11. hampiran numerik solusi persamaan diferensial
TRANSCRIPT
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
1/15
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
2/15
HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI
PERSAMAAN DIFERENSIALPertemuan 11
Matakuliah : METODE NUMERIK I
Tahun : 2008
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
3/15
Bina Nusantara
METODE PICARD
Perhatikan Persamaan differensial berikut:
)........(*),(),(
.....
),(
000
0
00
+==
==
=
x
x
x
x
y
y
dxyxfyydxyxfdy
xxuntukyy
yxfdx
dy
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
4/15
Bina Nusantara
Selesaikan persamaan (*) dengan substitusi y0diperoleh nilai pendekatan y berikutnya
1. Diberikan syarat awal y = y0
untuk x = x0
2. Hitung
3. Hitung
4. Hitung
+=x
x
dxyxfyy0
),( 001
+=x
x
dxyxfyy
0
),( 102
+=x
x
dxyxfyy
0
),( 203
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
5/15
Bina Nusantara
1)0(,20=== yydenganxy
dxdy
Contoh : Selesaikan Persamaan :
1. y(0) = 1
2.y1= 1 + =1+ = 1+ [x2+ x]
ox
= 1 + x + x2
3.y2
= 1 + ( 2x +y1)dx =1+ (2x +1 + x + x2)dx
= 1 + x + 3x2/2 + x3/3
x
0
( 2x +y1)dx
x
0
( 2x + 1 ) dxx
0
x
0
Bila diselesaikan secara analitik diperoleh
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
6/15
Bina Nusantara
Cont,
Dengan memasukkan syarat awal , y(0) = 1, didapat c = 3.
Sehingga
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
7/15
Bina Nusantara
METODE TAYLOR Pendekatan Deret Taylor sebagai penyelesaian
persamaan diferensial untuk X atau h tertentu adalahsebagai berikut:
....!2
)('')(')()()( 020001 +++== +
xyhxhyxyxyxy h
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
8/15
Bina Nusantara
Gunakan Deret Taylor order 2 untuk menyelesaikan
PDB berikut
1)0(..,..10....,;..1
:
=++= yuntukxpadaxydx
dy
Contoh
)(''!2
)(')()()( 0
2
0001 xyhxhyxyxyxy h ++== +
Deret Taylor order 2
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
9/15
Bina Nusantara
Hitung:
1. y(x0)=1
2. y(x0)=-y
0+x
0+1=-1+0+1=0
3. y(x0)=d
/dx(dy
/dx) = -y(x0)+1=-0+1 =1Selanjutnya substitusikan ke persamaan
deret Taylor order 2, andaikan h=0,1
0050,1)1(!2
1,0
)0(1,01)1,0(
2
=++=yUntuk X1 =0,1, maka
Dapat dilanjutkan untk nilai x berikutnya, hasilnya dapat dilihat pada
tabel berikut
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
10/15
Bina Nusantara
X
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
11/15
Bina Nusantara
Metode Euler
Perhatikan turunan pertama suatu fungsi
.
),(.
),(.,,,,,,....
)(....
)(),(.)()(
)()('.)()(
),('
1112
0001
0
2
2
2
dst
yxfhyy
yxfhyymakaxxuntuk
hOabaikan
hOyxfhxyhxy
atau
hOxyhxyhxy
yxfy
+=
+=
=
++=+
++=+
= Substitusikan ke persamaan berikut
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
12/15
Bina Nusantara
Metode Euler secara umum dapat dinyatakandengan
),(.1 kkxx yxfhyy +=+
kkk yhyy '.1 +=+
atau
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
13/15
Bina Nusantara
Selesaikan PDB berikut menggunakan metode Euler
1,0.. . ,,1)0(. . . ., . .10.. . . ,; . .1
:
==++= hd a nyu n t u k x p a d axyd x
d y
C o n t oh
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
14/15
Bina Nusantara
Hasilnya adalah sebagai berikut
-
8/14/2019 11. Hampiran Numerik Solusi Persamaan Diferensial
15/15
Bina Nusantara
Soal Latihan
Gunakan Metode Deret Taylor order 2 dan Metode Euler
2. y=-y+x, pada 0x2, y(0)=1, h=0,5 dan h=0,2
25,0...;5,0...,,1)0(....
,20....,;...
.......1
2
===
=
hdanhdanyuntuk
xpadayxydx
dy
berikutPDBSelesaikan