Ò>æ¹ßZâ>Ö#S�h>Öwçrßbâ�×�ÖwÝZâ>Þ`á�ç ßzÖwÝ�ßFU-ã*á Ó>Ö�Þ�X,Æ®R�Ü�ßbârãKU-ãAá}Ó>Ö�ßbâ�ãAßÇç�Ömà�ÖmÒ>ç�Ý8ÞtÒ ßbâ>Ö,á�Þ>ämãAá¾Ò>ÖwÜ�ætâ>Õ�Þ>×�â>ÞtÞ>çFÚ| ÝPç�ÖwÝ�Ü�ætÒ>ÖwçTÜ}Ò�� s Æ � PAá�Öwß � øX� ³�k¡´^�Hµ¶qt·�Õ�Ö<ßbâ>Ö�ã�U`Öm×�ã*æ`ÖaU-ãAá}Ó>Ö�Þ�X¸ßbâ>ÖÇÜ ÒJß�ÖmÒ>Ý�Ü�ß�åDÞtÕ>ßZãAÜ}Ò>ÖwçDÜ}ÒDßbâ>ÖÇç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ9à�Öm×�à�ÖmÒ>ç�Ü�ämÓ>á}ã`×ß�ÞgßZâ>Öræt×�ã*ç�Ü�ÖmÒJßTç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ�Ú �ÇÞ`ß�Ö¥ßbâ�ãAßDÝ�Ü}Ò>äwÖcßbâ>Ö¥ç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ;à�Öm×�à�ÖmÒ>ç�Ü�ämÓ>ásã`×¹ß�Þ ßbâ>Öræt×zãAç�Ü�ÖmÒ`ßTÜ�ݹßbã`Ò>æ`ÖmÒJßDß�ÞgßZâ>ÖÜ�Ý�Þ`Ü}ÒJß�ÖmÒ>Ý�Ü�ß�å2äwÞtÒJß�ÞtÓ�תßbâ�×�ÞtÓ>æ>â õR� ��� öQPFßZâ>Ö9ß RuÞ à�Þ`Ü}Ò`ß�ÝDÓ>Ý�ÖwçHßzÞräwÞtÔDà�Ó>ßzÖÁã`×�Ö9ÖwÜ�ßbâ>Öm×�Ü}Ò ßbâ>ÖTÝbã`ÔÉÖ9×�Öwæ`Ü�ÞtÒ2P5Þ>×,ßZâ>Öà�ÞJÜ ÒJß õ�� ��� öuÜ�Ý3ãJÒrÜ}Òke�Öwäwß�Ü�ÞtÒ à�ÞJÜ ÒJß�PVÜ ÒnR<â>Ü�ä�âcßZâ>Ö3ämÓ�×�U-ãAßbÓ�×�Ö3Ü�Ý]Ü ÒíXÌãAäwß@�wÖm×�Þcã`Ò>çcßbâ>ÖDÔ�Ü}Ò�g`ÔDã�hße�Þ�R�RÇÜ�á�áuãAádRfã¤å>Ýå>Ü�Öwá�ç��wÖm×�Þ�Ú.i�å¹ä�â>Þ>Þ`Ý�Ü}Ò>æcãDá}ã`×�æJÖm×�Ý�ß�ÖmÒ>äwÜ�á�RuÖ3Ô�Ömã`Ò¥äwÞtÔ4à�Ó>ß�Ü}Ò>æ¹ßbâ>Ü�Ý8ßbã`Ò>æ`ÖmÒJß�Ü}ãAá5ã�UJÖm×�ãAæ`Ö]Þ�UJÖm×uÖmÒ>ç�à�Þ`Ü}ÒJß�Ý,á�Þ>ämãAß�ÖwçX~Ó�×�ßbâ>Öm×�ã`à�ãJ×�ßmÚ

v�Þt×�ÔDã*á�á�åTßbâ>ÖmÒ2P�ÞtÓ�×,S¸Ò�ãAáÔ�Ü}Ò�g`ÔDãth9Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö�P�ã`à�à>á�Ü�ämã`Õ>á�Ö3ßzÞ9ãAá�áFß�å§à�ÖwÝ�Þ�X5Ü}ÔDãAæ`ÖwÝ<Õ�ÖwäwÞtÔ�ÖwÝ�q

4�¸ o�l { ¸�¹ � ù�� ÔDãth õ � � Æ�ö.ÜrX��7]J_`§n¤tú=_ õR� ��� ö � � øX� ³�k^´¡�Hµ¶qt·Ô�Ü}Ò õ � � Æ�ö Þ`ßbâ>Öm× R�Ü�Ý�Ö õ � ö

v�Ó�×�ßbâ>Öm×�ç�Öwßbã*Ü�á�ÝDã`Õ�ÞtÓ>ß,ßbâ>Ü�Ý]Ý�ä�â>ÖmÔÉÖ9ÔDã¤å Õ�ÖwX[Þ>Ó�Ò>ç2Ü}Ò�� s Ù � ÚDÏ~Ò ßbâ�ãAß#RuÞt×*YDP2RuÖ9ã`à�à>á�åcßbâ>ÖwÝ�ÖDß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝ�ß�ÞrãR�Ü�ç�Ör×�ã`Ò>æJÖ9Þ�X�Ü Ô4ãAæ`ÖwÝ�P5Ü}Ò>äwá}Ó>ç�Ü}Ò>æHÝbãAá�ß _Ãã`Ò>ç[_Ãà�Ömà�à�Öm×4æt×�ÖwågÝzämãAá�ÖrÒ>Þ`Ü�Ý�Ö�PPÔ�Ó>á�ß�Ü}à>á�Ü�ämãAßzÜjUJÖ Ò>ÞJÜ�ÝzÖrã`Ò>çÏÄ]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`Ò Ò>Þ`Ü�Ý�Öã`à�à>á�Ü�Öwçcß�Þ9Õ>á}ãAäQY9ã`Ò>ç;R<â>Ü�ß�Ö�P�æt×�Öwå9Ý�ämã*á�Ö�P�ß�ÖQhtßZÓ�×�Öwç�P�ã`Ò>ç¥äwÞ`á�Þt×uÜ}ÔDãAæ`ÖwݤÚ,�¦p, ¹�h0ª2¯�½0«Z²�Î

Ï~Ò¥ßbâ>Ü�Ý8Ý�ÖwäwßzÜ�Þ>Ò2P�RuÖ3à�×�Þ�U>Ü�ç�ÖÉãKXLÖQR ÖQh§ã`Ô4à>á�ÖwÝ]Þ�XPÞtÓ�×�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hße�Þ�R,Ú@�gÖDÕ�Öwæ`Ü}ÒpR�Ü�ßbâcÕ>Ü}Ò�ã`×�å¥Ü}ÔDãAæ`ÖwÝ#R�Ü�ßbâcÒ>Þ`Ü�Ý�Ö`ÚÑ>Ü}Ò>äwÖ~RuÖ�ã`×�ÖÇá�Þ>ÞmYJÜ}Ò>æ3ãAßPÕ>á}ãAäQY�ã`Ò>ç>R<â>Ü�ß�Ö�Ü}ÔDã*æ`ÖwÝ�P�R<â>Öm×�Ö@Æ�äwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�ÝPßzÞ,Õ>á ã*ä(Y�ã`Ò>ç sky�y ß�Þ@R<â>Ü�ß�Ö�P>ßbâ>Öußbâ�×�ÖwÝbâ>Þ`á�çU-ã*á Ó>Ö � øX� ³�k^´¡�Hµ¶qt·4Ü�Ý3ßZã�YAÖmÒgãAÝTÙ s�� e y ×�ã*ßbâ>Öm×8ßbâ�ãJÒ�Æ�Ú¹Ï�Ò�v5Ü�ætÓ�×�Ö u P%R�ÖTãAç�ç Ò>ÞJÜ�ÝzÖ9ß�Þrã¥Õ>á}ãAä(Y ã`Ò>ç�R�â>Ü�ßzÖ9Ü}ÔDãAæJÖDÞ�Xâ�ã`Ò>ç[_�R<×�Ü�ßzß�ÖmÒHäwâ�ã`×�ãAäwßzÖm×�ÝmÚ�V�â>Ö Ò>ÞJÜ�ÝzÖrÜ�ÝÁã*ç�ç�Öwç"ãAÝwXLÞ`á�á�Þ�R�Ý�l8Ù�Æ3º Ò>Þ`Ü�Ý�Ö Ô�ÖmãJÒ>ÝDßbâ�ãAß9ã*ßrÙ�Æ3º�Þ�X8ßbâ>Örà>ÜdhtÖwá�Ý�P�RuÖ×�Ömà>á}ãAäwÖTßbâ>ÖTæ`ÜdU`ÖmÒ�UAãAá}Ó>Ö�R�Ü�ßbâ ãrÒ>Ó�Ô3Õ�Öm×]ä�â>Þ`ÝzÖmÒpR�Ü�ßbâ Ó�Ò>ÜrXLÞt×�Ô�ç�Ü�Ý�ßb×�Ü Õ�Ó>ßzÜ�Þ>ÒHÕ�Öwß RuÖwÖmÒ�Æ¥ã`Ò>ç sky�y Ú�V�â>Ó>Ý�PãßX~Ó>á�áÝbà�Öwäwßb×�Ó�Ô ÞtX¸æt×�ã¤å,Ò>Þ`Ü�Ý�ÖÇÜ�ÝuãAç�ç�ÖwçDß�Þ8ßZâ>Ö�Þt×�Ü�æ`Ü}Ò�ãAá�Õ>Ü}Ò�ã`×�å�Ü}ÔDãAæJÖ�PmV�â>Ö�á�ÖXLß5äwÞ`á}Ó�ÔDÒ4æ`ÜdU`Öußbâ>Ö�Þt×�Ü�æ`Ü}Ò�ãAá[S�æ>Ó�×�ÖFR�Ü�ßbâ�ßZâ>ÖäwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ü}Ò>æ¹à�Öm×�äwÖmÒJßbãAæJÖ<Þ�XPÒ>Þ`Ü�Ý�Ö�l�ßZâ>Ö,×�Ü�ætâ`ßuäwÞ`á}Ó�ÔDÒ¥ã`×�Ö8×�ÖwäwÞtÒ>Ý�ßZ×�Ó>äwß�Öwç�U-ã*á Ó>ÖwݤÚ��gÖ8Ý�ßb×�ÖwÝ�ÝuÞtÒ>äwÖ,ãAætãAÜ}ÒTßbâ�ã*ß�ßZâ>ÖS�ætÓ�×�ÖwÝ8Þ>Ò¹ßbâ>Ö�×�Ü�ætâ`ß8ã`×�Ö�äwÞtÒkU`Öm×�æJÖwç�l�ßbâ>Öwå¹Ýzß�ÞtàrãJÓ>ß�ÞtÔDãAßzÜ�ämã*á�á�å�PFã`Ò>çcäwÞtÒJß�Ü}Ò>Ó>Öwç ãJà�à>á�Ü�ämãAßzÜ�Þ>ÒcÞ�XPßbâ>Ö�Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö,å>Ü�Öwá�ç�ÝÒ>ÞDäwâ�ã`Ò>æ`Ö8Ü}Ò¹ßZâ>Ö3×�ÖwÝbÓ>á�ß�ݤÚ

�ÇÖQh>ß�P%R�Ö¹×�ÖmÔ�Þ�U`ÖTÝbãAá�ß _ÃãJÒ>ç[_Ãà�Ömà�à�Öm×4æt×�ã¤åk_~Ý�ämãAá�Ö¹Ò>Þ`Ü�Ý�Ö>X~×�ÞtÔ�ã¥æt×�Öwåk_~Ý�ämãAá�ÖTÜ}ÔDãAæ`Ö`Ú�o8Ò>äwÖrãAæ>ãAÜ}Ò2P�RuÖÁãAç�çHÒ>Þ`Ü�Ý�Öß�Þ¹ßbâ>Ö®S�ætÓ�×�ÖDÕ`åg×�Ömà>á}ãAäwÜ}Ò>æ)»Oº ÞtXfßZâ>ÖÉà>Üdh>Öwá�Ý:RÇÜ�ßZâgã¹Ò>ÖQR UAãAá}Ó>Ö�Päwâ>Þ`Ý�ÖmÒíXÌ×�Þ>Ô ã¹Ó�Ò>ÜrXLÞt×�Ô�×�ã`Ò>ç�ÞtÔ�ç�Ü�Ý�ßZ×�Ü}Õ�Ó>ß�Ü�ÞtÒÕ�Öwß RuÖwÖmÒ�Æ ãJÒ>ç s�y�y P�o8Ó�×�×�ÖwÝbÓ>á�ß�ÝDã`×�Ö9ÞtÕ>ßZãAÜ}Ò>Öwç ãAÝOX[ÞJá�á�Þ�R�ÝmÚ;�gÖ¹Õ�Öwæ`Ü}Ò�R�Ü�ßbâ ß RuÞ¹á�ÖQUJÖwá�Ý4Þ�X|Ò>Þ`Ü�Ý�Ö�l s�y º�Ò>Þ`Ü�Ý�Ö9Ü}Ò

Ù x

Page 15: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òH½�¾�wú 1À¿ ñAê�ïr�Lì ¼ $3½�ùFì �LîLê�ë~ì�÷

¼ í�½��*1¤ú 1H¿ ñ-êzïr�Lì ¼ ÷�½�ùFì �LîLê�ë~ì�÷

¼ ì�½2�(��ú 1H¿ ñ-êzïr�Lì ¼ )Á½�ùFì �LîLêzë~ì�÷

¼ H½2�1mú 1À¿ ñAê�ïr�Lì ¼ ü3½�ùFì �LîLê�ë~ì�÷v5Ü�ætÓ�×�Ö u q5Ï~ÔDã*æ`Ö|×�ÖwÝ�ß�Þt×�ã*ß�Ü�ÞtÒ�Þ�XWi�Ü}Ò�ã`×�åTÏ~ÔDãAæJÖwÝ,RÇÜ�ßZâ�Ä,×�Öwåk_ÃÑ>ämãAá�Ö,Ñ�ãAá�ß _Ãã`Ò>ç[_ÃØ$Ömà�à�Öm×F��ÞJÜ�ÝzÖfÂ�Ý�Ü}Ò>æw�cÜ}Ò�g��gã�h>v5á�Þ�R.q�uÖwÝ�ßzÞt×�Öwç¹Ýbâ�ã`à�ÖwÝ|ãJ×�Ö@S¸Ò�ãAáFÝbâ�ãJà�Ö,Þ>Õ>ßbãAÜ}Ò>Öwç ãAß � ù K

Ù y

Page 16: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òÀ½�¾� ¿�8êzïr�Lì ¼ $|½�ô�ïöñ3Ã�ô8ò Ä#6>õðê*? ¼ íŽVé�ê�ñmî�ú³ó=Æ>ò�ë�Zì�ë¾ûwîLì�ñ-í�ïöõ

¼ ÷�½2��1H¿�8$ê�ïr�Lì ¼ ìŽjô�ïöñ|Ãzô8ò�Ä#6>õðê*? ¼ )Á½�é�êzñmî�úðóVÆ>ò�ë�Zì�ë'û�îLì�ñ-í�ïöõv5Ü�ætÓ�×�Ö x qa�cÜ Ò�gt� ãth`v5á�Þ�R,Ú~VÇâ>Ö,á�ÖX[ß�äwÞ`á}Ó�ÔDÒcÜ�Ý�ßbâ>Ö,Þ>×�Ü�æ`Ü}Ò�ãAá�R�Ü�ßbârÒ>ÞJÜ�ÝzÖ�P�ßbâ>Ö,äwÖmÒJß�Öm×ÇäwÞ`á}Ó�ÔDÒ¥Ü�Ý8ßZâ>Ö,Ý�ß�Ömã*ç�å�_~Ý�ßZãAß�ÖÞ�X�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�h;e�Þ�R.PFßZâ>ÖÉ×�Ü�æ>â`ß]äwÞ`á}Ó�ÔDÒgÜ�Ý]ßbâ>ÖDäwÞtÒJß�Ü}ÒtÓ�ã*ß�Ü�ÞtÒcß�Þ¹Ý�ßzÖmãAç�å�_~ÝzßbãAß�Ö�Þ�Xußbâ>Ö9Ô�Ü}Ò�g`ÔDãth�e�Þ�R Ó>Ý�Ü}Ò>ægãTá}ã`×�æ`Öm×Ý�ß�ÖmÒ>äwÜ�á

v5Ü�ætÓ�×�Ö x ã¹ã`Ò>ç y Æ3º�Ò>Þ`Ü�Ý�Ö9Ü}Òâv5Ü�ætÓ�×�Ö x çFÚ��gÖwS¸×�Ý�ß�Ó>Ý�ÖTßbâ>ÖÁÔÉÜ Ò�gJÔDã�h;e�Þ�R�X~×�ÞtÔ%Ífc§Ò�Ú � Ó�Ò`ß�Ü�á�ã¹Ýzß�ÖmãAç�åk_~Ý�ßbãAß�Ö�Ü�Ý×�ÖmãAäwâ>ÖwçgÜ}Ò ÖmãAä�â ämãAÝ�Ö�P õ v5Ü�æ>Ó�×�Ö x Õgã`Ò>ç�v5Ü�ætÓ�×�Ö x Ö�öwÚ>V�â>Ü�ÝD×�ÖmÔ�Þ�U`ÖwÝ,ÔÉÞ`Ý�ß8Þ�Xußbâ>Ö9Ò>Þ`Ü�Ý�Ö`ÚK�gÖDßbâ>ÖmÒcäwÞ>Ò`ß�Ü}Ò>Ó>Ö`RÇÜ�ßZâãTá}ã`×�æ`Öm×ÇÝ�ß�ÖmÒ>äwÜ�áfX[Þt×Çßbâ>Ö�ßbâ�×�ÖwÝZâ>Þ`á�çgß�Þ¹×�ÖmÔ�Þ�U`Ö#X~Ó�×�ßbâ>Öm×8Ò>ÞJÜ�ÝzÖ õ v5Ü�ætÓ�×�Ö x ä�ã`Ò>ç�v5Ü�ætÓ�×�Ö x X(ö�Ú~v�Þt×Çßbâ>Ö�á ãJ×�æ`Öm×�Ý�ß�ÖmÒ>äwÜ�á�PRuÖ,äwÞtÔ4à�Ó>ß�Ö�ßbâ>Ö3ã�U`Öm×�ã*æ`Ö<�7]J_`§�¤�ú=_ õR� ��� ö�Þ�UJÖm×�ãTá}ã`×�æ`Öm×Çç�Ü�Ý�Y�PFãJÒ>ç äwÞ>ÔDà�Ó>ß�Ö�ßbâ>Ö,ßZâ�×�ÖwÝbâ>Þ`á�çpU-ãAá}Ó>Ö � øX� ³�k^´¡�Hµ¶qt·�Ó>Ý�Ü}Ò>æã�äwÞt×z×�ÖwÝbà�Þ>Ò>ç�Ü Ò>æJá�å¥á�ÞtÒ>æ`Öm×ußbãJÒ>æ`ÖmÒ`ß�U`Öwäwß�Þt×wÚ

�ÇÖQh>ß�P�RuÖ�Ý�ßbÓ>ç�åDßbâ>ÖÇÖbjÖwäwßuÞ�XFÞtÓ�×uÔ�Ü}Ò�g`Ô4ã�hDÝ�äwâ>ÖmÔ�Ö�ÞtÒ9Ô�Ó>á�ß�Ü}à>á�Ü�ämãAß�ÜdU`Ö3Ò>ÞJÜ�ÝzÖ|ãAç�ç�Öwç¹ßzÞ3ã8æ>×�Öwå�_~ÝzämãAá�Ö8Ü Ô4ãAæ`Ö`Ú5Ï~Òv5Ü�ætÓ�×�Ö y RuÖ8Ýbâ>Þ�R�ßZâ>Ö,×�ÖwäwÞtÒ>Ý�ßb×zÓ>äwß�Ü�ÞtÒ¹Þ�X5ã`Ò¹Ü}ÔDãAæJÖ#R�Ü�ßbâcÙ y º Ô�Ó>á�ß�Ü}à>á�Ü�ämãAß�ÜdU`ÖDÒ>Þ`Ü�Ý�Ö`Ú

v5Ü}Ò�ãAá�á�å�P5ãAÝ8ÞtÓ�תá ã*Ý�ß8ÖQh§ãJÔDà>á�Ö9Ü}Òcßbâ>Ü�Ý]Ý�Öwäwß�Ü�ÞtÒ2P%RuÖÉã*ç�ç Ù�Æ�Æ3º Ä]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`Ò¥æt×�Öwå�_~Ý�ämã*á�Ö¹Ò>Þ`Ü�Ý�Ö�l$ßbâ�ãAß8Ü�Ý�P$ã¹×�ã`Ò>ç�ÞtÔäwÞtÔDà�ÞtÒ>ÖmÒJß<ç�×�ã�R<Ò�XÌ×�ÞtÔ ã�Ä,ã`Ó>Ý�ÝzÜ ãJÒ¹ç�Ü�Ý�ßb×�Ü}Õ�Ó>ß�Ü�ÞtÒnR�Ü�ßbârÔ�ÖmãJÒ��wÖm×�ÞTÜ�Ý,ãAç�ç�Öwçrß�ÞTÖmãAäwâ õ ÖQUJÖm×�å�öÇà>Üjh>ÖwáLÚ8Ï~Ò;v5Ü�ætÓ�×�Ö {

Ù {

Page 17: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òH½Fÿ��uò�Zì�?�ïðîsü.8$ê�ïr�Lì ¼ $|½�ô�ïöñ3Ã�ô8ò ÄAó 6>ïöñAò�õv5Ü�æ>Ó�×�Ö y q��cÜ}Ò�g��gã�h>v5á�Þ�R | à�à>á�Ü�ÖwçgßzÞ:�gÓ>á�ß�Ü}à>á�Ü�ämãAß�ÜdU`Ö`�ÇÞ`Ü�Ý�Ö

RuÖ8Ýbâ>Þ�R�ßbâ>Ö8Þt×�Ü�æJÜ Ò�ã*á�R�Ü�ßbârÒ>ÞJÜ�ÝzÖ,ß�Þ`æJÖwßbâ>Öm×9R�Ü�ßbâTßbâ>Ö3×�ÖwäwÞtÒ>Ý�ßb×�Ó>äwßzÖwçrÔ�Ü}Ò�g`ÔDã�hKe�Þ�R�Ü}ÔDãAæ`Ö`Ú

Ç �@E2�F�~¡ÃBNB��È���O�ÊÉ`¡�Ë\¡�EN¡9L%ENM*HOC �@C.IÍÌ�¡0L�H9¢~¡�G@ÎÄ8ÜdU`ÖmÒ ã`Ò¥Ü Ô4ãAæ`Ö�P�ßbâ>ÖDæJÞtãAá$Ü Ò ßbâ>Ü�Ý8Ý�Öwäwß�Ü�ÞtÒcÜ�Ý,ßzÞ9ç�Öwß�Öwäwß�ã`Ò>çg×�ÖwäwÞ�U`Öm×�ßbâ>Ö�Ýbâ�ã`à�ÖwÝ,Þ�XuÜ}Ò`ß�Öm×�ÖwÝ�ß8Ü}ÒcÝbÓ>äwâgã>R�ã¤årßZâ�ãAßßbâ>ÖD×�Ömà�×�ÖwÝzÖmÒ`ßbã*ß�Ü�ÞtÒ¹Þ�XPßZâ>Þ`Ý�Ö,ÝZâ�ã`à�ÖwÝ8Ü�Ý,ã`Ô�ÖmÒ�ãJÕ>á�Ö4ß�Þ>X~Ó�×�ßbâ>Öm×Çßb×�Ömã*ßbÔ�ÖmÒJß�P�ÝbÓ>äwâcãAÝ<Ü}ÒcÔ�ÖmãAÝZÓ�×�Ü}Ò>æ¹ä�â�ã`Ò>æJÖwÝ8Ü Òcã`×�Ömã�PU`Þ`á}Ó�Ô�Ö�P�Ö`ÚößmÚöä`Ú

VÇâ>Ö3á�ÖQU`Öwá5ÝzÖwß8ß�Öwä�â�Ò>Üdc�Ó>ÖwXLÞt×�ÝZâ�ã`à�Ö9×�ÖwäwÞ�UJÖm×�å¹Ü�Ý3Ô�Þ`ßzÜjUAãAß�ÖwçgÕJårßbâ>ÖDãAäwß�ÜdU`Ö�äwÞtÒJß�ÞtÓ�×�gAÝbÒ�ã�YAÖ�ã`à�à�×�Þtã*ä�â ß�Þ9ÝZâ�ã`à�Ö×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å`ÚHÏ�Ò Þt×�ç�Öm×�ß�ÞcÖQh�à>á}ãAÜ}ÒHßbâ>ÖrÔDã*ßbâ>ÖmÔDãAß�Ü�äwÝ9ãJÒ>ç ÒtÓ�Ô�Öm×�Ü�äwÝTÞ�X<Þ>Ó�×Dã`à�à�×�Þtã*ä�â2P�RuÖr×�ÖwßZÓ�×�Ò ß�Þcßbâ>Ö¹á�ÖQU`Öwá�Ý�ÖwßÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ�XLÞt×uã`ÒTÜ}ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖ3à�×�Þ>à�ãAætãAß�Ü}Ò>æwR�Ü�ßbâ Ýbà�ÖwÖwç)4wP¸Ò�ã`ÔÉÖwá�å

P ø Y�4 üþý P ü ù�Æ õ Û�öP õR� �� ù°Æ�öÃú\[^]J_`? õ Ù�Æ�ö

�ÇÞ�R�äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×8ã4Ýbà�ÖwÖwç;X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒ¥Þ�X5ßbâ>Ö^X[Þt×zÔ Ù%D5ÏU��P2R<â>Öm×�Ö>Ï�Ü�Ý|ã4äwÞtÒ>Ý�ßbãJÒ`ßmÚ | Ò¹ÖQUJÞ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ¥ÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò�XLÞt×�ßZâ>ÖämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö>��P�Ý�ÖwÖ>� u�y7� P>Ü�Ý�æ`ÜdU`ÖmÒ¥Õ`å ��ø}ù#Ï��=Ð3Ð;YZÏU�VÑ�DO� : õ ÙJÙ�öR<â>Öm×�Ö@RuÖ<â�ã�U`Ö�ßbãkYAÖmÒ]ßbâ>Ö<ÝzÖwäwÞtÒ>ç9ç�Öm×�ÜjUAãAß�ÜdU`Ö�Þ�XFßbâ>Ö�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö;��R�Ü�ßbâD×�ÖwÝbà�Öwäwßuß�Þ�ã`×�äwá�ÖmÒ>æ`ßbâFÒ�Ú0V�â>Ü�ÝuÜ�Ý�ã,×�ÖmãAäwßzÜ�Þ>Òk_ç�ÜTbÓ>Ý�Ü�ÞtÒHÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ2lußbâ>Ö¥ç�×�ÜdU`Ö¹ß�Þ�R�ã`×�çgÝzÜ Ò>æ>Ó>á ãJ×�Ü�ß�Ü�Öwݹç�Ó>Örß�Þcßbâ>Ör×�Ömã*äwß�Ü�ÞtÒ ß�Öm×�Ô õ Ï�� Ñ D�� : ö]Ü�ݹÕ�ãAá}ã`Ò>äwÖwç"ÕJå2ßZâ>Ö

Ù �

Page 18: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òÀ½�+VëLïrzïöñ-òzõ�ïr�uòbì9?�ïðîsüfÓ$ò*"����sïðò�ñw8êzïr�Lì

¼ $3½�ùFì�í�ê�ñ��Lîsë�"-í�îLì�÷,ô�ïöñ3Ã�ô8ò Ä~6>õðê�?v5Ü�ætÓ�×�Ö { q5ÐuÞtÒJß�Ü}Ò>Ó>ÞtÓ>Ý~Ä,ãJÓ>Ý�Ý�Ü}ã`Ò��ÇÞ`Ü�Ý�Ö,ãAç�ç�Öwç¥ß�Þ9Ï�ÔDãAæ`Ö

Ù �

Page 19: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ8ÖbFÖwäwß5Þ�X�ßbâ>Öuç�ÜrbÓ>Ý�Ü�ÞtÒÉß�Öm×�Ô õ Ï�� Ð3Ð öwÚ5Ï~Ò>ç�ÖwÖwç�P[R�Ü�ßbâ>Ï0ù�ÆËP�R�Ö�â�ã�U`Öuã8à�Ó�×�Ö<×�ÖmãAäwßzÜ�Þ>Ò,ÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒÔ� ø ù0D%� : ÚÏ~ÒTßZâ>Ü�ÝÇämãAÝ�Ö�P>ßbâ>Ö8Ý�Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒTÜ�Ý�� õ « �U ö�ù�� õ « � Æ�ö�b õ Ù�Y � õ « � Æ�ö*öP[R<â>Ü�ä�â Ü�Ý�Ý�Ü}Ò>ætÓ>á}ã`×uÜ}ÒKS¸Ò>Ü�ß�Ö ÜTX¾ßbâ>Ö�Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAáämÓ�×�U-ãAßbÓ�×�ÖÜ�Ý|ãJÒ`å[R<â>Öm×�Ö,Ò>Öwætã*ß�ÜdU`Ö`Ú0V�â>Ó>Ý�P�äwÞt×zÒ>Öm×�Ý�ämã`ÒKXLÞt×�Ô:Ü}Ò¹ßbâ>Ö�Ô�Þ�UtÜ}Ò>æDämÓ�×�U`Ö#R<â>ÖmÒ�Ï9ù�Æ�Ú

v�Þt×%Ïaù�Æ�P�ßZâ>Ö#X~×�ÞtÒJß�ç�ÖQU`Öwá�Þtà>Ý,ã4Ýbâ�ã`×�à äwÞt×�Ò>Öm×ÇÜ ÒßS¸Ò>Ü�ß�Ö�ß�Ü}Ô�Ö�ãAÝ<ç�Ü�Ý�ämÓ>ÝzÝ�Öwçgã`Õ�Þ�U`Ö`Ú�Ï�ÒræJÖmÒ>Öm×�ãAá�P�Ü�ß�Ü�Ý,Ò>Þ`ß�äwá�Ömã`×â>Þ�R ß�Þ¥äwÞtÒ>Ý�ßb×zÓ>äwß,ßbâ>Ö¹Ò>Þt×�ÔDã*á�ãAß]ßbâ>ÖDäwÞt×�Ò>Öm×�ã`Ò>ç äwÞtÒJß�Ü}ÒtÓ>ÖTßbâ>ÖTÖQU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ2P5ÝzÜ Ò>äwÖ¹ßZâ>ÖDç�Öm×�ÜdU-ãAßzÜjUJÖ¹Ü�ÝDÒ>Þ`ß�ç�ÖS¸Ò>Öwçßbâ>Öm×�Ö`Ú9o8Ò>Ö,à�Þ`Ý�ÝzÜ Õ>Ü�á�Ü�ß�årÜ�Ý�ßbâ>ÖaE�Ý*R�ãAá�á�Þ�R�ßbãAÜ�á�G�Ý�Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ�XLÞt×�ÔÉÖwçÁÕJåDá�Öwß�ß�Ü}Ò>æDßbâ>Ö@X~×�ÞtÒJß�à�ã*Ý�Ý�ßbâ�×�Þ>Ó>ætâDÜ�ß�ÝzÖwárX�Ú0ÇÇÞ�R�ÖQUJÖm×QPX~×�ÞtÔ�ã¥æ`ÖwÞtÔ�Öwßb×�Ü�ämã*á<ã`×�ætÓ�ÔÉÖmÒ`ß�Ü�ßDÝ�ÖwÖmÔ�Ý�äwá�Ömã`×4ßbâ�ãAß�ßbâ>Ö�X~×�ÞtÒJß3ãAß4ß�Ü}Ô�Ö Ýbâ>Þ>Ó>á�ç äwÞtÒ>Ý�Ü�Ý�ßDÞtX<ÞtÒ>á�å2ßZâ>Ö¹Ý�ÖwßDÞ�X|ã*á�áà�ÞJÜ ÒJß�Ýuá�Þtämã*ß�ÖwçÁã�ç�Ü�Ý�ßZã`Ò>äwÖ X~×�ÞtÔ ßbâ>Ö�Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�ämÓ�× U`Ö`Ú õ V�â>Ü�ÝPÜ�ÝFYtÒ>Þ�R<ÒDã*ÝPßbâ>Ö~Ç�Ó>å>ætâ>ÖmÒ>Ý�à�×�Ü}Ò>äwÜ à>á�Ö]äwÞtÒ>Ý�ßb×�Ó>äwßzÜ�Þ>Ò2PtÝzÖwÖ� u�y7� ö�ÚW�fÞtÓ>ætâ>á�å¹Ýbà�ÖmãkY`Ü}Ò>æ�PDRuÖ#RfãJÒ`ßuß�Þ9×�ÖmÔ�Þ�U`Ö<ßZâ>ÖBE�ßbãAÜ�á�GwX~×�ÞtÔ!ßbâ>ÖBEzÝ*R�ãAá�á�Þ�R�ßZãAÜ�áÕG�Ú | Ò>ÞJßbâ>Öm×aR�ã¤åDß�ÞDäwâ�ã`×�ãAäwßzÖm×�Üd�wÖßbâ>Ü�Ý.RuÖmã�YTÝzÞ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒcÜ�Ý8ßbâ�×�ÞtÓ>æ>ârßZâ>Ö.XLÞ`á�á�Þ�R�Ü}Ò>æÖE�ÖmÒJßb×�ÞtàJå¹äwÞtÒ>ç�Ü�ß�Ü�ÞtÒ£Gcà�Þ`Ý�Öwç Õ`åcÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò õ Ý�ÖwÖ�� ukyQ� öQq<Ï5X�ßbâ>Ö^X~×�ÞtÒJß<Ü�ÝU>Ü�ÖQRuÖwçrãAÝ�ã�Õ�Ó�×�Ò>Ü}Ò>æKe¸ã`Ô�Ö�P>ßbâ>ÖmÒ)×3ØÙ���Ú7ÛÜÚ3� �R�pÙ Ý��>�rÞfßHà£��Ø�x�X�áÞÀ�RÚ­â ÞfßHà£� Ø=�LÚPÐ�ãJ×�ÖXÌÓ>áFãAç�â>Öm×�ÖmÒ>äwÖ8ß�Þ�ßbâ>Ü�Ý�Ý�ß�Ü}à�Ó>á}ãAß�Ü�ÞtÒà�×�Þ>ç�Ó>äwÖwÝ<ßZâ>Ö:Ç�Ó>åtætâ>ÖmÒ>Ý8à�×�Ü}Ò>äwÜ}à>á�ÖDäwÞtÒ>Ý�ßb×zÓ>äwß�Ü�ÞtÒ�Ú�v¸Ó�×�ßbâ>Öm×�Ô�Þt×�Ö�P�ßbâ>Ü�Ý<à�âJåtÝ�Ü�ämãAá�á�å ×�ÖmãAÝ�ÞtÒ�ã`Õ>á�Ö^R�ÖmãkYDÝ�ÞJá Ó>ßzÜ�Þ>Ò¹Ü�Ý<ßZâ>ÖXLÞt×�ÔDãAá�á�Ü ÔÉÜ�ßÇÞ�Xßbâ>Ö�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ4Ý�Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ>Ý�ÏÊã�Æ�ãAÝPßZâ>Ö<ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö8ßzÖm×�Ô¼U-ã`Ò>Ü�Ýbâ>ÖwÝ�P õ Ý�ÖwÖw� u�y7� öwÚ5Í�h>ß�ÖmÒ>Ý�ÜdU`Ö8ç�Ü�Ý�ämÓ>ÝzÝ�Ü�ÞtÒTÞ�Xßbâ>Ö,×�ÞJá�Ö]Þ�X5Ýbâ>ÞtäQYJÝ<ã`Ò>çr×�ã`×�ÖXÌãAäwßzÜ�Þ>Ò>Ý�Ü}Òrà�×�Þtà�ã*ætãAß�Ü}Ò>æwX~×�ÞtÒJß�Ý�ÔDã¤å9Õ�ÖOX[Þ>Ó�Ò>çrÜ}Ò�� utx�� Ú

�cÞ`ßzÜjUAãAß�Öwç¹Õ`å4ßbâ>Ö|ãJÕ�Þ�U`Ö�ç�Ü�Ý�ämÓ>Ý�ÝzÜ�Þ>Ò2P�Ü}Òp� s�y7� ßbâ>Ü�Ý9X[Þ>×�Ô�Ó>á ã*ß�Ü�ÞtÒ>R�ãAÝuã`à�à>á�Ü�Öwçrß�Þ�Ýbâ�ã`à�Ö|×�ÖwäwÞ�UJÖm×�å`Ú�v5Ü}×�Ý�ß�PkRuÖ<Ýbà>á�Ü�ßßbâ>Ö�Ü}Òke¸Ó>ÖmÒ>äwÖ3ÞtXßbâ>Ö�Ýbà�ÖwÖwçßXÌÓ�Ò>äwß�Ü�ÞtÒTÜ}ÒJß�Þ�ß R�Þ�à�ã`×�ß�Ý%4�ù#4�ä�Y24�åuÚ0VÇâ>Ö<ß�Öm×zÔæ4�ägÜ�Ý�ßbâ>Ö,ã*ç�U`Öwäwß�Ü�ÞtÒ4ß�Öm×�Ô:ämã`Ó>Ý�Ü}Ò>æßbâ>Ö�X~×�ÞtÒJßDß�ÞgÓ�Ò>ÜTX[Þ>×�Ô�á�å ÖQh�à�ã`Ò>ç Þ>×,äwÞ>Ò`ßb×zãAäwß>R�Ü�ßbâ Ýbà�ÖwÖwç�4�ä ç�Ömà�ÖmÒ>ç�Ü}Ò>æHÞtÒ Ü�ßzÝDÝ�Ü�ætÒ ãJÒ>çHÜ�ݹã`Ò�ãAá�Þ`æJÞtÓ>ÝDß�ÞgßZâ>ÖÜ}Òke¸ãAß�Ü�ÞtÒ�X[Þt×�äwÖ8ç�ÖS¸Ò>ÖwçrÜ}Ò��}Ù uQ� ÚWVÇâ>Ö8Ý�ÖwäwÞtÒ>çrßzÖm×�Ôç4�åaP>Ü�Ý<ßZâ>Ö,à�ã`×�ßaR<â>Ü�ä�â ç�Ömà�ÖmÒ>ç�Ý�ÞtÒTßbâ>Ö8æ`ÖwÞ>Ô�Öwßb×�åDÞtXßbâ>Ö@X~×�ÞtÒJß�PÝbÓ>äwâgãAÝ8Ü�ß�Ý]á�Þ>ämãAá�ämÓ�× U-ãAßZÓ�×�Ö`Ú>V�â>Ü�Ý õ ç�ÜTbVÓ>ÝzÜ�Þ>Ò�ö8ß�Öm×�Ô�ÝZÔ�ÞtÞJßbâ>Ý8ÞtÓ>ß8ßbâ>Ö9â>Ü�ætâ ämÓ�× U-ãAßZÓ�×�Ö9×�Öwæ`Ü�ÞtÒ>Ý]Þ�X�ßZâ>ÖwXÌ×�ÞtÒ`ß,ãJÒ>çâ�ãAÝ�ßbâ>Ö�Ýbã`ÔÉÖ<×�ÖwætÓ>á}ã`×�Üd�wÜ}Ò>æ�ÖbFÖwäwßPÞtÒ�ßZâ>ÖaXÌ×�ÞtÒ`ßPã*Ý5ßbâ>Ö<Ü}ÒJß�Öm×�Ò�ãAá�ç�ÖXLÞt×�Ô4ãAß�Ü�ÞtÒ�ÖmÒ>Öm×�æJå3ßzÖm×�Ô Ü}Ò�ßbâ>Ü}Òk_Ãà>á}ãAß�Ö_ÃÔÉÖmÔ3Õ�×zã`Ò>ÖÝbà>á�Ü}Ò>ÖwÝ>�}ÙmÛ � Ú

o8Ó�×�æ`Þ>ãAá�Ò>Þ�R"Ü�Ýuß�Þ�ç�ÖS¸Ò>Ö,ã8ÝZà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒKXÌ×�ÞtÔ ßbâ>Ö�Ü}ÔDãAæ`Ö�ç�ãAßbãªßbâ�ãAß�ämã`Ò9Õ�Ö,ã`à�à>á�Ü�Öwçrß�Þ]ßbâ>Ü�ÝfÔÉÞ`ß�Ü�ÞtÒ4ß�Þ3ãAäwßãAÝ<ã4â�ãAá�ß�Ü}Ò>æ9äm×�Ü�ß�Öm×�Ü�Þ>Ò�Ú��gÖ3Ô�Ó>á�ß�Ü}à>á�årßbâ>Ö,ãJÕ�Þ�U`Ö8Ýbà�ÖwÖwç�X~Ó�Ò>äwß�Ü�ÞtÒrÕJå9ßZâ>Ö8ß�Öm×�Ô�q

� � õR� ��� ö}ù ÙÙ`Y ü�ýwÿfè�� ÷ õ�� ��� ö ü � õ Ù s ö

R<â>Öm×�Ö�ßbâ>ÖPÖQh�à�×�ÖwÝ�ÝzÜ�Þ>Ò ÿ�è=� ÷�ç�ÖmÒ>Þ`ß�ÖwÝ$ßbâ>Ö�Ü Ô4ãAæ`ÖPäwÞ>Ò�U`ÞJájUJÖwç.R�Ü�ßbâ]ã~Ä]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`ÒªÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æaS�á�ß�Öm×%R<â>Þ`ÝzÖPäwâ�ã`×�ãAäwß�Öm×�Ü�Ýzß�Ü�äR�Ü�ç�ßbâTÜ�Ý;é5Ú5Ï~ÒKX~ãAäwß�P>ÞtÒ>Ö,Ô�Ó>Ý�ß<Õ�Ö,ã3Õ>Ü�ß�ämã`×�ÖX~Ó>á2R�Ü�ßbâ¹Í�c�Ò�Ú}Ù s P>Ý�Ü}Ò>äwÖ]Ü�ßÇß�Öwä�â�Ò>Ü�ämãAá�á�å â�ã*Ý<Ô�Ömã`Ò>Ü}Ò>æDÞtÒ>á�åTÞtÒTßbâ>Ö#�wÖm×�Þá�ÖQU`Öwá$Ý�ÖwßuÞ�XáP%l�Ü�Ý�ÝZÓ>ÖwÝ|ã`Õ�ÞtÓ>ß�ÖQh>ß�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒßU`Öwá�ÞtäwÜ�ß�Ü�ÖwÝ,ã`Ò>çßXÌãAÝzßfÒ�ãJ×�×�Þ�R�Õ�ã`Ò>çrß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝ8ÔDã¤å¹Õ�Ö@XLÞtÓ�Ò>çrÜ}Ò�� s�y7� Ú

ÙmÛ

Page 20: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

| Ý�ã]ç�ÖmÔ�Þ>Ò>Ý�ßb×�ãAßzÜ�Þ>Ò2P�RuÖ�Ýbâ>Þ�R ßZâ>Ö|×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å3ÞtX¾âtÓ�Ô4ã`Ò�ßbâ>Ü�ætâ>Ý�ãAá�ÞtÒ>æwR�Ü�ßbâ4ßbâ>Ö�ßbâ>Ü�ætâ9Õ�ÞtÒ>Ö8Ü}Ò9ãªÝ�Ü}Ò>æ`á�Ö8ämãAá�ämÓ>á}ã�_ß�Ü�ÞtÒ�Ú%v5Ü�ætÓ�×�Ö � õ ã�öVç�Ömà>Ü�äwß�Ý�ã8Ý�Ü}Ò>æ`á�Ö�Ý�á�Ü�äwÖ@XÌ×�Þ>Ô ã8ÐFV õ äwÞ>ÔDà�Ó>ß�ÖwçDß�Þ>Ô�Þ`æt×�ãJà�â`å�öFÜ}ÔDã*æ`Ö�Þ�Xâ>Ó�ÔDã`Ò�ßbâ>Ü�ætâ>ݤÚWVÇâ>Ü�ÝuÜ�Ý�ãJÒÖQh�ã`ÔDà>á�Ö�Þ�XFã`Ò]Ü Ô4ãAæ`ÖuäwÞtÒJßbãAÜ}Ò>Ü}Ò>æ,Ý�ÖQU`Öm×zãAátÝZâ�ã`à�ÖwÝ�Þ�X¸Ü}ÒJß�Öm×�ÖwÝ�ß�lkRuÖ�×�ÖwäwÞ�U`Öm×5ãAá�á�Þ�X�ßbâ>ÖmÔ ÕJå,ÖQh�à>á�ÞJÜ�ßzÜ Ò>æ�ßbâ>Öuß�Þ>à�Þ`á�Þ`æ`Ü�ämãAáãAç�ã`à>ßZã`Õ>Ü�á�Ü�ß�å�Þ�X¸Þ>Ó�×$Ý�ä�â>ÖmÔÉÖ`Ú | XLß�Öm×$Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�Üd�mãAß�Ü�ÞtÒTÜ}Ò^S�ætÓ�×�Ö � õ ã�öQP¤ßbâ>ÖaX~×�ÞtÒJß%R<â>Ü�ä�â�äwÞ>Ò>Ý�Ü�Ý�ß�ÝPÞtX¸ß RuÞ<Ý�Ömà�ãJ×�ãAß�Ö�à�ã`×�ßzÝÜ�ÝÔDãAç�Ö�ß�ÞDà�×�Þtà�ã*ætãAß�Ö�Ü}ÒTßbâ>Ö8Ò>Þt×�Ô4ãAá�ç�Ü ×�Öwäwß�Ü�ÞtÒ�R�Ü�ßbâTÝbà�ÖwÖwç�4�ù Ù�D2erÆ�Ù �VÚ}� Ö<ÖmÔDà>á�ÞAåTßbâ>Ö|Ò�ãJ×�×�Þ�Ra_ÃÕ�ã`Ò>ç¹ãAá�æ`Þt×�Ü�ßbâ�ÔR�Ü�ßbâ¹ãDÕ�ãJÒ>ç�R�Ü�ç�ßbâTÞ�X�ê~ù�Æ\erÆ { ß�ÞDÔ�Þ�U`Ö�ßbâ>Ö@XÌ×�ÞtÒ`ߤھÏÌß�ämã`Ò¹Õ�Ö8Ý�ÖwÖmÒ¹ßbâ�ã*ß�Ü}ÒTÝbÓ�Õ>ÝzÖQc§Ó>ÖmÒJßFX~×�ã`ÔÉÖwÝ�ßZâ>Ö@XÌ×�Þ>Ò`ßuÖQU`Þ`ádU`ÖwÝÜ}Ò`ßzÞrßbâ>ÖDÝZâ�ã`à�ÖwÝ�PfR<×�ã`à>Ý8Ü�ß�Ý�ÖwáTX|ãJ×�ÞtÓ�Ò>ç ßbâ>Ö9Õ�Þ>Ò>Ö õ ÝzÖwÖ>v5Ü�æ�Ú � õ ç�ö*öQP�ÝZà>á�Ü�ß�Ý4Ü Òâv5Ü�æ�Ú � õ Ö�öQPãJÒ>ç�S¸Ò�ãAá�á�å2×�ÖwäwÞ>Ò>Ý�ßb×�Ó>äwß�ÝÕ�ÞJßbâDßZâ>Ü�æ>â>ÝfãJÒ>ç9ßbâ>Ö�ÞtÓ>ß�á�Ü}Ò>Ö8Þ�XÕ�Þ>Ò>ÖwÝ�Ü}Ò>Ý�Ü�ç�Ö õ Ý�ÖwÖFv5Ü�æ�Ú � õ X(ö*öwÚFÐÇãAá�ämÓ>á ã*ß�Ü�ÞtÒ>ÝFRuÖm×�Ö�ämã`×z×�Ü�Öwç¹ÞtÓ>ßPÞtÒTãDÙ s��7ë Ù s�� æ>×�Ü�çã`Ò>çrã�ßzÜ ÔÉÖ,Ý�ß�ÖmàBì ù�Æ\erÆ�Æ�Æ y R�ãAÝ<Ó>Ý�ÖwçFÚí î�Hï�ðÉw�aG�M*£2H#Cñ*�M E��óò°E��.¡�G�";¡0L �wC.M�ô^J.¡0£¼�@C.Iõî HOJfÉ<(�MC.�Ï~Ò ßbâ>Ü�Ý,Ý�Öwäwß�Ü�ÞtÒ2P'RuÖ3ÖQh�ã`Ô�Ü}Ò>ÖDßZâ>ÖÉà�Öm×ZXLÞt×�ÔDã`Ò>äwÖ4Þ�X�ÞtÓ�×8ÔÉÜ Ò�gJÔDã�h�e�Þ�R ãAæ>ãAÜ}Ò>Ý�ß8Ý�ÞtÔ�Ö�Ý�ßZã`Ò>ç�ã`×�çgÒ>Þt×�ÔÉÝmÚ#�gÖDßZâ>ÖmÒXLÞ`á�á�Þ�R!Õ`å¥ç�ÖwßbãAÜ�á�Ü Ò>æcßbâ>ÖTÔ�Öwä�â�ãJÒ>Ü�ÝZÔ ßbâ�ãAß8äwÞ>Ò�Ò>Öwäwß�Ý,ÞtÓ�×]Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hße�Þ�R ß�Þ¹ÞtÓ�×8ÝZâ�ã`à�Ö9×�ÖwäwÞ�UJÖm×�årß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>ÖwÝ�P¾ãJÒ>çßbâ>ÖmÒ�X[Þ`á�á�Þ�R�R�Ü�ßbâTÖQh>ß�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ>Ý�Þ�X5ÞtÓ�×�Õ�ãAÝ�Ü�ä�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hKe�Þ�R ã`Ò>ç¹Ýbâ�ã`à�Ö3×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å9ß�Öwäwâ�Ò>Üdc§Ó>Ö]ß�Þ9×�Öwá}ãAßzÖwç�R�Þ>×*Y�Úö}¦Z§ ¹w»�±%²5÷�²Ë´�²�º[´�¶�©�·�gÖ8Õ�Öwæ`Ü}ÒßR�Ü�ßbâ9ãJÒTÖQh§ã`ÔÉÜ Ò�ã*ß�Ü�ÞtÒDÞtXßbâ>Ö�Öwç�æ`Ö8á�ÞtämãAá�Üd�mãAß�Ü�ÞtÒ ämã`à�ã`Õ>Ü�á�Ü�ß�Ü�ÖwÝ8Þ�XÞtÓ�×uÔ�Ü}Ò�g`ÔDãthDÝ�äwâ>ÖmÔ�Ö`ÚPÏLßuÜ�Ý<ã]äwÞtÔDÔÉÞtÔà�×�ãAäwßzÜ�äwÖ¥ß�ÞgäwÞtÒkU`Þ`ádU`Öcãcæ`ÜdU`ÖmÒ Ü}ÔDãAæ`Ö�RÇÜ�ßZâ ã ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æpS�á�ß�Öm×¹Õ�ÖXLÞt×�Ö¥Öwç�æ`Örç�ÖwßzÖwäwß�Ü�ÞtÒ�Ú�V�â>Ü�Ý`RÇÜ�á�á8à�×�ÖQU`ÖmÒJß9ßZâ>Öç�Öwß�Öwäwß�Ü�ÞtÒ4Þ�X2X~ãAá�Ý�Ö�Öwç�æ`ÖwÝuç�Ó>Ö�ß�Þ�Ò>Þ`Ü�Ý�Ö`Ú | Ý�ã`ÒÉÖQh§ã`Ô4à>á�Ö�äwÞtÒ>Ý�Ü�ç�Öm×�ßbâ>Ö<Ð�VHÜ}ÔDãAæ`ÖÇÝbâ>Þ�R<Ò�Ü}Ò>v5Ü�æ�Ú � õ ã�öwÚÏ�Ò>v5Ü�æ�Ú � õ Õ�öQPRuÖ8Ýbâ>Þ�R�ßbâ>Ö]äwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ü}Ò>æ¹Öwç�æ`Ö3Ô4ã`àTÞtÕ>ßbãAÜ}Ò>ÖwçcÕ`årÔDãJ×*Y`Ü}Ò>æTßbâ>Ö,à�ÞJÜ ÒJß�Ý8ãAßFR<â>Ü�äwâ¥ßbâ>Ö,Ý�ÖwäwÞ>Ò>çrç�Öm×�ÜdU-ã*ß�ÜdU`Ö�Þ�X¾ßZâ>ÖÜ}ÔDãAæ`Ö�äwâ�ã`Ò>æ`ÖwÝ8Ý�Ü�ætÒ2l$Ü�ß8Ü�Ý,äwá�Ömã`×ÈXÌ×�Þ>Ô ßbâ>Ü�ÝOS�ætÓ�×�Ö�ßbâ�ãAß8ßbâ>Ö�Öwç�æ`ÖDÔDãJàrÜ�Ý]äwÞt×�×�Ó�à>ß�ÖwçpR�Ü�ßbâ ß�ÞtÞ¹ÔDã`ÒJå Ò>ÞJÜ�ÝzÖ_~Öwç�æ`ÖwÝmÚ�ÇÖQhtß�P[RuÖ<×�Ó�Ò4ßbâ>Ö�Ü�Ý�Þ`ßb×�Þ>à>Ü�ä,â>Ömã*ßPÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ õ ÝbãJÔ�Ö<ãAÝ�ßbâ>ÖÈÄ]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`Ò4ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ^S�á�ß�Öm×*öuÕ�ÖXLÞt×�Ö�ç�Öwß�Öwäwß�Ü}Ò>æDÖwç�æJÖwÝfãJÒ>çÝbâ>Þ�R ßZâ>Ö<×�ÖwÝbÓ>á�ßuÜ}Ò>v5Ü�æ�Ú � õ ä�ö�Ú | Ý�Ò>ÞJß�ÖwçÁÕ�ÖX[Þ>×�Ö�P`ÝbÔÉÞtÞ`ßZâ>Ü Ò>æDã`ÒÉÜ Ô4ãAæ`ÖFR�Ü�ßbâ4Ü�Ý�Þ`ßb×�Þtà>Ü�ä|â>ÖmãAß�ÖQc§Ó�ã*ß�Ü�ÞtÒDäwÞ>ÔDà�×�ÞtÔ�Ü�Ý�ÖwÝ×�Öwæ`Ü�ÞtÒ4Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�å,ç�ÖS¸Ò>Ü�ß�Ü�ÞtÒTã`Ò>çDßbâ>Öm×�ÖXLÞt×�ÖuÜ�ÝPÓ�Ò�ãAäwäwÖmà>ßbãJÕ>á�Ö`Úao8Ò]ßbâ>Ö�Þ`ßZâ>Öm×5â�ã`Ò>ç�PAÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ.RÇÜ�ßZâ,ämÓ�×�U-ãAßbÓ�×�Öae�Þ�R.PÜLÚöÖ`Ú5Ýbà�ÖwÖwçø4�ù��¹Ü}Ò¥Í�c�Ò�Ú { ×�ÖwßbãAÜ}Ò>Ý8Ô�Þt×�Ö�Þ�X5ßbâ>Ö,×�Öwæ`Ü�ÞtÒ ç�ÖS¸Ò>Ü�ßzÜ�Þ>Ò õ Ý�ÖwÖ#v5Ü�æ�Ú � õ ç�ö*ö�Õ�Ó>ßÇÝ�ÞtÔ�Ö,×�ÖwæJÜ�Þ>Ò>Ý<Ô�Öm×�æ`Ö,ãJÒ>çR�Ü�ßbâcßzÜ ÔÉÖDÝbâ�×�Ü}Ò�Ygã`Ò>ç ç�Ü�ÝZã`à�à�Ömã`×�Ú`v5Ü}Ò�ãAá�á�å�P$Ü}Ò�v5Ü�æ�Ú � õ Ö�ö@RuÖ�Ýbâ>Þ�R Öwç�æ`ÖDç�ÖwßzÖwäwß�Ü�ÞtÒgã�XLß�Öm×8×�Ó�Ò�Ò>Ü}Ò>æcÞtÓ�×,ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hÝ�äwâ>ÖmÔ�Ö8ÞtÒTßbâ>Ö8Ü}ÔDã*æ`Ö,ã`Ò>ç�X~×�ÞtÔ!ßbâ>Ö#v5Ü�æ�Ú � õ X(öQP>Ü�ß�Ü�Ý�äwá�Ömã`×�ßZâ�ãAßußbâ>Ö,ã`Õ�Þ�U`Ö8ç�ÖwÝzäm×�Ü}à>ß�Ü�ÞtÒ¹ç�Þ>ÖwÝ<Ò>Þ`ß�ç�ÖwßzÖm×�Ü�Þt×�ãAß�Ö#RÇÜ�ßZâß�Ü}Ô�Ö`Ú0�ÇÞ`ß�Ö�ßbâ�ãAßav5Ü�æ`ÝmÚ � õ ç�ö�ãJÒ>ç � õ Ö�ö0RuÖm×�Ö8à�×�Þ>ç�Ó>äwÖwçrÕ`å¹×�Ó�Ò�Ò>Ü}Ò>æDßbâ>Ö8äwÞ>×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç�Ü}Ò>æDç�ÜTbVÓ>ÝzÜ�Þ>ÒTÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò>ÝaX[Þ>×PßZâ>Ö

s Æ

Page 21: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òH½�ù£ú�1`û 11�11 ¼ $3½�ùVú�1`û ¾�1�11

¼ íŽ�ùJúß1 û ��11�1 ¼ ÷�½�ùVú�1`û �1�11

¼ ìŽ�ùJún��û 1�11�1 ¼ )Á½@ùVú;��û ��111v5Ü�ætÓ�×�Ö � q��uÖwäwÞtÒ>Ýzßb×�Ó>äwß�Ü�ÞtÒ Þ�X3â>Ó�ÔDã`Ò;ßbâ>Ü�ætâ>ÝrãJÒ>ç�ßbâ>Öcßbâ>Ü�ætâ�Õ�ÞtÒ>ÖwÝrÜ}Ò�ã Ý�Ü}Ò>æ`á�Ö ämãAá�ämÓ>á}ãAß�Ü�ÞtÒ2q ã ß�Ü}Ô�Ö Ý�ß�Ömà Þ�Xì ù�ÆVerÆkÆ�Æ y R�ãAÝuÖmÔDà>á�ÞAå`Öwç¥ÞtÒ¹ã¹Ù s��ïë Ù s�� æ>×�Ü�çFÚ0V�â>Ö,Ò�ã`×�×�Þ�RÂ_ÃÕ�ã`Ò>çrãAá�æ`Þt×�Ü�ßbâ�Ô Rfã*ÝfÓ>ÝzÖwç�R�Ü�ßbârã�Õ�ã`Ò>ç;R�Ü�ç�ßbâTÞ�Xê#ù�ÆVeTÆ { Ú

s Ù

Page 22: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

Ýbã`ÔÉÖ,ÒtÓ�Ô�Õ�Öm×fÞ�X¾ßzÜ ÔÉÖ,Ý�ß�Ömà>ݤÚö}¦É¥ ü�·0©\i�«�²�»f±}²�©D¬þý�©�¶�Î�²�ÿ�1`©�¯�½9ªNÀk¶�Î�©�·#i�¶�´�µ�� ¶�²D·0²DÀB-#¶�«�´�²DÀ�ÎV�â>Ö8Õ�ãAÝ�Ü�ä,ã`à�à�×�Þ>ãAä�âÉÞ�XFÞtÓ�×uÔ�Ü}Ò�g`ÔDã�hwe�Þ�R Ü�Ýuß�Þ�ÔDã�YAÖ8Ò>Þ3ã*Ý�ÝbÓ�ÔDà>ß�Ü�ÞtÒ>Ý�ã`Õ�ÞtÓ>ßußbâ>Ö�ßÃå�à�Ö�P>ç�Ü�Ý�ßb×�Ü Õ�Ó>ßzÜ�Þ>ÒTÞt×�c�Ó�ãAá�Ü�ß�Ü�ÖwÝÞ�X,ßbâ>ÖcÒ>Þ`Ü�Ý�ÖrÜ}Ò ßbâ>Ö¥Ü Ô4ãAæ`Ö`Ú VÇâtÓ>Ý�PuÞ>Ó�×9ã`à�à�×�ÞtãAäwâ Ü�ݹÜ}Ò>ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒ`ߥÞ�X3ã`ÒJå�YtÒ>Þ�R�á�Öwç�æ`Öcã`Õ�ÞtÓ>ßTßbâ>ÖcÒ>Þ`Ü�Ý�Ö`Ú ÏÌß9Ü�ÝÜ}Ò`ßzÖm×�ÖwÝ�ß�Ü}Ò>æ¹ß�ÞDäwÞ>ÔDà�ã`×�Ö]ÞtÓ�×<×�ÖwÝbÓ>á�ß�Ý|Ó>ÝzÜ Ò>æ¹Þ>Ó�×<Ô�Ü}Ò�g`Ô4ã�h¹Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö,ÞtÒ;Ä,ã`Ó>ÝzÝ�Ü}ã`ÒrÒ>Þ`Ü�Ý�ÖwR�Ü�ßbâ¥ßbâ>ÞJÝ�Ö8ÞtÕ>ßbãAÜ}Ò>ÖwçgÓ>Ý�Ü}Ò>æãDÔ�Þ>×�Ö8ßb×�ãAç�Ü�ß�Ü�ÞtÒ�ã*á¾ã`à�à�×�ÞtãAäwâTÝbÓ>ä�â¥ãAÝ<ãw�;Ü�ÖmÒ>Öm×�S�á�ß�Öm×wÚ9v5Ü�ætÓ�×�Ö { õ ã�ö�ç�Ömà>Ü�äwß�Ý,ã`Ò¹Ü}ÔDã*æ`Ö8äwÞt×�×�Ó�à>ßzÖwç�R�Ü�ßbâ;Ä,ã`Ó>Ý�ÝzÜ ãJÒÒ>Þ`Ü�Ý�Ö#R�Ü�ßbâK�wÖm×�ÞDÔ�Ömã`ÒTã`Ò>ç�v5Ü�æ�Ú5Û]Ü�Ý�ßZâ>Ö,×�ÖwÝbÓ>á�ßuÞ�X¾×�ÖwÝ�ßzÞt×�Ü}Ò>æ,Ü�ß<Ó>Ý�Ü}Ò>æ9ãO�;Ü�ÖmÒ>Öm×,S�á�ßzÖm×wÚ0V�â>Ö,×�ÖwÝZÓ>á�ßuÞ�X5ã`à�à>á�åtÜ}Ò>æDÞtÓ�×Ô�Ü}Ò�g`ÔDãth3Ýzä�â>ÖmÔ�Ö�ÞtÒ�ßZâ>Ö�Ýbã`Ô�ÖÇÜ Ô4ãAæ`Ö�Ü�ÝuÝbâ>Þ�R<Ò]Ü}Ò>v5Ü�æ�Ú { õ Õ�öwÚ}ÇÇÖm×�ÖFRuÖ<â�ã�U`Ö�Ó>Ý�Öwç9ßZâ>Ö�Ý�äwâ>ÖmÔ�Ö�Ü}Ò9Ífc§Ò�Ú � R�Ü�ßbâDßZâ>ÖäwÞtÓ�à>á�Ü}Ò>ægÔ�Ü}Ò%bPÔDãth õ �=b üþý P ü � ÆköwÚav�Þt×�Õ�ÖwÝzß3×�ÖwÝbÓ>á�ß�Ý�P�ßbâ>Ö�Ü�ßzÖm×�ãAß�ÜdU`Ö�Ý�äwâ>ÖmÔ�ÖDâ�ãAÝ,Õ�ÖwÖmÒ Ý�ß�Þtà�à�Öwç2Õ�ÖXLÞt×�Ö�Ý�ß�Ömã*ç�å�_~Ý�ßZãAß�ÖÜ�Ý|ã*ä�â>Ü�ÖQU`ÖwçFÚö}¦p, 1`©�/9½0«Z¶�·�±�©D¬®Ìö�·a¸2Ìͪh ³�º�µ0²D¯�²p´�©�³�µ0ª2½F²�¾p²�º�©Ë¿}²�À�Á

V�â>Ö�Ýbâ�ã`à�Ö9×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å¹Ýzä�â>ÖmÔ�ÖTà�×�ÖwÝ�ÖmÒJß�ÖwçcÜ Ò ã¹à�×�ÖQUtÜ�ÞtÓ>Ý]Ý�Öwäwß�Ü�ÞtÒc×�ÖwÝ�ßzÝ8ÞtÒ¥äwÞtÒ�UJÞ`ádUtÜ}Ò>æ¹ßbâ>ÖDÜ}ÔDã*æ`ÖwR�Ü�ßbâcã�Ä,ã`Ó>Ý�ÝzÜ ãJÒÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æpS�á�ß�Öm×ÉÞ�X|ãcæ`ÜdU`ÖmÒ äwâ�ã`×�ã*äwß�Öm×�Ü�Ý�ß�Ü�ä�R�Ü�ç�ßbâ2luÝ�ÖwÖrÍfc§Ò�Ú Ù s Ú | Ý9ÔÉÖmÒ`ß�Ü�ÞtÒ>Öwç ãJÕ�Þ�U`Ö�P0Ä]ã`Ó>Ý�Ý�Ü}ã`Ò ÝbÔÉÞtÞ`ßZâ>Ü Ò>æS�á�ß�Öm×8ç�Þ>ÖwÝ,Ò>Þ`ß,à�×�ÖwÝzÖm× U`Ö�Öwç�æ`ÖwÝmÚ#�cÞt×�ÖwÞ�UJÖm×QP�ßZâ>ÖÉà�×�Þtà�ãAætãAßzÜ�Þ>ÒrÞtXPÞtÓ�×�Ýbâ�ã`à�Ö9ãAÝ�Ü�ß]ÖQU`Þ`ádU`ÖwÝ8ß�Þ�R�ã`×�ç�ÝÇßbâ>ÖDÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ã`×�åÝ�á�Þ�RuÖwç ÕJå�U-ã`×�Ü}ãAßzÜ�Þ>Ò>Ý<Ü}Ò¹ßZâ>Ö,Ü}ÔDãAæ`Ö]Ü}Ò`ß�ÖmÒ>ÝzÜ�ß�å;R<â>Ü�ä�â ç�ÞÁÒ>Þ`ß�äwÞt×�×�ÖwÝbà�ÞtÒ>ç¥ß�ÞDßbâ>Ö]ç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçgÕ�ÞtÓ�Ò>ç�ãJ×�å�P¸Õ�Ó>ß�Ý�ß�Ü�á�á$Ý�á�Þ�Rßbâ>ÖDÖQUJÞ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ�Ú�ÇÇÞ�RuÖQU`Öm×7PFÜTXFR�ÖTÓ>Ý�Ö9Þ>Ó�×8Ü}ÔDãAæ`Ö4ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß3Ýzä�â>ÖmÔ�ÖwÝ]æ`ÜdU`ÖmÒ Õ`åcßbâ>Ö9ÔÉÜ Ò�gJÔDã�hpe�Þ�R.PVÖwç�æ`ÖwÝ3ã`×�ÖÝbâ�ã`×zà�ÖmÒ>Öwç�P5ã`Ò>çgÜ}ÒJßb×�ã`×�ÖwæJÜ�Þ>Ò>Ý3ã�R�ãmå�X~×�ÞtÔ�ßZâ>Ö9Õ�ÞtÓ�Ò>ç�ãJ×�Ü�ÖwÝÉãJ×�ÖDÝ�Ü�ætÒ>ÜTS�ämã`ÒJß�á�ågÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Öwç ãAÝ3Ò>Þ`Ü�Ý�Ö4Ü�Ý�×�ÖmÔ�Þ�U`Öwç2ãJÒ>ç×�Öwæ`Ü�ÞtÒ>Ý8ã`×�Ö�ÔDãAç�ÖDà>Ü�ÖwäwÖQR�Ü�Ý�ÖDÝbÔÉÞtÞ`ßZâ�ÚFV�âtÓ>Ý�P¸ÕJå¹äwÞtÓ�à>á�Ü}Ò>ærßbâ>Ö�ß RuÞ�P[R�Ö]ämã`Òcà�×�Þ�UtÜ�ç�Ö^U`Öm×�år×�ã`à>Ü�çcÖQU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ¥Þ�XPßZâ>ÖÝbâ�ã`à�Ö3×�ÖwäwÞ�U`Öm×�å9ãAá�æ`Þt×�Ü�ßbâ�Ô ß�Þ�R�ã`×�ç�ÝuãwRuÖwá�áT_~ç�ÖS¸Ò>ÖwçgÖwç�æJÖ`Ú0V�â>Ó>Ý�P�RuÖ,×�ÖQR<×�Ü�ß�Ö,Ífc§Ò�ÚÇÙ s ãAÝ

� � õR� ��� ö}ù ÙÙ Y ü�ý ÷ ¸ oÕl { ¸�¹ � õR� � � ö ü � õ Ù u ö

R<â>Öm×�Ö�÷ ¸ o�l { ¸�¹ � Ü�Ý]ßbâ>ÖDÜ}ÔDãAæ`Ö4ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖwç Ó>ÝzÜ Ò>æcÞtÓ�×8ÔÉÜ Ò�gJÔDã�h;e�Þ�R,Ú>�gÖTà�×�ÖwÝ�ÖmÒJß8Ý�ÞtÔ�ÖDÖQh�ã`ÔDà>á�ÖwÝ�Þ�Xußbâ>Ü�Ý,Ü}ÒgßZâ>ÖXLÞ`á�á�Þ�R�Ü}Ò>æTÝ�Öwäwß�Ü�ÞtÒ�Úö}¦�� ¹�h�´�²�·9Î�¶Z©�·0ÎK´�©�¾í²D«�ªD´�²�»�³�º�µ0²D¯�²�Î

ØP×�ÖQUtÜ�ÞtÓ>ÝFRuÞt×�Y�ÞtÒ¹à�ã`×�ßzÜ ã*á¸ç�ÜTbFÖm×�ÖmÒJß�Ü}ãAáFÖQc�Ó�ãAß�Ü�ÞtÒ�gAá�ÖQU`ÖwáVÝ�Öwß�Ý�äwâ>ÖmÔ�ÖwÝaXLÞt×�Ü}ÔDãAæ`Ö,à�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æ¹ÔDã¤å9Õ�Ö8Ömã*Ý�Ü�á�å¹Ü}Ò>äwÞt×zà�Þ�_×�ãAßzÖwç9Ü}ÒJß�ÞDÞtÓ�×fX~×�ã`Ô�ÖQRuÞt×*YDl`Ü}Ò Ýbâ>Þt×�ß�PJßbâ>Ö8ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö@e�Þ�R;Ü�Ý<×�Ömà>á}ãAäwÖwç ÕJåTÞtÓ�×uÔ�Ü}Ò�g`ÔDã�hKe�Þ�R,Ú%�gÖ|à�Þ`Ü}Ò`ß�ÞtÓ>ß�ãOX[ÖQRäwÞtÓ�à>á�Ü}Ò>æ`Ý8Ü}Òrà�ã`×�ß�Ü�ämÓ>á ãJ×Qq

s�s

Page 23: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òÀ½Fé��rÿ��uòbì ¼ $|½28$ê�ïr��&�ì�÷�Zì �

¼ í�½�Ó$ò�"����sïðòzñ:6>ïöõðîLì�ë ¼ ÷n½VéD"më���òZîÓ"më~ì96>õðê*?

¼ ìŽjô�ïöñ|Ãzô8ò�Ä ¼ )Á½�ô�ïöñ|Ãzô8ò Ä ¼���� ½v5Ü�ætÓ�×�Ö � q5Í5ç�æ`Ö�ç�Öwß�Öwäwß�Ü�ÞtÒ¹ã�X[ß�Öm×�ã`à�à>á�åtÜ}Ò>æ�U-ã`×�Ü�Þ>Ó>Ý�ÝZÔ�ÞtÞJßbâ>Ü}Ò>æ3Þ>à�Öm×�ãAßzÞt×�ÝPá�Ü�YAÖ8ßbâ>Ö#Ä,ãJÓ>Ý�Ý�Ü}ã`Ò®S�á�ßzÖm×QP�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö�e�Þ�R.Pã`Ò>ç¹ßbâ>Ö�Ô�Ü}Ò�g`ÔDã�hKe�Þ�R,Ú

s�u

Page 24: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òH½ �4ïðì�ñ-ì�ë��¤õðîLì�ë~ìÃ÷v5Ü�ætÓ�×�Ö,Û�q��;Ü�ÖmÒ>Öm×aS�á�ß�Öm×�Öwçc×�ÖwÝ�ß�Þ>×�ãAß�Ü�ÞtÒ4Þ�X5ßbâ>Ö8Ü}ÔDãAæ`Ö]Ü Òßv5Ü�æ�Ú { õ ãköwÚ

d Ï~ÔDãAæJÖ<Ýbâ�ãJ×�à�ÖmÒ>Ü}Ò>æ9ãAá�æ`Þ>×�Ü�ßbâ�Ô�Ý�Õ�ãAÝ�ÖwçTÞtÒ4Ýbâ>ÞtäQY^S�á�ß�Öm×�Ý�P�ãAÝPÜ}Òp� sk� P x�� ÔDã¤åDÕ�Ö8äwÞtÓ�à>á�ÖwçrßzÞ,ÞtÓ�×uÔ�Ü}Ò�g`ÔDãthwe�Þ�R,Ú

d V�â>Ö3×�ã*ß�Ö8Þ�XPÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æTÜ�Ý<Ý�Þ>Ô�Öwß�Ü}Ô�ÖwÝ8ÔDãAç�Ö,ßzÞ>U-ã`×�å¹Ü ÒkU`Öm×�ÝzÖwá�å;R�Ü�ßbâ¹ßZâ>Ö,æt×�ã*ç�Ü�ÖmÒJß8ÔDãAætÒ>Ü�ßbÓ>ç�Ö�� u Æ � ÚuÏÓXuÝbÓ>äwâã`Ò¹ÖbFÖwäwß8Ü�Ý8ç�ÖwÝ�Ü}×�ÖwçgÜ}Ò¥ÞtÓ�×�Ý�Öwß�ßzÜ Ò>æDP�ÞtÒ>ÖDÔ�Öm×�Öwá�åc×�Ömà>á}ãAäwÖwÝ,ßZâ>Ö3ämÓ�×�U-ãAßbÓ�×�Öþ� Ü Ò¥ÞtÓ�×�e�Þ�R Ô�Ü}Ò%bPÔ4ã�h õ � � Æ�ö�ÕJå�=b üþý P ü Ú

d V�â>Ö,ã�àÁÒ>Ö8Ü}ÒkU-ã`×�Ü}ã`ÒJß�e�Þ�R²� � { Ñ � u�s7� ämãJÒ¹ãAá�Ý�Þ9Õ�Ö�Ô�Þ>ç�ÜrS�ÖwçgÕJåÁÓ>ÝzÜ Ò>æTßbâ>Ö,Ô�Ü}Ò7bPÔDãth õ � � { Ñ � ÆköwÚ� Ì�¡9£'Jï(�EN£Ï~Ò ßbâ>Ü�Ý8Ý�Öwäwß�Ü�ÞtÒ2P�RuÖ�à�×�ÖwÝ�ÖmÒJß8Ý�ÞtÔ�ÖD×�ÖwÝbÓ>á�ß�Ý8ÞtX�ßbâ>Ö�ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß,ÞtX�Ô�Öwç�Ü�ämãAáPÜ}ÔDãAæJÖwÝ,ã`Ò>çcÖmÒ>ÝbÓ>Ü}Ò>ærÝbâ�ã`à�Ö9×�ÖwäwÞ�U`Öm×�åÓ>Ý�Ü}Ò>æTßbâ>Ö8á�ÖQU`ÖwáÝzÖwß<Ô�Öwßbâ>Þ>ç�Þ`á�Þ`æ`å¹à�×�ÖwÝ�ÖmÒJß�Öwç ãJÕ�Þ�U`Ö`Ú��¦Z§ ¹w·0µ9ª2·0º�²�¯°²�·'´�©D¬>ÌͲ�»9¶�º�ª2«@­�¯�ªD±}²DÎ

�gÖ8Õ�Öwæ`Ü}ÒTÜ}Ò�v5Ü�æ�ÚuÙ�Æ,ÕJåDÖmÒ�â�ã`Ò>äwÜ}Ò>æ9ã]Ý�Öm×�Ü�ÖwÝuÞ�X5Ô�Öwç�Ü�ämãAá�Ü Ô4ãAæ`ÖwÝmÚ�ÇÇÖm×�Ö�P�Ò>ÞÉÒ>ÞJÜ�ÝzÖ<Ü�Ý<ã`×�ß�ÜTS�äwÜ ã*á�á�å¹ãAç�ç�Öwç�P�Ü}Ò>Ý�ß�Ömã*ç9ÞtÓ�×æ`Þtã*á¸Ü�Ý�ß�Þ�ÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖ,äwÖm×�ßbãAÜ}Ò�XLÖmãAßbÓ�×�ÖwÝ�R�Ü�ßbâ>Ü}Ò¹ßbâ>Ö]æ`ÜdU`ÖmÒTÜ}ÔDãAæ`ÖwÝmÚ

s�x

Page 25: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òH½�+VëLïr�ïöñAò�õ�ïr�uòbì ¼ $3½�ô�ïöñ|Ãzô8ò�ÄAó 6>ïöñ-òzõ

¼ í�½�+VëLïrzïöñ-òzõ�ïr�uò�Zì ¼ ÷�½�ô�ïöñ|Ãzô8ò�ÄAó 6>ïöñ-òzõ

¼ ì�½�+VëLïrzïöñ-òzõ�ïr�uò�Zì ¼ )Á½jô�ïöñ|Ãzô8ò�ÄAó 6>ïöñ-òzõv5Ü�ætÓ�×�ÖDÙ�Æ�q��cÜ}Ò�g��gã�h>v5á�Þ�R�R�Ü�ßbârÑ>Öwá�Öwäwß�ÜdU`ÖDÑ�Ô�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ

s�y

Page 26: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

��¦É¥ ¹�h�´�À�ª2º[´�¶�©�·�©N¬`³Wµ9ª2½F²�ÎK¬�À�©�¯ ÌͲ�»9¶�º�ª2«7÷�ªD´tª�FãAÝzß�á�å�P2R�ÖDà�×�ÖwÝzÖmÒ`ß�Ý�ÞtÔ�Ö�Ýbâ�ãJà�ÖD×�ÖwäwÞ�U`Öm×�år×�ÖwÝZÓ>á�ßzÝ8ÞtÕ>ßbãAÜ}Ò>Öwç2ÕJårÓ>Ý�Ü}Ò>ærßbâ>Ö�Ü}ÔDãAæJÖ_ÃÕ�ãAÝ�ÖwçcÝbà�ÖwÖwç æ`ÜdU`ÖmÒ¥Ü ÒcÍfc§Ò�ÚDÙ u ÚV�â>Öc×�Öwæ`Ü�ÞtÒ>ÝTÞ�X,Ü}Ò`ß�Öm×�ÖwÝ�ßÁãJ×�Ö�S¸×�Ý�ß E�ßbãAæJæ`ÖwçVG2Ó>Ý�Ü}Ò>æHã2Ô�Þ>Ó>Ý�Ö_ÃÕ�ãAÝ�Öwç äwÞtÒ`ßZ×�Þ`á�Pußbâ>Ó>Ý9ç�ÖS¸Ò>Ü}Ò>æHßbâ>Ö¥Ü Ò>Ü�ß�Ü}ãAá8ÝzßbãAß�ÖrãAÝç�Ömà>Ü�äwß�Öwç¹Ü}ÒDßZâ>Ö�á�ÖX[ß�äwÞ`á}Ó�ÔDÒDÜ}ÒKv5Ü�æ�ÚuÙ`Ù`Ú�V�â>ÖwÝ�Ö�Ü}Ò>Ü�ß�Ü}ãAá�Ýbâ�ã`à�ÖwÝuæt×�Þ�R2Þ>Ó>ß�ã`Ò>çDÖQUJÖmÒ`ßbÓ�ã*á�á�å9×�ÖwäwÞ�UJÖm×5ßbâ>Ö�ÝZâ�ã`à�ÖwÝ�PJäm×�Þ`Ý�ÝÝ�Öwäwß�Ü�ÞtÒ>Ý�Þ�XämãJ×�ç�Ü}ãAä,äwâ�ã`Ô�Õ�Öm×uÜ}Òßv5Ü�æcÙ`Ù õ Õ�ö�ãJÒ>ç¹ßbâ>Ö8á�ÜjUJÖm×�Ü Òßv5Ü�æ`ÝmÚuÙ`Ù õ ç�ö��!Ù`Ù õ X(ö�Ú

� º���·9©Vi�«Z²�»�±%²�¯�²D·�´�Î q | á�áFämãAá�ämÓ>á}ãAß�Ü�ÞtÒ>Ý#RuÖm×�Ö8à�Öm×ZXLÞt×�Ô�ÖwçcãAßußbâ>ÖfÂ�Ò>ÜjUJÖm×�Ý�Ü�ß�å9Þ�XPÐ�ãAá�ÜTXLÞt×�Ò>Ü}ã9ã*ßÂi�Öm×*Y*Öwá�ÖwårãJÒ>çßbâ>Ö.�Fã�R<×�ÖmÒ>äwÖ:i�Öm×*YAÖwá�Öwå���ãAß�Ü�ÞtÒ�ãAá}�Vã`Õ�Þt×zãAß�Þt×�å`Ú%�gÖ8ßZâ�ã`Ò�Y`ĪÜ�á Õ�Öm×�ß8Ð�â�ã`Ò>æwXLÞt×�Ô�Öwç�Ü�ämãAáVç�ãAßbã�Ü}Ò�v5Ü�æ�ÚÇÙ`Ù`Ú

Ì�¡���¡�G�¡aC.L�¡9£

�}Ù � ÎDÚ | ç�ãAá�Ý�ß�ÖwÜ}Ò>Ý�ÝzÞtÒ ã`Ò>ç�á�Ú | Ú�Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P>E | X~ãAÝ�ß�á�ÖQU`Öwá�Ý�Öwß9Ô�Öwßbâ>Þ>ç�XLÞt×�à�×�Þtà�ãAætã*ß�Ü}Ò>ægÜ}Ò`ß�Öm×]XÌãAäwÖwÝ�PzG�������×� ÊÛ!�"+�Jâ`Þ#��P��5Þ`áLÚFÙ`Ù � õ s öQP>à�à�Ú sk{ Û%$ s��k� P��gãmåcÙmÛ`Û y Ú

� s�� ÎDÚ | ç�ãAá�Ý�ß�ÖwÜ}Ò>Ý�Ý�Þ>ÒDã`Ò>çwá�Ú | Ú`Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P�E | Ó�Ò>ÜTS�ÖwçDá�ÖQU`Öwá�Ý�Öwß5ã`à�à�×�Þ>ãAä�â]ß�Þ�Öwß�äwâ>Ü}Ò>æ�P`ç�Ömà�Þ`Ý�Ü�ß�Ü�ÞtÒTã`Ò>ç�á�Ü�ßbâ>ÞJæt×�ã`à�âJåNqÏ�P¸Ï�Ï*P�ã`Ò>ç Ï�Ï�Ï�ÚzG¹Ï*P�ÏÃÏ�q�ßzÞ9ã`à�à�ÖmãJ×QP ���&��×� ÊÛ!�'"��£â Þ(��PFÙmÛ`Û y ltÏ�Ï�Ï*qFÓ�Ò>ç�Öm×�à�×�Ömà�ã`×�ãAßzÜ�Þ>Ò�Ú

� u�� �5Ú | ádU-ã`×�ÖQ��PFØÚ2�5Ú���Ü�ÞtÒ>Ý�PFã`Ò>ç�á�Ú2�HÚ��cÞt×�Öwá5P�EZÏ~ÔDãAæJÖ,Ý�Öwá�Öwäwß�ÜdU`Ö�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>ærã`Ò>ç¥Öwç�æ`Ö�ç�Öwß�Öwäwß�Ü�ÞtÒcÕJå Ò>ÞtÒ>á�Ü}Ò>Ömã`×ç�ÜTbÓ>Ý�Ü�ÞtÒ�Ú�ÏÃÏ�PzG*)�+-,/.0�V×3à£��ØÚ3Ý�×3Ø*1;à2 >� � �pÙ�Ú3Ý3,;Ø=Ú3Ý�â`ÞH�rÞQP��5Þ`áLÚ s Û õ u öQPtà�à�Ú �txmy $ ��{k{ P�ÙmÛJÛ s Ú

� xt� �5Ú | ádU-ã`×�ÖQ�,ãJÒ>ç��5Ú[�gã��wÞt×z×�ã�P�EZÑ>Ü�æ>Ò�ãAáFã`Ò>ç9Ü}ÔDã*æ`Ö|×�ÖwÝ�ß�Þt×�ã*ß�Ü�ÞtÒDÓ>Ý�Ü}Ò>æDÝbâ>Þ>äQY^S�á�ß�Öm×�Ý�ã`Ò>ç¹ã`Ò>Ü�Ý�Þ`ßb×�Þ>à>Ü�ä�ç�ÜTbÓ>Ý�Ü�ÞtÒ2PzG)3+-,4.5�6�'1;à7 <�`�8�',;Ø=Ú­Ý9��P[�5Þ`áLÚ u Ù�P��ÇÞ�Ú s P�à�à�Ú y Û�Æ%$ { Æ y P | à�×�Ü�áPÙ¤Û`Û x Ú

� y�� �8Ú%iuã�z�äwÝ�ågã`Ò>ç�v�ÚFÑ>Þ`á�Ü}Ò�ã�P;E�VÇâ�×�ÖwÖDç�Ü}Ô�ÖmÒ>Ý�Ü�ÞtÒ�ãAáuÞtÕ�zÃÖwäwß,×�Ömà�×�ÖwÝ�ÖmÒ`ßZãAß�Ü�ÞtÒg×�ÖQU>Ü�Ý�Ü�ß�Öwç�PzGcÜ}Ò�"��¶× Ù ���;:3�pØ�<3Þ>×>=@?��p��ÞH�+�Ø�R� � Ø=Ú3�R�p×3ØÚ3ÝA��×3ØB=H� �¶�`Ø=Ù �f×3ØC��×� ÊÛcà£�R� �*D�� ÞH�X×3ØDP�à�à�Ú s�u Ù;$ s�x Æ�P[��ÞtÒ>ç�ÞtÒ2P�Í�Ò>æ`á}ã`Ò>ç�P$ÙmÛ ��� Ú

� {�� V8Ú2o�Ú2iPÜ}ÒkXLÞt×�ç�P�E*��Ü�ÝbÓ�ãAá5Ø$Öm×�äwÖmà>ß�Ü�ÞtÒcÕJå¹äwÞtÔDà�Ó>ß�Öm×QP GDÜ}Ò�U>Ü�ß�ÖwçgßbãAá�YDPE+GF�F�FH)@â ÞH�R�( �ÞfÚ3Ø3:I��×3Ø�R�Á×­ÝJ��×3Ø#=À�`�Á�`Ø=Ù ��P�cÜ}ã`Ô�Ü�PDv5á�Þ>×�Ü�ç�ã�Ú

� ��� | Ú�i�á}ã�YAÖ3ãJÒ>ç | Ú�KjÜ�ÝzÝ�Öm×�ÔDã`Ò2P�D�� ÞÀà£Ú3Ý L���Ù ×3Ø\ÞÀ�R� àJÙ`�R�X×­Ø�P��gÏZV Ø�×�ÖwÝ�Ý�P�Ð�ã`Ô�Õ�×�Ü�ç�æ`Ö�PË� | Ú

� ��� á�Ú�Ð�ã`Ò�ÒJå�P+E | äwÞ>ÔDà�Ó>ßbãAß�Ü�ÞtÒ�ã*áã`à�à�×�Þtã*ä�âTß�Þ4Öwç�æ`Ö,ç�Öwß�ÖwäwßzÜ�Þ>Ò2PzG+GF�F�FNM@�¶Ú3Ø\Þ#�!"�Ú3�R�R�`��Ø*,;Ø=Ú3Ý�â`ÞH�rÞ;Ú3Ø�:O.øÚ­ÙH�J�pØ=�+�Ø�R� ÝpÝ��P<£� Ø=Ù ��Pk�5Þ`áLÚ�Ø | �gÏ5_ � P�à�à�Ú {�� Û%$ { Û � P�ÙmÛ �k{ Ú

s�{

Page 27: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

¼ òÀ½Vÿ�ñ¤ïðîsïðò�õöïPQ�òZîsïðêZñ ¼ $|½��=Äwîsë~òZíÃîLì�÷8ûZüAò*�`ì �

¼ í�½Fÿ ñmïðîsïðòzõöïPQ�òbîsïðêZñ ¼ ÷n½2�Äwîsë~òbí�îLì�÷,ûZüAò*�`ì

¼ ì�½Fÿ ñmïðîsïðòzõöïPQ�òbîsïðêZñ ¼ )Á½D�Äwîsë~òbí�îLì�÷,ûZüAò*�`ìv5Ü�æ>Ó�×�Ö9Ù`Ùkq¾Ñ�â�ãJà�Ö,ÖQh>ßb×�ã*äwß�Ü�ÞtÒKXÌ×�ÞtÔ Ô�Öwç�Ü�ämãAáFç�ã*ßbãDÓ>Ý�Ü}Ò>æTßbâ>Ö8Ýbà�ÖwÖwç¥ß�Öm×�Ô¼X~×�ÞtÔ Í�c�Ò�Ú�Ù u Ú

s��

Page 28: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

�ðÛ � ��Ú-ÐÇãAÝ�Öwá�á�ÖwÝ�P�v�ÚwÐ�ãAß�ßSRÖ�PQV8ÚmÐuÞ`á�á�P`ã`Ò>ç^v�ÚbÎ8Ü}Õ�Þ`Ý�P@E | æ`ÖwÞtÔ�ÖwßZ×�Ü�äPÔ�Þtç�ÖwákXLÞt×FãAäwß�ÜdU`Ö5äwÞ>Ò`ß�Þ>Ó�×�ÝFÜ}Ò8Ü}ÔDãAæJÖ�à�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æ�PzG1;à2 >�`��� ÞÀÙ��J�T.)Ú3�p�J�( >Ú3�R�VU�PË�5Þ`áLÚ {�{ õ Ù�öQP�à�à�ÚFÙ;$ u�s P¸Ù¤Û`Û u Ú

�}Ù�Æ � ��Ú�Ð�ãAÝzÖwá�á�ÖwÝ�PD�8Ú�W�Ü}ÔDÔ�Öwá�P�ã`Ò>ç�Ä4Ú�Ñ�ã`à>Ü}×�Þ�PxE�ĪÖwÞtç�ÖwÝzÜ�ä8ÝZÒ�ã�YAÖwÝ�PzGX"��Á×`ÙY��×>=4+(�Z��D}P��gÏ�VOP§ÐÇã`Ô�Õ�×�Ü�ç�æ`Ö#� | P[átÓ�Ò>ÖÙmÛJÛ y Ú

�}Ù`Ù � ÎDÚ0�'ÚPÐ�â>Þtà�à2P�EbÐuÞtÔ4à�Ó>ß�Ü}Ò>æ2Ô�Ü}Ò>Ü}ÔDãAá�ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖwÝ>U>Ü ã á�ÖQUJÖwá�Ý�ÖwßDämÓ�× UAãAßbÓ�×�Öße�Þ�R.PzG��V×3à£��ØÚ3Ý%×>=I��×� ÊÛcà£�RÚ3�R�p×3Ø=Ú3Ý"+�Jâ`ÞÀ�pÙHÞQP[�5Þ`áLÚÙ�Æ { P�à�à�Ú ��� $§Û�Ù�P�ÙmÛJÛ u Ú

�}Ù s�� ÎDÚ��5Ú$Ð�â>Þtà�àgãJÒ>ç�á�Ú | ÚFÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P7E*v5á�Þ�R Ó�Ò>ç�ÖmתämÓ�× U-ã*ßbÓ�×�Ö�q8Ý�Ü}Ò>ætÓ>á}ã`×�Ü�ß�åpXLÞt×�Ô4ãAß�Ü�ÞtÒ2PFÔ�Ü}Ò>Ü}ÔDãAá�ÝbÓ�×ZX~ãAäwÖwÝ�PãJÒ>çæ`ÖwÞ>ç�ÖwÝ�Ü�äwÝ�PzG*�V×3àJ�B�AF&[�ÛV� �B�'.øÚ3�p�\��P��5Þ`áLÚ s õ x öQP�à�à�Ú s�uky $ s�y�y P�ÙmÛ`Û u Ú

�}Ù u�� �5ÚVÎDÚFÐuÞtâ>ÖmÒ2PÊE�o8ÒgãAäwß�ÜdU`Ö�äwÞtÒJß�ÞtÓ�×8ÔÉÞtç�Öwá�ÝDã`Ò>çgÕ�ãAá�á�ÞtÞtÒ>Ý�PzGH��×� ÊÛcà£�R� �]D �rÞH�p×3ØS^4_%�¶Ú Û=�J�pÙHÞ;^�Ú3Ø3:*+` >ÚB<J�O"��¶×baÙ �HÞ ÞÀ�pØ�<[P��5Þ`áLÚ y�u P��ÇÞ�Ú s P�à�à�Ú s ÙJÙ;$ s Ù � P��gã`×�äwâcÙmÛ`Û�ÙJÚ�}Ù xt� ÎDÚ[v�ÚtÍ'á�á�Ü�Þ`ß8ã`Ò>çcW�Ú��8Ú���ãAÞ�P3?�Ú�ÞH���R�¶Ú3Ø\Þd=H×3�; fÞ(e&,;Ý <J×3� �X�p�7 fÞ;^E,;Ø=Ú3Ý�â`ÞH�HÞ;^f,�Û­ÛcÝ��XÙ Ú3�R�p×3ØVÞQP | ämãAç�ÖmÔ�Ü�ä,ØP×�ÖwÝ�Ý�P���ÖQR

g5Þt×�Y�PFÙ¤Û ��s Ú�}Ù y�� �HÚ�Ä,ãAæJÖ�P�EZÐ�Ó�× U`Ö�Ýbâ>Þt×�ßzÖmÒ>Ü Ò>æDÔDãkYAÖwÝuäwÞtÒ�UJÖQh9ämÓ�× UJÖwÝ�äwÜ}×�ämÓ>á}ã`×7PzGc+�Ø3h � Ø�R�X×­Ø=�HÞ�.øÚ3�p�J�% >Ú3�R�XÙ Ú�P[�5Þ`áLÚ ��{ P§à�à�Ú u�yk� P

ÙmÛ ��x Ú�}Ù {�� �8Ú�Ð8Ú�Ä8Þ>Ò[�mãAá�ÖQ�3ã`Ò>çrØ$Ú��;Ü}Ò`ß���P i �j<J�p�RÚ3Ý'+` >ÚB<J��"��Á×`Ù���Þ�ÞH�pØ�<kml3Ø�:TFn:2� oY^ | ç�ç�Ü�Ý�Þ>Òk_��gÖwÝ�á�Öwå�P5ÙmÛ ��� Ú�}Ù ��� �HÚ�Ä]×�ã¤åtÝ�Þ>Ò2P�E�V�â>Ö,â>Ömã*ß�ÖQc§Ó�ã*ß�Ü�ÞtÒTÝbâ�×�Ü}Ò�YJÝ<ÖmÔ�Õ�Öwç�ç�Öwçcà>á}ã`Ò>Ö,ämÓ�× UJÖwÝ�ß�ÞD×�ÞtÓ�Ò>çrà�Þ`Ü}Ò`ß�Ý�PzGc���'i � pq�&_%� ×� @��P��5ÞJá[Ú

s�{ P�à�à�Ú s���y $ u Ù x P�ÙmÛ ��� Ú�}Ù ��� | Ú�W�Ú�átã*Ü Ò2P'?�àJØ3:3Ú� >� Ø�RÚ3Ý Þ ×r=s:3�j<J�p�RÚ3Ý��� >ÚB<J�ÊÛc�¶× Ù �HÞ ÞH�XØt<mPtÍ�Ò>æ`á�ÖQRuÞtÞ>ç Ðuá�ÜTbFÝ�P���áíq�ØP×�ÖmÒJß�Ü�äwÖ.Ç<ã*á�á�P$ÙmÛ � Û�Ú�}ÙmÛ � �HÚ�W8ã*Ý�Ý�P | Ú��;Ü�ß�YJÜ}Ò2P¾ãJÒ>çgÎDÚ}VVÖm× �wÞtà�ÞtÓ>á�Þ`Ý�P7EbÑ�Ò�ã�YAÖwÝ�q | äwßzÜjUJÖ9äwÞtÒJß�ÞtÓ�×8ÔÉÞtç�Öwá�Ý�PzGC+�Ø�R� � Ø=Ú3�R�p×3ØÚ3ÝA�Ü×­àJ� Ø=Ú3Ý+×>=

��×t %Û@àJ�R�`�D �rÞH�X×­Ø�P�à�à�Ú uks Ù;$ u�u Ù�P�ÙmÛ ��� Ú� s Æ � �8Ú%�gãAá�á}ãAç�Ü�ã`Ò>ç�á�Ú | Ú$Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P;EbÏ�ÔDãAæ`Ö¹à�×�Þ>äwÖwÝ�Ý�Ü}Ò>æpUtÜ}ã¥á�ÖQU`ÖwáuÝ�Öwß�ämÓ�× U-ãAßZÓ�×�Ö>e�Þ�R.P Grß�Þcã`à�à�Ömã`×O"��Á×`ÙY�&1;Ú3�RÝ��

,7Ù Ú�:2� ×>=�)cÙ �u�9^qv')\,^P�ÙmÛ`Û y Ú� s Ù � �8Ú��gãAá�á}ãAç�ܧãJÒ>ç.á�Ú | ÚAÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P@EbÏ~Ô4ãAæ`ÖPØP×�ÞtäwÖwÝ�ÝzÜ Ò>æDq�v5á�Þ�R�ÝÓ�Ò>ç�Öm×%�cÜ}Ò�g��gã�h<ämÓ�×�U-ãAßbÓ�×�Ö�ã`Ò>ç�Ô�Ömã`Ò�ämÓ�× UAãAßbÓ�×�Ö�PzG

ÝbÓ�Õ�ÔÉÜ�ßzß�Öwçrß�Þw_%�ÁÚÀÛ=�J�pÙ�Ú3Ý!.ø×(:­� Ý Þ Ú­Ø�:X+` >ÚB<£�x"��¶× Ù �HÞ ÞÀ�pØ�<[P�átÓ>á�å2ÙmÛ`Û y Ús��

Page 29: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

� s�s�� �8Ú2�gãAá�á}ãAç�ÜPã`Ò>çpá�Ú | Ú¸Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2PÊE | Ó�Ò>ÜTS�Öwç2ã`à�à�×�Þ>ãAä�âßXLÞt×ÇÝbâ�ã`à�Ö�Ý�Öwæ>Ô�ÖmÒ`ßZãAß�Ü�ÞtÒ2P�×�Ömà�×�ÖwÝ�ÖmÒJßbãAß�Ü�ÞtÒ2P�ã`Ò>çg×�ÖwäwÞ`æt_Ò>Ü�ß�Ü�ÞtÒ2PzGp�uÖmà�Þ>×�ß.��ia�D_ u�{ Æ { Û�P2�Fã�R<×�ÖmÒ>äwÖ>i�Öm×*YAÖwá�Öwåí�FãJÕ�Þt×�ã*ß�Þt×�å�P@Â<Ò>ÜdU`Öm×�Ý�Ü�ßÃå¥Þ�X�Ð�ãAá�ÜTXLÞt×�Ò>Ü}ã�P�i�Öm×*YAÖwá�Öwå�P | Ó>ætÓ>Ý�ßÙmÛJÛ x Ú

� s�u�� �8ÚË� ã*á�á}ãAç�Ü�P�ÎDÚ | ç�ãAá�Ý�ß�ÖwÜ}Ò>Ý�Ý�ÞtÒ2P�ã`Ò>ç�á�Ú | Ú�Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P+E*v¸ã*Ý�ß�Ô�Öwßbâ>Þ>ç�X[Þt× u Î ÝZâ�ã`à�Ö,×�ÖwäwÞ�U`Öm×�åÁÓ>Ý�Ü}Ò>æTá�ÖQU`ÖwáFÝ�Öwß�Ý�PzGÓ�Ò>ç�Öm×�à�×�Ömà�ã`×�ã*ß�Ü�ÞtÒ�Ú

� s�xt� �8Úa�gãAá�á}ãAç�Ü�P@á�Ú | ÚuÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P8ã`Ò>ç�i�Ú�Ð8Ú9�5ÖmÔ�Ó�×�Ü�PFEbÍfU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ�ã`×�å�XÌ×�Þ>Ò`ß�ÝKXLÞt×DßzÞtà�Þ`á�Þ`æJå�_~Ü}Ò>ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒJßrÝZâ�ã`à�ÖÔ�Þ>ç�Öwá�Ü}Ò>æÁã`Ò>çr×�ÖwäwÞ�UJÖm×�å�PzG�Ü}Ò*"��¶× Ù ���;:3�pØ�<­Þ ×r=yM �J�p�-:OF�à£�¶× ÛÜ� Ú3Øw��×3ØB=H� �¶�`Ø=Ù �;×3Ø]��×t %Û@àJ�R�`�cD�� ÞÀ�p×3ØDP��'�<Ð�Ñ��5ÞJá[Ú� ÆkÆ�P�à�à�Ú u $�Ù u PtÑ>ßzÞtäQYtâ>ÞJá ÔßP�Ñ[RuÖwç�ÖmÒ2P��gã¤årÙmÛ`Û x Ú

� s�y�� �8Ú9�gãAá�á}ãAç�Ü�Paá�Ú | ÚPÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P�ã`Ò>ç�i<Ú�Ð8Ú%�5ÖmÔ3Ó�×�Ü5P>EZÑ�â�ã`à�ÖcÔ�Þtç�Öwá�Ü}Ò>æ�R�Ü�ßbâÏXÌ×�Þ>Ò`ßDà�×�Þtà�ã*ætãAß�Ü�ÞtÒ2q | á�ÖQU`Öwá�Ý�Öwßã`à�à�×�ÞtãAäwâ2PzGI+zF�F&F{M@�¶Ú3Ø\Þ#� ×­ØC"�Ú3�R�R�`��ØI,;Ø=Ú­ÝÕâ`ÞH�rÞfÚ­Ø�:*.øÚ3Ù��J�pØ=�O+�Ø=�R�`ÝXÝ��j<J� ØÙ���P��5Þ`áLÚPÙ � õ s öQP�à�à�Ú5Ù y�� $¸Ù ��y PDv�ÖmÕ�ÚÙmÛJÛ y Ú

� s�{�� ÎDÚ2�gã`×�×�ã`Ò>çgÍ�Ú2ÇÇÜ�á�ç�×�ÖwßZâ2P�E | ßbâ>ÖwÞt×�å¥Þ�XPÖwç�æ`ÖDç�Öwß�ÖwäwßzÜ�Þ>Ò2PzGI"��¶× Ùb�x×>=TL�×3â�Ú3ÝA)c×`ÙY�Zk}|�×3Ø�:­×3Øbo�P��5Þ`áLÚ}i s Æ � P¸à�à�ÚÙ �k� $ s Ù � P�ÙmÛ � Æ�Ú

� s���� Ñ�Ú�o�Ýbâ>Öm×�ã`Ò>ç��5Ú5Ï�Ú���Ó>ç�Ü}Ò2P�E*v�ÖmãAßZÓ�×�Ö_~Þt×�Ü�ÖmÒJß�ÖwçgÜ}ÔDãAæ`ÖTÖmÒ�â�ã`Ò>äwÖmÔ�ÖmÒJß9Ó>Ý�Ü}Ò>æcÝbâ>Þ>ä(YíS�á�ßzÖm×�Ý�PzGC)�+>,4.~�6��1;à2 @�,;ØÚ3Ý���P[�5Þ`áLÚ s�� P�à�à�Ú�Û�Ù¤Û%$§Û x ÆËP�ÙmÛ`ÛkÆ�Ú

� s���� Ñ�Ú�o�Ýbâ>Öm×�ãJÒ>ç`á�Ú | Ú�Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2PxE*v�×�ÞtÒJß�Ý�à�×�Þ>à�ãAætãAß�Ü}Ò>æ^R�Ü�ßbâTämÓ�× U-ã*ßbÓ�×�Ö�ç�Ömà�ÖmÒ>ç�ÖmÒJß<Ýbà�ÖwÖwç�q | á�æJÞt×�Ü�ßbâ�Ô�Ý<Õ�ã*Ý�Öwç9Þ>ÒÇ�ã`Ô�Ü�á�ß�ÞtÒk_�átã*äwÞtÕ>Ü�XLÞt×�Ô�Ó>á}ãAß�Ü�ÞtÒ2P Gc�Ü×­àJ� Ø=Ú3Ý�×>=@��×� ÊÛcà£�RÚ3�R�p×3Ø=Ú3Ý'"��£â ÞH�pÙHÞQPm�5ÞJá[Ú � Û�P�à�à�ÚFÙ s _ x Û�P�ÙmÛ �k� Ú

� s Û � Ø$Ú�Ø$Öm×�ÞtÒ�ã ã`Ò>ç�á�Ú0�gãAá�Ü�YDPFEbÑ>ämãAá�Ö_~Ýbà�ã*äwÖ2ã`Ò>ç Öwç�æJÖ ç�ÖwßzÖwäwß�Ü�ÞtÒ;Ó>Ý�Ü}Ò>æ ã`Ò>Ü�Ý�Þ`ßb×�Þ>à>Ü�äcç�ÜTbÓ>Ý�Ü�ÞtÒ2PzG�+zF&F�F0M@�¶Ú3ØVÞ(�"�Ú3�R�R� � Ø,;ØÚ3Ý�â ÞH� Þ�Ú3Ø�:O.øÚ­ÙH�J�pØ=��+�Ø�R� ÝpÝÕ�j<J�`Ø=Ù ��P��5Þ`áLÚ$Ù s õ � öQPtà�à�Ú {ks Û%$ {�u Û�P�átÓ>á�å ÙmÛ`Û�Æ�Ú

� u Æ � �5Ú���Ó>ç�Ü}Ò2P�Ñ�Úmo�Ýbâ>Öm×7P�ã`Ò>ç¹Í�Ú�v�ãAß�ÖmÔ�Ü�P E��ÇÞtÒ>á�Ü}Ò>Ömã`×uß�Þ`ßZãAá�U-ã`×�Ü ã*ß�Ü�ÞtÒ9Õ�ã*Ý�ÖwçÁÒ>ÞJÜ�ÝzÖ,×�ÖmÔ�Þ�U-ãAá�ãAá�æ`Þt×�Ü�ßbâ�ÔÉÝ�PzG@.)×(:3�`Ý���aÞHÚ3�R�p×3ØVÞ4.)Ú3�R�( >Ú3�R��� à£�HÞ�ÛV×3àJ��Ý��<�R�¶Ú3�p�R�( >�`Ø=��:A� �� >ÚB<J��Þ(P�ÏZ�~�ÇÏ | P¸à�à�Ú$Ù x Û%$�Ù � Û�P�ÙmÛJÛ s Ú� u Ù � � Ú�i�Ú���Ó>ÝYmãAÜ�� �+Ú3Ý���Pn�BÚ�h`� Ý�� �pÞfÚ3Ø3:B�p�J� �p�;Ú Û3Û@ÝÕ�pÙ Ú3�R�X×­ØVÞQPmáJÞtÒ>ÖwÝ|ãJÒ>ç�i�ãJ×�á�Öwß�ß<ØPÓ�Õ>á�Ü�Ýbâ>Öm×�Ý�P�iPÞJÝ�ß�ÞtÒ2P[� | Ù¤Û`Û s Ú

� u�s�� Ä4Ú§Ñ�ãJà>Ü ×�ÞÁã`Ò>ç | Ú�VãJÒ�Ò>ÖmÒtÕ�ã`Ó�ÔßPxEbÏ~Ô4ãAæ`Ö�ÝbÔ�Þ>Þ`ßbâ>Ü}Ò>æ9Õ�ãAÝ�Öwç¹Þ>Ò¹ã�àÁÒ>Ö8Ü}Ò�UAã`×�Ü}ã`ÒJßae�Þ�R.PzGX"��¶×`ÙY��×>=f�p�J�X��×3Ø#=À�`�za�`Ø=Ù �<×­Ø+ ØB=H×3�` >Ú3�R�p×3Ø*)cÙ`�X�`Ø=Ù �HÞ�Ú­Ø�:O)câ`ÞÀ�R�% �Þ(P[á`Þtâ�Ò>Ý#ÇÇÞtà�Y`Ü}Ò>Ý;Â<Ò>ÜdU`Öm×�Ý�Ü�ßÃå�PË� ãJ×�ä�âcÙ¤Û`Û u Ús Û

Page 30: 1023 4 $# 5) BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZYfrey/papers/levelsets/Malladi R., Sethian J... · BDCFEHGJIKILG>M NLOPGJQFM2R CFSTCVU W-XZY N[GJQ \]WA^FG`_ZXbacWAQ X dJefEHGJXbY

� u�u�� Ä4ÚÑ�ã`à>Ü}×�Þgã`Ò>ç | Ú%VãJÒ�Ò>ÖmÒtÕ�ã`Ó�ÔßP�E | ×�Ömã¥ã`Ò>ç á�ÖmÒ>æJßbâ2à�×�ÖwÝ�Öm× U>Ü Ò>æcæ`ÖwÞ>Ô�Öwßb×�Ü�äTÜ ÒkU-ãJ×�Ü}ã`Ò`ß�Ý�ämã*á�Ö_~ÝZà�ãAäwÖwÝ�PzG�"��¶× ÙY�×>=M �£�X�>:OF�à£�Á×ÀÛÜ� Ú3Ø���×3Ø#=À�`�¶� Ø=Ù �f×­Ø���×� ÊÛcà£�R� �*D�� ÞÀ�p×3ØDP�����Ð�Ñ;�5Þ`áLÚ � Æ�Ù�P�à�à�Ú x�x Û%$ x[y�� P�Ñ>ß�Þ>ä(Y>â>Þ`á}Ô�P�Ñ[R�Öwç�ÖmÒ2P�gã¤å Ù¤Û`Û x Ú

� u�xt� á�Ú | Ú�Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2PaE | Ò;ã`Ò�ãAá�åtÝzÜ�Ý¥Þ�X#e¸ã`Ô�Ögà�×�Þ>à�ãAætãAß�Ü�ÞtÒ2P G"ØPâ�Ú ÎDÚPÎ8Ü�Ý�Ý�Öm×�ßbãAß�Ü�ÞtÒ2P�� ã*ßbâ>ÖmÔDãAß�Ü�äwÝ�P7Â<Ò>ÜdU`Öm×�Ý�Ü�ßÃå Þ�XÐ�ã*á�ÜTXLÞt×�Ò>Ü}ã�P2i�Öm×*YAÖwá�Öwå�PÙ¤Û ��s Ú

� u�y�� á�Ú | Ú$Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P7EbÐ�Ó�× UAãAßbÓ�×�ÖDã`Ò>ç ßbâ>ÖDÖQU`Þ`á}Ó>ß�Ü�ÞtÒ Þ�X9XÌ×�Þ>Ò`ß�Ý�PzG���×� T >àJØ ���pØ].)Ú3�p�J�( >Ú3�R�pÙ Ú3ÝJ"+�Jâ`ÞÀ�pÙHÞQP2�5Þ`áLÚPÙ�Æ�Ù�Pà�à�Ú xm��� $ x Û`Û�P�ÙmÛ ��y Ú

� u�{�� á�Ú | ÚFÑ>ÖwßZâ>Ü ãJÒ2P�E�<Ó�Ô�Öm×�Ü�ämã*á�ãAá�æ`Þt×�Ü�ßZâ�Ô�Ý@X[Þ>×8à�×�Þtà�ãAætã*ß�Ü}Ò>æ¹Ü ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖwÝ�q^Ç<ã`ÔÉÜ�á�ß�Þ>Òk_�átãAäwÞtÕ>Ü�ÖQc§Ó�ãAßzÜ�Þ>Ò>Ý3ã`Ò>çgäwÞ>Òk_Ý�Öm×�U-ãAß�Ü�ÞtÒ á}ã�RÇÝ�PzGX�Ü×­àJ� Ø=Ú3Ý ×>=4i;� p7� �¶� Ø�R�XÚ3Ý�_%��×� >�`�R��â�P��5Þ`áLÚ u Ù�P�à�à�ÚÙ u Ù;$¸Ù { ÙkP�ÙmÛ`ÛkÆ�Ú

� u���� á�Ú | Ú�Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P�EbÐ�Ó�×�U-ãAßbÓ�×�Ö@e�Þ�R ã`Ò>çrÖmÒJßb×�ÞtàJåTäwÞtÒ>ç�Ü�ß�Ü�ÞtÒ>Ý,ã`à�à>á�Ü�Öwçgß�ÞDæt×�Ü�ç¥æ`ÖmÒ>Öm×�ãAßzÜ�Þ>Ò2PzGc�V×3àJ� Ø=Ú­Ý�×>=X��×� ÊÛcàta�RÚ3�R�p×3ØÚ3ÝE"+�Jâ`ÞÀ�pÙHÞQP[�5Þ`áLÚFÙ`Ù y P��ÇÞ�Ú s P§à�à�Ú x�x Æ%$ x[y�x P�Ù¤Û`Û x Ú� u���� ÎDÚ2VFÖm×��wÞtà�ÞtÓ>á�Þ`Ý�P%E��uÖwæ>Ó>á ãJ×�Üd�mãAß�Ü�ÞtÒcÞ�XPÜ}ÒkU`Öm×�Ý�ÖwU>Ü�ÝbÓ�ãAáPà�×�ÞtÕ>á�ÖmÔ�Ý8Ü}ÒkU`Þ`ádU>Ü Ò>æ¥ç�Ü�Ý�äwÞtÒJß�Ü}ÒtÓ>Ü�ß�Ü�ÖwÝ�PzGC+zF&F�FNM@�¶Ú3ØVÞ(� ×3Ø

"�Ú3�R�R� � Ø,;ØÚ3Ý�â ÞH� Þ�Ú3Ø�:O.øÚ­ÙH�J�pØ=��+�Ø�R� ÝpÝÕ�j<J�`Ø=Ù ��P��5Þ`áLÚ�Ø | �gÏ � P���Þ�Ú s P�à�à�Ú x Ù u $ xms�x P�ÙmÛ ��{ Ú� u Û � ÎDÚ[VFÖm× �wÞ>à�ÞtÓ>á�Þ`Ý�P | Úk�;Ü�ßY`Ü}Ò2PtãJÒ>ç>�HÚ2W8ãAÝ�Ý�P@EbÐuÞtÒ>Ý�ßZ×�ãAÜ}Ò`ßzÝ5ÞtÒ�ç�ÖXLÞt×�ÔDã`Õ>á�Ö<ÔÉÞtç�Öwá�Ý�q0�fÖwäwÞ�UJÖm×�Ü}Ò>æ u Î;Ýbâ�ã`à�Ö|ãJÒ>ç

Ò>ÞtÒ�×�Ü�æJÜ�çgÔ�ÞJß�Ü�ÞtÒ2PzG@,;� �R� ��Ù �pÚ3Ý +�Ø�R� ÝpÝÕ�j<J�`Ø=Ù ��P u�{ P§à�à�Ú�Û�Ù;$¸Ù sku P�ÙmÛ ��� Ú� x Æ � Ð8Ú���â>ÖwÖ�Pa�5Ú�V$ãAá}Õ�Þ`ß�P�ã`Ò>ç�á�Ú | Ú5Ñ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P�E�Î8å§Ò�ãJÔ�Ü�ämãAáPÝ�ßZÓ>ç�å2Þ�X<ãcà�×�ÖmÔ�Üdh>Öwç��Íe¸ãJÔ�Ö�PzGcß�Þ ãJà�à�Ömã`×QP��Ü×3à£�B�

?�Ý�à£�d:X.)��Ù��\��P�ÙmÛJÛ y Ú� x Ù � i�Ú`Ð8ÚQ�5ÖmÔ�Ó�×�Ü�ã`Ò>ç>�8Ú��gãAá�á ã*ç�Ü5P�EbÐuÞtÒ>Ýzßb×�Ó>äwß�Ü}Ò>æ�Ü ÒJßb×�Ü}Ò>Ý�Ü�ä<à�ãJ×�ã`Ô�Öwß�Öm×�Ý�R�Ü�ßbâ�ãAäwß�ÜdU`ÖuÔ�Þtç�Öwá�Ý%XLÞt×VÜ ÒkU-ãJ×�Ü}ã`Ò`ß5ÝZÓ�×ZXÌã*äwÖ

×�ÖwäwÞ>Ò>Ý�ßb×�Ó>äwß�Ü�ÞtÒ2P Gc+zF�F&FNM@�ÁÚ­ØVÞ(�@×3Ø*"f,/.+�Pk�5Þ`áLÚÙ y P��ÇÞ�Ú � P§à�à�Ú {�{�� $ {k� Ù�P�á>Ó>á�å ÙmÛ`Û u Ú� xms�� á�Ú&KFâtÓHãJÒ>ç�á�Ú | ÚPÑ>Öwßbâ>Ü}ã`Ò2P>EbØ�×�Þ�z�Öwäwß�Ü�ÞtÒ Ô�Öwßbâ>Þ>ç�ÝDäwÞtÓ�à>á�Öwç ß�Þ á�ÖQUJÖwá�Ý�ÖwßDÜ}ÒJß�Öm×ZX~ãAäwÖ¹ß�Öwäwâ�Ò>Üjc�Ó>ÖwÝ�PzG�������×� ÊÛ!�

"+�Jâ`Þ#��P��5Þ`áLÚFÙ�Æ s P�à�à�Ú}Ù s�� _bÙ u�� P�ÙmÛ`Û s Ú

u Æ