10οΦροντιστηριοΗΥ217-Επαναληπτικόhy217-csd.datacenter.uoc.gr/files/palaiotera_eti/2013/hy217-al10.pdf ·...

10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό

Επιmicroέλεια Γ Καφεντζής

17 Ιανουαρίου 2014

Ασκηση 01 Το σήmicroα s = 2 microεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης τουϑορύβου το λαmicroβανόmicroενο σήmicroα έχει τη microορφή X = s + W ΄Οταν ο καιρός είναι καλόςγεγονός που συmicroβαίνει microε πιθανότητα 23 η συνιστώσα του ϑορύβου W ακολουθεί κανο-νική κατανοmicroή microε microηδενική microέση τιmicroή και διασπορά 1 W sim N(0 1) ΄Οταν ο καιρός είναικακός η συνιστώσα του ϑορύβου W ακολουθεί κανονική κατανοmicroή microε microηδενική microέσητιmicroή και διασπορά 9 W sim N(0 9) Υπολογίστε τη συνπυκνπιθανότητας της τmicro X καιτην πιθανότητα η X να πάρει τιmicroές microεταξύ 1 και 3

Βοήθεια Χρησιmicroοποιείστε το ϑεώρηmicroα ολικής πιθανότητας παίρνοντας ως διαmicroέριση τουδειγmicroατοχώρου τις καιρικές συνθήκες και εκφράστε την Ϲητούmicroενη πιθανότητα P (1 le X le3) συναρτήσει των τιmicroών Φ(1) και Φ(13) της αθροιστικής συνάρτησης κατανοmicroής της τυ-πικής κανονικής κατανοmicroής

Λύση

(α) ΄Εστω G το γεγονός lsquoο καιρός είναι καλόςrsquo ∆ίνεται ότι P (G) = 23 Για να ϐρούmicroε την

PDF της X πρώτα ϐρίσκουmicroε την PDF τηςW καθώς X = s+W = 2+W Ξέρουmicroε ότι ανο καιρός είναι καλός τότε W sim N (0 1) ενώ αν ο καιρός είναι κακός W sim N (0 9) Για ναϐρούmicroε την PDF της W χρησιmicroοποιούmicroε το ϑεώρηmicroα Ολικής Πιθανότητας για συναρτήσειςπυκνότητας

fW (w) = P (G) middot fW |G(w) + P (Gc) middot fW |Gc(w)

=2

3middot 1radic

2πeminus

w2

2 +1

3middot 1

3radic

2πeminus

w2

2middot9

Στη συνέχεια πραγmicroατοποιούmicroε την αλλαγή microεταβλητών X = 2 + W για να ϐρούmicroε τηνPDF της X

fX(x) = fW (xminus 2) =2

3middot 1radic

2πeminus

(xminus2)2

2 +1

3middot 1

3radic

2πeminus

(xminus2)2

2middot9

(ϐ) Μπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την PDF που ορίστηκε στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα γιανα υπολογίσουmicroε τη Ϲητούmicroενη πιθανότηταint 3

1

fX(x) dx

Είναι όmicroως ευκολότερο να microεταφράσουmicroε το γεγονός 1 le X le 3 χρησιmicroοποιώντας το Wκαι microετά να εφαρmicroόσουmicroε το ϑεώρηmicroα Ολικής Πιθανότητας ΄Εχουmicroε ότι

P (1 le X le 3) = P (1 le 2 +W le 3) = P (minus1 le W le 1)

1

και από το ϑ Ολ Πιθ

P (minus1 le W le 1) = P (G)P (minus1 le W le 1|G)︸︷︷︸a

+ P (Gc)P (minus1 le W le 1|Gc)︸︷︷︸b

Καθώς δεσmicroεύοντας είτε πάνω στη G ή στη Gc η τυχαία microεταβλητή W είναι Gaussianοι δεσmicroευmicroένες πιθανότητες a και b microπορούν να εκφραστούν microέσω της συνάρτησης Φ∆εσmicroεύοντας πάνω στη G έχουmicroε W sim N (0 1) οπότε

a = Φ(1)minus Φ(minus1) = 2Φ(1)minus 1

∆εσmicroεύοντας πάνω στη Gc έχουmicroε W sim N (0 9) οπότε

b = Φ(1

3

)minus Φ

(minus1

3

)= 2Φ

(1

3

)minus 1

Εποmicroένως η τελική απάντηση είναι η

P (1 le X le 3) =2

3(2Φ(1)minus 1) +

1

3

(2Φ(1

3

)minus 1)

Ασκηση 02 Η συνεχής τυχαία microεταβλητή X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

fX(x) =

a(1minus x) για 0 le x le 1

0 αλλιώς

(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση της σππ της X και υπολογίστε τη σταθερά a(ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (6X2 gt 5X minus 1)(γ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής (ασκ) της X FX(x)

Λύση

(α) Πρέπειint +infin

minusinfinf(x)dx = 1rArr

int 1

0

a(1minus x)dx = 1rArr(axminus a

2x2)|10 = 1rArr aminus a

2= 1rArr a = 2

Εναλλακτικά πρέπει η επιφάνεια του τριγώνου microε ϐάση 1 και ύψος a να είναι ίση microε1 1

2middot a middot 1 = 1rArr a = 2 Η γραφική παράσταση της PDF της X ϕαίνεται στο Σχήmicroα 1

(ϐ)

P(6X2 gt 5X minus 1

)= P

(6X2 minus 5X minus 1 gt 0

)= P ((3X minus 1)(2X minus 1) gt 0)

= P

(X gt

1

2

)+ P

(X lt

1

3

)= 1minus P

(1

3le X le 1

2

)= 1minus

int 12

13

2(1minus x)dx =29

36

2

X

1

2

10

)1(2)( xxfX

)(xfX

Σχήmicroα 1 Η γραφική παράσταση της σππ για την ΄Ασκηση 2 υποερώτηmicroα (α)

X

1

2

10

)1(2)( xxfX

)(xfX

13 frac12

Σχήmicroα 2 Η γραφική παράσταση της σππ για την ΄Ασκηση 2 υποερώτηmicroα (ϐ)

(γ)

FX(x) = 0 για x lt 0

FX(x) =

int x

0

2(1minus t)dt = 2tminus t2∣∣x0 = 2xminus x2 για 0 le x le 1

FX(x) = 1 για x gt 1

3

Τελικά

FX(x) =

0 x lt 0

2xminus x2 0 le x le 11 x gt 1

Ασκηση 03 Η αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής FX(u) της τmicro X ϕαίνεται στο Σχή-microα (3)

X

0 5 10 15

025

075

05

10

u

F (u)

Σχήmicroα 3 Αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής FX(u) της τmicro X ΄Ασκησης 3

Υπολογίστε τα ακόλουθα

(α) P (X le 1)

(ϐ) P (X le 10)

(γ) P (X gt 10)

(δ) P (X ge 10)

(ε) P (|X minus 5| le 01)

(στ) Κατανοmicroή fX(x) της X Τι είδους microεταβλητή είναι η X

(Ϲ) Μέση τιmicroή E[X]

Λύση

(α) P (X le 1) = FX(1) = 005(ϐ) P (X le 10) = FX(10) = 075(γ) P (X gt 10) = 1minus P (X le 10) = 1minus 075 = 025(δ) P (X ge 10) = P (X gt 10) + P (X = 10) = 025 + 025 = 05(ε) P (|X minus 5| le 01) = P (49 le X le 51) = FX(51)minus FX(49) = 0255

4

(στ) Παρατηρώντας τις ασυνέχειες στην FX(u) συmicroπεραίνουmicroε ότι η X είναι microικτή τmicroΠαίρνει τις τιmicroές X = 5 10 15 microε microη-microηδενικές πιθανότητες

P (X = 5) = P (X = 10) = P (X = 15) = 025

Επίσης καθώς FX(x) =x

20για 0 le x lt 5 παραγωγίζοντας παίρνω ότι

fX(x) =1

20 για0 le x lt 5

Η γραφική παράσταση της σππ της X ϕαίνεται στο Σχήmicroα 4

)(xfX

x

005

025

5 10 15

Σχήmicroα 4 Η γραφική παράσταση της σππ για την ΄Ασκηση 3

(Ϲ) E[X] =

int 5

0

1

20xdx+ 025(5 + 10 + 15) =

1

20

1

2x2∣∣∣50

+ 025times 30 = 8125

Ασκηση 04 Η τυχαία microεταβλητή X είναι εκθετικά κατανεmicroηmicroένη microε παράmicroετρο λX = 1δηλαδή ορίζεται από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

fX(x) = eminusx x ge 0

∆οθέντος ότιX = x η τυχαία microεταβλητή Y ακολουθεί την εκθετική κατανοmicroή microε παράmicroετρολY = x δηλαδή η δεσmicroευmicroένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι

fY |X(y|x) = xeminusxy y ge 0

Με A συmicroβολίζουmicroε το γεγονός X ge 2(α) Υπολογίστε την δεσmicroευmicroένη συν πυκν πιθανότητας fX|A(x|A) και συγκρίνετε την microετην περιθωριακή fX(x)(ϐ) Βρείτε την fXY (x y) δηλ την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των X

5

και Y (γ) Βρείτε την fY (y) δηλ την περιθωριακή συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Y

Λύση

Αφού η Χ ακολουθεί εκθετική κατανοmicroή microε παράmicroετρο λ = 1

fX(x) =

eminusx αν x ge 20 αλλιώς

(α) Εστω Α το γεγονός ότιX ge 2 Χρησιmicroοποιώντας τον ορισmicroό της δεσmicroευmicroένης συνπυκνπιθ

fX|A(x|X ge 2) =

fX(x)

P (X ge 2) αν x ge 2

0 αλλιώς

Πρώτον υπολογίζουmicroε την P (X isin A) Ολοκληρώνοντας την συν πυκν πιθανότηταςτης X στο σύνολο Aint

A

fX(x)dx =

int infin2

eminusxdx = minuseminusx∣∣∣infin2

= minus(0minus eminus2) =1

e2

Κατά συνέπεια

fX|A(x|X ge 2) =

e2minusx αν x ge 20 αλλιώς

Παρά το ότι δεσmicroεύσαmicroε στο γεγονός X gt 2 η συν πυκν πιθανότητας εξακολουθεί ναείναι εκθετική microε παράmicroετρο λ Αυτό εξηγείται από την ιδιότητα αmicroνησίας της εκθετικήςτυχαίας microεταβλητής Για παράδειγmicroα αν χρησιmicroοποιούσαmicroε την κατανοmicroή αυτή για ναmicroοντελοποιήσουmicroε τον χρόνο που περνά microέχρι να συmicroβεί ένα γεγονός ακόmicroα και αν πε-ϱιmicroέναmicroε Τ χρονικές microονάδες η πιθανότητα του να συmicroβεί το γεγονός εξακολουθεί να χειτην ίδια κατανοmicroή δηλαδή δεν υπάρχει microνήmicroη για το αν συνέβη το γεγονός τις πρώτες Τχρονικές στιγmicroές ή όχι

(ϐ) Τώρα πρέπει να υπολογίσουmicroε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας τωνx yΣτην εκφώνηση αναφέρεται ότι δοθέντος x = X Η Y είναι microια εκθετικά κατανεmicroηmicroέmicroητυχαία microεταβλητή microε παράmicroετρο λY = x Ετσι

fY |X(y|X = x) =

xeminusxy αν x y ge 00 αλλιώς

Χρησιmicroοποιώντας τον ορισmicroό των δεσmicroευmicroένων PDFs

fY |X(y|X = x) =fXY (x y)

fX(x)

και άρα

fXY (x y) = fY |X(y|X = x)fX(x)

Πολλαπλασιάζοντας τις παραπάνω PDFs έχουmicroε

fXY (x y) =

xeminusx(y+1) αν x y ge 00 αλλιώς

6

(γ) Για να ϐρούmicroε την περιθωριακή PDF της Y ολοκληρώνουmicroε την από κοινού PDF των

X και Y πάνω σε όλα τα x Ετσι

fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1

eminusx(y+1)∣∣∣infin0

+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1

(y + 1)2eminusx(y+1)

∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2

όπου χρησιmicroοποιήσαmicroε ολοκλήρωση κατά microέλη Εποmicroένως η περιθωριακή συνάρτησηπυκνότητας πιθανότητας της Υ είναι

fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς

Ασκηση 05 Οι τυχαίες microεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας

fXY (x y) =

c αν 0 le y lt x le 20 αλλιώς

Εστω A το γεγονός X ge 12 και B το γεγονός Y lt 1minusX Συνίσταται να χρησιmicroοποιείσετεδιαγράmicromicroατα για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις

bull Είναι οι X και Y ανεξάρτητες Εξηγείστε

bull Υπολογίστε την τιmicroή του c

bull Υπολογίστε την P (A)

bull Υπολογίστε την P (B)

bull Υπολογίστε την P (B|A)

bull Υπολογίστε την P (A|B)

bull Υπολογίστε την E[XY ]

Λύση

bull Ας κοιτάξουmicroε το παρακάτω για να ελέγξουmicroε την ανεξαρτησία

fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0

cdy = cx για 0 le x le 2

Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y

cdx = c(2minus y) για 0 le x le 1

ΠροφανώςfXY (x y) 6= fX(x)fY (y)

Εποmicroένως οι X και Y δεν είναι ανεξάρτητες

7

bull Ο όγκος κάτω από την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και στο χωρίο που ο-ϱιζουν οι (X Y ) (τρίγωνο που ορίζεται από τα σηmicroεία (0 0) (2 0) (2 2)) πρέπει ναισούται microε 1int infin

minusinfin

int infinminusinfin

fXY (x y)dxdy = c(ϐάσηtimes ύψος

2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1

Αρα c = 12 Πρίν προχωρήσουmicroε στα επόmicroενα ερωτήmicroατα ας σχεδιάσουmicroε τοδιδιάστατο επίπεδο των τmicro X Y Από την εκφώνηση έχουmicroε οτι 0 le y lt x le 2 άρασίγουρα ϑα microας χρειαστεί η ευθεία y = x και επίσης η x = 2 (ως άνω όριο του χωρίουπου ορίζεται η κατανοmicroή) Επίσης από τα ενδεχόmicroενα που ορίζονται στην εκφώνησηϑα πρέπει να σχεδιάσουmicroε την y = 1 minus x καθώς και την x = 12 ΄Ολα αυτά microαςχρειάζονται για να ορίσουmicroε τα χωρία που ικανοποιούν τις ανισότητες ΄Ολες αυτές οιευθειες καθώς και microερικά χρήσιmicroα χωρία έχουν παρασταθεί στο Σχηmicroα (5)

Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5


bull ΄Εχοντας ϐρει στο πρώτο ερώτηmicroα την περιθωριακή συνάρτηση πιθανότητας fX(x)και έχοντας c = 12 microπορούmicroε πολύ εύκολα να πούmicroε οτι

P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16

΄Οmicroως ας προσπαθήσουmicroε να υπολογίσουmicroε τη Ϲητούmicroενη πιθανότητα κατ΄ ευθείαναπό την από κοινού κατανοmicroή

P (A) = P (X ge 12) = P (X ge 12 0 le Y lt X le 2)

8

Η περιοχή που ορίζεται από το X ge 12 0 le Y lt X le 2 ϕαινεται στο Σχήmicroα (5)ως η περιοχή που αποτελείται από τα χωρία C1 C2 δηλ C1 cup C2 Σε αυτήν τηνπεριοχή το X είναι πάντα microεγαλύτερο του 12 (και προφανώς microικρότερο του 2 απότον ορισmicroό) ενώ ταυτόχρονα το Y lt X (η περιοχή κάτω και δεξιά από την ευθείαy = x) Με περισσότερη λεπτοmicroέρεια το χωρίο που ικανοποιεί την X ge 12 είναιαυτό που ορίζεται δεξιότερα της κατακόρυφης ευθείας x = 12 δηλ περιλαmicroβάνειτα χωρία C1 C2 C5 Το χωριο που ικανοποιεί την 0 le Y lt X le 2 είναι αυτόπου ορίζεται κάτω από την ευθεία y = x δηλ περιλαmicroβάνει τα χωρία C1 C2 C3Το χωρίο που ικανοποιεί την τοmicroή των δυο παραπάνω γεγονότων είναι η τοmicroή τωνχωρίων δηλ το C1 cup C2 ΄Αρα

P (A) = P (X ge 12) = P (X ge 12 0 le Y lt X le 2) =

int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16

bull Ας ϐρούmicroε τώρα το χωρίο που ορίζεται από το γεγονός B = Y lt 1 minusX Η ευθείαy = 1 minus x που έχουmicroε σχεδιάσει ϑα microας ϐοηθήσει Τα χωρία C2 C3 C4 είναι αυτάπου ικανοποιούν το γεγονός B γιατι τα σηmicroεία (X Y ) των χωρίων αυτών έχουν πάνταY lt 1minusX ΄Οmicroως από εκφώνηση έχουmicroε ότι 0 le Y lt X le 2 ΄Αρα

P (B) = P (Y lt 1minusX) = P (0 le X le 1 Y lt 1minusX) =

int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4

Προσέξτε ότι εδώ ∆ΕΝ microπορούmicroε να δουλέψουmicroε microόνο microε την fY (y) όπως κάναmicroεmicroε την fX(x) στο προηγούmicroενο ερώτηmicroα γιατι το Ϲητούmicroενο γεγονός εmicroπλέκει και τιςδυο τmicro

bull ΄Εχουmicroε

P (B|A) = P (A capB)P (A) = P (X ge 12 cap Y lt 1minusX)P (X ge 12)

΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16

από προηγούmicroενο ερώτηmicroα Στο Σχήmicroα (5) το γεγονός A = X ge 12capB = Y lt1 minus X αντιστοιχεί στην τοmicroή των χωρίων που ορίζουν τα AB Για το γεγονός Aείδαmicroε παραπάνω ότι το χωρίο που του αντιστοιχεί είναι το C1 cup C2 Για το γεγονόςB ειδαmicroε επίσης ότι αντιστοιχεί στο χωρίο C2 cup C3 cup C4 ΄Αρα η τοmicroή τους είναι το

9

χωρίο C2 Οπότε

P (B|A) = P (X ge 12 cap Y lt 1minusX)P (X ge 12) =16

15P (X ge 12 cap Y lt 1minusX)

=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15


P (A|B) = P (A capB)P (B) = P (X ge 12 cap Y lt 1minusX)P (Y lt 1minusX)

΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4

από προηγούmicroενο ερώτηmicroα Παραπάνω ϐρήκαmicroε και την πιθανότητα P (X ge 12 capY lt 1minusX) = 1

16 ΄Αρα εύκολα έχουmicroε

P (A|B) = P (AcapB)P (B) = P (X ge 12cap Y lt 1minusX)P (Y lt 1minusX) =116

14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1



(α) Παράγετε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της fZ(z) όπου Z = e3X

(ϐ) Οι τυχαίες microεταβλητές X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανό-τητας

fXY (x y) =


Να παραχθεί η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της fZ(z) όπου Z = YX

Λύση (α) Η CDF της Z είναι

FZ(z) = P (Z le z) = P (e3x le z) = P (X le ln z

3)

=

int ln z3

0

eminusxdx = minuseminusx∣∣ln z3

0

= 1minus eminusln z3 = 1minus zminus

13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus

43 για 0 le z lt 1

(ϐ) ΄Εχουmicroε

FZ(z) = P (Z le z) = P (YX le z) = P (Y le zX)

= P (0 lt X le 2 Y le zX)

=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1

Ασκηση 07 ΄Ενας ανθρακωρύχος είναι παγιδευmicroένος σε στοά από την οποία ξεκινούντρεις σήραγγες Η πρώτη από αυτές οδηγεί στην έξοδο microετά από 3 ώρες πορείας Η δεύ-τερη οδηγεί πίσω στη στοά (και στο microέρος από το οποίο ο ανθρακωρύχος ξεκίνησε) microετάαπό 5 ώρες Η τρίτη οδηγεί επίσης πίσω στη στοά microετά από 7 ώρες Αν υποθέσουmicroε ότιο ανθρακωρύχος επιλέγει τυχαία και ανεξάρτητα κάθε ϕορά microία από τις τρεις σήραγγες(δυστυχώς δεν ϑυmicroάται τίποτε σχετικά microε το ποια σήραγγα επέλεξε την τελευταία ϕορά)ποιος είναι ο microέσος χρόνος microέχρι να ϐρει την έξοδο

Χρησιmicroοποιείστε το ϑεώρηmicroα ολικής microέσης τιmicroής ορίζοντας τις κατάλληλες τυχαίες microετα-ϐλητές

Λύση

΄Εστω ότι X δηλώνει την ποσότητα χρόνου (σε ώρες) εως ότου ο ανθρακωρύχος να ϕθάσειστην έξοδο Επίσης έστω ότι Y δηλώνει την σήραγγα που αρχικά επιλέγει Είναι

E[X] = E[X | Y = 1]PY = 1+ E[X | Y = 2]PY = 2+ E[X | Y = 3]PY = 3

=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11

Για να καταλάβετε γιατί το σύνολο εξισώσεων (1) είναι σωστό ϑεωρήστε για παράδειγmicroατην δεύτερη εξίσωση E[X | Y = 2] Αν ο ανθρακωρύχος διαλέξει την δεύτερη σήραγγαϑα ξοδέψει 5 ώρες στην σήραγγα και έπειτα ϑα ξαναγυρίσει πίσω στο ίδιο microέρος από τοοποίο ξεκίνησε στην στοά Αλλά όταν γυρίσει πίσω το πρόβληmicroα είναι σαν να ξεκινάει απότην αρχή Οπότε ο αναmicroενόmicroενος επιπρόσθετος χρόνος για να ϕθάσει στην έξοδο ϑα είναιαπλώς E[X] Εποmicroένως E[X | Y = 2] = 5 + E[X] Παρόmicroοιο επιχείρηmicroα ϑα ισχύει καιγια τις άλλες εξισώσεις του συνόλου εξισώσεων (1)

Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15

Ασκηση 08 ΄Εστω ότι η τmicro X είναι οmicroοιόmicroορφα κατανεmicroηmicroένη στο διάστηmicroα [minus1 4] ΗX microετασχηmicroατίζεται στην τmicro Y = |X minus 2|(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση του microετασχηmicroατισmicroού και ϐρείτε το πεδίο τιmicroών της Y (ϐ) Βρείτε την αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής FY (y) και κατόπιν τη συνάρτηση πυκνό-τητας πιθανότητας fY (y) της τmicro Y

Λύση

(α) Το πεδίο τιmicroών της Y είναι το [0 3]

y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2

Σχήmicroα 6 Γραφική παράσταση των y = 2minus x και y = 2 + x

(ϐ) ΄Εχουmicroε ότι

bull y le 0 FY (y) = P (Y le y) = 0

bull y ge 3 FY (y) = P (Y le y) = 1

12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4

Σχήmicroα 7 Γραφική παράσταση της fX(x)

bull 0 le y le 2

FY (y) = P (Y le y) = P (2minus y le X le 2 + y)

=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3

FY (y) = P (Y le y) = P (2minus y le X le 4)

=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)

Οπότε έχουmicroε

FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού

Το Σχηmicroα (8) δίνει τη γραφική παρασταση της κατανοmicroής

)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30

Σχήmicroα 8 Γραφική παράσταση της fY (y)

13

Ασκηση 09 Σε ένα γραmicromicroικό όργανο microέτρησης η σχέση εισόδου-εξόδου είναι Y = GXόπου τα microεγέθηX Y καιG συmicroβολίζουν την είσοδο την έξοδο και το κέρδος του οργάνουαντίστοιχα Το κέρδος G είναι τmicro οmicroοιόmicroορφα κατανεmicroηmicroένη στο διάστηmicroα [05 15] ενώη είσοδος X είναι τmicro επίσης οmicroοιόmicroορφα κατανεmicroηmicroένη στο διάστηmicroα [0 1] και είναιανεξάρτητη της G

(α) Υπολογίστε τη δεσmicroευmicroένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας fYX(yx) Προσέξτεότι για κάθε δυνατή τιmicroή X = x της εισόδου X πρέπει να καθορίσετε τις δυνατές τιmicroές τηςεξόδου Y καθώς και την έκφραση της fYX(yx)(ϐ) Υπολογίστε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας fXY (x y) ∆ώστε τηνγραφική παράσταση όπου η fXY (x y) παίρνει microη microηδενικές τιmicroές (δηλαδή το πεδίο τιmicroώντων (x y) στο επίπεδο)(γ) Υπολογίστε και δώστε τη γραφική παράσταση της συνάρτηση πυκνότητας πιθανότηταςτης εξόδου Y fY (y)(δ) Το όργανο σας δίνει τη microέτρηση Y = 12 Υπολογίστε και δώστε τη γραφική παράστασητης δεσmicroευmicroένης συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της εισόδου X fXY (xy = 1

2)

Λύση

(α) ∆εδοmicroένου του X = x έχουmicroε

fY |X(y|x) =1

xfG

(yx

)είναι οmicroοιόmicroορφη κατανοmicroή στο διάστηmicroα [05x 15x] Πιο διαισθητικά δεδοmicroένουτου X = x έχουmicroε ότι Y = Gx όπου x microπορεί να το δούmicroε και ως σταθερά

fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι

fXY (x y) = fY |X(y|x)fX(x) =1

xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1

xdx = ln(2y)minus ln(

2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14

Σχήmicroα 9 Η γραφική παράσταση για το υποερώτηmicroα (ϐ) της άσκησης 9

Σχήmicroα 10 Η γραφική παράσταση για το υποερώτηmicroα (γ) της άσκησης 9

Σχήmicroα 11 Η γραφική παράσταση για το υποερώτηmicroα (δ) της άσκησης 9

15

Ασκηση 010 ∆ύο συνεχείς τmicro X και Y έχουν την από κοινού συνάρτηση πυκνότηταςπιθανότητας

fXY (x y) =

c y ge 0 |x|+ y le 10 αλλιώς

(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σππ Υπολογίστε τη σταθερά c και τιςπεριθωριακές σππ fX(x) και fY (y) ∆ώστε τη γραφική παράσταση των δύο σππ Είναιοι τmicro X και Y ανεξάρτητες (ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος X ge 2Y (γ) Υπολογίστε την πιθανότητα του γεγονότος X + Y ge 1

2

(δ) Υπολογίστε τις δεσmicroευmicroένες σππ fXY (xy) και fYX(yx)

Λύση

(α) Η περιοχή όπου η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι c ϕαίνεταιστο Σχήmicroα (12) Πρόκειται για ένα τρίγωνο microε ϐάση 2 και ύψος 1 Οι δυο ευθείες

x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1

Σχήmicroα 12 Χωρίο ορισmicroού από κοινού κατανοmicroής ΄Ασκησης 10

προέρχονται από τη σχέση

|x|+ y le 1hArr |x| le 1minus y hArr minus(1minus y) le x le 1minus y hArr y minus 1 le x le 1minus y

Για την σταθερά c πρέπειint +infin

minusinfin

int infinminusinfin

fxy(x y)dxdy = c(ϐάσηtimes ύψος

2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1

΄Οσον αφορά τις περιθωριακές γενικά ισχύει ότι

fX(x) =

int +infin

minusinfinfXY (x y)dy

και

fY (y) =

int +infin

minusinfinfXY (x y)dx

Από το Σχήmicroα (12) ϕαίνεται ότι

16

bull Για minus1 le x le 0 fX(x) =

int 1+x

0

cdy = 1 + x

bull Για 0 le x le 1 fX(x) =

int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =

1 + x minus1 le x le 01minus x 0 le x le 10 αλλού

Οmicroοίως για 0 le y le 1 fY (y) =

int +infin

minusinfinfXY (x y)dy =

int 1minusy

yminus1

cdx = 2(1minus y) ∆ηλαδή

fY (y) =

2(1minus y) 0 le y le 10 αλλού

Προφανώς fXY (x y) 6= fX(x)fY (y) και οι τυχαίες microεταβλητές X Y δεν είναιανεξάρτητες

x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y

Σχήmicroα 13 Περιθωριακές κατανοmicroές ΄Ασκησης 10

(ϐ) Η ευθεία y = x2 ϕαίνεται στη γραφική παράσταση του Σχήmicroατος (14) Το διπλόολοκλήρωmicroα της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας στογραmicromicroοσκιασmicroένο τρίγωνο microε ϐάση (0 1) και ύψος 1

3στο σηmicroείο (2

3 1

3) ισούται microε την

πιθανότητα P (X ge 2Y ) ΄Αρα

P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0

(1minus y minus 2y)dy =(y minus 3

y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6

Εναλλακτικά επειδή η από κοινού κατανοmicroή είναι σταθερή microπορούmicroε να ϐρούmicroετο ιδιο αποτέλεσmicroα απλά ϐρίσκοντας το εmicroβαδό του γραmicromicroοσκιασmicroένου τmicroήmicroατοςκαι πολλαπλασιάζοντάς το microε τη c

P (X ge 2Y ) = ctimes E(τριγώνου) = 1times1times 1

3

2=

1

6

17

(γ) Οmicroοίως από το Σχήmicroα (15) έχουmicroε ότι το Ϲητούmicroενο χωρίο είναι αυτό που έχειγραmicromicroοσκιαστεί ως E1 Για να το υπολογίσουmicroε αναλυτικά πρέπει να σπάσουmicroε τοχωρίο E1 σε δυο microικρότερα ΄Οmicroως όπως είπαmicroε microόλις παραπάνω microπορούmicroε ναυπολογίσουmicroε τη Ϲητούmicroενη πιθανότητα microε χρηση εmicroβαδών δηλ ως το εmicroβαδόν τουmicroεγάλου τριγώνου (όλου το χωρίου δηλαδη) microείον το εmicroβαδον του E2

P (X+Y ) ge 1

2) = ctimesE1 = 1times((E1+E2)minusE2) = 1times

(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16

Σχήmicroα 14 Χωρίο για τον υπολογισmicroό του P (X ge 2Y ) microε ϐάση την απο κοινού κατανοmicroή

Σχήmicroα 15 Χωρίο για τον υπολογισmicroό του P (X + Y ge 12) microε ϐάση την απο κοινούκατανοmicroή

18

(δ) ΄Εχουmicroε

fX|Y (x|y) =fXY (x y)

fY (y)=

1

2(1minus y) |x| le 1minus y 0 lt y lt 1

fY |X(y|x) =fXY (x y)

fX(x)=

1

1minus |x| 0 lt y lt 1minus |x| |x| le 1

Ασκηση 011 Οι ανεξάρτητες συνεχείς τmicro X και Y ακολουθούν καθεmicroιά οmicroοιόmicroορφηκατανοmicroή στο διάστηmicroα (0 1) Ορίζουmicroε την τmicro Z = 1

X+Y

(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση της από κοινού σππ των X και Y (ϐ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής της Z FZ(z)(γ) Υπολογίστε την συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Z fZ(z)

Λύση

(α) Αφού οι X Y είναι ανεξάρτητες

fXY (x y) = fX(x)fY (y) =

1 0 le x y le 10 αλλού

΄Εχουν δηλαδή από κοινού οmicroοιόmicroορφη κατανοmicroή

(ϐ) Το πεδίο τιmicroών της τmicro Z είναι το [1

2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)

= P (X + Y ge zminus1)

=

0 z lt 12

1 middot EHΓΘ 12 le z le 11 middot EABΓ∆E 1 lt z lt +infin

=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2

2 1 lt z lt +infin X

Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1

X+Y = z 1ltzlt+yen-1

X+Y = z frac12 ltzlt1-1

(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

2zminus2 minus zminus3 12 le z le 1

zminus3 1 lt z lt +infin

19

και από το ϑ Ολ Πιθ

P (minus1 le W le 1) = P (G)P (minus1 le W le 1|G)︸︷︷︸a

+ P (Gc)P (minus1 le W le 1|Gc)︸︷︷︸b

Καθώς δεσmicroεύοντας είτε πάνω στη G ή στη Gc η τυχαία microεταβλητή W είναι Gaussianοι δεσmicroευmicroένες πιθανότητες a και b microπορούν να εκφραστούν microέσω της συνάρτησης Φ∆εσmicroεύοντας πάνω στη G έχουmicroε W sim N (0 1) οπότε

a = Φ(1)minus Φ(minus1) = 2Φ(1)minus 1

∆εσmicroεύοντας πάνω στη Gc έχουmicroε W sim N (0 9) οπότε

b = Φ(1

3

)minus Φ

(minus1

3

)= 2Φ

(1

3

)minus 1

Εποmicroένως η τελική απάντηση είναι η

P (1 le X le 3) =2

3(2Φ(1)minus 1) +

1

3

(2Φ(1

3

)minus 1)

Ασκηση 02 Η συνεχής τυχαία microεταβλητή X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

fX(x) =

a(1minus x) για 0 le x le 1

0 αλλιώς

(α) ∆ώστε τη γραφική παράσταση της σππ της X και υπολογίστε τη σταθερά a(ϐ) Υπολογίστε την πιθανότητα P (6X2 gt 5X minus 1)(γ) Υπολογίστε την αθροιστική συνάρτηση κατανοmicroής (ασκ) της X FX(x)

Λύση

(α) Πρέπειint +infin

minusinfinf(x)dx = 1rArr

int 1

0

a(1minus x)dx = 1rArr(axminus a

2x2)|10 = 1rArr aminus a

2= 1rArr a = 2

Εναλλακτικά πρέπει η επιφάνεια του τριγώνου microε ϐάση 1 και ύψος a να είναι ίση microε1 1

2middot a middot 1 = 1rArr a = 2 Η γραφική παράσταση της PDF της X ϕαίνεται στο Σχήmicroα 1

(ϐ)

P(6X2 gt 5X minus 1

)= P

(6X2 minus 5X minus 1 gt 0

)= P ((3X minus 1)(2X minus 1) gt 0)

= P

(X gt

1

2

)+ P

(X lt

1

3

)= 1minus P

(1

3le X le 1

2

)= 1minus

int 12

13

2(1minus x)dx =29

36

2

X

1

2

10

)1(2)( xxfX

)(xfX


X

1

2

10

)1(2)( xxfX

)(xfX

13 frac12


(γ)


FX(x) =

int x

0



3

Τελικά

FX(x) =

0 x lt 0



X

0 5 10 15

025

075

05

10

u

F (u)



(α) P (X le 1)

(ϐ) P (X le 10)

(γ) P (X gt 10)

(δ) P (X ge 10)




Λύση


4


P (X = 5) = P (X = 10) = P (X = 15) = 025



fX(x) =1



)(xfX

x

005

025

5 10 15


(Ϲ) E[X] =

int 5

0

1

20xdx+ 025(5 + 10 + 15) =

1

20

1

2x2∣∣∣50

+ 025times 30 = 8125






5


Λύση


fX(x) =



fX|A(x|X ge 2) =

fX(x)


0 αλλιώς


A

fX(x)dx =

int infin2



e2


fX|A(x|X ge 2) =




fY |X(y|X = x) =




fX(x)

και άρα



fXY (x y) =


6



fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1


+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1


∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2


fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς


fXY (x y) =










Λύση


fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0


Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y




7


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19

X

1

2

10

)1(2)( xxfX

)(xfX


X

1

2

10

)1(2)( xxfX

)(xfX

13 frac12


(γ)


FX(x) =

int x

0



3

Τελικά

FX(x) =

0 x lt 0



X

0 5 10 15

025

075

05

10

u

F (u)



(α) P (X le 1)

(ϐ) P (X le 10)

(γ) P (X gt 10)

(δ) P (X ge 10)




Λύση


4


P (X = 5) = P (X = 10) = P (X = 15) = 025



fX(x) =1



)(xfX

x

005

025

5 10 15


(Ϲ) E[X] =

int 5

0

1

20xdx+ 025(5 + 10 + 15) =

1

20

1

2x2∣∣∣50

+ 025times 30 = 8125






5


Λύση


fX(x) =



fX|A(x|X ge 2) =

fX(x)


0 αλλιώς


A

fX(x)dx =

int infin2



e2


fX|A(x|X ge 2) =




fY |X(y|X = x) =




fX(x)

και άρα



fXY (x y) =


6



fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1


+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1


∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2


fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς


fXY (x y) =










Λύση


fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0


Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y




7


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19

Τελικά

FX(x) =

0 x lt 0



X

0 5 10 15

025

075

05

10

u

F (u)



(α) P (X le 1)

(ϐ) P (X le 10)

(γ) P (X gt 10)

(δ) P (X ge 10)




Λύση


4


P (X = 5) = P (X = 10) = P (X = 15) = 025



fX(x) =1



)(xfX

x

005

025

5 10 15


(Ϲ) E[X] =

int 5

0

1

20xdx+ 025(5 + 10 + 15) =

1

20

1

2x2∣∣∣50

+ 025times 30 = 8125






5


Λύση


fX(x) =



fX|A(x|X ge 2) =

fX(x)


0 αλλιώς


A

fX(x)dx =

int infin2



e2


fX|A(x|X ge 2) =




fY |X(y|X = x) =




fX(x)

και άρα



fXY (x y) =


6



fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1


+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1


∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2


fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς


fXY (x y) =










Λύση


fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0


Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y




7


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


P (X = 5) = P (X = 10) = P (X = 15) = 025



fX(x) =1



)(xfX

x

005

025

5 10 15


(Ϲ) E[X] =

int 5

0

1

20xdx+ 025(5 + 10 + 15) =

1

20

1

2x2∣∣∣50

+ 025times 30 = 8125






5


Λύση


fX(x) =



fX|A(x|X ge 2) =

fX(x)


0 αλλιώς


A

fX(x)dx =

int infin2



e2


fX|A(x|X ge 2) =




fY |X(y|X = x) =




fX(x)

και άρα



fXY (x y) =


6



fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1


+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1


∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2


fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς


fXY (x y) =










Λύση


fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0


Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y




7


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


Λύση


fX(x) =



fX|A(x|X ge 2) =

fX(x)


0 αλλιώς


A

fX(x)dx =

int infin2



e2


fX|A(x|X ge 2) =




fY |X(y|X = x) =




fX(x)

και άρα



fXY (x y) =


6



fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1


+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1


∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2


fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς


fXY (x y) =










Λύση


fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0


Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y




7


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19



fY (y) =

intx

fXY (x y)dx =

int infin0

xeminusx(y+1)dx

=minusxy + 1


+1

y + 1

int infin0

eminusx(y+1)dx

=minus1


∣∣∣infin0

=1

(y + 1)2


fY (y) =

1(y+1)2

αν y ge 0

0 αλλιώς


fXY (x y) =










Λύση


fX(x) =

int infinminusinfin

fXY (x y)dy =

int x

0


Οmicroοίως

fY (y) =

int 2

y




7


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


minusinfin

int infinminusinfin


2

)= ctimes 2times 2

2= 2c = 1


Y

X

1

2

12 1 2

y=x

y=1-x

0

C2

C1

C3

C4 (frac12 frac12)

x=12

C5



P (X ge 12) =

int 2

12

fX(x)dx =

int 2

12

1

2xdx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



8



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19



int 2

12

int x

0

1

2dydx

=

int 2

12

1

2y∣∣∣x0dx =

int 2

12

x

2dx =

x2

4

∣∣∣212

= 1minus 1

16=

15

16



int 1

0

int 1minusx

0

1

2dydx

=

int 1

0

1

2y∣∣∣1minusx0

dx =

int 1

0

1minus x2

dx =x

2minus x2

4

∣∣∣10

=1

2minus 1

4minus 0 =

1

4




΄Οmicroως

P (X ge 12) =15

16


9




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19




=16

15

int 1

12

int 1minusx

0

1

2dydx =

16

15

int 1

12

y

2

∣∣∣1minusx0

dx =16

15

int 1

12

1minus x2

dx

=16

15

(x2minus x2

4

)∣∣∣112

=16

15

(1

2minus 1

4minus 1

4+

1

16

)=

16

15

1

16

=1

15



΄Οmicroως

P (Y lt 1minusX) =1

4




14=

1

4


E[XY ] =

int infinminusinfin

int infinminusinfin

xyfXY (x y)dxdy =

int 2

0

int 2

y

xy1

2dxdy =

int 2

0

1

4y(4minus y2)dy = 1





fXY (x y) =





3)

=

int ln z3

0


0


13

10

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19

και η PDF

fZ(z) =dFZ(z)

dz=

1

3zminus





=

int 2

0

int zx

0

fXY (x y)dydx

=

int 2

0

int zx

0

cdydx

=

int 2

0

czxdx

=czx2

2

∣∣∣20

= 2cz

άρα

fZ(z) =dFZ(z)

dz= 2c

για 0 le z lt 1



Λύση



=1

3(E[X | Y = 1] + E[X | Y = 2] + E[X | Y = 3])

΄Οmicroως

E[X | Y = 1] = 3

E[X | Y = 2] = 5 + E[X]

E[X | Y = 3] = 7 + E[X]

(1)

11


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


Συνεπώς

E[X] =1

3(3 + 5 + E[X] + 7 + E[X])

ήE[X] = 15


Λύση


y

x

4

1

2

3

2-2 5

y =

2-x

y = x+2





12

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19

)(xfX

x2-2 5

02

-1 4


bull 0 le y le 2


=1

5[(2 + y)minus (2minus y)] = 04 y

bull 2 le y le 3


=1

5[4minus (2minus y)] = 02 (2 + y)


FY (y) =

0 y le 0

04 y 0 le y le 2

02 (2 + y) 2 le y le 3

1 y ge 3

Συνεπώς

fY (y) =dFY (y)

dy=

04 0 le y le 2

02 2 le y le 3

0 αλλού


)(yfY

y2-2

02

-1 4

04

30


13



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19



2)

Λύση


fY |X(y|x) =1

xfG

(yx


fY |X(y|x) =

1

x x

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

0 αλλιώς

(ϐ) Είναι


xx

2le y le 3x

2 0 lt x lt 1

(γ) Ειναι

fY (y) =

intfXY (x y)dx =

int 2y

23y

1


2y

3) = ln(3) 0 lt y lt 1

2int 1

23y

1

xdx = minus ln(

2y

3) 1

2lt y lt 3

2

(δ) Είναι

fX|Y (x|y = 12) =

fXY (x 12)

fY (12)=

1x

ln(3) 13 le x lt 1

0 αλλιώς

14




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19




15


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


fXY (x y) =



2


Λύση


x

y

-1 1

1

y=0

x+y=1

-x+y=1





minusinfin

int infinminusinfin


2

)= c

2times 1

2= 1

΄Αρα c = 1


fX(x) =

int +infin


και

fY (y) =

int +infin



16


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


int 1+x

0

cdy = 1 + x


int 1minusx

0

cdy = 1minus x

΄Αρα

fX(x) =



int +infin


int 1minusy

yminus1


fY (y) =



x-1 1

1

( )X

f x

1

2

( )Yf y

Y




3 1



P (X ge 2Y ) =

int 13

0

int 1minusy

2y

1dxdy =

int 13

0

x∣∣∣1minusy2y

dy

=

int 13

0


y2

2

)∣∣∣13

0=

1

3minus 1

6=

1

6



3

2=

1

6

17


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19


P (X+Y ) ge 1


(2times 1

2minus32times 34

2

)= 1minus 9

16=

7

16



18



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19



fY (y)=

1



fX(x)=

1



X+Y


Λύση






2+infin)

FZ(z) = P (Z le z) = P (1

X + Yle z)


=

0 z lt 12


=

0 z lt 12

(2minus zminus1)2

2 12 le z le 1

1minuszminus2


Y

A

E

Δ

Β

ΘΓ

Η

1

1



(z -1 1)-1

(z 0)-1

(γ)

fZ(z) =dFZ(z)

dz=



19

10οΦροντιστηριοΗΥ217-Επαναληπτικόhy217-csd.datacenter.uoc.gr/files/palaiotera_eti/2013/hy217-al10.pdf ·...

Documents